공기중에서 낙하하는 물체의 운동 이론(교사용)

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소민 교
5 years ago
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1 공기중에서낙하하는물체의운동 ( 교사지도자료 ) ( 사이언스큐브웹사이트 : 실험은지도교사의지도아래실시하고실험안전주의사항을반드시숙지하고지켜주세요. 1

2 1. 활동안내도움말 (Teacher Information) 공기중에서낙하하는물체는중력과공기저항에의한힘을받아서운동을하게된다. 이때물체에작용하는중력 (F w ) 은항상일정하지만공기저항력 (F d ) 은낙하하는물체의속도의제곱에따라증가하게되며, 이와같은관계를식으로나타내면다음과같다. 속도 v T a a=0 a a 시간 (a) (b) (c) [ 그림 1] 공기중에서낙하하는물체의시간에따른속도그래프와물체가받는공기저항력과중력과의관계를나타낸그림 질량 m 인물체가공기중에서낙하할때물체가받는힘 ΣF 의관계식은, ΣF = dp dt = F w F d = ma 여기서 F w = mg, F d = kv 2 이며, k = 1 2 CρA (C= 공기저항계수, ρ= 밀도, A= 단면적 ) 이다. 따라서위의식에서가속도 a 를구하면, a = g kv2 m...1 이된다. 일반적으로공기중에서물체가낙하할때받는힘은속도의제곱함수로감소하며, 물체의낙하속도는위의그림처럼시간이지남에따라서일정한종속도 (Terminal Velocity), V T 에도달하게된다. 이때 V T 는물체의중력과공기저항력이같아지는순간의속도이므로, F w F d =0 이된다. 2

3 따라서 mg kv 2 =0 이므로, v T = mg k = 2mg CρA...2 이된다. 가속도의식 1 은다음과같이해석해볼수있다. (1) 공기저항을무시할때 낙하하는물체의공기저항을무시하면식 1에서 v=0이되므로물체의낙하가속도는일정한중력가속도 (g) 의운동을하게된다. 이때뉴턴의운동제2법칙에서낙하하는물체의시간과속도관계는다음과같다. 지면에있는관측자가물체의운동을기술할때초속도 v 0 =0 인자유낙하운동으로보면, v = v 0 gt = gt 이다. 여기서속도가음 (-) 의부호를갖는의미는관측자가좌표계의원점에있을때연직아랫방향으로운동함을의미한다. 물체를떨어뜨린지점을 h 0 라고하면이물체의지면으로부터높이 h 는 h = h gt 2 이된다. (2) 공기저항을고려할때 위의그림에서구간 (a) 처럼물체가낙하를시작한후식 1 에서근사치로 kv 2 m = 1 2 CρA ( v2 m ) 0 으로둘수있는구간은다음의 [ 그림 2] 에서같이 a=g인직선을접선으로하는영역에해당하는부분으로물체의낙하가속도는중력가속도 (g) 의운동에근접하여보인다. C는 의값을가지며, 질량에비해공기저항을받는표면적 A가크지않은경우, 물체의공기저항에의한속도변화는작게되므로, 이구간의시간과거리는물체의질량이매우클수록길어질수있으며물체의질량이작을수록짧아질수있다. 3

4 속도 a=g T v 1 m 1 v 2 T m 2 v 3 T m 3 t 1 t 2 t 3 시간 [ 그림 2] 물체의질량에따른종속도그래프 (b) 구간에서는 1식에서같이물체의가속도가시간에따라서변화하는속도의함수로나타내지게되는데이는물체가시간에따라서변화하는힘을받게됨을말한다. 이때물체가받는힘의크기는공기저항력과중력의합력이므로이힘이 0 이되는순간에물체는가속도가 0 인등가속도운동을하면서아래로떨어지게된다. 일반적으로크기와모양이같은물체를가정할때, 위의 [ 그림 2] 처럼질량 m이클경우에는종속도에도달하는시간과종속도가크게되므로일반적으로지면에있는관측자가종속도를관측하기에는물체의질량에따라서매우다를수있음을알수있다. (3) 종속도와제 2 의종속도 (Terminal velocity and Super terminal velocity) 공기중에서낙하하는물체의속도는끝없이증가하는것이아니라 [ 그림 1] 의 (a)-(b) 구간을거쳐서 (c) 구간의일정한크기의값인종속도에도달하게됨을알수있다. 다음의표는여러물체들의종속도값을구한결과이다. 물체 종속도 (m/s) 종속도의 95% 도달거리 (m) 사람 야구공 테니스공 농구공 탁구공 9 10 빗방울 ( 반지름 1.5mm) 7 6 낙하산 ( 스카이다이버 ) 5 3 [ 표 1] 여러가지물체의종속도비교표 - Halliday, Resnick, and Merrill, Fundamentals of Physics. (1974). NY:John Willey & Sons. pp

