전력시스템해석및설계 제 6 장 Power Flows 성균관대학교 김철환 CETER FOR POWER IT
COTETS 6. 선형대수방정식에대한직접해 법 : 가우스소거법 GUSS EIITIO 6. 선형대수방정식에대한반복해 법 : 자코비및가우스자이델 JCOBI and GUSSSEIDE 6.3 비선형대수방정식에대한반복해 법 : 뉴튼 랩슨 EWTORPHSO 6.4 전력조류 POWERFOW 문제 6.5 가우스자이델 GUSSSEIDE 에의한조류해
COTETS 6.6 뉴튼 랩슨 EWTORPHSO 에의한조류해 6.7 조류의제어 COTRO; 전력조류제어방법 6.8 조류의성김 SPRSITY; 성김행렬처리방법 6.9 고속조류 FST DECOUPED POWER FOW; 고속조류분할해석법 6. 직류조류 DC 조류 ; 직류조류해석 3
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 6. 선형대수방정식의직접해 법 : 가우스소거법선형대수방정식 lnear algebrac equaton 6.. 또는 6.. 여기서, 및 : 개벡터 : 정방행렬, 및 의각성분 : 실수또는복소수가정 : det : 의행렬식은 nonzero, 그러므로식 6.. 의유일해 unque soluton 는존재 4 K O
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 5/6 K O 6.. 6. 선형대수방정식의직접해 법 : 가우스소거법행렬 의대각요소가영 zero 이아닌상삼각행렬 upper trangular matr 일때, 해 는쉽게구할수있다
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 6. DIRECT SOUTIOS TO IER GEBRIC EQUTIOS :GUSS EIITIO 식 6.. 이다음과같은형태를가지는경우 행렬 가상삼각행렬인경우 6..3 6..4 Xn 을구하고나서, 아래에서두번째식을풀면 nettolast equaton: 6..5 일반적으로, 이미구한상태에서, k 번째방정식은 : 6,, \ kk k n n kn k k å \ 마지막식의변수는 Xn 이므로, 식 6..3 을푸는과정 : 후진대입법 back substtuton; 역치환법
가우스소거법 Gauss elmnaton [ 보충 ] 7/8
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 가우스소거법 Gauss elmnaton 만일행렬 가상삼각행렬이아닌경우 : 식 6.. 을상삼각행렬형태를갖는등가방정식으로변환첫번째단계에서는식 6.. 의첫번째식을이용하여나머지식의을소거한다. 즉, 첫번째식에을곱하고, n 번째식 n,3,., 으로부터뺀다. 첫번째단계이후에다음의결과를얻게된다 6..7 8 3 3 3 3 3 3 3 6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법
6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법 식 6..7 은다음과형태가된다 : 3 3 3 3 위첨자 : 가우스소거법의첫번째단계 6..8 단계에서는식 6..8 의두번째식을이용하여, 나머지방정식 3,4,, 번째 으로부터를소거한다 즉, 번째방정식에를곱하고, n 번째방정식 n3,4,, 에서빼면, 가소거된다 n 9
6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법 번째단계이후에다음과같은결과를얻는다 3 3 33 3 3 3 3 6..9 이방정식의첫번째 k 는이미삼각화되었으므로그대로둔다. 또한 k 번째방정식에 를곱하여, n 번째방정식 nk, k,.., 에서빼면된다. 단계이후, 등가방정식을얻으며, 여기서은 상삼각행렬이다. k k k 번째단계에서는에서시작한다. k nk k kk
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 E 6. Solve usng Gauss elmnaton and back substtuton. Sol 이므로, Gauss elmnaton step. ultplng the rst equaton b / / and then subtractng rom the second, or 3 6 9 5 6 3 6 5 9 5.8 6 8 5 6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법
6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법 E 6. ow usng back substtuton, 6..6 gves, or k.8 8.5 and or k, 6 5.5.4875
