8년 수학성취도 측정시험 모범답안/채점기준/채점소감 (8학년도 수시모집, 정시모집 및 외국인특별전형 합격자 대상) 8년 월 일, 고사시간 9분 8년 번 x + x + x x x lim. [풀이] x + x + x (x )(x + x + ) lim x x x (x )(x + ) x + x + lim x x+ limx x + x + limx x + 6 lim 8년 번 함수 f (x) x + ax + x 7이 실수 전체에서 증가 함수이기 위한 a값의 범위는 [풀이] 다항 함수 f (x)가 증가 함수이면 도함수 f (x) 임을 사용한다. f (x) x + ax + 그리고 차 다항 함수가 항상 양수라는 것은 판별식D 과 동치 D (a) 4 따라서, a값의 범위는 6 a 6 8년 번 si(5x) x x lim. [풀이] lim x si(5x) si(5x) 5x lim x x 5x x 5
8년 4번 곡선 y (x ) l(x + x + ) + cos x 위의 점 (, )에서의 접선의 기울기는 [풀이] 곡선 y 위의 점(, )에서의 접선의 기울기는 함수f (x) (x ) l(x + x + ) + cos x의 x 에서의 미분계수 f ()와 같다. f (x) l(x + x + ) + (x ) x + si x +x+ x f () l 따라서, 곡선 y 위의 점(, )에서의 접선의 기울기는 ( ) X 8년 5번 lim +. [풀이] ( ( ) ) X ( + )( + ) ( + ) lim + + lim 6 + + + + + lim 8년 6번 좌표공간에서 평면 x y + z 에 수직이고 점 (,, ) 을 지나는 직선은 x y z a 로 나타낼 수 있다. 이 경우 a + [풀이] 평면에 수직인 벡터가 (,, )이고, 문제에 주어진 직선의 방향 벡터 는 (, a, ) 두 벡터가 평행이므로 a, 임을 알 수 있다. 따라서 a + [채점기준] 단답식이므로 답이 맞으면 점, 틀리면 점입니다. [채점소감] 대부분의 학생들이 잘 계산하였습니다. 간혹 증가 함수의 도함수가 이상인데 을 포함하지 않아 생긴 실수가 보였습니다.
8년 7번 구간 [, π ]에서 정의된 함수 f (x) x si x와 그 역함수의 그래 프에 의해 둘러싸인 영역의 넓이는 [풀이] 함수f (x)와 그 역함수는 y x 대칭이므로 구해야하는 문제의 영역의 넓이는 구간 [, π ]에서 곡선 y f (x) 와 직선 y x 사이 넓이의 배와 갈다. π (x si x x)dx h si x x cos x x 8년 8번 lim π 4 iπ π 4 ex+ cos(x ) dx. [풀이] 치환적분과 미적분학의 기본정리를 이용한다. 다음과 같이 함수 F (s)를 정의하여 이와 관련있는 성질을 관찰한다. s F (s) ex+ cos(x )dx 관찰: 피적분함수가 모든 실수에서 정의되므로 x 을 적분 구간 시작점으 로 잡는 것은 타당하다.(함수가 잘 정의되었다.) 관찰: F () 관찰: F (s) es+ cos(s ), F () e
주어진 식에 t 로 치환한다. lim t t t ex+ cos(x )dx lim ex+ cos(x )dx t lim t t ( lim t t ( lim t t ( lim t t ( x+ e ) t e cos(x )dx + x+ cos(x )dx t t e x+ cos(x )dx + ) t x+ e cos(x )dx ) F (t) + F (t) ) F (t) F () + F (t) F () F (t) F () F (t) F () + t t t F () + F () lim F () e 8년 9번 방정식 x[x[x]] 6의 양수 해는 크지 않은 최대 정수) (단, [x]는 x보다 [풀이] 다음과 같은 관찰을 한다. [x] x[x[x]] [x + ], < 6 < 4 따라서 x[x[x]] 6 을 만족하는 수가 존재한다면, < x < 4 그렇다면 [x] 이고 9 < x[x] < 이므로, [x[x]] 9,, 일 수 밖에 없다. [x[x]] 9인 경우: x[x[x]] 6 x 9 6 x4 한편, [x] 4 6 는 가정에 모순이므로 x 4는 해가 아니다. [x[x]] 인 경우: 4
