산업공학개론 제 장대기행렬분석
제 장대기행렬분석 대기행렬 대기행렬 고객의불규칙한도착과서비스시간의불균형으로인하여기다리는상태를초래 은행창구 매표소 터미널 대기행렬의분석법 물리적관찰을통한결과분석법 비용이많이들지만가장보편적으로이용되는방법 시뮬레이션을이용한분석법 현실적모형을만들어서실험및결과예측에이용 복잡한문제의분석에자주이용되는방법 3 대기행렬의수학적분석법 Quuig ory 확률이론과수리적모델을이용한분석법
제 장대기행렬분석 대기행렬모형 모형의요소 고객의도착형태 : 도착시간의확률분포 봉사자의서비스형태 : 서비스시간의확률분포 3 봉사자의수 4 서비스규칙 : FCF CF RADOM... 5 대기행렬용량 : 대기행렬의최대길이 6 투입요소의수 : 도착고객의한계 분석시스템 서비스시설 도착고객 대기행렬.. 봉사자봉사자.... 봉사자 떠나는고객 3
제 장대기행렬분석 대기행렬모형 Kdall- 의기호 //3:4/5/6 : 고객도착및서비스형태 M: 지수분포 D: 일정시간간격을두고발생 E: Erlag 분포 G: 일반분포 3: 종사자의수 4: 서비스규칙 FCF CF IROrvic I Radom Ordr 5: 대기행렬용량 6: 투입요소한계 예 M/M/:FCF/ / 4
제 장대기행렬분석 분포의가정 도착시간 간격 의분포 빈도 c b a 무작위도착 > 지수분포 : ft -t 지수분포 다음고객의도착은이전고객의도착과무관하다. 도착시간간격 다음고객의서비스시간은이전고객의서비스시간과무관하다. f t g t t t : 도착률 평균 분산 : 서비스율 평균 분산 < 정의 > 도착률 : 단위시간당도착하는평균인원수서비스율 :.. 서비스할수있는능력 5
제 장대기행렬분석지수분포의특성 지수분포의도착형태 [] 동안고객이하나도도착하지않을확률 첫고객이 시간이후에도착할확률 [] 동안고객이도착하지않은상태에서 [ ] 동안고객이아무도 t dt t 6 도착하지않을확률 > 임을알수있고 이것은 라는시점과무관하게시간간격 에만관계됨을의미함.mmorylss 매우작은시간간격 동안도착이없을확률 > 동안 명이도착할확률 t t dt dt t t... 3!! 3 t t t! k k ax k ax
제 장대기행렬분석순수탄생모형 순수탄생모형 시스템을떠나는사람이없이도착만발생하는모형 시간동안 명이도착할확률? 시스템내에 시간이지나 명이존재할확률 ] [ ] [ o o o 7 ] [ ] [ o o o! : d d o 이면수학적귀납법을통해서일때 이라면 에대해서양의정수 이고 만약 oisso 분포 분산 평균
제 장대기행렬분석 [ 예 ] 순수탄생모형 휴일의서울대공원에는사람과자동차로뒤덮힌다. 공원측은앞으로자동차가늘어날것에대비하여 현재 8 대가주차할수있는공간의확장여부를결정하고자한다. 보통휴일에는입장객이 8 시부터들어오기시작하여 오후 시이후에는거의들어오지않는다. 이때까지는입장객만있을뿐공원을떠나는사람이거의없다. 지금까지의자료에의하면시간당평균 대씩입장하는데 공원측은현재의주차공간이포화될확률이 5% 이하가되도록확장하고자한다. 주차공간을 대단위로증가시킨다면 몇대수준으로확장하여야하는가? 단위를 대로하면 도착률 기간은 5 시간이된다. 따라서 5시간동안의입장객수에대한확률분포는 5 5 5 5 5 이고!! 5.33 5.68 5.3 8 9 입장객이 명이상일확률 이상 시스템내에 대이상의자동차가있을확률이.3 로 5% 보다작기때문에주차공간을 대더확장하면원하는수준을맞출수있게된다. 8
제 장대기행렬분석 포아송분포 예 특정도시의 주일동안교통사고로인한사망자수 대기업의교환대에서한시간동안걸려오는전화의수 시험발사된인공위성이한번의궤도를운행중에부딪치는운석의수 제조품중불량품의수등 9
