韓國數學敎育學會誌시리즈 A < 數學敎育 > J. Kor. Soc. Math. Ed. Ser. A: The Mathematical Education 1996. 12. 제 35권, 제 2호, 169-186. Dec. 1996, Vol. 35, No. 2, 169-186. 한국과러시아의수학영재교육과정연구 서보억 ( 한국교원대학교 ) 신현용 ( 한국교원대학교 ) I. 서론 A. 연구의필요성및목적교육이하나의과정즉, 지식체계와실천체계를갖추고있는활동이듯이수학교육도이러한체계들을가지고있다. 일반적으로지식체계는논리적이고과학적인내용을포함하는것으로학생들이실제로학습해야하는수학교육의대상, 학습내용을의미한다.( 정태범외, 1989) 이러한지식체계의핵심은교육과정상에나타나있는수학적인개념 (concepts) 과사실 (facts), 원리 (principles), 기능 (skills) 이다. 구체적으로 Robert M. Gagné 는이러한수학적대상을직접적인대상인사실, 원리, 기능, 개념과간접적인대상인학습의전이, 탐구능력, 문제해결능력, 자기단련 (self-discipline), 수학적구조에의음미 (appreciation) 로세분화하였다. Gagné가보고있는간접적대상은학습을위한구체적내용은가지고있지는않지만직접적대상을학습하였을경우, 자연적으로학습되어져있기를바라는것이다. 분명히학습의대상은사실, 개념, 원리, 기능등이지만이를통해학생은다른학습에전이가일어나고, 과학적인문제에대한탐구능력이성숙하여야하며, 실제상황에서적극적으로대응할수있는문제해결능력이성숙되고, 수학적구조에대해아름다움을느낄수있어야한다. 역으로, 수학교육과정이학생들의탐구능력, 학습의전이, 문제해결능력, 수학적구조를음미할수있게끔구성되어야한다. 이러한, 수학교육과정에대한 입장은수학적특수아를대상으로하고있는수학영재교육에서는더욱절실하다. 과학고등학교의설립목적과수학교과의교과목표에서볼수있듯이수학및과학영재아를위한특수목적고등학교라는외형적인모습과는달리수학교육과정의운영면에서많은문제점을내포하고있다. 석용징 (1992) 은 과학고등학교는평균화집단에서분리되어운영되고있지만교재개발의문제와대학입시의문제때문에본래의의미를주지못하고있다. 라고지적하고있다. 수학교재가평준화집단에서사용되고있는교재를그대로사용하고있고, 이에대한약점을보완하기위해수학Ⅲ라는교과서를새롭게개발 ( 한국교원대학교수학교육연구소, 1992) 하였지만이에대한문제점이계속재고되고있는상황이다 ( 석용징외, 1992). 이에비해, 러시아는 1934년레닌그라드대학교에있었던최초의수학경시대회를시작으로각지역에서우수한학생들을수학경시대회를통해선발, 대학입학의특전을주기시작한것이바탕이되어수학영재교육에대한깊은관심을보였다. 이러한관심은 1957년최초의인공위성발사, 1961년최초의유인우주선의발사라는신화를창조해내었다. 1958년흐루시초프의수학영재교육에대한국가적차원의지원을강조한것이계기가되어 1961년노보시비르스크대학교에서여름학교가개교되었고, 2년뒤 1963년 12월에는국립모스크바대학교부설 Kolmogorov학교가개교하게된다. 이학교는지난 30여년간자체적인교육과정의개발과교재의구성및발간의노력으로세계최고의수학영재학교로인정받게되었다. 이학교내에는 169
170 서보억 신현용 한국의과학고등학교와는달리수학 물리학교, 화학학교, 경제 수학학교세개의학교로세분되어져독창적이고고유의교육과정에의해깊이있는수학영재교육이이루어지고있다. 아직까지한국은수학영재교육과정을위한기초적인방안이제시되어있지않고, 현실적인문제로시도조차못하고있다. 이러한수학영재교육과정의기초를마련하기위해러시아의수학 물리학교의수학영재교육과정을소개하고분석 비교하여그들이지난수십년간이룩하여놓은결실을살펴보는것은의미있는일이다. 그리고, 지금까지러시아의일반교육과정에대한비교 연구를통해서우리에게주는시사점을이미살펴보았다 ( 이용곤외, 1995 ; 한인기외, 1995 ; 최정화외, 1995 ; 이숙경외, 1995 ; 서보억외, 1995). 이제일반교육과정에이어서우리의수학영재교육과정수립을위해러시아의수학영재교육을비교 분석하여보는것은필요하리라본다. 이연구를수행하는목적은첫째, 현재우리나라과학고등학교의수학교육과정상의현실태를직시하고, 수학영재교육을일찍정착시킨러시아의수학영재교육과정의교과운영, 교육편제, 운영형태, 학습편제등을올바르게알아보는데있다. 둘째, 러시아의수학영재교육과정의고찰을통해서한국의과학고등학교의수학교육과정과수학영재교육과정의재구성을위한기초자료로제시하는데이연구의목적을찾을수있다. B. 연구문제 1. 한국의과학고등학교에서의수학교육과정이러시아의수학 물리학교에서의수학영재교육과정과의차이점과유사점은무엇인가? 2. 러시아의수학 물리학교에서의수학영재교육과정을통해서볼때우리의과학고등학교의수학교육과정및수학영재교육과정에주는시사점은무엇인가? C. 연구의제한점 1. 본연구는한국의과학고등학교의수학교육과정을수학영재아를위한수학영재교육과정으로규정하여연구를수행하였다.. 2. 러시아는 Kolmogorov 학교를주연구대상으로잡았다. 러시아의경우는세곳의영재학교가있는데그중에한곳을선택하였다. 러시아는각학교마다독특한교육과정이있으므로수학영재교육과정상에서차이가있다는것에주의를요한다. D. 기대되는효과본연구를통해서다음과같은기대효과를생각할수있다. 1. 한국의과학고등학교의설립취지에부합한수학교육과정에대한방향을제시하여줄수있다. 2. 수학및과학에우수한학생들에게적절한교육을실시함으로서적성과능력을최대한계발하여국가발전과수학 과학영재아에게과학기술발전에이바지하는우수한과학자가될소양을갖추게할수있다. II. 이론적배경 A. 수학영재의정의수학영재교육에서뿐아니라일반영재교육에서도가장중요하며기본이되는것이영재에대한정의에관련된것이다. 어떻게영재에대한정의를내리느냐에따라영재의선발, 교육과정, 교육방법, 교육평가가다르게구성되어질수있기때문이다. 1950년이전에내려진과학및수학영재에대한정의를보면 Terman은영재성 (Giftedness) 을지적인측면에서만관심을가지고영재의정의를 S. B. I. S(Stanford-Binet
한국과러시아의수학영재교육과정연구 171 Intelligence Scale) 에의한상위 1% 안에속하는학생을영재로정의를내렸다 (NCTM, 1987). 아직까지영재의정의를이러한개념으로인식하는경향이있을만큼영재교육에미친영향은크다. 1950년대말을지나고 1960년초가되면서영재의정의를지적인측면외에도다른측면에관심을두기시작하고지능을보는관점이다양화되었다. 특히, Guilford(1967) 는지적모델의구조를제시하여다양한면에서지능을고찰했고, Getzels, Jackson 등은영재의중요한특성으로창의성을강조하게된다 (NCTM, 1987). 이러한수학영재에대한정의는 Renzulli에의해서강한비판을받는다. Renzulli(1978) 의비판의중요핵심은지적이고인지적인영역만을강조한나머지정의적인능력에대한관심이결여되어졌다는것이다. 따라서, 정의적인영역을포함한수학영재에대한정의를강조한다. 그는수학영재아정의에대한모형에서평균이상의일반지적인능력, 높은창의력, 고도의과제집착력이라는세가지의영역을제시하고있다. 그리고, 이세가지영역을공통적으로만족시키는학생을영재라고규정한다. 다시말하면, 영재성을인간특성의세가지기본요소들사이의상호작용으로파악하고있다. 수학영재에대한다른관점으로인구비율적인관점에서영재를정의하고있다. 이것은통계적인접근으로영재성을인구의다른사람과의비교로보고있다. 