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다안 영
5 years ago
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1 응력불변량 방향코사인 ( 방향여현 ) : N S l ON OA m ON OB n ON OC x 방향의힘평형 : 사면체의체적 : ABC S OBC + OAC τ + OAB τ x x x zx V ABC ON OBC OA OAC OB OAB OC S OBC OAC OAB + τ + τ ABC ABC ABC ON ON ON x + τ x + τzx OA OB OC l + mτ + nτ x x x zx x x zx S lτ + m + nτ x z () S lτ + mτ + n z xz z z

2 또한 S ls + ms + ns n x z ( x τ x τzx ) ( τx τz ) ( τxz τ z z ) ll + m + n + ml + m + n + nl + m + n l + m + n + ( lmτ + mnτ + nlτ ) x z x z zx S S S S + S + S S s n x z n () 만약, S s 0 정리하면, Sn S ls l + mτ + nτ x x x zx S ms lτ + m + nτ x z S ns lτ + mτ + n z xz z z S ( 주응력 ), 이때의경사면을주응력면 ( ) τ τ 0 l S m n x x zx 0 lτ + m S nτ x z 0 lτ mτ + n S xz z z ( x + + z ) ( τx + τ z + τzx x z z x ) ( x z τxτ zτzx τ x z τ zx τ z x ) 0 S S S + () (4) I x + + z I τ + τ + τ x z zx x z z x I τ τ τ τ τ τ x z + x z zx x z zx z x 응력불변량 만약좌표축이주응력방향과일치하면, (5) I + + I + + I

3 (,, ) 편차응력 에의한변형 () 체적변화 일반적인편차응력 () 형상변화,,, τ, τ, τ x x m m z z m x z zx 편차응력의불변량 I I I ( m, m, m) (,, ) 단, ( m) ( m) ( m) I + I I 0 m m m m 편차응력 I m ( + + ) { } ( ) ( m)( m) ( m)( m) ( m)( m) ( ) m I I I I + I ( )( m m)( m) I I I + I + I 7 I I + 9 II + 7 I 7

4 편차응력의불변량을일반응력으로표현 I I + I ( ) ( ) ( ) x z x m m z m x z m I x + + z 0 I I + I ( x z zx ) τx τ z τzx ( x z ) { } x z z x 6 τx τ z τzx

5 von Mises Yield Criterion( 전단변형에너지조건 ) I 가임계치에도달했을때항복이시작 즉, ( ) + ( ) + ( ) C 6 ) + ( ) + ( ) ( C 또는 C 를결정하기위해단축인장조건을고려 즉, Y 0, Y C 순수전단 (ure shear) 상태를고려 즉, k, 따라서 von Mises 항복조건은 k C ) + ( ) + ( ) Y 6 ( k 또는일반적인응력항으로표현하면 x ) + ( z ) + ( z x ) + 6( τ x + τ z + τ zx ) Y ( 6k k Y

6 Tresca Yield Criterion( 최대전단응력조건 ) 최대전단응력이임계치에도달했을때항복이시작 C 또는 C ) max min ( C 를결정하기위해단축인장조건을고려 이고단축인장상태에서항복은 Y max, 즉, 0 Y C 일때일어남 순수전단 (ure shear) 상태를고려 즉,, min, max 0 순수전단상태에서는최대전단응력이전단항복강도, 항복이일어남. 즉, k k 에도달하면 k C 따라서 Tresca 항복조건은 Y k Y k

7 항복조건의비교

8 항복조건의검증항복조건들의타당성을입증하기위한여러가지실험적연구들이수행이들연구에사용되는보편적인실험방법은얇은원통형시편에내압이나비틀림하중을가하거나, 두하중을동시에가하여항복을일으키는하중의크기를구함. 이로써하중의형태에따라주응력간의비율이다른평면응력상태를얻을수있다. 다양한종류의연성재료들의항복거동에대한실험에의하면, 전단변형에너지조건이최대전단응력조건보다실험결과가더잘일치하는것으로알려져있다. 따라서연성재료를취급하는소성가공공정들의해석에서는전단변형에너지조건의사용이바람직함을알수있다. 그러나보다간편한형태인최대전단응력조건도사용상의편리함때문에현장설계자들에의해많이사용된다.

