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윤재 양
5 years ago
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1 고정밀압축성유동해석을위한임의의고차정확도를갖는 비정렬불연속갤러킨 - 다차원공간제한기법연구 Mult-dmensonal mtng Process for Arbtrary Hger-order Dscontnuous Galerkn Metods for Hg-fdelty Compressble Flow Analyses 박진석 1 *, 김종암 1 서울대학교 1 초 록 본연구에서는압축성유동장을정밀하게해석하기위해서불연속갤러킨기법을위한강건하고효율적인다차원충격파포착기법을개발하고자한다. 그동안본연구그룹에서는유한체적법을바탕으로다차원물리유동특성을반영한다차원공간제한기법을성공적으로개발하였으며, 이를바탕으로고차내삽에용이한불연속갤러킨기법으로확장하고자한다. 이를위해서본연구에서는기존에 차정확도의유한체적법에서제안한 MP 기울기제한자와더불어서, 고차내삽기법에적합한 MP 기반 Troubled-cell 표시자를추가적으로개발하였다. 이를결합하여개발한 DG-MP 기법의경우연속적인구간에서높은정확도를유지하면서도매우강건하고정확하게물리적비선형파를포착함을확인할수있었다. ABSTACT Te present paper deals wt te robust and effcent sock capturng strategy for arbtrary ger-order dscontnuous Galerkn metods to resole g speed compressble flow accurately. Ts approac s a contnuous work of extendng mult-dmensonal lmtng process (MP), wc as been successfully deeloped n fnte olume metod (FVM), nto dscontnuous Galerkn Metod on unstructured grds. Based on successful analyses and mplementatons of te MP slope lmtng n FVM, MP s extendable nto DG framework wt te MP-based troubled-cell marker and te erarccal MP slope lmtng. It s obsered tat te proposed approac yelds outstandng performances n resolng non-compresse as well as compresse flow features. Key Words : Dscontnuous Galerkn Metod ( 불연속갤러킨기법 ), Mult-dmensonal mtng Process ( 다차원 공간제한기법 ), Arbtrary Hger-Order Sock-Capturng Metod ( 고차정확도충격파 포착기법 ) 1. 서론 다차원공간제한기법 (MP) 는유한체적법 (FVM) 에대해서성공적으로개발되었다. TVD 또는 ENOtype 과같은다른공간제한기법에비해, MP 기법은다차원공간에서수치진동을효율적으로제어할수있는장점이있다. 이론적으로 MP 공간제한기법은 Maxmum prncple 을만족하여 norm 차원에서다차원단조성을보장할수있다. 일련의연구를통해서다양한비점성및점성유동을해석시 MP 기법을적용한결과기존기법 에비해서정확성및수렴성등에서향상되었음을확인할수있었다 (1-4). 최근들어불연속갤러킨기법 (DG) 는복잡한형상에쉽게적용가능하며고차내삽시적은인접격자정보만이용하는장점이있어, 쌍곡편미분방정식을고차정확도로해석하는데널리사용되고있다. 그러나가장문제가되는부분은불연속구간에서불필요한수치진동을억제할수있는공간제한메커니즘이불완전하다는점이다. 그동안 FVM 에서널리쓰이던 TVB 기반제한기법 (5) 이나 WENO-type 제한기법 (6,7) 을활용하여수치진동을억제하기위한시도가이루어져왔으나, 36

