적분과통계-1단원해-eps용

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2 004 미분가능한함수 f() 가 f()=, f(+)=f()+f()+를만족시킬때, f(-5) 의값을구하시오. 00 곡선 =f() 위의임의의점 (, ) 에서의접선의기울기가 -이고, 이곡선은점 (, 0) 을지난다. 이때, 곡선 =f() 가 축과만나는점의 좌표는? - f '()=- f()=: (-)d=;!; -+C =f()(, 0) f()=;!;-+c=0 f() ;!; -+;!; C=;!; =f() ;!; f() =a f '(a) f(a+h)-f(a) f '(a)= lim = h 0 h lim a f()-f(a) a f '(a) =f() P(a, f(a)) f(+)=f()+f()+ =0, =0 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 f(+h)-f() f()+f(h)+h-f() f '()= lim 555= lim h 0 h h 0 h f(h) f(h)-f(0) f '()= lim [ +]= lim [ +] h 0 h h 0 h f '()=f '(0)+ f '(0)=a f '()=+a f()=: (+a)d= +a+c f(0)=0 f(0)=c=0 f()= +a f()= +a= a= f()= + f(-5)=5-5= 두다항함수 f(), g() 가다음조건을만족시킬때, f()-g() 의값은? d d f(0)=-, g(0)= 555 { f()+g()}= 555 { f()g()}=- d d ;dî[;{ f()+g()}= 00 함수 f() 에대하여 f(3)=, f '()= + -+이성립할때, f(0) 의값은? >- f '()=+-+=-+ f()=: (-+)d=-;!; ++C f(3)= -;(;+6+C= 003 함수 f() 의도함수가 f '()=(si +cos ) 이고 f(0)=;!; 일때, f(p) 의값은? f '()=(si +cos ) =si + si cos +cos =+si f()=: (+si )d=-;!; cos +C f(0)=;!; -;!;+C=;!; C= f()=-;!; cos + f(p)=p-;!;+=p+;!; C=-;!; >- f()=-;!; +-;!; f(0)=-;!; f()+g()=: d=+c f(0)=-, g(0)= f(0)+g(0)=c=- f()+g()=- ` ;dî[;{ f()g()}=- f()g()=: (-)d= -+C' f(0)=-, g(0)= f(0)g(0)=c'=- f()g()= --=(-)(+) ` f(), g() f()=-, g()=+ f()-g()=--= 미분가능한함수 f() 가임의의두실수 t, h에대하여 f(t+h)-f(t)=h(t+h) 를만족하고 `f()=5일때, f(0) 의값은? f(t+h)-f(t)=h(t+h) h+0 f(t+h)-f(t) =t+h h f(t+h)-f(t) f '(t)= lim = lim (t+h)=t h 0 h h 0 f(t)=: tdt=;!; t +C f()=5 +C=5 C=3 f() ;!; +3 f(0)=3

3 007 오른쪽그림은삼차함수 =f() 의도함수 =f '() 의그래프이다. =f() 의그래프가원점을지날때, f() 의극솟값은? f '()=a(+)(-)(a<0) =f '() (0, ) =a (-) a=- f '()=-(+)(-)=- ++ f()=: f '()d= C 3 =f() C=0 f()= =- f '() f() =- f() f(-)=;3!;+;!;-=-;6&; 008 함수 F()=: (-)fi (+) d 의일차항의계수는? F()=: (-)fi (+) d F()=aª +a ++a +a +aº F'()=;dÎ[;: (-)fi (+) d F'()=(-)fi (+) F'()=9aª +8a ++a +a F'(0)=a =(-)fi =-8 F() (+)(+) 함수 f()=: d에대하여 f()=-일때, f() 의값은? (+)(+) f()=: d +3+ f()=: d f()=: {+;[#;+ } d f()=: d+3: ;[!; d+: d f()=+3 l + ± +C -+ f()=+3 l -;[@;+C f()=- +3 l -+C=- C=0 f()=+3 l -;[@; f()=+3 l - =f'() 00 + (<) 실수전체에서미분가능한함수 f() 의도함수 f '() 가 f '()= g 일때, f(3)-f(-) (æ) 의값을구하시오. + (<) f '()= g (æ) ( ;!; ++C (<) f()= { ª +C' (æ) f() = lim f()= lim f()=f() -0 ;!;++C=+C' +0 C'=C+;!; f(3)-f(-)=(9+c')-{;!;-+c} f(3)-f(-)=9+{c+;!;}+;!;-c=0 0 0 모든자연수 에대하여함수 f«() 는 f«()=: f«()d 를만족한다. f ()= +fi + 일때, lim 0 f() =a f() =a f () 의값을구하시오. f ()=: f ()d : f ()d= +fi + f ()=0 +5 f ()=: f ()d : f ()d=0 +5 f ()=90 +0 f () lim 555 = 0 0 lim = lim (90fi +0)=0 0 0 자연수 에대하여함수 f«() 가 f«(0)=, f«()=: (++3 ++«)d 를만족할때, 0 = f«() 의값은? f«()=: ( )d f«()=+ + ++«+C f«(0)= C= f«()= «f«()= «(«± -) f«()= 55555=«± f«()= («± -) = 0 = ( -) = =408 3