5 같은높이에서지면으로떨어질때종속도가큰물체는충격을크게받게된다. (b) 구간에서스카이다이버가낙하산을펴게되면종속도가크게작아지게되는데이때충격량과물체의속도에관한식은다음과같다. dp = F (t )dt...3 위의 3식에서충격량과운동량의변화 dp에관한정리식에서볼수있듯이물체의속도변화량이크면충격량이커지게되며따라서스카이다이빙은지면과충돌할때의속도변화를작게하기위하여공기저항을크게함으로써종속도를줄이는원리를이용하게된다. 이와같이스카이다이버가종속도에이르기전에낙하산을펼쳐서공기저항을다르게하여새로운종속도에도달하게되는경우를제2의종속도 (Super terminal velocity) 라고할수있다. 실험예 ) 질량 2g인풍선을반지름 11.0cm로부풀려서구의형태에가깝게만든다음자유낙하실험을하였다. 풍선의종속도를 WMBL로실험한결과와이론으로계산한결과를비교해보자. ( 해답 ) : 풍선의종속도는 v T = mg k 2mg = 에서구할수있다. CρA m = kg g =9.8 m/s 2 C =0.6 m =1.2 kg/ m 3 A = πr 2 = ( ) 2 m 2 (2 ) (2 10 v T = 3 ) (9.8) (0.6) (1.2) (3.1) ( = 1.2 m/s ) 5

6 2. 활동안내 [ 웹을통해공부하기 ] 이내용에대해좀더공부하고자할때는아래의검색어로검색을해본다. 검색어 : 공기저항, 종속도, 자유낙하운동, 등가속도운동, Terminal Velocity, Terminal Speed 검색결과사이트예시 : 6

7 교육과정자문 이창훈 전문연구원 한국교육과정평가원 교육과정연구개발 김현수 프로그램 ( 활동 ) 개발 운영 MBL 전문컨설턴트 대회프로그램의활동에관한문의는웹사이트 ( 를이용해주시기바랍니다. 안내서에관한문의는김현수 (seer@sciencecube.com) 에게하기바랍니다. 7

격량의크기와충돌시간은 가,, 가, 이므로, 평균힘의크 기는 는, 는 로 ( 나 ) 에서가 ( 가 ) 에서보다더크 11. 두수레의충돌비교하기정답 5 질량과속도가같은 A, B 가정지했으므로 A, B 의운동량변화량은같고, 에서충격량도같 많이찌그러진 B 의충돌시간이더길 므로충

격량의크기와충돌시간은 가,, 가, 이므로, 평균힘의크 기는 는, 는 로 ( 나 ) 에서가 ( 가 ) 에서보다더크 11. 두수레의충돌비교하기정답 5 질량과속도가같은 A, B 가정지했으므로 A, B 의운동량변화량은같고, 에서충격량도같 많이찌그러진 B 의충돌시간이더길 므로충 1. 정답 3 손을뒤로빼면서물풍선을받으면풍선이정지할때까지의시간이길어져충격력이작아지므로풍선이터지지않게된 운동량의변화량이같은경우시간을길게하여힘을작게하는것은ㄱ, ㄴ의경우가된 ㄷ. 물로켓의발사는작용반작용의원리를이용한것이 2. 정답 2 ㄱ. 같은크기의힘으로불고있으므로대롱의길이에관계없이충격력은같 ㄴ. 대롱의길이가길수록힘이작용하는시간이길어서충격량이더크 ㄷ. 따라서대롱이길수록운동량변화량이크므로화살의운동량이더크