즉, 능력은정규분포를이루고있는집단으로가정을하고, 검사를통해서평가되어진결과를가지고정규분포의상위 3% 에속하는학생을영재로규정하는것이다. 그의이정의는영재교육행정지원및교육재원등의예산을세우거나학생선발등에아주빈번이언급된다. Brandwein은수학 과학영재아를다음세가지의필수요소를가지고있는학생으로정의를내렸다.(Thomas, 1975) 첫번째요소는유전적인요소로 높은지능을가지고있는학생들은 서로관련성을가지고있고, 그들은대부분유전을받은타고난다. 라고규정하고있다. 두번째요소는은성향적인요소라고부른다. 이요소에는인내력, 어떤과제를수행하기위해서보통사람들보다뛰어나게시간을보내는의지력, 불안한감정을이겨내는의지력, 실패를극복하는의지력등을포함한다. 세번째요소는활동적인요소이다. 이요소는다른요소에비해서외적인요소에크게관심을가지는것으로심화훈련을위한기회와능력있는교사와의만남등을포함하는외부적인영향을의미한다. 활동적인요소는다른두요소를실제생활로불러들이게하는역할을하는것으로전적으로외부교육에의해서좌우되는요소이다. 지금까지몇사람의영재및영재성의정의를알아보았다. 아직까지수학영재에대한분명하고명확한정의는없다. 지난 100년동안여러학자에의해서발전되고수정되고변화되어져왔다. 이러한수정과변화는지적인능력, 창의성, 정의적인영역, 활동적인영역을포함하는방향으로발전되었고, 이에바탕을두고이요소들의상호작용으로수학영재아를정의내리고있다. 이러한발전과정에서생긴다양한영재에대한정의는그필요에따라그중요성이다양하게강조되어지고있고보수적인정의와함께자유적인정의도폭넓게사용되어지고있다. B. 수학영재교육의역사적배경과발전 1. 한국의수학영재교육 1945년해방과함께우리나라의현대적의미의교육이본격적으로실시된다. 그당시국내외사정은제도권내의교육을정착시키기에도역부족이었고경제적인상황은특수아교육을하기에는너무사치스러운감이많았다. 하지만 1970년대가되면서경제부흥이일어나기시작했고, 국내정치가안정되면서교육에대한관심이촉진되어져갔다. 1973년고등학교의평균
172 서보억 신현용 화시책이전국적으로실시되고모든학생이동등한위치에서같은교육을받게된다. 하지만이러한평준화정책은 1980년대에들어오면서평준화에따른고교교육의수월성저하와질적하향평준화에대한우려의목소리가높아갔고평준화폐지및우수아의특수교육을강조하게되었다.( 홍창기, 1988) 이러한우려의목소리가영재교육에대한높은관심으로나타났다. 1980년대의수학및과학영재교육에대한이러한관심은 1960~70년대비평준화정책시절의무관심에비교해짧은시간내에일어난변화는우리나라수학영재교육의발전적인측면에서볼때높이평가할만한사실이다. 이러한높은관심은 1978년한국교육개발원 (KEDI) 에서과학고등학교설립을제안하였고, 1983년에경기과학고등학교가개교하게된다. 경기과학고등학교의설립으로우리나라최초의수학및과학영재교육이제도권교육내에서실시되게되고우리나라영재교육발전에큰기여를하게된다. 한국의과학고등학교는러시아의수학 물리학교인 Kolmogorov 학교에해당된다고평가할정도로우수한학생들로구성되어심도있는교육이실시되고있다.( 최영한, 1994) 하지만, 과학고등학교이면에는부정적인측면이적지않다. 먼저, 우리나라의수학및과학영재교육의필요성이영재교육의본래의목적인개인의자아실현과국가과학기술의발달에맞추어진것이아니라, 1973년고등학교평준화에따른실력의하향평준화에대한우려와걱정때문에비롯되었다는사실이다. 실제이학교의운영이대학입학을위한수재를위한학교로변질운영되고있는것이우리의현실이다. 2. 러시아의수학영재교육볼세비키혁명이후지금까지의수학영재교육의발달에영향을미친부분을중심으로몇개의시대로나누어살펴보면다음과같다. 제 1기는수학영재교육의태동기 (1934 ~ 1960) 로스탈린시대와흐루시초프의초기집권기에해당하는시기로 1934년에레닌그라드대학교주최로수학경시대회가개최되어우수한학생들을이대학교에입학시키는제도로활용하였고, 수학동아리의발생및최초로수학올림피아드에참가하게되는시기이다. 1957년에세계최초로인공위성을발사하여전세계적으로수학및과학의위상을높이는데성공하였다. 이러한분위기에서 1957년과 1958년에국립모스크바대학교주관으로수학경시대회를개최하는데성공하여국가적인차원에서의수학영재교육의기반이다져지게되었다. 제 2기는수학영재교육의발전기 (1961 ~ 1967) 로수학영재교육에서는흐루시초프의강력한지원이이루어지는시기이다. 후루시초프와여러학자들의위기감에의해제시된수학영재교육에의강조로인하여 1961년부터는소련과학원시베리아지부가소련올림피아드에서우수한학생들을모아서여름학교를 1개월간개최하여우수아에대한집중적인훈련을실시하였다. 이것이계기가되어 1963년에국립모스크바대학교, 레닌그라드대학교, 노보시비르스크대학교부설로수학 물리학교가개교되어본격적인수학영재교육을시작하게된다.(МГУ, 1994) 이시기의수학영재교육에서의가장큰성과는수학의대중화에성공하였다는것이다. 1967년에기존의소련올림피아드를전소연방으로확대하여실시하였고, 통신강좌를만들어누구에게나수학을접할수있는기회를제공하여주었다. 제 3기는수학영재교육의황금기 (1968 ~ 1983) 로브레즈네프가집권하던시기이다. 이시기는 1960년대말의수학의대중적인인기가절정에다다른다. 공산당차원에서영재교육을부인하던기존의사고를철저히배격하고당차원에서영재교육을공식적으로인정함으로서영재교육의황금기를이룬다. 전국적으로심화교육활동이널리퍼졌고, 이심화학습을위한
한국과러시아의수학영재교육과정연구 173 수학및과학을위한 Курс( 꾸루스 ) 가 4500개이상이생겨났다. 이러한과외꾸루스는러시아수학영재교육발전에큰기여를하게된다. 수학영재학교와수학클럽이대중적인인기를얻자 1969년국립모스크바대학교의 Kolmogorov 와 Kikoin 교수는 Квант( 끄반뜨 ) 라는수학전용잡지를만들었다. 이잡지는창간 3년만인 1972년에 37만부의정기구독자를만들었을정도로수학의대중적인인기를대변하여준다. 제 4기는수학영재교육의격동기 (1984 ~ 1991) 이다. 러시아의개방과개혁속에서교육역시큰혼란을거듭한다. 혼란스러운교육상황속에서러시아수학영재교육의산실인국립모스크바대학교부설수학 물리학교의신입생들의실력이점차로낮아지고있고, 대학입학에서수학및과학계통의학과의인기가상당히낮아졌다는현실속에서격동기에처해있는수학영재교육의단면을볼수있다. C. 수학영재교육제도비교한국과러시아의수학영재교육제도상에서의 차이는다음 < 표 1> 에서처럼수학교육의목표면에서한국은사고력및창의력을길러문제해결을신장시키는데그중요목적을두고있고, 러시아는미래교육에의대비와타교과의도구로서의수학을강조하고있다. 수학영재교육기관을운영하는기관은한국의경우국가에서교육과정을마련하고그운영은각시도교육청에서운영하고있는반면, 러시아의경우는기본적인교육과정의운영이해당학교나대학교에서운영하고있음을알수있다. 각기관에서의수업연한은한국의경우는 3년을원칙으로하고 2년간으로단축할수있다. 러시아는 2년제로운영되고있다. 전체수업의수업시수면에서는러시아가주당 43시간으로가장많고, 수학수업의경우도러시아는한국에비해서많은시간을수학수업에할당하고있었다. III. 연구방법및절차 A. 연구의대상 1. 한국의수학영재교육과정 < 표 1> 수학영재교육제도의비교 비교지표한국러시아수학의기본적인지식을가지게하고, 학습자의인성개발에근간이되는수학적수학적으로사고하는능력을기르게하지식, 능력그리고기능의기초를형성하게수학교육여, 이를활용하여창의적으로문제를하고, 인성에서중핵적이고근간이되는특의목표해결할수있게한다. 성을형성케하여완전한인성의형성을가져오게한다. 수학영재과학고등학교 수학 물리학교 교육기관 수학영재각과학고등학교소재해당시 도교국립모스크바대학교를비롯한각종합대학 교육 육청에서 학교의 제반교육지원업무를교에서부설로운영 ( 국립학교 ) 운영기관 수행하고운영 ( 공립학교 ) 교육과정국가에서지정한교육과정에의한운영대학교에서만든교육과정에의해교육과 의운영 정운영 교육기간 3년을원칙으로하고 2년동안수학을 2년을원칙으로하고, 입학학년에따라 1 마칠수있다. 년과정이있다. 수업시간 주당 35시간 주당 43시간 수학수업 주당 5~6시간 주당 9~11시간
