부록 4 문항카드양식 2 ( 수리계열 - 수학 ) [ 한국항공대학교문항정보 ] 1. 일반정보 유형 전형명 해당대학의계열 ( 과목 ) / 문항번호 þ 출제범위 예상소요시간 2. 문항및제시문 가 ) 기하학은인류역사와더불어시작되었다. 특히도형원은다양한분야에서활용되었다. 고대문명의발상지인메소포타미아에서는원의성질을응용하여그릇을빚는도자기물레를처음만들었다. 고대이집트에서는나일강이범람했을때, 기하학원리를적용하여나일삼각주의토지를새롭게측량하였다고한다. 이집트사람들은원통모양의계측바퀴를한바퀴굴린길이를이용하여원주율을계산하였고, 이렇게구한원주율은토지측량에필요한원의넓이를구하는데활용되었다. 나 ) 프랑스의수학자데카르트는어려서부터몸이약해서침대에누워있는시간이많았다. 그는그시간에주로명상을하며보냈는데, 그것은데카르트에게생산적인시간이었다. 어느날, 침대에누워있던데카르트는방안을날아다니는파리를보면서파리의위치를천장에나타낼방법을찾고싶었다. 그때천장에바둑판처럼격자무늬를만들어나타내면되겠다는생각으로좌표평면을고안하게되었다 - 1 -
고한다. 좌표평면에서원의중심이원점이고반지름이 인원의방정식은 이다. < 그림 1-1> 과같이반지름의길이가 인원위의점 의좌표는 cos, sin 와같이중심각 를이용하여나타낼수있다. 다 ) < 그림 1-2> 에서원 은중심이원점 이고반지름이 이다. 그림에서 점 은원과 축의교점이고, 점, 은원과 축의교점이다. 점 은선 분 의중점이고, 점 은선분 의중점이다. 점 은점 (4, 0) 에서 원 에그은접선의접점이다. 원위의점 에서 축에내린수선의발을 이라고하면삼각형 에서 이다. ( 단, 은자연수 ) - 2 -
라 ) < 그림 1-3> 에서반지름이 인원모양의바퀴가일정한속도로회전하면서깊 이 인개울을굴러간다. 부채꼴 에서개울에잠겨있는호에대한중심 각의크기를 라고하고, 그호의길이는원주의 이다. ( 단, 은자연수 ) lim - 3 -
cos 3. 출제의도 4. 출제근거 가 ) 교육과정및관련성취기준 - 4 -
문항및제시문 제시문 문제 1-1 문제 1-2 문제 1-3 교육과정 교육과정 교육과정 교육과정 관련성취기준 수학1311. 두점사이의거리를구할수있다. 문제교육과정 - 5 -
1-4 문제 1-5 교육과정 *: 교육과학기술부고시제 2011-361 호 [ 별책 8] ʻʻ 수학과교육과정 ʼʼ **: 교육과학기술부발간 2009 개정교육과정에따른 : 고등학교수학 ( 교육과학기술부발간등록번호 11-1341000-002322-01) 나 ) 자료출처 - 6 -
참고자료도서명저자발행처발행연도쪽수 고등학교교과서 기타 수학 I 류희찬외 17 인천재교과서 2014 수학 I 신항균외 11 인 지학사 2014 수학 I 이강섭외 14 인 미래엔 2014 수학 II 김창동외 14 인 교학사 2014 수학 II 우정호외 24 인동아출판 ( 주 ) 2014 수학 II 김원경외 12 인 비상교육 2014 미적분 I 류희찬외 17 인천재교과서 2014 미적분 I 신항균외 11 인 지학사 2014 미적분 I 황선욱외 10 인좋은책신사고 2014 미적분 II 황선욱외 10 인좋은책신사고 2014 미적분 II 정상권외 7 인 금성출판사 2014 미적분 II 김창동외 14 인 교학사 2014 미적분 II 신항균외 11 인 지학사 2014 134~143 172~180 132~142 168~172 135~147 172-182 130~137 160~171 158~166 196~210 131~136 155~165 18~25 35~40 21~24 33~38 23~26 31~42 12~22 48~56 12~29 54~63 130~137 160~171 132~142 168~172 5. 문항해설 6. 채점기준 - 7 -
하위문항 채점기준 배점 3 1-1 3 4 3 1-2 3 4 1-3 5 5 3 1-4 3 4 1-5 5 5 하위문항에따라칸을나누어채점기준과배점을작성하고필요한경우채점시유의사항을추가함. 채점기준은문항의출제의도에대한평가를위한것이어야함. 7. 예시답안 문항카드양식 2 의실례는 pp. 42-46 <Ⅳ. 계열 교과별문항제출양식 ( 문항카드 )-2. 수리계열 수학 - 가. 문항카드작성샘플 -(2) 문항카드작성예시 > 를참고 lim - 8 -
lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim - 9 -
cos Fn G n n sin cos sin cos sin cos sin - 10 -
cos cos cos tan cos tan cos cos sin cos sin log log log sin - 11 -
- 12 -
부록 4 문항카드양식 2 ( 수리계열 - 수학 ) [ 한국항공대학교문항정보 ] 1. 일반정보 유형 전형명 해당대학의계열 ( 과목 ) / 문항번호 논술고사 면접및구술고사 논술우수자전형 공학계열 / 문제 2 출제범위 예상소요시간 수학과교육과정과목명 핵심개념및용어 45 분 / 90 분 수학 I, 미적분 II, 확률과통계 직선의방정식, 미분, 적분, 중복조합 2. 문항및제시문 ln - 13 -
cos 그릇 A 그릇 B 그릇 C 그릇 D - 14 -
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3. 출제의도 본문제는일상생활에서일어날수있는여러상황을고등학교수학교과과정에서 다루고있는도형의그래프, 미분법, 적분법, 중복조합을적용해서논리적으로분석하고 이해할수있는지를평가하는문제이다. 2-1 지수함수의부정적분과정적분을이해하고, 정적분을이용하여입체도형의부피를구할수있는지를평가하는문제이다. 2-2 정적분을이용하여입체도형의부피를구하고, 부분적분법을활용하여함수의적분을구할수있는지를평가하는문제이다. 2-3 정적분을이용하여입체도형의부피를구할수있는지를평가하는문제이다. 2-4 실생활에서일어나는중복조합의경우를이해하고, 그조합의수를구할수있는지를평가하는문제이다. 2-5 직선의방정식과분수함수의도함수를구하고, 이를통해함수그래프의개형을파악함으로써함수의극값을구할수있는지를평가하는문제이다. - 16 -
4. 출제근거 가 ) 교육과정및관련성취기준 문항및제시문 제시문 ( 가 ) 제시문 ( 나 ) 제시문 ( 다 ) 문제 2-1 문제 2-2 문제 2-3 교육과정 교육과정 교육과정 교육과정 교육과정 교육과정 관련성취기준 [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법여러가지함수의부정적분과정적분을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법부분적분법을이해하고, 이를활용할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용미적 2422. 입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법미적 2413-3 지수함수의부정적분과정적분을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법미적 2412. 부분적분법을이해하고, 이를활용할수있다. [ 확률과통계 ] - ( 가 ) 순열과조합 - 순열과조합중복조합을이해하고, 그조합의수를구할수있다. [ 확률과통계 ] - ( 가 ) 순열과조합 순열과조합확통 1124. 중복조합을이해하고, 그조합의수를구할수있다. [ 수학 I] - ( 다 ) 도형의방정식 - 직선의방정식여러가지직선의방정식을구할수있다. [ 수학 I] - ( 다 ) 도형의방정식 - 직선의방정식수학 1321. 여러가지직선의방정식을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법여러가지함수의부정적분과정적분을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법미적 2413-3 지수함수의부정적분과정적분을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용미적 2422. 입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법부분적분법을이해하고, 이를활용할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 여러가지적분법미적 2412. 부분적분법을이해하고, 이를활용할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용미적 2422. 입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용입체도형의부피를구할수있다. [ 미적분 II] - ( 라 ) 적분법 - 정적분의활용미적 2422. 입체도형의부피를구할수있다. - 17 -