4 a, d a«=a+(-)d {a+(-)d} S«= a, r a«=ar - a(r«-) a(-r«) r+,s«= = r- -r r=,s«=a 05 함수 f()=: `d에대하여 f {;4 ;}=0일때, f {;3 ;} 의값은? si cos si +cos f()=: d=: d si cos si cos f()=: (sec +cosec )d=ta -cot +C f {;4 ;}=0 -+C=0 C=0 f()=ta -cot '3 f {;3 ;}='3- = ' «자연수 에대하여함수 f«() 가 f«(0)=0, f«()=: 55 d를만족할때, f«() 의값은? ««± f«()=: 55 d= C f«(0)=c=0 (+) «± f«()= (+) f«()= = {;!; } = = (+) = + f«()= lim {;k!; } k= k+ f«()= lim [{-;!;}+{;!;-;3!;}++{;!; }] + f«()= lim { }= + = 555 {;a!;;-;b!;;} AB B-A = 555 { - 55 } ABC C-A AB BC 04 >0에서정의된함수 f() 의부정적분을 F() 라할때, F()= f()-( si +cos ), F{; ;}=; ; 가성립한다. f(p) 의값은? F()= f()-( si +cos ) F'()=f()+ f '()-(si+ cos -si ) f()=f()+ f '()- cos f '()=cos f()=: cos d=si +C ` F{; ;}=; ; = cosec h=, sec h=, cot h= si h cos h ta h si h+cos h=, +ta h=sec h, +cot h=cosec h 06 연속함수 =f() 의도함수 =f '() 의그래프가오른쪽그림과같을때, 다음중함수 =f() 의그래프의개형으로알맞은것은? ( 단, f(0)=0) ( 0 (>) f '()={ (-<<) 9 (<-) ( C (>) f()= { +C (-<<) 9 +C (<-) f(0)=0 C =0 f() =-, = C =, -+C = C =, C = ( (æ) - f()= { (- <) (<-) =f() 07 두삼차함수 f(), g() 가다음조건을만족시킬때, g() 의값은? f()= f()+g() 의도함수는 f()-g() 의부정적분중하나이다. - - =f '() ; ;=; ; f {; ;}-{; ; si ; ;+cos ; ;} f {; ;}= f {; ;}=si ; ;+C= C= f()=si + f(p)= f()+g() f()-g() f()-g() f()= g()= - +a+b (a, b ) f()+g()=3-6 +(a+)+(b+4) { f()+g()}'=9 -+(a+) ` 4

5 f()-g()=(-a)+(4-b) : { f()-g()}d=(-a) +(4-b)+C ` 9=-a, -=4-b, a+=c a=-8, b=8, C=-6 g()= g()=- 08 d 다항함수 f() 에대하여함수 g() 가 g()=: f()d이고 555 { f()+g()}= d 일때, f(-) 의값은? ;dî[;{ f()+g()}=;dî[;[ f()+: f()d] ;dî[;{ f()+g()}=f '()+f() ;dî[;{ f()+g()}= ` f() f '()+f() (+) +=3 = 4 f '()+f() f() f() 4 f()=4 +a+b f '()=8+a 8+a+4 +a +b= a +(b+8)+a= a=3, b= f()=4 +3+ f(-)=3 00 함수 f() 는다음조건을만족한다. f(0)= f '()=-f()+e - cos 함수 g() 를 g()=e f() 라할때, g(p)+g(p)+g(3p)++g(0p) 의값을구하시오. g()=e f() g'()=e f()+e f '() ` f '()=-f()+e cos ` g'()=e f()+e {-f()+e cos }=cos g()=: cos d=si +C ` f(0)= g(0)=e f(0)= g(0)=0+c= C= g()=si + g(p)+g(p)+g(3p)++g(0p)=++++=0 0 0 함수 f()=6 +a 가 :) f()d=f() 을만족시킬때, 상수 a 의값은? :) f()d=:) (6 +a)d=[ +a ])=+a f()=6+a +a=6+a a=-4 95% % % % % 09 f() 함수 f() 가 f "()=-si, lim 0 =를만족할때, f(p) 의값은? a f() lim 0 f() = lim f()=0 f(0)=0 ` 0 f() f()-f(0) lim = lim =f '(0)= 0 0 ` f "()=-si f '()=: (-si )d=cos +C f '(0)=+C = C = f '()=cos ( 0) 함수 f()= g 에대하여 :_! f()d 의값은? - (>0) :_! f()d=:_0! (- )d+:) (- )d :_! f()d=[;!; -;3!; ]0_!+[ -;3!; ]) :_! f()d=-;6%;+;3$;=;!; f()=: (cos +)d=si ++C f(0)=c =0 f()=si + f(p)=p f() lim =a a a g() lim g()=0 a lim f()=0 a 0 0 f() lim =a a+0 a g() lim f()=0 a lim g()=0 a : 0 ; ; cos d의값은? +si :) ; ; cos d=:) ; ; -si d +si +si :) ; ; d=:) ; ; (+si )(-si ) d +si :) ; ; d=:) ; ; (-si )d :) ; ; d=[+cos ]) ; ; =; ;- 5

6 04 90% 3% 5% % % :) (-) d 의값은? :) (-) d=:) {- (-)} d+:! (-)d :) (-) d=:) (- + )d+:! ( - )d :) (-) d=[ ]) +[ ]! :) (-) d=; ;+;!&;=;#; 08 차이상의두다항함수 F(), G() 의도함수를각각 f(), g() 라한다. f()=g() 가성립할때, 항상옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. :Ab f '()d=:ab g'()d ㄴ. :Ab f()d=:ab g()d ㄷ. :Ab F()d=:Ab G()d f()=g() f '()=g'() F()=G()+C C f '()=g'() 05 :_! [:!/ (+t)dt]d 의값은? :Ab f '()d=:ab g'()d :Ab f()d=:ab g()d :!/ (+t)dt=[t+t ]/!=3 -- :Ab F()d=:Ab {G()+C}d :_! [ :!/ (+t)dt]d=:_! (3 --)d :Ab F()d=:Ab G()d+[C]bA :_! [ :!/ (+t)dt]d=[ - -]_!=3 :Ab F()d=:Ab G()d+C(b-a) 06 :) p`si5(si3+si5)d 의값은? 09 미분가능한함수 f() 가다음조건을만족시킬때, :)6 f()d 의값은? si5(si 3+si 5)=si 5 si 3+si 5 모든실수 에대하여 f '()>0 si5(si 3+si 5)=-;!;(cos 8-cos )+ -cos 0 f(3)=0, :)3 f() d=, :#6 f() d=5 si5(si 3+si 5)=-;!;(cos 8-cos -+cos 0) f '()>0, f(3)=0 :) p si 5(si 3+si 5)d 0<<3 f()<0, 3<<6 f()>0 =-;!;:) p (cos 8-cos -+cos 0)d :)3 f() d=:)3 {-f()} d= si 8 si si 0 =-;!; [ - -+ ]) p 8 0 =-;!; (-p)=; ; :)3 f()d=- :#6 f() d=:#6 f()d=5 :#6 f()d=5 07 d d d d 함수 f()=a +b+이 555 :_/! f()d=:_/! 555 f()d, 555 :!/ f()d=:!/ 555 f()d 를 d d d d 만족할때, ab의값은? ( 단, a, b는상수이다.) :)6 f()d=:)3 f()d+:#6 f()d :)6 f()d=-+5=3 ;dî[;:_/! f()d=f(), :_/! ;dî[; f()d=f()-f(-) f()=f()-f(-) f(-)= 함수 f()= -k 에대하여 :%6 f()d 의값을구하시오. k= ;dî[;:!/ f()d=f(), :!/ ;dî[; f()d=f()-f() f()=f()-f() f()=0 f(-)=a-b+=0 f()=a+b+=0 a=-, b=0 ab=0 ` ` 5<<6 0 f()= -k = (-k)+ (k-) k= 5 k= 0 k=6 f()=(-)+(-)++(-5)+(6-)+(7-)++(0-) f()=(-+6)+(-+7)+(-3+8)+(-4+9)+(-5+0) f()=5 5=5 :%6 f()d=:%6 5d=[5]6%=5 5 6

