Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications Third Edition in SI Units Yunus A. Cengel, John M. Cimbala McGraw-Hill, 2014 Chapter 9 유체유동의미분해석
유체유동을지배하는기본미분방정식을유도하고, 몇가지간단한유동에대해방정식을푸는방법을보인다. 토네이도로인한공기유동과같이복잡한유동들은엄밀해를구할수없다. 2
목표 이장에서는다음의지식을얻을수있다. - 질량과선형운동량보존법칙에대한미분방정식의유동방법및응용에대한이해 - 유동함수와압력장의계산과주어진속도장에대한유선도시방법 - 간단한유동장에대한운동방정식의엄밀해구하는방법 3
9 1 서론 검사체적법 : 검사체적에출입하는질량유량이나, 물체에미치는힘과같이유동전반에걸친특성에관심이있을때유용하다. 미분해석 : 유동장의모든점에유체운동의미분방정식을적용하는것이다. 미분해석은유동장전체에걸쳐배치되어있는수백만개의미소검사체적들에대한해석으로간주할수있다. 경계조건 : 입구, 출구및벽면을포함한유동장의모든경계에서변수들에대한경계조건이설정되어야한다. 끝으로유동이비정상상태인경우, 유동장이변하므로시간에따라전진하면서해를풀어야한다. 그림 9-1. (a) 검사체적해석에서, 검사체적내부는블랙박스처럼취급되지만, (b) 미분해석에서는, 유동영역의모든점에서상세한유동해석을할수있다. 4
9 2 질량보존 - 연속방정식 검사체적내의순수질량변화율은검사체적으로유입하는질량유량에서검사체적에서유출하는질량유량을뺀것과같다는것을의미한다. 그림 9-2. 미분보존방정식을유도하기위하여, 검사체적을미소크기로축소시킨다고생각한다. 5
미소검사체적을이용한유도 상자의중심에서떨어진점에대해서는상자중심 ( 점 P) 에관한테일러급수전개 (Taylor series expansion) 를이용한다. 그림 9-3. 중심이점 P 인작은상자모양의검사체적은, 직교좌표계에서질량보존법칙에대한미분방정식을유도하는데사용된다. 파란점은각면의중심을표시한다. 6
그림 9-4. 면을통과하는질량유량은와같다. 그림 9-5. 미소검사체적의각면을출입하는질량유량. 파란점은각면의중심을표시한다. 7
그림 9-6. 직교좌표계와원통좌표계에서의발산 (divergence) 연산. 8
Fuel and air being compressed by a piston in a cylinder of an internal combustion engine. 9
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Nondimensional density as a function of nondimensional time for Example 9 1. 11
연속방정식의다른형태 그림 9-9. 유동장을통과해서물질요소가운동할때, 밀도는식 9-10 에따라변한다. 12
원통좌표계에서의연속방정식 그림 9-10. 원통좌표계에서의속도성분과단위벡터 : (a) xy 면또는 rθ 면에서의 2 차원유동 (b) 3 차원유동. 13
연속방정식의특수한경우 특수한경우 1 : 정상상태, 압축성유동 14
특수한경우 2 : 비압축성유동 그림 9-11. 폭발로부터의교란은충격파가관측자에게도착하기전까지는감지하지못한다. 15
Converging duct, designed for a high-speed wind tunnel (not to scale). 16
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Streamlines for the converging duct of Example 9 2. 18
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The continuity equation can be used to find a missing velocity component. 20
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Streamlines and velocity profiles for (a) a line vortex flow and (b) a spiraling line vortex/sink flow. 22
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9 3 유동함수 직교좌표계에서의유동함수 직교좌표계에서의비압축성, 2 차원유동함수 : 유동함수 그림 9-17 유동의형태나사용된좌표계에따라유동함수는여러형태로정의될수있다. 24
그림 9-18 유동함수가일정한곡선들은유동장의유선들이다. ψ 가일정한곡선은유동장의유선이다. 25
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Streamlines for the velocity field of Example 9 8; the value of constant is indicated for each streamline, and velocity vectors are shown at four locations. 27
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Streamlines for the velocity field of Example 9 9; the value of constant is indicated for each streamline. 30
