대학교육 학부생연구프로그램 (URP: Undergraduate Research Program) 김훈 ( 카이스트 ) 우리나라의과학영재교육은지난 20여년동안초 중등학생들을대상으로대학부설과학영재교육원과과학고등학교그리고과학영재학교에서이루어져왔다. 그러나대학단계에서의과학영재교육프로그램의부재로인하여과학영재교육의연계성이떨어지고있다는비판을받게되었다. 또한과학교육의패러다임의변화로인하여전통적인지식습득위주의교육에서벗어나창의성을계발하고자기주도적탐구기회를제공하는다양한프로그램들이이미 20여년전부터학생들에게제공되고있다. 우리나라의경우에서도과학영재학교에서시작하여과학영재학교에서까지 R&E(Research and Education) 프로그램이도입되어 8년째운영되고있다. 그러나대학생을대상으로하는국가적인과학영재교육프로그램은지금까지없었다. 이러한시대적요구에발맞추어 2009년에한국과학창의재단에서는대학단계의과학영재프로그램및지원시스템으로서학부생연구프로그램 (URP: Undergraduate Research Program) 에 15억원을지원하고있다. 이미카이스트, 서울대, 포항공대 등에서는대학자체적으로학부생연구프로그램을운영하여왔고, 미국의경우 20 여년가까이 REU (Research Experiences for Undergraduates) 프로그램을통해서 1,800 여개과제에대하여매년 6천 7백만여달러를지원하고있다. 이글에서는한국과학창의재단에서지원하는 URP 프로그램에대해알아보고 2009년지원현황을소개하고자한다. 1. 국내외학부생연구프로그램사례 1) 국내사례가. 서울대학교학생연구참여프로그램지원분야는이공계뿐만아니라모든전공참여가능하다. 독립연구과제와소규모세미나두가지형태로운영된다. 독립연구과제의경우학생 1인당 100만원의연구비와지도교수에대하여 50만원의지도수당이지급된다. 소규모세미나의경우학생그룹에대하여 50만원의지원금과튜터 ( 서울대박사과정이상 ) 에게 50만원의지도수당이지급된다. 2 대한수학회소식제 128 호
나. 카이스트학부생연구참여프로그램 개별연구과제와그룹세미나두가지형태로운영된다. 개별연구과제는단독연구와팀연구로구분되어지며지도교수와조교가학습및토론을지도한다. 그룹세미나는 5~10명의학생이그룹을구성하여장기간학습및토론을수행한다. 구분 항목 금액 계 단 교수지도수당 150만원 독조교지도수당 100만원개연학생연구비 100만원 500만원 별구 연구비 150만원 연교수지도수당 150만원구팀조교지도수당 100만원 650~ 연학생연구비 100만원 2~3인 750만원구연구비 150만원 교수지도수당 100만원그룹조교지도수당 80만원세미나지원비 150만원 330만원 다. 포항공대학부생연구프로그램연구참여프로그램과학부생연구프로그램두가지형태로운영된다. 연구참여프로그램은지도교수의실험실에서수행하는것으로학점을부여하는교육과정이다. 학부생연구프로그램은 3~4학년학생이주도적으로연구과제를제안하고, 교수와조교의지원과도움을받아연구를진행하는것으로, 1인혹은 2~3인이팀을이뤄과제를제안하고, 심사를거쳐지원팀을선정한다. 6개월동안연구가이루어지고팀당 400 만원정도의연구비가지원된다. 2) 국외사례가. U. C. Berkeley Berkeley 에서는학부생의연구참여를지원하는다양한프로그램들이있다. 각각주제영역과지원금액, 지원대상, 학생수등이다르게운영된다. Berkeley Summer Bioengineering Research Program: 여름방학 10주동안 $ 3,300 지원 BIOLOGY FELLOWS PROGRAM: 한학기동안 1,500$ 지원 COINS: Undergraduate Internship Program in Nanotechnology Summer 2007: 8주동안 $ 4,000 지원 David Scholars Program: 1년동안 $ 16,500 지원 Haas Scholars Program: 1년동안 $ 12,600 지원 Physics Undergraduate Research Scholars Program: 한학기동안 $ 500 지원 QB3 Undergraduate Biotech Internships: 10 주간진행되는인턴십프로그램 SPUR: Sponsored Projects for Undergraduate Research (CNR): 한학기동안 $ 2,000 지원 Undergraduate Research Opportunities Program (College of Engineering): 한학기동안 $ 250 지원 URAP: Undergraduate Research Apprentice Program: 지원금없이학점인정 URAP: Undergraduate Research Apprentice Program Summer Stipend: 여름방학동안 $ 2,500 지원나. NASA의 Undergraduate Student Research Program (USRP) 주 40시간을기준으로여름 10주과정과봄, 가을 15주과정으로진행된다. 여름 10주과정에서는왕복교통비를포함하여 $ 6,000 을지원하며, 봄, 가을 15주과정에서는 $ 9,000 을지원한다. 매년 90~100 명정도를선발하여지원하고있으며학생들은 NASA-USRP 연구에대한결과물을제출해야하고, 나사가지원하는행사에서발표를해야한다. 다. NSF의 Research Experiences for Undergraduates (REU) 미국의 NSF에서는 20여년전부터학부생을대상으로하는연구프로그램을운영하고있다. 각대학은 NSF 에지원하여지원금을받아각대학에서자율적으로학부생을대상으로하는연구프로그램을운영한다. 1,800 여개과제에대하여매년 6천 7백만여달러를지원하고있으며지원분야는다음과같다. Biological Sciences Computer and Information Science and Engineering Education and Human Resources Engineering Geosciences International Science and Engineering (OISE) Mathematical and Physical Sciences Office of Polar Programs Social, Behavioral and Economic Sciences 2009년현재 NSF에서지원을받아수학분야 REU 프로그램을운영하고있는대학은 62개대학에 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 3
