01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:54 페이지 3 프랙탈
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:54 페이지 4
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:54 페이지 5 교사용 수업안 내 안에 나 있다 3학년
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:54 페이지 6 STEAM 개념도 자연 속의 프랙탈 - 비정형 프랙탈의 예 - 정형 프랙탈의 예 프랙탈의 성질 - 자기닮음성(자기유사성) - 무한과 유한의 공존 S 프랙탈과 음악 - 프래탈 음악 분석 M 내 안에 나 있다 T A E 예술 속의 프랙탈 - 추상미술 - 프랙탈 아트 창의적 프랙탈 작품 만들기 - 크리스마스 POP-UP 카드 6 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:54 페이지 7 내 안에 나 있다 차시 STEAM 수업 흐름 주요 활동 내용 STEAM 요소 1 상황제시 ➊ 프랙탈의 여러 가지 예 신문 기사 속에서 만델브로트의 업적 및 프랙탈의 유래 찾기 자연 속의 불규칙적 프랙탈을 감상하고, 생활 주변에 있는 프랙탈 찾아보기 추상미술 중 하나인 프랙탈 아트 관찰하고, 디자인 해보기 S, E, A 2~3 창의적 설계 ➋ 프랙탈의 개념적 이해 서해안과 동해안의 특징을 비교해보고, 프랙탈 개념을 직관적으로 이해하기 컴퓨터 프로그램(Xaos)을 이용하여 프랙탈 관찰하기 드래곤 커브(curve) 만들기를 통한 프랙탈의 자기닮음성(자기 유사성) 익히기 ➌ 프랙탈의 성질 탐구 4D 프레임을 통하여 코흐곡선을 제작하고, 코흐곡선의 길이 구 하기 평면으로 시에르핀스키 삼각형을 제작하고, 길이와 넓이 구하기 입체로 시에르핀스키 삼각형을 제작하고, 넓이와 부피 구하기 S, T, A, M 4~5 감성적 체험 ➍ 프랙탈 음악 만들기 음악 분석 프로그램 알아보기 골드웨이브 프로그램을 통하여 다양한 장르의 음악을 분석하고 프랙탈 음악의 특징 알기 프랙탈 음악이 콩나물 성장속도에 미치는 영향 알아보기 ➎ 프랙탈 디자인 여러 가지 프랙탈 도형 중 카드 용도에 알맞은 모티브 정하기 프랙탈 POP-UP 카드 만들기 위한 아이디어 스케치하기 나만의 프랙탈 POP-UP 카드 제작하기 S, T, E, A, M 내 안에 나있다 7
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:54 페이지 8 수업 전체 흐름도 내 안에 나 있다 상황제시 1차시 창의적 설계 - 2,3차시 감성적체험 4,5차시 1 우리 곁의 프랙탈 2 내 안에 나 있다! 4 프랙탈 음악 프랙탈의 유래와 어원 자연과 생활 속의 프랙탈 추상미술로서의 프랙탈아트 동해와 서해의 해안선 비교 컴퓨터 프로그램을 통한 프랙탈 관찰 드래곤 커브(Curve)의 자기 닮음성 관찰 프랙탈 음악 분석 프랙탈 음악 감상 프랙탈 음악과 콩나물 성장 속도 실험 3 프랙탈 넌 누구? 5 프랙탈 디자인 코흐 곡선 제작 및 관찰 시에르핀스키 삼각형 제작 및 관찰 나만의 프랙탈 카드 크리스마스 POP-UP 카드 8 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 9 1/5차시 프랙탈을 찾아서
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 10 주제 우리 곁의 프랙탈(1/5차시) 관련단원 프랙탈 학습주제 우리 생활 주변에서 프랙탈 찾기 학습목표 프랙탈의 개념을 이해하고 자연과 생활 속에서 프랙탈 구조를 찾아낼 수 있으며 프 랙탈 예술을 탐구할 수 있다. 학습자료 교사자료 : PPT 자료 학생자료 : 활동지, 각종 필기구, 수채색연필, 기타 STEAM 요소 S T E A M 학습집단조직 개인 또는 모둠별 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 출석 점검 도입 본시 학습 목표 안내 - 프랙탈의 개념을 이해하고 자연과 생활 주변에 적용된 프랙탈 구조를 찾아낼 수 있다. 대표적인 프랙탈 형상을 연결해서 표현한 동영상 2편과 프랙탈 원리를 이용한 프랙탈 예술에 대한 동영상 감상을 통해 프랙탈 개념에 대한 흥미 를 느낀다.(동영상 준비 시간 포함하여 4분) - <프랙탈 형상 동영상 2편 감상하기> http://www.youtube.com/watch?v=gxvj2slsnsc(1분 16초) 유튜브 동영상 제목 : Fractal interpolations http://www.youtube.com/watch?v=cuwhmvd61do&nr=1&feature=endscreen(52초) 유튜브 동영상 제목 : A Year in the Life of a Pythagoras Tree (안 전모드: 사용안함 으로 검색) 입체영상소개 (youtube) - <백남준 작가의 프랙탈거북선 동영상 감상하기> http://www.youtube.com/watch?v=6elzkp6x_2s (1분 18초) 유튜브 동영상 제목 : 플랙탈거북선(Fractal Turtleship) 활동1 이것이 프랙탈? 전개 프랙탈 기하학의 창시자 만델브로트에 대한 기사를 통해 프랙탈 이론을 정리하고, 인터넷 동영상으로 내용을 복습한다. 10 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 11 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 - 2010년 10월 14일 서거한 프랙탈의 대부 베르누트 만델브로트 박사에 대한 기사를 활동 자료로 제시하고, 그 내용을 읽고 프랙탈에 대한 기본 정보를 활동지에 간단히 정리한다. 활동 자료 제목 : 베르누트 만델브로트, 프랙탈의 대부 잠들다 (강석기 동아사이언스 기자 sukki@donga.com) 활동자료를 읽고 활동지에 내용을 간략히 정리한다. - 인터넷 동영상 시청을 통해 만델브로트의 프랙탈 이론의 기본적인 내용 이해를 위한 예습을 한다. 만델브로트가 들려주는 프랙탈 이야기 (11분 22초) http://www.youtube.com/watch?v=y-ihwxpnoq0 활동자료 배부 입체영상소개 (youtube) 활동2 자연과 생활에서 프랙탈을 만나보자. 전개 프랙탈 개념을 이해하고 자연과 생활 속에서 프랙탈 구조가 적용된 사례 를 탐구해 개인별 자료로 정리한다. - 학생용 활동지(교사용 교재 도판의 일부만 제시됨)의 예시 자료를 보고 그 외의 자연물이나 자연 현상 또는 생활 속에서 발견할 수 있는 프랙탈 구조를 활동지에 개별 자료로 정리한다. 활동3 프랙탈의 아름다움을 탐구해 보자. (우리가 발견한 아름다운 프랙탈 예술) 우리 생활 속에 아름답게 적용된 프랙탈 예술 영역을 탐구하여 탐구 내용 을 모둠별 발표지에 그림으로 표현해 칠판에 게시한다. - 수학의 미 에 대한 사이언티픽아메리칸 8월호 기사를 탐구활동 자료로 보고 수학적 아름다움이 예술적인 표현으로 이어질 수 있음에 대해 생각 한다. - 프랙탈 미술품을 PPT 예시 자료(교사용 교재 내용)로 본 후, 더 생각나 는 미술품이나 음악, 무용 등 여러 예술 영역에 프랙탈이 적용된 사례를 조별로 탐구하고 발견한 내용을 정리한다. - 조별로 정리된 탐구 내용을 A3(또는 8절지)크기의 발표지에 그림으로 표현해 칠판에 게시한다. (그림으로 표현할 때 각 조의 구성원은 밑그림, 채색 등 역할을 알맞게 분 담한다.) 만화, 소묘, 그림 오려붙이기, 수채색연필화 등 다양한 방법으로 자유 롭게 표현하도록 지도한다. 정리 활동내용 평가 - 활동 3의 모둠별 산출물을 확인하고 질의응답 수업내용 정리 - 프랙탈 개념을 간단히 복습하여 이해하고 - 자연과 생활에 광범위하게 적용된 프랙탈 구조를 확인한다. 정직한 평가가 되도록 지도 차시 예고 - 프랙탈의 정의 및 성질에 대한 본격 탐구 내 안에 나있다 + 11
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 12 주제 개요 프랙탈은 프랑스 수학자 베르누트(베노이트) 만델브로트 박사가 쪼개진 이라는 뜻의 라틴어 프락 투스 를 따와서 만든 신조어이다. 만델브로트 박사는 굉장히 복잡한 해안선도 사실은 동일한 기본 요소인 모래와 바위 등의 단순한 지 형이 반복적으로 나타나 복잡하게 보이는 것으로 생각하고 부분이 전체를 닮아간다는 자기유사성의 원리라는 새로운 시각으로 자연을 이해하고자 하였다. 프랙탈은 실제로 우리 주변에 매우 다양하게 존재한다. 이러한 프랙탈을 이용하면 복잡한 자연과 사 회의 모습을 새롭게 볼 수 있게 될 것이다. 이러한 프랙탈의 구조와 원리를 수학적으로 탐구해 봄으로 써 프랙탈의 비밀을 밝혀내어 예술 작품에 이용할 수 있고, 날씨 같은 자연 현상 뿐 만 아니라 우리 몸 에 적용된 프랙탈 구조를 알아내어 의료에 이용할 수도 있으며 나아가 여러 가지 사회 현상 속의 프랙 탈 구조를 탐구해 사회의 변화를 좀 더 정확하게 예측하는데 이용할 수도 있을 것이다. 활동1 이것이 프랙탈? 프랙탈 기하학의 창시작인 만델브로트박사에 대한 기사를 통해 프랙탈 이론을 정리해 봅시다. 활동 자료 1 (출처 : 강석기 동아사이언스 기자 sukki@donga.com) 베르누트(베노이트) 만델브로트, 프랙탈의 대부 잠들다 2010년 10월 19일 프랙탈 기하학의 창시자 만델브로트 박사의 서거를 애도합니다. 자연의 불규칙한 모양에 대한 그의 혁신적 이론은 물리, 생물, 수학 관련 분야를 넘어 사회 전반에 깊은 영향을 미쳤습니다. 이제 자연과 사회는 그의 언어로 새롭게 보입니다. 월요일 출근해 페이스북에 들어간 기자는 포스텍 물리학과 김승 환 교수의 글을 봤다. 