응용통계연구 (2011) 24(4), 657 676 DOI: http://dx.doi.org/10.5351/kjas.2011.24.4.657 관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 박창순 1 1 중앙대학교응용통계학과 (2011 년 5 월접수, 2011 년 6 월채택 ) 요약 통계적공정관리절차의특성은해석적해를얻기가어려운경우가많이있으나 Markov 연쇄를적용하면가능한경우가많이있다. 이논문에서는공정통계량이 Markov 특성을따르는경우, Markov 연쇄를생성하는방법과이를이용한공정관리절차의특성을도출하는방법에대해설명하고있다. 관리도의통계적설계, 경제적설계및변량표본추출비설계등의특성규명을위한 Markov 연쇄의적용에대한기존의알려진방법을복습하고또한새로운공정관리분야인재조정관리도에의적용방법에대한연구결과도보여주고있다. 공정관리의특성연구에서해석적해가가능한경우에도이과정이복잡하여 Markov 연쇄를병행사용하면특성규명이명확해지며, 모의실험보다는짧은시간에더정밀한결과를얻을수있어널리이용되고있다. 주요용어 : 공정관리, 일시영역, 흡수영역, 전이확률, 평균방문수, 재조정관리도. 1. 서론 통계적공정관리절차는세가지요소로구성된다 : 관리통계량 (control statistics), 표본추출시점 (sampling time) 과관리한계 (control limit). 즉공정이진행되는중지정된표본추출시점에서표본을추출 하여관리통계량을계산한다음이통계량이관리한계를벗어나면이상신호를주고그렇지않으면공정 을계속하는것이다. 따라서표본추출은연속된시간공간에서이산적시간에한하여이루어지고있으 나, 관리통계량은공정관리의목적에따라이산적일수도또는연속적일수도있다. 또한관리통계량 은표본크기 (sample size) 에따라달라질뿐만아니라그분포도공정상태에따라영향을받게된다. 표 본추출시점과표본크기는사전에일정값으로정해지는경우가일반적이지만공정관리의효율을높이기 위해각시점의관리통계량값에따라다르게정해질수도있다. 관리통계량은현시점에서의표본으로 만구성된경우도있고과거와현재의표본으로구성되는경우도있다. 후자의경우에는관리통계량이 시점별로시간종속 (time-dependent) 이되고, 현시점의표본으로만구성된경우에도그럴수있다. 이러한공정관리의통계적설계에대한특성은이상신호를줄때까지관측된표본수 (number of samples to signal), 소요된시간인신호시간 (time to signal) 과관측값의수 (number of observations to signal) 에의해결정된다. 따라서공정관리의효율을표현하는데는평균신호표본수 (average number of samples to signal; ANSS), 평균신호시간 (average time to signal; ATS) 과평균신호관측수 (average number of observations to signal; ANOS) 가주로사용된다. 표본추출시점과표본크기가사전에정 이논문은 2009 년도정부 ( 교육과학기술부 ) 의재원으로한국학술진흥재단의지원을받아수행된연구임 (2009-0073336). 1 (156-070) 서울시동작구흑석동 221, 중앙대학교수학통계학부, 교수. E-mail: cspark@cau.ac.kr
658 박창순 해진경우에는공정관리의특성은평균신호표본수를통해알수있으며, 이는흔히평균런길이 (average run length; ARL) 로알려져있다. 공정관리의특성을해석적으로 (analytically) 규명하는것은지극히단순한경우를제외하고는불가능하거나매우복잡한경우가많다. 여기서지극히단순한경우의예는공정통계량이현시점의표본으로만구성되고시간독립 (time-independent) 이며표본크기와표본추출간격이항상동일한경우를들수있다. 예를들면공정모형이 Shewhart 모형을따를때이다, 즉 X t = µ + ε t, 단, µ 는공정평균, ε t 는확률오차. 이때 Shewhart 관리도를사용하면런길이는기하분포를따르게되어평균신호시간과평균신호관측수를쉽게알수있다. 이렇게특별히단순한경우를제외하면관리특성을해석적으로규명하기는매우어렵다. 그주된이유는관리통계량이시간종속이기때문이다. 관리통계량의시간종속성은실제제조업의환경에주로기인한다. 현시점의공정품질이과거, 특히바로전시점의품질에독립일수없기때문이다. 이문제를해결하기위해사용되는시간종속에대한통계적가정은 Markov특성 (property) 이다. 공정통계량이 Markov특성을만족하는경우는관리통계량의경신공식 (updating equation) 을통해쉽게알수있다. 시점 t에서의표본통계량을 X t, 공정통계량을 S t 라할때경신공식이, 어떤함수 f에대해 S t = S t 1 + f(x t ) (1.1) 로표현되면 Markov특성을만족한다. 이런형태의통계량에대한 Markov연쇄의적용은 Woodall과 Reynolds (1983) 이후축차적결정론 (sequential decision theory) 분야에서특성연구를위해많이사용되어오고있다. 가장대표적인예는공정모형이 Shewhart 모형일때누적합 (cumulative sum; CUSUM) 관리도와지수이동가중평균 (exponentially weighted moving average; EWMA) 관리도이다. 공정통계량이 Markov특성을만족하면 Markov연쇄를구성하기위해공정통계량이취하는연속적인값을이산화 (make a discrete variable) 한다. 공정통계량의이산화작업은공정통계량이취할수있는값의범위를다수의부구간 (sub-interval) 으로분할 (partition) 하고부구간에해당하는값은하나의대표값 ( 일반적으로부구간의가운데값 ) 으로표현한다. 즉, 공정통계량의이산화란연속변수인공정통계량을이산변수로근사 (approximation) 시키는과정을의미한다. 어떤경우에는공정분포의속성상관리통계량이이미이산값을가져이산화할필요없이 Markov특성을가지는경우도있다. 이런경우에는 Markov연쇄의적용이용이하다. 이논문에서는 Markov특성을사용하여공정관리절차의특성이연구되어진대표적내용을복습하고, 또한새로운공정관리절차로제안된재조정관리도 (reset chart) 의특성연구에 Markov연쇄를적용하는방법을제시하고있다. 2. 공정관리절차의 Markov연쇄근사관리통계량이 Markov특성을만족할때이를이산화하여 Markov연쇄를생성하고관리절차의특성을구하는과정을알아보자. 먼저관리통계량이취하는값을일시영역 (transient region; R T ) 과흡수영역 (absorbing region; R A ) 으로분할한다. 이두지역은일반적으로관리한계선에의해구분된다. 공정관리절차는다음과같이정의한다. 시점 t에서 S t R A 이면이상신호를주고, 그렇지않으면공정을계속한다. 일시영역을 n개의부구간으로분할하고각각의부구간을 I 1, I 2,..., I n