이르며각대학마다특색있는연구주제와프로그램을제시하여학생들의참여를유도하고있다. 2. 한국과학창의재단학부생연구프로그램 (URP) 소개 1) URP 프로그램의목적 URP 프로그램은연구수행능력이일정수준이상구비된이공계학부생들에게창의적인아이디어를도출하고, 학생들스스로직접연구할기회를제공함으로써창의성을신장하고자기주도적연구능력을함양하는데그목적을두고있다. 또한목적지향적인연구수행과정에서관심분야의전문지식을보다심화하고, 교수ㆍ조교등전문가들과의멘토링관계를조기형성함으로써대학단계에서의과학영재교육을제공하고자한다. 구분 단기 장기 비고 책임자수당 180만원 360만원 30만원 개월수 조교수당 120만원 240만원 20만원 개월수 학생연구비 120 만원 ( 2~3 명 ) 연구비 340~460 만원 계 문헌구입, 교통비등 240만원연구관련비용 ( 2~3명) 20 만원 개월수 2~3 인 680~920 만원 1,000 만원 2,000 만원 재료비, 자료처리비만계상가능 ( 회의비계상불가 ) 라. 신청자격과제신청자격은연구책임자의경우이공계분야의대학교수및연구소박사급연구원이며연구조교는석사이상의대학원생또는연구원이다. 참여학생은국내대학에재학중인이공계학사과정학생으로평균학점이 B+ 이상인자로써, 의학계 열 ( 의ㆍ치ㆍ한의ㆍ약대중기초과학분야 ) 학생을 2) URP 프로그램의내용가. 지원분야국내이공계전분야로과학적탐구력과창의적문제해결력신장에적합한과제에대하여지원한다. 또한의학계열 ( 의ㆍ치ㆍ한의ㆍ약학중기초과학분야 ) 및과학기술분야를중심으로한인문사회, 문화예술분야의융합과통섭분야도지원가능하다. 각연구팀은학부생 2~3인과연구조교 1인그리고연구책임자 1인으로구성한다. 나. 지원기간지원과제는단기과제 (6개월) 과장기과제 (12개월) 로구분한다. 단기과제의경우연구기간을기준으로상반기와하반기로나누어서지원신청을받았다. 다. 지원내역총연구비는단기과제의경우 1천만원, 장기과제의경우이천만원을지원한다. 연구비의지원내역은연구책임자수당, 조교수당, 학생연구비및연구비로구분하며, 학생연구비의경우는학생들의자유로운문헌구입과연구관련출장을위하여 1인당 1개월에 20만원씩지원을지원하다. 포함하며, 과학영재학교, 과학고 R&E 참여경험이있는학생을우대한다. 만약참여학생이신입생일경우에는과학영재학교및과학고 R&E 유경험자에대해서만지원가능하다. 특이사항은연구책임자, 연구조교, 참여학생들이동일학교또는동일학과가아니라도무방하다. 마. 평가및선정신청과제는연구계획서를바탕으로해당분야의전문가로구성된심사위원회에서평가하여지원팀을선정한다. 연구신청서의평가세부항목과비율은다음과같다. 항목내용비율 (%) 연구계획서평가연구수행계획 연구지도계획 전반적인연구내용및독창성, 계획등 학부생의연구주도성및계획의실현가능성등 학부생이주도적으로연구를수행할수있도록학습, 과제부여, 실험기기사용배려등필요한지원조치의적절성등 50 30 20 합계 100 4 대한수학회소식제 128 호
바. 과제관리선정된과제는한국과학창의재단의 URP Coordinator 가연구과제진행을보조하고각연구팀의연구실적을관리한다. 학생들은격월단위로연구수행내용과진척상황을종합하여제출하여야하며, 연구책임자는참여학생의수행정도및지도내용을제출하여야한다. 또한학생들의효율적인연구노트작성을위해 R&D특허센터 (www.ipr-guide.org) 에서온라인으로제공되는 연구노트작성법 강좌를의무적으로이수한뒤이수증을제출하여야한다. 연구진행과함께연구노트작성은필수이며, 최종보고서와함께제출하여야하므로연구노트작성에세심한주의가필요하다. 제출된최종결과보고서를평가하여, 평가결과가기준이하인경우에는 URP Coordinator 가수정및보완요구할수있으며수정ㆍ보완후의평가결과가기준이하일경우, 과제정지및연구비환수, 차년도과제신청불가등과같은패널티를적용할수있다. 또한참여학생이연구수행의불성실, 휴학, 자퇴, 제적등개인적인사유로연구진행이불가능한경우연구비환수할수있다. 3) 2009년 URP 과제선정현황 2009년 URP 과제는상반기과제와하반기과제로나누어서선정하였다. 상반기에는장기 (12개월 ) 과제와단기 (6개월) 과제를, 하반기에는단기과제를선정하였다. 선정된과제의수는다음과같다. 구분과제수상반기 21 단기 54 하반기 33 장기 50 계 104 분야별선정현황은다음과같다. 분야구분과제수계 분야구분과제수계 물리단기상반기 3 5 하반기 2 장기 1 화학단기상반기 1 7 하반기 6 장기 4 생명과학 단기상반기 4 15 하반기 11 장기 11 의학단기상반기 1 2 하반기 1 장기 9 6 11 26 11 공학단기상반기 11 22 하반기 11 45 장기 23 계 99 3. 맺는말 앞에서살펴본것과같이이미미국에서는대학수학교육에서도연구를통하여창의성을신장하고자기주도적탐구능력을향상시키는프로그램을오래전부터도입하고있다. 이러한학부생연구프로그램의산출물들은 AMS & MAA Joint Meeting 에서학부생연구세션을마련하여자신들의연구결과물들을발표하도록하고있다. 또한따로포스터세션을마련하여 700 여개과제중우수포스터상을시상하는등학부생들에게연구를장려하는풍토를마련하고있다. 우리나라에서도한국과학창의재단에서 URP를운영하여학부생연구프로그램을지원하는만큼대한수학회에서도이에발맞추어학부생연구를장려하는안을마련하여앞으로우리나라의수학계를짊어지고나갈수학영재들에게연구의동기를부여하고창의성과자기주도적연구능력을신장시킬수있는기회를제공해야할것이다. 수학단기상반기 1 3 하반기 2 장기 2 5 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 5
