03.순열과조합.hwp

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1 순열 02 대칭성의 원리 01 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기 1 합의 법칙 : 동시에 일어나지 않는 두 사건, 에 대 하여 두 사건, 가 일어나는 경우의 수가 각각, 일 때 또는 가 일어나는 경우의 수는 2 곱의 법칙 : 사건 가 일어나는 경우의 수가 이고, 그 각각에 대하여 사건 가 일어나는 경의 수가 일 때, 두 사건, 가 동시에 일어나는 경우의 수는 경우의 수-직접세기 1) 고정(제약 조건이 많은 것부터 배열) 2) 대칭(수, 집합) 1. 1.다음은 새로 개설될 방송국 A B C D E 사이의 거리를 나타낸 표이다. 예를 들면, 방송국 A 와 B 사이의 거리는 160km이다. (단위 :km) A B C D E A B C D E 위의 다섯 방송국에 3개의 주파수를 임의로 지정하는데, 거리가 210 km 이내의 방송국에는 서로 다른 주파수를 부여하지만 210km보다 멀리 떨 어진 방송국에는 같은 주파수를 부여할 수 있다. C방송국과 D방송국에 같은 주파수를 부여하는 경우의 수는? 집합 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족하는 함수 의 개수를 구하시오. 2. 함수 는 일대일 대응 이면 각 경우가 서로 같은 입장이어서 경우의 수가 모두 같을 때, 이를 대칭적이라 하며, 이 경우 전체 경우의 수 계산이 간단해 진다. 3. 1부터 999까지의 숫자중 3의 개수는 몇 개인가?3. 4. 공집합이 아닌 집합의 원소를 큰 수부터 나열한 뒤 와를 교대 로 넣어 셈한 값을 교대합이라고 하자. 예를 들어 집합 의 교대합은 이고 집합 의 교대합은 이다. 집합 의 모든 부분집합의 교대합의 합을 구하시오. (단, 공집합의 교대합은 으로 한다.)4. 5. 집합 에서 원소가 개인 모든 부분집합을 각각 이라고 하자. 집합 의 모든 원소들의 합을 라고 할 때, 의 값을 구하시오 집합 A 의 네 원소로 만든 순열 [4점]06년 10월 평가원] 에 대하여 의 오른쪽에 있는 수 중 보다 작은 것 의 개수를 (단, 이라 하고 이들의 합 을 로 나타내자. 이를테면 이다. 집합 A 에 대한 개의 순열 마다 정해지는 의 합을 구하여라. [수능기출 1997년] 7. 어느 대회에 A A A A 명의 선수가 각각 다른명의 선수와 한 번씩 경기를 갖는 방식(리그전)으로 시합을 하였다. 선수A k 가 이긴 시합의 수를, 진 시합의 수를라 할 때, 보기에서 옳은 것 을 모두 고른 것은? (단, 모든 시합은 무승부가 없으며 반드시 승패가 결 정된다고 한다. )7. ㄱ. <보기> ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ - 1 -

2 9. 남자3, 남자3,여자4이 남자3, 한 03 P 의 계산 1 P 2 P 3 P, P 가 포함된 식에서, 의 값을 구할때에는 P 임을 이용하여 주어진 식을 또는 의 방정식으로 나타낸다. 예) P 순열의 수학적인 성질 P P 04 이웃하는(이웃하지 않는) 조건이 있는 순열 1 이웃하는 조건이 있을 때 이웃하는 것을 묶어 배열한 후, 묶음 안에서 이웃하는 것 끼리 바꾸어 배열한다. 2 이웃하지 않는 조건이 있을 때 이웃할 수 있는 것을 먼저 배열한 후, 그 양 끝과 사이사 이에 이웃하지 않을 나머지를 배열한다. 서로 다른 개 중 특정한 개가 이웃하지 않도록 배열 하는 방법은 (i) 이웃하면 안되는 개를 제외한 개를 먼저 배열 한다. (ii) (i)의 각각에 대하여 그 양 끝과 사이사이의 자리 개에 이웃하지 않을 개를 배열한다. P 이상에서 구하는 방법의 수는 P 이다. P P r n r P s 여자4이 있는데 남자끼리는 이웃한다 P P P 부터 연속된 개의 홀수의 곱을 이라 하자. 예를 들면 이다 있는데 남자끼리는 이웃하지 않는다. 이 때, 등식 을 만족하는 의 값은? ! ! 여자4이 있는데 남자끼리 두명은 이웃하지만 세명은 이웃 하지 않는다. 9. 의 값 과 같은 것은? 줄로 된 10개의 방이 있다. 방문 앞에 같은 종류의 소화기 3개 를 배치하려고 한다. 소화기가 배치된 바로 이웃방은 소화기를 배치 하지 않는다고 할 때, 배치하는 방법의 수를 구하면? - 2 -

3 05 중복순열 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복순 열의 수는 특히, 이 공식을 이용할 때, 를 바꾸어 계산하지 않도 록 주의한다. 선택받는 쪽의 수 선택되는 횟수 16. 집합 의 두 부분집합 가 다음 주 조건을 만족 할 때, 순서쌍 의 개수는?16. (가) (나) 의 원소의 개수는 2개이다 중복순열을 이용하는 경우는 다음과 같다. 1 서로 다른 물건을 서로 다른 사람에게 나누어 주는 경 우 2, 를 표기하는 경우 3 기명 투표하는 경우 부분집합의 개수, 원소의 개수, 원소의 총합 17. 다음 두 조건을 만족시키는 집합의 순서쌍 의 개수를 구하시오.17. (단, 는 집합 의 원소의 개수이다.) (가) (나) 자연수 에 대하여 집합 의 두 부분집합 가 를 만족한다. 순서쌍 의 개수를 이라 할 때, lim 1 의 값은? 집합 의 두 부분집합 가 다음 두 조건을 만족할 때, 순서쌍 의 개수는?18. (가) 집합는 모두 공집합이 아니다 (나) 집합 의 원소가 개 (단, 일 때, 를 만족하는 순서쌍 는 모두 몇 개인가? - 3 -

4 A 남학생 오른쪽 06 원순열 서로 다른 개를 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라 하고, 그 원순열의 수는 그림은 직사각형 모양의 유리창을 균등하게 나누어 똑같은 직각삼각형 모양의 면으로 나누어 색유리를 넣으려고 한다. 이 유리창의 면을 다음과 같은 조건으로 색유 리를 넣을 때, 서로 다른 경우의 수는? 서로 다른 개를 원형으로 배열하는 원순열의 수를 구 할 때에는 처음 한 개의 자리를 고정시키고, 나머지 개의 자리를 정하는 방법의 수를 구하면 된다. (가) 사용하는 색유리는 모두 가지 색이다. (나) 색칠한 부분은 같은 색의 유리를 넣는다 오른쪽 그림과 같이 좌석이 10개인 직사각형 모양의 식탁 와 정오각형 모양의 식탁 가 있다. 10명이 에 앉는 방법의 수를, 에 앉는 방법의 수를 라 할 때, 의 값은? 평가원(4점) 23. 그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 개와 이 세원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 개의 영역에 서로 다른 가지 색을 모두 사용하여 칠하려 고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있 는 경우의 수는?(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [점][2011년 6월 평가원] B C D E 의 다섯 사람이 오른 쪽과 같 이 일정한 간격으로 개의 자리가 고정되어 있 는 책상에서 토론을 하려고 한다. A B 두 사 람이 이웃하여 앉는 방법의 수는?(단, 빈자리를 사이에 두고 앉는 경우는 이웃하지 않은 것으 로 한다.) 명과 여학생 명이 원탁 모양의 식탁에 둘러 앉아 식사 를 할 때, 서로 다르게 앉을 수 있는 경우의 수를, 남학생은 남학생끼 리, 여학생은 여학생끼리 이웃하여 앉는 방법의 수를 라 할 때, 의 값을 구하여라 교육청(4점) 24.그림과 같이 합동인 정삼각형 개와 합동인 등변사다리꼴 개로 이루 어진 팔면체가 있다. 팔면체의 각 면에는 한 가지의 색을 칠한다고 할 때, 서로 다른 개의 색을 모두 사용하여 팔면체의 각 면을 칠하는 경우 의 수는? (단, 팔면체를 회전시켰을 때 색의 배열이 일치하면 같은 경우 로 생각한다.) [4점][2010 3월 교육청]

