Cla 33: 다양한기둥의오일러공식및시컨트공식 강의목표 1. Euler 의공식유도. 다른지지에따른기둥의거동 13.3 다양한지지형태를갖는기둥 옆과같이고정단을갖는기둥의자유물체도를고려하자. M (d - n). 미분방정식으로부터휨곡선식이얻어진다. d u + u d d ( 13-7) 식 13-7 을풀고경계조건을대입하면, é æ öù u d ê1 - coç ú øúû ( 13-8) 가장작은임계하중은 n 1 에서생기며그값은 L ( 13-9) 식 13-5 과비교하면고정단을갖는기둥의경우핀고정된기둥에비해 1/ 만 큼작은하중에서좌굴이발생하는것을알수있다. 유효길이 (Effective length) 하중이핀에의하여지지되고있지않는경우에도오일러공식을사용하여기 둥의임계하중을계산할수있다. L 은기둥에발생하는모멘트가 0 인두점의 거리라고하면, 이거리를기둥의유효길이라고하며, 부호를사용하여 L e 로표 시한다. 많은기둥설계규약 (deign code) 에기둥공식들에무차원계수인유효길이율 (effective-length factor.) 인 K 가정의되어있다. L e KL ( 13-10) 1
Cla 33: 다양한기둥의오일러공식및시컨트공식 따라서오일러공식은다음과같이표시된다. p E ( KL r) ( 13-11) ( 13-1) 이때 (KL/r) 값은기둥의유효세장비 (column effective-lenderne ratio) 이다. EXAMLE 13.3 A W150 teel column i 8 m long and i fied at it end a hown. It load-carring capacit i ineaed b bracing it about the - ai uing trut that are aumed to be pin-connected to it mid-height. Determine the load it can upport p that the column doe not buckle nor material eceed the ield tre. Take E t 00 Ga and Y 10 Ma. Buckling behavior i different about the and ae due to bracing. Buckled hape for each cae i hown. The effective length for buckling about the - ai i (KL) 0.5(8 m) m. For buckling about the - ai, (KL) 0.7(8 m/).8 m. We get I 13. 10 mm and I 1.83 10 mm from Appendi B. Appling Eqn 13-11, ( ) ( ) p 153. kn ( ) ( ) 0.8 kn p - [ 00( 10 ) kn/m ] 13.( 10 ) ( m) - [ 00( 10 ) kn/m ] 1.83( 10 ) (.8 m) B comparion, buckling will occur about the - ai. Area of -ection i 300 mm, o average compreive tre in column will be m m
Cla 33: 다양한기둥의오일러공식및시컨트공식 0.8 10 A 300 m 3 ( ) N 150. N/mm Since < Y 10 Ma, buckling will occur before the material ield. NOTE: From Eqn 13-11, we ee that buckling alwa occur about the column ai having the larget lenderne ratio. Thu uing data for the radiu of gration from table in Appendi B, æ KL ö ç r ø æ KL ö ç r ø ( mm/m) m 1000. mm ( mm/m).8 m 1000.5 mm 0. 11.3 Hence, - ai buckling will occur, which i the ame concluion reached b comparing Eqn 13-11 for both ae. *13. 시컨드공식 (THE SECANT FORMULA) 기둥에가해지는하중에대한기준은기둥의 휨이나발생하는최대응력이허용응력을초 과하지못하도록설정된다. 기둥에압축하중 을그림과같이가하는 경우, 단면의도심에서 e 만큼약간편심되는 경우, 수직력과모멘트 M e 가기둥끝에 가해지게된다. 자유물체도에서기둥에발생하는모멘트는 M - e ( +u) ( 13-13) 기둥의좌굴공식에대입하여일반해를구하면 u C1 in + C co - e ( 13-1) 경계조건으로부터적분상수를얻으면좌굴곡선식은 é æ L ö æ ö æ ö ù u eêtanç inç + coç -1ú ø ø ø úû 최대변위 (Maimum deflection) ( 13-15) 하중이대칭형태로발생하게된다. 최대처짐과응력모두기둥의중간부위 에서발생하게된다. 즉, L/ 일때, n n ma 이다. 따라서, 3
Cla 33: 다양한기둥의오일러공식및시컨트공식 u ma é æ eêecç L ö ù -1ú ø úû ( 13-1) 위의식을사용하여임계하중 을계산하면, æ ecç L ö ø L 시컨트공식 (The ecant formula) L p ( 13-17) 기둥에발생하는최대응력은굽힘모멘트가최대인점 즉, 기둥의정중앙에서발생한다. 식 13-13 과 13-1 을 사용하면, M ( e + u ) æ M eecç ma L ö ø 최대응력은압축응력이므로, ma A Mc + I ; ma ( 13-18) ec æ + ecç A I 기둥의회전반경은 r I/A 로주어진다. 따라서 ma é ec æ L ê1 + ecç A r r EA öù ú øúû L ö ø ( 13-19) ma maimum elatic tre in column, at inner concave ide of midpoint (compreive). vertical load applied to the column. < unle e 0, then (Eqn 13-5) e eccentricit of load, meaured from the neutral ai of column - ectional area to line of action of. c ditance from neutral ai to outer fiber of column where maimum compreive tre ma occur. A -ectional area of column L unupported length of column in plane of bending. For non pinupported column, L e hould be ued. E modulu of elaticit of material. r radiu of gration, r (I/A), where I i computed about the neutral or bending ai.
Cla 33: 다양한기둥의오일러공식및시컨트공식 기둥설계 (Deign of column) 편심율이결정되면, 식 13-19에사용되는값들을결정된다. 이값들을식 13-19에넣어계산을수행한다. 기둥에발생하는최대수직응력이항복응력과같은경우, 즉 ma Y. 이때상응하는하중 Y 는시행착오절차를거쳐서결정할수밖에없다. 이는식이초월함수의형태로주어지고, 하중 Y 를명확하게구할수없기때문이다. 오일러공식은편심하중에대한고려없이도심에가해지는압축하중에대하여유도되었으므로, Y 는항상임계하중 보다작은값이다. EXAMLE 13. The W00 59 A-3 teel column hown i fied at it bae and braced at the top o that it i fied from diplacement, et free to rotate about the - ai. Alo, it can wa to the ide in the -z plane. Determine the maimum eccentric load the column can upport before it either begin to buckle or the teel ield. From upport condition, about the - ai, the column behave a if it wa pinned at the top, fied at the bae and ubjected to an aial load. About the - ai, the column i free at the top and fied at the bae, and ubjected to both aial load and moment M (00 mm). - ai buckling: Effective length factor i K 0.7, o (KL) 0.7( m).8 m 800 mm. Uing table in Appendi B to determine I for the ection and appling Eqn 13-11, ( ) p 3 [ 00( 10 ) N/mm ]( 0.)( 10 ) ( 800 mm) 5 mm 5137 N 513 kn
Cla 33: 다양한기둥의오일러공식및시컨트공식 - ai ielding: K, o (KL) ( m) 8 m 8000 mm. From table in Appendi B, A 7580 mm, c 10 mm/ 105 mm, and r 89.9 mm, appling ecant formula, é ec æ Y ê1 + ecç A r 1.895 10 r öù ú; EA øúû -3 [ 1+.598ec( 1.13 10 )] é 00 105 æ 8000 50 ê1 + ecç 7580 89.9 ( 89.9) 00( 103) öù ú 7580 øúû Solving for b trial and error, noting that argument for ecant i in radian, we get 1938 N 19. kn Since thi value i le than ( ) 513 kn, failure will occur about the - ai. Alo, 19. 10 3 N / 7580 mm 55.3 Ma < Y 50 Ma.