The difference in the value of from one streamline to another is equal to the volume flow rate per unit width between the two streamlines. 그림 9-23 (a) 검사체적은 1 과 2 그리고단면와단면에의해둘러싸여있다. (b) 미소길이 ds 주위를확대한그림. 31
원통좌표계에서유동함수 32
Streamlines for the velocity field of Example 9 12, with K = 10 m 2 /s and C = 0; the value of constant is indicated for several streamlines. 33
9-4. 미분선형운동량방정식 -Cauchy 방정식 직교좌표계에서, 미소의직사각형검사체적의양의면 ( 오른쪽, 위쪽과앞쪽 ) 에작용하는응력텐서의양의방향성분들. 파란점들은각면의중심을표시한다. 음의면 ( 왼쪽, 아래쪽과뒤쪽 ) 에작용하는응력텐서의양의방향성분들은여기보인것과반대방향이다. 34
미소검사체적을이용한유도 미소검사체적의각면을출입하는선형운동량의성분. 파란점은각면의중심을표시한다. 35
일반적으로중력벡터는특정축과정렬될필요가없다. 미소유체요소에작용하는체적력의세가지성분을보여준다. 36
이그림은미소검사체적의각면에작용하는응력텐서성분에기인한방향의표면력을보여준다. 파란점은각면의중심을표시한다. 37
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Cauchy 방정식의다른형태 39
Newton 의제 2 법칙을이용한유도 미소유체요소가물질요소이면, 이는유동을따라움직이며, 뉴턴의제 2 법칙이직접적용된다. 40
9-5 Navier-Stokes 방정식 Introduction ij 점성응력텐서혹은편차응력텐서 (deviatoric stress tensor) 라불린다. Mechanical pressure is the mean normal stress acting inwardly on a fluid element. 정지해있는유체에대하여, 유체요소에작용하는유일한응력은정수압이다. 이는항상요소의안쪽으로작용하고표면에수직이다. 41
뉴턴대비뉴턴유체 유체의유변학적거동 - 전단변형률의함수로서의전단응력. 부유체는그유체가유동을시작하기위해항복응력이라불리는유한한크기의응력이필요하다. 이러한유체를 Bingham 플라스틱유체라부른다. 유변학 (Rheology): 유동하는유체의변형에관한학문. 뉴턴유체 (Newtonian fluids): 전단응력이전단변형률에선형적으로비례하는유체로정의. 비뉴턴유체 (Non-Newtonian fluids): 전단응력이전단변형률과선형적인관계에있지않는유체 점탄성유체 (Viscoelastic): 작용한응력이제거된후, 원래의모양으로 ( 완전히혹은부분적으로 ) 회복되는유체 일부비뉴턴유체는전단희박유체 (shear thinning fluid) 혹은슈도플라스틱유체 (pseudo-plastic fluid) 로불리는데, 이유체는전단력을받을수록점성이작아진다. 플라스틱유체 (Plastic fluids) 전단희박효과가극단적인유체. 42
전단농후유체 (shear thickening fluid) 혹은딜레이턴트유체 (dilatant fluid : 유체는전단력을받을수록점성이커진다. 엔지니어가표사 ( 딜레이턴트유체 ) 에빠졌을때, 그가빨리움직일수록유체의점성은더커진다. 43
비압축성등온유동에대한 Navier-Stokes 방정식의유도 비압축성유동근사는밀도가일정함을의미하고, 등온근사는점성이일정함을의미한다. 44
직교좌표계와원통좌표계에서의라플라스연산자는비압축성 Navier-Stokes 방정식의점성항에나타난다 45
The Navier Stokes 방정식은단순해보이지만비정상, 비선형, 2 차의편미분방정식이다. 식 9-60 에는 4 개의미지수가있으나 (3 개의속도성분과압력 ), 이식은단지 3 개의방정식 ( 벡터방정식이므로 3 개의성분 ) 을가진다. 문제를풀기위해서는또하나의식이필요하며, 이 4 번째방정식이비압축성연속방정식이다 ( 식 9-16). The Navier Stokes equation is the cornerstone of fluid mechanics. 46
직교좌표계에서의연속방정식과 Navier-Stokes 방정식 47
원통좌표계에서의연속식과 Navier Stokes 방정식 48
Navier-stokes 방정식의 r 과 Θ 성분에서처음두개의점성항에대한다른형태.. 49
9-6 유체유동문제의미분해석 미분방정식 ( 연속방정식과 Navier-Stokes 방정식 ) 을이용하여계산할수있는두가지형태의문제는다음과같다. 알려진속도장을이용한압력장계산 알려진물체의모양과경계조건을이용하여속도장및압력장계산 일정한상태량을가진일반적인 3 차원비압축성유동장의경우, 4 개의미지수를풀기위해서 4 개의방정식이필요하다. 50
알려진속도장에대한압력장의계산 첫번째예제는속도장을알고있을때압력장을계산하는문제이다. - 압력은연속방정식에나타나지않으므로, 질량보존방정식만을토대로하여이론적으로속도장을계산할수있다. - 그러나속도는연속방정식과 Navier-Stokes 방정식모두에나타나기때문에이두방정식은연계되어있다. - 또한압력은 Navier-Stokes 방정식의세성분에모두나타나므로, 압력장과속도장은서로연계되어있다. => 따라서이러한속도와압력의연계성으로부터알려진속도장을이용하여압력장을계산할수있다. 51
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xy 평면의 2 차원유동장에서교차미분으로압력 P 가연속함수인지아닌지를알수있다. 54