원로수학자와의대화 소중한만남주진구선생님 김성숙 ( 배재대학교 ) 2009년 11월 10일, 대전의한까페에서주진구교수님과만나이야기를나누었다. 그리고대한수학회정책연구포럼이있었던지난 11월 20일에보충인터뷰를진행하였다. 소식지기사에많은관심과애정을보여주신주진구선생님께감사드린다. 오랜만에뵙습니다. 갑자기인터뷰를부탁드려죄송하고요, 또응해주셔서감사드립니다. 요사이어떻게지내시는지요? 잘지내고있습니다. 그런데나한테들을만한말이있겠습니까? 주중에는충남대학교에서주당 3시간강의하지요. 가르친다는것은참좋은일입니다. 퇴임후에그것을더느껴요. 강의가있어생활리듬이유지되고건강에도움이되는것같아좋아요. 그리고주말에는보통고향에가서아버지와같이지내면서약간의일을하지요. 고향은어디신가요? 어릴때그곳에서학교다니셨나요? 대학시절에대하여말씀해주세요. 6 25 사변후, 학창시절엔, 나뿐만아니라거의모든학생들이그러하듯이참힘들게지낸것같습니다. 예산에서서울로가서자취, 하숙등여러경험을했지요. 그때만난동기들중엔고영소, 명효철, 구자흥그리고얼마전에고인이된신동선등이있었습니다. 한해아래이지만같이학부를졸업한김종식 ( 전대한수학회회장 ) 이있었지요. 다들공부잘했습니다. 명효철은아주열심히공부했고, 특히우수했습니다. 당시수강한과목들은최윤식선생님의해석학, 오윤용선생님의선형대수, 윤갑병선생님의미분기하, 권경환선생님의현대대수와위상등이있었습니다. 많은과목들은교재없이수업이진행되었지요. 석사과정때엔하광철선생님아래에서 연속함수들의환 에관하여공부했는데기초가부족하여따라가기힘들었고, 어렵게졸업논문을썼지요. 논문쓸때같이세미나에참가했던김제필교수의도움도받았습니다. 고향은충남홍성군에있는시골입니다. 공주와고향에서초등학교를다녔습니다. 예산중학교와예산농업고등학교에서교육받았습니다. 취직은어떻게하셨나요? 그때도취직은힘들었습니다. 학부졸업후에 6 대한수학회소식제 128 호
처음취직한곳이국립중앙관상대통계과에서기원으로일했습니다. 2개월근무하다사직하고무학여자고등학교수학교사로갔습니다. 여기에서근무할때석사과정을이수했지요. 석사과정후, 1966년에충남대학교전임으로운좋게왔습니다. 그때는학사, 석사학위만갖고도대학에취직할수있었습니다. 지금은상상이안가지요. 하게되었습니다. 거기에서위상동력학 (topological dynamics) 을공부하고학위를받았습니다. 그당시알라바마대학에한국인학생수가총 10명정도였습니다. 지금은많아졌겠지요. 교수님은대한수학회에서회장을하시면서 대한수학회사 를편찬하시기도하고많은학회활동을하셨는데, 회장을하시면서보람을느끼셨던것은무엇인가요? < 사진 1> 카페에서인터뷰중사진한컷 (09.11.10) 처음충남대학교에가셨을때와유학시절에대하여말씀해주세요. 충남대에처음갔을때수학과에임창구, 유희세, 오희준, 전병문, 신용태교수님등이계셨지요. 어려운환경에서임창구교수님은프랑스어판 Bourbaki 책으로연구하고, 또 Category 이론을연구하셨는데인상적이었습니다. 임교수님은아마한국에서제일먼저 Bourbaki 책을읽은분중의한분이아닌가하는생각이듭니다. 나는동료교수와고영소, 신동선, 그리고후에우무하교수등과같이공부하며좋은시간을보낸기억이납니다. 1966년충남대전체학부학생모집정원은 300명정도였는데, 지금은 4000명도넘게되었습니다. 지난몇십년동안한국대학들이학부뿐만아니라대학원모두양적으로크게발전했습니다. 1974년미국알라바마대학 (Univ. of Alabama at Tuscaloasa) 에계신최병성박사님이한국에오셨는데, 계기가되어그해알라바마대학에가서공부 기억에남는것은 대한수학회사 를편찬하는일이었는데 그게참힘들었지요. 그때편찬위원은윤갑병, 박을용, 권경환, 김용운, 정봉화, 고영소교수였습니다. 모든분들이협조를잘해주셨고, 특히고영소교수는수고를많이하였죠. 초창기에는수학회사자료가거의없어어떻게해야할지막막했어요. 그러다옛날수학회상황을잘아시는원로수학자분들의말씀을좀들어보자. 그때의여러일들을 해서그분들의이야기를듣기도하고, 글을받았습니다. 또직접찾아뵙고하시는말씀을녹취하여정리하기도했습니다. 그리고경북대학교의박정기전총장님을고영소교수와함께세번인가찾아뵙고여관또는음식점에서말씀을녹취했습니다. 또사실을확인하느라그사모님하고도여러차례전화로이야기했습니다. 캐나다에계신이임학박사님을포항공대이정림박사께서어렵게모셔와서 1996년대한수학회총회및한민족수학자대회에참가하시게했고, 대담도하여수학계와수학회초창기상황을파악하는데크게도움이되었습니다. 그런자료들은후세에귀중한사료들로남을것같습니다. 주변에서수학회사편찬은시급한일이고중요한일이라는의견이있었습니다. 그러나일을하다보니너무힘들어서포기하려고도했었습니다. 그것을계속할수있었던것은그때잘아는작가가있었어요. 안희웅선생이라고하는분이었는데그분이아이디어를많이주었고, 이것은굉장히중요한일이라며이러이러한방법으로편찬하면가능하지않겠는가라고조언을해주었지요. 또김용운박사도수학사를하시는분으로좋은생각을 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 7
