교육시간표 2
기초통계
통계? 복잡한데이터를아주간단하게표현하는것 자료에서정보를추출하는것 수많은데이터 흩어져있는자료 요약된수치와그래프 의미있는정보 4
데이터의특성 중심위치 데이터는중심으로모인다산포 데이터는일정한크기의변동이있다. 5
중심위치에대한평가척도 평균 (Mean) : 모든자료의합을자료의개수로나눈값 X = n X 절사평균 (Trimmed Mean) : 상위 5% 와하위 5% 를제외하고나머지 90% 의데이터로평균을구한값이다 미니탭 Session 창 TrMean 으로출력 중앙값 (Median) : 모든자료를크기순서로배열했을때, 가운데위치하는값 최빈값 (Mode) : 관측치의집합에서가장자주발생하는값. 즉가장빈도가높은데이터 미니탭 Session창 모드 로출력 i 6
산포에대한평가척도 표준편차 (s) s = s 2 = n i= 1 ( x x) i n 1 범위 (Range) : 최대값 (Max)- 최소값 (Min) 2 사분위수범위 (interquartile range, IQR): Q3 Q1 7
정규분포 ( 가우스분포 ) X 2 ~ N( μ, σ ) 평균을중심으로좌우대칭인종모양으로써가장널리사용 전체넓이 ( 확률의합 ) = 1 0.9973 0.954 0.6827 f ( x) ( μ) 1 x = exp i 2 2 πσ 2 σ 2 σ μ 3σ μ 2σ μ 1σ μ μ +σ μ + 2 σ μ + 3σ 8
QC7
QC7 히스토그램파레토도산점도 특성요인도 그래프 체크시트 층별 10
통계적추론
통계적추론 표본데이터정보를이용하여모집단에대한추측또는결정을하는과정 모집단 (Population) : 관심의대상이되는개체의집합 표본 (Sample) : 모집단에서조사대항으로채택된일부 모집단 (Population) 표본추출 (Sampling) 표본집단 (Sample) 모수 (Parameter) θ 통계량 (Statistic) ˆ θ 통계적추론 (Statistical Inference) 12
통계적추론 추정 (Estimation) 표본이가지고있는정보를분석하여모수를추측 점추정 구간추정 검정 (Testing) 모집단의모수값이나확률분포에대하여어떤가설을설정하고, 이가설의성립여부를표본으로판단하여내리는것 13
가설검정 (Hypothesis Testing) 모집단의모수값이나확률분포에대하여어떤가설을설정하고이가설의성립여부를표본으로판단하여결정내리는것 귀무가설 (Null Hypothesis; H 0 0) ) Equal(=); 같다 과거로부터알려져왔던모수에대한일반적인내용 대립가설을입증할수없을때, 대립가설을무효화시키면서받아들이는가설 대립가설 (Alternative Hypothesis; H 1 ) Not Equal( ); 같지않다 자료로부터강력한증거에의하여입증하고자하는내용 14
가설검정절차 1. 가설설정 : 귀무가설 (H 0 ) 와대립가설 (H 1 ) 설정 2. 유의수준 (α) 결정 신뢰수준 (1- α) 결정 3. 검정통계량산출 & P- 값산출 4. 귀무가설 (H 0 ) 의기각여부결정 5. 결과값해설 15
정규성검정 대부분의통계분석에있어, 데이터의정규성을가정한다. 주어진데이터의정규성을통계적인방법으로검정한다. 가설 귀무가설 : 정규분포를따른다. 대립가설 : 정규분포를따르지않는다. 16
이표본의모평균검정-2- 표본 t 검정 화로.MTW 통풍조절장치가에너지소비량에영향을미치는지를알아보기위해두통풍조절장치에따르는평균에너지소비량을비교해보고자한다. 두통풍조절장치에따라평균에너지소비량은 차이가있는가? 가설 C8 : 에너지소비량 ( 닫힘 ) C10 : 통풍조절기 총데이터수 : 90 개 귀무가설 : 두통풍조절장치는평균에너지소비량차이가없다. μ1=μ2 대립가설 : 두통풍조절장치는평균에너지소비량차이가있다. μ1 μ2 17
