8 장분석과실험의복합적해석 - 유체와고체의경계면에는마찰이작용하고있기때문에표면가까운곳에경계층 (boundary layer) 이라고하는특별한유체층이발달된다. 이러한경계층의영향은유체유동의역학에서결정적인역할을하며실제응용에서나타나는여러가지복잡성에대한중요한원인이된다. - (a) 뭉툭한물체주위를흐르는외부유동 (external flow), (b) 수로나파이프를흐르는내부유동 (internal flow) 각각에대해 --> 층류유동과난류유동흐르는모든경우에대해상세히검토한다. - 수치해석은더빠르고더큰컴퓨터의출현으로현저한발전이있었기때문에, 이론적으로는어려웠던여러가지복잡한문제가이제는수치적으로해석되고있다. [ 내부유동 ] [ 외부유동 ]
Flow Classification (two-dimensional) ( ) ( )
8.1 경계층의개념 유체영역에따른초기유체역학이론의한계 - 고체표면에서멀리떨어진곳 : 비교적정확한유체유동을예측가능 - 고체표면에서가까운곳 + 뭉툭한물체의후면 : 와류유동과같은일반적으로관찰되는현상에대한예측을하지못함. 실험자들이그결과를설명할만한충분한이론적인개념을알지못하였다. 한계극복 : 경계층이론 ( 독일의유체역학자 Ludwig Prandtl) - 경계층이론은고체표면부근의얇은유체층에집중된것으로, 이층에작용하는점성효과는이론과실제의모두가안고있던결점으로인해그동안설명되지못했던부분을연결시켜주고있다. 경계층이론은유체역학에서가장중요한개념중의하나로, 유체역학분야를형성하는데중추적인역할을하였다. - 내부영역 ( 고체표면을지나는유동은고체표면에인접한얇은층 ) + 외부영역 ( 고체표면에서멀리떨어진 ) - 예 ) 평행평판을지나흐르는균일한공기유동에서, 속도 = 10 m/s인경우에평판의선단에서 0.5 m 떨어진곳에서의경계층두께는 0.5 cm 정도이다. 이러한얇은층내에서, 속도는고체표면에서영 ( 점착조건 ) 으로부터자유유동속도 u = U까지변한다. 이러한큰속도구배때문에, 유체변형과그에따른점성력은큰값을가지고따라서무시할수없다. 유동가시화영상시청
8.1.1 경계층이론 평판을지나는균일유동 - 점성의작용에의하여얇은층이형성 - 유체의속도는벽면에서, u = 0 ( 점착조건 ) 경계층가장자리에서, u = U ( 균일유동속도, 자유흐름, free stream velocity) - 경계층의두께는유동방향 ( 주유동방향, x방향 ) 으로갈수록증가한다. - 층류 천이 (transition) 난류로변화 Re = 3~5x10 5 Re = 1x10 6 Re = ρvl/µ, (L = 평판선단으로부터의거리 ) - 경계층방정식 (boundary layer equation) : 경계층의두께는유선방향으로의거리에비하여매우작기때문에지배방정식 ( 운동량방정식과질량보존식 ) 은원래의형태에서단순화된형태. - 경계층방정식유도스케일링변수 : 속도 (= 자유유동속도 U) 와길이 ( 평판의길이 L) 로층류운동방정식을무차원화한후, 차수계산해석을통하여유도. 경계층이얇다는사실에서출발 ( 가장중요한핵심 ) 그러므로경계층의무차원두께 d는작으므로 d << 1이다. 무차원화된유선방향속도 u와평판선단으로부터의무차원화된거리 x : u ~ 1, x ~ 1. 도함수 du/dx ~ 1의차수.
8.2 층류경계층유동 8.2.1 층류경계층유동의상사해 : Blasius Solution 엄밀해없음 : 경계층방정식 (8.1) - (8.2) 는비선형포물선편미분방정식. 수치해 : 13.5.1절에서설명하는 2차원, 층류, 경계층방정식의유한차분해참조. 이해는경계층방정식에있는변수들에대한특수변환이용 변환무차원변수상사변수 (similarity variable) + 무차원유동함수 상사해 (Similarity Solution) 2 차원경계층방정식 1 차원문제로변환 - 비선형상미분방정식유도 - 4차 Runge-Kutta 적분방법을사용하여구함 - 실제로평판을지나가는경계층유동의엄밀해로간주할수있다.