5 26. 그림과 07 같은 것을 포함하는 순열 개 중에서 서로 같은 것이 각각,,,, 개씩 있을 때, 이들을 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 (단, ) 일렬로 배열하는 것 중에서 특별히 순서가 정해진 것이 포함된 경우에도 같은 것을 포함하는 순열을 이용한다. 즉, 서로 다른 개 중에서 특정한 개를 미리 정해진 순 08 길찾기 문제의 수 바둑판 모양의 도로에서 최단 거리로 이동하는 경우의 수 를 구할 때에는 같은 것을 포함하는 순열을 이용한다. 즉, 가로, 세로 구간의 수가 각각, 개인 바둑판 모양의 도 로에서 오른쪽으로 한 칸 이동하는 것을, 위쪽으로 한 칸 이동하는 것을 라 하면 최단 경로의 수는 를 개, 를 개 일렬로 배열하는 경우의 수 과 같다. 서대로 배열하는 방법의 수는 이다. 특정하게 순서가 정의된 문제는 같은 것이 있는 순열로 본다 오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지 2005년 3월 서울시교육청 같은 개의 빈칸에,,,,, 의 개의 수 를 하나씩 써 넣으려고 한다. 열, 열, 열의 숫자들의 합을 각각,, 라 할 때, 이 되도록 빈 칸을 채우는 경우의 수는? [4점] 점에서 지점까지 갈 때, 색칠한 부분을 지나지 않고 가는 최단 경로의 수는? 다음 그림과 같은 도로에서 다음 조건을 만족하면서 에서 까 지 가는 방법의 수를 구하시오. (단, 각각의 삼각형은 변의 길이가 1인 정삼각형이다.) 움직인 총 거리는 6이다. 한 번 갔던 길은 다시 가지 않는다. 갈림길에서는 위쪽 또는 오른쪽으로만 갈 수 있다 그림과 같은 바둑판 모양의 도로망이 있다. 갑은 A 에서 C 까지 굵은 선을 따라 걷고, 을은 C 에서 A 까지 굵은 선을 따라 걸으며, 병은 B 에서 D 까 지 도로를 따라 최단 거리로 걷는다. 갑, 을, 병 세 사람이 모두 만나도록 병이 B 에서 D 까지 가는 경우의 수를 구하여라. (단, 갑, 을, 병은 동시에 출발하고 같은 속 력으로 걷는다고 가정한다.) 은 개 이하, 은 개를 사용하여 이진법의 수로 나타낼 수 있는 자연수들을 원소로 하는 집합을 라 할 때, 집합, 는 정수,, 의 원소의 개수 는? [4점]

6 다음 오른쪽 그림과 같은 길이 있다. 에서 출발하여 에 도달하는 방법의 수를 다 음 각 경우에 대하여 구하여라 그림에서 점 A를 출발하여 점 B까지 한 번 지난 지점은 다시 지나지 않고 왼쪽으로는 가지 않는 다면 모두 몇 가지의 이동 경로 가 가능한가? (1) 오른쪽과 위로만 간다. (2) 오른쪽, 위 및 오른쪽 위로만 간다 오른쪽 그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 교차로 와 교차로 를 지날 때에는 직진 또는 우회전은 할 수 있으나 좌회전은 할 수 없다고 한다. 이 때, 지점에서 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구하여라 다음 그림과 같은 도로망에서 A지점에서 B지점까지 가는 모든 경로의 수를 구하여라. (단, 지나간 길은 다시 지날 수 없고, 왼쪽으로는 갈 수 없다.) 32. 직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이 산책로는 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 원 개가 서로 외 접하고 있는 형태이다. A 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오. (단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원 과 원의 접점을 나타낸다.)32. [4점] [2008년 11월 수능] - 6 -

7 교육청(4점) 35.그림과 같이 이웃한 두 교차로 도서관 사이의 거리가 모두 같은 도로 망이 있다. 철수가 집에서 도로를 따라 최단거리로 약속장소인 도서관 으로 가다가 어떤 교차로에서 약속장소가 서점으로 바뀌었다 는 연락을 받고 곧바로 도로를 집 서점 따라 최단거리로 서점으로 갔 다. 집에서 서점까지 지나 온 길이 같은 경우 하나의 경로로 간주한다. 예를 들어, [그림1]과 [그림2]는 연락받은 위치는 다르나, 같은 경로이다. 10 수형도를 이용하는 문제 어떤 사건이 일어나는 모든 경우를 나무에서 가지가 나누 어지는 것과 같은 모양의 계통그림으로 나타낸 것을 수형 도라고 한다. 합의 법칙이나 곱의 법칙을 이용할 수 없고, 여러가지 순열을 이용하여 구할 수 없는 복잡한 경우의 수를 구할 때에는 수형도를 이용한다. 특히, 수형도를 이용하면 어떤 사건을 빠뜨리지 않고, 같은 사건을 중복되지 않게 셀 수 있다. 도서관 도서관 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 일렬로 배열한 것을 라 할 때, 를 모두 만족시키는 것 은 몇 개인가? 집 서점 집 서점 [그림1] [그림2] 철수가 집에서 서점까지 갈 수 있는 모든 경로의 수를 구하시오. (단, 철 수가 도서관에 도착한 후에 서점으로 가는 경우도 포함한다.) [4점] [2012년 7월 평가원(4점) 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리 가 모두 인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 로봇이 한 번 움직일 때마다 길을 따라 거 리 만큼씩 이동한다. 로봇은 길을 따라 어 느 방향으로도 움직일 수 있지만, 한 번 통 과한 지점을 다시 지나지는 않는다. 이 로봇 이 지점 O에서 출발하여 번 움직일 때, 오른쪽 그림과 같이 정사각형 모양으로 배열된 9개의 원형 탁자와 빨강, 파랑, 노랑 세 가지 색 보자기가 각각 3장 씩 있다. 이 9장의 보자기로 탁자를 하나 씩 덮을 때, 어떤 행과 어떤 열에도 같은 색이 놓이지 않도록 덮는 방법의 수는? 가능한 모든 경로의 수는? (단, 출발점과 도착점은 일치하지 않는다.) A,B,C,D 네 개를 3줄로 배열한다. 이때 가로는 서로 다르고 세로는 바로 윗줄과 다른 경우의 수는? - 7 -

8 다음 수능 만점을 위하여 42. 임의의 서로 다른 개의 자연수에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?42. [4점] [교육청 2005년 4월-가형] 그림과 같이 색이 서로 다른 세 개의 주머니에 숫자 ㄱ. 차가 의 배수가 되는 두 수는 반드시 존재한다. 이 적힌 세 개의 구슬이 각각 들어 있다. ㄴ. 제곱의 합이 의 배수가 되는 두 수는 반드시 존재한다. ㄷ. 제곱의 차가 의 배수가 되는 두 수는 반드시 존재한다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 세 주머니에서 각각 한 개의 구슬을 꺼낼 때, 다음 <보기> 중 옳 은 것을 모두 고른 것은? <보기> ㄱ. 세 개의 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 숫자가 모두 같은 경우의 수는 이다. ㄴ. 세 개의 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 숫자가 모두 다른 경우의 수는 이다. ㄷ. 세 개의 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 숫자 개가 같은 경우의 수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ,ㄴ 3 ㄱ,ㄷ 4 ㄴ,ㄷ 5 ㄱ,ㄴ,ㄷ 두 집합 에 대하여 함 수 중 다음 두 조건을 만족하는 함수 의 개수를 구하여라. (가) 의 임의의 원소 에 대하여 이면 이다. (나) 치역의 최대값이, 최소값이 이다 가, 나, 다, 라, 마의 다섯 글자를 오른쪽 과 같이 사전식으로 배열할 때, 가라마나다. 의 배열은 몇 번째인가? 가 나 다 라 마 가 나 다 마 라 가 나 라 다 마 가 나 라 마 다 가 나 마 다 라 여섯 개의 문자 A, B, C, D, E, F를 모두 사용하여 만든 자리 문자열 중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 문자열의 개수는? (가) A 의 바로 다음 자리에 B 가 올 수 없다. (나) B 의 바로 다음 자리에 C 가 올 수 없다. (다) C 의 바로 다음 자리에 A 가 올 수 없다. (예를 들어 CDFBAE 는 조건을 만족시키지만 CDFABE 는 조건을 만 족시키지 않는다.)44. [4점][2008년 11월 수능]