x[x[x]] 6 x 6 6 8 x.6 5 또한, [x] [.6], [x[x]] [.6 ] [.8] 이므로, x.6는 방정식 x[x[x]] 6 을 만족하는 해 [x[x]] 인 경우: x[x[x]] 6 x 6 6 x 한편, [x[x]] [ 8 ] < 는 가정에 모순이므로 x 6 는 해가 아니다. 8년 번 일렬로 나열된 열 개의 칸을 각각 빨강색과 파랑색으로 칠하려 한다. 이 중 빨간색을 연이어 칠하지 않는 경우의 수는 가지 [풀이] 빨강색으로 칠할 수 있는 칸의 갯수는 최대 5개 이를 기준으로 다 음과 같이 경우를 나누어서 생각한다. 빨강색 없이 모두 파랑색인 경우 : 가지 빨강색 칸과 파랑색 9칸인 경우 : C 가지 빨강색 칸과 파랑색 8칸인 경우 : 9 C 6 가지 빨강색 칸과 파랑색 7칸인 경우 : 8 C 56 가지 빨강색 4칸과 파랑색 6칸인 경우 : 7 C4 5 가지 빨강색 5칸과 파랑색 5칸인 경우 : 6 C5 6 가지 따라서, 빨강색을 연이어 칠하지 않는 경우의 수는 44 가지 8년 번 삼차원 공간의 사면체 ABCD 각 변의 길이가 AB 4, BC 7, CD, DA 9, AC, BD 라고 할 때, AC BD [풀이] 다음과 같이 좌표를 설정한다. A (,, ), B (4,, ), C (a,, c), D (x, y, z) 5
그러면 다음과 같이 벡터와 문제에 주어진 길이를 표현할 수 있다. AC (a,, c) BD (x 4, y, z) (a 4) + + c 7 (x a) + (y ) + (z c) x + y + z 9 위 식들을 연립하여 다음을 구할 수 있다. 7 AC BD (x 4) a + y + z c (별해) 제 코사인 법칙을 이용하여 풀수 있다. AC BD AC (BA + AD) AC ( AB + AD) AC AB + AC AD AC AB cos a + AC AD cos α 67 4 + 9 8 7 67 6 + 여기서 a는 AC과 AB 이루는 사잇각이고, α는 AC와 AD 이루는 사잇 각 제 코사인 법칙을 이용하여, 4ABC에서 cos a 67 8 와 4ACD 에서 cos α 을 구할 수 있다. [채점기준] 단답식이므로 답이 맞으면 7점, 틀리면 점입니다. [채점소감] 7번에서 넓이를 구하는 문제에서 π π 4 를 대소 비교하지 않고 4 < 로 쓰는 실수를 범한 학생이 많이 있었습니다. 그리고 번에서 경 우의 가지 수를 구하는 문제에서 빨강색이 없이 모두 파란색인 경우를 고려하지 않아 틀린 학생이 다수 있었습니다. 6
8년 번 좌표평면에서 함수 y ax + x + cx + d (a > )의 그래프가 직선 y y 과는 왼쪽부터 차례대로 서로 다른 세 점 B, C, F 에서 만나고, 직선 y y 와는 왼쪽부터 차례대로 서로 다른 세 점 A, D, E에서 만난다. y > y 이 고 선분 AB, CD, EF 를 x축에 정사영시켜 얻은 선분들의 길이를 각각 α, β, γ 라 할 때, α + β + γ 4가 되었다. β의 값을 구하시오. [풀이] 점 A, B, C, D, E, F 의 x축 좌표를 각각 xa, xb, xc, xd, xe, xf 라 하자. 그러면 xa < xb < xc < xd < xe < xf 의 관계가 성립하고, 따라서 α xb xa, β xd xc, γ xf xe 주어진 식에서 점 xb, xc, xf 는 ax +x +cx+d y 의 세 실근이고 점 xa, xd, xe 는 ax + x + cx + d y 의 세 실근이므로 근과 계수의 관계에 따라 α β + γ xb xa (xd xc ) + xf xe xb + xc + xf (xa + xd + xe ) ( ) a a 이 식을 주어진 식인 α + β + γ 4 와 연립하면 β 임을 알 수 있다. [채점기준] 정확한 논리에 따라 서술을 하였으면 7점 이고 부분점수는 없습니 다. 