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 659 이라하고, 각부구간의중심점을 m 1, m 2,..., m n 로나타내면, 각중심점은바로 Markov연쇄의일시상태를나타내고있다. 관리통계량의이산화는그값이어떤구간 I i 에포함되면 S t = m i 로근사시키는것을의미한다. 이렇게형성된 Markov연쇄를 M t 라한다. 이산화된관리통계량의조건부확률은 Markov연쇄의전이확률 (transient probability) 에해당되고일시상태내에서의전이확률은다음과같이근사된다. i, j = 1, 2,..., n에대해 p ij = P (M t = m j M t 1 = m i ) P (S t I j S t 1 = m i ). 일시상태의전이행렬은 [ ] Q = p ij n n (2.1) 로표현한다. 자주쓰는벡터와행렬표현을위해다음을정의한다. 기본적으로차원은벡터나행렬의오른쪽아래첨자로표현한다. 1 n : 모든요소가 1인차원 n 벡터 1 n,(i) : 차원 n인 0(zero) 벡터에서 i번째요소만 1인벡터 I n : 차원 n인단위행렬공정관리의한주기는정의된 Markov연쇄가시작상태에서출발한후흡수상태를방문하게되면끝난다. M t 가상태 m i 를방문하는시점을 T (m i ) 라하면이에대한확률함수는, t = 0, 1,... 에대해 P (T (m i) = t) = s nq t 1 n,(i) 이다. 단, s n 은시작상태 (starting state) 벡터로서시작상태 i 0 번째만 1인 0벡터이다. 위의확률함수를이용하면, 한주기동안상태 m i 를방문하는평균횟수 V (m i ) 는다음과같이계산된다. V (m i ) = 1 P (T (m i ) = t) t=0 = s nq t 1 n,(i) t=0 = s n(i n Q) 1 1 n,(i). 한시점에한상태를방문하는횟수는 1회임을고려하면모든일시상태에대한방문횟수는평균런길이가된다, 즉평균신호표본수는 n E(N) = V (m i ) i=1 = s n(i n Q) 1 1 n (2.2)
660 박창순 임이됨을알수있다. 이때방문시점은시작상태, 즉 t = 0 도포함하고있다. 어떤행렬 M 의 (i, j) 번 째요소를 M[i, j] 로표현하면, 행렬 (I Q) 1 의 (i, j) 번째요소, (I Q) 1 [i, j] 는 i 번째상태에서출 발하여 j 번째상태를방문하는평균횟수를의미한다. 평균신호표본수는런길이, N 의확률함수를이용하여구할수도있다. 먼저런길이의확률함수는, t = 1, 2,... 에대해 P (N = t) = s nq t 1 (I n Q)1 n 이됨을알수있다. 여기서벡터 (I n Q)1 n 의 i 번째요소는 i 번째일시상태에서흡수상태로가는확 률을나타낸다. 따라서평균런길이는 E(N) = t s nq t 1 (I n Q)1 n t=1 ( ) = s n t Q t 1 (I n Q)1 n t=1 = s n(i n Q) 1 1 n (2.3) 가되어동일한표현을얻게됨을알수있다. 식 (2.2) 에서는시작점을한시점으로간주하고끝나는 점을고려하지않는방법이고, 식 (2.3) 에서는시작점은고려하지않으나끝나는점을한시점으로간 주하는데에두방법의차이가있으나평균런길이의계산에있어서는동일한결과를얻는다. 하지만식 (2.2) 를사용하면특정일시상태에대한평균방문수를알수있어공정관리특성을구하는데유용하다. 다음은흡수영역을분할하는경우를알아보자. 앞에서일시영역을분할하는과정과유사하게, 흡수영역 을 n A( 짝수 ) 개의부구간으로구분하고 ( 즉, (, L) 을 n A/2 개, (L, ) 를 n A/2 개로분할 ) 각각의 부구간을, d = 2L/n에대해 ( ( L na 2 d, L na ) ) 2 1 d,..., ( L 2d, L d), ( L d, L), ( ( na ) (L, L + d), (L + d, L + 2d),..., L + 2 1 d, L + n ) A 2 d 라한다. 각부구간의중심점을 m A1, m A2,..., m AnA 으로나타내면각중심점은 Markov 연쇄의흡수상태를정의하고있다. 흡수영역은일시영역과달리유 한구간으로표현되지않는것이일반적이다. 그러나흡수영역중에서관리통계량이포함될확률이 0 에 가까운부분 ( 즉, 관리통계량이취하는값의극단적꼬리부분 (extreme tail region)) 을제외하면여전히 유한구간으로표현할수있다. 일시상태에서흡수상태로의전이확률은다음과같이근사된다. p A,ij = P (M t = m Aj M t 1 = m i ) P (S t I Aj S t 1 = m i ) 따라서일시상태에서흡수상태로가는전이행렬은 ] Q A = [P A,ij 로표현된다. n n A
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 661 공정주기가상태 m i 에서시작하는사건을 b{m i }, 상태 m j 로끝나는사건을 e{m j } 로표시하자. 공정주기가일시상태 m i 에서시작하여흡수상태 m A,j 로끝나는확률은 P (e{m A,j } b{m i }) = 1 n,(i)q t 1 Q A 1 na,(j) t=1 = 1 n,(i)(i n Q) 1 Q A 1 na,(j) = [ (I n Q) 1 ] Q A [i, j] 가됨을알수있다. 공정주기가흡수상태 m A,j 로끝나면서일시상태 m i 를방문하는평균횟수는 V (m i, e{m A,j }) = V (m i )P (e{m A,j } b{m i }) (2.4) 임을알수있고, 따라서공정주기가흡수상태 m A,j 로끝나는조건에서일시상태 m i 를방문하는평균횟수는 V (m i e{m A,j}) = V (mi, e{ma,j}) P (e{m A,j}) (2.5) 가된다. 위식에서분모는공정의시작이 m i0 이므로 P (e{m A,j }) = P (e{m A,j } b{m i0 }) 이다. 