9 오.47. 문자 두 집합 A, B 에 대하여 A 에서 B 갑은 컴퓨터를 이용하여 부터 까지의 네 자리 자연수를 로의 함수가 다음 두 조건을 만족할 때, 함수 의 개수는? (가) 집합 A 의 임의의 원소 에 대하여 (나) 집합 A의 원소의 개수는 항상 개 이상이다 을에게 전송하려고 한다. 전송 과정에서 일어날지도 모르는 오류를 을이 확인할 수 있도록 하기 위하여, 갑은 다음 규칙에 따라 전송하는 수의 끝에 숫자 하나를 덧붙여서 다섯 자리 수를 전송한다. 네 자리 수의 각 자리의 수의 합이 짝수이면, 홀수이면 을 전송하는 수의 끝에 덧붙인다. 예를 들면, 은 으로, 는 로 전송한다. 갑이 전송하 기 위하여 끝에 을 덧붙인 다섯 자리 수 중에서 가운데 세 자리의 각 각의 숫자가 모두 다른 경우의 수를 구하여라 다음 오른쪽 그림과 같이 1번부터 20번까지 번호가 적힌 20개의 칸이 있는 사물함이 있다 에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 가 연속되면 수신이 불가능하다 고 하자. 예를 들면 등은 수신이 불가능하고 등은 수 신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하여라. 크기가 같은 9개의 공을 2개, 3개, 4개로 나누어 사물함의 서로 다른 3 개의 칸에 넣으려 한다. 이 때, 홀수 번호가 적힌 칸에는 홀수 개, 짝수 번호가 적힌 칸에는 짝수 개를 넣고, 공이 들어갈 칸 중에서 오른쪽으로 갈수록 공의 개수가 많아지도록 공을 넣는 경우의 수를 구하여라. 47. 아시아 개국과 아프리카 개국이 있다. 개국을 개국씩 짝지어 개의 그룹으로 나누려고 한다. 적어도 한 개의 그룹이 아시아 국가만으로 이루어지도록 개의 그룹으로 나누는 경우의 수를 구하시 [4점] [평가원 2005년 6월-가형 ] - 9 -

10 5개의 조합 라벨 그래프 이론 11 조합 P (1) C 다음 그림과 같이 4개의 섬이 있다. 3개의 다리를 건설하여 4개의 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 구하시오. [수능 기출] (2) C C, C C (3) C C C 서로 다른 개에서 개를 택한 후, 개를 배열하면 순 열이 된다. 즉, C P 또, 서로 다른 개에서 필요한 개를 택하는 거소가 필요 하지 않은 개를 택하는 방법의 수는 서로 같다. 즉, C C 조합의 수학적 의미 C C C C C 섬을 4개의 다리를 건설하여 5개의 섬 모두를 연결하는 방 법의 수는? 다음 각 값을 구하여라. C (1) lim C (2) lim C 51. 이상의 자연수 을 개의 자연수의 합으로 나타내는 방법의 가지수를 이라 하자. 예를 들어 이므로, 이므로 이다. 이 때, 의 값을 구하시오

11 10명을 10명을 10명을 12 분할과 분배 분할-서로 다른 개를 개, 개, 개( )로 나누 는 분할의 수는 다음과 같다. 1, 가 모두 다를 때 C C C 2,, 중 같은 것이 개 있을 때 C C C 분배-서로 다른 물건 개를 개, 개, 개 ( )로 나누어 명에게 나누어 주는 방법의 수는 다음과 같다. 1,, 가 모두 다를 때 C C C 2,, 중 어느 두 개가 같을 때 C C C 3,, 가 모두 같을 때 C C C ,3,4명으로 나누는 방법수 13 도형과 관련된 문제 (1) 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 개의 점을 이어 만들 수 있는 1 직선의 개수 : C 2 삼각형의 개수 : C 3 사각형의 개수 : C (2) 개의 평행선과 개의 평행선이 서로 만날 때 만들어 진 평행사변형의 개수는 C C 한 직선 위에 있는 점들을 이으면 직선은 중복해서 만 들어지고, 삼각형과 사각형은 만들어지지 않음을 고려해야 한다. 57. 오른쪽 그림과 같이 가로줄 네 개와 세로줄 다섯 개가 같은 간격으로 그어져 있다.57. (1) 직사각형의 개수를 구하여라. (2) 정사각형이 아닌 직사각형의 개수를 구하여라. (3) 개의 교점에서 세 점을 선택하여 그것들을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 그 개수를 구하여라 ,3,4명으로 나누어서 A,B,C 세 개의 조로 나누는 방법수 평행한 두 직선 이 있다. 직선 위에는 개의 점이 있고, 직선 위에는 개의 점이 있다. 직선 위의 점 와 직선 위의 점 을 연결한 모든 선분의 교점의 최대 개수가 개일 때, 의 값은? A조에 3명, B조에 3명, C조에 4명씩 나누어 주는 방법수

12 6명의 어느 14 대진표와 관련된 문제 (1) 토너먼트 방식 부전승이 있는 경우에는 먼저 부전승으로 올라가는 팀을 정하고 나머지 팀은 분할, 분배를 이용하여 조편성하는 경 우의 수를 구한다. (2) 풀리그 방식 개 팀이 출전하여 모든 팀들이 다른 팀과 한 번씩 경기 를 하는 방식으로 총 경기 수는 C 이다. 15 중복조합 (1) H C H r 을 쓸 수 있는 경우는 1 개)에서 r 개를 택하는 경우의 수 2 개)로 이루어지는 r 차 항의 가지수 3 개)을 전개할 때 항의 가지수 4 개) 의 음이 아닌 정수해의 가지수 59. 다음 그림과 같이 6개의 팀이 토너먼트 방식으로 대진표를 작성할 때, 가능한 모든 방법의 수를 구하시오 명의 후보가 출마한 선거에서 명의 유권자가 한 명의 후보에게 각각 투표할 때, 무기명으로 투표하는 방법의 수를 기명으로 투표하는 방법의 수를 라 하자. 이때 의 값을 구하여라. (단, 기권은 없는 것으로 한다.) 격투기 선수끼리 다음 대진표와 같이 우승자를 뽑는 경기를 할 때, 가능한 모든 대진 방법의 수는? 방정식 을 만족시키는 에 대하여 다음을 구 하여라. (1) 음이 아닌 정수인 해 의 개수 (2) 자연수인 해 의 개수 방정식 에서 를 만족시키는 정수해 의 개수를 구하여라 대회는 예선 결과 상위 6개 팀이 본선 경기를 한다. 이 때, 경기 방식은 6위 팀이 5위 팀과 시합을 하여 진 팀이 6등이 되고 이긴 팀은 4위 팀과 시합을 한다. 여기서 진 팀이 5등이 되고 이긴 팀이 3위 팀과 시합을 한다. 이러한 방식으로 시합을 하여 마지막으로 이긴 팀이 1등이 되기로 하였다. 이 때, 1등부터 6등까지의 순위에 대한 경우의 수 를 구하시오 어느 전국야구대회에서는 승자끼리 경기하는 토너먼트 방식으로 대회를 진행하기로 하였다. 회전에서는 부전승으로 회전에 진 출하는 팀이 있고, 회전부터는 부전승 없이 모든 팀이 경기를 치르는 방식으로 우승학교를 결정하려고 한다. 이 대회의 총 경기 횟수가 회일 때, 참가한 모든 팀의 수를 구하시오. (단, 모든 경기는 당회 경기에서 승패를 결정한다.)

13 함수의 개수 1) 함수의 개수 집합 A 에서 A 로 가는 함수 중에서 모든 에 대하여 를 만족하는 것의 개수를 구하여라. 2) 일대일 함수의 개수 3) 일대일 대응의 개수 두 집합 에 대하 4) 증가, 감소 함수의 개수 여 함수 중에서 를 만족시키는 함수 의 개수는? ) 비감소함수, 비증가함수의 개수 6) 치역과 공역이 일치하는 함수의 개수 [2007(가) 10월/교육청 이산수학30] 부터 까지의 숫자가 각각 하나씩 적힌 개의 상자가 있다. 똑같은 구슬 개를 상자에 넣는 방법의 수를 구하시오. (단, 각 상자에 들어가는 구슬의 개수에는 제한이 없다.) [3점] 이라고 한다. 함수 중에서 치역과 공역이 일치하는 것은 몇 개인가? 집합 는 이하의 자연수 에 대하여 집합 에서 로의 일대일대응 중에서 개를 선택할 때, 다음을 만족시키는 함수일 확률을 구하여라. 에 대하여 인 의 개수는 이다 [2005(가) 7월/교육청 이산수학29] 의 각 자리의 숫자의 합은 이 된다. 이때, 각 자리를 상자로 생각하면 은 네 개의 상자에 그림과 같이 개의 공을 넣는 것으로 생각할 수 있다 [2006(가) 6월/평가원 이산수학30] 에서 로의 함수 중에서 일 때, 를 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오. [4점] 이를 이용하여 부터 까지의 정수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 이 되는 정수의 개수를 구하면? [4점]

