탄성체역학 pplied Theory of lasticity Week07: 전단력과휨모멘트 (1) 토목안전환경공학과 옥승용
2 Class Schedule(1) Week Topics Remarks 01 Introduction to class Ch. 1 02 Tensile, Compressive and Shear orces (1) Ch. 1 03 Tensile, Compressive and Shear orces (2) Ch. 1 04 Tensile, Compressive and Shear orces (3) Ch. 1 05 xially Loaded Members (1) Ch. 2 06 xially Loaded Members (2) Ch. 2 07 Shear orce and ending Moment (1) Ch. 4 08 Mid-Term xam 09 Shear orce and ending Moment (2) Ch. 4 10 Stresses in eams (1) Ch. 5 11 Stresses in eams (2) Ch. 5 12 nalysis of Stress and Strain (1) Ch. 7 13 nalysis of Stress and Strain (2) Ch. 7 14 nalysis of Stress and Strain (3) Ch. 7 15 inal-term xam
3 Chapter Preview 보, 하중및반력의형태 전단력과굽힘모멘트 하중, 전단력및굽힘모멘트사이의관계식 전단력선도 (Shear orce Diagram; SD) 및굽힘 ( 휨 ) 모멘트선도 (ending Moment Diagram; MD) 학습목표 전단력과굽힘모멘트의정의및부호규약은? 하중, 전단력및굽힘모멘트의관계는? 전단력선도 (SD) 및굽힘모멘트선도 (MD) 를그릴수있는가?
보의정의 보 (eam) 또는들보 부재축에수직인힘또는모멘트를받는구조용부재 horizontal or vertical structural element that is capable of withstanding load primarily by resisting bending. 굽힘평면 (plane of bending) 하중은평면내에작용 모든처짐그평면에작용 4 xamples of beams subjected to lateral loads
지점및반력 지점 (Support) 의종류 부재를받치고있는점, 부재 / 지점이연결된곳 이동단 (roller), 핀연결 (pin), 힌지 (hinge), 고정단 (fixed end) 5
지점및반력 지점 (Support) 의종류 부재를받치고있는점, 부재 / 지점이연결된곳 이동단 (roller), 핀연결 (pin), 힌지 (hinge), 고정단 (fixed end) 6
지점및반력 지점 (Support) 의종류 부재를받치고있는점, 부재 / 지점이연결된곳 이동단 (roller), 핀연결 (pin), 힌지 (hinge), 고정단 (fixed end) 7
8 쉬어가는페이지 성수대교 : Gerber Truss
지점및반력 지점 (Support) 의종류 부재를받치고있는점, 부재 / 지점이연결된곳 이동단 (roller), 핀연결 (pin), 힌지 (hinge), 고정단 (fixed end) 9
10 지점및반력 반력 V H V M H V
11 지점및반력 u ( 0) 반력 (reaction) 변위 (displacement) q ( 0) H (= 0) u ( 0) (unknown) V v ( 0) roller V ( 0) (unknown) M (= 0) v (=0) q ( 0) (unknown) H V u v ( 0) ( 0) q ( 0) hinge H ( 0) (unknown) V ( 0) M (= 0) (unknown) u (=0) v (= 0) (unknown) q ( 0) M H ( 0) (unknown) u (=0) H V v u ( 0) ( 0) q ( 0) fixed V ( 0) (unknown) M ( 0) (unknown) v (=0) q (=0)
보의종류 지지하는방법에따라분류 단순지지보 (simply supported beam) 한쪽은핀, 다른쪽은롤러로지지 캔틸레버보 (cantilever beam) 한쪽은고정 (fixed) 다른끝은자유단 (free) 돌출보, 내민보 (overhanging beam) 12
보의종류 단순지지보 캔틸레버보 13 돌출보 / 내민보
14 보의종류 단순지지보
15 보의종류 돌출보 / 내민보
16 보에작용하는하중 집중하중 (concentrated load) 작은면적에걸쳐작용하는하중 ( 한점에작용하는하중 ) 10kN 4m 8m 10kN 10kN 10kN 8m 20kN 20kN 8m 8m 분포하중 (distributed load) 단위길이당작용하는하중 8m 10kN 60 o 28kNm 10kN 8m 4m 등가집중하중 (equivalent load) 보에작용하는분포하중을집중하중으로대치크기 : 하중곡선의면적작용선 : 곡선면적의도심 10kN 10kN 8m 8m 10kN 10kN 28kNm 10kN 4m 8m 2kN/m 8m
구조해석 (Structure analysis) Draw D - 작용하는외력 - 반력 - 부재내력 ( 압축력, 축력, 전단력, 휨모멘트 ) pply quation qns x y M z 0 0 0 Compute reactions 17
자유물체도 (ree ody Diagram, D) 정의 : 지점이나연결된다른물체를모두떼어내고대상물에외적인작용력을포함하여작용하는모든힘을표시한그림 D 작도 사용할자유물체결정 자유물체이외의부분과지점을떼어냄 모든외력 ( 자중, 작용력, 반력등 ) 의크기, 방향, 작용위치표시 치수와각의표시 4m 10kN 8m 4m 10kN H V V 18
19 xample 1 : 자유물체도 P q q
20 xample 2 : 자유물체도 P q P
21 xample 3 : 자유물체도 q q P