일적인 경우가 아닌 주어진 식의 미지수 a,, c, d, y, y 에 적절한 가정을 하여 풀었을 경우 논리가 모두 맞은 경우에 한하여 점 입니다. [채점소감] 근과 계수의 관계를 적절히 사용하지 않고 풀 수 없다고 생각하여 부분점수를 주지 않았고 실제로 그렇게 풀어서 논리가 완벽한 학생은 없었습 니다. 풀이과정에서 문자가 많이 등장하다 보니 서술형 문제가 익숙하지 않은 학생들이 식 전개과정에서 실수를 종종 했는데, 사소한 실수는 감안하는 형식 으로 채점을 하였습니다. 8년 번 임의의 실수 s > 와 이상의 자연수 에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. + s + + s < s s [풀이] 함수 f (x) xs 는 [, )에서 단조감소하므로, 자연수 에 대하여 + + + f () dx f (x) dx dx s xs 7
가 성립한다. 에,..., 을 각각 대입하여 얻어지는 식을 변변 더하여 X f (x) dx s 을 얻는데, 여기서 f (x) dx s s ( s > ) s 이므로 결론이 증명된다. [채점기준] 적분구간을 잘못 쓰는 등의 실수가 있거나, f (x)의 단조성을 언급 한 부분이 없는 답안에 대해서는 점을 감점했다.(단, f (x)의 그래프를 그린 경우에는 f (x)의 단조성을 언급했다고 간주한다.) 그 외에 논리적인 결함이 큰 경우에는 점을 주었다. [채점소감] 이 문제를 제대로 맞춘 학생은 % 정도 되는 것 같다. 많은 학 생들이 수학적 귀납법을 쓰거나, 혹은 좌변의 식의 각 항을 등비수열에 의해 근사하려는 등 틀린 보조정리를 이용하여 이 문제를 풀려고 시도했다. 하지만 모범답안과 다른 발상으로 이 문제의 풀이를 모순 없이 쓰는 데 성공한 학생은 단 한 명도 없었다. 8년 4번 두 실수 7 8 과 8 7 의 대소를 판정하시오. [풀이] f (x) log x는 증가함수이고 7 8이 양수이므로 비교하고자 하는 두 수의 자연로그 값을 7 8로 나눈 것을 비교하면 충분하다. 즉 log 7 log 8,, 7 8 위 두 숫자의 대소를 비교하면 충분하다. 이제 g(x) : logx x 를 생각해보자. x g (x) log 이므로 g (x)는 x > e에서 음수가 되는 것을 알 수 있다. 그러 x 므로 g(x)는 x > e에서 감소함수 이때 e < 9 < 7 < 8 8
이므로 g( 7) > g( 8)임을 알 수 있다. 따라서 log 7 log 8 > 7 8 8 log 7 > 7 log 8 8 7 log 7 > log 8 8 7 7 > 8, [채점기준] 점 만점으로 logx x 이 외의 함수를 설정한 경우에도 마찬가지로 도함수를 계산하고 열린 구간 (7, 8)에서 설정한 함수가 감소, 혹은 증 가함을 보인 후 올바르게 답을 유추하면 만점을 부여하였음. 논리가 잘못된 경우나 답만 적은 경우 점수를 부여하지 않았으며 다만 다음의 경우에 해당되 면 4점을 감점하였음. 사용하고자 하는 함수의 그래프 모양만을 이용하고 도함수 계산과 같이 그래프 개형을 정당화할 수 있는 내이 없는 경우 log x log x와 x, x 같이 비교적 쉽게 도함수가 계산될 수 있는 경우 도함수 계산 없이 감소한다는 말만 적은 경우. [채점소감] 특정 구간에서 증가 혹은 감소하는 함수를 이용하여 비교한다는 아 이디어만 떠올린다면 쉽게 해결할 수 있는 문제였습니다. 다만 도함수를 직접 계산하여 함수의 증감을 구체적으로 적지 않아 감점된 사례가 제법 있었습니다. 