제 장대기행렬분석 M/M/:FCF/ / 확률의유도 M/M/:FCF/ / 도착 / 봉사지수모델 봉사자 명 FCF 대기행렬 도착고객 도착률 봉사율 의지수분포모델 임의의 시점에서매우작은시간 t 가흐르는동안의상태전이 t t t t t t t t t t t. -. t t t t t t t t t t t t t t
제 장대기행렬분석정리해서 t 으로보내면만약위의식들이 값에영향받지않는통계적평형 statistical uilibrium 상태 즉아래의조건을만족한다고가정하면 다음과같이변형된다. 때일 > d d d d d d lim < 때일 > 이므로 < 라면 이용률 /
제 장대기행렬분석 M/M/:FCF/ / 분석 M/M/:FCF/ / 의분석 시스템내부의평균인원수 대기행렬에서기다리는평균인원수 시스템내에서보내는평균시간 대기행렬에서기다리면서보내는평균시간 W W W
제 장대기행렬분석 [ 예 ] M/M/:FCF/ / 고속버스매표소의줄이점점더길어지고있다는느낌이들어서 현재매표소의서비스에대한수리적분석을해보고자한다. 조사해본결과매표소에는평균 분당 8 명꼴로도착하고있으며 매표소는 분에 명까지표를팔수있는용량이된다고한다. 이매표소에서표를구입하기까지의전체시간 W 줄을서서기다리는데보내는평균시간 W 매표소에평균적으로있는사람 과줄서서기다리는사람의수 를파악하여라. 8 이므로 W W 8 4명 8 8 4.5 3.명.5분 8 W.4분 3
제 장대기행렬분석 M/M/:FCF// 확률의유도 도착율 봉사율 의지수분포모델 대기행렬의용량이 까지제한됨 M/M/:FCF/ / 에서 일때의제약추가 추가 일때 일때... 일때 M/M/:FCF/ / 와는달리이용률 / 이 보다작지않더라도항상정상해가존재한다. 4
제 장대기행렬분석 이므로이고경우일 : [] 5 이므로경우일 : [] i i i
제 장대기행렬분석 M/M/:FCF// 분석 M/M/:FCF// 의분석 시스템내부의평균인원수 일때 일때 대기행렬에서기다리는평균인원수 a ' a ' ral procss load 실제입력되는부분 vs. 실제처리되는부분 : ffctiv arrival rat a a ' blockig prob. 6
제 장대기행렬분석 시스템내에서보내는평균시간 W 대기행렬에서기다리면서보내는평균시간 W W 7
제 장대기행렬분석 [ 예 ] M/M/:FCF// 학교이발관은이발사한사람이일을하고있다. 이발하는데에는평균 분이소요되며 한시간에 명꼴로손님이오고있다. 이발소에는의자가 5 개있는데 손님들은빈의자가없으면이발을다음기회로미룬다고한다. 이이발소에갔을때평균적인손님의수 의자에서기다리는손님의평균수 이발을받고나올때까지의시간및기다리는데소비되는시간을구하여라. 단 손님의도착시간간격과봉사시간은지수분포를따른다고한다. 5 단위를 시간으로하면 3 이므로 /3 이다. 8
제 장대기행렬분석! M/M/:FCF/ / M/M/:FCF/ / 의분석 /!! cf. 9 W W 봉사자수 W W 5..6 6..7 9.... 9.. 봉사자수의효과 봉사자수에따라대기행렬이급격히줄어든다. 단 9 일때!!
제 장대기행렬분석 [ 예 ] M/M/:FCF/ / 공대식당이새로만들어져학생식당의고객을빼앗길위험이발생했다. 현재학생식당에서는 개의배식대로 분에약 5 명의학생에게배식을하고있다. 학생들은매분 명씩식당을찾는다고한다. 만약기다리는줄이길면학생들이공대식당으로옮길가능성이커서 식당주인은배식대의개수를늘려서줄을서서기다리는학생의수를평균 명이하로떨어뜨리고자한다. 이시스템을분석해서몇개의배식대를추가로설치해야될지결정하시오. 5 이므로 /5.8 < 이다. 현재 개의배식대로운영할때 4명 5 4.8 3.명 4 W.분 W 3..6분
제 장대기행렬분석 배식대를 개로할때 W W!! /!.97.7.5분.분 5 3.8.8.97.8.7명! 5 / 5.46.46.8.97 명! 배식대를 개만운영해도평균대기인수가 명이하로떨어지므로배식대를 개만더설치하면된다.