갖고적극적으로도우셨습니다. 우선원로수학자들의글을받았고, 대담한녹취록을정리했습니다. 본문은고영소교수와안희웅선생이헌신적으로수고를많이해서만들어진거에요. 또, 수학회사편찬에는객관성을가져야겠다는생각으로처음부터끝까지최대한으로노력을기울였어요. 대한수학회사를편찬할때이임학박사님과대담해서알게되었는데그분이논문을쓴것이 1947 년인가되지요. 1949년에미국수학회 Bulletin에출판되었던논문이야기인데참들을만해요. 그분이남대문길을가다길가의쓰레기더미에서미국수학회 Bulletin 논문집한권을주워갖고그날집에가서읽고그날밤에논문을썼대요. 자세히기억하시지도못하셔요. 이사실을확인하느라이정림박사님이이임학박사께직접물어보니까이임학박사님말씀은 오래되어기억이잘안나는데, 윤갑병씨가 Erdös 문제를풀었다면풀은것이다. 맞다. 라고했대요. 이임학박사님은경성제대물리학과출신이지만수학을독학하신분입니다. 그리고우리나라에서현대수학을처음강의하고연구하신분중의한분입니다. 우리의현대수학이이런분으로부터시작되었다는것은자랑스러운일이기도하지요. 그외에또활동하신일중특별히생각나시는게있으신지요? 이임학박사님께서한국에계실때인가요? 그렇죠. 1953년에캐나다에유학가셨으니까요. 논문을읽고이문제는해결할거같아서그날밤에썼는데그게 Bulletin 에실렸어요. 읽은논문은 M. Zorn의논문이었어요. 짧은논문이었습니다. 이논문은국내에서교육받은학자로서과학분야를통틀어, 유명외국논문지에게재된첫논문일지도모른다. 고이정림박사는말했습니다. 이것은확인해볼만한일입니다. 이임학박사님은참놀라운분이예요. 이임학박사님대단하시죠. 캐나다브리티시컬럼비아대학 (Univ. of British Columbia) 에유학을가셨을때도그다음해부터논문이계속나왔어요. 좀일찍그런선진문명에접하셨으면, 물론그분은세계적인수학자였지만, 더큰수학자가되셨을것같아요. 그렇죠. 유명한상을받았을수도있었겠네요. 이것도그때알게된일입니다. 윤갑병선생님의석사학위논문은이임학교수님지도하에 Paul Erdös 문제중하나를해결한내용이었대요. 그런데윤선생님은그논문을갖고있지도않고, 그내용을 1996년가을학회는대한수학회창립 50주년기념으로한민족수학자대회를겸했었습니다. 행사는해야겠고, 수학회재정이부족하여어떻게할까생각하다여러대학에부탁하여가능한한외국에계신한민족수학자를초청하게하고수학회에서는최소경비로한민족수학자대회를열었습니다. 당시협조해준대학에고마운생각을갖고있습니다. 네, 그러셨군요. 잘하셨어요. 그때만해도대한수학회가참가난했어요. 아주열성이넘치는카이스트의최영한교수가이사로있었는데, 대한수학회소식지에색깔을넣고잘만들어광고를싣자고제안하였습니다. 그래서출판사에부탁하여광고료를몇천만원받았죠. 그리고대한수학회소식지를수학과수학회의홍보를하는의미에서전국에있는중고등학교에도보낸기억이납니다. 반대하는의견도있었지만. 몇천만원이나받으셨어요? 네, 몇천만원맞아요. 대단하네요. 네, 그래서광고료가학회살림에크게도움이되 8 대한수학회소식제 128 호
었어요. 그당시에수학회사무실이마포에있는성지빌딩의오피스텔에있었습니다. 수학회는한국과학기술단체총연합회하고관계가긴밀하거든요. 마포에서과총에한번갔다오면하루가걸려요. 그래서과총건물에공간이있다는것을알고과총에부탁하여이사하게되었습니다. 교수님께서회장으로계실때옮긴거군요. 네, 그때옮겼어요. 과총에서연락이왔길래, 사무실은꼭옮겨야된다하고 2주만에옮기고마포성지빌딩에있는사무실은세를받아사용하였지요. 이사하느라당시정정숙국장등사무직원과조승제, 이동수교수등이사님들이애를많이썼지요. 중요한결정을하셨네요. 사무실을이사하고나서수학회임원과과총사무총장을포함한직원몇분하고저녁식사를했었습니다. 사무총장이과총회장최형섭박사께 대한수학회가과총회관으로옮기고싶다는의사표시가있다. 는보고를하니까최회장은 수학회가사무실을옮길수있을까? 라는말을하셨다기에나는 수학회가부자인데가난한줄아시는모양이다. 라고말했습니다. 모두웃었지요. 국제수학올림피아드가 2000년도에있었는데당시대한수학회에서는어떤준비를했나요? 조언이라기보다내가그냥느끼는것은우선건강에힘쓰시고, 남는것은공부밖에없으니까끝까지공부하는것이좋을것같아요. 내가공부를잘못해서그런말을하는지는몰라요. 그말을하고싶어요. 다른문제는말을안해도다들잘할것입니다. 연구를열심히. 하하하하건강하고, 건강이우선이고그다음에공부하고. 교수님, 앞으로어떤계획을가지고계신지? 무슨특별한계획이있을수있나요. 내가건강하고가끔책이나보고, 수학이외의책도재미있는것좀보고수학공부도좀할수있으면조금하고싶은데. 아직도연구를하고계시나요? 아니요. 연구보다도뭐그렇게생활하고싶다는거죠. 나는일평생을참평범하고단순하게지냈어요. 어떤의미에서너무단순하게지냈어요. 수학하는우리친구들도다그렇지만. 교수님께서는충남대학교수학과에서상당히많은중요한역할을하신것같은데. 특별히교수님께서재직하시는동안아쉬웠다든가또아니면참뿌듯하다든가라고느끼셨던일은어떤것인지요? 국제수학올림피아드조직위원회를구성하고시행계획서를만드는등그때부터조금씩준비를한것같아요. 물론내가한게아니라. 수학회임원들과또많은수학자들이. 그렇군요. 당시준비하시는분들모두수고많으셨겠네요. 교수님께서현역에있는후배교수님들에게조언을해주신다면어떤말씀을? 특별히이제은퇴를얼마남기지않은후배들에게도말씀을해주신다면? 잘한건없는것같고수학에자질있는학생들을잘가르치지못한것이아닌가하는생각도가끔듭니다. 내가충남대학교에있었던것은여기가평화롭고덜복잡하여조용히지내는데알맞다고할까. 그런생각이들었습니다. 별로한일도없이정신없이지냈는데 40년이넘었어요. 지금돌이켜보면, 남는게별로없는것같습니다. 좀아쉬웠던것은모든면에서보다더학구적이고연구하는방향으로나갔어야했을텐데하는생각이들어요. 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 9