2 이들기법은다차원유동해석시충격파등의구간에서수치진동을제어하는데한계가있었다. 본연구에서는이를해결하기위해기존의 FVM 기반 MP 기법을 DG framework 으로확장하여강건하고정확한공간제한기법을개발하고자하였다 (8,9). 본연구에서는현재개발중인 DG-MP 기법을 차원및 3 차원비정렬격자계에대해 4 차공간정확도 (P3 내삽 ) 까지적용및확장하여, 다양한압축성유동해석에적용하였다. 우선 MP 기법의특징을간단히소개한후 DG 로확장되는과정에대해서다루고자한다.. 다차원공간제한조건 다차원공간에서단조성을보장하기위해서, MP 기법에서는 1 차원단조조건을확장한다차원공간제한기준을제안하였다. 이기법의핵심적인내용은격자내평균값뿐아니라각꼭지점에서의물성치역시공간제한이필요하다는점이다. 특히꼭지점에서의재생성된분포가주변물성치내에서제한될경우물성치평균값역시단조성을보장할것이라는가정을전제로하고있다. 이러한 MP 조건은다음과같이정리할수있다. /, (1) tx tx 는꼭지점에서물성치이며, 는꼭지점을공유하는격자평균물성치 의최대 / 최소이다. MP 조건은근본적으로격자위상정보와관계없이적용할수있다. 효율성과정확성을고려하여 를근사화하는방법에따 tx 라정렬및비정렬격자계에적용할수있다. 정렬격자계에서는꼭지점에서물성치를각방향별변량의합으로계산된다. 이런점을고려하여 MP 기법은기존의 TVD-MUSC 기법을기반으로다차원분포를고려할수있는가변적인제한자범위를도입하여구현하였다. 구체적인내용및분석은참고문헌 (1) 에기술되어있다. 비정렬격자계의경우, 기저방향이존재하지않으므로정렬격자계와같은방법으로구현될수없다. 격자내부유동분포를다음과같이다차원기울기구배를이용한비정렬격자계 MUSC 형식의선형결합으로부터공간제한자를설계하였다. r r, () 와 는각각격자 T 물성치와그 구배이고, r 은격자중심점에서부터의위치벡 터이다. 는기울기제한자이다. 이와같은선형내삽기법의경우격자내최대 / 최소분포가항상격자꼭지점에서발생하며, 각꼭지점에서물성치는 MP 조건에의해제한된다. 이를바탕으로다차원단조성을만족할수있는 MP 기울기제한자의범위는다음과같이정리할수있다. 0, (3) rertex rertex 이를만족하기위해 MP-u 기울기제한자는다음과같이구현할수있다. r f, r 0 MP r f T, r 0 (4) 1 f A r or, 는허용가능한변량대비예측 한변량이다. Maxmum prncple 을만족하도록 r 을결정할수있으며, 선행연구를통해서 MP-u1 / u 기울기제한자를제안한바가있다. (-4) 이러한 MP 조건은이론적으로 Maxmum prncple 을만족하여다차원공간에서단조성이보장됨을보일수있다. 기존기법과비교하여, MP 조건은인접하는주변격자정보를충분히이용한다. 그결과 MP 기법은다차원물리유동분포를포착할수있으며, 기존기법에비해정확성을향상시켰다. 또한 MP 조건은 ED (ocal Extrema Dsng) 조건 (10) 을다차원공간에서 만족하며, 안정성을보장한다. 37

3 3. 비정렬불연속갤러킨방법을위한 MP 제한기법 3.1. 불연속갤러킨기법다차원쌍곡편미분방정식은불연속갤러킨기법에따라다음과같이차분될수있다. T Q WdV t T FWdV T 0, F nwds (5) Q 는물성치벡터이고, F 는 Flux 벡터그리고 W 는실험함수벡터이다. n 은격자바깥방향으로방향벡터이다. DG 기법의경우, 격자내부의분포를형상함수의선형결합으로나타내며, 이함수는 k 차정확도를갖는다항함수공간 V 에서표시된다. 또한실험함수역시같은공간으로근사화된다. 터이고, n x, t Q t b x Q (6) Q 는격자 b 1 T 에서근사화된물성치벡 는형상함수이다. DG-MP 기법의경 우형상함수에관계없이적용할수있으나, 본연구에서는계산효율성을위해직교형상함수를사용하였다. 적절한수치 Flux 를이용할경우, 함수공간 V 로근사화된지배방정식은다음과같이표현할수있다. T Q T t T B dv 0, F Q B dv H Q k, Q k nb ds (7) Q k 는격자 T 에서주변격자 T k 방향 으로의경계면에서의물성치이다. H Q, Q 은 수치 Flux 함수벡터이고, B 는기저함수벡터 이다. 경계및영역에서는 Gauss Quadrature 법을 이용하여각각 p, p+1 까지의정확도를갖도록적용하였다. 불연속갤러킨기법의경우유한체적법과다르게, 인접격자정보만으로도매우높은정확도를유지할수있는장점이있다. 그러나, 불연속갤러킨기법만으로는쌍곡편미분방정식을해석하는데있어서안정성측면에서문제가있다. 이를보완하기위해본연구에서는기본적으로 KDG 기법을바탕으로연구를진행하였다. 이기법은안정적인수치적분법과강건한공간제한기법을통해안정성을확보하고자하는데, 본연구에서는공간제한기법을향상시키고자하였다. 시간적분기법으로는 3 차정확도의 TVD unge-kutta 기법과 5 단 4 차정확도의 SSP-K(5,4) 기법 (11) 을적용하였다. 