일요일 낮에 쓴 글이었다. 신문에도 부고 기 사가 실렸는데 아침에는 못보고 지나쳤다. 생존한 수학자 가운데 가장 유명한 사람이었던 베르누트(베노이트) 만델브로트는 게놈 만큼이나 대중에게 익숙한 프랙탈(fractal) 이란 과학용어를 만든 장본인이다. 수학계의 영원한 아웃사이더 생존한 수학자 가운데 가장 유명한 사람이었던 베르누트(베노이 12 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 13 트) 만델브로트는 1924년 폴란드 바르샤바에서 태어났다. 리투아니아 유태계 출신인 그의 가족은 1936년 나치를 피해 프랑스 파리로 이주했고 2차 세계대전이 터지면서 다시 남프랑스인 툴레로 피난 했다. 전쟁이 끝나고 파리로 돌아온 그는 당시 최고 명문인 에꼴 폴리테크닉에서 수학했다. 그 뒤 미국 칼텍에서 항공학으로 석사학위를 한 뒤 프랑스 파리대에서 수리과학으로 박사학위를 받았다. 기하학적 수학을 좋아했던 만델브로트는 추상적이고 논리적인 수학이 득세하던 프랑스를 떠나 1958 년 미국 IBM 토머스 왓슨연구소에 자리를 잡고 그 뒤 30년이 넘도록 이곳에서 잡다한 연구를 진행 했다. 정통 수학자가 보기에는 끈기도 없고 산만한 이류 수학자였던 그는 실제로 비주류 분야의 논문 들을 보는 게 취미였다고 한다. 그러던 어느날 영국의 과학자 루이스 리처드슨의 논문(그의 사후인 1961년 발표된)을 보게 됐다. 영국의 해안선 길이에 대한 논문인데 리처드슨은 측정하는 자의 길이에 따라 해안선 길이가 달라지는 현상을 기술했다. 즉 지도를 펼쳐놓고 3km에 해당하는 길이를 단위로 해안선을 재는 것보다 1.5km 길이 단위의 자로 잴 때 해안선이 더 길었다. 어찌보면 당연한 결과다. 그런데 리처드슨은 같은 식으로 포 르투갈이나 독일의 해안선을 잴 경우 자가 작아질 때 해안선이 길어지는 비율이 달라진다는 사실을 발견했다. 보통 사람 같으 면 별 걸 다 연구했네 라고 넘어갔겠지만 만델브로트는 쾌재 를 불렀다. 그가 수년 전부터 고민해오던 현상에 대한 답이 보 였기 때문이다. 만델브로트는 면화시장의 가격등락그래프, 강의 수위변화, 전기신호의 노이즈 패턴 등에서 보이는 특이한 현상을 설명할 이론을 찾고 있었다. 이들은 스케일을 줄여도 특정한 패턴이 반 복되는, 즉 자체유사성(self-simility) 를 보였다. 즉 1년 동안 의 주식가격변화나 하룻동안의 변화를 그래프만을 보고는 구분 할 수 없었다. 그런데 해안선도 그런 패턴을 보였던 것. 코흐 눈송이로도 알려진 코 흐 곡선. 정삼각형의 한 변을 3등분해 가운데 작은 정삼각 형을 얹는 과정을 반복하면 얻어진다. 코흐 곡선은 약 1.2618 프랙탈 차원이다. 여기서 만델브로트의 잡학다식함 이 빛을 발했다. 그는 스웨덴의 수학자 헬게 폰 코흐가 1904년 기 술한 코흐 곡선(Koch curve) 이 이상화된 해안선에 다르지 않음을 직관적으로 깨달았던 것이다. 코 흐 곡선은 정삼각형의 변을 3등분한 뒤 가운데에 변 길이가 1/3인 작은 정삼각형을 올리고(그 결과 꼭 짓점 6개짜리 별모양이 나온다), 이렇게 생긴 변을 또 3등분한 뒤 가운데에 변 길이가 1/3인(원래 변 길이의 1/9) 작은 정삼각형을 올리는 과정을 무한히 반복할 때 나오는 곡선이다. 이 단계를 반복할 때 마다 면적이 조금씩 늘어나지만 결국은 한계가 있는 반면 변의 길이는 무한히 늘어난다. 동시대 수학자들은 이런 현상에 당황했지만 별 의미가 없는 걸로 치부해버렸다. 내 안에 나있다 13
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 14 공간은 정수라는 편견을 버려 만델브로트는 공간의 차원은 정수라는 기존 수학의 관념을 재고하기 시작했다. 그리고 마침내 공간 의 차원을 재정의했다. 1967년 과학저널 사이언스 에 실린 기념비적인 논문 How Long Is the Coast of Britain?(영국의 해안은 얼마나 길까?) 에는 차원(D)을 나타내는 아래의 식이 나온다. D=-logN/logr r은 비의 유사성(similarity of ratio)인데 매 단계마다 한 변을 3등분하는 코흐 곡선은 r=1/3로 정의된다. N은 기존 한 변에서 새로 생긴 변의 길이를 r의 단위로 표시한 값으로 4가 된다. 코흐 곡선은 한 단계가 지나갈 때마다 전 체 변 길이가 이전의 4/3배가 되기 때문이다. 만델브로트 의 차원 정의에 따르면 코흐 곡선은 약 1.2618차원이 된 다. 이 논문에서는 이를 분수 차원(fractional dimension) 이라고 불렀다. 1975년 만델브로트는 부서진 이란 뜻의 라틴어 fractus 에서 따온 신조어 프랙탈(fractal) 을 만들어 정수가 아닌 차원을 프랙탈 차원 이라고 부르기로 했다. 1982년 그가 펴낸 책 The fractal geometry of nature(자연의 프랙탈 기하학) 은 수학자나 과학자 뿐 아니라 일반인에게 도 큰 영향을 줘 만델브로트가 유명해지기 시작했다. 그러나 그가 유명인이 된 건 뉴욕타임스의 과학기자 제 임스 글리크 덕분이라해도 과언이 아니다. 글리크는 1987 년 카오스(Chaos) 란 책을 펴냈는데 본문의 상당부분에 서 프랙탈을 다루면서 만델브로트에 대한 시시콜콜한 얘 기까지 소개해 독자의 호기심을 증폭시켰다. 사실 이 책은 어떤 카오스 전문가가 쓴 논문이나 저서보 다 이후 카오스 분야의 발전에 큰 기여를 했다고 평가되고 있다. 그때까지 카오스를 잘 몰랐던 과학자들이 이 책을 읽 고 자기 분야에 카오스 방법론을 적극 도입하기 시작했고, 많은 똑똑한 학생들은 카오스를 전공으로 택했다. 만델브로트 집합은 복소평면 위에 특정 수식에 대한 점의 특성을 기록 한 패턴으로 현대 예술에 응용된다. 가운데는 위의 일부를 확대한 그림 이고 아래는 가운데의 일부를 확대 한 그림으로 프랙탈임을 알 수 있 다.1.2618 프랙탈 차원이다. 프랙탈 영향 안 미치는 곳 찾기 어려워 만델브로트가 대단한 건 그가 프랙탈이란 개념만 만든 게 아니라 이 개념이 적용될 많은 수많은 분 야를 개척한 선구자이기도 하기 때문이다. 경제학, 정보과학, 물리학, 생리학, 컴퓨터그래픽 등 순수 수학을 벗어난 여러 곳에서 프랙탈을 적용했으며 만델브로트 집합 등에서 보이는 패턴은 포스트모던 예술에도 큰 영향을 미쳤다. 14 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 15 지난해 10월 9일자 사이언스 에는 사람의 게놈이 세포 안에서 프랙탈 패턴으로 뭉쳐져 있다는 연구 결과가 표지를 장식했다. IBM을 떠나 예일대에서 몸담았던 만델브로트는 수많은 상과 기사작위 등 화 려한 말년을 보내다 86세를 일기로 2010년 10월 14일 영면했다. 오랫동안 주류 수학계에서 따돌림 을 당하며 주변부에서 맴돌았기 때문인지 만델브로트는 자신이 프랙탈의 대부 라는데 상당히 집착해 혹 누가 프랙탈을 다룬 논문에서 자신을 언급하지 않으면 항의 전화를 하거나 편지를 보냈다고 한다. 오늘날 프랙탈의 위력은 날이 갈수록 더해지고 있는 느낌이다. 지난해 사이언스 에는 사람의 게놈 도 세포 안에서 프랙탈의 패턴으로 뭉쳐져 있다는 연구결과가 표지논문으로 실리기도 했다. 만델브로 트의 이름 또한 영원하지 않을까. 페이스북에 올린 김승환 교수의 글에 기자를 포함한 여러 사람들이 댓글을 달았다. 월요일 밤 김 교 수는 아래의 글을 올려 소감을 피력했다. 학문의 한 분야를 연다는 것이 이렇게 많은 분들에게 영향을 미친다는 것을 깨닫게 해줍니다. 참고 프랙탈(fractal) 이란? 1. 프랙탈의 개념과 속성 프랙탈이란 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다. 즉, 프랙탈은 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 것 으로, 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것이다. 프랙탈의 속성은 자기 유사성(Self-Similarity) 과 순환성(Recursiveness) 이라는 특징을 가 지고 있다. 자연계의 리아스식 해안선, 동물 혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라 는 모습, 산맥의 모습도 다 프랙탈이며 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어있다. (출처 : 시사용어사전) 2. 프랙탈의 의미와 어원 프랙탈이라는 말은 IBM의 Thomas J. Watson 연구센터에 근무했던 프랑스 수학자 만델브 로트(Benoit B. mandelbrot) 박사가 1975년 쪼개다 라는 뜻을 가진 그리스어 프랙투스 (fractus) 에서 따와 처음 만들었다. 만델브로트 박사는 <the nature of geometry fractal>를 출판해 냈는데, 이 책에서 영국의 해안선 길이가 얼마일까 라는 물음을 던지고 있다. 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선 안에 굴곡진 해안선이 계속됐고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해 안선의 길이가 달라졌기 때문에 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대 로 늘어나게 된다는 것이다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 프랙탈 이라고 부르기 시작했다. (출처 : 시사용어사전) 내 안에 나있다 15