위의결과로부터, 공정주기가흡수상태 m A,j 로끝나는조건에서의평균신호표본수는 E(N e{m A,j}) = 이다. n V (m i e{m A,j}) (2.6) i=1 이와같이연속변수값을이산화시켜다수의일시상태를가진 Markov연쇄로근사시키는경우, 그정확도는전이행렬 Q의차수와계산값의유효숫자의크기에달려있다. Q의차수가클수록참값에가까운값으로나타낼수있어정확도가상승하지만각행렬요소에나타나는확률값은경우에따라 ( 특히이상상태일때 ) 매우작은값을가지게되어컴퓨터를사용할때유효숫자의한계에부딪쳐행렬 (I n Q) 1 의요소가음수와같은불가능한값으로나타나전체값을크게오도하는결과가발생한다. 따라서정확한값의계산을위해서는 Q의차수를크게하면서동시에실수계산의유효숫자를크게하기위해프로그램상의정밀도 (precision) 을 2배정밀 (double precision) 이나 4배정밀 (quadruple precision) 을사용하여계산된행렬 (I n Q) 1 의각요소가음수나특이한값이나오는지를면밀히검토해야한다. 일시지역을분할할때 Gaussian 구적법 (quadrature method) 를사용하면더적은구간으로정확한근사값을계산할수있는것으로알려져있으나, 실제로별차이가없는경우가많다. 오히려지정된구적점과가중치를사용해야하기때문에동일구간으로분할하는것보다방법이까다로워사용에불편하며불편함에대한보상은거의없다고봐도무방하다. 표현의단순성을고려하여공정통계량이 0을중심으로대칭인경우만을고려한다. 또한관리한계는항상 ±L로간주한다. 분할하는부구간의수는홀수로하면가운데부구간의대표값에 0이포함되어대칭성을유지할수있어좋다. 3. 통계적설계 공정관리의통계적설계에서는관리 (in control; IC) 상태일때의평균런길이 (ARL 0) 와이상 (out of control; OC) 상태일때의평균런길이 (ARL 1) 를비교한다. 이때 ARL 0 와 ARL 1 는공정분포가처음부터각
662 박창순 각관리상태와이상상태를가정하고계산하게된다. Shewhart 관리도의경우는관리통계량의분포가 동일독립이므로가설검정의제 1, 2 종오류를각각 α, β 라할때관리절차는가설검정의연속적용과동 일하여 ARL 0 = 1 α, ARL 1 = 1 1 β 의관계가성립한다. 이러한이유로통계적설계로관리도의특성을연구하는것을위험에기초한접 근 (risk-based approach) 이라고도한다. 3.1. 고정표본추출비고정표본추출비 (fixed sampling rate; FSR) 는표본추출구간과표본크기가사전에결정되어항상동일한값을사용하는것을말한다. 고정표본추출비관리도의평균런길이의계산은식 (2.2) 를이용하여쉽게계산할수있다. 관리통계량이식 (1.1) 과같고관리한계선이 ±L이면 R T = ( L, L), R A = (, L) (L, ) 이된다. 구간 ( L, L) 을구간길이가 d(= 2L/n) 인 n( 홀수 ) 개의부구간으로균등분할하면, 부구간은 (l 1, u 1 ), (l 2, u 2 ),..., (l n, u n ), (l 1 = L, u n = L) 이되고중심점은 m 1, m 2,..., m n 이되어전이확률은 P ij = P (S t (l j, u j ) S t 1 = m i ) = P (l j m i < f(x t ) < u j m i ) 로계산할수있다. 이전이확률을식 (2.1) 을통해식 (2.2) 에대입하면평균런길이를계산할수있다. 3.2. 변량표본추출비다음은공정관리진행중관리통계량의값에따라다음표본추출구간과표본크기가결정되는변량표본비 (variable sampling rate; VSR) 를사용하는경우를생각해보자. 변량표본비설계중표본크기는고정되고표본추출구간만변하는경우는변량추출구간 (variable sampling interval; VSI), 표본추출구간은고정되고표본크기만변하는경우는변량표본크기 (variable sample size; VSS) 라한다. 변량추출구간이취하는값의수와변량표본크기가취하는값의수는일반적으로 2개씩만을설정한다. 이수가 2보다클때에는이론적효율은증가할수있어도실질적운용이복잡하여소기의효과를발휘할수없게된다. 변량추출비에대한연구로는 Reynolds (1996), Reynolds와 Arnolds (2001) 과 Park 등 (2004) 등을들수있다. 변량추출구간이취하는값을 h 1, h 2 (h 1 h 2 ) 라하고, 변량표본크기가취하는값을 η 1, η 2 (η 1 η 2 ) 라하자. 고정표본추출비에서와마찬가지로구간 R T = ( L, L) 을구간길이가 d (= 2L/n) 인 n( 홀수 ) 개의부구간으로균등분할한다음, 변량추출구간과변량표본크기가취하는값에따라 3개의표본비부구간그룹 (R T,1, R T,2, R T,3 ) 으로분할하고각표본비부구간그룹에포함되는부구간의수를 n 1, n 2, n 3 (n =
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 663 n 1 + n 2 + n 3 ) 라하자. 단, n 1 은홀수, n 2, n 3 는짝수. 분할된표본비부구간그룹과그에해당하는부구간의관계및표본추출간격과표본크기는다음과같다. R T,1 = ( L 1, L 1 ) = I 1 I n1 (h 1, η 1 ), R T,2 = ( L 2, L 1 ) (L 1, L 2 ) = I n1 +1 I n1 +n 2 (h, η ), R T,3 = ( L, L 2 ) (L 2, L) = I n1 +n 2 +1 I n (h 2, η 2 ), 여기서 (h, η ) 는 (h 1, η 2 ) 또는 (h 2, η 1 ) 일수도있고더간단한경우에는 R T,2 를고려하지않을수도있다. 직전시점의관리통계량이 k번째부구간에포함되고이때사용되는변량표본비를 (H k, N k ) 라하면현시점의관리통계량은 S t = S t 1 + f(x t (H k, N k )) 로표현한다. 이 Markov연쇄의전이확률은 P V,ij = P (S t (l j, u j ) S t 1 = m i ) = P (l j m i < f(x t (H i, N i )) < u j m i ) 으로계산할수있다. 위의전이확률로이루어진행렬은 ] Q V = [P A,ij n n 가된다. 다음은표본추출비벡터와표본크기벡터를정의한다. H n = (H 1,..., H 1, H 2,..., H 2, H 3,..., H 3), N n = (N 1,..., N 1, N 2,..., N 2, N 3,..., N 3), 각벡터에서동일한값의수는순서대로 n 1, n 2, n 3 개씩으로나열되어있다. 변량표본추출비를사용한관리도의특성은다음과같이표현된다. ANSS = s n(i n Q V ) 1 1 n, ATS = s n(i n Q V ) 1 H n, ANOS = s n(i n Q V ) 1 N n. 4. 경제적설계공정관리의경제적설계는하나의공정주기를설정한다음단위시간당평균비용 (average cost per unit interval; ACU) 을구하고, 이를통해효율을판단하여가장효율적인관리체계를설정하는것을목표로한다. 이러한이유로경제적설계로관리도의특성을연구하는것을비용에기초한접근 (cost-based approach) 이라고도한다. 이때에공정모형은관리상태에서시작하고공정진행중이상원인이발생하면이상상태로변하는것을가정한다. 이를위해이상원인이발생하는시점을확률변수 U로나타내고있다. 이상원인의발생을연속변수로나타낼때는지수분포, 이산변수로나타낼때는추출한표본