14 서로 [2005(가) 10월/교육청 이산수학30] 평면 위에 평행한 두 직선 과 직선 위의 서로 다른 세 점 P Q R가 있다. 직선 위의 세 점 P Q R에서 각각 하나의 선분 으로 직선 위의 점을 연결할 때, 세 선분이 교차하지 않는 경우의 수 를 구하려고 한다. 예를 들어, 그림과 같이 직선 위에 두 점이 있을 때, 구하는 모든 경우의 수는 가지이다. 16 이항정리와 일반항 C C C C C C 1 의 전개식에서 특정한 항의 계수를 구할 때에 는 C 을 이용하고, 상수항은 일 때이므로 C 이다. 2 이항계수 C, C, C,, C 은 좌우대칭이다. 직선 위에 개의 점이 있을 때, 위와 같이 세 선분이 교차하지 않는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점] 을 간단히 하면? 자연수 에 대하여 방정식 의 해 중에서 와 는 짝수, 와 는 홀수인 해의 개수는? 의 전개식에서 의 계수와 의 계수를 구하라 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 방법의 수를 라 할 때, 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대 로 고른 것은? ㄱ. ㄴ. 을 만족하는 자연수 이 존재한다. ㄷ. (단 는 서로 다른 개중에서 개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법의 수이다.) 을 으로 나눈 나머지를 구하여라. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ,ㄴ 4 ㄴ,ㄷ 5 ㄱ,ㄴ,ㄷ

15 엄지 다음 17 이항계수 (1) C C C C C (2) C C C C C (3) C C C C 다음 식에서 의 값을 구하시오.(단, 는 홀수) C C C C (4) (5) (6) (7) n이 홀수 다음 값을 구하여라 중 과 같은 것은? 에서 의 값은? 이외의 손가락을 엄지에 붙인 여러 가지 경우를 신호로 쓰려고 한다. 신호를 만들 수 있는 방법의 수는? (단, 신호는 한 손으로 하고, 엄지에 다른 손가락이 하나도 붙지 않은 것은 신호가 아니다.)

16 84. [2010(나) 6월] 84. 다음은 이 이상의 자연수일 때 의 값을 구하는 똑같은 종류의 상품 개와 이와는 다른 서로 다른 종류의 상품 개가 있다. 이 개의 상품 중에서 개를 뽑는 경우의 수를 구하여라. 과정이다. *보기* 두 다항식의 곱 증명 에서 의 계수는 * 이다. 등식 의 좌변에서 의 계 수는 (가) 이고, *을 이용하여 우변에서 의 계수를 구하면 (나) )이다 cos 일 때, 의 값을 구하시오. 따라서 (가) (나) ) 이다. 한편 일 때, 이므로 (나) ) (나) ) 을 전개하여 의 오름차순으로 정리하였다. (다) 이다. 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) 나) (다) : 이면 번째항 이 되는 의 값은 얼마인가? 번째항) 어떤 자연수 에 대하여 오늘부터 일 후는 월요일이라고 할 때, 오늘부터 일 후는 무슨 요일인가? 의 전개식을 이용하여 다음 값을 구하여라. (단, 이다.) 1 화요일 2 수요일 3 목요일 4 금요일 5 토요일

17 18 파스칼의 삼각형 의 전개식에서,,, 일 때의 각 항의 계수 는 다음과 같이 삼각형 모양으로 나타낼 수 있다. 91. 다음과 같이 제 행의 맨 양쪽에는 을 쓰고, 그 안쪽 에는 바로 위의 행의 두 수의 합을 써서 삼각형 모양으로 수를 나열하였 다. 91. 이와 같은 이항계수의 배열을 파스칼의 삼각형이라고 한다. 이 때, 제 10행에 있는 모든 수의 합은? 파스칼의 삼각형에서의 이항계수의 배열이 좌우 대칭이 므로 C C 이 성립한다. 또, 각 단계에서 이웃하는 두 수의 합은 그 두 수의 아래의 중앙에 있는 수와 같으므로 C C C 92. 그림과 같이 제 행에는 개, 제 행에는 개,, 제 행에는 다음 그림의 파스칼의 삼각형에서 의 값은? 개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 적었다. (가) 제 행의 직사각형에는 을 적는다. (나) 제 행의 왼쪽 끝 직사각형에는 제 행의 왼쪽 끝 직사각 형에 적힌 수보다 이 큰 수를 적는다. (다) 제 행의 오른쪽 끝 직사각형에는 제 행의 오른쪽 끝 직 사각형에 적힌 수보다 이 작은 수를 적는다. (라) 제 행의 안쪽 직사각형에는 그 직사각형에 인접한 제 행의 두 직사각형에 적힌 수의 합을 적는다 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행의 맨 왼쪽으로부터 번째 직사각형에 적힌 수를 로 나타내자. 예를 들어 이다. 이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?92. [4점][09년 10월 서울시교육청] < 보 기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

18 어떤 수능 만점을 위하여 남자 5 명, 여자 명 중에서 명의 위원을 선출할 때, 다음 각 경우 의 수를 크기순으로 바르게 나타낸 것은? 자연수 에 대하여 원소가 개인 집합 에서 2개의 원소를 뽑는 경우의 수 를 다음과 같은 방법으로 구하였다. 를 원소가 개이고 인 두 집합 와 로 나누고, 다음 과 같은 경우를 생각한다. (i) 와 중 한 집합에서만 두 개의 원소를 뽑는 경우 (ii) 와 각 집합에서 원소를 한 개씩 뽑는 경우 (i)의 경우의 수는 이고 (ii)의 경우의 수는 이다. (i) 과 (ii) 둘 중에서 한 가지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여 이다. A : 남자 명, 여자 명을 뽑는 경우의 수 B : 여자를 적어도 명 뽑는 경우의 수 C : 남자 명, 여자 명을 반드시 포함시키는 경우의 수 D : 특정한 명 중 적어도 명을 뽑는 경우의 수 위에서 (가)와 (나)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? 학교의 농구 동아리 A 와 B 는 올해 신입생이 각각 명과 명이다. 명의 신입생 연합 팀을 구성하여 다른 학교와 시합을 하려고 할 때, 동아리 A 의 신입생 명과 동아리 B 의 신입생 명으로 구성하는 방법의 수가 가지이다. 자연수 의 값을 구하여라 C C C C, C C C C 에 대하여 일 때, 의 값을 구하여라 다음은 를 간단히 하는 과정이다. 가 가 가 나 다 지난 대회 우승 팀 A 가 먼저 배정을 받은 오른쪽 그림과 같은 토너먼트 방식의 대진표에서 제 비뽑기를 하여 개의 팀을 결정하기로 할 때, 가능한 모든 경우의 수는? 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

