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1 한국해양공학회지제 27 권제 5 호, pp 36-42, 2013 년 10 월 / ISSN(print) / ISSN(online) Journal of Ocean Engineering and Technology 27(5), 36-42, October, 하모니서치알고리즘과고유진동수제약조건에의한트러스의단면과형상최적설계 김봉익 * 권중현 * * 경상대학교해양토목공학과 Optimum Design of Truss on Sizing and Shape with Natural Constraints and Harmony Search Algorithm Bong-Ik Kim* and Jung-Hyun Kown* *Department of Ocean Civil Engineering. Gyeongsang National University. Jinju, Korea KEY WORDS: Optimum design 최적설계, Natural frequency 고유진동수, Harmony search algorithm 하모니서치알고리즘 ABSTRACT: We present the optimum design for the cross sectional(sizing) and shape optimization of truss structures with natural frequency constraints. The optimum design method used in this paper employs continuous design variables and the Harmony Search Algorithm(HSA). HSA is a meta heuristic search method for global optimization problems. In this paper, HSA uses the method of random number selection in an update process, along with penalty parameters, to construct the initial harmony memory in order to improve the fitness in the initial and update processes. In examples, 10-bar and 72-bar trusses are optimized for sizing, and 37-bar bridge type truss and 52-bar(like dome) for sizing and shape. Four typical truss optimization examples are employed to demonstrate the availability of HSA for finding the minimum weight optimum truss with multiple natural frequency constraints. 1. 서론동적하중을받고있는구조물은비교적낮은진동수의동적하중으로인해구조물에심각한손상을준다. 특히구조물의고유진동수와동적하중에의한진동수가일치할때발생하는공진으로인해구조물에큰피해를발생시킨다. 이처럼구조물의공진을피하기위해서는우선구조물의고유진동수를알아야하며, 이를바탕으로구조물에서동적하중에의한진동수와구조물의고유진동수가일치하지않도록설계되어야할것이다. 그리고진동수제약을사용하는구조물최적설계는비선형문제가되어이를해결하는데는많은어려움이따른다. 그런고로수학적인접근방식보다는확률론적인알고리즘을사용하는것이효율적이라하겠다. 진동수제약조건및형상최적화에의한트러스의최적설계는 Kaveh and Zolghadr(2012), Lingyun et al(2005), Gomes(2011), Wang et al.(2004), Sedaghati et al.(2002), Kim(2012), Park et al.(2005) 등많은학자들에의해연구되었다. Kaveh and Zolghadr (2012) 는 Charged system search - Big bang big crunch(css- BBBC) 방법을사용하여트러스의단면및형상최적화를연구하였다. Lingyun et al.