7 03 함수 f()=:) e - dt 에대하여 f(-5)+f(-3)+f(3)+f(5) 의값을구하시오 에서정의된함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같을때, 0 t e e e - (e æ) e - = g -e (e <) :) f(+)d 의값은? =f() 3 f(-5)+f(-3)+f(3)+f(5) =:) e +5 dt+:) e +3 dt+:) e -3 dt+:) e -5 dt =:) (e +5)dt+:) (e +3)dt+:) (3-e )dt+:) (5-e )dt =:) 6 dt=[6t])= 연속함수 f() 가 :_! f()d=3, :% f()d=-, :!5 f()d=5를만족시킬때, :_! { f()-3}d 의값은? ( (0 ) f()= { ( ) ( 3) ( (0 + ) f(+)= { + ( + ) ( + 3) 0 + -;!; :% f()d=- :@5 f()d= :! f()d=:!5 f()d-:@5 f()d=5-=3 :_! f()d=:_! f()d-:! f()d=3-3=0 :_! { f()-3}d=:_! f()d-[;#; ]_!=0 033 f()+3 미분가능한함수 f() 가 f(0)=이고 lim =을만족시킬때, f '()-:) f '()d 의값은? ;!; + 3 ;!; ( + {0 ;!;} f(+)= { ª -4+4 {;!; } : º : º ;!; f(+)d=: (+)d+: (-4+4)d º ;!; f(+)d=[ +]) ;!; +[- +4] ;!; : f(+)d=;4#;+;!;=;4%; º f()+3 lim 5555= lim { f()+3}=0 f()=-3 f()+3 f()- f() lim 5555= lim = f '()= - - f '()-:) f '()d=-[ f()])=-{ f()- f(0)} f '()+:) f '()d=-(-3-)= «+4 :_! { lim }d 의값은? «+ -<< lim «=0 3«+4 lim 55 =4 «+ << lim «= «+4 «lim 55 = lim 5555 =3 «+ +55 «: { 3«+4 lim 55 }d=: 4d+: 3d «+ : { }d=[ ]_!+[3]!=3 036 실수 a 에대하여함수 f(a)=:) p (asi-p) d 라할때, f(a) 는 a=k 일때최솟값을갖는다. 상수 k 의 값은? f(a)=:) p (asi -p) d f(a)=:) p (a si -pa si +p )d f(a)=:) p a [;;;; (-cos )-pa si +p ]d a f(a)=;;;; [-;!;si ]) p -pa[-cos ]) p +p []) p f(a)=; ; a -4pa+p f(a)=; ;(a-4) -8p+p f(a) a=4 k=4 =a(-m) + a>0 =m, a<0 =m, 7

8 037 ( a+b (a<b) 두실수 a, b에대하여 a b= { 일때, :) (e e)d의값은? ª ab (aæb) e <e< e +e e e= e æeæ e e=e e=e ± :) (e e)d=:) e +e d+:! e ± d :) (e e)d=;!; [e +e])+[e ± ]! 0<< =f() f() f()=e f() = << < e :) (e e)d=e-;!;+e -e :) (e e)d=e -e +e-;!; 039 삼차함수 f()= -3- 이있다. 실수 t(tæ-) 에대하여 - t 에서 f() 의최댓값을 g(t) 라고하자. :_! g(t)dt=;pq; 일때, p+q 의값을구하시오. ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) 038 5% 6% 54% 8% 7% 실수전체의집합에서미분가능하고, 다음조건을만족시키는모든함수 f() 에대하여 :) f()d의최솟값은? f '()=3-3=3(+)(-)=0 =- = f() f(-)=, f()=-3 =f() = f() f(0)=, f'(0)= 0<a<b<이면 f'(a) f'(b) 이다. 구간 (0, ) 에서 f"()=e 이다. - - =f() 3 = f() (0, ) f"()=e f'()=: e d=e +C, f'(0)= +C = C =0, f'()=e f()=: e d=e +C, f(0)= +C = C =0 f()=e f() 0<<, f'()=e -3 - t(tæ-) - t f() g(t) [-, ] (- t 0) g(t)=[ -t +3t+ (0<t ) =g(t) 3 :_! g(t)dt=:_0! dt+:) (-t +3t+)dt t :_! g()dt=+[ ;#;t +t]) 4 :_! g()dt=+;4(;=: 4 : 3 - =g(t) 3 t f'()=e ( <), :) f()d p+q=4+3=7 7, < =f() e (, e) f()=e :) f()d = f() f() g(t) g(t) g(t) :) f()d=:) f()d+:! f()d :) f()d=:) e d+:! ed :) f()d=[e ])+[;!; e ]! :) f()d=e-+;#; e :) f()d=;%;e- 040 함수 f()=;!;+이고자연수 에대하여 a«=:) f «()d 일때, lim a«의값은? ( 단, f ()=f() f«± ()=(f «Ωf)()) 8