3.. DG-MP 기법효율적으로고차정확도의계산을위해서는 troubled-cell 에대해서선택적으로제한자가적용되어야한다. 이런점에서정교한공간제한기법과더불어서정확한 troubled-cell 구분자는불연속갤러킨기법을이용한고정밀계산을하는데있어서매우중요하다. 기존에유한체적법에서는 MP 조건을이용하여 Maxmum prncple 을위배하는셀을찾고이셀에대해공간제한기법을적용하였다. 이때셀내부를선형분포로가정하였기때문에셀격자점에서분포를제한함으로써셀경계에서의값역시제한할수있었다. 그러나셀내부를선형이상의고차정확도로내삽하는경우이러한기준을바로적용하는데한계가있다. 고차다항식근사화된셀에대해 MP 조건만으로는 troubled-cell 을모두포착하는데한계가있다. 이를보완하기위해서아래와같이강화된조건을제안하였다. (8,9),,,, (8) 는격자 에서내삽된해이고, 는격자 를공유하는물성치의최 대, 최소값이다. 격자주위분포가이조건을위배하는경우그격자를공유하는모두를제한기법이필요한격자를 Troubled-cell 로판별한다. 38

4 이조건적용시 clppng 현상으로극점주위에서정확성이저해할우려가있다. 이를해결하기위해서국부적인극점을포착하는요소가추가적으로필요하다. MP stencl 을고려한가장간단한형태는다음과같다. Kx, (9) 식 (8) 과식 (11) 을이용하여새로운 MP-based Troubled-cell Marker 를제안할수있다. 이를최고차내삽기법에서계층적으로적용하여, 선형구간까지공간제한기법이필요한경우 MP-u 기울기제한자를적용하였으며, 이를 DG-MP-II 라하였다. 이기법은 3 차정확도이상의 P 내삽기법이상에서적용이가능하다. K 는유동현상에따라결정되는계수이며, 본계산에서는 K 를 1 에서 100 사이의값을사용하였다. 식 (9), (10) 를통해서개발한 MP-based troubled-cell Marker 과 MP 기울기제한자를이용하면다음과같이 MP 기법을불연속갤러킨기법으로확장할수있다. 우선개발한 troubledcell Marker 를이용하여유동변화가적은영역에서는고차정확도를갖는 DG 내삽법을사용하고유동변화가심한구간에서는 MP 기울기제한자를적용하여다차원수치진동을제어하였다. 이기법을 DG-MP-1 이라하였으며, P 내삽기법까지적용할수있었다. 그러나앞서제안한 DG-MP-1 기법의경우각유동현상에따른최적의 K 값을찾기어려우며, 이값은내삽기법의정확도에따라최적값이달라지는문제가있다. 이를해결하기위해서본연구에서는격자내분포를다음과같이선형구간과고차정확도구간으로분리하였다.,, k k (10) k,, 은격자 T k 에서꼭지점 내삽기법을적용한결과이다. 로 은 내삽 함수를선형함수공간으로투영한결과이다. 직 교기저함수를사용할경우 이다., P1 매끄럼게유동이변하는구간에서극점에서는다음과같은추측이가능하다. ocal Maxmum ocal Mnmum k k 0, 0,,, 0, 0,,, (11) 4. 수치실험결과 다양한수치실험을통해서제안한 DG-MP 기법의특징을확인하였다. 차원삼각형요소및 3 차원사면체요소에대해서 4 차정확도내삽기법까지적용하였다. P1 내삽기법에대해서는 DG- MP-u1, P 이상에대해서는 DG-MP-II 기법을적용하였다. 수치 flux 기법으로는 ocal ax- Fredrc 기법, oem 기법 (1) 과 AUSMPW+ 기법 (13) 을적용하였다. 효율적인계산을위해서 METIS lbrary (14) 를이용한격자분활및 MPI 병렬기법을적용하였다 등엔트로피와류전파문제충격파가없는영역에서수치기법의정확성을파악하기위하여, 비점성유동장에서등엔트로피와류의전파유동을해석하였다. 이경우 mean flow 에따라와류가그형상을유지하면서이동하는완전해를갖는다. mean flow 는 1, p 1 u, 1,1 그리고이다. 여, 기에다음과같은등엔트로피와류를가진하였다. 1 T e r u, e y, x, S 0. 1r, (1) 와류강도는 5 이고, x, y x x0, y y0 이고는와류중심그리고이다. 계산영역은 [-5,5]x[-5,5] 이고반복경계조건을주었다. 39