664 박창순 수를의미하며기하분포를주로사용한다. 두변수모두기억불능 (memoryless) 성질을가지고있어공 정의어느시점에서도한구간내에이상원인이발생하지않을확률은동일하다. 즉, 지수분포의경우 (f(u) = λe λu, u > 0), 단위표본추출구간이 h 이면 P (U > t + h U > t) = e λh, t > 0. 기하분포의경우 (P (U = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,...), 단위표본추출구간내에이상원인이발생할 확률을 p 라가정하면 P (U > t + 1 U > t) = 1 p, t > 0. 기존의많은연구에서는공정주기를표본수로나타내는것보다는연속시간으로나타내는것이일반적인경향이다. 따라서이연구에서도지수분포를사용한다. 경제적관리도에서 Markov연쇄의사용은 Park (2007) 과 Park과 Reynolds (2008) 를예로들수있다. 관리도의경제적설계에서구해야하는특성은평균오경보수, 관리및이상상태에서관측된평균표본수등이다. 만일변량표본추출비가사용된다면추가적으로관리및이상상태에서관측된평균관측수및이상상태에서관측된평균관측수, 이상상태에서관측된평균신호시간등이필요하다. 이와같은특성을계산하기위해서는관리상태하에서의전이확률과이상상태하에서의전이확률을포함한전이행렬을구성해야한다. 또한오경보 ( 관리상태일때이상신호를주는것 ) 이후에는새로운관리도가시작된다는사실을고려해야한다. 이를위해먼저공정의상태를나타내는새로운변수를아래와같이정의한다. 1, process in IC, V t = 2, process is OC but no signal is given, 3, process is OC and a signal is given. 제 3.1절처럼일시영역을분할하고편리상흡수영역전체를또하나의부구간 I n+1 로표현하자. 관리상태에서관리통계량이부구간 I n+1 에포함되면오경보를주는것이되고, 오경보후에는중심점 m i0 에서표본추출간격과표본크기를 (H i0, N i0 ) 로하여새로시작한다. 공정의상태변수 V t 를고려한전이확률은다음과같이정의한다. p ij,kl = P (V t = j, S t I l V t 1 = i, S t 1 = m k ) = P (V t = j, l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k V t 1 = i) 이전이확률은공정상태변수 V t 1, V t 에따라다음과같이구체적으로명시된다. (V t 1 = 1, V t = 1) 인경우, k, l = 1, 2,..., n에대해 p 11,kl = P (V t = 1, l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k V t 1 = 1) = P (l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k ) e λh k. 위의경우에는주어진표본구간 (H k ) 내에서이상원인이발생하지않아야하므로 e λh k 가곱해졌다. k = n + 1, l = 1, 2,..., n에대해
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 665 이경우는오경보후 0 에서다시시작하므로 0 이포함된 k = (n + 1)/2 번째상태의전이확률과동일하 다. 즉, p 11,(n+1)l = P ( l l m (n+1)/2 < f(x t (H (n+1)/2, N (n+1)/2 )) < u l m (n+1)/2 ) e λh (n+1)/2. k = 1, 2,..., n + 1, l = n + 1 에대해 이경우는오경보에해당하여관리통계량이흡수상태에포함되는경우이므로 p 11,k(n+1) = P (f(x t (H k, N k )) < L or f(x t (H k, N k )) > L) e λh (n+1)/2 와같이계산할수있다. 이와같이 (V t 1 = 1, V t = 1) 일때의부전이행렬을 ] Q 11 = [p 11,kl (n+1) (n+1) (4.1) 로정의한다. (V t 1 = 1, V t = 2) 인경우, k = 1, 2,..., n + 1, l = 1, 2,..., n 에대해 p 12,kl = P (V t = 2, l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k V t 1 = 1) ( ) = P (l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k ) 1 e λh k. 위의경우에는주어진표본구간 (H k ) 내에서이상원인이발생해야하므로 (1 e λh k ) 가곱해졌다. 이 경우의부전이행렬을 로정의한다. (V t 1 = 2, V t = 1) 인경우, k = 1, 2,..., n, l = 1, 2,..., n + 1 에대해 ] Q 12 = [p 12,kl p 21,kl = 0. (n+1) n (4.2) (V t 1 = 2, V t = 2) 인경우, k, l = 1, 2,..., n에대해 p 22,kl = P (V t = 2, l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k V t 1 = 2) = P (l l m k < f(x t (H k, N k )) < u l m k ). 이경우의부전이행렬을 로정의한다. ] Q 22 = [p 22,kl n n (4.3)