9 f ()=;!;+ f ()=;!; {;!;+}+={;!;} +;!;+ f ()={;!;} {;!;+}+;!;+={;!;}3 +{;!;} +;!;+ f «()={;!;} +{;!;} - +{;!;} - ++;!;+ a«=: f «()d º a«=[{;!;} + +[ {;!;} - +{;!;} - ++;!;+]]) 5 < = > 실수전체의집합에서정의된함수 f()=:) t t- dt 에대하여 :_! f()d 의값은? 0 f()=:) t t- dt a«={;!;} + +{;!;} - +{;!;} - ++;!;+ lim a«= lim [ {;!;} + + {;!;} k- ] a«= {;!;} + lim + lim {;!;} k- k= k= a«= = -;!; f()=:) (t -t)dt f()=[;3!;t -;{;t ])=;3!;-;{; 0<< f()=:) t t- dt f()=:)/ t(-t)dt+:? t(t-)dt 04 자연수 에대하여함수 f«() 가 f ()=4, f«()=+:) f«()d 를만족시킬때, :) f ºº()d 의값을구하시오. a«=: f«()d º a =: f ()d=: 4d º º a =[ ])= f«()=+a«a«=: f«()d=: (+a«)d º º f()=[;{;t -;3!;t ]/)+[;3!;t -;{;t ]? f()=;3!; -;!;+;3!; æ f()=:) t t- dt f()=:) t(-t)dt f()=[;{;t -;3!;t ])=;{;-;3!; :_! f()d=:_0! {;3!;-;{;}d+:) { 55 -;{;+;3!;}d+:! {;{;-;3!;}d 3 :_! f()d=[;3{;- 55 ]0_!+[ ;3{;])+[ 55 -;3{;]! a«=[ +a«])=a«+ {a«} a«=+ : f ºº()d=a ºº=0 0 º 04 자연수 에대하여 S«= :) k S«-k d라할때, lim 34 의값은? k= :) k -k d=:)k (-+k)d+:k k (-k)d :) k -k d=[-;!; +k]k)+[;!; -k]kk :_! f()d=; ;+;6!;+; ;=;6&; 044 함수 f()= (-){ } - 에대하여 :) f()d 의값은? = << f()= (-){;{;} = 555 = 555 = = -;{; < f()= (-){;!;} - - = 555 =(-) = -;!; :) k -k d={-;!;k +k }+k -k -{;!;k -k }=k S«= :) k (+)(+) -k d= k = k= k= 6 S«(+)(+) lim 44 = lim =;6@;=;3!; 6 :) f()d=:) f()d+:! f()d :) f()d=:) d+:! (4-)d :) f()d=[])+[4- ]!=3 9

10 045 정의역이 { 0 4} 인두함수 =f(), =g() 의그래프가오른쪽그림과같다. 이때, :)4 g( f())d 의값은? (0 ) (0 ) f()= g, g()= g 8- ( 4) 4- ( 4) (0 f() ) g(f())= g 4-f() ( f() 4) ( (0 ) M 4- ( ) g(5())= { M 4-(8-) ( 3) 9 (3 4) :)4 g( f())d =g( f()) =4 :)4 g( f())d=_;!;_(+)_=6 046 자연수 에대하여 lim :_! { 3 }d의값은? k= k - (<0) = g - (æ0) lim :_! { 3}d k = lim :_0! {- 5 }d+ lim :) 5 d k k = lim :_0! {- 5 }d+ lim :) 5 d k k k= k= k= k k+ k+ k+ k k= k+ k+ k+ 3 4 =g( f()) = lim [- 53]0_!+ lim [ 3]) k= k(k+) k= k(k+) (-) = lim k lim 53 k= k(k+) k= k(k+) = lim [ ] 3 4 (+) + lim [ + ++ ] 3 4 (+) = lim [ + ++ ] (+) = lim [{;!;-;4!;}+{;4!;-;6!;}++{ }] + = lim {;!; }=;!; k= 4 =f() 실수 a 에대하여 f(a)=:) e -eå d 라할때, f(a) 가최소가되는 a 의값은? ( 단, 0<a<) 4 =g() 4 0 a e eå e -eå =eå-e a< e >eå e -eå =e -eå f(a)=:) e -eå d f(a)=:)a (eå-e )d+:a (e -eå)d f(a)=[eå-e ]a)+[e -eå]a f(a)=(aeå-eå)-(-)+(e-eå)-(eå-aeå) f(a)=aeå-3eå+e+ f '(a)=eå+aeå-3eå=aeå-eå=eå(a-) f '(a)=0 a=;!; f(a) f(a) a=;!; a =e a (0) ;!; () f '(a) f(a) 구간 [a, b] 에서연속인함수 f() 의평균 fμ() 를다음과같이정의한다. fμ()= :Ab f()d b-a + =eå 어느날한도시에서오전 6 시부터 t 시간이지난후의기온이 T(t)=0+si ; ;t(æ) 로주어질때, 오전 6 시부터오후 6 시까지이도시의평균기온은 k æ 이다. k 의값은? 6 6 ; ;:) {0+si ; ;t} dt=; ;[0t- cos; ;t] p 0 ; ;:) {0+si ; ;t} dt=; ;[0- (--)]=0+;ç@;(æ) p k=0+;ç@; 049 실수전체의집합에서연속인함수 f() 가모든실수 t 에대하여 :) f(t)d=4t 을만족시킬때, f() 의 값은? 5% 9% 7% 53% 3% :) f(t)d=4t t= d d t= d= d t =0=0, ==t :) f(t)d=:) t d f() =;;; ;;; :) t f()d=4t t t t :) t f()d=4t t tf(t) (t)'=6t f(t)=4t f()= % 40% % 9% 3% e 함수 f()=:)/ dt에대하여상수 a가 f(a)=;!; 을만족시킬때, :)a f() d의값은? +tfl +fl f()=:)/ dt f '()= +tfl +fl 0