19 부터 100까지의 자연수 중에서 서로 다른 4개의 수를 선택할 오른쪽 그림과 같이 일렬로 늘어선 때, 4개의 수 중에서 두 번째로 큰 수가 k인 경우의 수를 라 하자. 예 를 들어, 은 선택된 4개의 수 중에서 3보다 큰 수가 한 개이고 3보다 작은 수가 2개인 경우의 수이므로 이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. ㄴ. ㄷ. 개의 물건 사이에 개의 칸을 막아 개의 구획으로 분할하는 방법의 수는? (단, 맨 앞과 맨 끝에는 칸막이를 놓을 수 없고, 칸막이와 칸막이 사이에는 적어도 한 개의 물건이 있어야 한다.) ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 의 값은? 의 전개식에서 의 계수가 일 때, 상수 두 집합 에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 함수 : 의 총 개수는? (가) 일 때, 이면 이다. (나) 다음 보기의 등식 중에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 은 자연수) <보기> ㄱ. C C C C ㄴ. C C C C C C C C ㄷ. C C C C 어떤 테니스 단식 시합에서 8명이 출전하였다. 1차전은 추점에 의하여 2명씩 4개 조로 나누어 시합을 하고 승리자 4명 이 2차전에 진출한다. 2차전을 풀리그 방식, 즉 한 선수가 나머지 3명과 한 번씩 모두 시합하는 방식으로 우승자를 가리려고 한다. 1차전에서 시 합을 치르기 위하여 대진표를 작성하는 방법의 수를, 2차전에서 치르 는 시합의 수를 라 할 때, 의 값을 구하여라. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20 A, B, C, D 네 개의 학교에서 각각 2명씩 배드민턴 선수가 집합 에서 출전하여 오른쪽 그림과 같은 대진표에 따라 시합을 하려고 한다. 같은 학교 선수끼리는 결승전에서만 만나도록 하고, 시합 상대가 다 른 경우만 서로 다른 것으로 하며, 조와 조, 1조와 2조, 3조와 4조가 서로 바뀐 것은 같은 것으로 할 때, 대진표를 작성하는 방법 은 모두 몇 가지인가? 집합 로의 함수 중 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수의 개수를 구하 여라. (가) 은 홀수이다. (나) 는 짝수이고, 이다 탁자 A에서 2명, 탁자 B에서 3명 이 분임 토의를 하고 있다. 이들 5명이 전체 토의를 하기 위하여 탁자 B의 다섯 자리에 임의로 앉을 때, 탁자 B에서 분임 토의하던 3명은 모두 처음에 앉았던 자리가 아닌 다른 자리에 앉게 되는 경우의 수를 구하여라 좌표평면 위에 오른쪽 그림과 같이 좌표값이 정수인 개의 점이 있다. 이 개의 점이 있다. 이 개의 점에서 개의 점을 뽑아 만들 수 있는 삼각형 중에서 점 를 삼각 형의 한 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수는? 집합 의 두 부분집합 에 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? 대하여 이고, 함수 : 가 역함수를 가질 때, 함수 의 개수를 구하여라. ㄱ. C C <보기> ㄴ. P C ㄷ. C C C (단, 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21 퓨전식당 다항식 오른쪽 그림과 같이 원 위에 일정한 두 자연수 에 대하여 다음 중 간격으로 점 개가 있다. 점의 개수를, 서 로 다른 두 점을 택하여 만들 수 있는 직선의 개수를, 서로 다른 세 점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개수를, 서로 다른 네 점을 택하여 만들 수 있는 사각형의 개수를, 서로 다른 개의 점을 택하여 만들 수 있는 각형의 개수를 이 라 할 때, 이다. 이 때, 자연수 의 값을 구하여라. C m m C m m C m m C m m C m n C m 의 값과 같은 것은? 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C A 의 메뉴에는 가지 종류의 한식, 가지 종류의 중식, 가지 종류의 일식이 있다. 중식의 특정한 음식 가지를 포함하면 서 한식과 일식이 각각 적어도 한 종류는 포함되도록 모두 6가지 종류의 음식을 주문하는 방법의 수는? 의 전개식에서 의 계수와 다항식 의 전개식에서 의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 에 대하여 의 최대값을 구하여라. (단, 는 자연수이고, 은 인 자연수이다.) 어떤 학교의 수학 서술형 평가에는 점 만점의 문제가 문제 출제되는데 각 문제의 채점 방법은 점, 점, 점의 단계로 평가된다. 예를 들면, 번 문항은 점, 번 문항은 점, 번 문항은 점, 번 문 항은 점, 번 문항은 점으로 평가 받을 수 있으며 총점은 점이다. 이런 평가 방법으로 점 이상을 받는 서로 다른 경우는 몇 가지인지 구하여라

22 정답과 해설 1. 정답 4 ㄱ. ㄴ. 참 2. 정답 정답 정답 80 집합의 모든 부분집합 개를 다음 두 종류로 나누어 생각할 수 있다. 원소 가 포함되지 않은 것 : 가지 위의 가지 각 집합에 원소 를 포함시킨 것 : 가지 즉, 가 들어있지 않은 가지 각 집합과 그 집합에 를 포함시킨 집합 은 다음과 같이 일대일대응이 되는 쌍으로 만들 수 있고 그 쌍의 개수는 쌍이다. 이 때, > > > > 라 가정하면 각 쌍의 교대합의 합은 ± 따라서, 구하는 교대합들의 합은 5. 정답 105 를 포함하는 원소가 세 개인 부분집합의 개수는 C 이므로 는 번 더해진다. 다른 개의 원소에 대해서도 같은 방법으로 생각하면 모두 번 더해지므로 구하는 합은 6. 정답 개의 순열 에 대하여 (i) 의 합은 일 때 순열의 수는 가지이고, 각각의 은 이므로 일 때 각각은 이므로 일 때 각각은 이므로 일 때 각각은 이므로 (ⅱ) 의 합은 일 때 각각은 이므로 일 때 또는 인 경우만 이므로 일 때 인 경우는 이고, 또는 인 경우는 이므로 일 때 각각은 이므로 (ⅲ) 같은 방법으로 하면 의 합은 (i), (ⅱ),(ⅲ)에서 ㄷ. 참 이므로 한편, 모든 선수는 자신을 제외한 다른 선수 명과 한 번씩 시합을 하므 로 의 값에 관계없이 8. 정답 5 참!! 9. 정답 4! =! =! = P P P P C C C C C 10. 정답 정답 12. 정답 정답 14. 정답 1 이므로 를 벤다이어그 램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때, 집합 의 각 원소는 에 속하거나 에 속하거나 에 속한다. 따라서 의 각 원소가 속하는 위치에 따라 순서쌍 의 개수가 정해지므로 lim lim 7. 정답 5 총 시합수는 C 각 시합마다 승자와 패자가 결정되므로

23 15. 정답 원소의 개수가 개 인 를 뽑는 방법의 수는 가지이고, 이와 같은 에서 공집합이 아닌 를 뽑는 방법의 수는 따라서 순서쌍 의 개수는 16. 정답 5 (나)에서 의 원소가 될 수 있는 경우는 가지이다. (가)에서 이기 위해서는 공통인 원소가 아닌 세 수가 중 한 곳에 들어가면 되므로 가지 경우가 있다. 따라서 순서쌍의 개수는 개 이다. 17. 정답 140 (가)에서 이므로 벤다이어 그림을 그려보면 에 들어갈 원소 1개를 택하는 방법의 수는 에 들어갈 원소 3개를 택하는 방법의 수는 (가지) 이므로 구하는 방법의 수는 (가지) 21. 정답 남학생 명과 여학생 명이 원탁에 둘러앉은 경우의 수는 명이 원탁에 둘러앉는 원순열과 같으므로 한편, 남학생은 남학생끼리, 여학생은 여학생끼리 이웃하여 앉는 방법은 남학생 명은 남학생끼리, 여학생명은 여학생끼리 묶어서 생각하면 명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수이므로 이고, 그 각각에 대하여 남학생 명, 여학생 명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 이므로 22. 정답 4 색칠한 부분은 같은 색으로 칠하므로 가지의 색유리 중에 색칠한 부분 을 넣는 방법의 수는 이다. 여기에 대하여 각각 나머지 부분을 가 지의 색유리로 넣는 방법의 수는 원순열과 같지만 아래의 그림과 같이 ᄀ과 ᄂ이 다르므로 (가지)이다. 에 들어갈 원소 3개를 택하는 방법의 수는 따라서, 순서쌍의 개수는 다 곱하여 정답 5 (나)에서 이므로 집합 에서 원소의 개수가 개인 집합C를 뽑는 방법의 수는 가지이고, 이와 같은 집합C에 대하여 공집합이 아 닌 집합 B를 뽑는 방법늬 수는 가지이다. 따라서, 순서쌍의 수는 = ( )-( ) = 19. 정답 4 식탁 에 처음 앉는 사람이 택할 수 있는 자리의 수는 각각 5가지, 2가지이므로!,! 따라서 구하는 경우의 수는 23. 정답 2 정중앙 영역에 칠하는 경우의 수 : 정삼각형 외부의 세 원의 세 영역에 세가지 색을 칠하는 경우의 수 : 정삼각형 내부의 세 원의 세 영역에 칠하는 경우의 수는 순열이므로 3! 따라서 24. 정답 3 정삼각형에 칠한 색을 결정하는 경우의 수는 나머지 가지 색으로 등변사다리꼴을 칠하는 경우의 수는 따라서 구하는 경우의 수는 20. 정답 5 빈자리 하나를 위의 그림과 같이 고정하면 나머지 다섯 자리 는 구분이 된다. 두 사람이 이웃하여 앉는 방법의 수 가지에 대하여 나머지 세 자리에 명이 앉는 방법의 수는 (가지) 그 각각의 경우에 대하여 가 서로 자리를 바꿔 앉는 방법의 수는 25. 정답 2 이므로 에서 가장 큰 수인 은 표와 같이 열에 위치 하여야 한다