교수님께서꽤건강해보이시는것같은데요. 건강을위해서특별히하시는일이있으신지요. 아니요. 건강하지못해요. 그게특별히건강하지않다는것이아니라아침에얼굴을보면많이달라졌다는것을느끼지요. 그리고시간이흐를수록건강에자신이없어지는것같아요. 가까운사람들이아프고그리고가고하는것을보면. 가끔공원이나강가등덜복잡한곳에가서걷고, 뛰고, 또시골에가서나무를심고, 베고. 일을하는척하지요. 혼자서뛰시나요? 아니면사모님하고같이? 집사람은운동을좋아하지않아요. 혼자하기도하고친구들하고도합니다. 같이하는사람중의한사람이생화학자인데함께이야기를나누면서걸으면참좋아요. 고등과학원만들때내가설립추진위원이었어요. 그때대한수학회장과기초과학하시는사람약간명이모여서이것은국가발전과학문발전을위하여꼭설립해야만한다는의견을모아시작한것이거든요. 고등과학원이생긴다음부터한십여년동안, 그사이에우리나라수학이엄청나게발전된것을느껴요. 젊은분들을보세요. 얼마나잘해요, 장하고, 참뿌듯해요. 고등과학원도참기적적으로잘만든것이지요. 그리고근래에국가수리과학연구소도설립되었습니다. 참으로경하스러운일이지요. 이런연구소는 50여년전, 수학회초창기부터우리모두바라던일이었습니다. 대한수학회가각대학의수학과와이런연구소등과더불어수학계전체의발전을바라는거지요. 바쁘신데도시간을내주셔서감사드립니다. 늘건강하시고행복하세요. 충남대학교교수님이셨던분인가요? 그렇습니다. 그분에게내가모르는것을묻지요. 그분이학구적이라여러다른방면의과학, 철학, 종교등에대하여관심이많고, 많이알더라고요. 걸으면서서로말을나누면참좋아요. 특히대학에있었던사람들은여러분야의전공자가친구로있고수학을포함한물리학, 천문학, 생물학 등과학과철학등은가장근본적인학문아니에요. 뭐그런전공자와만나서말을나눌수있다는게참좋은것같아요. 같이엉터리같은말을할때가많지만. 대한수학회의전회장님으로서많은활동을하셨고, 아직도수학회사업에활발히참여해주시며조언을아끼지않으시는교수님께많은감동을받았다. 앞으로도계속건강을유지하시며수학계의큰어른으로우리의든든한버팀목이되어주시길기원한다. 혹시대한수학회에대해서바라는바가있으시다면? 대한수학회, 내가회장을맡았을때는직원이둘이었거든요. 일이많아져서 4명으로늘리고. 당시회원수는 2000이넘었습니다. 현재는회원수가 3000이된것으로압니다. 수학회가이렇게커졌지만지금하시는분들이너무잘하시는것같아요. 후배회장단과임원들이일을참잘하시고있습니다. < 사진 2> 대한수학회포럼이끝난후치러진연회에서건배제의를하시는주진구선생님 (09.11.20) 10 대한수학회소식제 128 호
수학사소개 19 세기수학과 수학의왕자 가우스 한경혜 ( 순천향대학교수학과대우교수 ) 수학의역사는인류역사와궤를같이한다고할수있을정도로길고도복잡하다. 특히서양중심으로서술해오던관점의단일성을지양하고여러문명에서전개되어온과정을아우르려는최근의시도까지고려하면사정은한층더그러하다. 그럼에도불구하고서구중심으로이루어진 19 세기까지의발전과정이주요한비중을차지하고있음을부인하기는어렵다. 그발전의최고봉이라할수있는 19세기수학을열어젖힌수학의왕자가우스 (Johann Carl Friedrich Gauss, 1777~1855) 를소개한다 ( 사실가우스에관해서는전기를비롯하여최근에소설까지국내에서변역이완료되어있으므로전적으로새로운내용은아니리라!). 가우스가응용수학분야에서행한다대한연구야말로그의생애최고의업적으로간주해야마땅하다. 그렇지만그가쌓은업적의핵심과기본은바로그가젊은시절에전념했던순수수학의영역에놓여있다고할수있다. 가우스에관한평가도여러측면에서다룰수있을터이지만, 그가운데서도특히대수학의기본정리를위시한순수수학의업적을당시의시대적요구였던엄밀성을확보하려는입장을중심으로살펴보도록한다. 고대나중세또는 16~18 세기의수학에견주어서 19세기에이루어진수학의발전을설명하기는매우난해하다. 고대나중세수학의역사는상대적으로기초적인대상을다루며, 16, 17, 18세기는본질적으로단일한성격을띠고발전이이루어졌던시대임에반해, 19세기에들어서면서수학의발전을둘러싼상황은이와는근본적으로달라졌기때문이다. 이전시대수학사에서가장중요한내용은 1700 년대에이루어진미적분의발전이다. 그덕분에물리학과천문학을더욱깊이연구할수있는가능성이새로이열렸으며, 18세기의순수수학도이처럼위대한업적을이룬응용수학분야에결코뒤지지않는발전을성취했다. 그렇지만전체적으로보자면순수수학만을독립적으로다루는방식이아니라순수수학과응용수학을한데묶어급속한발전을이루는것이시대적요청이었다. 그러나 19세기의수학발전은전혀다른성격을띤다. 즉응용수학역시점점더새로운영역으로확장되어나갔지만이시기에이르러순수수학의발전은두가지주요한경로로더욱두드러졌다. 우선, 복소변수함수론과사영기하학처럼전적 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 11
으로새로운분야가성립하였다. 다음으로, 이전세대로부터물려받은학문적유산을비판적으로검토하게된다. 이는 18세기에새로운수학적정리가폭발적으로발견되는가운데간과되었던엄밀성의요구가되살아났음을의미한다. 이제수학은천문학, 측지학, 물리학, 통계학등과결별하여독자적인연구대상을마주하게된다. 전문수학자의수는셀수없이많아지고아주먼나라까지퍼져나간다. 개별적인연구가폭발적으로전개되면서이전시대처럼만물에능통한천재는더이상배출되지않게되었다. 대신에학술지를위시한엄청난양의문헌이쏟아져나왔으며, 대규모의국제학회와아울러대외적관계를유지할수있는다양한형태의조직들이숱하게생겨났다. 가우스는단지시기적으로 19세기수학의정상을차지하고있을뿐아니라, 여러갈래로새로이뻗어나가게되는수학발전의출발점을다양하게제공했던학자이다. 그는자신이서있던시대의전환점에서양시대의정신을독특하고도적절한방식으로결합했다고할수있다. 겉으로드러난모습을보자면, 가우스는자신의동료와소통하고그들에게영향을미치는방식에서는전적으로 18세기형型이다. 그는몇몇뛰어난학자들하고만자주접촉하면서학문적교류를나누었다. 또한그의저서가고전적형태라는점에서는이전의학자들과별반다를바가없었다. 여기에다가그는학생대중을상대로강의하는것을극도로싫어하였다. 이런면에서가우스는그보다앞세대인프랑스의몽주 (Gaspard Monge, 1746~1818) 보다오히려더보수적이라고할수있다. 몽주는대중적교육을매개로한프랑스수학의발전에혁혁한공을세운고등교육기관에콜폴리테크니크 (École Polytechnique, 1794) 를설립하여 19세기수학발전을선도했던인물이었다. 하지만몽주가다룬수학적개념이 18세기의틀을벗어나지못했다면, 가우스는전혀새로운사고방식으로새시대를열었던것이다. 가우스는 1777 년독일의브라운슈바이크 (Braunschweig) 에서태어나아주빈한한환경에서자라났다. 