174 서보억 신현용 한국의과학고등학교에서사용중인일반수학, 수학Ⅱ( 상, 하 ), 수학Ⅲ와이러한교육내용을설명하고있는과학고등학교교육과정해설서 ( 문교부,1990), 제 6차고등학교수학교육과정해설서 ( 공통수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 수학Ⅲ로개정됨 ) 를주요연구대상으로한다. 2. 러시아수학영재교육과정러시아의수학영재교육과정은크게대수 기하 해석학세영역으로나누어진다. 각영역별로수학 물리학교에서사용되어지는교과서와국립모스크바대학교의수학 물리학교에서펴낸학교교육과정해설서 (Колмогоров, 1981) 와수학교육프로그램해설서 (МГУ, 1994) 를주요연구대상으로삼는다. 러시아의경우수학 물리학교의수학교육대부분은한국이일정한틀안에있는교육내용을교육하는것과는달리교수들이직접교재를제작하여사용하고있기에교과서보다는수학교육프로그램해설서에더중점을두고연구를수행한다. B. 연구방법및절차비교 분석연구의절차는 H.G. Nah 와 M.A. Eckstein, Z.F. Bereday 등이제시한방법에기초한과학적연구방법으로연구를실시하였다. IV. 수학영재교육기관의일반교육과정 A. 한국의과학고등학교 1983년경기과학고등학교를필두로전국에 15개과학고등학교가설립운영중에있다. 이학교는설립초기부터수학경시대회, 과학실험대회등을통해동기유발은물론강한성취수준으로높은학문적성취를보여주고있다. 수학교육에있어서수준높은문제, 내용의깊이, 스 스로사고하고해결하는문제의해결등에역점을두고심도깊은교육과정을운영하고있다. 수학은한학기평균 5~6시간정도실시하고, 수학교과의과목으로는 6차교육과정상으로공통수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ와과학고등학교학생들을위해특별히고안되어진수학Ⅲ가있다. 수학이차지하는비중은전체시수의 16.3% 로가장높고, 또한과학과수학이차지하는비중은전체시수의 56.7% 에이른다. 특히, 한국에서는대수학, 해석학, 기하학영역이독립된과목으로존재하는것이아니라통합되어있어종합적인수학내용의이해가쉽도록하고있다. B. 러시아의수학 물리학교러시아의수학영재학교인수학 물리학교의근원은 1934년의레닌그라드대학교에서있었던수학경시대회로거슬러올라갈수있다. 이경시대회에서우수한성적을얻은학생에게대학입학의특권을주었는데이러한제도가그이듬해에모스크바와그외다른지역으로확대되어져갔다. 1958년흐루시초프는교육원로들의교육의현대화에대한시대적인인식에편승하여당중앙위원회에서한연설에서수학과과학의조기영재교육을강조하기에이른다. 또한, 소련과학원원장과노보시비르스크과학원분원장이 과학과기술의진보를위해서수학에특별한재능을가진아동을발굴하고적절한교육의기회를주어져야한다 는주장을하게된다. 이것을계기로 1961년에노보시비르스크의과학아카데미시베리아지부가노보시비르스크대학교에성적이우수한학생을초대하여수학여름학교를개최하게되었다.( 최영한, 1992) 그리하여 2년뒤인 1963년에노보시비르스크대학부설의수학 물리학교가개교하였고, 키에프와레닌그라드, 모스크바대학교의부설로수학영재학교가차례로생겨났다.(МГУ, 1981) 러시아에서가장유명한국립모스크바대학교부설의영재학교인 Kolmogorov( 러시아의수학
한국과러시아의수학영재교육과정연구 175 자 ) 학교는 1963년 12월 2일에정식개교하였는데지금은 3개학부즉, 수학 물리학교, 화학학교, 경제학교로구성되어져있다. 국립모스크바대학교부설영재학교인꼴모고로프학교의수학년도는 2개년도에 4학기로구성되어져있다.(МГУ, 1995) 현재이학교는 10학년과 11학년의두학년으로구성되어있고, 각학년은세개의학급으로구성되고, 각학급은 20~25명의학생들이소속되어있다. 이학교에강의를하는수학강사의숫자는 30~35명이고물리강사는 20~25 명에이르고있다. 즉, 수학교사 1인당학생의숫자는약 20명~24명정도로상당히높게나타나고있다. 꼴모고로프학교는앞에서언급한바와같이 3개의학부로구성되어져있고, 이들수학 물리학교, 화학학교, 경제학교는각각서로다른교육과정 ( 서보억, 1995) 을가지고있다. 이들 3 개학부의교육과정중에서수학과의시간배정을비교하여보면약간의차이를보여주고있는데수학 물리학교는주당기하 3시간, 대수 3시간, 해석 3시간총 9시간 ( 전체시간의 20.9%), 화학학교는주당기하 2시간, 대수 2시간, 해석 2시간총 6시간 (18.6%), 경제학교는주당대수 3시간, 해석 3시간, 기하 2시간총 8 시간 (18.6%) 의배당시간을가지고있다. 이것을통해볼때각학교는독특한특수교육을실시하고있음을알수있다. 수학 물리학교의일반교육과정에서전체수업시간을보면일반학교보다주당 5시간정도가많은수업시간을가지고있는데, 각학기의수업시간은 10학년 1학기는 43시간, 10학년 2학기는 42시간, 11학년 1학기는 43시간, 11학년 2 학기는 44시간정도의수업을실시한다. 전체수업시간 43시간중에서수학이차지하는비중은 20.9% 에이르고있고, 수학과물리과목의전체비중은 39.5% 이고, 전체과목에서과학과목의비중은 50% 을훨씬넘고있다. Ⅴ. 수학영재교육과정의비교 분석 A. 한국의과학고등학교에서의수학교육과정과학고등학교에서과학계열교과에는수학, 물리, 화학, 생물, 지구과학, 컴퓨터과학으로나눌수있는데, 이러한과학계열교과의목적은 과학및수학에뛰어난학생들에게적절한교육을실시함으로써그들의적성과능력을최대한계발하여장래우수한과학자가될수있는소양을기른다. 라고정하고있다. 이러한과학계열교과중수학은가장중요한교과로필수과목인공통수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ와선택과목인수학Ⅲ가있다. 과학고등학교에서수학교과의목표는수학의기본적인지식을가지게하고수학적으로사고하는능력을기르게하며, 이를활용하여창의적으로문제를해결할수있게하는데목표를두고있다. 특히, 수학Ⅲ는기존의수학교과만으로는학생들의필요를채울수없다는인식으로수학영재를위해개발한것으로그교과목표를 장래우수한과학자가될수있도록수학에관한깊은지식을가지게하고, 수학적으로사고하는능력을기르게한다. 대수, 해석, 기하적인내용이통합적으로구성되어져있다. B. 러시아의수학 물리학교에서의수학영재교육과정러시아의수학 물리학교는대부분 10, 11학년두개학년으로구성되어져있고, 이 2년동안고도의수학의과제를성취하여내고있다. (МГУ, 1995) 이러한고도의수학적내용은각각의수학과목에대한몇가지중요한원리에의해서선택되어지는데수학 물리학교의교육과정구성의여섯가지원리는다음과같다.(МГУ, 1994) 첫째, 수학 물리학교의수학교육과정은일