24 그러면 5에 위치할 수 있는 수는 을 제외한 나머지 수 중 어떤 수가 위치하여도 되므로 개이다. 또한 같은 방법으로 2의 위치에 넣을 수 있는 수는 나머지 개 중 가장 큰 수가 위치하여야 하므로 4의 위치에 올 수 있는 수는 나머지 개이다. 마지막으로 나머지 두 개의 수를 열 에 위치하도록 하면 된다. 이와 같이 수를 배열한 후 행과 행의 수를 바꾸는 경우는 각 열마다 가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는 (가지)이다. 26. 정답 30 다음 그림에서,, 로 한 칸씩 가는 것을 각각 라고 하자. 조건 (가)에서 움직인 총 거리는 이라고 하므로 A 에서 B 까지 가는 방 법의 수는 를 배열하는 것과 같다. 이때, 첫 번째 는 항상 첫번째 보다 앞에 오고, 두 번째 는 두번째 보다 뒤에 오게 배 열하여야 한다. 이 규칙으로 를 배열하는 방법의 수는 와 의 가지이다. 따라서 와 를 같은 것으로 보고 를 배열한 뒤, 개 의 에 또는 를 배치하면 된다. 구하는 방법의 수) 27. 정답 3 차가 의 배수인 두 자연수는 이진법의 수로 표현 했을 때, 의 자리의 수와 의 자리의 수가 같아야 한다. ⅰ), 의 자리의 수가, 인 수( 을 개 배열하는 방법)를 순서쌍 으로 정하는 경우 : 가지 ⅱ), 의 자리의 수가, 또는, 인 수( 을 개, 을 개 배 열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우 가지 ⅲ), 의 자리의 수가, 인 수( 을 개, 을 개 배열하는 방 법)를 순서쌍으로 정하는 경우 가지 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 28. 정답 5 색칠한 부분을 지나지 않고 가려면 오른쪽 그림에 서 지점 또는 지점을 반드시 지나야 한다. (ⅰ) 로 가는 경우 (ⅱ) 로 가는 경우 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 최단 경로의 수는 30. 정답 (1) (가지) (2) (가지) (1) 오른쪽과 위로만 가므로 에서 으로 가 는 방법의 수를 구하면 된다. 의 경우 : 의 경우 : (단, 는 지나지 않는다.) 의 경우 : (단, 는 지나지 않는다.) 따라서 (가지) (2) 의 경우 : 의 경우 : (단, 는 지나지 않는다.) 의 경우 : (단, 는 지나지 않는다.) 의 경우 : (단, 는 지나지 않는다.) 따라서 (가지) 31. 정답 46! 에서 까지 가는 최단 경로의 수는!! 오른쪽 그림에서 점 에서 좌회전을 하는 최단 경로의 수는 의 가지이고 점 에서 좌회전을 하는 최단 경로의 수는 인 경우이므로!!! 가지 이다.! 따라서 구하는 경우의 수는 가지 32. 정답 B 지점 A 지점 [그림 1] 29. 정답 갑과 을의 속력이 같으므로 갑, 을은 점 에서 만난다. 따라서 병이 점 를 지나는 경우의 수는 (가지)

25 A P [그림 2] Q B [그림 1]에서 A 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수는 [그림 2]에서 A 지점에서 출발하여 실선을 따라 최 단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수와 같다. (1) A P B의 경우 (가지) (2) A Q B의 경우 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 33. 정답 정답 72 (가지) 가짓수에 를 곱한 값이 답이 된다. (1) 에 도착하는 경우 : 가지 (2) 에 도착하는 경우 : 가지 (3) 에 도착하는 경우 : 가지 (4) 에 도착하는 경우 : 가지 (5) 에 도착하는 경우 : áà 1 áàáß 2 àáßá 3 àááß 4 áßáà 5 ßáàá 6 ßá 의 가지 (6) 에 도착하는 경우 : 1 ààáß 2 âàáá 3 ßáàà 4 ááàâ 의 가지 가지 37. 정답 (개) 이므로 의 자리에는 이 올 수 없고 만 올 수 있다. (ⅰ) 일 때 조건에 맞는 것은 다음 수형도에서 가지가 있다. 35. 정답 도서관 집 서점 ⅰ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우: ⅱ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우: ⅲ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우: ⅳ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우: 36. 정답 3 A Ÿ B Ÿ E C Ÿ Ÿ F D Ÿ Ÿ OŸ 그림과 같이 로봇이 를 출발하여 번 움직여서 도착할 수 있는 지점 은 어두운 영역에 대하여 의 6가지의 경우이고 그 (ⅱ) 일 때에도 각각 가지씩 있다. (ⅰ), (ⅱ)에서 (개) 38. 정답 4 행의 탁자에 보자기를 덮는 방법의 수는 가지, 행의 탁자에 보자기를 덮는 방법의 수는 가지, 행의 탁자에 보자기를 덮는 방법의 수는 가 지이다. 따라서 구하는 방법의 수는 가지 39. 정답 40. 정답 3 ㄱ. 세 개의 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 숫자가 모두 같은 경우는 으로 가지이다. 참 ㄴ. 세 개의 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 숫자가 모두 다른 경우의 수는 거짓 ㄷ. 세 개의 주머니에서 각각 한 개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는 이므로 세 개의 주머니에서 꺼낸 구슬에 적힌 숫자 개가 같은 경우의 수는 참

26 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 45. 정답 4 이어야 하므로 집합 의 원소 에 41. 정답 4 대응 할 수 있는 집합 의 원소는 다음과 같다. 가,나,다,라,마의 다섯글자를 사전식으로 배열할 때, 가나 가다 일 때, 가능한 의 값은 의 경우의 수는 세 글자를 일렬로 배열하는 방법의 수와 같으므로 일 때, 가능한 의 값은 (가지) 일 때, 가능한 의 값은 그러므로 각각의 경우의 수의 합은 (가지) 일 때, 가능한 의 값은 가라 의 형태를 사전식으로 배열하면 그러므로 에서 로의 함수 의 개수는 곱의 법칙에 의하여 가라나다마, 가라나마다, 가라나다마, 가라다마나, 가라마나다 (개) 이므로 가라마나다 는 (번째)이다. 그런데 항상 이고 모든 집합 의 원소 에 대하여 인 함수 1개 존재하므로 구하는 함수의 개수는 (개)이다. 42. 정답 3 ㄱ. 모든 정수는 (단, 는 정 수)중 어느 한 꼴이다. 개의 수를 모두 다른 종류의 것이라고 가정하면 (단, 는 정수)이고 번째 수는 로 나눈 나머지가 그 중 하나가 되어 두 수의 차가 의 배 수가 되는 것이 반드시 존재한다. 참 ㄴ. (반례) 개의 자연수가 이면 두 수의 제곱의 합을 로 나눈 나머지는 항상 이다. 거짓 ㄷ. ㄱ과 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다. 참 43. 정답 (나)에서 치역의 최소값이 이고, 최대값이 이므로 은 반드시 치역에 속하고, 가 최소값이므로 은 치역에 속하지 않는다. (가)에서 함수 는 일대일 함수이므로 함수 의 치역이 될 수 있는 집합 은 함수 의 개수는 치역의 원소에서 서로 다른 개를 뽑아 다음 안에 늘어놓는 경우의 수와 같다. 따라서 구하는 함수 의 개수는 46. 정답 165 개, 개, 개가 들어갈 칸의 번호를 각 각 라고 하면 이고, 는 짝수, 는 홀수이다. 일 때, 일 때, 일 때, 일 때, 따라서 구하는 경우의 수는 47. 정답 81 적어도 한 개의 그룹이 아시아 국가만으로 이루어지는 사건의 여사건은 아 시아 국가만으로 이루어진 그룹이 하나라도 있으면 안 되므로, 여사건의 경우는 아시아 개국과 아프리카 개국으로 모든 그룹이 이루어진다. 44. 정답 2 A, B, C, D, E, F를 모두 사용하여 만든 6자리의 문자열의 집합을 라 하면 이다. 한편, 의 원소 중에서 A의 바로 다음 자리에 B가 오는 문자열의 집합을, B 바로 다음 자리에 C가 오는 문자열의 집합을, C 바로 다음 자리에 A가 오는 문자열의 집합을 라 하면 주어진 조건을 모두 만족시키는 문자 열의 집합은 이다. 따라서 포함배제의 원리에 의해 48. 정답 갑이 전송한 다섯 자리의 수를 이라 하면 = (짝수) (단, 는 부터 까지의 서로 다른 정수) 이 때, = (짝수)인 경우는 (짝,짝,짝), (홀,흘,짝), (흘,짝,홀), (짝,흘,홀) 인 경우이므로 (i) (짝,짝,짝)인 경우의 수 (가지) (ii) (홀,홀,짝), (홀,짝,홀), (짝,홀,홀)인 경우의 수 (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 가지이다. 49. 정답 에서 중복을 허락하여 3개를 택해 나열하는 방법의 수는 (개) 그런데 여기서 가 연속하여 있는 경우는 제외한다. (i) 가 개 연속하는 경우: (4개)