5 o MPu1 on DG-p1 MPu1 on DG-p MPu1 on DG-p3 Table 1. Grd refnement test at t=.0. Grd Order 1 Order 10x10x 7.96E- 6.03E- 0x0x 1.19E E x40x 5.9E E x80x 1.41E E x10x 1.44E- 6.04E- 0x0x.05E E x40x.71E E x80x 3.44E E x10x 3.1E E-3 0x0x.7E E x40x 1.7E E x80x 1.06E E Table 1 은격자조밀도에따른기법들의오차를비교분석하였다. Extrema detector 가성공적으로작동한결과불연속갤러킨기법이갖는정확도를유지하고있음을확인할수있다. 4.. Double Mac eflecton 문제이문제는수치기법의고해상도를파악하는데있어서널리알려진 bencmark 문제이다. 계산영역은문제의물리적인구성과동일하게, 30 기울기의빗면이있는관내부이며, 의강한이동충격파가부딪치면서생기는복잡한물리현상을해석하였다. ax-fredrc flux 기법을사용하였으며, 까지계산을수행하였다. Fg. 1 은삼각형요소의길이가 인격 자계에서밀도분포를유한체적법과불연속갤러킨기법으로비교한결과이다. MP 공간제한기법을적용한결과유한체적법및불연속갤리킨기법모두다차원수치진동을성공적으로제어하였다. 그러나유한체적법결과와비교하였을때, DG-MP 기법을적용한경우 Mac stem 주위의 sear layer 에서유동을훨씬정밀하게포착함을확인할수있었다 차원폭팔문제다차원공간에서충격파등의불연속구간에서수치기법의안정성을파악하기위해서 1 차원충격파관문제를구면불연속구간으로확장하였다. 대칭성을고려하여구의 1/8 형상만해석하였으며초기조건으다음과같다. Fg. 1. Comparson of densty contours around te regon of te double Mac stem, u,, w, p 1.0, 0.0, 0.0, 0.0,1.0, u,, w, p 0.15, 0.0, 0.0, 0.0, 0.1 (13) 격자는사면체요소의크기가 1 50 으로 393,300 개로구성되어있다. Fg. 는밀도대각방향으로밀도분포를 t 0. 5 일때나타낸결과이다. 구면대칭성을고려한 1 차원 Euler 방정식으로 10,000 개의격자결과, 유한체적법및불연속갤러킨기법해석결과를비교하였는데, DG- MP 기법이단조성을보장하면서도충격파구조를정확하게포착함을확인할수있었다 eference MP-u1, FVM MP-u1, DG-p1 MP-u1, DG-p x Fg.. Densty Dstrbuton along te Dagonal 330

6 5. 결론 본연구를통해서 MP 기법을불연속갤러킨기법으로확장, 구현하여비정렬격자계에대해고차공간정확도를갖는강건하고효율적인수치알고리즘을개발하였다. 특히 4 차정확도를갖는 P3 내삽기법대해서도성공적으로확장하였다. 개발한기법은복잡한다차원물리유동특징을불필요한수치진동을야기하지않으면서정확하게포착할수있다. 차원및 3 차원공간에서수행한다양한수치실험을통해서개발된기법이갖는다차원단조성만족, 향상된정확성및효율성등의여러장점을확인할수있었다. 후기 본연구는 011 년도정부 ( 교육과학기술부 ) 의재원으로국가수리과학연구소의주요사업 (No. A1001), 한국연구재단을통해교육과학기술부의우주기초원천기술개발사업 (NS, Natonal Space ab, 과제번호 ), 국토해양부건설기술혁신사업초장대교량사업단 (08 기술혁신 E01) 지원으로부터지원받아수행되었습니다. 참고문헌 (1) Km, K. H. and Km, C., 005, "Accurate, Effcent and Monotonc Numercal Metods for Multdmensonal Compressble Flow Part II: Multdmensonal mtng Process," Journal of Computatonal Pyscs, Vol. 7, pp. 570~615. () Park, J. S., Yoon, S. H. and Km, C., 010, "Multdmensonal mtng Process for Hyperbolc Conseraton aws on Unstructured Grds," Journal of Computatonal Pyscs, Vol. 9, pp. 788~81. (3) Park, J. S. and Km, C., 009, "Mult-dmensonal mtng Process on Trangular and Tetraedral Meses," Proc. of 19 t AIAA CFD Conference, AIAA (4) Park, J. S. and Km, C., 011, "Mult-dmensonal mtng Process for Fnte Volume Metods on Unstructured Grds," To be appeared n te specal ssue of Computers and Fluds (Proceedngs of ICCFD6) (5) Cockburn, B. and Su, C.