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 16 활동2 자연과 생활 주변에서 프랙탈을 만나보자. 자연에서 볼 수 있는 프랙탈 프랙탈은 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 하나는 자신의 모양을 몇 단계에 걸쳐서 수학적 규칙에 따라 축소 시키고 회전시켜 만들어지는 결정형 프랙탈이고, 다른 하나는 형상의 일부분을 계속 확대할 때 전체 모습과 통계적으로 유사한 형상을 갖는 비결정형 프랙탈이다. 결정형 프랙탈의 예를 들면 칸토르 먼지, 코흐 곡선, 코흐 눈송이, 시어핀스키 삼각형, 시어핀스키 양탄자, 피타고라스 나무 등이 있고, 비결정형 프랙탈의 예는 아래의 그림과 같이 자연 세계에서 흔히 볼 수 있으며 아래 그림 외에도 겨울철 유리창에 서리는 성에, 나무와 풀이 어우러진 숲, 허파와 같은 인체 내의 장기, 브 로콜리 등 무수히 많다. 구름 눈결정 번개 해바라기 공작 뇌 산호초 양배추 해안 나무 산 고사리 거미줄 강줄기 소라껍질 벌집 16 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 17 생활 속의 프랙탈 먼저 인간의 생활 가운데 인체 질병과 관련하여 프랙탈이론을 의학에 사용한 경우를 몇가지 살펴보면 파킨 슨병 환자의 경우, 운동 기능 장애로 걸을 때 보폭이나 속도가 일정하지 않은 파킨슨병 환자의 몸에 센서를 부착해 걸음걸이에 대한 데이터를 모으고 프랙탈 프로그램으로 이를 분석한 결과, 몇 분 간 관찰한 걸음걸이 의 패턴이 하루 종일 관찰한 것과 유사하다고 하며 파킨슨병 환자의 프랙탈 지수는 1.48로, 정상인(1.3)에 비해 높게 나타났고 이 연구결과를 이용해 환자의 증세를 객관적인 수치로 표시하고 투약시간을 조절할 수 있다고 한다. 심장에 관한 프랙탈도 연구되어 건강한 심장일수록 불규칙적으로 박동하며 프랙탈 지수가 높을수록 건강 하다는 결과가 도출되었고 규칙적으로 박동하는 심장이 무조건 건강하다는 일반적인 견해가 수정되었다. 치매의 경우도 혈관성 치매와 알츠하이머형 치매를 프랙탈 분석하여 각기 다른 패턴을 발견하고 이전까지 구분이 어려웠던 증세를 판별해 각각의 경우에 맞도록 적절히 처방할 수 있다고 한다. 기타 우울증 환자의 뇌파에서 측정되는 프랙탈을 분석하여 치료에 이용하는 등 인체에 나타나는 프랙탈 현 상의 탐구는 질병의 조기 발견이나 치료 패턴의 연구에 큰 도움이 되고 있다. 그 외에도 우리 생활 속에는 수많은 프랙탈 구조가 숨어 있다. 주방에서 요리할 때도 브로콜리나 상추잎, 고사리 같은 것에서 같은 구조가 반복되는 프랙탈 형상을 볼 수 있고 번개의 궤적이나 전기의 방전, 겨울철 유리창에 성에가 끼어있는 모습도 모두 다 프랙탈이다. 프랙탈 형상 가운데 만델브로트 집합 은 가수 서태 지가 울트라맨이야 라는 앨범의 표지 일러스트레이션으로 이용하였다. 일부 과학자들은 주가나 환율의 복 잡한 변화 속에도 프랙탈처럼 반복된 단순한 구조가 숨어 있다고 보고 있다. 또한 경영이나 업무 활동, 의사 결정과 상품 개발 등 조직 내의 여러 현상도 조직의 목표를 달성하기 위해 프랙탈 구조를 만들고 있으며 개 인의 행동 역시 자신의 가치관과 습관에 의해 반복적으로 이루어지는 프랙탈 구조와 다르지 않다고 보고 있 다. 또한 복잡한 인간관계도 한 사람에게서 여러 사람으로 가지 치는 번개와 비슷한 프랙탈 구조라고 보는 시 각도 있다. 주름이 계속되는 상추잎 가장자리 는 전형적인 프랙탈 구조이다. 번개가 가지 쳐 나가는 모양도 프 랙탈 구조를 보여준다. 가수 서태지가 만델브로트 집합을 이용해 만든 앨범 표지 (동아사이 언스 자료 사진) 내 안에 나있다 17
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 18 활동3 프랙탈의 아름다움을 탐구해 보자. 사이언티픽 아메리칸 8월호(2011년)에 게재된 기사 내용을 살펴봅시다. 활동 자료 2 (출처: 전동혁 동아사이언스 기자 jermes@donga.com) 수학의 美 프랙탈 등 패턴이 주는 아름다움 수학적으로 아름답다 는 의미는 어떤 것일까? 미국 과학저널 사이언티픽 아메리칸 은 수학적으로 아름다운 패턴을 선정해 8월호에 게재했다. 수 학적으로 아름다운 패턴은 자연에 존재하기도 하고 인위적으로 만들 수도 있다. 간단한 수학공식으로 만든 무한한 반복 패턴인 프랙탈 이다. 프랙탈 중에 선 많이 알려져 줄리아 세트 라는 이름이 붙었다. Tom Beddard 호주 시드니의 한 연못에서 촬영한 프랙탈 거품. Richard Taylor, University of Oregon 18 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료 브로콜리에서 나타난 프랙탈. 브로콜리 같은 식 물은 성장하며 무한한 반복 패턴을 만들어낸다. Jon Sullivan
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 19 나선 은하에도 아름다운 수학적 패턴이 나타난다. 두 개의 나선 은하 사이에 발생한 힘이 독특한 패턴 을 우 주 에 만 들 었 다. NASA, ESA, and the Hubble Heritage Team (STScI/AURA) 뫼비우스의 띠 형태인 단백질 분자. 이 분자는 착한 콜레스테롤 이라 불리는 HDL 지방단백질이다. Mike Tyka, University of Washington. Image was rendered using PyMol 내 안에 나있다 19
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 20 프랙탈과 예술 프랙탈 예술 영역에는 자기유사성과 순환성을 가지고 있는 프랙탈의 형태적 특징을 이용하여 질서, 통일, 반 복, 조화와 같은 기본적인 시각예술 원리에 입각해 기하학적 조형성을 표현한 회화나 조각, 여러 가지 디자인 등의 프랙탈 미술이 있다. 또한, 자연에서의 프랙탈처럼 전체 구조와 유사한 작은 구조가 전체 안에서 반복되 는 특징을 갖고 있는 프랙탈 음악에는 바하가 작곡한 클래식부터, 컴퓨터로 작곡한 현대 음악 등이 있으며 또 한 상모춤과 같은 전통 무용에서도 프랙탈 미학을 찾을 수가 있고 여러 가지 공연 예술에서도 다양하게 적용 되는 프랙탈 원리를 볼 수 있다. 여러 가지 프랙탈 미술 프랙탈 회화 프랙탈 조각 출처 : 안광준's blog (Daum) 프랙탈구조의 대지미술 프랙탈 라이트아트 프랙탈 장식 프랙탈 꽃꽂이 프랙탈구조의 비디오아트 프랙탈 공예 20 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 21 활동지1 프랙탈 이론 정리 활동자료1을 읽고 기사에서 찾은 내용을 활동지에 간단히 정리해 봅시다. 이것이 프랙탈? 중학교 학년 ( )반 ( ) 프랙탈 개념을 만든 사람은 누구인가요? 그는 어느나라 사람이고 언 제 태어나 언제 죽음을 맞이 했나요?(연도만) 프랙탈의 어원은 무엇인가요? 프랙탈 개념의 가장 큰 특징 을 기사에서 찾아 5자로 써 봅시다. 프랙탈이 적용된 분야를 기사 에서 찾아 정리합시다. 내 안에 나있다 21
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 22 활동지2 우리 생활 주변에서 프랙탈을 만나보자. 비정형 프랙탈의 예시 자료를 보고, 자연물이나 자연 현상 또는 생활 속에서 발견할 수 있는 프랙탈 구조 를 더 생각하여 활동지에 개인별 자료로 정리해 봅시다. 자연에서 볼 수 있는 비정형 프랙탈 구름 눈결정 번개 해바라기 공작 뇌 산호초 양배추 자연과 생활 주변에서 만나는 프랙탈 중학교 학년 ( )반 ( ) 자연물이나 자연현상 또는 일상생활 주변에서 프랙탈 원리가 적용되어 있다고 생각되는 것들 을 찾아서 적용된 프랙탈의 원리를 그림이나 글로 정리해봅시다. 22 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 23 활동지3 프랙탈의 아름다움을 탐구해 보자. 우리가 발견한 아름다운 프랙탈 예술 1. 프랙탈 구조가 적용된 아래 작품을 보고 다른 장르의 미술품이나 음악, 무용 등의 또 다른 예술 영역에 적 용된 사례를 생각해서 조별로 의견을 모아봅시다. 2. 조별 탐구 내용을 A3(또는 8절지)크기의 조별 활동지에 그림으로 표현해 봅시다. 프랙탈 회화 프랙탈 조각 출처 : 안광준's blog (Daum) 프랙탈구조의 대지미술 프랙탈 라이트아트 프랙탈 장식 프랙탈 꽃꽂이 프랙탈구조의 비디오아트 프랙탈 공예 * 조별 활동지(크기: A3 또는 8절지) 우리가 발견한 아름다운 프랙탈 예술 ( 조) 중학교 학년 ( )반 ( ooo / xxx / / / ) 영 역 프랙탈 무용(상모춤) 내 안에 나있다 23
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 24 평가 계획 평가 목표 - 프랙탈 개념을 이해하고 우리 생활 주변에서 프랙탈 구조를 찾아낼 수 있다. - 프랙탈 원리가 적용된 예술 작품을 구상하고, 생각을 그림으로 표현할 수 있다. 평가 영역 평가영역 평가기준 방법 매우 잘함 평가척도 잘함 보통 미흡 매우 미흡 교과학습 프랙탈 개념을 이해하고 있는가? 적극적으로 활동에 참여하는가? 학습지 실험 A 프랙탈 구조를 이해하고 있는가? 중점 STEAM 융합요소 T 생각을 그림으로 표현할 수 있는가? 산출물 M 프랙탈의 원리를 이해하고 있는가? 교사 종합 의견 평가 중점 사항 프랙탈의 원리와 구조를 잘 이해하여 자료를 보고 활동한 내용을 정리하고, 생각을 그림으로 나 타낼 수 있는지를 중점적으로 평가한다. 24 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 25 2/5차시 S T E A M 내 안에 나있다!
