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1 유체정역학 Fluid Statics 이동현상이론 (MSA0013) 창원대학교신소재공학부 정영웅

2 유체정역학 ( ), Fluid statics qthe study of fluids at rest; 정지상태의유체 (fluid) 에대한학문 Ø 유체정지압력 Ø 기압 Ø 부력 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 2

3 압력의개념 q 기체를담고있는용기의벽에가해진힘으로인해압력생성 q 압력은기체속원자 / 분자가벽과충돌하여생긴운동량의 ( 시간에따라계속하여발생하는 ) 변화에기인 Ø 운동량변화율 " 운동량시간 = "( 질량 속도 ) 시간 = "('() ) q 단위? SI system 을사용한다면.. Ø 운동량의단위는 kg m/s; 시간의단위는 second Ø 따라서운동량변화율의단위는 kg ' 0 1 Ø 위단위는힘의단위로알려진 Newton(N) 과같다. Ø 즉, 운동량변화율의단위는힘 (force) 단위와동일. 기체에의해용기의벽에가해진힘은기체원자 / 분자가용기의벽과충돌할때생기는운동량의변화때문에생긴다. 시간에따른운동량변화률 : 가상의면에작용하는힘 Force = < 위의결론은기체, 액체와같은유체 (fluid) 에공히적용된다. 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 3

4 압력의개념 q 정지유체 ; 정적 ( 힘 ) 평형상태 Ø 정지유체내의주어진한위치에서의유체가가진압력은모든방향으로같은값을가진다. v ( 주의 ) 위치에따라유체가가진압력값은달라질수있다. Ø 위를아래의유체요소 (element) 를사용하여증명 힘평형상태 한계 (system) 에서 vector 로표현된힘은 어느방향 에서든 zero. y x 유체가 힘평형 상태라면어느방향으로든힘평형이되어야한다 모든 force component 들이각각 zero F " = P " Δ' 1 F " ) = F " sin ϕ = P " sin ϕ Δa F " 0 = F " cos ϕ = P " cos ϕ Δa 단위두께즉두께 =1 교재그림 1.1 위유체 ( 빗금 ) 는중력장 (gravity field) 에영향을받고있다 F 4 = P 4 Δb 1 F 4 ) = F 4 sin θ = P 4 sin θ Δb F 4 0 = F 4 cos θ = P 4 cos θ Δb F = = P = Δc 1 F = ) = 0 F = 0 = P = Δc 9 9 : = 9 9 ; = 0 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 4

5 압력의개념 0 1 = = = : = 2 0 : 3 = 0 : : : : = 0 3 qa few more inputs considering the geometric features! Øsin θ = Δy/Δb Øcos θ = Δc, /Δb Øsin ϕ = Δy/Δa Øcos ϕ = Δc / /Δa 0 1 = P < sin ϕ Δa P? sin θ Δb = 0 0 : = P < cos ϕ Δa P? cos θ Δb + Δc w = 0 ΔE C ΔB / ΔB ΔG D ΔB, ΔF qweight (w; body force; 체적력 ): Øw = mg = ρgv = /, ρgδcδy F I = P < sin ϕ Δa P? sin θ Δb = 0 P < Δy/Δa Δa P? Δy/Δb Δb = 0 P < P? = 0 P < = P? F L = P < cos ϕ Δa P? cos θ Δb + Δc w = 0 P < M@ N Δa P M< < M@ O Δb + P Δc w = 0 P < Δc / P < Δc, + Δc w = 0 P < ΔB + Δc w = 0 P < Δc 1 2 ρgδcδy = 0 P < ρgδcδy/δc = 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 5

6 압력의개념 P " = P $ P " ρgδ+ = P, 우리가사용한유체요소가실제유체의 한점 을모형화 (modeling) 한것이므로, 무한히작은부피 ( 체적 ) 을대표하여 P " P, 정지유체내의어떠한점의압력은모든방향으로같은값을가진다. 정지유체내에유일한힘은세면의수직방향으로작용하는힘 ( 앞에서 F ", F $, F, 으로표기했던힘요소 ) 그리고중력장에의한무게힘 w ( 체적력 ; body force) 뿐이다. 앞서살펴본바에따르면, 유한한크기를가진유체요소에작용하는힘 F ", F $, F,, w 를살펴보았고, 그중에서 w 는위치에따라변한다. 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 6