-W., 1998, "Te unge- Kutta Dscontnuous Galerkn Metod for Conseraton aws V: Mult-dmensonal Systems," Journal of Computatonal Pyscs, Vol. 141, pp. 199~4. (6) Zu, J., Qu J., C.-W. Su and Dumbser, M, 008, "unge-kutta Dscontnuous Galerkn Metod Usng WENO mter II: Unstructured Meses," Journal of Computatonal Pyscs, Vol. 7, pp. 4330~4353. (7) Zu, J. and Qu J., 009, "Hermte WENO Scemes and ter Applcaton as mter for unge-kutta Dscontnuous Galerkn Metod III: Unstructured Meses," Journal of Scentfc Computng, Vol. 39, pp. 93~31. (8) Park, J. S. and Km, C., 010, "Mult-dmensonal mtng Process for Dscontnuous Galerkn Metods on Unstructured Grds," Computatonal Flud Dynamcs 010: Proc. of ICCFD6, Sprnger Verlag, pp. 179 ~ 184. (9) Park, J. S. and Km, C., 011, "Hger-order Dscontnuous Galerkn-MP Metods on Trangular and Tetraedral Grds," Proc. of 0 t AIAA CFD Conference, AIAA (10) Jameson, A., 1995, "Analyss and Desgn of Numercal Sceme for Gas Dynamcs, 1: Artfcal Dffuson, Upwnd Basng, mters and ter Effect on Accuracy and Multgrd Conergence," Internatonal Journal of Computatonal Flud Dynamcs, Vol. 4, pp. 171~18. (11) Sprer,. and uut, S. J., 001, "A New Class of Optmal Hg-order Strong Stablty Preserng Tme Dscretzaton Metods," SIAM Journal of Numercal Analyses, Vol. 40, pp. 469~491. (1) Km, S.S., Km, C., o, O.-H. and Hong, S.K., 003 "Cures for te Sock Instablty: Deelopment of a Sock-Stable oe Sceme," Journal of Computatonal Pyscs, Vol. 185, pp. 34~374. (13) Km, K. H., Km, C., and o, O.-H., 001, "Metods for te accurate computatons of ypersonc flows: I. AUSMPW+ sceme". Journal of Computatonal Pyscs, Vol. 174, pp. 38~ 80. (14) Karyps, G. and Kumar, V., 1998, "Multleelk-way parttonng sceme for rregular graps". Journal of Parallel Dstrbuton Computng, Vol. 48, pp. 96~

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歯522박병호.PDF 2001 The Effect of Nozzle Locaton on the Concentraton Profles n Chemcal Addton Tank,,, 305-353 150, dsk block, CFD FLUENT 5, Abstract A numercal analyss of the flow and necton characterstcs s performed