모범답안과 같이 쉬운 함수를 이용한 학생들이 대부분이었다면 넘어갈 수도 있 었지만 학생들이 사용한 함수가 다양하게 등장하였고 그 도함수 계산이 복잡한 경우도 있어 형평성을 위해 도함수 계산에 대한 내용을 고려해야 하였습니다. 8년 5번 고정된 유리수 에 대하여, 함수 f : [, ] [, ] (,,,...)을 다음과 같이 귀납적으로 정의하자. f (x) x [x], f (x) f () + x [f () + x] ( ). (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대 정수) 임의의 x [, ]에 대하여, 다음 집합의 원소의 개수는 유한 개임을 보이 시오. {f (x ), f (x ), f (x ), } 9
[풀이] 우선 수학적 귀납법을 이용하여 다음 등식을 증명한다: f (x) ( + x) [( + x)] (). : f 의 정의와 일치한다.. s 일 때 위 등식이 성립한다고 가정하자. 그러면 fs+ (x) fs () + x [fs () + x] (s + ) [(s + )] + x [(s + ) [(s + )] + x] (s + + x) [(s + )] [(s + + x)] + [(s + )] (s + + x) [(s + + x)] 이때 [(s + )]가 정수이며, 임의의 정수 과 실수 x에 대해 [x + ] [x] + 임을 이용했다. 수학적 귀납법에 의해 등식 ()의 증명 완료. 편의상 가 양의 유리수라 가정하면, 서로소인 두 양의 정수 a, 에 대해 a 로 쓸 수 있다. 등식 ()을 이용하면 임의의 자연수 에 대해 f+ (x) ( + + x) [( + + x)] ( + x) + a [( + x) + a] ( + x) [( + x)] + a a f (x) 이므로, 임의의 x [, ]에 대해 함수값 f (x )는 에 대한 주기를 가진다. 따라서 주어진 집합 {f (x ), f (x ),... } {f (x ), f (x ),..., f (x )} 은 유한집합 물론 가 이거나 음의 유리수여도 같은 증명이 성립한다. 참고로, 실수 전체에서 정의된 함수 f : R R을 f (x) x [x]로 정의하면 등식 ()은 f (x) f ( + x)란 뜻 따라서 함수 f 의 그래프는 y f (x) 그래프에서 정의역이 [, + ]인 부분이므로, 금방 보인 f (x )의 주기성을 시각적으로 확인할 수 있다. [별해] 만약 서로 다른 두 정수 p, q에 대해 fp () fq ()이라면, 함수 f 의 정의에 의해 모든 실수 x [, ]에 대해 fp+ (x) fq+ (x)가 성립한다. 따 라서 주어진 집합이 유한집합임을 보이기 위해서는 집합 {f (), f (),... }이 유한집합임을 증명해도 된다. 역시 편의상 가 양의 유리수라 가정하고 a 가 되는 서로소인 두 양의 정수 a, 를 고르자. 수학적 귀납법을 이용해 다음을 보이려 한다: 각 자연수 마다 어떤 정수 a 이 존재해서 f () a ()
Figure : 45 일 때 y f (x)의 그래프. : f () [] r. 이때 r은 a를 로 나눈 나머지.. s 일 때 위 주장이 사실이라고 가정하자. 즉, 어떤 정수 as 에 대해 fs () as 그러면 fs+ () fs () + [fs () + ] as + a as + a as+ 이때 as+ 은 as + a를 로 나눈 나머지이며 정수 그러므로 수학적 귀납법에 의해 위 명제 ()는 사실 그런데 f 의 정의를 살펴보면 f (x)는 실수 f () + x의 소수부이므로 5 f (x) < 이고, 즉 5 a < 따라서 a a o c o {f (), f (),... },,... 5 c <, c 이며 우변이 유한집합이므로 원하던 결과를 얻는다. [채점기준] 첫 번째 모범답안을 기준으로, 등식 ()을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하는 것이 4점 이를 통해 f (x)의 에 대한 주기성을 파악하는 것이 4점 증명을 잘 마무리짓는 것이 점