(2005) 은동적제약조건을고려한트러스의형상및단면의최적설계에 Niche hybrid genetic algorithm (NHGA) 을사용하여최적화하였다. Gomes(2011) 는 Partical swarm optimizer(pso) 방법을사용하여트러스의단면및형상최적화를연구하였으며, Wang et al.(2004) 은 Optimality criteria를사용하여트러스의단면및형상을최적설계하였다. Sedaghati et al.(2002) 는진동수제약조건을고려한트러스와프레임구조물에 Finite element force method 를사용하여수학적알고리즘으로최적설계하였다. Kim(2012) 은고유진동수제약과유전자알고리즘을사용하여트러스의단면최적화를연구하였다. Park et al.(2005) 은트러스의단면과형상에대해유전자알고리즘을사용하여최적화하였다. 본연구에서는고유진동수제약조건을적용한트러스의단면및형상최적화를연구하였다. 최적화기법은하모니서치알고리즘 (Harmony search algorithm) 을사용하였다. 하모니서치알고리즘은확률론적접근방식에근거하여주로전공간탐색에매우효과적으로사용되는검색방법이다. 이는유전자알고리즘은 Received 21 June 2013, revised 11 September 2013, accepted 10 October 2013 Corresponding author Bong-Ik Kim: , bikim@gnu.ac.kr c 2013, The Korean Society of Ocean Engineers 36

2 하모니서치알고리즘과고유진동수제약조건에의한트러스의단면과형상최적설계 37 이진수를사용하지만하모니서치알고리즘은십진수를사용한다는점만차이가있을뿐최적화에서의탐색방법은매우유사하다. 특히, 하모니서치알고리즘은일반적인최적화기법과는달리최적화과정에서함수의연속성및미분이요구되지않고확률적인접근방법으로비선형문제의최적화문제에아주적합한검색방법이라하겠다. 최근에는하모니서치알고리즘을사용한구조물의최적화문제에대한연구도많이다루어지고있다 (Erdal et al., 2011; Saka, 2009; Lee and Geem, 2004). 본연구에서트러스구조물의설계예제에는동적제약조건 ( 고유진동수 ) 과최소단면제약조건을가지는 10-bar, 72-bar 트러스를대상으로하였으며, 37-bar 교량형트러스와 Dome(52-bar) 의경우는고유진동수제약조건과최소단면및형상최적화를위한절점좌표의제약조건이적용되었다. 2. 구조물의최적화문제형성구조물최적화에는다양한설계조건들이있으나주로비용이최소가되게하든지아니면총무게가최소가되도록설계하고있다. 본연구에서는트러스의총무게가최소가되게최적설계하였다. 최적설계에는연속변수를사용하여단면설계를하였으며, 이경우목적함수 () 는구조물의총무게가된다. 제약조건은동적제약조건즉고유진동수와단면최소치수및절점좌표가되며, 구조물의최적설계에대한목적함수 및제약조건식은다음과같다. Minimize ρ (1) subject to, (2) (m natural frequency constraints), (3) (n cross-sectional constraints), (4) (n coordinate constraints) 여기서, ; 번째부재에대한밀도, 단면적및길이 ; 번째고유진동수및주어진특정고유진동수 ; 번째부재의단면적및최저한계값 ; 번째절점좌표의최저한계값 10-bar 트러스에서는 3개의고유진동수 (,, ) 와최소단면제약조건을사용하여무게가최소가되도록최적설계하였으며, 설계변수는부재별단면으로모두 10개가된다. 72-bar 트러스는 2개의고유진동수 (, ) 와최소단면제약조건을사용하여무게가최소가되도록최적설계하였다. 그리고 72개의부재를 16의그룹으로분류해서설계변수의수를 16개로하였다. 37-bar 트러스는 3개의고유진동수제약조건 (,, ) 과 14개의 단면변수및트러스의상현재절점의 방향 5개의좌표변수로모두 19개의설계변수를사용하였다. 52-bar 트러스는 2개의고유진동수 (, ) 와최소단면및특정절점에서의이동거리제한제약조건을사용하여무게가최소가되도록최적설계하였다. 37-bar 와 52-bar 트러스의경우는단면및형상최적화로설계하였다. 3. 하모니서치알고리즘 하모니서치 (Harmony search; HS) 알고리즘은확률론적인이론을바탕으로최적화문제를해결하는최적화기법이다. 하모니알고리즘은음악가가보다좋은음악의구성요소를만들기위한과정을수리모델화시켜문제를해결하는방법이다 (Lee and Geem, 2004). HS알고리즘은십진수를사용하여확률론적으로해를구하는방법인데이는유전자알고리즘에서이진수를사용하여해를구하는방법과매우유사하다. 