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 26 주제 내 안에 나 있다! (2/5차시) 관련단원 도형의 성질, 도형의 닮음 학습주제 프랙탈의 정의 및 성질 학습목표 프랙탈의 개념과 그 성질을 알 수 있다. 학습자료 교사자료 : PPT 자료 학생자료 : 활동지 STEAM 요소 S T E A M 학습집단조직 개별 또는 조별 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 출석 점검 - 인사 및 수업 분위기 유도 도입 전시 학습 확인 - 자연과 생활 속 프랙탈의 예 - 프랙탈 아트(추상미술) 속의 프랙탈 관찰 본시 학습 목표 안내 - 프랙탈의 개념을 알고, 프랙탈의 자기닮음성을 이해할 수 있다. 학습목표를 완전히 숙지하도록 함 활동1 동해안과 서해안의 해안선 비교 전개 위성사진을 통하여 동해안과 서해안의 해안선을 비교해 봄으로써 프랙탈 의 발생학적 배경에 대한 이해를 돕는다. - 네이버 지도(http://map.naver.com) 프로그램을 활용하여 동해안과 서 해안의 해안선의 특징 알아보기 - 지도 확대와 축소를 통해 동해와 서해의 해안선의 특징 찾아보기 - 서해의 해안선 길이를 재려면 어떻게 해야 할까? 26 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 27 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 활동2 프로그램을 통한 프랙탈 구현 전개 프랙탈 프로그램을 통해 프랙탈을 구현하고 프랙탈의 자기닮음성을 직관 적으로 이해하도록 한다. - 프랙탈 프로그램 (Xaos) 을 통한 프랙탈 구현하기 - 프랙탈의 성질 : 자기닮음성(자기유사성) 이해하기 활동3 드래곤 커브(Curve) 만들기 드래곤 커브(Curve)를 만드는 활동을 통해 프랙탈이 가지는 자기닮음성 을 자연스럽게 익히도록 돕는다. - 드래곤 커브(Curve) 동영상 감상 (http://youtu.be/bdaowihk5cc) - 드래곤 커브(Curve) 제작 - 드래곤 커브(Curve) 속 프랙탈 관찰하기 정리 수업내용 정리 - 프랙탈의 개념 및 성질(자기 닮음성) 익히기 활동내용 평가 - 개별 및 모둠 활동내용을 평가한다. 차시 예고 - 프랙탈과 무한급수 (무한과 유한의 공존) 정직한 평가가 되도록 지도 내 안에 나있다 27
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 28 주제 개요 프랙탈이 가지고 있는 성질 중 하나인 어느 부분을 선택하여 확대를 해도 전체 모양과 같은 모양을 얻을 수 있는 자기 닮음성(Self-Similarity) 에 대하여 알아보자. 수업의 Tip 활동 1 의 동해과 서해의 해안선 모양 비교, 활동 2 의 프랙탈 프로그램을 통한 프랙탈 관찰을 통해 자기닮음 성을 직관적으로 이해하는 시간을 가진다. 활동 3을 통해 드래곤 커브(Curve) 속 자기닮음성(자기유사성)을 관 찰하고 수학적으로 이해하는 시간을 가진다. 활동1 동해와 서해의 해안선 비교 프랙탈의 의미와 어원 프랙탈이라는 말은 IBM의 Thomas J. Watson 연구센터에 근무했던 프랑스 수학자 만델브로트(Benoit B. mandelbrot) 박사가 1975년 쪼개다 라는 뜻을 가진 그리스어 프랙투스(fractus) 에서 따와 처음 만들 었다. 만델브로트 박사는 <the nature of geometry fractal>을 출판해 냈는데, 이 책에서는 영국의 해안선 길이가 얼마일까? 라는 물음을 던지고 있다. 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선 안에 굴곡진 해안선 이 계속됐고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌다. 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 프랙탈 이라고 부르기 시작했다.(출처 : 시사용어사전) 네이버 지도(map)의 인공위성 사진을 통한 프랙탈 구조 찾기 - http://map.naver.com/ 을 이용하여 동해와 서해의 해안선 모양을 비교하여 보자. 28 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 29 교사용수업안 - 확대에 따른 동해의 해안선 모습 관찰하기 - 확대에 따른 서해의 해안선 모습 관찰하기 내 안에 나있다 29
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 30 활동2 프로그램을 통한 프랙탈 구현하기 프랙탈 프로그램 실행하기 Xaos 프로그램을 다운받고 설치하기 http://sourceforge.net/projects/xaos/ Xaos fractal formulae에서 원하는 그림을 선택하기 마우스 왼쪽을 누르면 확대, 오른쪽을 누르면 축소가 된다. 확대와 축소를 번갈아가며 프 랙탈의 특징 찾아보기 - 전체와 부분이 같은 모양을 하고 있다는 자기닮음성 과 순환성 이라는 특징을 가지고 있다. 즉, 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 전체를 구성하게 된다. 30 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 31 활동3 드래곤 커브(Curve) 만들기 긴 종이를 3개 준비하여 오른쪽 면을 왼쪽으로 1번, 연속해서 2번, 연속해서 3번 접은 다음 펼쳐보자. 접 었다 편 종이에는 아래 그림과 같이 주름 잡힌 골과 마루가 나타나는데, 접은 종이를 폈을 때 앞에서 보아 튀 어나온 부분은 마루, 들어간 부분을 골이라고 하자. 마루 마루 마루 골 1번 접은 모습 2번 접은 모습 접었던 종이를 잘 펴서 접혔던 모든 주름이 직각을 이루도록 놓은 다음 단면만을 살펴보면 다음과 같이 나 타낼 수 있다. 1번 접은 모습 2번 접은 모습 3번 접은 모습 여기서 다시 위 2개의 그림을 서로 겹쳐놓아 보자. 종이의 각 면을 뒤로, 앞으로 번갈아 가며 접으며 마루 와 골을 삽입한 형태임을 알 수 있다. 실제로 2번째 그림을 90 회전한 후 1번째 그림에 덮어 놓고, 3번째 그 림을 2번째 그림에 덮어 놓으면 다음과 같음을 알 수 있다. 아래 그림에서는 덮어 놓은 그림을 점선으로 표 시하였다. 내 안에 나있다 31
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 32 위의 왼쪽 그림은 1번째 종이접기로부터 2번째 것을 얻는 과정이고 오른쪽 그림은 왼쪽 그림으로부터 얻 은 2번째 종이접기로부터 3번째 것을 얻는 과정이다. 종이의 맨 왼쪽 끝과 처음 나타나는 마루 사이에는 다 시 마루가 나타나고 마루와 마루 사이에는 골, 마루와 골 사이에는 마루, 골과 맨 오른쪽 끝 사이에는 골이 나타난다. 이는 다음과 같은 규칙이 있음을 알 수 있다. 1번 접은 경우 : 마루 2번 접은 경우 : 마루, 마루, 골 3번 접은 경우 : 마루, 마루, 골, 마루, 마루, 골, 골 4번 접은 경우 : 마루, 마루, 골, 마루, 마루, 골, 골, 마루, 마루, 마루, 골, 골, 마루, 골, 골 위에서 알 수 있듯이 2번 접은 경우는 가운데 마루를 중심으로 왼쪽에 1번 접었을 때의 모양이 나오고 오 른쪽에는 그와 반대인 골이 나온다. 3번 접은 경우는 가운데 마루(4번째에 위치한 마루)를 중심으로 왼쪽에 는 2번째 접었을 때 나타나는 모양이고 오른쪽에는 그와 반대 모양이 나타난다. 4번째 접었을 경우는 가운데 마루(8번째에 위치한 마루)를 중심으로 왼쪽에는 3번 접었을 때 나타나는 모양이고 오른쪽은 그와 반대 모 양이 나타난다. 이와 같은 방법으로 4번 접은 경우와 5번 접은 경우를 그려보면 다음과 같음을 알 수 있다. 32 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 33 1번 접은 경우 1번 vs 2번 접은 경우 비교 2번 vs 3번 접은 경우 비교 3번 vs 4번 접은 경우 비교 4번 vs 5번 접은 경우 비교 내 안에 나있다 33
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 34 활동지1 동해와 서해의 해안선 비교 1. 네이버 지도 (http://map.naver.com) 를 이용하여 동해와 서해의 해안선 모양을 비교하여 보자. - 확대에 따른 동해의 해안선 모습 관찰하기 - 확대에 따른 서해의 해안선 모습 관찰하기 - 동해와 서해의 해안선은 어떤 특징을 갖고 있는가? - 서해의 해안선의 길이는 어떻게 잴 수 있을까? 34 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 35 활동지2 프로그램으로 프랙탈 구현하기 1. Xaos 프로그램을 다운받아 프랙탈을 구현하여 보자. Xaos 프로그램을 다운받고 설치하기 http://sourceforge.net/projects/xaos/ 2. 위에서 구현한 여러 가지 프랙탈 중 하나를 선택하여 한 부분을 계속하여 확대 및 축소하면서 화면에 나 타나는 모양을 아래에 그려보자. (예) 프랙탈은 어떤 특징을 가진다고 할 수 있는가? 내 안에 나있다 35