7 위치에따라변하는 w ( 유체기둥의예 ) 중력장 (") 내의 z 면위에위치한유체기둥 사용된좌표계 z y x z 면 과 + + Δz 면 사이에서 z 축방향으로수직압력차이가존재한다. + + Δz 면 + + Δz 면 수직압력차이는수직 힘 차이로이어진다. 이런힘차이는, 중력장에놓인유체가중력작용방향으로 두께차 Δz 를가질때생긴다. z 면 & ( : 중력장에의해 Z 면에작용하는 z 축방향수직압력 & ( *: z 위치에서작용하는힘 Q: Δz 만큼의두께차이로인해달라지는수직 ( 압 ) 력차이는어디에기인하나? A: Δz 만큼의두께사이에끼인유체에작용하는중력장의힘 ( 즉무게 ) 따라서, P / 012( A P / 0 A = ρ g V = ρ g A Δz P 012( A P 0 A Δ+ 위를 rearrange: = ρ g A P 012( P 0 Δ+ ;& ;+ = lim P 012( P 0 = ρ g 2(? Δ+ = ρ g 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 7

8 Recap, pause, break q 압력의 origin ( 분자 / 원자의시간당운동량의변화 ; 운동량변화율 ) q 중력장내에위치한유체는중력장에의해중력장방향으로 체적힘 을받게된다. q 유체기둥모형을이용하여중력장에의한체적힘을유체의밀도 (ρ) 와중력장의세기 ( #, 즉중력가속도 ) 를사용하여나타내었더니, 다음의결론을얻었다 : Ø $% $& = ) # Ø 중력장방향으로작용하는유체내의압력 P 는중력장이작용하는방향 ( 앞서기준이되는좌표계의 z 축은 g 방향과반대로설정했었다.) 으로이동할수록점점커진다. # 사용된좌표계 z y x +, +- = ) # 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 8

9 정지한유체 ( 사용된좌표계 z y x Example!"!# = & ( 수족관내의물의밀도가 1 [g/cm 2 ] 으로일정하다 (incompressible). 대기압이 Pascal 일때깊이 5 m 에서의수압을계산하라. 해석적해 수치적해 Let s fix Δ# = 0.1 [8] 수족관내의물의밀도가깊이에따라달라진다면? 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 9

10 Application to atmosphere q 대기 (atmosphere) Atmosphere!" = $% & ) = 1 " =!& $% Earth 만약대기가이상기체거동을한다면? y z x!" = $% & 만약대기가이상기체거동을한다면? P: pressure V: 단위질량당부피 (= 1/)) R: 기체상수 T: 온도 ( 절대온도 ) M: 기체의분자량 -! -. = )0 -! -. = 0!& $% -!! = 0 & $% -. 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 10

11 이상기체방정식 q!" = $%& = '( ) & ØP: Pressure of the gas ØV: Volume of the gas Øn: the amount of substance of gas (the number of moles; 몰수 ) ØN: The number of gas molecules (' * $; 아보가드로의수 몰수 ) Ø( ) : Boltzmann constant ØT: the absolute temperature of the gas. qmolar form: Ø 기체의 량 을정확하게나타내기위해서몰수대신, 정확한질량을사용할수있다. Ø 질량 (m) 은분자량 ( 기호 M; 단위 -./0 12 ) 곱하기몰수 ($) 로나타낼수있다. v. = 3 $ v $ =./3 q!" = $%&!" = 6 7 %&! 8 6 = 2 7 %& Ø 여기서 8 6 를단위질량 m 에해당하는부피 ( 9") 로나타내면! 9" = 2 7 %& Ø 그리고 2 ;8 = 6 8 = < 로표현가능. 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 11

12 Application to atmosphere!" " = %& '(!) +!". * +, " = * %& - '(!) = %&. '( *!) - ln "/" - = %& '( ) 또는 " = exp %& " - '( ) 온도, g가 z에무관하다가정 At z = 0, P = P - At z = z, P = P 온도는 z 에영향을받는다 ( 온도는높이올라갈수록떨어진다 ) 예를들어 1000m 올라갈수록 6.5 C 만큼 RT 에서감소한다면, 다음과같이온도 T 는 z 에대한함수로표현가능하다 : (()) = )!" " = %& ' )!) 기압공식 (barometric formula) 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 12

Numerical solution?!" " = %& ' 298 6.5 1000 0!

13 Numerical solution?!" " = %& ' !0 Boundary condition: at z=0, P=1 [atm] z 에따른 P 의변화를살펴보자 P(z) Let s fix Δz = 0.01 Let s fix z 3 = 0, P 3 = 1 What is ΔP =? Δ" = " %& ' Δ0 = " 3 %& ' Δ0 엑셀을활용한풀이 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 13

Torricelli experiment 전체관에비해서, 비어있는관의길이가얼마나긴지측정 뒤집어 아하! 수은조내의대기와의경계면 ( 자유표면 ) 에작용하는대기압에의해수은이 정지 해있군! 수은이가득찬실린더 수은조 다양한대기압에서반복시에빈관의길이가변한다. 왜? 위수은은중력장내에서 정지 한유체이다.