22 xample 4 : 자유물체도 q V=0 & q=0 P M=0 M=0
xample 5 : 자유물체도 그림과같이 3 개의보가층층으로지지되어있다. 그림과같이하중이작용하고있을때다음을구하시오 (i) 보 의 점과 점에서의반력들 (ii) 보 CD 의 C 점에서의반력 2kN/m C D 1 3m 23
24 자유물체도 2kN/m C 1 2x8/3m = 5.33m 3m 8kN 8/3m =2.67m D R R (V) R (H) + S x = 0 (1) + S y = 0 (2) + SM = 0 (3) R (H) = 0kN R (V) = 5.33kN R = 2.67kN
자유물체도 2kN/m C D R (H) = 0kN 1 3m R (V) = 5.33kN R = 2.67kN C R 3m R (V) D + + S x = 0 (1) S y = 0 (2) + SM = 0 (3) C R C(V) R C(H) R R D R (V) D R C(H) = 0kN R C(V) = 0.38kN R = 8.38kN 25
자유물체도 2kN/m C D R C(H) = 0kN 1 3m R C(V) = 0.38kN R = 8.38kN R C(V) R D + S x = 0 (1) + S y = 0 (2) R C(V) R D + SM = 0 (3) R R (V) R (H) 1 R (H) = 0kN R (V) = 1.78kN R = 6.22kN 26
xample 6 : 자유물체도 그림과같이 3 개의보가층층으로지지되어있다. 그림과같이하중이작용하고있을때다음을구하시오 (i) 보 의 점과 점에서의반력들 (ii) 보 CD 의 C 점에서의반력 2kN/m C D 1 3m 27
28 자유물체도 보 의 점과 점에서의반력들 2kN/m C D 1 3m 2kN/m C D
29 자유물체도 보 의 점과 점에서의반력들 2kN/m C D P kn/m 2kN/m L (m) 8m P x L/2 2L/3 L/3 2x8/3m = 5.33m 8kN 8/3m =2.67m
30 자유물체도 보 의 점과 점에서의반력들 2kN/m C D 2kN/m 8m 8kN 2x8/3m = 5.33m 8kN 8/3m =2.67m C D 1
31 자유물체도 보 의 점과 점에서의반력들 8kN C D 2kN/m 1 8kN 9.33m 2.67m 2x8/3m = 5.33m 8m 8kN 8/3m =2.67m 8kN R R (V) R (H)
자유물체도 보 의 점과 점에서의반력들 8kN 9.33m 2.67m R (H) R R (V) 1 + + + S x = 0 (1) S y = 0 (2) SM = 0 (3) S x = R (H) = 0kN S y = R + R (V) = 8kN SM = 12 R + 2.67 8 = 0kNm R (H) = 0kN R = 8 R (V) 12 (8 R (V) ) + 21.36 = 0kNm R (V) = 6.22kN R = 8 6.22 = 1.78kN 32
자유물체도 그림과같이 3 개의보가층층으로지지되어있다. 그림과같이하중이작용하고있을때다음을구하시오 (i) 보 의 점과 점에서의반력들 (ii) 보 CD 의 C 점에서의반력 2kN/m C D 1 3m 33
34 자유물체도 보 CD 의 C 점에서의반력 2kN/m C D 1 3m 2kN/m C D
35 자유물체도 보 CD 의 C 점에서의반력 2kN/m C D 8kN 7m 2.67m C D 3m 8kN C D R C(H) R C(V) R D 35
36 자유물체도 보 CD 의 C 점에서의반력 8kN + S x = 0 (1) C R C(V) R C(H) R D D + + S y = 0 (2) SM = 0 (3) S x = R C(H) = 0kN S y = R D + R C(V) = 8kN SM D = 7 R C(V) (3 2.37) 8 = 0kNm R C(V) = 0.377kNm
37 부재내력 : 축력, 전단력, 휨모멘트 보의주어진임의단면에는내적작용력들이존재한다. 축력 (axial force), N 단면에서보의길이방향과평행하게작용하는내적작용력성분 3 kn 10 kn V C M N 전단력 (shear force), V 단면에서보의길이방향에수직한방향으로작용하는내적작용력성분 휨모멘트 (bending moment), M 보의축이주어진단면과교차하는점에대한내적작용력의모멘트
38 부재내력들의부호규약 C 1 C 2 M 1 M 1 V 1 S 2 M 2 M 2 V 1 N 1 N 1 미소요소 N 2 N 2 x V 2 V 2 C 1 C 2
39 부재내력들의부호규약 M 1 M 1 V 1 M 2 M 2 V 1 N 1 N 1 미소요소 N 2 N 2 x V 2 V 2 C 1 C 2 축력 전단력 양 (+) 음 ( ) 양 (+) 음 ( ) 휨모멘트 양 (+) 음 ( )
40 하중, 전단력및휨모멘트의상호관계식 P w m n x dx M V m w w dx dx/2 n M+dM V wdx M M n 0 V dv 0 w dx 2 M dm Vdx wdx 0 dv dx dx V+dV V dm dx
41 하중, 전단력및휨모멘트의상호관계식 w dx w dx/2 M V m n M+dM dx V+dV w dv dx ; 보의어떤단면에서 x 에관한전단력의변화율 ( 기울기 ) 은바로그단면에서의분포하중의마이너스값과같다. V dm dx ; 보의어떤단면에서 x 에관한휨모멘트의변화률 ( 기울기 ) 은바로그단면에서의전단력의값과같다.
42 하중, 전단력및휨모멘트의상호관계식 w dv dx dv wdx V V wdx ; 전단력선도 (SD) 에서 점과 점에서의전단력값의차는이두점사이에서보에작용하는하중의누적적분 ( 분포하중의면적 ) 의마이너스값과같다. V dm dx dm Vdx M M Vdx ; 휨모멘트도 (MD) 에서 점과 점에서의휨모멘트의값의차는이두점사이의전단력선도의면적과같다.
하중, 전단력및휨모멘트의상호관계식 q=10 면적 2 10 V 20 V V 20 V P=10 하중의누적 ( 적분 ) 10 V 10 V V V 10 43