이표본의모평균검정- 연속형 (2- 표본 t 검정 ) 2- 표본 T 검정및 CI: 에너지소비량 ( 닫힘 ), 통풍조절기 화로.MTW 에너지소비량 ( 닫힘 ) 의 2- 표본 T 통풍표준조절기 N 평균편차 SE 평균 1 40 9.91 3.02 0.48 2 50 10.14 2.77 0.39 차이 = mu (1) - mu (2) 차이추정치 : -0.235 차이의 95% CI: (-1.450, 1450 0.980) 0980) 차이의 T-검정 = 0 ( 대 not =): T-값 = -0.38 P-값 = 0.701 DF = 88 둘다합동표준편차 2.8818을 ( 를 ) 사용하십시오. T y0 y1 1 n1 + 1 n2 9.9191 10.1414 2.88 1/ 40 + 1/ 50 0 = = = S p 0.376 유의수준이 0.05이고 p- 값이 0.704이므로귀무가설은기각할수없다. 즉. 두통풍조절장치에따른평균에너지소비량은차이가없다. 18
분산분석 분산분석 세모집단이상의모평균에차이가있는지여부를통계적인방법을이용해서검정 관측값들이달라지는것을여러요인으로나누어각요인들이얼마나변화의정도에기여했는가를분석 예 도시규모 ( 대, 중, 소 ; 독립변수 ) 에따른평균임금수준 ( 종속변수 ) 가설 귀무가설 (H 0 ) : μ 1 =μ 2 = =μ k ( 모집단간의평균은같다.) 대립가설 (H 1 ) : μ i μ j ( 적어도하나는다르다.) 19
( 반복이있는 ) 이원분산분석 집단을구분짓는요인이두개일경우여러모집단의평균의동일성여부를검정하는방법 요인 A 에대한변동 요인 B 에대한변동 잔차요인에대한변동 상호작용에대한변동 변동의요인자유도 (DF) 제곱합 (SS) 분산 (MS) F 요인 A a-1 SSA MSA MSA/MSE 요인 B b-1 SSB MSB MSB/MSE 상호작용 A*B (a-1)*(b-1) SS(A*B) MS(A*B) MS(A*B)/MSE 잔차 ab(r-1) SSE MSE 총 (T) N-1 SST MST yij ( ) = i j ij μ + α + β + αβ ) + ε ( 20 ijk
측정시스템분석 (MSA)
측정시스템분석 측정시스템 (Measurement Systems) 측정치를얻어내는데사용된모든프로세스 : 어떤품질특성을측정하여수치를얻어내는데사람 (Personnel), 장비 (Equipment), 소프트웨어 (Software), 게이지 (Gage), 절차 (Procedure), 행위 (Operation) 의집합 측정시스템분석목적 : 측정데이터의신뢰성확보측정과정에서얻어지는측정치의산포에대한원인을이해하고, 정량화 - 제품변동, 계측기산포, 측정작업자산포 22
정확도와정밀도 정확도 (Accuracy) : Bias( 치우침 / 편의 ) 의정도를나타내며, 참값과측정값의차이 정밀도 (Precision) : 반복측정에의한측정데이터의산포를의미한다. Accuracy Not Precise Not Accuracy Precise 23 23
미니탭을활용한측정시스템분석 항목미니탭분석모듈내용 유형 1 Gage 연구유형 1 Gage 연구계측기자체의반복성과치우침 ( 편의 ) 평가 선형성및치우침연구 Gage 선형성및치우침연구 정확성및선형성평가 Gage R&R( 교차 ) 연구 반복측정이가능한경우 통계분석 Gage 연구 품질도구 Gage R&R( 내포 ) 연구 파괴검사로측정이이루어지는경우 Gage 연구 Gage 런차트측정작업자간의차이와경향파악 계수형 Gage R&R 연구 계수형동일성분석 계수형 Gage R&R 연구 ( 분석적방법 ) 계수형동일성분석 양불량으로판정하는계수형계측기에대한반복성과편의 ( 치우침 ) 평가 관능검사에의해측정이이루어지는경우측정일관성, 측정정확성, 측정일치성평가 24