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 E 6. Use Gauss elmnaton to trangularze Sol There are Gauss elmnaton steps. Durng step we subtract / tmes equaton rom equaton, and we subtract 3 / 5 tmes equaton rom equaton 3, 3 9 7 5 4 8 6 4 3 3 6 7 5 55 9 5 7 5 5 4 53 8 3 6 3 3 6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법
6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법 E 6. 3 /.5 Durng step, we subtract tmes equaton rom equaton 3 3 6 9.56 3 5 7 6.57 5 7.75 4
6. 선형대수방정식의직접해 : 가우스소거법 컴퓨터저장 requrements 가우스소거법및후진대입법 : 메모리장소 컴퓨터시간 requrements : 가우스소거법및후진대입법을위해요구되는대수연산수를결정함에의해평가 가우스소거법은, 3 /3 의곱셈, / 의나눗셈, 그리고 3 /3 의뺄셈필요 후진대입법은, / 의곱셈, 의나눗셈, 그리고 / 의뺄셈필요 \ 매우큰 에대해, 가우스소거법및후진대입법에의해식 6.. 을푸는데, 필요한근사적인컴퓨터계산시간은, 3 /3 의곱셈과 3 /3 의뺄셈필요 5
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 자코비및가우스 자이델법 식 6.. 의일반적인반복해 법 은다음과같은절차 의초기치 를임의로선정 g[ ] 여기서, : 번째추정값 guess, g : 반복법을결정하는함수의 벡터 3 다음과같은종료조건 stoppng condton 을만족할때까지반복 k k k < e k 여기서, : 의 k 번째성분, e : 설정허용오차 tolerance level 6
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 6. ITERTIVE SOUTIOS TO IER GEBRIC EQUTIOS :JCOBI D GUSSSEIDE 자코비 Jacob 방법자코비방법은식 6.. 의 k 번째방정식을고려하여얻을수있다 k 에대해서풀면, 7 K O k k kk k k k
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 자코비법 자코비방법은, 식 6..4 의좌변상에새로운값 new value k 을만들기위해, 식 6..4 의우변상에 번째반복단계에서, 의이전값 old value 을사용한다. k kk [ k k å n kn n å n k kn n ] 6..5 식 6..5 로주어진자코비법은다음과같은행렬형식으로다시표현가능 D D 여기서, O D D K D : 행렬 의대각요소 dagonal elements 로구성됨 8
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 자코비법 예제 6.3: 자코비방법을이용하여예제 6.의해를구하라, 초기치 : 4, 식 6.. 가 e 를만족할때까지반복 Sol 식 6..5 에서, k k k k [ k å knn å knn ] 6..5 kk n n k [ ] [6 5 ] 5 6 [ ] [3 ] 9 3 9 D D 식 6..6~6..8 의행렬형식을이용하면, D 9 9 9 5 9 5 9
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터초기치 에서시작하면, 해는다음표와같이주어진다. 수렴판정조건 convergence crteron 은 번째반복계산 teraton 에서만족 3 6 9 9 5 D 6. 선형대수방정식의반복해 법 : 자코비법
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 가우스 자이델법 가우스 자이델법 식 6..9 와 6..5 를비교하면, 가우스자이델법은자코비법과유사하지만, 각반복계산중, 좌변의새로운값 를계산하기위하여, 식 6..9 의우변에새로운값 제외하고는유사하다. à 식 6..9 의가우스 자이델법은식 6..6, 6..7 의 행렬형식으로다시표현가능. 가우스 자이델법에서, 식 6.. 의행렬 D 는 k k k [ k å knn å knn ] 6..5 kk n n k k [ k å knn å knn ] 6..9 n n 행렬 의하삼각부분 lower trangular porton 으로구성 kk k n k n< k 인경우에대해 를이용한다는점을 D O K 6..