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비압축유동에서, 속도장은압력의절대값이아니라압력의차이에만영향을받는다. 비압축성 Navie- Stokes 방정식에서압력은단지구배로서만나타나기때문에압력의절대값은관련되지않으며, 오직압력차만이중요하다. 차단물이있는채널을통해내려오는공기유동의압력등분포도, 속도벡터플롯, 그리고유선. (a) 첫번째경우, (b) 두번째경우 : 가모든곳에서 500 증가한것을제외하고첫번째경우와동일함. 회색음영등분포도에서어두운부분은낮은압력이고밝은부분은높은압력이다. 56
Streamlines and velocity profiles for a line vortex. 57
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For a two-dimensional flow field in the r -plane, cross-differentiation reveals whether pressure P is a smooth function. 59
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그림 9-51. 2 차원선와류는토네이도의간단한근사화이다. 가장낮은압력은와류의중심에서나타난다. 61
연속방정식과 Navier Stokes 방정식의엄밀해 경계조건 그림 9-52 비압축성연속방정식과 Navierstokes 방정식을푸는과정 그림 9-53. 실린더내부에서속도 Vp로움직이는피스톤. 얇은유막이피스톤과실린더사이에서전단변형을한다. 유막의확대모습이나타나있다. 점착경계조건으로벽 62 근처의유체속도는벽속도와같아야한다.
그림 9-54. 두유체사이의계면에서두유체의속도는같아야만한다. 또한계면에평행한전단응력은두유체에서같아야만한다. 그림 9-55. 물과공기의수평자유표면에서물과공기속도는같아야하고전단응력도같아야한다. 그러나이기때문에물표면에서전단응력은무시할정도로작다고근사화시킬수있다. 63
그림 9-56. 대칭면에서의경계조건은그림에서나타난바와같이수평대칭면한쪽의유동장이다른쪽유동장의거울상이되도록정의된다. 다른경계조건들은유동문제에따라달라진다. 예를들면, 유체가어떠한영역으로유입하는경계에서는입구경계조건을정의할필요가있다. 또한출구에서는출구경계조건을정의하여야한다. 대칭경계조건은대칭축이나대칭면에서유용하다. 비정상유동문제에서는초기조건 (initial conditions) 이필요하다 ( 시작하는시간에서일반적으로이다 ). 64
Geometry of Example 9 15: viscous flow between two infinite plates; upper plate moving and lower plate stationary. 65
A fully developed region of a flow field is a region where the velocity profile does not change with downstream distance. Fully developed flows are encountered in long, straight channels and pipes. Fully developed Couette flow is shown here the velocity profile at x 66 2 is identical to that at x 1.
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For incompressible flow fields without free surfaces, hydrostatic pressure does not contribute to the dynamics of the flow field. 69
The linear velocity profile of Example 9 15: Couette flow between parallel plates. 70
Stresses acting on a differential twodimensional rectangular fluid element whose bottom face is in contact with the bottom plate of Example 9 15. 71
A rotational viscometer; the inner cylinder rotates at angular velocity, and a torque T applied is applied, from which the viscosity of the fluid is calculated. 72
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Summary 서론 질량보존 - 연속방정식 미소검사체적을이용한유도 연속방정식의다른형태 원통좌표계에서의연속방정식 연속방정식의특수한경우 유동함수 직교좌표계에서의유동함수 원통좌표계에서의유동함수 압축성유동함수 미분선형운동량방정식 Cauchy 방정식 미소검사체적을이용한유도 Cauchy 방정식의다른형태 Newton 의제 2 법칙을이용한유도 79
Navier-Stokes 방정식 서론 뉴턴대비뉴턴유체 비압축성등온유동에대한 Navier Stokes 방정식의유도 직교좌표계에서의연속방정식과 Navier Stokes 방정식 원통좌표계에서의연속방정식과 Navier Stokes 방정식 유체유동문제의미분해석 알려진속도장에대한압력장의계산 연속방정식과 Navier Stokes 방정식의엄밀해 80
Homework Problem 9.15, 9.44 2ed 9.18, 9.43 81