176 서보억 신현용 반중등학교모든부분을포함하도록구성하여야한다. 가능한수학내용은자세하게표현해야하고대학수학교육과정과일치하는부분은중복되지않도록한다. 둘째, 강의에서는중요한기본이되는이론만을내용으로하여야하고많은실제적이고보여질수활동적인재료들을많이사용하도록구성한다. 세째, 강의와실습은전체적으로과학적인면과연구의면에흥미를유발하도록구성되어져야한다. 네째, 교육을위한제재들의선택은우리의일상생활과부합되어야하고, 더욱더직관적인것들이어야한다. 다섯째, 교육적자료의표현은이수학적인이론들의역사적발전단계에대한소개는반드시포함시켜야한다. 여섯째, 연습이나문제는실제적으로전반적인부분에서수학적인방법이중요함을반영해야하고수학자체가어떻게실사회생활에영향을주고있는지를나타내어주도록해야한다. 그리고, 이학교에서중요한과정으로수학에서폭넓고심도깊은학습을수행하고충분한수학적인내용을전달하기위한수학특별활동과세미나를운영하고있다. 이러한특별활동과세미나는 Специалые курсы( 스페치아리에꾸르쉬 ) 라는이름으로이루어진다. 대표적인예로 В ысшая математика с элементарной точки зрени я( 기초적인관점에서본고등수학 ), Математиче ский практикум( 수학실습 ), Математический сем инар( 수학세미나 ), Кривые на плоскости( 평면위의곡선 ), Что такое фрактал?( 프랙탈이란무엇인가?), Алгебра и теория чисел( 대수와수의이론 ), Элементарная математика( 수학개론 ) 등이있다. 특히, 이러한수학교육과정을보면, 저학년에서제한되어다루어졌던여러문제들을심도깊게풀거나더깊이연구를수행할수있도록구성하고있다. 러시아의수학영재교육과정에서특이하게볼것은각각의주제마다거의주어져있는 Матем атический Практикум( 수학실습, 이하 M.P) 이라는 Специалые курсы( 스페치아리에꾸르쉬 ) 이다. 이특별과정은각각의주제에어울리는제재들로주어지게된다. 수학실습에서다루어지는새로운상황의문제들은수업시작이전에필요한이론적인근거를보통알려주고시작을하는데, 경우에따라서는주어진문제그자체가하나의공식으로되어질수도있고, 그것의실행에따라서어떠한해답을주기도한다. 즉, 수학실습 은수학적인부분에서의일종의 실험 이라고표현할수가있다. 예를들면계산이나혹은그래픽, 도식, 작도, Model 등이이러한활동에포함시킬수있다. 이러한수학실습을통해제시되어지는문제들에대한수학영재교육학적인목적은오로지수학학습을활동적으로흥미롭게전개시키는것이다. 다음 < 표2> 에서는러시아의수학영재교육기관에서이루어지는학습내용의학기별학습내용을구성해놓은것이다 C. 한국과러시아 미국의수학영재교육과정의비교 분석한국과미국 러시아의수학영재교육과정의비교분석은한국의경우는교육부가설정한고등학교수학교육과정, 과학고등학교의교육과정을토대로공통수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 수학Ⅲ 를근거로연구되어졌고, 러시아의경우는국립모스크바대학교꼴모고로프학교에서발간한수학영재교육과정, 일반교육과정, 러시아의현직모스크바교수가저작한교수교재및참고서적을근거로연구가되어졌다. 1. 수학학습순서 (process) 의비교대수학영역에서한국은집합의개념을바탕으로내용전개를시작하고있다. 집합과명제에서학습한논리적인사고력을바탕으로수와식의기본적인개념을도입하고방정식과부등식의영역으로학습이이어지고있다. 기본적인일차, 이차방정식과부등식의학습이끝나면복
한국과러시아의수학영재교육과정연구 177 잡하고난이한유리방정식과무리방정식, 삼 사차방정식과부등식을학습하도록구성되어져있어기본적인내용의학습이마치고새로운개념을도입하여심화시키는학습구조로진행되어지고있다. 방정식과부등식에대한학습이마무리되면기본적인행렬과수열에관련된이산대수의학습이이루어진다. 그리고, 수학적귀납법과순서도의학습이바로뒤를따라진행되는데이부분의학습은미국과러시아에비해서상대적으로늦게학습되어지고있어서이개념의본래의의미와다른학습과의연계는 실제적으로는거의이루어지지못하고있는것으로나타났다. 이단계를지나면수학Ⅲ에서심화학습으로행렬에대한내용을다시재편성되어새롭게학습하게되어진다. 러시아의경우는한국과비교하면대수학적내용의전개순서뿐아니라내용의구성면에서도상당한차이를보이고있다. 집합과명제, 기초적인방정식과부등식에대한영역에대한학습이거의다루어지지않고바로추상대수적인내용에접근을시도하고있다. 이러한이유는러시아중학교대수과정을보면쉽게알수 < 표 2> 러시아의수학영재교육과정의학습순서 과목학기 10 학년 1 학기 10 학년 2 학기 11 학년 1 학기 11 학년 2 학기 대수해석기하관계와 Mapping, 순서관실수, 수열, 수열의극피타고라스의정리, 사인과코사인의 계, 귀납법, 조합이론, 대수한과급수, 근사값의정리, 평면에서의거리관계, 대수문제 적인문제, 방정식, 부등식, 계산, 함수의극한과의작도에의한풀이, 평면기하의우수연립부등식연속, 도함수, 함수의한정리들, 평면에서의선형변환, 이동 해석, 적분, 로그와지및 위치이동, Thales의 정리, 닮음과 수, 로그함수와 지수그것의분류, 반전 (Инверсия) 함수 수론의 기본적인 이론들, 삼각함수와응용, 복공간에서의직선과평면, 도형의구성 환과체의정의와기본적소수, 복소지수, 역삼과절단 ( 단면 ), 아핀기하에대한이해, 인정리, 다항식의대수, 각함수와응용, 초월기저로벡터의분할에대한정리, 좌표 대수적인의미에서의확대함수의응용에대한개념, 컴파스와직 개념, 삼각형에서의각의성질, 구면기하의기본정리들, 구면위에서의삼각형 선자에 의한 기학적인 작 도에대한대수적인입장 복소수의 대수, 삼각법의적분의응용, 수의급평면에서의아핀기하의공리와사영기 문제, 매개변수의문제, 확수, 2변수함수하의공리및모델, Pascal의정리, 률의기본정리 Brianson의정리, 한개의직선자에의한작도, Lobachebskii 기하의모형, 복잡한대수적인문제의모든과정의복습및면적과부피, 각기둥 Cone 구형과 풀이, 전과정의복습과문정리, 증명없는정리그것의부분의부피공식, Simpson의제풀이들의새로운증명시도공식, Гюльдена( 굴대나 ) 의정리, 표면적과곡선의길이, 대략적인넓이와부피, 벡터의곱과그것의응용, 각의측정, 공간에서의변환, 유클리드공간
178 서보억 신현용 있다. 러시아중학교대수영역을보면집합뿐아니라명제와조건문까지모두언급을하고있고, 수열에대한구체적인언급과간단한 Taylor의전개식, 유리식, 복잡한인수분해공식, 지수법칙의유리수로의확장, 이차방정식의근과계수와의관계, 고차방정식, 고차부등식, 유리부등식, 고차함수, 무리함수의영역에까지기본적인학습이이루어지고있는것이다.( 서보억, 1995) 따라서, 이러한중학교단계에서의대수학의깊은지식의교육이수학영재교육기관에서의추상대수적내용의학습을가능하도록만들었다. 결국, 러시아의경우는몇가지기초대수적인이론과정수론적인이론을학습한후치환, 역치환개념을학습하고, 다양한예를통해서군, 환, 체의대수적구조의개념을학습하고있다. 해석학내용의학습진행순서를보면한국과러시아두나라모두거의같은순서에의해학습이진행되어지고있다. 한국은먼저함수의정의를내리고, 다양한대수적인함수와초월함수에대한학습이진행된다. 특히, 삼각함수에대한다양하고폭넓은내용을다양한공시과정리를통해서학습을하고, 수열과급수에대한학습을하게된다. 이러한기초적인학습을거친다음미분을위한직전단계로함수의극한과연속을학습하고미분과적분, 편미분, 중적분, 전미분, 미변수미분등이학습된다. 이러한미적분학의학습면에서는한국의학습내용이구체적이고학습내용이광범위하게학습하도록구성되어있었다. 