9 금속판재의특성 : 이방성 (Anisotro) - 항복조건 Hill - 등방경화법칙

10 Effective stress 유효응력 : 응력성분값들을일축항복응력에상당하는응력값으로정의 ( 상당응력또는대표응력 ) Tresca 항복조건의경우 von Mises 항복조건의경우 [( ) + ( ) + ( ] ) [( ) + ( ) + ( ) + 6( τ + τ τ )] zx x z z x x z + Effective strain ( ) ( ) ( ) ( ) γ + γ + γ { } { } x z x z zx ( x ) ( z ) ( z x ) 6{ γ x γ z γ zx}

11 Effective Strain 단위체적에대한일률 : dw + + 단순화를위해 lane stress 고려 : 0 + ( + αρ ) α ρ ( + αρ ) 여기서, Flow rule을이용 : 0 ρ / α / α ρ + α + ρ 식 (4) 를식 () 에대입 () () () (4) ( + ρ+ ρ ) /( + ρ) von Mises 항복조건 : 0 (5) + α + α 식 (4) 를식 (6) 에대입하여정리하면, + ρ + ρ+ ρ 식 (7) 을식 (5) 에대입하면, + ρ+ ρ + + 또한아래의관계식이성립하므로 따라서식 (8) 은 ( ) ( ) (6) (7) (8)

12 Flow Rule Prandtl-Reuss Eq. : elastic-erfectl lastic material x dγ z x dγ z dγ zx dλ τ x τ z τ zx x z dλ () dλ dλ x x x m { x ( x z) /} dλ ( /) dλ x ( /)( z) ( /) d { ( /)} ( /) d ( /) + + { } + λ + z x { } λ + dγ z z x x dλτ x () dγ dγ z zx dλτ dλτ z zx

13 dλ 를구하기위해, { } { } ( /) ( /) ( /) ( /) dλ ( /)( x ) dλ x x z z x ( x ) ( dλ) ( x ) 따라서 { } ( x ) + ( z ) + ( z x ) + 6 ( dγ x ) + ( dγ z ) + ( dγ zx ) { } ( dλ) ( ) 6( x z z z τx τ z τzx ) () ( 9/)( ) ( dλ) ( ) dλ (4)

14 식 (4) 를식 () 에대입, x x + z z + x z z x + dγ dγ dγ x z zx τ τ τ x z zx Total strain increment + e ν + δ m + G E (5) 탄성변형률증분 소성변형률증분

15 Flow Rule Lev-von Mises Eq. : rigid-erfectl lastic material ( 탄성변형무시 ) d d x γ γ dγ τx τ z τzx z x z zx x z dλ dλ 앞서와유사한방법으로정리하면, 응력 - 변형률속도관계 식 (5) 또는 (6) 을이용하면, (6) x x + z z + x z z x + γ γ γ x z zx τx τ z τzx (7)

16 유동법칙 (flow rule) 재료의항복이후소성변형이진행되는동안응력 - 변형률관계는유동법칙으로나타낼수있음. 유동법칙은다음과같이변형률증분의형태로나타낸다. + d d 평면변형률상태가유지되는경우에는이므로, 중간응력인는다음과같이최대주응력과최소주응력의산술평균이된다. + d d + d d 0 + m where d d δ,

17 체적변형률 E ν + 일반화된후크의법칙 [ ν ( + )] [ ( )] E [ ν ( )] + E 일반화된후크의법칙으로부터탄성변형시의체적변형률은다음과같다. 체적변화량 ν v 초기체적 E 탄성영역에서는 인장시편의체적은증가되고압축시편의체적은감소 재료의체적탄성계수 (bulk modulus) 는다음과같이정의 여기서 m K m v ( 0 <ν < 0.5) E ( ν ) ( + ) 은평균응력또는정수압응력 (hdrostatic stress); 소성가공에서는체적변화가없으므로 ( 체적일정조건 ), 이조건은두변형률을알고나머지한변형률을구할때편리하게사용 v m 이성립 ( + )

Microsoft PowerPoint - solid_Ch 8(5)-(note)-수정본.ppt

Microsoft PowerPoint - solid_Ch 8(5)-(note)-수정본.ppt Stress and Strain Ⅴ Metal Forming CA Lab. Department of Mechanical ngineering Geongsang National Universit, Korea Metal Forming CA Lab., Geongsang National Universit 주응력축과주변형률축과의관계, G의관계 주응력과주변형률축은일치하는가?