그가얼마나재능있고조숙한소년이었는지를보여주는일화는적잖이전해진다. 가우스는열악한환경에서비롯된혹독한시련에도불구하고불굴의의지로빛나는업적을쌓아나갔다. 그리하여마침내평생을두고고마워할정도로든든한후원을마지않았던페르디난트 (Ferdinand) 공작과인연을맺게되었다. 1788년가우스는카타리네움 (Catharineum) 김나지움에입학했으며, 여기를졸업하던해인 1793년대학교의예비단계인카롤리눔 (Carolinum, 오늘날기술전문학교의전신 ) 에입학하였다. 그후짧은기간동안 (1795~1798) 괴팅겐 (Goettingen) 대학에서수학한후가우스는고향으로다시돌아왔다. 이곳브라운슈바이크에서머물면서 (1798~1807) 그는왕성한창의성을발휘하여위대한발견의시대를보내게된다. 가우스자신이남긴자료를토대로한다면그의수학적발전과정은대략아래와같은상으로그려진다. 첫째, 가우스의일기가시작되기전시기로, 이를테면선사시기 (prehistoric period) 인셈이다. 이시기에는무엇보다도자연스럽게일종의어린이 12 대한수학회소식제 128 호
다운호기심이가우스라는소년을외부의영향과전혀상관없이수학문제로이끌었다. 실제로소년가우스가가장먼저흥미를나타낸것은순전히손으로하는계산이었다. 그는엄청난자리수의소수를비롯하여여러종류의수를가지고간단없는연습을함으로써계산의대가가되었다. 뿐만아니라방대한양의특정수치를기억하여수에관한한전무후무한전문적지식을가지게되었다. 가우스는수와관련한자신의직접적경험, 말하자면귀납적이고도실험적인과정에서출발하였지만곧일반적관계와법칙에관한인식에도달하였다. 가우스로하여금발견의재미를자극한가장오래된주제중하나는이른바산술-기하평균이다. 그는 두평균 과 의이점利點을 결합시키기위하여아래의구성방법을거듭적용하였다 :. 가우스는 와같이특정숫자를대입하여진행하였으며, 이과정을반복하면결국소수점이하의여러자리까지결정되는하나의값으로수렴하게된다는사실을주목하였다. 이시기에가우스는이러한사실이나중에타원함수에영향을미치게된다는생각을하지는못했다. 그러고나서한층더그를사로잡은것은정수에대한열정적인관심이었다. 가우스는아무런참고문헌도없이그모든것을하나하나혼자서만들어나갔다. 여기서도그는다시전인미답의길을헤쳐서열어나가는지칠줄모르는계산가의면모를보여주었다. 가우스는소수, 제곱잉여와비잉여, 에서 까지분수 을소수로, 경우에따라서는수백자리 수까지나타나는주기에이르기까지완벽하게제시하는거대한수표를만들었다. 마지막수표는분모 의주기의종속성을알아보려는목적에서작성하였다. 1796년 3월 30일로부터둘째시기, 즉규칙적으로일기를기록하는시기 (1796~1801) 가시작된다. 가우스는오래전부터 원시근 (primitive roots) 에관한이론을토대로 의단위근을구하는일에매달리던중어느날아침잠자리에서눈을뜨면서정십칠각형의구성을명료하게떠올린다. 이발견은가우스의생애에서일종의전환점을뜻한다. 그는이제한동안경도되었던언어학이아니라수학에전념하겠다는결심을하게된다. 이날짜와더불어가우스는자신의지적발전과정에관하여재미있는기록을담은일기를쓰기시작한다. 그는일기에다자신이느끼는기쁨과만족감을아주격정적으로드러내었다. 심지어자신에대한찬사를덧붙이고감탄사까지적어놓기까지하였다. 그리고산술 ( 정수론 ), 대수학, 해석학분야에서이루어진위대한발견을자랑스럽게기록해놓았다. 이를토대로그의위대한저서 < 수론연구 Disquisitiones arirhmeticae> 의기원을알수있다. 이일기에서드러나는특징적인내용을간단하게가우스의기록에따른번호순으로정리해보자면다음과같다. 1. 1796년 3월 30일 : 원을기하학적으로 17등분한다. 2. 1796년 4월 8일 : " 황금정리 (theorema aureum) [ 이차상호법칙 ] 를처음으로정확하게증명한다. 여덟개의서로다른경우를포괄하는이증명은아주장황함에도불구하고, 그진행방식은놀라울정도로대담한일관성을유지하고있다는점에서특기할만하다.( 크로네커 (Leopold Kronecker) 는이를두고 가우스가지닌천재성의힘을시험 하는것이라평하였다.) 51. 1797년 1월 7일 : 렘니스케이트를다루기시작한다. 60. 1797년 3월 19일 : 렘니스케이트의분석을복소수영역까지넓혀서적분의이중주기를알아냈다 : 80. 1797년 10월 : 1799 년박사학위논문의주제인대수학의기본정리의증명에도달한다. 98. 1799년 5월 30일 : 렘니스케이트의길이와산술 -기하평균의관계를, 순전히연산에의한방법. 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 13
으로 의값을소수점이하열한자리 까지구함으로써찾아내게된다. 그는이관계를명확히파악하지는못했으나이발견이 해석학의아주새로운장 을열게될정도로중요하다는점은인식하고있었다. 이시점부터타원함수이론은아주빠른속도로발전하였다. 105-109. 1800년 5월 6일에서 6월 3일 : 일반적인이중주기함수에관한발견을기록한다. 정사각형이일반적인평행사변형으로대치된다. 이렇게해서일반타원함수와모듈라함수이론이완성되며단번에훗날아벨 (Niels Henrik Abel) 과야코비 (Carl Gustav Jacob Jacobi) 가이루게되는발전의전단계를다져놓는다. 이후가우스가차츰천문학에전념하게되면서순수수학분야에서더이상의발견은이루어지지않는다. 그런중에서도다음사항정도가눈에띈다. 144. 1813년 10월 23일 : 정수론분야에서네제곱잉여에관한체계적이론과수 를도입한다. 이발견직후가우스는기쁨에넘쳐 7년이상찾으려애써왔던풀이가아들의탄생과더불어선물로찾아왔다고적고있다. 이들기록에서도알수있듯이가우스가천착한순수수학의영역은우선 위대한세개의 A 즉, 산술 (Arithmetik, 정수론 ), 대수 (Algebra), 해석학 (Analysis) 이다. 먼저정수론영역에서 1796 년에이루어진가우스최초의수학적대발견은정십칠각형작도가능성이다. 이는다르게표현하면다음방정식의해를제곱근을써서나타낼수있다는것이다 :. 