해석학영역에서도수학 Ⅱ의학습내용을다시수학Ⅲ에서재언급하여학습의연계및재학습을통해깊이있는학습이수행하도록하고있었다. 러시아역시한국과의큰차이는보이고있지않았고, 부분적으로수학사적으로중요한위치에있는해석학의주요내용을직접그순서대로학습을하도록구성되어져있었다. 예들들면, 수열다음학습으로원주율을구하기위한수학자들의수천년동안의노력의일부를학습 하고있고, 적분법의학습사이에고대의수학자들의착출법과근대의수학사적인중요한사실을학습하고있다. 기하학영역에서는한국과러시아사이의학습내용상의차이가상당히심하여일정한학습의틀속에서학습순서를비교한다는것은어려운일이다. 한국의경우를보면학습의전개순서가궁긍적인목적이해석기하학쪽에바탕을두고있었다. 직선에서평면, 공간으로확장되어지는좌표의도입과이를좌표상에서도형의방정식과위치관계를밝히려는방향으로전개되어지고있다. 러시아는한국과는달리기하에서상당히많은영역을할애하여있는것으로밝혀졌는데, 먼저평면에서의다양한기하적인기초학습을통해기본적인기하적인사실과좌표의개념을학습하였다. 그다음으로는비유클리드기하학의창시자인로바체브스키의평면모델을소개하고아핀기하, 구면기하, 리이만기하, 사영기하, 로바체브스키의기하모형등을학습하게된다. 마직막단계에서는다면체, 평면에서의넓이, 공간의부피, 공간에서의변환등의학습과유클리드기하에대한구체적인학습이이루어지고있다. 지금까지수학교육과정상에서학습순서에대한비교를하였다. 전체적으로학습의전개순서상의차이보다는학습내용상의차이가더많았다는것이다. 이러한내용상의차이와이내용이구체적으로무엇을의미하는것인지에대해서알아보자. 2. 영역별학습내용의비교수학분야를크게대수학, 해석학, 기하학으로분류하는것은가장일반적인분류방법이다. 하지만, 이러한영역이상당히방대하고폭이넓어서학습내용상의차이를비교하는것은쉬운일이아니다. 따라서, 각영역을다시몇개의영역으로나누어비교를수행하였다. 대수학은수와식 ( 집합, 명제, 수론, 식, 방정식, 부등식,
한국과러시아의수학영재교육과정연구 179 지수, 로그 ), 이산대수 ( 행렬, 수열, 순서도, 순열, 조합 ), 고등대수 ( 군, 환, 체, 조합론, 선형대수, 정수론 ) 로나누었고, 해석학은함수의해석 ( 함수, 급수, 극한, 연속 ), 미적분 ( 미분법, 적분법, 미분방정식 ) 으로나누었고, 기하학은해석기학, 유클리드기하, 비유클리드기하로나누어비교분석하였다. 1) 대수학대수학에서수와식영역의한국과러시아학습내용을비교해보자. 집합과명제및수리논리적인내용면에서는한국은집합의정의와집합에대한연산, 연산법칙, 명제, 조건문의역, 이, 대우까지모두다루고있다, 러시아는한국에비해서상대적으로작은영역에서수리논리적인내용을다루고있지만이미중학교과정에서기본적인개념을이미학습된상태에있고, 기하학영역에서추론과증명법, 엄밀성을추구하고있다. 논리적인측면에서볼때미국이가장많은내용을실제적으로다루고있어서수학적인사고력과문제해결력및탐구력을기르기위한많은분량이할당되어져있음을알수있다. 수체계와수론적인내용면에서는한국은유리수로부터실수를정의하고그에대한연산과실수의연속성에대해서다루고, 복소수에대한정의로연결시켜연산을정의내리고있었다. 수론적인내용으로는약수와배수, 정수의잉여류집합을다루고있는정도이다. 이에비해러시아는자연수의정의와성질, 자연수의공리적인정의로 Peano의정리, 정수에대한분류에서모듈과합동의이용, 정수론에서의오일러의공식, 약수와배수와이것의계산을위한유클리드알고리듬의원리와사용, 복소수의정의와연산등정수론적인내용이포함되어져있다. 다양한식과방정식, 부등식영역에서는한국이가장많은내용을할애하고있는영역이다. 한국은다항식, 다항식의연산, 인수분해, 전개공식, 유리식과무리식의개념과연산, 유리화, 이중근호의계산, 유리식의통분과약분, 일 이 삼 사차방정식과부등식, 이차방정식의근의공식과판별식, 근과계수와의관계, 항등식, 다양한연립방정식, 절대부등식, 조건부등식, 유리방정식과무리방정식등식과방정식, 부등식에대한학습이폭넓게이루어진다. 이에비해러시아는제한적으로다루어지고있다. 사차방정식은구체적으로는다루어지지않고있고유리식과다항식에있어서도많은양은다루고있지않다. 러시아에있어서특이한내용은임의의방정식에서의근과계수와의관계에대한비에타의정리의언급과방정식의근사근을찾는방법의도입등이다. 비에타의정리는근과계수에대한일반적인관계를나타내는것으로대수학에서가장큰관심이되는방정식의근에대한해를구하기위해생겨난것으로수학사적으로볼때근으로부터계수의성질을구했다는면에서큰의미를지니고있는것이다. 비에타의정리는다음과같다. f(x)=x n + a n -1 x n -1 + a n -2 x n -2 + + a 0 이일차항의곱으로인수분해되어질때, 각근을 α 1,α 2,,α n 이라고하면 f(x)=(x-α 1 )(x-α 2 ) (x-α n ) 이다. 그러면, 다음과같은관계가성립한다. a 0 =(-1) n α 1 α 2 α n a 1 =(-1) n -1 ( α 2 α n -1 + α 1 α n -2 α n + α 2 α 3 α n ) : : a n -1 =-(α 1 +α 2 + +α n ) 이된다. 다음은근사해에대한접근이다. 한국에서는근사해에대한언급이없고구하는방법도제시되어져있지않다. 고차방정식까지폭넓게다루고있지만정확하게구해질수있는특수한꼴만을다루고있는것으로일반적으로구하기어려운고차방정식의해에대한해법이소개되어져있지않다. 따라서, 구하기어려운방정식의해법보다는근사해를구하는방법의학습은실제적으로큰의미를가지고있는학습내용이
180 서보억 신현용 다. 이러한근사해를위한방법으로뉴턴과라그랑게의보간법, 로바체바스키의방법, Bezout 정리와 Horner의방법이소개되어져있다. Horner의방법은한개의값은근의근사값으로지정하여그것으로부터근의값을근사시키는방법이고로바체브스키방법은그래프를이용하여구하고, 보간법은그래프에서의직선의기울기를이용하여근사해를구하고있다. 그외러시아에서는디오판토스의방정식으로알려져있는부정방정식을유클리드의알고리듬과연관시켜학습을하고있었고, 추상대수의엄밀성을바탕으로인수분해의유일성에대한의미를학습하고있었다. 대수학에서두번째부분으로이산대수영역의한국과러시아의학습내용에대해서살펴보자. 행렬과수열의내용면에서보면러시아와한국간의차이가분명하게드러나고있다. 특히, 행렬의경우러시아에서는이부분에대한학습이전혀이루어지고있지않다. 러시아의일반고등학교에서도이와같은현상은마찬가지로나타났다. ( 한인기, 1995) 한국의경우는최근의이산수학강화의흐름에편승하여행렬, 역행렬, 정칙행렬, 역행렬, 전치행렬, 소행렬식, 행렬식의공리적정의, 여수인수행렬, 수반행렬, 크라머공식, 가우스소거법등이학습되어지고있다. 수열에서는러시아의경우해석학영역에서대부분다루어지고있고대수학내에서는언급을하고있지않다. 여기서수열의단원에서중요한논법으로수학적귀납법을생각할수있다. 이러한수학적귀납법을다루는데있어, 한국의경우는자연수에대한명제가모든자연수에대하여성립하는것을증명하기위하여사용하는방법으로수학적인귀납법을수열단원마지막부분에서도입하고있다. 러시아는증명의방법으로도입하였다기보다는앞에서언급하였듯이자연수의공리적인정의를위해서도입된것이우선이었다. 수학사적으로볼때수학적귀납법은 19 세기말이탈리아의논리학자인 Peano에의해서정립이되었는데그는 수학의공식집 이라는책에서명제를설명하는데일상적인용어를피하고 Peano 의기초 라는용어를사용하였는데그가제시한기초세가지 0, 음이아닌정수 (N), 후자 (S) 의개념으로다음 5가지공리를내세웠는데이공리가자연수의정의나여러가지증명에사용되어지고있다. 이중에서다섯번째공리가그유명한수학적귀납법인것이다. 