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 가우스 자이델법 예제 6.4 : 가우스 자이델법을이용하여에제 6.3 을다시푸시오. Sol 식 6..9 로부터, k k [ ] [6 5 ] [ ] [3 ] 9 k k [ k å knn å knn ] 6..9 kk n n k 에대한식을이용하여, [3 [6 5 ]] 9 는다음과같이계산될수있다
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터행렬형식으로, 식 6.., 6..6 및 6..7 을이용하여 :, 해는다음표로주어진다. 예제에서와같이, 자코비 : 번반복에비해, 가우스 자이델 : 6 번반복에의해, 해를구할수있다 3 9 9 9 D 9 5 5 9 9 \ 3 6 9 9 9 6. 선형대수방정식의반복해 법 : 가우스자이델법
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 가우스자이델법 예제 6.5 : 구하라. 를가지고, 가우스 자이델법으로다음해를 5 9 6 3 Sol, 가교환된것을제외하고는, 이식은예제 6. 과동일함 k k [ ] [6 ] 5 [ ] [3 9 ] à GaussSedel does not converge to the unque soluton; nstead t dverges. 4
6. 선형대수방정식의반복해 법 : 가우스 자이델법 kk 임의의대각요소가 이라면, 자코비및가우스 자이델법은사용불가 undened 또한, 임의의대각요소가너무작은 too small 크기를갖는다면, 이들방법은발산 dverge In general, convergence o Jacob or GaussSedel can be evaluated b recognzng that 6..6 represents a dgtal lter wth nput and output. Rate o convergence s also establshed b the lter poles. Fast convergence s obtaned when the magntudes o all the poles are small. 5
6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 비선형대수방정식 nonlnear algebrac equaton 6.3., : 벡터, : 함수의 벡터 식 6.3. 을다시나타내면, 6.3. 식 6.3. 의양변에 D 를더하면, D D 6.3.3 D 를양변의앞에곱하면 Premultplng, D [ ] 6.3.4 식 6.3.4 우변의이전값 è 좌변의새로운값 을구하는데사용 6
6.3 ITERTIVE SOUTIOS TO OIER GEBRIC EQUTIOS : EWTORPHSO D { []} D [ ] 6.3.4 선형방정식에서, 이므로식 6.3.5 는 D { []} D D D è 위식은식 6..6 과동일 à 식 6.3.5 의행렬 D 결정하는 가지방법 è 뉴튼랩슨방법 è 운전점 에대해, 의테일러급수전개 Talor seres epanson 에기초 d d 고차항을무시하고, 에대해풀면, d [ ] d 7
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터뉴튼 랩슨법 : 식 6.3.8 에서, è 이전값, è 새로운값 로대치 6.3. 행렬 J : the Jacoban matr. 8 ] [ J d d J 6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터 예제 6.6 : Solve the scalar equaton, where 9 and. Startng wth, use a ewtonraphson and b etended GaussSedel wth D3 untl 6.. s satsed or. Compare the Two method. Sol a 를가지고, 식 6.3. 을이용하면, 식 6.3.9 에 J 를이용하면, 초기값 로시작하여, R 법을이용하여반복계산하면, 9 4 e J d d ] [9 6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 d d J
6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 b D3 로두고식 6.3.5 을이용하면, 가우스 자이델법은, [9 ] 3 예제 6.7 Solve, 5 5 4 9 Use the ewtonraphson method startng wth the above and contnue untl 6.. s satsed wth. e 4 3
Center or Power IT CETER FOR POWER IT 전력 IT 인력양성센터, 를가지고, 식 6.3. 을이용하면,,. 식 6.3.9 에를이용하면, 개의분리된식으로나타내면, 3 J J 5 5 6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법
6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 3
6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 식 6.3.9 는역행렬를포함한다. 를계산하는대신에, 식 6.3.9 를다음과같이다시표현할수있다. 여기서, 그리고, 각반복동안, 다음의 4 가지단계를수행한다 : D [ ] 단계 : 로부터, 계산 J 단계 : 식 6.3. 으로부터, 계산 D 3 3 단계 : 가우스소거법과후진대입법을이용하여 D 에대해 계산 J D D D 4 4 단계 : 로부터, 계산 33
6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 E 6.8 Complete the above our steps or the rst teraton o Eample 6.7 Sol step : step : 5 4 9 D [ ] 5 49 4 J 9 4 34
6.3 비선형대수방정식의반복해 법 : 뉴튼 랩슨법 step 3 : 9 D 4 D 4 D 5 D 4 solvng b back substtuton 4 D.8 D.8. 5 4. 5. D 9.8 9.8 step 4: 35
Questons [36/3]