14 Torricelli experiment 전체관에비해서, 비어있는관의길이가얼마나긴지측정 뒤집어 아하! 수은조내의대기와의경계면 ( 자유표면 ) 에작용하는대기압에의해수은이 정지 해있군! 수은이가득찬실린더 수은조 다양한대기압에서반복시에빈관의길이가변한다. 왜? 위수은은중력장내에서 정지 한유체이다. 수은이정지해있는것으로보아경계표면의대기압과, 관내의수은에작용하는중력사이에힘평형이있구나! 자유표면 (free surface): 압력이작용하지않는면 ; 혹은압력이무시해도될만큼적거나, 효과적이지않은면 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 14

15 Torricelli experiment B 지점에서의유체압력 대기와의경계표면 A 에작용하는대기압 따라서, B 지점의압력을구하여대기압을측정할수있다!! 그렇다면, B 지점의압력은어떻게구하나? 바로, B 지점위로실린더내에존재하는수은기둥에작용하는중력 ( 무게 ) 과관련. 수은이비압축성 (incompressible) 액체라면높이 ( 압력 ) 에상관없이밀도가일정 B 지점에서의작용힘 = mg = ρ area height g 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 15

16 Torricelli experiment h=0 P # = 0 P # = ρgh h 높이의관내 자유표면 에서의압력 =0 h=h B 지점에서의 z 방향작용힘 (F # ) = mg = ρ area height g B 지점에서의 z 방향압력 : P # = F # /area 수은의밀도, 그리고중력가속도를안다면, 수은주기둥의높이로대기압측정할수있다! 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 16

17 게이지압력, 절대압력 q 타이어의압력을측정하는압력계는, 타이어내부의공기압을측정하는것이아니라, 타이어내부의공기압과측정하고있는환경에서의대기압사이의차이를측정하는것이다. 대기에의한압력 ( 대기압 ) 진공아래 ; 표면에작용하는압력없음 (free surface) 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 17

18 게이지압력, 절대압력 P # : 대기압중력장 (g) 작용방향 A, B 위치에서같은단면적을가지므로, 두지점사이의힘평형조건은압력평형 C 조건으로생각할수있다 (F=PxA) B 지점이받는압력 h 높이만큼의수은이주는체적력 / 단면적 C 에서의대기압 P # P " = ρgh + P # P " : 타이어내부 A B 사실, 압력계는 ρgh 를통해 P " * # 값을측정하며, 이는대기압과의 상대적 압력크기차이이다. 이를 게이지 (gauge) 압력 이라한다. 타이어의절대압력값은 P " 으로 gauge 압력에대기압을더해서구할수있다. 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 18

19 Recap 정지 유체내의 어떤 임의의 점에서도 압력은 모든 방향으로 같은 값을 가진다. P# : 대기압 중력장 (g) 작용 방향 진공아래; 표면에 작용하는 압력 없음 (free surface) P" : 타이어 내부 Reading assignment: 두가지 섞이지 않은 액체로 된 압력계 p16-p17 3/5/19 이동현상, 정영웅@창원대 신소재 공학부 19 C A B

20 수압 q 다이버 (diver) 들이느끼는수심에따른압력변화? 얇은판 % 사용된좌표계 z y x h L da w dh At free surface: P ' = 0 At h, what is P '? (P ' = *%h) At h, What is P,? What is P -? P h ( 깊이 ) y 방향으로판에작용하는힘 (F - )? df - = P da F :;:<= = df - = 3 P da = 3 PdA = P h wdh 568 = 3 * % h w dh 567 박판전체에가해지는 평균압력 은? 전체힘 / 전체판의너비 = CDEFG A /(?@) = CDF A 박판의길이반쯤에서작용하는수압과같다 = *%? 3 568h dh = *%?@A /5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 20

21 수압 q 다이버 (diver) 들이느끼는수심에따른압력변화? 삼각형판? % 사용된좌표계 z y x 삼각형판전체에가해지는 평균압력 & '( = *%+ 풀이과정은 3 교재참고 박판전체에가해지는 평균압력 은? & '( = *%+ 2 아하! 수평판에작용하는평균압력은판의무게중심 (centroid) 에작용하는 ( 국소 ) 압력값과같구나! 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 21

22 Another example F "#"$% = df ) = * P da + h L 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 22

부력 ( 浮力 ; buoyancy) Any object, wholly or

23 부력 ( 浮力 ; buoyancy) Any object, wholly or partially immersed in a fluid, is buoyed up by a force equal to the weight of the fluid displaced by the object Archimedes principle 액체상태의수은위에 British pound coin 이부력에의해떠있다. 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 23

Fluid 그렇다면 그 부력은 얼마만큼(정량적으로) 작용하는 건가? *Slide 4 아래의 원통형 체적 요소에서 fluid와 닿는 면은 위 아래 깊이 levels 1, 2밖에 없다.