666 박창순 이렇게정의된부전이행렬들식 (4.1), (4.2), (4.3) 으로부터다음전체전이행렬을구한다. [ ] Q 11 Q 22 Q V,tot =. 0 Q 22 (2n+1) (2n+1) 위의전체전이행렬을사용하면관리절차의특성은다음과같이계산됨을알수있다. ANSS = s 2n+1(I 2n+1 Q V,tot ) 1 1 2n+1, ATS = s 2n+1(I 2n+1 Q V,tot ) 1 H tot, ANOS = s 2n+1(I 2n+1 Q V,tot ) 1 N tot. 단, H tot = (H, h 2, H ), N tot = (N, n 2, N ). 오경보에해당하는상태는 (n + 1) 번째상태이므로평균오경보수는부전이행렬 Q 11 만을이용해서 로표현하거나, 또는전체전이행렬을이용하여 E(F ) = s n+1(i n+1 Q 11) 1 1 n+1,(n+1) 로구할수있다. E(F ) = s 2n+1(I 2n+1 Q V,tot ) 1 1 2n+1,(n+1) 공정관리의특성에따라서는관리통계량자체가공정의품질인목표치로부터의편차 (deviation from target) 을나타내고공정비용은편차제곱평균에비례 (squared error loss) 하는필요한경우가있다. 주 기당총편차제곱평균은한주기가끝나기직전까지의편차제곱평균과끝나는시점에서의편차제곱평균 으로나누어계산한다. 한주기가끝나기직전까지의편차제곱평균은모든일시상태의편차제곱평균에 해당되어다음과같이계산할수있다. ( N 1 E t=1 S 2 t ) = s n(i Q) 1 R n 단, R n = (m 2 1, m 2 2,..., m 2 n). 수정시점에서의편차제곱평균은흡수상태의편차제곱평균에해당되어다 음과같이계산할수있다. 단, R n A = (m 2 A,1, m 2 A,2,..., m 2 A,n A ). E(S 2 N ) = s n(i Q) 1 Q A R na 5. 재조정관리도전통적인관리도 (traditional control chart; TCC) 에서는공정관리에서신호오류 (signal error), 즉제 1, 2종오류만을가정하고있다. 그러나실제의공정환경에서는이외에도결정오류 (decision error) 가항상존재한다. 결정오류는탐지오류 (search error) 와판단오류 (judge error) 를함께일컫는표현이다. 탐지오류는이상원인을찾는데발생하는오류, 즉이상원인이발생하지않았는데우연원인을이상원인으로착각하여이상원인을찾은것으로간주하는오류 (search error I) 와이상원인이발생했는데찾지못하는오류 (search error II) 를의미한다. 판단오류는이상원인이발생하지않았는데발생한것으로판
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 667 표 5.1. 신호, 탐지, 판단오류와그에따른확률및조치 SC Not Occurred Occurred Signal Signal No signal No Signal Result (signal error I) (signal error II) Signal Search Find SC Not find SC Not find SC Find SC Result (search error I) (search error II) Judge True signal False signal False signal True Signal Result (judge error I) (Judge error II) Probability 1 α αα 1 αα 2 αα 3 β (1 β)β 1 (1 β)β 2 (1 β)β 3 Action No action Repair Reset No action No action Repair Reset No action State IC 1 IC 2 IC 3 IC 4 OC 1 OC 2 OC 3 OC 4 α 1 + α 2 + α 3 = 1, β 1 + β 2 + β 3 = 1 SC: 이상원인 (special cause) 단하는오류 (judge error I) 와이상원인이발생했는데발생하지않은것으로판단하는오류 (judge error II) 를의미한다. 탐지결과에서이상원인을찾게되고판단결과에서이상원인이발생한것으로판단하면공정을보수한다 (repair). 반면에탐지결과에서는이상원인을찾지못했으나판단결과에서이상원인이발생했지만찾지못한것으로판단하면공정을재조정한다 (reset). 이러한공정에대한조치 (action) 는이상신호의참, 거짓에관계없이취해진다. 공정에서발생할수있는오류들과그에따른확률및조치는표 5.1에정리되어있다. 전통적관리도에서는이러한결정오류를고려하여관리도의특성을도출해야만올바른특성이연구될수있다. 이방식이기존의방식 ( 결정오류를무시한관리도 ) 과다른점은이상원인이발생하지않아도보수나재조정을할수있다는점이고, 보수나재조정을한후에는새로운관리도가시작되므로관리상태에서도공정의한주기가끝날수있다는점이다. 기존의방식에서는이상상태에서만공정의한주기가끝나게되어있다. 전통적관리도에서발생하는결정오류는기존방식보다다양한오류들이포함되어있어관리도의효율이떨어지게되고공정운영자의신뢰도를잃을수있는위험성을내포하고있다. 이런문제를개선하기위해재조정관리도 (reset chart) 를제안한다. 재조정관리도는관리통계량이신호영역 (signal region) 에포함되어이상신호를주면이상원인을탐지하는대신공정을재조정하는것이다. 사실이상원인의탐지과정도공정재조정과정의일부인경우가허다하다. 여기서는재조정관리도의특성에필요한성질을 Markov연쇄를이용하여구해보기로한다. 재조정관리도에대한 Markov연쇄의상태는 4가지, A 1, A 2, B 1, B 2 로구분하고표 5.1에서정의된상태를이용하여아래와같이정의한다. A 1 = IC 1, A 2 = OC 1, B 1 = IC 2 IC 3 IC 4, B 2 = OC 2 OC 3 OC 4 이경우일시상태는 A 1, A 2, 흡수상태는 B 1, B 2 이다. 즉, 신호영역은흡수영역과동일하다. 여기서흡수상태는자연적으로이미분할된경우이다. 먼저일시상태의전이확률에대해알아보자. 한추출구간 h에서이상원인이발생하지않을확률은 e λh 을이용하면, 상태 A 1 에서 A 1 으로의전이확률은 (1 α)e λh, 상태 A 1 에서 A 2 로의전이확률은 β(1 e λh ) 상태 A 2 에서 A 1 으로의전이확률은 0, 상태 A 2 에서 A 2 로의전이확률은 β가되어재조정