이러한면에서러시아는수학사적사실에기초하여수학적귀납법과수학내용을전개하고있는것이다. 순열과조합내용에서는러시아가가장많은내용을다루고있었다. 한국은순열과조합에대한정의와몇가지문제에집중하였고, 이항정리등몇가지정리를다루고있을뿐깊이있는내용의전개는없었다. 특히, 이항정리와파스칼의삼각형의연관성을생각할때학습내용의구성면에서큰의미를지니고있다. 러시아는이항정리뿐아니라다항정리, 이항정리와파스칼의삼각형의상호관계에의한문제해결등을다루고있었다. 여기서러시아에서자세히다루고있는파스칼의삼각형은수학사적으로확률론의시작이었다는면에서의미가있는학습단원이다. 특히, 파스칼과페르마의서신을통해자극을받아만들어낸파스칼의삼각형의삼각형에대한구체적인언급과사용은수학을연구하는수학영재아에게많은도전이되어질수있다. 대수학에서세번째부분으로고등대수영역의한국과러시아의학습내용에대해서살펴보자. 이영역에서의학습내용의비교는너무나명확하게나누어진다. 한국은대수학의내용에있어서추상적인내용은거의다루지않는것으로볼수있고러시아는현대추상대수의기본이되는군, 환, 체에대한대수적인구조에대한기본적인내용을학습을하고있다. 러시아가다루고있는현대추상대수적인내용의깊
한국과러시아의수학영재교육과정연구 181 이있는학습은치환, 군, 위수, 다면체군, 잉여류군, 군, 다항식환, 복소수체등까지학습하고있고, 정오각형과정십칠각형의작도문제까지다루고있는것으로나타났다. 이러한정다각형의작도문제는작도가능성에대한충분한사전논의가있어야한다는면에서특히, 정십칠각형의작도는그렇게간단히작도가되지않는다는면에서그학습수준이상당히높다는것을짐작하게한다. 지금까지대수학영역에서의한국과미국, 러시아의수학영재교육과정에대한내용을살펴보았다. 대수학에서는한국의경우는방정식과부등식에대한이론과정확한해를구하기위한다양한공식의이용과해법의학습에집중되어져있으면서이산수학적인내용으로행렬과수열에대한학습이상당히이루어져있는것으로나타났다. 러시아의경우는오랜시간동안의독자적인수학교육의연구로한국과미국과는방향이상당히다른모양을보여주고있다. 한국이강조하고있는방정식과부등식에대한해법에대한부분에도, 미국이강조하고있는이산수학적인행렬이론과조합이론에도큰강조를두지않으면서추상대수학인군, 환, 체의대수적인구조에대한이해에학습이집중되어져있고, 더불어정수론적인입장에서수를해석하는데중점되어져학습이진행되어져있었다. 2) 해석학해석학에서함수의해석영역의한국과러시아의학습내용을살펴보자. 해석학의영역중에서함수, 급수, 극한, 연속의부분을보면한국의경우조화급수를제외한모든내용을다루고있다는것외에도내용의깊이면에서가장많은내용을다루고있다. 러시아역시이영역에서는한국과큰차이는없으나내용의깊이면에서는한국에비해약한편이다. 한국이중요하게여기는내용으로함수영역 에서는함수의개념, 합성함수, 역함수, 전사함수, 단사함수, 전단사함수, 합성함수등의함수의기초개념에대한학습이심도깊게이루어지고있다. 반면러시아의경우는함수의개념, 독립변수, 기본적인대수함수, 초월함수의예, 우함수, 기함수등에만국한되어져있어한국에비해서는기초적인함수의개념에만치우져있었다. 이러한함수에대한기본적인내용이외에다양한함수로한국은유리함수, 무리함수, 이차함수, 삼차함수, 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 초월함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수, 다변수함수, 벡터함수등을소개하고있고, 미국은항등함수, 대수함수, 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수, 최대정수함수, 삼각함수, 역삼각함수, 다변수함수, 초월함수등을다루고있다. 러시아는유리함수, 무리함수, 다앙함수, 삼각함수, 초월함수, 지수함수, 로그함수등을다루고있다. 해석학적인함수의종류면에서는한국이러시아에비해서다양하게다루고있는것으로나타났다. 한국이함수의종류면에서폭넓게다루고있어미분법과적분법에서이러한함수를이용한다양한미적분학의접근을용이하게하고있다. 수열의극한과급수의학습에서는한국은수열의정의, 수열의극한, 극한의여러가지성질, 무한수열의수렴과발산, 등비수열의극한, 무한급수, 무한등비급수, 급수의수렴판정법 ( 적분판정법, 비교판정법, 비판정법 ), 절대수렴, 조건수렴, 멱급수와 Taylor전개와정리, Maclaurin급수등이주로다루어지고있다. 러시아는등차수열, 등비수열, 등차수열과등비수열의성질, 수열의극한, 수열의극한에대한정리, 실수에서의증가수열과감소수열, 피보나찌수열, 원주율을이용한수열, 교대수열, 조화급수, Taylor전개식등을학습하고있다. 한국은수렴판정법에대한학습으로대학에서본격적으로학습하게되는적분판정법, 비교판정법, 비판정법모두를대학교수준에서학습하고있
182 서보억 신현용 어무한급의수렴및발산에대한명확한이해를가능하게구성하고있어서다른나라에비해속진된모습을보여주고있다. 또한절대수렴과조건수렴에대한정리도함께학습함으로서급수의수렴과발산에대한폭넓은지식의습득이가능하도록구성하고있는것이가장큰특징이다. 급수의전개면에서도 Taylor급수의전개뿐아니라 Maclaurin급수까지다루고있어초월함수와유리함수등에대한근사값의계산과정확성을학생이검증할수있게끔하고있다. 러시아의학습에서볼수있는특이한것은피보나찌수열의도입에대한내용과원주율을이용한수열이다. 피보나찌수열은그많은수열중에서가장흥미롭고신비한성질을지니고있는수열이다. 이것에대한역사적인일화도많이있는데그기원은이집트의파피루스에서부터시작되어진다. 또한, 이피보나찌수열로부터황금비를얻을수있다는사실로부터충분한흥미를학생들이가질수있는것이다. 러시아의경우수학영재교육과정의설립원칙에서도볼수있듯이학생들이보고재미있고흥미있는것을수학교육과정내에삽입한것으로볼수있다. 러시아의원주율을통한수열의학습은원주율을구하려고노력한아르키메데스와 Huygens, 뉴턴의방법의소개와함께원주율의값에대한수학사적인사실을학습하고있다. 또한, 미적분학의단원에서는 Wallis의공식, Stirling공식을다루어수치해석적인 π 값에대한계산을학습하고있었다. P. Bechemann 이쓴 π의역사 라는책에서그는 π는인간역사의작은거울이다라고표현을하였다. 사실 B.C 2000년바빌로니아인과이집트인들조차 π의값을 3 16 9, 16 9 로규정하고사용한것으로전해지고있고, B.C 3세기에아르키메데스에의해혁기적인방법으로 π의값을구하게되었다. 그를뒤를이은일단의아르키메데스학파의구성원에의해지속적으로연구되었고, 이학파의마지막인물인 Huygens까지이어져아르키메데스적인방법으 로 π의값을구하여려고노력하였다는것이다. 그이후뉴턴에의해전환점이되어미적분학적으로 π의값을정확하게정의내리게된다. π 에관련된이러한역사적인전통을학습한다는것은수학의전반에걸친시대적인인식이가능하고, 고대의수학적인접근법을통해폭넓은수학적이해와기초방법적인사고를습득할수있게되는이점이있는것이다. 또한, 수학적인사실에대한흥미와개인연구에대한관심을더높여주는것이다. 이러한의미에서원의외접다각형을이용한근사적 π값의계산의시초인아르키메데스와그마지막인 Huygens 의방법을학습하는것은효과적일것이다. 해석학에서두번째로미적분영역의한국과러시아의학습내용에대해서살펴보자. 미분법과적분법의학습내용을보면한국의학습내용이러시아에비해서월등이많음을알수있다. 한국은함수단원에서유리함수, 무리함수, 이차함수, 삼차함수, 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 초월함수, 역삼각함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수, 다변수함수, 벡터함수에대한학습을하였는데이들함수에대한모든미분계수를결정하고있고, 미분법을응용한다양한응용문제를학습하고있다. 미분법에서다변수함수에서편미분과전미분, 고계도함수를학습할뿐아니라고도의미적분학의내용인유향미계수 ( 방향도함수 ) 와물매 (Gradient) 까지학습을하고있다. 적분법에서는정적분, 부정적분, 치환적분법, 부분적분법, 이중적분, 다중적분등을학습하고있다. 또한미분방정식의일계미분방정식까지학습하여대학교미분적분학의기초적인영역까지모두학습하고있어학습내용면에서는대학교미적분학의전영역을포함하고있고, 수준면에서도대학미적분학의기초개념수준으로미적분학의속진형태를그대로가지고있다. 러시아의경우는미분법과적분법의영역에서는상당히간단한학습내용을가지고있는것으로나타났다. 기본적인미분과적분의개