11 d f()= f '()= = d=d +fl d +fl f (0)=0, f (a)=;!; e :)a f() d=:) ;!; ;!; e d=[e ] º ='e- +fl 05 함수 f()=: 3 d 에대하여 f()-f() 의값은? -e -e =t -e d=dt d=- dt= dt e t- f()=: ;;t!; dt=: { -;;t!;} dt t- t- f()=l t- -l t +C t- -e f()=l +C=l +C t -e f()=l e e - f()-f()=l +C e e -l e - e- e e- e f()-f()=l { }=l e - e e+ 05 곡선 =f() 위의점 (, ) 에서의접선의기울기가 l 이다. 이곡선이점 {, -;4!;} 을지날때, f(e) 의값은? =f() (, ) l f '()= l f()=: l d=;!; l -: ;{;d f()=;!; l -;4!; +C =f() {, -;4!;} f()=-;4!;+c=-;4!; C=0 e e e f()=;!; l -;4!; f(e)= - = 함수 f() 의도함수가 f '()=e 이고 f() 의최솟값이 ;!; 일때, f() 의값은? f()=: e d =t d=dt f()=: e d=;!;: e d=;!;: e dt f()=;!; e +C=;!; e +C f '()=e =0 =0 f() =0 f(0)=;!;+c=;!; C=0 f()=;!;e f()=;!;e 054 ;4 ; (+ta ) 정적분 : d의값은? 0 cos +ta =t sec d=dt =0 t=, =;4 ; t= :) ;4 ; :) ;4 ; (+ta ) cos d=:) ;4 ; (+ta ) sec d d=:! t dt :) ;4 ; t d=[ ]!=;3&; 3 :Ab f '()" f()d " f()=t :Ab f(si )cos d si =t :Ab 055 f(l ) d l =t e l 정적분 : d의값은? :! e e l d=[-;[!; l ] -:! e {- } d :! e e d=- -[;[!;] e :! e d=- - + e e :! e 3 d=- + e 056 두함수 f(), g() 가 f '()=g() 를만족하고, f(a)=, f(b)=8 일때, :Ab f()g()d 의값을구 하시오. f()=t f '()d=dt =a t=f(a), =b t=f(b) f(b) :Ab f()g()d=:ab f()f '()d=: tdt f(a) f(b) :Ab f()g()d=[;!;t ] =;!;{ f(b)} -;!;{ f(a)} f(a) :Ab f()g()d=3-= :! 6 e ' d=aeı 일때, A+B 의값을구하시오. ( 단, A, B 는자연수이다.) '=t =t d=t dt = t=, =6 t=4 :! 6 e ' d=:!4 te dt=[te ] -:!4 e dt :! 6 e ' d=(4e -e)-[e ] :! 6 e ' d=8e -e-(e -e)=6e A=6, B=4 A+B=0 0

12 058 =-p t=p, =0 t=0 e e 정적분 : {;[!;+ } `d-: {;[!;- } `d의값은? e l e l 0 0 p : f()d=: f(-t)(-)dt=:) f(-)d -p p :E e {;[!;+ } d-:e e {;[!;- } d l l =:E e [{;[!;+ } -{;[!;- } ]d=:e e 4 d l l l l =t ;[!; d=dt =:) p f(-)d+:) p f()d =:) p { f()+f(-)} d =:) p p cos ;{; d=[si;{;] = 0 =e t=, =e t=4 =:E e 4 4 d=:!4 dt l t =[4lt] =4 l 4=8 l 063 % 0% 8% % 50% 연속함수 f() 의그래프는그림과같다. 이곡선과 축으로둘러싸인두부분 A, B 의넓이가각각 a, b 일때, 정적분 :)p f( )d 의값은? { 단, p>;!;} A p B =f() p 059 두함수 f(), g() 가 f '()g()=을만족하고, f(e)=e f() 일때, :!e d의값은? f()g() f '()g()= =f '() g() e f '() :!e d=:!e d=[l f() ] f()g() f() 060 ( 단, f()+0) =l f(e) -l f() f(e) f(e) =l =l e { f(e)=e f() =e } f() f() = 두함수 f()=, g()=e 에대하여 :) l 7 f(g())d 의값은? + e f(g())= = = e + e + 4+ e (e +)'=e 7 l 7 : f(g())d=: 0l 0 06 e e + l 7 d=[l(e +)] 0 =l(e l 7 +)-l =l 8-l = l f(') 연속함수 f() 에대하여 :! f()d=일때, 정적분 :!4 d의값은? ' a=:)p f()d, b=-:p p f()d :)p f( )d =t 4 d=dt =0 t=0, =p t=p :)p f( )d=:) p f(t) ;4!; dt=;4!;:) p f(t)dt :)p f( )d=;4!;[:)p f(t)dt+:p p f(t)dt] :)p f( )d=;4!;(a-b) 064 6% 5% 8% 33% 38% 실수전체의집합에서이계도함수를갖는두함수 f() 와 g() 에대하여정적분 :) { f'()g(-)-g'()f(-)}d 의값을 k라하자. 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. :) { f()g'(-)-g()f'(-)}d=-k ㄴ. f(0)=f() 이고 g(0)=g() 이면, k=0이다. ㄷ. f()=l(+ ) 이고 g()=si p이면, k=0이다. :) { f '()g(-)-g'()f (-)}d=k -=t -d=dt d=-dt =0 t=, = t=0 :!0 { f '(-t)g(t)-g'(-t)f(t)}(-dt)=k :) { f '(-)g()-g'(-)f()}d=k f(') :!4 d '=t =t d=t dt ' = t=, =4 t= f(') f(t) :!4 d=:! tdt=:! f(t)dt= = ' t :) { f()g'(-)-g()f '(-)}d=-k { f()g(-)}'=f '()g(-)-f()g'(-) :) { f()g(-)}'d 06 연속함수 f() 에대하여 f()+f(-)=cos ;{; 일때, :_» f()d 의값은? p 0 p : f()d=: f()d+:) f()d -p -p 0 : f()d =-t d=-dt -p =:) f '()g(-)d-:) f()g'(-)d :) f()g'(-)d -=t :) f()g'(-)d=:!0 f (-t)g'(t)(-dt) :) f()g'(-)d=:) g'()f(-)d `