결국 HS알고리즘과유전자알고리즘은 Random process 의과정을통해확률론적으로해에접근하는방법은유사하나, 초기설계집단을구성하는과정에다소차이가있다. HS알고리즘은 5단계의과정으로구성되며아래와같다. Step 1. 초기값설정최적화문제의해를구하기위한초기값의설정. 설계변수의크기및변수의최소값과최대값의설정, 하모니메모리크기 (Harmony memory size, HMS) 설정, 하모니메모리채택비 (Harmony memory considering ratio, HMCR) 설정, 피치조정비 (Pitch adjusting ratio, PAR) 설정, 전과정의반복횟수설정. 그리고일반적으로비율 은 의사이값을사용하며, 비율 은 사이의값중에서선택할수있다. 이비율은문제의성격에따라조정할수있다. Step 2. 하모니메모리 (Harmony memory, HM) 초기화하모니메모리의초기화단계. 초기값설정단계에서설계변수의수와 HMS의값에의해무작위과정을거쳐 HM을초기화시킨다 ( 식 (5)). 이초기화과정에서제약조건이만족되지않은값은큰페널티를주어 HM에서제외시킨다. 이과정에서설계조건이만족된값들로 HM를초기화함으로서보다빠르게해에접근할수있다. HMS 는유전자알고리즘의초기설계집단의구성과정과매우유사하다. HM = (5) 여기서 은설계변수의수이며, 은 HM에서설계집단의크기이다. Step 3. 새로운하모니메모리구성새로운하모니메모리의구성단계. 새로운 HM은확률, 의값에따라 HM에서설계들이새로운 HM에선택되는기준의판단여부를결정하는과정이다. 확률, 의값은 0과 1사이의 Random 수이다. 새로운 HM을구성하기위한설계는아래식의조건으로만들어진다.

3 38 김봉익 권중현 (6) (7) 이과정은확률 과 에따라이전단계의하모리메모리에서새로운 HM을구성하는과정이며, 우선 Random 수와 을비교하여 Random 수가 보다적을경우 HM의설계가새로운 HM의설계로선택되고, 그렇지않으면 Random 과정을거쳐새로운 HM을구성한다 ( 식 (6)). 그리고위의과정에서선택된설계중다시 Random 수와확률를비교하여 Random 수가 보다적을경우설계를다시수정하여새로운 HM을구성한다 ( 식 (7)). 이과정에서 HS는확률, 를사용하여전공간설계또는보다개선된국지설계를찾을수있다. 그리고이단계는유전자알고리즘에서번식, 교차, 돌연변이를사용하는과정과유사하다. Step 4. 하모니메모리업데이트새로운 HM이구성된후각각의설계변수에해당되는설계값을구하여 HM을업데이트하는과정이다. 이과정에서설계값을서로비교하여가장나쁜값은 HM에서제외하고새로운설계로업데이트되는과정이다. 그리고 HM에가장우수한값부터차례로설계값을나열한다. Step 5. Step 3과 Step 4의반복과정 Step 3과 Step 4가주어진반복수만큼반복작업을통해해를구하는단계이다. 해를구할기회가주어된다. 3. 본연구에서는 에 Random 수를사용하며, 초기 HM구성과정에서제약조건을모두만족하는설계들로만 HM이구성되도록하여해의수렴상태를증가시키는방법을제시하였다. 구조물의최적화과정에는 Linux o/s 인 Fedora ver. 17을기반으로 Fortran 프로그램을사용하였다. 5. 설계예제 bar 트러스 10-bar 트러스의제원은아래 Fig. 1과같으며, 재료의탄성계수=7.03x10 5 Kg/cm 2, 부재의밀도 =2770kg/m 3 등의값을사용하였으며, 10개의연속변수를사용하여최적설계하였다. 모든부재에서단면의최소값은 cm 2 로하였으며, 4개의절점 (Node 1, 2, 3, 4) 에 454kg의질량을첨가하였다. 동적제약조건인고유진동수 7.0Hz, 15.0Hz, 20.0Hz가적용되었으며, 총무게가최소가되게최적설계하였다. Table 1은본연구에서제시된 HS알고리즘에의한최적설계결과이다. Table 2 는고유진동수에대한최적설계결과이며, 제약조건 (,, ) 을모두만족하였고, 초기 8개의고유진동수도비교적만족한결과를얻었다. Table 1의결과로부터여러연구결과를비교하여본 4. 구조물의최적화과정 고유진동수제약조건을사용한트러스의단면및형상최적화에 HS알고리즘을사용하였다. 본연구에서최적화과정에사용된계수들과 HS의과정을구성단계별로알아본다. Step 1. HS알고리즘에사용된초기값설정. 설계변수의수설정으로 10-bar 트러스는 10개의설계변수이며, 72-bar 트러스는 16개의설계변수로하였다. 