668 박창순 표 5.2. 재조정관리도의 Markov 연쇄에관한특성 일시상태 흡수상태 V (A i ) P (e{b j } b{a i }) V (A i, e{b j }) αe λh αe λh B 1 1 A 1 B 1 a 2 1 a 1 e λh 1 a (1 a) 2 1 e λh (1 a) 2 B 1 β(1 e λh ) 0 0 A 2 (1 β)(1 a) β(1 e λh ) B 2 1 (1 β)(1 a) 관리도의일시상태전이행렬은 [ Q R (1 α)e λh β ( 1 e λh) ] = 0 β 이된다. 다음은일시상태에서흡수상태로의전이확률에대해알아본다. 상태 A 1 에서 B 1 으로의전이확률은 αe λh, 상태 A 1 에서 B 2 로의전이확률은 (1 β)(1 e λh ), 상태 A 2 에서 B 1 으로의전이확률은 0, 상 태 A 2 에서 B 2 로의전이확률은 1 β가되어재조정관리도의일시상태에서흡수상태로의전이행렬은 [ αe λh (1 β) ( 1 e λh) ] Q R A = 행렬계산을통해다음결과를얻는다. 단, a = (1 α)e λh. ( I Q R) 1 = 0 1 β 1 1 a 0 ( I Q R) αe λh 1 Q R A = 1 a β ( 1 e λh) (1 β)(1 a) 1, (5.1) 1 β 1 e λh 1 a 0 1. (5.2) 재조정관리도의 Markov 연쇄에관한특성은식 (5.1), (5.2) 와식 (2.4) 를통해표 5.2 에정리되어있다. 재조정관리도의한공정주기동안관측되는표본수를 N R 이라하면, 표 5.2 로부터공정주기의평균표 본수는 E(N R) = V (A 1) + V (A 2) = 1 βe λh (1 β)(1 a) 흡수영역의특정상태로공정이끝날때 ( 표본추출시점을기준으로할때 ) 공정주기의평균표본수는 E(N R, e{b 1}) = V (A 1, e{b 1}) + V (A 2, e{b 1}) = αe λh (1 a) 2
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 669 E(N R, e{b 2 }) = V (A 1, e{b 2 }) + V (A 2, e{b 2 }) = (1 e λh )(1 βa) (1 β)(1 a) 2. 재조정관리도에서표본추출부터데이터수집및분석에소요되는시간을 gn, 재조정하는데소요되는시 간을 D R 이라하자. 또한, T R = hn R + gn + D R 이면, 재조정신호시간 (reset signal time) 은 hn R, 공 정주기시간 (cycle length time) 은 T R 이된다. 위두종류의시간에대한다음세가지조건을고려할필 요가있다. Case R I : U > T R Case R II: hn R < U T R Case R III : U hn R 조건 R I 은이상원인발생전공정이끝나는것을의미하고, 조건 R II 와 R III 는이상원인발생후공정 이끝나는것을의미한다. 다만, R II 와 R III 의차이는이상원인이 hn R 보다후에또는전에나타난다 는데에그차이가있다. 표본추출시점부터시간 gn + D R 까지이상원인이일어나지않을확률은 e λ(gn+d R). 이확률과표 5.2 의 P (e{b j} b{a i}) 를이용하면다음확률을얻게된다. P (R I ) = αe λ(h+gn+d R), 1 a { } 1 e λ(gn+d R) P (R II) = 1 a αe λh P (R III ) = 1 e λh 1 a. (5.3) 표본추출시점을기준으로할때, Cases R I 과 R II 은공정이관리상태에서끝나는경우를의미하고, Case R III 은이상상태에서끝나는것을의미한다. 따라서, 관리상태와이상상태에서끝나면서한공정 주기에서취한평균표본수는각각 V (A 1, e{b 1 }) + V (A 2, e{b 1 }) 와 V (A 1, e{b 2 }) + V (A 2, e{b 2 }) 가 된다. 관리상태와이상상태에서끝나는조건하에서한공정주기에서취한평균표본수는식 (2.5) 와 (2.6) 처럼각각해당확률 αe λh /(1 a) 와 (1 e λh )/(1 a) 로나누어다음과같이구한다. E(N R R I ) = E(N R R II ) = 1 1 a, E(N R R III ) =, 1 β(1 α)e λh. (5.4) (1 β)(1 a) 다음은세가지경우에따른이상원인의발생시점에대해알아보자. 이상원인의발생시점이지수분포를 따르므로기억불능성질에의해 이성립한다. 따라서, E(U U > X) = E(U) + E(X U > X) = 1 + E(X U > X) λ E(U R I ) = E(U U > hn R + gn + D R )
670 박창순 위식에서 gn + D R = 0 을대입하면 이되고또한 을이용하여 을얻는다. 이와유사하게 을얻을수있다. = E(U) + E(hN R + gn + D R U > hn R + gn + D R ) = 1 λ + h 1 a + gn + D R (5.5) E(U U > hn R ) = 1 λ + P (U > hn R) = αe λh 1 a h 1 a E(U R III ) = E(U) E(U U > hn R)P (U > hn R ) P (R III ) = 1 a { ( 1 1 αe λh λ λ + h ) } αe λh 1 a 1 a = 1 λ hαe λh (1 a)(1 e λh ) E(U R II ) = E(U) E(U R III)P (R III ) E(U R I )P (R I ) P (R II ) = 1 λ + h 1 a tre λtr 1 e λt R 위의결과에서식 (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), (5.7) 을이용하면재조정관리도의단위시간당평균비용을 계산할수있다. (5.6) (5.7) 6. 결정오류를고려한전통적관리도다음은결정오류를고려한전통적관리도 (traditional control chart; TCC) 의특성에대해알아보자. 이관리도는표 5.2의 action이 repair 또는 reset 이면공정의한주기가끝나고, 그렇지않으면공정을계속하는것이다. 재조정관리도에서는이상신호가발령되면항상재조정하여공정의한주기가끝남을상기할필요가있다. 전통적관리도에서 Markov연쇄는표 5.2의 8개상태를다음과같이재명명한다. A 1 = IC 1, A 2 = IC 4, A 3 = OC 1, A 4 = OC 4, B 1 = IC 2, B 2 = IC 3, B 3 = OC 2, B 4 = OC 3, 여기서 A 1, A 2, A 3, A 4 는일시상태, B 1, B 2, B 3, B 4 는흡수상태에해당된다. 신호오류와이상원인의분포를고려하면일시상태의전이행렬은다음과같다. (1 α)e λh αα 3 e λh β ( 1 e λh) ( (1 β)β ) 3 1 e λh Q T (1 α)e λh αα 3 e λh β ( 1 e λh) ( (1 β)β ) 3 1 e λh = 0 0 β (1 β)β 3 0 0 β (1 β)β 3