으로 총 점 만점. x 일 때만 증명한 경우에는 4점 부여, 가 정수일 때만 증명한 경우에는 점. ()이나 ()와 같은 명제들을 보일 때 수학적 귀납법을 이용한다고만 쓰고 실제로 증명을 제시하지 않은 경우에는 그 부분에 대한 점수 없음. [채점소감] 주어진 집합이 유한집합임을 증명하라는, 고등학교까지는 거의 볼 수 없었던 유형의 문제여서인지 상당수의 학생들이 손을 대지 못했다. 이 문 제의 경우 f 을 정의에 따라 직접 계산해보거나 그래프를 그리다 보면 단서를 찾을 수 있었지만, 풀지 못한 학생들은 대체로 초반의 f, f 정도 계산해보 고 포기한 것 같아 아쉬움이 남는다. 첫 시도가 실패하더라도 주어진 정보를 이용해서 여러가지 방법으로 문제에 접근하는 자세가 필요해 보인다. 8년 6번 좌표공간에서 원 x + y, z 위의 점 P 와, 원 x + y 4, z 위의 점 R, Q에 대하여, P Q + P R QR 의 최솟값을 구하시오. ~ QP ~ + P~R 이므로 [풀이] P Q + P R QR 에서 QR ~ ~ P Q + P R QR P Q P R 점 P 를 xy평면에 정사영한 점을 H ~ HR ~ 라 하면, P~Q P~R + HQ ~ HR가 ~ H를 고정하고 임의의 Q에 대해 HQ 최소가 되려면 원점 O에 대해 RO//HQ ~ HR가 ~ 한편 R에 대해 HQ 최소가 되려면 OQ//HR ~ HR가 ~ 따라서 사각형 ORHQ는 평행사변형이 될 때(정확히는 마름모) HQ 최소가 된다. 이때, ~ HR ~ 7 HQ 그러므로, 구하고자 하는 최소값은 5 [별해] 선분 QR의 중점을 M 이라 하면, 파푸스 정리에 의해, P Q + P R (P M + QM ) P Q + P R QR (P M QM ) 이때 OM x, M H y라 하면, P M y +, M Q 4 x, (P M QM ) (x + y )
x < 에서 x y + x, x 에서 x y x + 이고, 위 부등식 영역에서 x + y 의 최솟값은 [별해]일반성을 잃지 않고 P 의 좌표를 (,, )로 고정할수 있다. Q ( cos φ, si φ, ), R ( cos θ, si θ, )로 두면 P Q + P R QR 8 cos(θ φ) 4(cos θ + cos φ) + 4 () φ가 고정되있을 때 위 식이 극값을 가지기 위한 θ 찾기 위해 θ로 미분하면 8 si(θ φ) + 4 si θ 을 얻는다. 마찬가지로, θ를 고정하고 φ로 미분하면 si φ si(θ φ)를 얻는다. 이를 만족하는 θ, φ는 θ π + φ 또는 θ φ 첫번째 경우에서 θ, φ π에서 주어진 식은 4, 두번째 경우에서 cos θ 에서 5 4 [채점기준] -5라는 결과가 나오는 과정이 정확하지 않으면 5점. 그외 부분점수 없음. (Q,R의 대칭성에 관한 구체적인 설명이 필요함) [채점소감] -4라는 답을 쓴 학생이 굉장히 많았다. H,Q,R 세 점이 일직선 상에 있고, QR이 주어진 원의 지름일 경우 이 값이 나오는데, 대칭성을 쉽게 생각한 학생들이 이렇게 답을 많이 쓴 것으로 보인다. 내적의 절대값이 가장 커지기 위해서는 두 벡터가 가능한 평행선에 가까워져야 한다. Q,R이 대칭성을 가 진다는 의미를 명확하게 쓰지 않은 학생들이 많았다.(-5라는 답을 쓰더라도 점을 받을수 없음) 본 문제를 푸는 학생들이 가장 많이 시도한 것은 두번째 별해 처럼 좌표를 직접 놓거나(제대로 답을 쓴 학생이 거의 없었다.) 파푸스 정리를 쓰는 것인데, 일반 고등학생들에게 극좌표가 익숙치 않다는 점, 파푸스 정리의 경우 교과 과정에서 가르치지 않고, 파푸스 정리를 언급하는 교과서가 있더라 도 본문 내용이 아니라 심화 학습 등의 차례에서 간단하게 언급하는 경우가 많아 별해로 두었다.