37-bar 트러스는 14개의단면변수와 5개의좌표변수를사용하였고, 52-bar 트러스는 8개의단면설계변수와 5개의절점좌표로설계변수를 13개로하였다. 그리고모든예제에서사용된 HMS 의크기는 30이며, 확률 과 은 0.9와 0.3로하였다. Step 2. 새로운 HM을구성하는과정. 이과정에서확률 에의해선택된설계들중에서다시확률에해당되는설계를선택한후선택된이설계들의십진수를업데이트한다 ( 식 (8)). ± 여기서, 는 의증분값이며, 주로 1을사용한다. 본연구에서는증분 에 1보다적은 Random 수를사용하였다. 식 (8) 은설계 에이웃하는또다른설계를증분값 로셈플링하여보다개선된해를구하는과정이다. 이과정을통해또다른국지 (8) Fig. 1 Configuration of 10-bar truss Table 1 Optimum design of cross-sectional(cm 2 ) of 10-bar truss Element number Wang Sedaghati Lingyun kaveh Gomes Present Weight(Kg)

하모니서치알고리즘과고유진동수제약조건에의한트러스의단면과형상최적설계 39 Table 2 Natural frequency(hz) of 10-bar truss Wang Sedaghati Lingyun kaveh Gomes Present 1 7.001 6.992 7.008 7.000 7.000 7.005 2 17.302 17.599 18.148 16.119 17.

4 하모니서치알고리즘과고유진동수제약조건에의한트러스의단면과형상최적설계 39 Table 2 Natural frequency(hz) of 10-bar truss Wang Sedaghati Lingyun kaveh Gomes Present 고려하여 14개의단면변수를사용하였으며, 5개의절점좌표변수를사용하였다 (Table 5). 단면의최소값은 1.0cm 2 로하였으며, Fig. 2 Iteration of 10-bar truss 연구에서제시된 HS알고리즘을사용한경우가개선된설계결과를얻을수있었으며, Kaveh and Zolghadr 보다 8.107% 의개선된결과를얻었다. HS알고리즘에서반복횟수는 50000이며, Fig.2는해의수렴상태이다. Fig. 2는 3가지의조건을달리한해의수렴상태로본연구에서제시한방법이비교적안정적으로해에수렴함을볼수있다 bar 트러스 72-bar 트러스의제원은아래 Fig. 3과같으며, 재료의탄성계수=7.03x10 5 Kg/cm 2, 부재의밀도 =2770kg/m 3 의값을사용하였으며, 72개의부재를그룹별로 16개의연속변수를사용하여최적설계하였다. 모든부재에서단면의최소값은 0.645cm 2 로하였으며, 4개의절점 (Node 1, 2, 3, 4) 에 2270kg의질량을첨가하였다. 동적제약조건인고유진동수 =4.0Hz, 6.0Hz가적용되었다. Table 3은 HS알고리즘에의한최적설계결과이며, Gomes보다는 0.43% 개선된설계결과를얻었다. Table 4는고유진동수에대한설계결과이며, 동적제약조건을모두만족하였다. Fig. 4는해의수렴상태이다 bar 트러스 37-bar 트러스의제원은아래 Fig. 5와같으며, 재료의탄성계수= N/m 2, 부재의밀도 =7800kg/m 3 의값을사용하였으며, 37개의부재중트러스의하현재는단면적 (50cm 80cm) 을일정하게하였다. 하현재를제외한부재는구조물의대칭성을 Fig. 3 Configuration of 72-bar truss Table 3 Optimal design of 72-bar truss(cm 2 ). Element group Kozelman* Sedaghati kaveh Gomes Present , Weight (Kg) * : Ref. kaveh and zolghadr(2012)