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 671 또한, 일시상태에서흡수상태로의전이행렬은 ( αα 1e λh αα 2e λh (1 β)β ) ( 1 1 e λh (1 β)β ) 2 1 e λh ( Q T αα 1e λh αα 2e λh (1 β)β ) ( 1 1 e λh (1 β)β ) 2 1 e λh A = 0 0 (1 β)β 1 (1 β)β 2 0 0 (1 β)β 1 (1 β)β 2 이된다. 따라서행렬계산을통해다음두가지표현을얻게된다. ( I Q T) 1 = ( I Q T ) 1 Q T A = 1 αα 3 e λh αα 3 e λh β(1 e λh ) 1 ξ 1 1 ξ 1 (1 ξ 1 )(1 ξ 2 ) (1 α)e λh 1 (1 α)e λh β(1 e λh ) 1 ξ 1 1 ξ 1 (1 ξ 1 )(1 ξ 2 ) 0 0 0 0 αα 1 e λh αα 2 e λh β 1 (1 e λh ) 1 ξ 1 1 ξ 1 (1 ξ 1 )(1 β 3 ) αα 1 e λh αα 2 e λh β 1 (1 e λh ) 1 ξ 1 1 ξ 1 (1 ξ 1 )(1 β 3 ) 0 0 0 0 (1 β)β 3 (1 e λh ) (1 ξ 1 )(1 ξ 2 ) (1 β)β 3 (1 e λh ) (1 ξ 1 )(1 ξ 2 ) 1 (1 β)β 3 (1 β)β 3 1 ξ 2 1 ξ 2 β 1 β 1 ξ 2 1 ξ 2 β 1 β 2 (1 e λh ) (1 ξ 1 )(1 β 3 ) β 2 (1 e λh ) (1 ξ 1 )(1 β 3 ) β 2 1 β 3 1 β 3 β 1 β 2 1 β 3 1 β 3 (6.1) (6.2) 단, ξ 1 = {1 α(1 α 3)}e λh, ξ 2 = β + (1 β)β 3. 전통적관리도의 Markov 연쇄에관한특성은식 (6.1), (6.2) 와식 (2.4) 를통해표 6.1 에정리되어있다. 표 6.1 의결과를이용하면결정오류를고려한관리도의주기당평균추출표본수는 E(N T ) = 1 b3 a 1 = 1 ξ2e λh a 1a 2 + b3 a 1 + β(1 e λh ) a 1a 2 + (1 β)β3(1 e λh ) a 1a 2 이되고, 또한특정흡수상태로공정이끝날때의평균추출표본수는다음과같다. E(N T, e{b 1 }) = b1(1 b3) a 2 1 + b1b3 a 2 1 + 0 + 0 = b1, a 2 1 E(N T, e{b 2 }) = b 2(1 b 3 ) a 2 + b 2b 3 1 a 2 + 0 + 0 1 = b 2, a 2 1 E(N T, e{b 3 }) = (1 b3)β1(1 e λh ) a 2 1 (1 β3) + b3β1(1 e λh ) a 2 1 (1 β3) + ββ1(1 e λh ) a 1a 2(1 β + β1β3(1 β)(1 e λh ) 3) a 1a 2(1 β 3)
672 박창순 표 6.1. 전통적관리도의 Markov 연쇄에관한특성 Transient. Absorbing. V (A i ) P (e{b j } b{a i }) V (A i, e{b j }) b 1 b 1 (1 b 3 ) B 1 a 1 a 2 1 b 2 b 2 (1 b 3 ) B 2 a 1 a 2 1 b 1 3 A 1 a β 1 (1 e λh ) (1 b 3 )β 1 (1 e λh ) B 3 1 a 1 (1 β 3 ) a 2 1 (1 β 3) A 2 A 3 A 4 B 4 β 2 (1 e λh ) a 1 (1 β 3 ) (1 b 3 )β 2 (1 e λh ) a 2 1 (1 β 3) b 1 b 1 b 3 B 1 a 1 a 2 1 b 2 b 2 b 3 B 2 a 1 a 2 b 1 3 a β 1 (1 e λh ) b 3 β 1 (1 e λh ) B 3 1 a 1 (1 β 3 ) a 2 1 (1 β 3) β 2 (1 e λh ) b 3 β 2 (1 e λh ) B 4 a 1 (1 β 3 ) a 2 1 (1 β 3) B 1 0 0 B 2 0 0 β(1 e λh ) β 1 ββ 1 (1 e λh ) B 3 a 1 a 2 1 β 3 a 1 a 2 (1 β 3 ) β 2 ββ 2 (1 e λh ) B 4 1 β 3 a 1 a 2 (1 β 3 ) B 1 0 0 B 2 0 0 (1 β)β 3 (1 e λh ) β 1 β 1 β 3 (1 β)(1 e λh ) B 3 a 1 a 2 1 β 3 a 1 a 2 (1 β 3 ) β 2 β 2 β 3 (1 β)(1 e λh ) B 4 1 β 3 a 1 a 2 (1 β 3 ) a 1 = 1 ξ 1, a 2 = 1 ξ 2, b 1 = αα 1 e λh, b 2 = αα 2 e λh, b 3 = αα 3 e λh = β1(1 e λh ) a 1(1 β 3) { 1 a 1 + } β + (1 β)β3, a 2 E(N T, e{b 4}) = (1 b 3)β 2 (1 e λh ) a 2 1 (1 β3) + b 3β 2 (1 e λh ) a 2 1 (1 β3) + ββ 2(1 e λh ) a 1a 2(1 β + β 2β 3 (1 β)(1 e λh ) 3) a 1a 2(1 β 3) = β 2(1 e λh ) a 1 (1 β 3 ) { 1 a 1 + β + (1 β)β 3 a 2 결정오류를고려한관리도에서표본추출부터데이터수집및분석에소요되는시간을 gn, 공정의수리 또는재조정하는데소요되는시간을 D T 이라하자. 또한, T T = hn T + gn + D T 이면, 이상신호시간 (OC signal time) 은 hn T, 공정주기시간 (cycle length time) 은 T T 이된다. 위두종류의시간에대한 다음세가지조건을고려할필요가있다. Case V I: U > T T Case V II: hn T < U T T }.