27 (ii) 가 개 연속하는 경우 : (1개) 따라서 수신 가능한 단어의 수는 50. 정답 (1) (2) (개) (1) 준 식 lim lim lim (2) C C C C 준식 lim 직사각형이 결정되므로 직사각형의 개수는 C C (개) (2) 정사각형의 개수는 (개)이므로 정사각형이 아닌 직사각형의 개수는 (개) (3) 개의 점에서 개의 점을 뽑는 방법은 C 가지이다. 또, 개의 점이 같은 직선 위에 있어서 삼각형이 만들어지지 않는 것 은 다음 네 경우이다. (ⅰ) 기울기가 일 때 C (ⅱ) 기울기가 ± 일 때 (ⅲ) 기울기가 ± 일 때 C (ⅳ) 수직선일 때 C 따라서 삼각형의 개수는 C (개) 58. 정답 2 일 때 추정을 해 보자. 51. 정답 따라서 점에서 직선 로 선분을 그을 때, 개씩의 선분을 그을 수 있다. 에서도 동일하게 개의 선분을 그을 수 있다, 이 때, 과 연결할 때, 교점의 개수는 과는 교점을 만들지 못하므로 개의 교점이 나온 다. 그리고 와 연결할 때는 그리고 와 교점을 만들지 못하 므로 개의 교점이 나온다. 와 연결할 때는, 그리고 와 연결할 때, 교점을 만들지 못하므로 개의 교점이 나온다. 이렇게 과 과 연결하여 만들어지는 교점의 개수 는 정답 정답 정답 55. 정답 56. 정답 57. 정답 (1) (2) (3) (1) 가로줄 개 중 개와 세로줄 개 중 개에 의하여 하나의 그리고 는 과 연결할 때, 과 직선 와 연결해서 만들어지는 선분 개와 과 와 연결해서 만들어지는 합쳐서 개의 직선 중 이렇게 개를 제외한 개의 직선과 만나서 교점 한 개 씩을 만들 수 있다. 와 를 연결할 때는 이렇게 4개의 선분을 제외한 개의 직선과 만나서 교점 한 개씩을 만 들 수 있다. 이와 같이 과 를 연결하여 만들어 지는 교점의 개 수는 개의 교점이 생긴다

28 이러한 식으로 추론하면 은 와 연결할 때 개의 교점을 만들 수 있으므로 이를 모두 더하면 즉, 구하는 해의 개수는 방정식 에서 음이 아닌 정수인 해 의 개수와 같으므로 H C C [참고] 직선위의 두 점과 직선 위의 두 점에 의해서 한 개의 교점이 생 기므로 교점은 개가 최대가 된다. 이를 전개하면 59. 정답 정답 정답 정답 부전승 없이 토너먼트 방식으로 우승학교를 정하려면 참가한 학교의 수 가 이고, 경기 수는 이어야 한다. 이므로 개 팀이 경기를 한다. 즉, 결승 경기, 준결승 경 기, 강 경기, 강 경기, 강 경기이고, 강까지 총 경기 수 는 이다. 총 경기 횟수가 회이므로 나머지 경기는 회전에서 시 행되어야 하므로 회전에서 탈락한 팀의 수는 팀이다. 따라서 대회에 참가한 모든 팀의 수는 회전에서 탈락한 팀과 회전 에 진출한 팀의 합이므로 총팀이다. 63. 정답 는 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 뽑는 조합의 수와 같으므로 H C C 는 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 개를 뽑는 순열의 수와 같으므로 64. 정답 (1) (2) (1) 의 개의 문자 중 중복을 허락하여 개를 뽑는 조합의수와 같 으므로 H C C (2) 로 놓으면 에서 즉, 구하는 해의 개수는 방정식 에서 음이 아닌 정수인 해 의 개수와 같으므로 65. 정답 H C C 로 놓으면 에서 66. 정답 (개) 를 세 조로 나누어 에 분배하는 모든 방법의 수를 구한다. 그런데 치역과 공역이 일치하기 위해서는 각 조는 적어도 한 개의 원소를 포함해야 하므로 세 조로 나누는 방법은 개개개 개개개의 두 가지 방법이 있다. (개) 67. 정답 집합 에서 로의 일대일대응의 개수는 개의 원소 중 를 만족시키는 개의 원소를 택하는 방법의 수는 를 만족시키는 개의 원소를 각각 이라 할 때, 나머지 개의 원소를 대응시키는 방법의 수는 오른쪽과 같이 가지이다. 따라서 구하는 확률은 68. 정답 일 때, 를 만족시키는 함수 는 감소함수지? 예를 들어, 함수 에 의해 정의역에 속하는 가 대응되는 원 소가 1, 3, 5, 7이라고 하면 감소함수이기 위해서는,,, 이면 되지?,,, 가 감소함수이기 위해서는 가 되기만 하면 돼. 따라서 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 7개 중 중복을 허락하여 4개를 선택하는 중 복조합이므로 구하는 함수 의 개수는 (가지)야. 69. 정답 개 (i) 가 항등함수일 때 개 (ii) 이면 에서 1 서로 한쌍만 바뀌어져 있을 때 이 때에는 개 중 개를 뽑는 경우의 수와 같으므로 C (개) 2 서로 두 쌍이 바뀌어져 있을 때

29 예를 들어, 직선 위의 점 중 위에서부터 두 번째, 네 번째, 일곱 번째 점을 선택했다고 하면 선이 겹쳐지지 않기 위해서는 세 점 를 그 순서에 맞게 대응시키면 되겠지? 따라서 서로 다른 10개에서 3개를 중복해서 택하는 조합의 수와 같으므 로 구하는 모든 경우의 수는 (가지)야. 이 때에는 개 중 개씩 조를 만드는 것과 같으므로 C C (개) (i), (ii)에서 (개) 70. 정답 1 (ⅰ) 를 만족하는 함수 의 개수는 집합 의 개의 원소에서 중복을 허락하여 개를 뽑는 조합의 수와 같으 므로 C C (ⅱ) 를 만족하는 함수 의 개수는 집합 의 개의 원소에서 중복을 허락하여 개를 뽑는 조합의 수와 같으 므로 C C (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수 의 개수는 71. 정답 10개의 상자는 1부터 10까지 번호가 적혀 있으므로 서로 다른 상자라고 보면 되지? 상자에 들어가는 구슬의 개수에 제한없이 똑같은 구슬 3개를 10개의 서로 다른 상자에 넣는 경우를 따지는 거잖아. 그럼 10개의 상자를 중복을 허락하여 3개를 뽑아서 뽑힌 상자에 구슬을 넣으면 되므로 서로 다른 10개 중 3개를 중복을 허락하여 뽑는 경우의 수를 구하면 돼. (구하는 방법의 수) (가지) 72. 정답 2 문제에서 주어진 조건이 무엇을 의미하는지 생각해 보자. 각각의 상자는 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 수를 나타내 므로 각 상자에 넣어지는 공의 개수가 그 자리의 수가 되는 거야. 예를 들면, 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 8개의 공을 각각 0, 2, 5, 1개로 나눠서 넣었다면 전체 숫자는 251이 되지? 중요한 것은 어떤 숫자가 나오지가 아니라 4개의 상자에 공의 개수가 8 로 고정되었다는 거야. 0부터 9999까지의 정수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 8이 되는 정수의 개수는 8개의 공을 서로 다른 4개의 상자에 넣는 방법의 수와 같지? 따라서 서로 다른 4개를 중복을 허락하여 8개를 택하는 조합의 수이므로 (가지)야. 73. 정답 세 선분이 교차하지 않도록 하기 위해서는 에서 선택되어지는 점의 순 서는 이미 정해져야 하지? 주어진 조건에서 직선 위의 10개의 점 중 중복으로 세 개의 점을 선 택하여 택해진 순서에 따라 세 점 를 대응시키면 되지? 74. 정답 5 ᄀ,,, (단, 는 자연수)이라 놓으면 ᄂ 따라서 방정식 ᄀ에서 는 짝수, 는 홀수인 해의 개수는 방정 식 ᄂ에서 이 자연수인 해의 개수이므로 75. 정답 5 C C C 이므로 ㄱ. (참) ㄴ. 이므로 에서 은 자연수이므로 그러므로 만족하는 자연수 은 존재한다. (참) ㄷ. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 76. 정답 정답 전개식의 일반항은 (ⅰ) 의 계수 : 으로 놓으면 이므로 의 계수는 (ⅱ) 의 계수 : 으로 놓으면 이므로 78. 정답 의 계수는

30 여기에서 제 항 이후는 으로 나누어 떨어지므로 제 항 이후의 합을 으로 나눈 몫을 이라고 하면 한편, 일 때, 이므로 79. 정답 (1) (2) (3) (1) 이므로 한편 (2) 준 식 (3) 변변 빼면 80. 정답 정답 에서 (좌변) (우변) 양변의 실수부분을 비교하면 86. 정답 같은 상품에서 몇 개를 뽑든 그 방법은 한 가지이므로 서로 다른 종류의 상품 개에서 개, 개, 개를 뽑는 방법만 생각하면 된다. 구하는 방법의 수를 S 라고 하면 S C C C C 그런데 S C C C C S (가지) 87. 정답 정답 정답 정답 정답 3 에서 의 계수는 이고 을 이용하여 의 계수를 구하면 이다. 따라서 이다. 88. 정답 의 전개식에서 번째 항은 번째 항은 이므로 한편 에서 이므로