13 :) { f ()g(-)}'d=:) f '()g(-)d-:) g'()f(-)d :) {f ()g(-)}'d=:) { f '()g(-)-g'()f(-)}d=k 067 미분가능한함수 f() 에대하여 f(p)=f(0) 이고 :)» f()si d=k:)» f '()cos d 가성립할때, 상수 k 의값은? k=:) { f()g(-)}'d k=[f()g(-)]) k=f()g(0)-f(0)g() f(0)=f() g(0)=g() k=0 f()=l (+ ) g()=si p f(0)=l =0, g(0)=si 0=0 k=f()g(0)-f(0)g()=0 065 연속함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같다. 이곡선과 축으로둘러싸 =f() :)» f()si d =[f(){-;!; cos }]»)-:)» f '(){-;!; cos } d =0-:)» f '(){-;!; cos }d f(p)=f(0) =;!;:)» f '()cos d k=;!; 068 실수전체에서연속이고 f(0)=-5, f()=8인함수 f() 에대하여함수 g() 를 g()=:) f(+t)dt 로정의한다. 이때, g'(0) 의값을구하시오. 인두부분 A, B 의넓이가각각 4, 0 일때, 정적분 :)5 f()d 의값은? A 5 B 0 g()=:) f(+t)dt +t= dt=d t=0 =, t= =+ :)5 f()d=4, :% 0 f()d=-0 :)5 f()d =t d=dt + g()=:) f(+t)dt=: f()d ` g'()=f(+)-f() =0 t=0 =5 t=0 g'(0)=f()-f(0)=8-(-5)=3 3 :)5 f()d=;!;:) 0 f(t)dt :)5 f()d=;!;[:)5 f(t)dt+:% 0 f(t)dt] :)5 f()d=;!;(4-0)= 오른쪽그림은미분가능한함수 =f() 의그래프이다. 두부분 A, B 의넓이 는각각 a, b 이고 f(0)=0, f()= 이다. 이때, 정적분 :) f'(')d 의값 을 a, b 로나타낸것은? =f() 066 오른쪽그림은 0 4에서정의된함수 =f() 의그래프이다. 정적분 :) f(3-)d의값은? 3 =f() :) f'(')d '=t =t d=t dt A B 3 4 =0 t=0, = t= :) f'(')d=:) f '(t) t dt=[f(t) t] -:) f(t) dt º 3-=t - d=dt =0 t=3, = t= :) f(3-)d=:# f(t){-;!; dt}=;!;:!3 f(t)dt :) f'(')d= f()-:) f(t)dt=-:) f(t)dt :) f(t)dt=-a+b f()æ0 :!3 f(t)dt =f() :) f'(')d=-(-a+b)=a-b+ =, =3 :!3 f(t)dt=+=3 ;!;:!3 f(t)dt=;#; 070 f() 가연속함수일때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ( 단, f() 는상수함수가아니다.) ㄱ. : a-p b-p f(si )d=:ab f(si )d ㄴ. :) ; ; f(si )d=:) ; ; f(cos )d f(a+b) M -Cliic ㄷ. :)» f(si )d=; ;:)» f(si )d b : f()d=f()+c: f(a+b)d a+b=t a dt a= d=;a!;dt d =at=aa+b=bt=ab+b ab+b ab+b : f(a+b)d=: f(t) ;a!;dt=;a!;[f(t)] ab aa+b aa+b +p=t d=dt =a-p t=a, =b-p t=b si =si(t-p)=-si t b-p : f(si )d=:ab f(-si t)dt=:ab f(-si )d a-p 3

14 ; ;-=t -d=dt =0 t=; ;, =; ; t=0 :_ab f() d=:_0b {-f()}d+:)a f()d :_ab f() d=-(a-b)+b=-a+b si =si {; ;-t}=cos t :) ; ; f(si )d=: ; ; 0 f(cos t)(-dt)=:) ; ; f(cos )d p-=t -d=dt =0 t=p, =p t=0 si =si(p-t)=si t I=:) p 0 f(si )d=: (p-t)f(si t)(-dt) p I=:) p pf(si t)dt-:) p tf(si t)dt=:) p pf(si t)dt-i 073 연속함수 f() 에대하여두함수 F(), G() 를 F()=f()+f(-), G()=f()-f(-) 라정의할때, :_! F()G()d 의값은? F(-)=f(-)+f()=F(), G(-)=f(-)-f()=-G() F()G()=H() H(-)=F(-)G(-)=-F()G()=-H() :_! F()G()d=:_! H()d=0 I=:) p pf(si t)dt I=; ;:) p f(si )d f()g() M -Cliic si (p+h)=si h, cos (p+h)=cos h, ta (p+h)=ta h si (-h)=-si h, cos (-h)=cos h, ta (-h)=-ta h si {; ; h}=cos h, cos {; ; h}= si h, ta {; ; h}= ta h si (p h)= si h, cos (p h)=-cos h, ta (p h)= ta h f() g() f() g() f()g() f() g() (f Á g)() 07 함수 f()= 의그래프를 축방향으로 a 만큼, 축방향으로 b 만큼평행이동시켰더니함수 =g() 의 그래프가되었다. g(0)=0 이고 :A3 a g()d-:) a f()d=3 일때, a 의값을구하시오. f()g() : f()= a, b =g() g()=(-a) +b g(0)=-a +b=0 b=a ` 074 함수 f()=si(si ) 에대하여 :_! f()d+:_@ f()d 의값은? q-c :Pq g()d=: g(+c)d p-c :A3 a g()d=:a3 a {(-a) +b}d=:) a ( +b)d f(-)=si (si(-))=si(-si )=-si(si )=-f() :_! f()d+:_@ f()d=0+0=0 :) a ( +b)d-:) a d=:) a bd=[b])a =ab=3 ` ab=a =3 a = 연속함수 f() 가모든실수 에대하여 f(+)=f() 를만족시키고 :) f()d= 일때, :@ 0 f()d 의값을구하시오 % 3% 5% % 5% 양수 a에대하여삼차함수 f()=-(+a)(-a) 의극대가되는점의 좌표를 b라하자. :_ab f()d=a, :B a+b f(-b)d=b일때, :_ab f() d 의값은? f(+)=f() :) f()d=:! f()d==:( 0 f()d= :@ 0 f()d=:@3 f()d++:( 0 f()d= 8=6 6 =f() =f(-b) =f() =f(-b) 076 연속함수 f() 가다음조건을만족시킬때, :! f()d 의값은? -a -b b a -a+b b b a+b 모든실수 에대하여 f(+)=f(-) :)3 f()d=0, :@4 f()d=6 :_ab f()d=a, :B a+b f(-b)d=:)a f()d=b :_0B f()d=:_ab f()d-:)a f()d=a-b f() f(+)=f(-) =f() = 4