문제 2-4 문제 2-5 교육과정 교육과정 *: 교육과학기술부고시제 2011-361 호 [ 별책 8] ʻʻ 수학과교육과정 ʼʼ [ 확률과통계 ] - ( 가 ) 순열과조합 - 순열과조합중복조합을이해하고, 그조합의수를구할수있다. [ 확률과통계 ] - ( 가 ) 순열과조합 순열과조합확통 1124. 중복조합을이해하고, 그조합의수를구할수있다. [ 수학 I] - ( 다 ) 도형의방정식 - 직선의방정식여러가지직선의방정식을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 다 ) 미분법 - 여러가지미분법함수의몫을미분할수있다. [ 미적분 II] - ( 다 ) 미분법 - 도함수의활용함수의그래프의개형을그릴수있다. [ 수학 I] - ( 다 ) 도형의방정식 - 직선의방정식수학 1321. 여러가지직선의방정식을구할수있다. [ 미적분 II] - ( 다 ) 미분법 - 여러가지미분법미적 2311. 함수의몫을미분할수있다. [ 미적분 II] - ( 다 ) 미분법 - 도함수의활용미적 2322. 함수의그래프의개형을그릴수있다. **: 교육과학기술부발간 2009 개정교육과정에따른성취기준 성취수 준 : 고등학교수학 ( 교육과학기술부발간등록번호 11-1341000-002322-01) 나 ) 자료출처 참고자료도서명저자발행처발행연도쪽수 고등학교교과서 기타 미적분 II 류희찬외천재교과서 2014 미적분 II 황선욱외좋은책신사고 2014 미적분 II 이강섭외미래엔 2014 114-117 170-173 145-147 148-155 160-161 128-134 166-174 183-188 미적분 II 우정호외동아출판 2014 225-229 미적분 II 김창동외교학사 2014 미적분 II 이준열외천재교육 2014 111-115 188-190 145-151 197-199 미적분 II 김원경외비상교육 2014 158-162 확률과통계이강섭외미래엔 2014 34-36 확률과통계류희찬외천재교과서 2015 39-45 수학 I 우정호외동아출판 2014 164-169 수학 I 김원경외비상교육 2014 126-130 - 18 -
5. 문항해설 제시문의내용은주변에서일어날수있는여러가지상황을수학적으로관찰하고논리적인사고를통해해석하며, 이러한수학적문제상황을고등학교수학교과과정에서다루는내용을통해합리적으로해결하는능력을요구하는문항이다. 이문제의핵심적인내용은 미적분 II 의여러가지미분법, 도함수의활용, 여러가지적분법, 및정적분의활용, 수학 I 의직선의방정식, 확률과통계 의순열과조합의단원에서다루어진다. 따라서본문항을통해학생들이부정적분과정적분을이해하고정적분을이용하여다양한입체도형의부피를구할수있는지, 미분법을이용하여함수의도함수를구하고이를통해함수의개형을판단하여극값을구할수있는지평가한다. 또한중복조합을이용하여실생활상황에서경우의수를구할수있는지와주어진두점을이용하여직선의방정식을구할수있는지를평가한다. 6. 채점기준 - 19 -