예제 8.1 문제그림 8.7과같이 2 m/s로날고있는글라이더의수직꼬리날개표면에서의최대경계층두께를구하라. 꼬리날개는평평하고유동방향으로의길이가 0.5 m, 높이가 1 m라고가정한다. 글라이더는고도 1500 m 상공을날고있으며, 여기서의평균온도는 68C이다. 주어진조건에대해최대경계층두께위치에서유동으로인한벽면응력을구하라. 예제 8.2 문제예제 8.1의글라이더에서표면마찰력 Fv의변화를속도의함수로구하라. 속도는 2 m/s에서 4 m/s 범위안에있다고생각하라.
8.2.2 층류경계층유동의근사해 - Blasius의엄밀해는 - 여러가지간단한함수들을사용하여근사적으로표현할수있다. 예, (a) 2차함수, (b) 사인함수 (c) 그외의적절한함수가능 경우 I : 2 차함수경계층내부속도분포가정 경우 II : 사인함수경계층내부속도분포가정 표 8.2 는평판을지나는층류유동에대한결과를요약
8.1.2 운동량적분이론 경계층은지배방정식을경계층의두께방향으로적분하는적분해석에의해근사적으로해석할수있다 이러한적분으로부터얻어지는식은간단하고, 유동방향인 x방향으로의적분만수행하면되는상미분방정식으로된다. 출발 : 경계층의발달을설명하고경계층의두께가적분구간내에포함되도록하기위해상한구간 ξ를예상되는경계층두께보다크게선정 x-운동량식을적분식으로표현하면, ξ u u 0 x + v u y 0 dy = ξ 1 ρ P x 0 dy + ξ τ y 1 ρ dy (1) 연속방정식에서, v = 0 y u dy (2) x 정상유동에대한압력구배는, 1 ρ 그러므로, (2), (3) --> (1) dp dx = U du dx (3)
예제 8.4 문제경계층내의속도분포를 2차함수와사인함수로근사한식을사용하여, 예제 8.1-8.3의수직꼬리날개에작용하는총표면마찰력을계산하라. 또, Blasius 엄밀해로부터구한결과와비교하라.
8.3 난류경계층유동 - 난류유동은층류유동보다상당히더복잡하며, 기하학적형상과표면거칠기등과같은요인에의해서도영향을받는다. - 다행히난류경계층유동의해석에있어서는실험데이터들이도움이된다. 실험관측 : - 점성저층 (viscous sublayer) : 고체표면근처에는, 여기서는유동이점성의영향을지배적으로받는다. - 완전난류유동 : 표면에서먼곳에서유동 - 중복층 (overlap region) 또는천이층 (transition layer) : 유동이점성과난류의영향을모두받는다. - 점성저층이있는데도불구하고유동은표면거칠기에도영향을받는다. 매끈한벽면의경우는표면의울퉁불퉁함이모두점성저층안에있으며, 그영향이최소화되는경우이다. 그러나거친표면에서는, 거칠기가점성저층을뚫고주유동과간섭을일으킨다.
벽볍칙 (law of the wall) - 점성저층내에서 u는 y에따라선형적으로변한다. 실험결과로부터전단응력 τ w 는점성저층을가로질러일정하다. 그러므로, τ w = µ u y τ w ρ υ u y = υ u y τ w /ρ 는속도제곱의 (m 2 /s 2 ) 단위이므로, U*= τw ρ : 마찰속도 (friction velocity) 따라서점성저층안에서의속도는 u U* = U* y υ 실험에서, 점성저층의두께, 중복측두께는 : 벽볍칙 ( yu* ν < 3)
( yu* ν > 3) 인영역에서는, 표면의거칠기영향 (a) 매끈한파이프유동영역 (b) 마찰의천이유동영역 (c) 거친파이프유동영역 : eu* ν < 5 : 5 < eu* ν : eu* ν > 70 < 70 매끈한표면 : u U* = αln yu* υ +, α =2.5, =5.0 ( 대수법칙이적용가능 ) 벽에서먼곳에서는, u U* = y 1n, (n=6~10) : 7승법칙 (seventh-root law) Blasius 제시, (Re < 3x10 6 경우 ) τ w =0.0233ρU 2 y U 1 4 거친표면 : 천이영역은 u U* = αln yu* υ + (e ), α =2.5, =8.5 (8-21) β(e) 는그림 8.17 완전히거친영역에서는 u U* = αln y + e, α =2.5, =8.5 (8-22)
예제 8.4 속도 100 m/s의균일한공기유동에의해, 각변의길이가 0.5m인정사각형평판에작용하는마찰력은? ( 밀도 ρ = 1.165 kg/m 3, 동점성계수 ν = 1.60 x 10-5 m2/s). 가정 - 정상유동이며평판끝단의영향은무시된다고가정한다. - 또한, 천이유동에대해완전난류유동의식을사용할수있다고가정한다.