5 40 김봉익 권중현 Table 4 Natural frequency(hz) of 72-bar truss Kozelman * Sedaghati kaveh Gomes Present * : Ref. kaveh and zolghadr(2012) Fig. 4 Iteration of 72-bar truss Fig. 5 Initial Configuration of 37-bar truss 다. Table 5는 HS알고리즘의최적설계결과이며, Wang, Lingyun의결과보다는높게나왔으나 Gomes 보다는 1.8% 개선된결과를얻었다. Table 6은고유진동수에대한설계결과이며, 동 Table 5 Optimum design of cross-sectional(cm 2 ) and y-coordinates (m) of 37-bar truss Variable No Initial design Wang Lingyun Gomes Present (m) (m) (m) (m) (m) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) (cm 2 ) Weight(Kg) Table 6 Natural frequency(hz) of 37-bar truss Initial design Wang Lingyun Gomes Present Fig. 6 Optimized shape in Wang Fig. 7 Optimized shape by HA algorithm 하현재의절점에는 10kg의질량을첨가하였다. 제약조건인고유진동수는 20.0Hz, 40.0Hz, 60.0Hz 가적용되었 Fig. 8 Iteration of 37-bar truss

6 하모니서치알고리즘과고유진동수제약조건에의한트러스의단면과형상최적설계 41 Table 8 Natural frequency(hz) of 52-bar truss Liu Lingyun kaveh Gomes Present Fig. 9 Configuration of 52-bar truss structure 적제약조건을모두만족하였다. Fig. 5는초기값에의한형상이며, Fig. 6은 Wang 에의한결과이다. Fig. 7은 HS알고리즘을사용하여최적화된결과의형상이며, Fig. 8은해의수렴상태이다. Fig. 10 Initial configuration of 52-bar truss(side view) bar 트러스 (Dome형 ) 52-bar 트러스의제원은아래 Fig. 9와같으며, 재료의탄성계수= N/m 2, 부재의밀도 =2770kg/m 3 의값을사용하였으며, 52개의부재를그룹별로 8개변수와절점 (A,B,C) 에서의 좌표변수 5개로하여총설계변수를 13개로하여최적설계하였다. 그리고절점변수는상, 하그리고좌, 우모두가대칭되는절점은같은좌표를사용한다. 모든부재에서단면의최소, 최대값은 1.0cm 2 에서 10.0cm 2 로하였으며, 구속되지않는절점모두에 50kg의질량을첨가하였다. 동적제약조건인고유진동수 Fig. 11 Optimized shape of 52-bar truss Table 7 Optimum design of 52-bar truss Variable Liu Lingyun kaveh Gomes Present ZA (m) XB (m) ZB (m) XC (m) ZC (m) A1(cm 2 ) A2(cm 2 ) A3(cm 2 ) A4(cm 2 ) A5(cm 2 ) A6(cm 2 ) A7(cm 2 ) A8(cm 2 ) Weight(Kg) Fig. 12 Iteration of 52-bar truss Hz, 가적용되었다. Table 7은 HS알고리즘에의한최적설계결과이며, Gomes 의결과보다는 16.2% 개선된결과를얻었다. Table 8은고유진동수에대한설계결과이며, 동적제약조건을모두만족하였다. Fig. 10은초기상태의형상이며,

7 42 김봉익 권중현 Fig. 11은 HS알고리즘을사용하여최적화된결과의형상이다. Fig. 12는해의수렴상태이다. 6. 결론동적하중을받는구조물은낮은진동수의동적하중으로인해구조물에심각한손상을준다. 이경우구조물의고유진동수와동적하중에의한진동수가일치할때발생하는공진현상으로인해구조물에큰피해를발생시킨다. 구조물의공진현상을피하기위해서는우선구조물의고유진동수를알아야하며, 이를바탕으로구조물에서동적하중에의한진동수와구조물의고유진동수가일치하지않도록설계되어야할것이다. 본연구에서는고유진동수제약에의한트러스구조물의단면과형상최적설계를연구하였다. 트러스의최적설계에는연속변수를사용하였으며, 최적화기법으로는업데이트과정중 Random 수를사용한 HS알고리즘을사용하였다. 트러스의단면최적설계에는 10-bar, 72- bar를사용하였으며, 단면및형상최적설계에는 37-bar, 52-bar 로네경우를사용하였다. 10-bar 트러스의경우 CSS-BBBC방법을사용한 Kaveh and Zolghadr 의결과보다는 8.1%, 72-bar의경우는 Gomes 의결과보다는 0.43% 개선된설계값을구하였다. 