하위문항 채점기준 배점 부정적분과정적분을이용하여 를구하였는가? 5 2-1 를올바르게구하였는가? 2 원뿔의부피를올바르게구하였는가? 3 단면의함수가주어진입체도형의부피를정적분을이용하여구할수있는가? 3 2-2 부분적분법을이용하여곱의꼴로된함수의정적분을구할수있는가? 4 원뿔의부피를구할수있는가? 2 두입체도형의부피를비교하여원뿔의높이를올바르게구했는가? 1 기울어진그릇에담긴물의부피를정적분을이용하여구할수있는가? 6 2-3 원기둥의부피를구할수있는가? 2 원기둥에담긴물의최종높이를구할수있는가? 2 주어진조건을이용하여제외되어야하는 와 의경우를올바르게구하였는가? 4 2-4 각각의조건에대하여얻어지는중복조합의수를올바르게구하였는가? 4 모든경우의수를빠짐없이더하여올바른답을구하였는가? 2 직선의방정식을구할수있는가? 2 2-5 삼각형넓이를점 의 좌표에관한식으로유도하였는가? 3 분수함수의도함수를구하였는가? 3 함수의그래프의개형을구하고함수의최솟값을구하였는가? 2 하위문항에따라칸을나누어채점기준과배점을작성하고필요한경우채점시유의사항을추가함. 채점기준은문항의출제의도에대한평가를위한것이어야함. 7. 예시답안 [ 문제 2-1] 그릇 B 에 만큼의물이담겨있을때, 담긴물의부피 는 로나타내고 ln 를만족한다. - 20 -
이때 ln 는상수이므로 ln ( 는상수 ) 라하면 이므로 ln ln ln ln ln ln 따라서 이므로 이고, 이므로 그릇 A 에서감소한물의부피를정적분을이용하여구하면다음과같다. 그릇 A( 원뿔 ) 의꼭짓점을원점 로하고, 원뿔의밑면 ( 그릇의윗면 ) 에수직인직선을 축으로정할때, 좌표가 ( ) 인점을지나고 축에수직인평면으로자른단면의넓이 는 이므로, 그릇 A 에서감소한물의부피와그릇 B 에담긴물의부피가동일하므로 - 21 -
이를만족하는 를구하면 ln [ 문제 2-2] 그릇 C 에가득담긴물의부피는적분을이용하여구할수있다. 높이가 이고, 밑면으로부터높이가 인지점에서밑면과평행한단면은반지름의길이가 cos 인원이므로단면의넓이 는 cos 따라서물의부피 는 cos cos 부분적분법을이용하여정적분 cos 를구하면 cos cos sin sin cos cos cos - 22 -
이결과를이용하여 를구하면 cos 그릇 C 에담긴물의부피와그릇 A 에원래담겨있던물의부피는같으므로, 그릇 A 에서감소 한물의부피 도 가된다. 그릇 A 에원래담겨있던물의부피를적분을이용하여구하면, 따라서그릇 A 에원래담겨있던물의높이 를구하면 [ 문제 2-3] 그릇 D 에물을가득채운후에 가되도록기울이면그릇에남아있는물은아래그림과같다. 그릇 D 는밑면의반지름과높이가같은원기둥이므로, 위의그림과같이그릇을 기울이면, 수면은밑면의 - 23 -
중심을지나게된다. 따라서그릇 D 에남은물의부피 는다음과같은적분을이용하여구할수있다. 그릇 D의밑면의반지름의길이를 라하자. 수면이지나는밑면의지름의양끝점을각각 와 라하고밑면의중심을원점, 선분 의연장선을 축, 중심을지나고선분 에수직인직선을 축으로 하여나타내면아래그림과같다. 선분 위의점 을지나고, 선분 에수직인직선이원과만나는점을 라고하면 에서, 이므로 점 에서수직이되도록그은직선이수면과만나는점을 이라고하면 tan 이때 의넓이 는 따라서그릇 D 에담긴물의부피 는 남은물의부피가 이므로그릇 D 의밑면의반지름 는 - 24 -
이고, 따라서 이다. 다시그릇 D 를 이되도록바로놓았을때물의높이가 이면 이므로, 따라서 이다. [ 문제 2-4] 세트상품에포함된그릇 A, B, C, D 의개수를각각,,, 라고할때그릇 A, B, C, D 는반드시 1 개 이상포함되어야하므로,,, 의조건을만족해야한다. 를만족해야하므로 (1) 인경우에 이다. (2) 인경우에 이다. (3) 인경우에 이다. (1) ~ (3) 에해당하는경우의수를구하면 (1),,, 을반드시포함하고, 그릇 B, C, D를중복을허용하여 6개를택하는경우 : (2),,, 을반드시포함하고, 그릇 B, C, D를중복을허용하여 5개를택하는경우 : (3),,, 을반드시포함하고, 그릇 A, B, C, D를중복을허용하여 6개를택하는경우 : - 25 -
따라서해당하는전체경우의수는 이다. [ 문제 2-5] 점 F 의좌표를, 점 G 의좌표를 이라고하면, 유리벽은다음과같은직선의방정식으로나타낼 수있다. 유리벽은점 를지나는직선이므로, 위의방정식에 과 를대입하면, 를만족한다. 의넓이 는 이므로 이다. 유리벽과공장의두벽이삼각형을이루기위해서는 이어야하고, 이구간에서 를 에 관하여미분한도함수 가 이되는 값을구하면, 이다. 함수 의증가와감소를표로나타내면다음과같다. ( 극소 ) - 26 -
따라서 는 가 일때최솟값을갖는다. 즉, 의넓이를가장작게하는점 의위치는 이다. - 27 -