31 C C C C C C C C 89. 정답 2 이 때, 은 모두 7의 배수이므로 는 자연수 로 놓을 수 있다. 즉, 과 은 7로 나눈 나머지가 서로 같다. 따라서 이고, 일 후가 월요일이므로 일 후는 수요일이다. 90. 정답 정답 3 제 행의 모든 수의 합을 이라 하면 95. 정답 3 따라서 92. 정답 5 이므로 ㄱ. (참) ㄴ. 이므로 (참) ㄷ. 제 행의 수의 합을 라 하면 (참) 93. 정답 2 (ⅰ) 에서 개를 뽑는 경우와 에서 개를 뽑는 경우는 둘 중에서 한 가 지 경우만 일어날 수 있으므로 합의 법칙에 의하여 (ⅱ) 에서 동시에 개씩 뽑아야 하므로 96. 정답 2 A : B : (명 중 명을 뽑는 경우의 수) (명 모두 남자를 뽑는 경우의 수) C : D : (특정한 명을 제외시키는 경우의 수) 97. 정답 동아리 의 신입생 명 중에서 2명을 선택하는 방법의수는 C 이고, 동아리 의 신입생 7명 중에서 3명을 선택하는 방법의 수는 C 이므로 구하는 방법의 수는 C C 에서 이므로, 98. 정답 1 팀과 게임을 할 팀을 뽑는 방법의 수는 C (가지) 그 각각의 경우에 대하여 나머지 4팀을 (2팀, 2팀)으로 편성하는 방법의 수는 C C (가지) 94. 정답 C C C C 을 대입하면 C C C C ᄀ에 을 대입하면 C C C C 그런데 C C 이므로 C C C C ᄀ에 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 99. 정답 3 ㄱ. 은 선택된 개의 수 중에서 보다 작은 수가 중에 서 개이고, 보다 큰 수가 중에서 개인 경우의 수이므 로 (참) ㄴ. 이므로 (거짓) ㄷ. 서로 다른 개의 수 중에서 서로 다른 개의 수를 선택하여 나열

32 한 것 중에서 두 번째로 큰 수가 인 경우의 수는, 두 번째로 큰 수가 인 경우의 수는 두 번째로 큰 수가 인 경우의 수는 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 차전은 명이 풀리그를 벌이므로 시합의 수 는 105. 정답 3 각 학교 선수 명 중에서 명은 조, 명은 조로 정하는 방법의 수는 (가지) 조의 명을 명, 명을 나누는 방법의 수도 가지이므로 구하는 방법의 수는 (가지) 100. 정답 2 의 전개식의 일반항은 C C 주어진 식에서 의 계수는 에서 에서 C 즉 101. 정답 3 C C C C ㄱ. ᄀ에서 대신에 을 대입하면 ᄀ C C C C ᄂ ᄂ에 을 대입하면 C C C C ㄴ. ᄀ에 를 대입하면 (참) C C C C C C C C 그런데 C C 이므로 C C C C C C C C (참) ㄷ. ᄀ에 을 대입하면 C C C C (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다 정답 4 의 계수이므로 물건과 물건 사이에 개의 틈이 있고, 이 틈 중에서 개를 택 하여 칸을 막으면 되므로 분할하는 방법의 수는 이다 정답 4 이므로 조건 (가)에서 즉, 의 값은 중의 하나이고, 의 값은 중의 하나이면서 조건 (가)를 만족해야 하므로 구하는 함수의 개수는 (가지) 104. 정답 차전은 명을 명씩 개 조로 나누어 시합을 하므로 대진표를 작성하는 방법의 수 는 106. 정답 64 탁자 B에서 3명이 앉아 있던 자리의 집합을 라 하자. 이 때, 탁자 B에 앉 아 있던 3명 중 (ⅰ) 한 명만이 집합 내에서 옮겨 앉는 경우의 수 (가지) (ⅱ) 두 명만이 집합 내에서 옮겨 앉는 경우의 수 (가지) (ⅲ) 세 명이 모두 집합 내에서 옮겨 앉는 경우의 수 (가지) 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 (가지) [참고] 탁자 B에 앉아 있던 3명이 처음 앉지 않았던 자리에 앉는 경우를 수 형도를 이용하여 찾은 뒤 나머지 자리에 A에 앉아 있던 두 명이 앉는 경우 를 곱해 주어도 된다 정답 120 이고, 함수 가 역함수를 갖기 위해서는 집합 의 원소를 3개, 3개의 2조로 나누어 각각 A, B로 정해야 한다. 즉, 두 집합 A, B를 정하는 방법의 수는 (가지) 이 때, 함수 는 일대일 대응이 되어야 하므로 두 집합 A, B가 정 해질 때마다 집합 A에서 B로의 일대일 대응을 정하는 방법의 수는 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 108. 정답 250 (ⅰ) 은 홀수이므로 의 값은 1, 3, 5, 7, 9 중의 하나이 어야 한다. 따라서 의 값을 정하는 방법의 수는 (가지) (ⅱ) 는 짝수이고, 이므로 의 값은 2, 4, 6, 8, 10 중 두 개를 택하여 작은 쪽을 의 값, 큰쪽을 의 값 으로 정하면 된다. 따라서 의 값을 정하는 방법의 수는 (가지) 이상에서 두 조건을 모두 만족하는 함수의 개수는 (개) 109. 정답 2 점 (1, 2)가 삼각형의 한 꼭지점이므로 나머지 두 개의 점을 다음과 같이 택하는 방법이 있다. (i) 의 좌표값이 2인 점 3개에서 2개를 택하는 방법

33 C C (개) (ii) 의 좌표값이 3인 점 5개에서 2개를 택하는 방법 C (개) 경우의수 한식 중식 일식 4 C (iii) 의 좌표값이 2인 점 3개에서 1개, 의 좌표값이 3인 점 5개에서 1개를 택하는 방법에서 일직선 위의 점 3개를 택하면 삼각형이 아니므로 C C (개) 따라서 구하는 삼각형의 개수는 (개) 110. 정답 5 ㄱ. C C 이므로 C C C (참) P ㄴ. C 에서 P C P C C C (참) ㄷ. C C C 이므로 C C C C C C C (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다 정답 서로 다른 개의 점에서 서로 다른 두 점을 택하여 만들 수 있는 직선의 개수는 C 이다. 같은 방법으로 세 점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는 C, 네 점을 택하여 만들 수 있는 사각형의 개수는 C 서로 다른 개의 점을 택하여 만들 수 있는 각형의 개수는 C, 점의 개수는 C 이므로 C, C, C, C,, C C C C C C 그런데 C C C C 에 을 대입하면 C C C C 이므로 C C C, 즉 112. 정답 4 중식의 특정한 음식 2가지를 포함하므로 한식 4종류, 중식 2종류, 일식 3 종류에서 모두 4가지 종류의 음식을 주문하면 된다. C (가지) 그런데 한식과 일식이 각각 적어도 한 종류는 포함되는사건의 여사건은 한식만 주문하거나 한식과 중식만 주문하거나 중식과 일식만 주문하는 경우이다. 따라서 여사건의 종류와 그 경우의 수는 다음 표와 같다 3 1 C C 2 2 C C 따라서 구하는 경우의 수는 1 3 C C 2 2 C C (가지) 113. 정답 (i) 총점이 점인 경우 모든 문제가 점이므로 C (가지) (ii) 총점이 27점인 경우 문제는 점, 문제는 점이므로 C (가지) (iii) 총점이 24점인 경우 문제는 점, 문제는 점이므로 C (가지) 문제는 점, 문제는 점이므로 C C (가지) (iv) 총점이 점인 경우 문제는 점, 문제는 점, 문제는 점이므로 C C (가지) 문제는 점, 문제는 점 이므로 C (가지) 따라서 구하는 경우의 수는 (가지)이다 정답 4 C C 이고, C C C 이므로 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C m m C m m C m n C m C C C C C C C C C C C C C C C C C C 115. 정답 의 전개식에서 의 계수는 C 이고,

34 의 전개식에서 의 계수는 의 전개식에서 의 계수와 같으므로 의 전개식에서 의 계수는 의 전개식에서 의 계수와 의 계수의 차와 같다. 즉, C C 따라서 에서, ᄀ ᄀ을 만족하는 자연수 의 순서쌍 은 이므로 의 최대값은 일 때 이다