아직만 19세가되지않은가우스가이증명을해냄으로써이천년이상미해결상태로남아있었던정다각형의작도가능성에관한문제는괄목할만한진전을이루게되었으며, 마침내결정적인마무리단계에접어든다. 그는곧이어임의의정 각형의작도가능성에대한기준을제시하였다. 이놀라운 성과로말미암아가우스는순식간에주목을받게되었다. 페르디난트공작에대한감사의표시로잇달아출간된독자적출판물들은 1801 년가우스의최초의역작 < 수론연구 > 로마무리된다. 가우스는 < 수론연구 > 를통하여진정한의미의현대적정수론을창시했으며, 오늘날까지도이를발판으로한발전은지속되어오고있다. 더욱놀라운사실은가우스가이러한전체사고체계를외부로부터의어떤자극도없이홀로창시해냈다는점이다. 다만오일러 (Leonhard Euler), 라그랑주 (Joseph Louis Lagrange), 르장드르 (Adrien-Marie Legendre) 등이저술한자료를읽고, 동료교수인캐스트너 (Abraham Gotthelf Käestner, 1719~1800, 독일의수학자, 시인 ) 를가끔씩방문한것정도가가우스의굽힐줄모르는창조욕구의발현에영향을끼쳤다할수있을정도이다. < 수론연구 > 는세부분으로구성되어있다. 맨첫부분은제곱잉여 (quadratic residue) 의문제와정수론의기본정리인상호법칙의증명을다루고있다. 르장드르의기호에따라상호법칙은다음식으로표현된다 :. 가우스는이정리를순전히수치계산을통한귀납적과정으로알아냈으며, 그중요성을인식하여 theorema aureum [ 황금정리 ] 라일컬었다. 그리고지난한작업끝에마침내연역적으로이를증명하기에이르렀다. 둘째부분에서가우스는이차식이론, 즉 ( 는정수 ) 은정수 에대하여어떤값을취하게되는지에관한문제를다룬다. 셋째로 이라는원분방정식 (cyclotomic equation) 을제곱근을이용해서풀수있는가를 다루고있다. 그기준이 이라는사실을제시하였다. 정수론분야의모든논문은기본문제인 황금정리 와관련되어있다. 가우스는무려여섯가지 14 대한수학회소식제 128 호
서로다른증명을시도했다. 이들은세제곱혹은네제곱잉여를다루는 1808년과 1817년사이의논문에주로실려있다. 네제곱잉여의황금정리에상응하는내용은 1825 년과 1836 년에발표된논문에담겨있는데, 여기서는 ( 는정수 ) 를도입함으로써정수론의범위를크게넓히기도하였다. 대수학분야에서가우스는무엇보다도대수학의기본정리를거듭다루었다. 그는 1799년헬름슈테트 (Helmstedt) 대학에서이정리의증명을주제로박사학위논문을완성한다. 또한많은학자들이매달렸으나아직조심스럽게가려져있는허수라는주제를이논문에서다루었다. 가우스는젊은시절부터표현방식을아주신중하게선택하곤하였다. 무엇보다그는자신의생각이완벽하게다듬어지지않으면아예감추어놓았다. 그는허수에대해계속의식하고있으면서도, 그에관한언급을조심스럽게회피하였다. 오로지각다항식을일차또는이차의실 (real) 요소로분해하는것만다루어왔다. 실제그는 -평면이복소수 의기하학적해석이라는어떠한암시도하지않은채연구를진행하였다. 그러다가이논문에서그는 복소수 (complex number) 라는새로운표현을만들어내었다. 그가가한기하학적해석으로이차원다양체의연산이신비적인환상의영역에서명료하게눈에보이는영역으로단번에옮겨가게되었다. 뒤이어 1815년에는전혀새로운증명을하였고, 1816년의증명에서는다시완전히다른방법을사용하였다. 1815년의논문에서단지실수영역만고려했다면, 1816년의연구에서는복소평면에서의중적분을사용한다. 1816년가우스는박사학위취득 50주년을맞이해서 1799년의증명으로다시돌아간다. ( 이에관해서는엄밀성과관련하여나중에좀더자세히살펴보도록한다.) 마지막으로, 해석학분야의연구는크게세부분으로파악할수있다. 우선첫째부분에는다음초기하급수에관한연구 (1812) 가해당된다 : 이를다룬논문에는특히최초로정확한수렴기준이들어있다. 둘째부분은계수가 의유리함수이며개별적분의결과가초기하급수로나타나는미분방정식에관한이론을다루고있다. 마지막으로셋째부분은일반타원함수론을담고있다. 그런데가우스는둘째, 셋째부분에속하는내용을직접발표하지는않았으며, 그가남긴유고를아벨 (1825) 과야코비 (1827) 가연구한결과이보물들이세상에모습을드러내게되었다. 이와관련된아주미세한흔적을 < 수론연구 > 에서도찾아볼수있긴하다. 즉렘니스케이트와 1808 년에다루었던장주기섭동이들어있는것이다. 렘니스케이트의주기는산술-기하학적수단을통하여다음식으로표현된다 :. cos sin 그런데가우스는여기서다시한번극단적인침묵을지킨다. 이처럼이주제에대하여발표한논문의수가적은데도불구하고그의정신적창조물은새로운수학적의미를띠었을뿐만아니라그유도과정이아주엄밀했으므로동시대의학자들에게매우강렬한인상을심어주었다. 가우스가아주방대하고도특이한연구를하고있다는소문이널리퍼졌으며, 이에대한논란역시격렬하게벌어졌다. 그래서가우스는특히젊은학자들사이에무한한관심과존경의대상이되었다. 이제가우스가수학의기초에대한비판이나방법적엄밀성에관하여끼친영향을살펴보도록한다. 역사적으로보면 엄밀성 이수학의발전에서언제나똑같은의미를띠지는않았으며똑같은강도로요구되지도않았다. 오히려시대상황에따라서아주달랐다. 위대하고강력한창조의시대에는가능한풍부하고도빠른성장을위하여뒤로물러서있기도하다가, 그후획득한보고寶庫를다지는비판적시기가도래하면다시금더욱강조 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 15