한국과러시아의수학영재교육과정연구 183 념, 여러가지함수의미분과그응용을다루고있지만한국과미국에비해서는부족한편이다. 러시아의미분과적분영역에서특이한것은적분의개념에대한학습에있어서수학사적발달단계에입각한학습의전개가적분의단원에서이루어지고있다는것이다. 역사적으로미분법보다적분법이먼저발견되었다는사실이적분법에대한학습단원에서이러한방법을도입하고있는것으로보여진다. 구체적으로적분의단원을보면, 직사각사다리꼴계산을위한아르키메데스의방법, 곡선상의직사각사다리꼴면적계산을위한심슨의방법, 카발리에르의원리, 뉴턴과라이프니찌의공식의순으로학습이진행되고있는것이다. 아르키메데스는역사적으로최초로축출법이라는방법으로원의면적을계산하려고시도하였고, 카발리에르불가분량이라는개념을도입하여현재의미적분의개념과는조금다르지만무한의개념을도입하여도형의면적과체적을카발리에르의원리에의해구하였고, 뉴턴과라이프니찌는근대미적분학의독자적인창시자로현재의미적분의기초개념과사상을확립한수학자들이다. 즉, 러시아는적분의학습에있어서수학사적사실을바탕으로미적분의기본원리를학습하도록구성하고있는것이다. 지금까지해석학영역에서의한국과미국, 러시아의수학영재교육과정에대한내용을살펴보았다. 해석학에서한국의경우는폭넓은함수를도입하여도함수를구하고그에따른함수의해석과적분법의정확한이해를통해다양한적분문제들에대한정확한계산을위해학습이중점적으로이루어져있는것으로나타났고, 러시아의경우는한국에비해상대적으로좁은학습내용과낮은수준을나타내고있었지만적분의도입과개념의이해, 적분의응용에서수학사에입각하여순차적으로학습을진행하고있는것이특징적이었고, 피보나찌수열의도입으로학습의흥미를가져오려고시도하고 있었다. 3) 기하학기하학에서해석기하영역의한국과러시아의학습내용을살펴보자. 해석기하에대한내용의학습을보면한국은평면과공간의좌표의개념을도입하여다양한이차평면도형과공간상의직선과평면의방정식을결정하고, 극좌표를도입하여극방정식을학습하고벡터에대한학습을진행하고있다. 러시아는대수적인기본벡터의정의, 평면과공간좌표의정의, 좌표중심의개념, 공간에서의직선과평면의방정식, 극방정식등기본적인해석기하적인개념과카발리에르정리를이용한다양한평면및공간도형들의넓이와부피를계산하고있다. 러시아의경우해석기하에있어서는한국은물론미국에비해서도학습량이적게구성되어져있다. 여기서러시아에서학습하는카발리에르의정리는앞에서언급했듯이미적분학의발달단계에생겨한것으로그정리내용은 만약두개의평면도형이한쌍의평행선사이에끼어있고, 그리고만약그평행선들과평행인임의의선으로그두평면도형을잘랐을때생기는두선분의길이가항상일정한비를가지면, 두평면도형의넓이도또한그비를갖는다., 만약두개의입체도형이한쌍의평행면사이에끼어있고, 그리고만약그평행면들과평행인임의의면으로그두입체도형을자랐을때생기는두단면의넓이가항상일정한비를가지면, 두입체도형의부피도또한그비를갖는다. 이다. 이정리는넓이와부피를계산하는데유용한도구가된다. 그리고그것들의직관적인근본원리는현대적인적분법에의해서엄밀하게밝힐수있다는면에서이정리의학습은큰의미를지니고있다. 기하학에서두번째로유클리드및비유클리드기하영역의한국과러시아의학습내용에대해서살펴보자. 한국의유클리드기하와비유클
184 서보억 신현용 리드기하에대한학습내용은공간에서의직선과평면의위치관계, 정사영등의학습에한정되어져있다. 한국의경우는닮음과합동, 논증기하의엄밀성과다양한증명, 다각형과삼각형, 원, 사각형의증명문제, 다면체에대한학습등은중학교에서이미학습되어진상태이다. 러시아는유클리드기하의영역에서논증기하의엄밀성이외에유클리드기하를재정립한힐버트의공리적기하학에대한학습과다면체에대한학습이이루어지고있다. 그리고, 삼각형의꼭지점을지나는세선분에관련된체바의정리와메넬라오스의정리, 원에내접하는사각형의변의길이에관련된프톨레이의정리를학습하게된다. 비유클리드기하의영역은러시아에서만다루어지는것으로그학습내용에있어서는기본적인개념과이해수준에머물어있는것으로보인다. 하지만, 비유클리드기하는인류의정신세계를 2000년이상이끌어온유클리드기하의한계를극복하였다는그자체의의미만으로도학습의의의는크다. 또한, 학생이기존의사고와는전혀다른사영기하적인내용과 Desargues의정리, 파트칼의정리등을학습하고, 아핀기하, 구면기하, 리이만기하, 로바체바스키기하에대한학습으로사고의전환과폭넓은공간개념의이해가가능하여진다. 지금까지기하학영역에서의한국과미국, 러시아의수학영재교육과정에대한내용을살펴보았다. 기하학에서한국의경우는유클리드기하에대한내용을중학교에서이미학습하였기에과학고등학교에서는새로운다른학습은거의보이지않았다. 하지만, 좌표를도입하여원, 포물선, 타원, 쌍곡선등의도형의방정식을학습하고있고, 공간좌표의개념으로공간상에서의직선의방정식과평면의방정식을학습하는등심도깊은학습내용을해석기하학적인측면에서진행하고있다. 러시아는해석기하학적인면은좌표의도입과몇몇도형의방정식을구하는정도만다루고있고, 유클리드기하의경우는엄밀성을강조하는논증기하의입장에서 삼각형, 사각형, 원에대한내용을학습하고, 자와컴퍼스를사용한작도문제, 체바의정리, 메넬라우스의정리, 탈레스의정리등을다루고있다. 특히, 비유클리드기하의경우는비유클리드기하의시조인로바체브스키, 리이만이발견한기하적인기초개념과구면기하, 사영기하등을여러가지정리와함께학습되어지고있다. 미국은한국이해석기하에러시아가논증기하에치중되어져있는것의중간형태를가지고있다. 해석기하에대한내용을다양하게다루면서기하학적인도형의여러증명과용어의공리적정의, 작도등을다양하게다루고있었다. 기하학의경우유클리드의엄밀성을강조하는내용의도입, 비유클리드기하학인타원기하와쌍곡기하의도입이쉬운일이아니다. 그리고, 해석기하에서더심화된미분기하의개념을도입하는것도마찬가지이다. 하지만, 심리학적인고려와논증기하와비유클리드기하의학습수준의고려, 학생들이느끼는흥미의고려등을감안하여수학영재아를위한학습내용을구체적으로결정하여야할것이다. VI. 결론본연구의주요목적은러시아의수학영재교육과정을한국의수학영재교육과정과비교분석하여이들사이의유사점과차이점을통해수학영재교육의선진국인러시아의수학영재교육과정이우리에게주는시사점이무엇인지알아보는것이다. 한국은과학고등학교를연구대상으로삼았고, 러시아는세계적으로유명한국립모스크바대학교부설꼴모고로프학교를연구대상으로삼았다. 한국의과학고등학교가개교된지적지않은시간이흘렀다. 그동안 15개의학교가설립되는등양적인성숙과함께, 2학년수료후과학기술대학교의진학하는속진및조기진학의교육과정을운영으로우수한인력을사회에조기배출하였고, 수학Ⅲ의적용으로수학교육내용의질적성숙을이룩하였다. 교사의수준이나교수