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 36 활동지3 드래곤 커브(Curve) 만들기 1단계 긴 종이를 5개 준비하자. 2단계 오른쪽 끝에서 왼쪽 끝이 겹치도록 잡은 다음, 연속해서 1번~5번 접자. 3단계 접은 종이를 수직이 되도록 펼친 후, 1번 접은 것과 2번 접은 것을 비교하여 보자. 4단계 접은 종이를 수직이 되도록 펼친 후, 2번 접은 것과 3번 접은 것을 비교하여 보자. 1. 마루와 골을 다음과 같이 정의한다고 할 때, 종이를 접은 횟수에 따라 마루와 골의 순서를 적어보자. 골 1번 접었을 때 2번 접었을 때 마루 마루 3번 접었을 때 4번 접었을 때 2. 계속해서 반복하여 접었다가 펼친 후, 전체와 부분이 어떻게 이루어져 있는지 관찰하여보자. 36 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 37 참고문헌 1. 2011년 공주국제미술제 미디어 아트 2. 박경미 저(2006), 수학콘서트 3. 이광연 저(2008), 수학블로그 4. 이광연 저(2011), 오늘의 수학 5. http://a308501.blog.me/10102328199 6. http://ting2.kr/zbxe/2489 7. http://www.kangwon.ac.kr/~sericc/sci_lab/algorithm/dragon_curve/ dragon_curve.html 내 안에 나있다 37
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 38 평가 계획 평가 목표 프랙탈의 성질 중 전체와 부분이 무한 반복되는 자기닮음성을 이해할 수 있다. 평가 영역 평가영역 평가기준 방법 매우 잘함 평가척도 잘함 보통 미흡 매우 미흡 교과학습 프랙탈의 성질(자기닮음성)을 잘 이해하였는가? 학습활동에 적극적으로 참여하였는가? 학습지 활동 S 프랙탈의 성질을 이해하였나? 중점 STEAM 융합요소 M T A 프랙탈의 특징이 나타나도록 드래곤 커브 (Curve)를 제작하였는가? 활동 교사 종합 의견 평가 중점 사항 프로그램과 드래곤 커브 제작을 통하여 프랙탈의 성질인 자기닮음성 을 잘 이해하였는가에 중점 을 두고 평가한다. 38 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 39 3/5차시 S T E A M 프랙탈! 넌 누구?
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 40 주제 프랙탈! 넌 누구? (3/5차시) 관련단원 도형의 성질, 도형의 닮음 학습주제 무한과 유한이 공존하는 프랙탈의 성질 이해 학습목표 코흐 곡선을 통하여 무한과 유한이 공존하는 프랙탈의 성질을 이해할 수 있다. 학습자료 교사자료 : PPT자료 학생자료 : 활동지 학습집단조직 S T E A M 학습집단조직 개별 또는 조별 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 출석 점검 - 인사 및 분위기 조성 도입 전시 학습 확인 - 프랙탈의 개념과 성질(자기닮음성) 이해 본시 학습 목표 안내 - 코흐곡선과 시에르핀스키 삼각형 관찰을 통하여 무한과 유한이 공존하는 프랙탈의 성질을 이해할 수 있다. 학습목표를 완전히 숙지하도록 함 전개 활동1 코흐곡선 탐구 4D 프레임을 통하여 코흐곡선을 만들고, 이것이 반복된다고 할 때 규칙 성에 의하여 길이가 어떻게 되는지 알아본다. - 코흐 곡선 만들기 - 코흐 곡선의 길이 구하기 무한급수는 고등학교에서 다루어지 므로, 단순히 규칙성만 을 이용하여 길이가 무 한대가 된다는 것을 지 도한다. 40 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 41 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 활동2 시에르핀스키 삼각형 탐구 전개 마분지를 활용하여 시에르핀스키 삼각형을 만들어보고, 반복되는 규칙성 에 의하여 넓이가 어떻게 되는지 알아본다. - 시에르핀스키 삼각형 만들기 - 시에르핀스키 삼각형의 둘레 길이와 넓이 합 구하기 활동3 시에르핀스키 삼각형 탐구 4D 프레임을 통하여 시에르핀스키 삼각형을 만들어보고, 반복되는 규칙 성에 의하여 부피가 어떻게 되는지 알아본다. - 4D 프레임을 활용하여 시에르핀스키 삼각형 만들기 - 시에르핀스키 삼각형을 이루는 정사면체의 넓이와 부피 합 구하기 정리 수업내용 정리 - 프랙탈의 성질 중 무한과 유한의 공존성 알기 활동내용 평가 - 개별 혹은 모둠별 활동내용을 평가한다. 차시 예고 - 프랙탈 음악 정직한 평가가 되도록 지도 내 안에 나있다 41
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 42 주제 개요 프랙탈의 한 예인 코흐 곡선은 자기 스스로를 닮아가는 방향으로 계속하여 뻗어나가 무한하게 분열 하지만 그 길이의 합은 유한한 길이의 값을 가진다. 비록 그 첫인상이 무한과 불규칙성으로 점철돼 보 이기는 하지만 조금만 더 관심을 가지고 찬찬히 관찰하면 그 안에 내재되어 있는 일정한 규칙과 질서 를 발견하게 되는 프랙탈의 무한과 유한의 공존성에 대하여 알아보자. 수업의 Tip 활동 1, 2, 3은 프랙탈의 대표적 예인 코흐 곡선, 시에르핀스키 삼각형을 통해 프랙탈이 가지고 있는 무한과 유한의 공존에 대하여 알아보는 활동으로 한 수업시간 내 3가지를 모두 진행하기 어렵기 때문에 한 가지 활동을 선택하여 운영할 것을 권장한다. 활동1 코흐 곡선 탐구 코흐 곡선 - 코흐 곡선 은 1904년에 스웨덴의 수학자인 코흐(Koch, 1870~1924)가 1904년에 고안한 가장 대표적 인 프랙탈(fractal) 곡선 중의 하나이다. 코흐 곡선을 그리는 방법은 다음과 같다. <코흐 곡선을 그리는 방법> 1 먼저 한 개의 선분을 그려 3등분하고, 가운데의 부분을 삭제한 다음 삭제한 부분에 길이가 같은 두 변을 정삼각형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 21의 과정을 계속 반복한다. 42 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 43 <코흐 눈송이를 그리는 방법> 코흐 눈송이 도 정삼각형에서부터 출발하여 앞 페이지와 같은 방법으로 그릴 수 있다. 코흐 눈송이는 눈송 이 곡선이라고도 하는데 그리는 방법은 다음과 같다. 1 먼저 정삼각형을 그린다. 2 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의 부분을 삭제하고, 삭제한 부분에 길이가 같은 두 변을 정삼각 형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 32의 과정을 계속 반복한다. 활동2 시에르핀스키 삼각형 시에르핀스키 삼각형 시에르핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)은 바츨라프 시에르핀스키의 이름이 붙은 프랙탈 도형이다. < 시에르핀스키 삼각형 만드는 방법 > 1 정삼각형 하나에서 시작한다. 2 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다. 이 작은 정삼각형을 제거한다. 3 남은 정삼각형들에 대해서도 2의 과정을 반복 실행한다. 43의 과정을 무한히 반복한다. 내 안에 나있다 43
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 44 활동지1 코흐곡선 탐구 1. 4D 프레임을 이용하여 코흐 곡선을 만들어보자. 준비물 : 4D 프레임 18cm, 연결봉(6발), 가위, 자 1 재료 준비 2 양 끝에서 지점을 자르고, 남은 길이와 같은 길이를 같도록 삼각 형의 두 변을 만든다 3 2와 같은 과정을 반복한다. 2. 길이가 1인 선분을 이용하여 코흐 곡선을 만든다고 할 때, 각 단계별로 곡선의 길이를 구하여보자. 1단계 2단계 3단계 4단계 3. 이와 같은 과정을 반복한다면 나타나는 곡선의 길이는 어떻게 될까? 44 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 45 활동지2 시에르핀스키 삼각형 탐구 1. 마분지를 이용하여 시에르 핀스키 삼각형을 만들어보자. 준비물 : 마분지, 칼, 30cm 자, 테이프 1 재료 준비 2 한 변의 길이를 20cm 로 하는 정삼각형을 만든다. 3 정삼각형의 중점을 기 준으로 잘라 가운데 삼 각형을 오려낸다. 4 3과 같은 과정을 반복 한다. 2. 길이가 1인 선분을 이용하여 시에르핀스키 삼각형을 만든다고 할 때, 각 단계별로 곡선의 길이와 넓이를 구하여 보자. 1단계 2단계 3단계 삼각형 둘레 길이의 합 삼각형 넓이의 합 3. 이와 같은 과정을 반복한다면 삼각형의 둘레와 넓이는 어떻게 될까? 프랙탈의 성질을 정리하여 보자. 내 안에 나있다 45