24 Archimedes principle Solid는 중력장의 영향으로 아래로 가라 앉으려는 힘이 작용 관찰: 물속에서는 무거운 물건을 들어올리는게 더 쉽다. 왜? Solid object w = mg % 사용된 좌표계 z y x 물체가 가볍다는 느껴진다는 것은, 무게에 반대 방향으로 떠올리려는 부력 작용하기 때문이다! Fluid 그렇다면 그 부력은 얼마만큼(정량적으로) 작용하는 건가? *Slide 4 아래의 원통형 체적 요소에서 fluid와 닿는 면은 위 아래 깊이 levels 1, 2밖에 없다. 정지 유체내의 한 임의의 점에서 압력은 모든 방향으로 같은 값을 가진다. *Slide 17 L h da dh F./.01 = df3 = 4 P da 5 w 교재 25p, 그림 /5/19 이동현상, 정영웅@창원대 신소재 공학부 24

부력 유체에잠긴상자의기둥체적요소에작용하는부력구하기 깊이 1 깊이 2 df " = P " da 체적속의기둥에실제로위

AB = df D = $ P da E 깊이 1 깊이 2 = (, : *5) + (, ; *5) = ()h : *5

25 부력 유체에잠긴상자의기둥체적요소에작용하는부력구하기 깊이 1 깊이 2 df " = P " da 체적속의기둥에실제로위 (z 방향 ) 으로유압에의해작용하는힘은위아래두면뿐이다. h 기둥요소에전체에작용하는유앞에의한 떠오르는방향의힘요소 : df " =, - at level 1 *5 +, - at level 2 *5 L *Slide 17 da w dh F?@?AB = df D = $ P da E 깊이 1 깊이 2 = (, : *5) + (, ; *5) = ()h : *5 + ()h ; *5 = ()(h ; h : )*5 = ()*+ F " = $ df " = $ ()*+ = ()+ % ' F = df " (:) + df" (H) + df" (I) 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부

26 Recap 기체에 의해 용기의 벽에 가해진 힘은 기체 원자/분자가 용기의 벽과 충돌할 때 생기는 운동량의 변화 때문에 생긴다. *Slide 4 정지 유체내의 어떤 임의의 점에서도 압력은 모든 방향으로 같은 값을 가진다. ln!/!) = 또는 $+.,-! $+ = exp.!),:! = # $ :. *Slide 17 h L da! = #$ℎ dh 기압 공식 (barometric formula) P) : 대기압 진공아래; 표면에 작용하는 압력 없음 (free surface) 중력장 (g) 작용 방향 C w F5 = 6 df5 = 6 #$:; = #$; 7 3/5/19 9 이동현상, 정영웅@창원대 신소재 공학부 26 P3 : 타이어 내부 A B

27 연습문제풀이 q예제 1.1 q사각형금속물탱크는수면에서아래로 1m 지점에유리창가지고있다. q이때, 1000!"/$ % 밀도의물이창에작용하는힘은? q& = & ( + * " h q- = / & 01 3/5/19 이동현상, 창원대신소재공학부 27

2 장정수역학 ( 靜水力學 ) 압력 (pressure) - 정의 : 단위면적당작용하는힘 - 단위면적 (SI : 1m 2, 또는 1cm2 ) 당미치는압축응력 작용하는힘 Pa 면적 - 압력의단위 SI 단위 : Pa(pascal)=N/ m2, MPa Pa 공학단위 : kg

2 장정수역학 ( 靜水力學 ) 압력 (pressure) - 정의 : 단위면적당작용하는힘 - 단위면적 (SI : 1m 2, 또는 1cm2 ) 당미치는압축응력 작용하는힘 Pa 면적 - 압력의단위 SI 단위 : Pa(pascal)=N/ m2, MPa Pa 공학단위 : kg 물의비중량 ( 단위중량 ) w Nm (SI 단위 ) kg f m ( 공학단위 ) 물의밀도단위 kgm (SI 단위 ) kg f sec ( 중력단위 ) w w g w w g msec sec 유체의점도 (Viscosity) U Δy 평균유속 ( 가정 ) 실제유속분포 U B - 전단응력 = 유속차이가있는층사이에발생하는단위면적당전단력 ( 마찰력 ) : 전단응력 ([F/L