유형 1Gage 연구 계측기자체의고유변동 ( 반복성, 치우침 ) 평가 Data 수집: 기준값을알고있는표준시료 1 개에대하여 1 명의평가자가 반복측정 (25 회이상반복측정 ) 25
선형성및치우침연구 선형성및치우침연구목적 : 측정시스템의정확성및선형성평가 데이터수집절차 1. 계측기의운영범위를포함하는 g 개 ( 통상 5 개이상 ) 부품선택 2. 선정한부품에대한기준값 (Reference Value) 결정 3. 각부품을해당계측기로한명의숙련자가 n회 ( 통상 10회이상 ) 측정 ( 랜덤하게부품제시 ) 평가지표 : % 선형성, % 치우침 구분판정기준조치 정확성 (Accuracy) 선형성 (Linearity) 공정변동대비 1% 미만공정변동대비 1~5% 미만공정변동대비 5~10% 미만공정변동대비 10% 이상 매우적합 : 개선필요없음적합 : 개선필요없음보통 : 부분적개선필요나쁨 : 개선필요 26
Gage R&R 연구 Gage R&R 연구 : 측정시스템의변동량분석, 해당측정시스템이품질관리, 공정관리용으로적합한지평가 측정시스템의정밀도분석 Gage R&R이과도하게큰경우제품의합. 부판정에서오분류또는공정의상태를바르게나타내지못할수있음으로품질비용의상승을초래 Gage R&R - 교차연구 : 각부품을각측정시스템에서여러번측정한경우 - 내포연구 : 각부품을하나의측정시스템에서측정한경우 ( 파괴검사 ) 평가방법 - Xbar 와 R(X): 부품, 조작자, 반복성 - 분산분석 : 부품, 조작자, 부품 * 조작자, 반복성 평가지표 : % 기여. %R&R, % PT 비율, 구별범주 27
산포의구성 전체산포 (TV) 부품 ( 제품 ) 산포 (PV) 측정시스템산포 (R&R) 반복성 Repeatability 재현성 Reproducibility Gage R&R 은측정시스템의산포를파악하기위한분석방법 28 28
계수형 Gage R&R 분석 한계게이지혹은양. 불량을검사하는계수형게이지에대해반복성과편의를분석적방법으로평가한다. 계수형 Gage 분석 ( 분석적방법 ) 관능검사와같은주관적인판단으로단순히 합격, 불햡격 이판정되는공정에서의측정시스템의분석 계수형동일성분석 ( 속성합치도도분석, R14.0) 29
합격표본추출 공급받는제품의표본을평가하여전체로트 ( 배치 ) 를승인하여사용할지또는거부하여공급업체에게돌려보낼지여부를결정하는과정에서새로운샘플링계획을수립하거나다양한계획을비교 계수형합격표본추출 계량형합격표본추출 ( 생성 / 비교 ) 계량형합격표본추출 ( 로트승인 / 거부 ) 30
관리도 관리도
관리도 계량형관리도 부분군에의한관리도 : Xbar-R, Xbar-S, I-MR-R/S, 개체에의한관리도 : I-MR, 기타관리도 : EWMA, CUSUM, 계수형관리도만들기 P, NP, C, U 32
공정능력분석
공정능력의개념 공정이안정된상태, 즉관리상태에있을때, 그공정이얼마나균일한품질의제품을생산할수있는지를나타내는공정고유의능력을의미 프로세스가규격에맞는제품및서비스를얼마나잘생산해내는가를평가 현수준확인 SPC기법의교육목표 공정능력의개선방법에대한방향을제공하기위해 개선목표설정 식스시그마를추진하고있다면 프로세스의잠재공정능력 (Benchmark Z.st) 과실제공정능력 (Benchmark Z.lt) 의이해를통해개선방향제시 장기공정능력과단기공정능력의차이는부분군의평균과산포에의해서발생하며, 식스시그마에서는이차이를찾아내어개선방향을정함 34
데이터유형및공정능력 분류계량형계수형 측정방법크기나양을측정기구로측정발생하는개수를세어서측정 특성측정값이연속적으로출현함 측정값이 0, 1, 2, 3, 과같이떨어지는형태로출현함 예 제 -제품의크기, 강도, 무게 -비중, 전압, 압력 - 설계시간 -고객대응시간 -승인시간 -처리시간 -결점수 -불량품수 - 에러발생건수 -고객불편접수건수 -교통사고및특정사고발생건수 품질수준의척도 C p, C pk, Zbench.st, P p, P pk, Zbench.lt 불량률, 수율, ppm, DPU, DPMO, Zbench.lt 35