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 46 활동지3 시에르핀스키 삼각형 탐구 1. 4D 프레임을 이용하여 시에르핀스키 삼각형을 만들어보자. 준비물 : 4D 프레임, 칼, 가위, 30cm 자 1 재료 준비 2 한 변의 길이를 20cm 로 하는 정사면체를 만든다. 3 정사면체 한 변의 길이 를 이등분하여 4개의 작 은 정사면체를 만든다. 4 3과 같은 과정을 반복 한다. 2. 길이가 1인 선분을 이용하여 시에르핀스키 삼각형을 만든다고 할 때, 각 단계별로 정사면체의 넓이와 부 피를 구하여보자. 1단계 2단계 3단계 정사면체 넓이의 합 정사면체 부피의 합 3. 이와 같은 과정을 반복한다면 정사면체의 넓이와 부피는 어떻게 될까? 프랙탈의 성질을 정리하여 보자. 46 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 47 참고문헌 1. 만델브로트가 들려주는 프랙탈이야기 (주)자음과 모음 2. http://newdle.noonnoppi.com/xmlview.aspx?xmldid=105455 내 안에 나있다 47
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 48 평가 계획 평가 목표 무한과 유한이 공존하는 프랙탈의 성질을 이해할 수 있다. 평가 영역 평가영역 평가기준 방법 매우 잘함 평가척도 잘함 보통 미흡 매우 미흡 교과학습 프랙탈의 성질을 잘 이해하였나? 학습활동에 적극적으로 참여하였나? 학습지 활동 S 프랙탈의 성질을 이해하였나? 중점 STEAM 융합요소 A T 코흐곡선과 시에르핀스키 삼각형을 프랙 탈의 성질이 나타나도록 잘 제작하였나? 활동 및 학습지 M 무한과 유한의 공존성에 대하여 잘 이해하 였나? 교사 종합 의견 평가 중점 사항 코흐곡선과 시에르핀스키 삼각형을 통하여 무한과 유한이 공존하는 프랙탈의 성질을 잘 이해하 였는지에 중점을 두고 평가한다. 48 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 49 4/5차시 S T E A M 프랙탈 음악
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 50 주제 프랙탈 음악 (4/5차시) 관련단원 파장 학습주제 프랙탈 음악 분석하기 학습목표 음악속에 숨어있는 프랙탈을 발견할 수 있다. 학습자료 교사자료 : 음악 분석 프로그램, 음원, PPT자료 학생자료 : 활동지 STEAM 요소 S T E A M 수업모형 순환학습 모형 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 출석 점검 - 인사 및 분위기 조성 전시 학습 확인 - 프랙탈 성질 이해하기 도입 음악 감상 : 음악의 일부를 들려주고 어느 음악이 가장 안정적인지에 대해 질문한다. - 가요(강남 스타일) - 클래식 - 헤비메탈 - 동요 본시 학습 목표 안내 학습 목표 - 음악 속에 숨겨져 있는 프랙탈을 찾아본다. 학습목표를 완전히 숙지하도록 함 전개 활동1 음악 분석 프로그램 알아보기 음악을 분석할 수 있는 프로그램의 종류와 사용법에 대해 알아보기 - 음악 분석 프로그램 종류 알아보기 - 프로그램 다운 받기 - 프로그램 활용하기 활동 1,2는 반드시 수 행하고 활동3은 선택적 으로 수행한다. 50 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 51 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 활동2 다양한 음악 속 프랙탈 찾기 전개 다양한 장르의 음악을 프로그램을 통해 분석하고 프랙탈 구조를 찾아 보기 - 다양한 음악 분석하기 - 음악 속 프랙탈 찾기 - 프로그램 활용하기 활동3 음악에 따른 콩나물 성장 실험해보기 각각의 음악들이 콩나물 성장에 어떤 영향을 미치는지에 대해 실험을 통해 알아보기 - 다양한 실험 조건 설계하기 - 콩나물 성장 실험하기 - 콩나물 성장과 음악과의 관계 분석하기 정리 수업내용 정리 - 음악 속에 프랙탈 찾기와 콩나물 성장과의 관계를 알 수 있다. 활동내용 평가 - 모둠별 혹은 개별 활동내용을 평가한다. 차시 예고 - 프랙탈을 이용한 카드 만들기 정직한 평가가 되도록 지도 내 안에 나있다 51
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:55 페이지 52 주제 개요 프랙탈 구조는 수학 뿐만 아니라 자연속에서도 쉽게 발견할 수 있다. 눈에 보이는 자연물 이외에도 소리로 듣는 음악에도 이런 프랙탈 구조를 발견할 수 있는데, 우리 주변속 다양한 곳에 프랙탈이 숨어 있음을 알아본다. 이 프로그램을 통해 우리의 일상 곳곳에 존재하는 프랙탈, 특히 음악 속에서 발견할 수 있는 프랙탈에 대하여 알아보고, 나아가 프랙탈 음악이 생물에 어떤 영향을 미치는지에 대해 알아 볼 수 있다. 수업의 Tip 수업은 음악분석 프로그램의 활용을 통해 학생들이 스스로 프랙탈에 대해 알 수 있도록 3가지 활동으로 구성 된다. 활동1을 통해 음악분석 프로그램 사용법에 대해 알아보고, 활동2에서는 실제로 분석을 해보고 프랙탈을 찾아본다. 활동3은 선택해서 할 수도 있고, 시간 관계상 생략 할 수도 있다. 활동1과 활동2는 웹환경이 조성된 공간에서 가능하다. 활동1 음악 분석 프로그램 알아보기 사이언스 큐브를 이용한 분석 1) Wavepad 포털사이트(Daum, Naver 등)에서 wavepad를 검색하면 최신버전을 받을 수 있다. 이 프로그램은 컴퓨 터에서 발생하는 소리를 모두 녹음할 수 있는 기능을 가지고 있고, 원하는대로 음원을 손쉽게 편집할 수 있 다. 컴퓨터에 마이크를 연결하고, 활성화시킨 후 이 프로그램을 이용해서 도플러효과 실험장치를 돌리면서 발생하는 소리를 녹음할 수 있다. 녹음을 해보면 일정한 주기로 소리의 파형이 나타나는데, 소리가 너무 작 으면 분석을 원하는 영역을 Drag한 다음, 메뉴의 [effects]-[amplify]를 하여 400%로 소리의 크기를 증폭 할 수 있다. 이 기능을 2~4회 반복하면 소리 크기를 충분히 증폭시킬 수 있다. 이렇게 증폭된 소리를 [복사 하기]기능을 사용하여 복사한 후, 메뉴의 [files]-[new files]를 눌러 새로운 창을 열어 [붙여넣기]를 하고, 확장자.wav로 저장하면 Sori 1.0 프로그램에서 불러올 수 있기 때문에 분석하기가 쉽게 된다. 2) Sori 1.0 http://www.sciencecube.co.kr 의 [고객지원]-[다운로드]에 가서 sori 1.0프로그램을 다운로드 받아 압 축을 푼 후, setup.exe를 실행시켜서 컴퓨터에 설치하면 된다. sori 프로그램을 실행시키면 다음과 같은 창 이 나타난다. 52 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 53 여기를 누르면 저장된 파일을 불러와서 분석 하는 새로운 창이 뜹니다. 이곳을 누르면 **.wav파일을 불러올 수 있습 니다. 골드웨이브 프로그램 골드웨이브 프로그램은 포털 사이트에서 골드웨이브라고 검색하면 무료로 다운받을 수 있다. 내 안에 나있다 53
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 54 활동2 프로그램 활용하기 1. 골드웨이브로 음악 분석하기 1.http://file.naver.com/pc/view.html?fnum =264977&cat=41 에서 다운로드한다. 2. 음악을 불러온다. 3. 오른쪽 위 in 확대버튼 으로 확대한다. 4. 음파가 선으로 나타날 때 까지 확대시킨다. 2. 다양한 음악 분석에서 프랙탈 찾기 분석된 음파 중에서 주기적인 부분(프랙탈)이 있는지 관찰한다. 54 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 55 활동3 음악에 따른 콩나물 성장 실험 1. 식물의 성장에 좋은 영향을 미치는 종류의 음악 가. 소닉블룸 미국에서 제작한 소닉 블룸(Sonic Bloom)이라는 음악은 식물 성장을 더 빠르게 한다는 이유로 30여국 에 특허출원되었고 15개국에서는 이미 사용 중이라고까지 한다. 나. Green music 우리나라에서 개발한 Green music은 명랑한 동요풍의 음악에 자연에서 녹취한 휘파람새, 종달새 등의 새소리와 물소리, 바람소리 등 숲을 연상케하는 소리들로 구성되어 있으며 음역은 2000Hz로 분포되어 있다. 이 Green Music이 개발되어 뽕나무, 해바라기, 당근 등에서 식물성장을 빠르게 한 효과를 보았다는 연 구결과가 있다. 내 안에 나있다 55