되었던것이다. 우리는 18세기미적분이성립하던시기에오로지발견에대한열정으로인해결함투성이인기초위에서이론을전개하거나, 직접적인오류를수도없이범하곤했던사실을보게된다. 또한 19세기의대수적곡선연구에서도비슷한현상을목격한다. 따라서 엄밀성 이란어느정도상대적이며, 학문의성장과더불어증대하는요구라는것을알수있다. 가우스가엄밀성의관점에서비판적관심을보였던특별한주제는무엇보다도여러차례에걸쳐거듭연구대상으로삼았던대수학의기본정리이다. 그는 1799 년, 1815 년, 1816 년등세차례에걸친증명을했으며, 이보다후인 1849년에는첫번째증명을개선시켰다. 그다음으로엄밀성을강조한중요분야로서급수의수렴을들수있다. 가우스는멱급수의수렴에관한일반규칙을초기하급수를다룬논문에서처음으로제시하였다. 이러한맥락에서미적분분야가가우스의관심을끌지못했다는점은퍽흥미롭다. 이분야야말로기초에대한비판적고찰을통해서인간의지적성장과성숙을가능케하는창조적산물을많이냈다고할수있는데도그는별다른관심을보이지않았던것이다. ( 질서와명료함을부여하는작업은코시 (Augustin-Louis Cauchy) 의연구몫으로남겨졌다.) 가우스는미적분계산을정확하게해내기는했으나, 그논리적구조에관한문제에관해서는자신의견해를표명한적이없다. 가우스가세차례에걸쳐행한대수학의기본정리의증명은이전의연구결과에비해엄밀성이대폭강화되었다. 물론여전히훗날의수학으로보충해야할부분이남아있기는했다. 대수학의기본정리는원래달랑베르 (Jean Le Rond d'alembert) 가처음제시하고어느정도증명을해냈다. 그래서프랑스에서는오늘날까지도이정리를 théorème de d'alembert [ 달랑베르의정리 ] 라부른다. 가우스의박사논문은이정리를최초로엄밀하게증명했다는평가에이의를달지못하도록한다. 그자신역시그논문을 demonstratio nova [ 새로운증명 ] 이라칭하였다. 당연히그의논문은앞서이루어진모든증명에대한상세한비평으로시작된다. 그러고나서가우스는독특하고도새로운사고과정을전개한다. 오늘날의표현으로하자면가우스는다음함수를고찰하였다 :. 이때 이다. 여기서가우스는 -평면에서곡선 과 의형태를조사하였다. 원점에서아주멀리떨어진, 말하자면 의절대값이큰경우에, 즉 cos sin 에점근한다. 이두개의등식은원점을통과하는두직선체계를나타낸다. 한체계의직선들은다른체계의직선들과서로위치를바꾸어구성된다. 이처럼찾고자하는곡선의점근선의위치를가지고가우스는교점의존재를추론해내었다. 가우스는원칙적으로는옳았지만, 완전하지는않았다. 가우스는암묵적으로대수적곡선의성질을적용했다. 말하자면 곡선 이라는용어를적확的確하게사용하지는못했다. 곡선 이갑자기끊어질수도있다고언급했지만더이상의설명은없다. 더욱이 의곡선의가지와 의곡선의가지가어떻게만나는지에관한여러가지결합의가능성을깊이있게분류하여다루지도않았다. 그무엇보다도이차원평면에서연속에관한기본적인명제를자명한것으로간주하였다. 예를들어서로건너가는두곡선은어디에선가만난다든지하는것이다. 둘째로이루어진증명에사용한수단은한층더단순해졌다. 즉일차원연속체위에서증명이완전하게이루어지는것이다. 가우스는홀수차수의방정식 이적어도하나의실근을가진다는정리를자명하게여겼다. 그는다음과같이훌륭하게설명을했다. 차의방정식 에서 이약수 를단한번포함한다면새로운변수 에관한정함수를구성 16 대한수학회소식제 128 호
할수있다. 그결과로유도되는식은 와 이며, 계수는 로부터유리연산을통해찾을수있다. 그리고그차수는 이다. 한편이러한 함수는 에관한함수 로도해석할수있으며, 이때의차수는 이된다. 그러면방정식 의근 이존재한다고전제하지 않고도, 이영이되는것은 와 이공통의근을가지게되는필요충분 조건임을증명할수있게된다. 의차수는 에 관해서홀수이므로 은근 를가지게된다. 따라서 과 은공통근 를가진다. 이로부터 의근 ± 의 존재가확인된다. 는 와 의계수에서순전히유리연산을통하여형식적으로유도 ( 최대공약수 ) 된다고결론지을수있다. 이약수 를두번포함한다면 는단 한번포함한다. 그러면 가이미위에서결론을내린경우에속하게되어똑같은논의과정이적용될수있다. 이렇게해서수학적귀납법의원리에따라임의의 에해당하는증명으로까지나아간다. 이처럼빛나는증명의첫단계에서 이홀수일때 이실근을가진다고전제한것과관련하여훗날약간의보완을하면될따름이었다. 그밖에균일하게증가하는 가양에서음의값으로넘어갈때 ( 혹은그역일때 ) 가 의값을가진다고가우스는당연하게생각하였다. 이결론은연속에관한중요한개념과맞닥뜨리기때문에좀더분석해보자면, 우선데데킨트원리에따라완비성이보장되는실수에관한명시적인이론이결여되어있다. 다음으로연속함수 가서로다른부호의값을가진다면그사이에 의값이생겨난다는증명이필요하다. 셋째로, 우리가다루는함수 가연속임을증명해야한다. 당대의동료수학자들은이미가우스의천재성이얼마나출중한지를깨닫고있었다. 이는가우스가 1855년 2월 23일자택에서세상을떠난직후하노버의왕이그에게경의를표하기위하여기념메달에새기도록한 mathematicorum princeps [ 수학의왕자 ] 라는문구에서도드러난다 ( 이메달은하노버의유명한조각가이며메달제작자인브레머 (Friedrich Brehmer) 에의하여완성되었다 ). 가우스의독보적지위는무엇보다도천착한영역이아주다양할뿐만아니라각영역에서이룬개별적업적이위대했다는데서비롯된다. 수학적발견과정의엄밀성과신중하게행해진관찰과측정을포함한실질적응용사이의완벽한균형을꾀했다는점역시또하나의근거로들수있다. 끝으로자신이일구어낸방대한지적재산을완벽한형태로표현해냈다는점이다. 단지연구대상을다양하게선택했다고해서위대하다고할수는없다. 예컨대가우스보다 25살많은수학자르장드르는마치모종의신비한힘에이끌린듯가우스와거의똑같은주제를다루었다. 그의업적역시인정받을만한가치가없지는않았지만, 어느주제에대해서도가우스가다룬어떤것만큼도깊이있는결과를내지못하였다. 이러한비교를통해혹자가주장하듯이수학이창의적인두뇌에힘입은우연적이고자의적인활동의발전에만의존하는주관적학문이아니라는사실을다시한번확인하게된다. 연구대상은수학자체의내부적논리에따른시대적특성을통해서주어진다고할수있다. 천재의업적이란동시대의동료들보다훨씬앞서서지속가능한발전을예견하고, 바로그로인해서결정적인전기를마련함으로써새로운정신에바탕을둔지적창조물을만들어내는것이라하겠다. 가우스는이전시대발전의최고봉으로한시대를마감하는동시에, 그의시대에서의식했던것보다훨씬더결정적이고효과가큰빛을마지막까지발함으로써새로운시대의기초를열었다. 2009 년 11 월호 The Newsletter of the KMS 17