8.4 외부유동 (External Flow) 8.4.1 유동박리 (flow separation) - 고체표면근방의경계층유동과비점성유동으로간주되는외부유동영역고찰. - 경계층내의유동은비점성유동 + 외부의압력구배에의해결정 - 지금까지는외부유동이항상고체표면을따라서매끄럽게흐르는것으로간주 - 그러나경우에따라서는유체가고체표면으로부터떨어져나갈경우도있다. 이러한현상을일반적으로유동박리 (flow separation) 라고부른다. - 유동박리가나타나기위해서는표면에서전단응력의부호가바뀌어야만한다. τ = µ du dy y =0 순방향유동일때 : τ = µ du dy y =0 > 0 역방향유동일때 : τ = µ du dy y =0 < 0 박리시작조건 : τ = µ du dy y =0 = 0 역류 박리는변곡점을가지는속도분포일때일어난다. 결론적으로박리는오직감속되는유동에서만발생할수있다. 요약가속되는경우또는 순압력구배 유동은표면에부착되어흐른다. 유동이감속 역압력구배 역류를발생 박리가발생
8.4.2 후류역학 - 와도 (vortex) 형성 : 경계층에의해나타나는또다른현상은흐르는유체와벽면과의상호작용에의해와도 ( 경계내의유체입자들이회전하려는경향 ) 가생성 - 압력구배가양이면유동은박리될수있으며와도를주유동안으로방출한다. 와도는또한날카로운모퉁이나형상의갑작스러운변화가있는곳과같이유동이고체면을따라매끄럽게흐를수없는곳에서방출 -이와류가어떤임계크기에도달하게되면물체로부터유출되고주유동과함께하류로떠내려가후류 (wake) 를형성. - 이와같은와류유출 (vortex shedding) 을독일의유명한공기역학자 Theodore von Karman의이름을따서 Karman 와열 (von Karman vortex street) 이라부른다.
8.4.3 항력과양력 - 비대칭적인와류유출 불안정한압력장과속도장이형성 비정상힘을받는다. - F의변동으로인한주기와크기는유출되는와류의주기와강도에직접적인영향 - 그러므로후류역학과유발되는힘에대한역학은서로밀접한관련 유동방향성분 : 항력 (drag force), F D (t) 유동에수직방향성분 : 양력 (lift force), F L (t) - 박리유동해석의주된목적은횡단류를받는물체에작용하는양력과항력을구함 당연히물체표면을따라정확한압력과힘의분포를알아야함 그러나유동구조가복잡하고, 대부분의실제응용분야에서유동은난류이기때문에이러한힘들은보통실험적으로구해실험식이나표의형태로제시 - 예, 실린더 ( 혹은다른뭉툭한물체 ) 위에작용하는힘은, 무차원해석을통해 F ρu 2 D = f ( Re D,e ) 2 - 힘은일반적으로, C D = C L = F D = f ( Re, e) 1/2ρU 2 A D F L = f ( Re, e) 1/2ρU 2 A L
8.4.4 원형실린더를지나는유동 고전적인사진은후류의성장과정을분명하게보여주고있다 (Prandtl)
원형실린더를지나는유동의영역별유동특성 이민형교수, 세종대
8.4.5 임의의형상을가진물체를지나는유동 - 임의의형상을가진물체를지나는유동에있어서의유체역학은원형실린더를지나는유동에서설명하였던유동현상과천이영역들과유사하다. - 그러나형상이다르기때문에유동박리, 후류의성장, 와류유출주기, 발생되는힘의크기와주기의변화등이실린더를지나가는유동과는정량적으로다르다. - 이들유동은대부분실험적으로구해진다. - 그림 8.27-8.29에는선정된몇가지형상에대한항력계수와양력계수
예제 8.10 문제스카이다이빙에서다이버들은점프후가속되다가일정한도착속도 (terminal velocity) 에이르게된다. 다이버와장비의총질량이 80 kg일때도착속도를구하라. 낙하산이완전히펴졌을때지름은 4 m이다.
ρ µ
ρ
ρ ν
ρ ν
h tot = V 2 2g f L d + Σ K
ΣK =1.5
m = ρq η = W theo W actu < 1
ρ ν ρ ν
ρ ρ