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 56 활동지1 음악 분석 프로그램 1. 골드웨이브 프로그램 기초 골드웨이브 버전은 5.08 한글판이다. 1. 골드웨이브 5.08 초기 화면 2. 파일 열기로 원하는 음악파일을 선택 3. 음악파일을 열면 새로운 창이 생성 컨트롤에 있는 기능 녹색 재생버튼 : 음악을 한번 재생 노란색 재생버튼 : 음악을 반복해서 계속 재생 파란색 되감기 : 되감기 기능 파란색 빨리감기 : 빨리 감기 기능 빨간색 동그란 녹음 버튼 : 녹음 기능 우측 맨 위 스크룰 막대 : 볼륨 조정 우측 두번째 스크룰 막대 : 스피커의 좌우 비율 을 설정 우측 세번째 스크룰 막대 : 음악파일 재생속도 를 조정 56 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 57 2. 골드웨이브 활용하기 1. 파일의 필요 없는 부분 삭제하기 가. 자신이 자르고 싶은 부분을 마우스로 체크 가장 왼쪽과 가장 오른쪽 줄을 마우스로 드 래그 나. 편집 - 잘라내기 버튼을 누름. 밝은 바탕이 되는 부분이 잘리는 부분 잘못 잘라내었을 경우에는 Undo 버튼 클릭 2. 음악 파일 여러 개를 하나로... 가. 합칠 음악 파일 여러 개를 클릭 나. 전체 옮기기 한 파일 전체 음악을 다른 파일로 옮기려면 왼쪽과 오른쪽 줄을 건드리지 말고 복사 후 붙여넣기 클릭 다. 부분 옮기기 가장 왼쪽과 가장 오른쪽 줄을 마우스로 드래 그해서 설정한 다음 복사 후 붙여넣기 클릭 내 안에 나있다 57
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 58 활동지2 프로그램 활용하기 1. 음악 장르별 음파 분석하기 가. 자신이 선택한 클래식, 헤비메탈, 가요(강남 스타일), 전자음악에서 매 10단위로 1초간을 선택한다. 나. 각 음파 분석 결과를 바탕으로 주기적인 프랙탈 모양의 음파의 유무를 찾는다. 가) 클래식 10초 경과 20초 경과 30초 경과 40초 경과 나) 헤비메탈 10초 경과 20초 경과 30초 경과 40초 경과 58 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 59 다) 가요 10초 경과 20초 경과 30초 경과 40초 경과 라) 전자음악 10초 경과 20초 경과 30초 경과 40초 경과 내 안에 나있다 59
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 60 활동지3 콩나물 성장 실험 1. 준비물 쥐눈이콩(약콩), 스티로폼 상자, 온도계, 면솜, 페트병, 물, 휴대폰, 스피커, 자, 음악 프로그램(클래식:비 발디 사계 중 봄, 헤비메탈, 가요:강남스타일, 전자음악) 2. 콩나물 성장 실험 방법 1 페트병을 반으로 잘라 물에 충분히 적신 솜을 깐다. 2 약 100g 정도의 콩을 젖은 솜 위에 올려 불린다. 3 페트병을 스티로폼 상자에 넣는다.(이 때, 스티로폼에 구멍을 뚫는다.) 4 스티로폼 상자에 스피커를 설치한다.(단, 스피커를 넣고 도선을 구멍으로 빼낸다.) 5 서로 다른 종류의 음악을 하루에 8시간 들려주며 콩나물의 발아 개수와 싹이 튼 뒤, 줄기의 길이를 잰 다. 6 음악의 종류에 따라 줄기의 길이가 어떻게 차이 나는지 확인한다. 3. 결과 가. 콩나물 씨앗 발아 개수와 성장 상태를 아래 표1과 2에서 완성시켜 보자. Table1. 콩나물 발아 실험결과 시간경과(일) 1일차 2일차 3일차 4일차 5일차 가요 헤비메탈 클래식 전자음악 대조군 Table2. 콩나물 성장 실험결과 시간경과(일) 1일차 2일차 3일차 4일차 5일차 가요 헤비메탈 클래식 전자음악 대조군 60 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 61 나. 각각의 실험 결과를 꺽은선 그래프로 나타내보자. <그래프 예시> 18 16 14 12 10 8 6 4 가요 헤비메탈 클래식 전자음악 대조군 2 0 0 1일차 2일차 3일차 4일차 5일차 그림1. 콩나물 성장 실험 결과 4. 결론 <예시> 콩나물의 성장비교 결과 클래식, 가요, 대조군, 전자음악, 헤비메탈 순으로 성장을 잘 하였다. 음악을 들려주지 않은 대조군보다 잘 자란 것은 클래식을 들려주었을 때 인데 이는 각자의 집에서 콩나물을 키우다보니 온도, 수분 등의 다른 요인들을 통제 해주지 못했기 때문으로 판단된다. 내 안에 나있다 61
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 62 읽을거리 프랙탈 음악 Richard F.Voss와 John Clarke가 물질직인 소리 신호에 대한 수학연구를 하였다. 그들은 연구에서 파워 스팩트럼(노이즈) 중에서 주파수 변화량 f에 따라 1/f 특성을 가진 pink noise가 규칙적이면서도 불규칙적 인 자연현상과 유사한 형태를 가짐을 발견하였다. 그래서 1/f 패턴을 갖는 음악을 프랙탈 음악이라 한다. Voss와 Clarke는 pink noise (프랙탈 음악)이 적절한 보통의 음악이 될 수 있다고 보았다. 프랙탈 음악도 자연에서의 프랙탈처럼 전체 구조와 유사한 작은 구조가, 전체 안에서 반복되는 특징을 갖고 있다. 프랙탈적 인 공간 채움과 조화로운 음 연결도 프랙탈 음악의 특성이다. 프랙탈 음악에는 바하가 작곡한 클래식부터, 컴퓨터로 작곡한 현대 음악 등이 있다. 참고문헌 1. 모음과 자음(2008). 프랙탈 이야기 2. 이준구. 1996.Green music이 미나리(Oenanthe stolinifera DC)의 생육에 미치는 영향.서울 대학교 농업생명과학대학 학사논문. 3. 이완주. 1995.동식물 생육시키는 그린 음악 연구와 지도 제 36권 제 1 호 4. 이완주외 1996. 음악에 의한 식물생육 촉진 및 성분함량의 변화. 제 5회 한국 정신과학 학술대회 논문집 5. 박동녘, 전우주. 프랙탈 구조의 자연을 통한 음악의 작곡과 지역민요의 비밀, 제54회 과학전람회 논문 62 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 63 평가 계획 평가 목표 프랙탈 음악 분석 및 제작 평가 영역 평가영역 평가기준 방법 매우 잘함 평가척도 잘함 보통 미흡 매우 미흡 교과학습 프랙탈 음악을 잘 이해하였는가? 프랙탈 음악을 잘 구현하였는가? 학습지 활동 T 중점 STEAM 융합요소 E 프랙탈 음악을 분석하고, 제작하였는가? 활동 M 프랙탈 음악을 잘 이해하였는가? 교사 종합 의견 평가 중점 사항 프랙탈과 음악의 관계를 알고 이를 활용하여 잘 제작하였는지에 대하여 중점을 두고 평가한다. 내 안에 나있다 63
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 64
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 65 5/5차시 S T E A M 프랙탈 디자인
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 66 주제 생활 속의 프랙탈 미술(5/5차시) 관련단원 프랙탈과 디자인 학습주제 생활 속의 프랙탈 미술 학습목표 프랙탈 카드 디자인을 통해 수학의 원리를 적용한 프랙탈 미술을 체험하고 생활 속 에서 다양하게 활용할 방법을 생각해 낼 수 있다. 학습자료 교사자료 : GSP자료 학생자료 : 활동지, 모눈종이(A4크기), 색 켄트지 2장(A4크기), 자, 칼, 가위, 풀, 채색도구, 기타 장식재료 STEAM 요소 S T E A M 학습집단조직 개인 또는 모둠별 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 도입 출석 점검 및 전시 학습 확인 - 인사, 출석 체크 - 프랙탈 음악 1곡 감상 http://www.youtube.com/watch?v=j9kcnabqygg&feature=endscreen&nr=1 유튜브 동영상 제목 : Melodic Fractal Music (2:00/3:37에서 볼륨을 줄이고 프랙탈 음악의 특징에 대해 질문하고 학생 은 전시 활동을 통해 이해하고 습득한 내용을 토대로 대답) - 프랙탈 음악을 들으며 프랙탈 음악이 가지는 특징을 확인하고 프랙탈의 개념과 원리가 또 다른 예술 영역에 적용된 경우를 소개한다. (1차시 학습 내용 중 프랙탈과 예술 부분을 간단하게 복습하여 내용을 상기시킨다.) pop-up카드디자인에 프랙탈 도형을 적용하여 수학이 숨어있는 미술 작 품 만들기 에 대한 흥미 유발하기 - pop-up 카드가 무엇인지 간단히 소개한다. (활동2 팝업카드의 정의 / 팝업카드 사진 또는 실물 소개/동영상 이용) http://www.youtube.com/watch?v=yuqsxfhbgzw&feature=rela ted 유튜브 동영상 제목 : Six Amazing Pop-up Paper Sculptures 동영상 자료 동영상 자료 본시 학습 목표 안내 - 프랙탈 도형을 사용하여 팝업 장치로 프랙탈 입체카드를 만들 수 있다. - 프랙탈 카드 디자인을 통해 프랙탈 미술을 체험하고 생활 속에서 다양하 게 활용할 방법을 생각해 낼 수 있다. 66 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 67 단계 교수 학습 활동 자료 및 유의점 활동1 프랙탈 도형의 종류를 알아보고 용도에 따른 카드 디자 인의 모티브 찾기 ppt자료를 통해 여러 가지 프랙탈 도형을 보고 pop-up 카드의 용도를 결정한 후 카드디자인의 모티브를 찾아 모눈종이에 그려둔다. - 프랙탈 도형에 대한 이해 정도를 확인한다. - pop-up 카드의 용도를 결정한다.