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 673 Case V III : U hn T 표본추출시점부터 gn + D T 시간까지이상원인이일어나지않을확률은 e λ(gn+d T ). 이확률과표 5.2 의 P (e{b j } b{a i }) 를이용하면다음확률을얻게된다. i=1 P (V I) = α(1 α3)e λ(h+gn+d T ) 1 ξ 1, P (V II ) = P (V III ) = 1 e λh 1 ξ 1. i=1 α(1 α 3)e λh ( 1 e λ(gn+d T ) ) 1 ξ 1, 관리상태와이상상태에서끝나는공정주기동안추출된평균표본수는각각 4 4 4 4 V (A i, e{b 1 }) + V (A i, e{b 2 }), V (A i, e{b 3 }) + V (A i, e{b 4 }) 이된다. 이를이용하면공정주기가관리상태와이상상태에서끝나는조건하에서공정주기동안추출 된평균표본수는해당확률로나누어각각다음과같이구해진다. i=1 E(N T V I ) = E(N T V IIP ) = 1 1 ξ 1, 재조정관리도에서와유사한과정을통해다음결과를얻는다. E(N T V III) = 1 1 ξ 1 + ξ 2 1 ξ 2. (6.3) E(U V I) = 1 λ + E(U V II) = 1 λ + E(U V III) = 1 λ h 1 ξ 1 + gn + D T, i=1 h (gn + D T )e λ(gn+dt ), 1 ξ 1 1 e λ(gn+d T ) hα(1 α3)e λh (1 ξ 1)(1 e λh ). (6.4) 다음은평균오경보수의계산에대해알아보자. 먼저결정오류를고려한관리도에서는두종류의오경 보가있다. 하나는공정이관리상태일때신호를주고탐색과정에서이상원인을발견하지못하여오경 보로판단하는경우로서이는표 5.2 의 IC 4 ( 즉 A 2 ) 에해당한다. 이를참오경보 (true false signal) 라 한다. 또다른하나는공정이이상상태일때신호를주었으나탐색과정에서이상원인을발견하지못하 여오경보로판단하는경우로서이는표 5.2 의 OC 4 ( 즉 A 4 ) 에해당한다. 이를거짓오경보 (false false signal) 라한다. 이두가지오경보가공정에미치는영향은서로비슷하여큰차이가나지않지만어느 것이나공정관리에심각한부작용을초래함은분명하다. 각각의평균오경보수는행렬 (I Q T ) 1 의 (1, 2) 와 (1, 4 번째요소에해당되어 임을알수있다. E(F T ) = αα3e λh 1 ξ 1 E(F F ) = (1 β)β3(1 e λh ) (1 ξ 1)(1 ξ 2) 식 (6.3), (6.4), (6.5) 를이용하면결정오류를고려한전통적관리도의단위시간당평균비용을계산할수 있다. (6.5)
674 박창순 7. 점근적 Markov연쇄공정관리에서관리통계량이점근적 Markov특성 (asymptotic Markov property) 을만족하는경우가있다. 이는어떤시점에서의일시영역에대한전이행렬이시간종속이지만점근적으로는시간독립이되는경우를의미한다. 이에대한예를들어보자. 시점 t 1에서시점 t로의전이행렬이시간종속인 Q t 이고, 점근전이행렬이 lim Q t = Q x 를만족하여점근적시간독립이라고가정하자. 이때상수 r 은어떤 ε > 0 에대해서 max Q r [i, j] Q r 1 [i, j] < ε i,j 을만족한다고가정한다. 이경우공정상태 m i 를시점 t 에방문하는확률은 P (T (m i) = t) = s nq 1Q 2 Q t1 n,(i) 이되고, 공정상태 m i 의평균방문횟수는다음과같이근사적으로표현될수있다. V (m i) = s nq 1Q 2 Q t1 n,(i) t=0 s n = s n = s n Q 1 Q 2 Q r Q t r 1 n,(i) t=0 [ r 1 Q 1Q 2 Q k + Q 1Q 2 Q r k=0 [ r 1 k=0 Q k ] 1 n,(i) ] Q 1Q 2 Q k + Q 1Q 2 Q r(i Q) 1 1 n,(i). k=0 위의표현을사용하면공정특성연구에필요한특성들을근사적으로구할수있음을알수있다. 8. 결론이논문에서는통계적공정관리의특성연구를위해 Markov연쇄를사용하는방법에대해알아보았다. 연속적값을가지는공정통계량의특성의규명이해석적으로는불가능할때, 이를이산화시켜 Markov연쇄를생성한다음그특성을근사적으로구할수있도록해주는유용한도구이다. 경우에따라서는관리통계량의확률적속성을이용하여관리도의특성을해석적으로구할수있는경우가있다. 그렇다하더라도이런해석적방법은매우복잡하여올바른표현을구하기가어려울뿐만아니라, 종종표현이잘못될가능성이많아 Markov특성을이용한방법이더권장된다. 해석적방법과 Markov특성을이용한방법이모두또는부분적으로가용한경우에는서로보완적으로도출한결과를비교및보완을할수있어정확한표현을구하는데도움이된다. 이렇게 Markov특성을이용한근사방법은관리도를통한공정탐색 (process monitoring) 뿐만아니라공정수정 (process adjustment) 에도유사하게적용될수있다.
관리도에서 Markov 연쇄의적용 : 복습및새로운응용 675 문헌에나타나는기존의연구에서는모의실험을하여공정관리의특성을규명하는경우를많이볼수가있는데이는 Markov연쇄를사용한방법보다정도 (precision) 가떨어질뿐만아니라경우에따라서는많은시간이소요되어다양한특성연구가어려워지는문제점이있다. 이러한이유때문에될수있으면 Markov연쇄를사용하기를권장한다. 끝으로, Markov연쇄가적용되는경우를모두표현하기는어렵지만이논문에서표현한내용들을필요에따라수정적용하면대부분의경우에적용할수있음을밝힌다. 참고문헌 Park, C. (2007). An algorithm for the properties of the integrated process control with bounded adjustments and EWMA monitoring, International Journal of Production Research, 45, 5571 5587. Park, C., Lee. J. and Kim. Y. (2004). Economic design of a variable sampling rate EWMA chart, IIE Transactions, 36, 387 399. Park, C. S. and Reynolds, M. R. (2008). Economic design of an integrated process control procedure with repeated adjustments and EWMA monitoring, Journal of the Korean Statistical Society, 37, 155 174. Reynolds, M. R. (1996). Variable-sampling-interval control charts with sampling at fixed time, IIE Transactions, 29, 497 510. Reynolds, M. R. and Arnolds, J. C. (2001). EWMA control charts with variable sample sizes and variable sampling intervals, IIE Transactions, 33, 511 530. Woodall, W. H. and Reynolds, M. R. (1983). A discrete Markov chain representation of the sequential probability ratio test, Sequential Analysis: Design Methods and Applications, 2, 27 44.
676 박창순 Implementation of Markov Chain: Review and New Application Changsoon Park 1 1 Department of Statistics, Chung-Ang University (Received May 2011; accepted June 2011) Abstract Properties of statistical process control procedures may not be derived analytically in many cases; however, the application of a Markov chain can solve such problems. This article shows how to derive the properties of the process control procedures using the generated Markov chains when the control statistic satisfies the Markov property. Markov chain approaches that appear in the literature (such as the statistical design and economic design of the control chart as well as the variable sampling rate design) are reviewed along with the introduction of research results for application to a new control procedure and reset chart. The joint application of a Markov chain approach and analytical solutions (when available) can guarantee the correct derivation of the properties. A Markov chain approach is recommended over simulation studies due to its precise derivation of properties and short calculation times. Keywords: Process control, transient region, absorbing region, transition probability, average number of visits, reset chart. This research was supported by Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea(NRF) funded by the Ministry of Education, Science and Technology(No.2009-0073336). 1 Professor, Department of Statistics, Chung-Ang University, 221 Heukseok-Dong, Dongjack-Gu, Seoul 156-756, Korea. E-mail: cspark@cau.ac.kr