한국과러시아의수학영재교육과정연구 185 법, 학교교육시설측면에서도그우수성은우리사회에입증되었고, 특히대학입학에서는최고의합격률로그우수성이입증되었다. 하지만과학고등학교는그설립과정에서볼수있듯이지나친입시위주의수학교육으로이미수학영재교육으로서의기능을많은부분에서상실하고있다. 특히, 수학Ⅲ의경우는전문선택과목이라는규정을이용하여편법으로운영하고있는사례가많다. 게다가, 이러한수학교육과정을자세히분석하여보면과학고등학교의수학교육과정이일반학교와별차이없는교육과정으로구성되어져있음을쉽게알수있다. 더욱이과학고등학교의경우공통수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ를 1년에모두끝내기때문에나머지 2년동안을입시수학에만매달려진정한수학적지식을깨닫기도전에수학에대한매력과흥미, 수학적사고력, 상상력등을매장시키는결과를초래할수있어미래의수학자적인자질에악영향을미치고있는것이사실이다. 수학내적으로보면, 공통수학이대수부분에많이할당된것을제외하고는수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 수학Ⅲ 모두해석학위주로편성되어있어균형적인수학영재교육이이루어지지못하고있다. 이처럼한국의과학고등학교는개교후적지않은시간이흘렀지만그학교의근본적인설립취지와는부합되지않고운영되어지고있음을알수있다. 그래서, 우리는본연구에서비교한러시아의수학 물리학교교육운영, 교육과정, 수학교과운영, 수학교육과정을통해서한국의과학고등학교가지닌한계점을조금이나마극복할수있는몇가지제안을내리고자한다. 첫째, 일반교과목의운영과편제, 단위수가일반고등학교와다르게운영되어져야한다. 둘째, 수학교과의운영에있어서각영역별독립교과로의전환과수업시수의증가, 선택과목의신설이필요하다. 셋째, 수학내용에있어서각영역별균형적인교육과함께각영역별교육과정의수정이이루어져야한다. 현재, 해석학중심의수학교육내용은수학적인사고력을향상시키는불균형을초래할수있고결국에는편향적인수학적인성향을가진수학자로배출하게될우려가높다. 각영역별로, 대수분야에서는기본적인현대추상대수의개념을도입하여전체적인대수적인구조에대한이해를시킬수있는교육이필요하다. 해석학영역에서는계산위주의미적분학학습에서벗어나다양한미적분학의원리에접근하도록하여야한다. 특히, 러시아가적분학의학습을위해서도입한수학사적인단계를따라거슬러올라가면서학습하여나가는학습의형태도우리에게좋은본보기가될수있다. 미분법그자체보다도그한가지의개념이형성되기까지의여러가지시행착오와그에따른개념의형성과발전등을연대기적으로학습하는것은학생들에게수학에대한지속적인흥미와함께수학에대한깊은이해를도울수있을것이다. 기하학영역에서는내용의분량면에서상대적으로다른영역에비해적은편이다. 중학교에서배우는유클리드기하학에엄밀성을강화한내용의도입과가장큰수학적사건중의하나인비유클리드기하의원리와모형에대한소개도요구된다. 지금의해석기하학에치중되어진학습형태가아니라적당히혼합되어진형태의교육과정의운영이필요하다. 넷째, 수학영재교육내에서의컴퓨터의도입이필요하다. 다섯째, 수학영재교육의정규교육과정이외의과외교육의강화가필요하다. 학생개개인의개별적인수학적인활동이보장되어져야한다. 지금의수학반활동을확대시켜수학세미나그룹의결성, 주제별토픽그룹의형성, 수학내용의토의활동, 개인연구학점의신설등으로구체적인과외수학활동이도입되어야할것이다. 여섯째, 수학영재교육을운영하는기관에서
186 서보억 신현용 의인식의전환이필요하다. 일곱째, 수학영재교육기관에서의인식의전환과더불어수학영재아들을받아들이는대학교특히, 서울대학교에서의인식의전환이더불어요구된다. 다행히서울대학교에서극소수이기는하지만수학올림피아드입상자에대한특별전형을검토하고있다는것은의미있는일이다.( 한겨례신문, 1996) 참고문헌고등학교수학Ⅱ( 상 )( 하 ) (1991). 검인정 8종류. 고등학교일반수학 (1991). 검인정 8종류. 문교부 (1990). 과학고등학교교육과정해설, 서울 : 국정교과서주식회사. 서보억, 신현용 (1995). 한 소수학교육과정비교연구, 한국수학교육학회논문집수학교육제 34권 2호. 석용징, 신현성 (1992). 영재를위한수학과교육과정의시안개발, 대한수학교육학회논문집제 2권제 2호, 서울 : 대한수학교육학회. 이숙경, 신현용, 서보억 (1995). 한국과러시아의수학교과서비교분석Ⅲ, 한국수학교육학회논문집수학교육제 34권 1호. 이용곤, 신현용, 서보억 (1995). 한국과러시아의수학교과서비교분석Ⅱ, 한국수학교육학회논문집수학교육제 34권 1호. 정태범, 손인수, 이병진, 권이종, 권낙원, 단현국 (1989). 교육학개론, 서울 : 배영사. 최영한 (1994). 국제수학올림피아드에서나타난문제점과결과분석, 대한수학교육학회논문집제 4권제 2호, 서울 : 대한수학교육학회최정화, 신현용, 서보억 (1995). 한국과러시아의수학교과서비교분석Ⅳ, 한국수학교육학회논문집수학교육제 34권 1호. 한겨례신문 (1996). 한겨례신문 1996. 10. 6일자기사. 한국교원대학교수학교육연구소 (1993). 수학 Ⅲ, 서울 : 대한교과서주식회사. 한인기, 신현용, 서보억 (1995). 한국과러시아의수학교과서비교분석Ⅰ, 한국수학교육학회논문집수학교육제 34권 1호. 홍창기 (1988). 과학고등학교의교육, 서울 : 배영사 Guilford, J.P. (1967). The Nature of Human Intelligence, New York : MaGraw-Hill Book Co. NCSSM (1996). Mathematics Curriculum : Competency Goals,Internet(http://ncssm.edu.). NCTM (1987). Providing Opportunities for the Mathematically Gifted, K-12, Reston, Virginia : The Council. Renzulli, J.S. (1978). What makes giftedness? Reexamining a definition, Phi Delta Kappa, 60-3. Sisk, D. (1984). An International Perspective on Gifted and Talented Programs, A commissioned paper, contained in EC162812. Thomas, J. C. (1975). Dynamics of Teaching Secondary School Mathematics, Boston : Houghton Milflin Co. Колмогоров,А.Н. Д.Р (1981). ФМШ при МГУ, Москва : Знание. МГУ (1995). Плограмы по Математике, Школа Име ни академика Андрея Колмогорова, Москва : МГУ. МГУ. (1994). Плограмы по Математике, Москва : МГУ Олехник,С.Н (1991). НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕ Н ИЯ УРАВЕННИЙ И НЕРАВЕНСТВ, МОСКВА : МГУ. Понтрягин,Л.С. (1988). Дифференчиальные Уравен и я и Их Приложения, МОСКВА : НАУКА. Понтрягин,Л.С. (1988). Метод Коодинат, МОСКВА : НАУКА.