(크리스마스/생일/어버이날 등) - 프랙탈 도형의 종류를 알아보고 카드의 용도에 맞추어 디자인에 적용시 킬 프랙탈 도형의 모티브를 결정해 모눈종이에 그리고 활동지에 기록한 다. (기록은 활동지2 이용) ex) 용도: 크리스마스 카드/도형: 코흐 눈송이, 시에르핀스키 삼각형 코흐 눈송이 전개 시에르핀스키 삼각형 활동2 pop-up 카드 디자인 아이디어스케치 및 재료 선택 pop-up카드가 무엇인지를 좀 더 구체적으로 알아보고 용도에 알맞게 선 택한 도형과 재료를 감안해 활동지에 아이디어스케치를 한다. - 카드 겉지와 속지의 색상을 결정한다. - 활동지에 완성예상도를 스케치하고 채색 계획이나 장식계획을 함께 기 록해 둔다. 활동3 아이디어스케치를 토대로 한 pop-up 카드 제작 아이디어스케치에 따라 선택한 재료로 입체 카드를 만들고 용도에 따라 장식한다. - 겉지와 속지를 붙인 후 용도에 따라 다양한 재료로 장식하여 완성도를 높 인다. 정리 활동내용 평가 - 완성된 작품 콘테스트 (우수작품 선정해 시상 가능) 수업내용 정리 - 프랙탈 기하학의 도형을 이용하여 아름다운 입체카드를 용도에 맞게 디 자인할 수 있다. - pop-up 카드 제작은 수학과 기술, 과학적 사고가 동시에 필요한 시각디 자인 활동이므로 활동2의 자료(도전과제)를 제시하고 심화 작품에 도전 할 수 있도록 지도한다. 차시 예고(다음 단원) 정직한 평가가 되도록 지도 활동3의 사진자료 내 안에 나있다 67
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 68 주제 개요 자기 닮음성을 가지는 프랙탈의 원리가 적용된 미술 작품을 만들어 본다. 전체와 부분이 닮아 있을 수 있도록 창의적으로 설계하고 제작하여 보자. 활동1 프랙탈 도형의 종류를 알아보고 카드 용도에 알맞은 모티브 고르기 팝업 카드의 용도를 결정해 여러 가지 프랙탈 도형 중에서 카드장식 문양으로 알맞은 모티브를 찾아서 모 눈종이 위에 그린다. 1. 프랙탈 도형의 종류 알아보기 코흐 곡선 (Koch Curve) 코흐 눈송이 (Koch Snowflake) 꽃양배추(모란채) 칸토르 먼지 (Cantor Dust) 68 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 69 시어핀스키 삼각형 (Sierpinski Gasket) 피타고라스 나무 (Pythagoras Tree) 하터-하이트웨이 드래건 (Harter-Heightway dragon) 뒤러의 오각형 (Durer pentagon) 페아노곡선 (Peano curve) 내 안에 나있다 69
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 70 파스칼 삼각형 (pascal triangle) 시어핀스키 피라미드 (시어핀스키 사면체) 시어핀스키 양탄자 (Sierpinski Carpet) 만델브로트 집합 (mandelbrot set) 70 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 71 활동2 프랙탈 pop-up 카드 디자인 아이디어스케치 팝업 카드가 무엇인지 알아보고, 프랙탈 도형을 이용한 팝업카드를 구상해 아이디어 스케치를 한다. 팝업 카드(pop-up card)란? 1. 팝업 카드(pop-up card)의 정의 팝업 카드는 카드를 가로 혹은 세로로 펼쳤을 때 안쪽에서 모티브가 튀어나와 삼차원의 형태가 되는 것을 말한다. 평면 상태의 카드를 펼치면 거대한 성이 솟아오르기도 하고 한 송이의 꽃이 피어오르기도 한다. 그 러나 닫으면 평평한 카드의 모습으로 다시 돌아간다. 이것이 바로 팝업 카드이다. 삼차원의 형태를 다시 평 평하게 집어넣을 수 없다면 하나의 입체 조형물이 되겠지만, 팝업 카드는 펼치면 삼차원, 닫으면 2차원의 평 면으로 돌아가는 변형을 특징으로 하는 특별한 조형의 영역이다. 2. 팝업 카드의 예 사진출처 http://www.moddidaypeople.com/easy_cut_pop_up 3. POP-UP 카드 도전 과제 내 안에 나있다 71
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 72 활동3 아이디어 스케치를 통한 나만의 프랙탈 POP-UP카드 제작 아이디어 스케치를 통해 용도에 알맞은 프랙탈 팝업카드를 제작한다. 프랙탈 도형을 이용한 팝업 카드 제작 사례 <시어핀스키 삼각형과 코흐 눈송이로 만든 크리스마스 카드> - 프랙탈은 자기 닮음의 성질을 가진 기하학이다. - 프랙탈 카드의 핵심은 같은 과정을 원하는 만큼 계속 반복하는 것이다. 1. 프랙탈 POP-UP 카드의 용도 : 2012년도 크리스마스 카드 2. 프랙탈 POP-UP 카드에 이용할 도형 (모눈종이에 그려봄) 코흐 눈송이 시에르핀스키 삼각형 3. 준비물 : 청록색 켄트지(16절지 2장), 빨간색 한지(16절지 1장), 자, 칼, 가위, 풀, 채색 도구, 장식 재 료 4. 제작 방법 1) 카드 속지와 겉지를 같은 크기로 자른다. 2) 카드 속지를 아래 단계로 만든다. 1 종이를반으로 접 은 후 접은 선(밑변) 의 중심에서부터 전 체 높이의 반을 잘 라 왼쪽을 접어올린 다. 2 1의 왼쪽 부분 을 펴 서 다 시 안 쪽 으로 접어 올리고 높이의 반을 자른 다. 다른 한쪽도 같 은 길이로 자른다. 3 각각의 왼쪽부분 을 접어 올린다. 4 3의 왼쪽부분 들을 펴서 다시 안 쪽으로접어 올리고, 각 부분의 중심에서 높이의 반을 자른다. 5 같은 과정을 반 복하여 펼치고 또 다른 플랙탈 도형으 로 1차 장식하여 프 랙탈 카드를 만든 다. 3) 속지에 채색을 하거나 여러 가지 재료로 장식을 한다. 4) 겉지에 속지를 붙여 완성한다 72 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 73 활동지1 프랙탈 도형의 종류를 알아보고 카드의 용도에 알맞은 모티브 그리기 pop-up 카드의 용도를 결정한 후 여러 가지 프랙탈 도형 가운데 자신의 카드디자인에 사용할 모 티브를 찾아 모눈종이에 그려봅시다. 프랙탈 pop-up카드 모티브 그리기 내 안에 나있다 73
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 74 활동지2 프랙탈 pop-up 카드 디자인 아이디어 스케치 활동1, 2,의 결과를 기록하고 아이디어 스케치는 완성 예상도 형식으로 작성해 봅시다. 프랙탈 pop-up 카드 디자인 아이디어 스케치 중학교 학년 ( )반 ( ) 카드 용도 크리스마스카드 프랙탈 도형 시어핀스키 삼각형, 코흐 눈송이 카드 장식 계획 1. 코흐 눈송이 2단계 도형을 모눈종이에 그리고 금색으로 칠해 잘라 트리의 윗부분 을 장식한다. 2. 코흐 눈송이 2단계 도형을 모눈종이에 그리고 흰색으로 칠해 카드의 배경을 장식 한다. 3. 금속 스펑클을 트리의 여기저기에 장식한다. 아이디어 스케치 ( 완성 예상도 형식으로 색채 및 장식 계획 포함) 74 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 75 활동지3 아이디어 스케치를 통한 나만의 프랙탈 POP-UP카드 제작 1. 아이디어 스케치를 바탕으로 플랙탈 도형을 이용해 채색 또는 장식하여 마무리한 프랙탈 POP-UP카드 를 사진으로 남기고 작품 제목과 제작 소감을 써 봅시다. 나만의 프랙탈 POP-UP카드 중학교 학년 ( )반 ( ) 카드 용도 프랙탈 POP-UP크리스마스 카드 작품 사진 제작 소감 내 안에 나있다 75
01중등스팀 내안에나있다0108 13. 02. 04 오전 10:56 페이지 76 평가 계획 평가 목표 - 자기닮음성을 가지는 프랙탈의 원리를 적용하여 창의적인 디자인 작품을 제작할 수 있다. 평가 영역 평가영역 평가기준 방법 매우 잘함 평가척도 잘함 보통 미흡 매우 미흡 교과학습 프랙탈의 원리를 이해하고 사용하였는가? 적극적으로 활동에 참여하는가? 학습지 작품제작 S 프랙탈의 원리를 이해하고 있는가? 중점 STEAM 융합요소 A T 자신만의 아이디어가 잘 표현되었는가? 정교한 작업을 위한 효율적인 방법을 사용 하였는가? 산출물 M 프랙탈 도형이 효과적으로 사용되었는가? 교사 종합 의견 평가 중점 사항 프랙탈의 원리를 잘 이해하고 선택한 도형을 활용하여 독창적인 표현을 통해 수학의 원리를 미술 작품에 제대로 이용하였는지 중점을 두고 평가한다. 76 2012년 융합인재교육(STEAM) 교수-학습자료