15 :)3 f()d=:!4 f()d=0 :! f()d=:!4 f()d=0-6=4 077 연속함수 f() 가모든실수, 에대하여 f(+)=f()+f() 를만족할때, :_! f()d 의값은? =f(-) =f() [0, 4] [, 5] :)4 f()d=:!5 f(-)d f()= :)4 f()d=:)4 d=[ ]4)=6, :) f()d=:) 4d=[ ])=8 f(+)=f()+f() =0, =0 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 - f(0)=f()+f(-) f(-)=-f() :_! f()d+:_@ f()d=0+0=0 :)4 f()d+:) f()d =f(4-) =f() = :) { f()+f(4-)}d=:) f()d+:) f(4-)d :) { f()+f(4-)}d=:) f()d+:@4 f()d 078 연속함수 f() 는임의의실수 에대하여다음조건을만족시킨다. :) f()d=0 일때, 정적분 :_3@ f()d 의값을구하시오. :) { f()+f(4-)}d=:)4 f()d :)4 f()d f(-)=f() f()=f(+) f(-)=f() =f() f()=f(+) f() :) f()d=0 :_0! f()d=0 :_! f()d=:_0! f()d+:) f()d=0+0=0 08 이차함수 f()=a +b (a, b는상수 ) 가등식 :_! f()d=:_! f()d 를만족한다. 이때, - 인실수 에대하여 f()+>0이성립하도록하는정수 a의개수는? :_! f()d=:_! (a +b)d=:) a d :_! f()d=[;3a; ])=;3@;a - : f()d=0, :!3 f()d=0 - - :_3@ f()d=: f()d+:_! f()d+:!3 f()d - :_3@ f()d=0+0+0= 정적분 : +3p` cos d 의값은? =cos p = cos p 3p : cos d=: cos d +3p 0 p : cos d=3: cos d +3p 0 ; ; : cos d=3 : cos d +3p 0 p - ; ; : cos d=6[si ] =6 +3p 0 p p 3 p p = cos :_! f()d=:_! (a +b )d=:) b d :_! f()d=[;3b; ])=;3@;b ;3@;a=;3@;b a=b f()=a +a - f()+>0 f()+ 0 f()+=a +a+=a{+;!;} +-;4A; a+0 - f()+ a>0 f {-;!;}+=-;4A;>0 0<a<4 a<0 f()+=a+>0 -;!;<a<0 a,, % 3% 86% 4% % 함수 f() 는다음두조건을만족한다. - 일때, f()= -4 임의의실수 에대하여 f()=f(+4) 080 임의의연속함수 f() 에대하여정적분 :)4 f()d 의값과항상같은값을갖는것만을 [ 보기 ] 에서있는대로 정적분 :! f()d 와같은것은? f()=f(+4) f() 고른것은? :! f()d=:%6 f()d=:( 0 f()d==:$4kk! f()d ㄱ. :!5 f(-)d ㄴ. :) f()d ㄷ. :) { f()+f(4-)}d :! f()d=:@)0)0%6 f()d 5

16 083 이차함수 f()= +a+b 에대하여 :_! { f()} d 의최솟값은? ( 단, a, b 는실수이다.) :_! { f()} d=:_! ( +a+b) d :_! { f()} d=:_! { +a +(a +b) +ab+b } d :_! { f()} d=:) { +(a +b) +b }d a +b :_! { f()} d=[;5!;fi + 3 +b ]) 3 :_! { f()} d=;3@;a +b +;3$;b+;5@; f(-)=-f() :_! f()d=0 :_! f'()(5-)d=[f()(5-)] =4 f()-6 f(-) :_! f'()(5-)d=4 f()+6 f() ( f(-)=-f()) :_! f'()(5-)d=0 f() 086 다항함수 f() 에대하여옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ( 단, a, b는상수이다.) ㄱ. :Ab f() d ±:Ab f()d± ㄴ. :)a f()d=:) ;A; { f()+f(a-)}d :_! { f()} d=;3@;a +{b+;3!;} +;4 5; a=0, b=-;3!;:_! { f()} d ;4 5; ㄷ. 임의의실수 에대하여 f(-)=f() 이고 :)a f()d=a 이면 :_aa (-)f()d=-a ㄷ. 이다. :_! d=, :_! d =0 084 오른쪽그림은최솟값이 -;(; 인이차함수 =f() 의그래프이다. 함수 g() 를 g()=:) f(t+)dt로정의할때, g() 는 =a에서최솟값 b를갖는다. 이때, =f() 3 a+b의값은? 9 - =f() (0, 0), (3, 0) f()=k(-3)(k>0) {;#;, -;(;} :_! d> :_! d =f(a-) =f() =;A; :)a f()d=:) ;A; f()d+: a ;A; f()d :)a f()d=:) ;A; f()d+:) ;A; f(a-)d :)a f()d=:) ;A; { f()+f(a-)}d -;(;=k ;#; {-;#;} k= f()=(-3) g()=:) f(t+)dt =f(t) t - [0, ] =f(t) t - t=;!; g() g() g()=:) f(t+)dt=:) (t+)(t-)dt g()=:) (t -t-4)dt=[;3@;t -t -4t]) g()=-;; 3 ;;=b a+b=+{-;; 3 ;;}=-;; 3º;; =f(t+) =f(t) 3-3 t - 9 :_aa (-)f()d=:_aa f()d-:_aa f()d h()=f() h(-)=-f(-)=-f()=-h() :_aa h()d=:_aa f()d=0 :_aa (-)f()d=0-:_aa f()d=-:)a f()d=-a 087 임의의양수 a, b에대하여등식 :Ab f()d+:_-ab f()d=0을만족시키는함수만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. f()=si ㄴ. f()=3 + ㄷ. f()= :Ab f()d+:_-ab f()d=0 :Ab f()d=-:_-ab f()d=:_-ba f()d 085 함수 f()= e -e 에대하여 :_! f '()(5-)d의값을 f() 로나타낸것은? a, b [a, b] [-b, -a] =f() :_! f '()(5-)d=[f()(5-)] -:_! f()(-)d :_! f '()(5-)d=[f()(5-)] +:_! f()d 088 이차함수 f() 가 f()=: 7 : -:! f(t)dt+ :! f(t)dt 일때, 0:! f()d 의값을구하시오. 6