37- bar 트러스의경우 Wang, Lingyun 의결과와유사하나 Gomes 의결과보다는 1.8% 의개선된값을얻었다. 52-bar 트러스의경우는 Gomes의결과보다는 16.2% 개선된결과를얻을수있었다. 지금까지의예로사용한결과와여러연구결과를비교하여본연구에서는 HS알고리즘의초기메모리구성과정에제약조건이만족되는설계만을사용하고, 업데이트과정중 Random 수를증분값 () 으로사용하는최적화방법을제시하였으며, 이방법의실용성과적용성을보였다. 결론적으로 HS알고리즘은확률론적방법으로전공간최적화의해를구하는방법으로함수의미분값이요구되지않으며, 설계변수의수및여러제약조건등에많은제약을받지않는단순수리과정임을고려하면현실적인트러스구조물의최적화문제에매우적합한방법이라하겠다. References Erdal, F., Dogan, E., Saka, M.P., Optimum Design of Cellular Beams using harmony Search and Partical Warm Optimizer. Journal of Constructional Steel Research, 67, Gomes, H.M., Truss Optimization with Dynamic Constraints using Partical Swarm Algorithm. Expert System with Application, 38, Kaveh, A., Zolghadr, A., Truss Optimization with Natural Constraints using Hybridized CSS-BBBC Algorithm with Trap Recognition Capability. Computer & Structures, , Kim, B.I., Optimum Design of Steel Structures Using Genetic Algorithms. Journal of Korean Society of Steel Construction, KSSC, 24(6), Lee, K.S., Geem, Z.W., A New Structural Optimization Method Based on the Harmony Search Algorithm. Computer & Structures, 82, Lingyun, W., Mei, Z., Guangming, W., Guang, M., Truss Optimization on Shape and Sizing with Constraints Based on Genetic Algorithm. Computer Mechanics, 35, Park, C.W., Kang, M.M., Yun, Y.M., Unified Section and Shape Discrete Optimum Design of Planar Improved Fuzzy Genetic Algorithms. Journal of Korean Society of Steel Construction, KSSC, 1794, Saka, M.P., Optimum Design of Steel Sway Frames to BS5950 using Harmony Search Algorithm. Journal of Constructional Steel Research, 65, Sedaghati, R., Suleman, A., Tabarrok, B., Structural Optimization with Constraints Using the Finite Element Force Method. AIAA, 40(2), Wang, D., Zhang, W.H., Jiang, J.S., Truss Optimization on Shape and Sizing with Constraints. AIAA Journal, 42(3)

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THE JOURNAL OF KOREAN INSTITUTE OF ELECTROMAGNETIC ENGINEERING AND SCIENCE. 2019 Sep.; 30(9), 712 717. http://dx.doi.org/10.5515/kjkiees.2019.30.9.712 ISSN 1226-3133 (Print) ISSN 2288-226X (Online) MOS