미니탭의공정능력분석모듈 데이터유형미니탭모듈용도 통계분석 > 품질도구 > 공정능력분석 > 정규분포 데이터가정규분포를따르는경우 통계분석 > 품질도구 > 공정 -batch(lot) 생산방식 능력분석 > 군간 / 군내 -제품내균일성관리공정 계량형 통계분석 > 품질도구 > 공정능력분석 > 비정규분포 데이터가정규분포를따르지않는경우 통계분석 > 품질도구 > 공정 데이터가정규분포를따르는경우, 여러라인 능력분석> 다중변수 ( 정규 ) ( 공장 ) 의비교, 개선전 / 후비교에유용 통계분석 > 품질도구 > 공정능력분석 > 다중변수 ( 비정규 ) 데이터가정규분포를따르지않는경우, 여러라인 ( 공장 ) 의비교, 개선전 / 후비교에유용 계수형 통계분석 > 품질도구 > 공정능력분석 > 이항분포 통계분석> 품질도구 > 공정능력분석 >Poisson 분포 불량데이터 결점수데이터 36
공정능력지수 공정능력 ( 성능 ) 이란? 공정이관리상태일때, 제품의품질변동이어느정도인지를나타내는평가 공정능력 ( 성능 ) 지수 양쪽규격이고치우침이없는경우 한쪽규격만주어진경우 양쪽규격이고치우침이있는경우 양쪽규격이고목표치가있는경우 37
공정능력지수 공정능력지수등급조치 C pk 1.67 최상공정능력이매우충분하므로비용및관리의간소화고려 1.67 C pk 1.33 A 공정능력이충분하므로현재상태를유지 1.33 C pk 1.67 B 공정능력이충분하지않으므로공정관리를철저히행함 1.00 C pk 1.67 C 공정능력이부족하여불량이발생하므로공정의개선이요구됨 0.67 C pk D 공정능력이매우부족하므로현황조사및원인규명, 품질개선등의긴급대책을마련해야함 38
공정능력으로서의시그마수준 데이터가정규분포를따른다고할때, 공정중심으로부터규격한계까지의거리가표준편차의몇배나될것인가를나타내는척도 SL = USL or LSL Z = SL μ σ LSL 0 Z ST USL 시그마수준 : 공정중심과규격상한또는하한과의거리가표준편차의몇배인가? 39
Capability Sixpack 계량형자료의공정능력분석도구로써공정능력지수뿐만아니라자료의관리상태 (In control) 유무및정규분포를따르는지에대한검토가가능하도록 6 가지출력물을제공하는분석도구임 Xbar 관리도 R 관리도 Run Chart 히스토그램과정규분포곡선 정규확률도 공정능력도 40
이항분포 X ~ Binomial ( n, p) 이항분포의예 주사위를두번던져 1 의눈이나온횟수 동전던지기를 10번시행할경우에앞면이나온횟수 신약을복용한환자중병이치유된환자수 출하된제품중불량품의수 도루를 20번시도할경우도루성공횟수 확률질량함수 (PMF) n : 베르누이시행의반복횟수 p : 각시행에서성공할확률 (0<p<1) n x n x P( X = x) = p q x = x 0,1,..., n 41
포아송분포 X ~ Poisson ( m) 정해진단위시간에발생하는사건의수또는단위면적에발견되는개체의수등과관련되는분포 포아송분포의예 프로시아기병중매년말에머리를차여사망하는병사의수 119 구조대에걸려오는시간당전화횟수 한야구경기에서의실책의수 1년동안심장병으로사망하는사람의수 S텔레콤고객센터에사간당걸려오는전화콜수 티셔츠한장에튀어나온실밥의수 1시간동안은행을방붑한고객의수 확률질량함수 (PDF) e x m P( X = x) = x! m : 평균발생빈도 x : 사건이일어날횟수 42
계수형데이터의시그마수준산출 결함이발생할확률 P(d) 를산출한후, 이에해당하는시그마수준을산출함으로써공정능력을산출 시그마수준 결함이발생할확률 P(d) 결함이발생할확률 P(d) 에해당하는시그마수준을미니탭을이용해산출하고, 계량형과동일하게 Z Shift (1.5σ) 를고려한프로세스의공정능력 (Z ST ) 를산출 SL 43
Q&A