17 :! f(t)dt=a f()=: 7 : -a+a :! f(t)dt=:! {: 7 :t -at+a }dt=a 093 함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같을때, 값은? lim h 0 ;h!;:! +h f()d 의 [;7$;t -at +a t]!=4-3a+a =a a -4a+4=0, (a-) =0 a= =f() 0:! f()d=0a= 다항함수 f() 가모든실수 에대하여 :!/ f(t)dt= -a +a를만족시킬때, f(3) 의값을구하시오. ( 단, a는상수이다.) :!/ f(t)dt= -a +a = F'()=f() lim h 0 ;h!;:! +h f()d= lim h 0 +h ;h!;[f()] ;h!;:! +h F(+h)-F() f()d= lim h 0 h ;h!;:! +h F(+h)-F() f()d= lim h 0 h ;h!;:! +h f()d=f'()= f() ;h!;:! +h f()d= =4 0=-a+a a= :!/ f(t)dt= - + f()=3-4+ f(3)=7-+= 함수 f() 가모든실수 에대하여 :A/ f(t)dt= - -+을만족시킬때, f(a) 의값은? ( 단, a는자연수이다.) :A/ f(t)dt= - -+ f()=6-4- =a 0=a -a -a+ (a-)(a -)=0 a= a f(a)=f()=6-4 -= 09 함수 f()= - 에대하여 F'()=f() lim h 0 ;h!;: -h ;h!;: -h +h lim ;h!;: f()d 의값은? h 0 -h +h f()d= lim ;h!;[f()] h 0 -h +h f()d= lim h 0 +h = lim h 0 F(+h)-F()+F()-F(-h) h F(+h)-F(-h) 5555 h +h F(+h)-F() F(-h)-F() ;h!;: f()d= lim [ ] -h h 0 h -h +h ;h!;: f()d=f'()= f()=( - )=- -h 함수 f()=3 l +e +에대하여 lim 0 ;[!;: f(t)dt=ae+b일때, a+b의값은? - ( 단, a, b는유리수이다.) f() F() lim 0 + ;[!;: f(t)dt - = lim ;[!; [F(t)] = = + - F(+)-F() F(-)-F() = lim + lim =F'()+F'() =3F'()=3 f() f()=3 l +e+=e+ lim 0 0 lim 0 lim 0 + ;[!;: f(t)dt=3e+3 - a=3, b=3 a+b=6 095 F(+)-F(-) {F(+)-F()}-{F(-)-F()} 실수전체에서미분가능한함수 f() 가모든실수 에대하여등식 f()=fi -3 +3:!/ t f(t)dt 를 만족시킬때, f() 의값은? 09 lim h 0 55 :! +h ( ++3)d 의값은? h +h F'()= ++3 lim h :! +h ( ++3)d h +h [F()]! +h F(+h)-F() = lim = lim h 0 h(h+) h 0 h h+ =F'() =( ++3) =6 f()=fi -3 +3:!/ t f(t)dt ` 3 f()+ f '()= f() f '()=0- f()=: (0-)d=5 -+C ` = f()=-3+3 0=- f()=5-+c=- C=6 f()=5 -+6 f()=0-4+6= 7

18 096 다항함수 f() 에대하여 tf(t)dt 가 (-) 으로나누어떨어질때, f()+f '() 를 - 로나눈나머지는? 099 점 (0, 4) 를지나는연속함수 =f() 가임의의실수 에대하여 :)/ f(t)dt=ae +b si 를만족할때, a+b 의값을구하시오. ( 단, a, b 는상수이다.) f()++:@/ tf(t)dt=(-) Q() Q() = f()+=0 f()=- f '()++f()=(-)q()+(-) Q'() f '()++f()=0 f '()++ (-)=0 f '()=3 f()+f '() - f()+f '()=-+3= ` :)/ f(t)dt=ae +b si ` =0 0=ae +b si 0 a=0 :)/ f(t)dt=b si ` f()=b cos f(0)=4 b=4 a+b= 함수 f() 가 f()- +a=3:?a {+f'(t)}dt 를만족하고 f(0)=0 일때, 양수 a 의값은? f() -a R R=f(a) f() -a f(a)=0 097 함수 f()=:)/ (t -t-)dt 가 =a 에서극솟값을갖고 =b 에서극댓값을가질때, a-b 의값은? =0 f(0)=3:)a {+f'(t)}dt f(0)=0 :)a {+f'(t)}dt=[t+f(t)]a)=a+f(a)=0 f(a)=-a =a f(a)-a +a =0 f(a)=-a -a =-a, a -a=0, a(a-)=0 a= a>0) ` ` f()=:)/ (t -t-)dt f '()= -- f() =a, =b f'(a)=0, f '(b)=0 --=0 a, b(a>b) a=+', b=-' a-b=' 0 연속함수 f() 가모든실수 에대하여등식 :A/ f(t)dt=(+) -a 를만족시킬때, 상수 a 의값은? >a :A/ f(t)dt=(+)(-a)= -(a-)-a f()=-(a-) <a 098 다항함수 f() 가 f()=3 +:_! (+)f(t)dt 를만족할때, :) f()d 의값은? f()=3 +:_! (+)f(t)dt :_! (+)f(t)dt t :_! (+)f(t)dt=(+):_! f(t)dt :_! f(t)dt=a f()=3 +a+a :_! f(t)dt=:_! (3t +at+a)dt=a :_! (3t +at+a)dt=:) (3t +a)dt=[t +at])=(+a)=a a=- f()=3 -- :) f()d=:) (3 --)d :) f()d=[ - -])=0 :A/ f(t)dt=(+)(-+a)=- +(a-)+a f()=-+(a-) f() =a lim f()= lim f() a+0 a-0 a-(a-)=-a+(a-) a=- 0 f(t) f()=-:!e dt로주어진함수 f() 에대하여 f(e) 의값은? t f(t) :!e dt=k (k ) f()=-k ` t t-k k k=:!e dt=:!e {- } dt=[t-k l t]e =e--k t t e- k= e- f()=- e- e+ f(e)=e- = 8

19 03 오른쪽그림과같이 æa에서 f()æ0인연속함수 f() 에대하여 축과두직선=a, =t 및곡선 =f() 로둘러싸인부분의넓이를 S(t) 라하 S(t) 자. f(a)=b일때, lim 의값은? t a t-a b =f() S(t) g()=:_/! (t-)f(t)dt g'()=(-)f() (-) (-) (<) g'()= g (-)(-+) (>) a t -(-) (<) g'()= g -(-)(-) (>) F'()=f() æa f()æ0 S(t)=:At f()d=[f()]ta S(t)=F(t)-F(a) S(t) F(t)-F(a) lim = lim =F'(a) t a t-a t a t-a =f(a)=b 04 이차함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같다. 함수 g() 를 g()=:? + f(t)dt 라할때, g() 의최솟값은? =f() (, 0), (4, 0) f()=a(-)(-4) (a>0) g()=:? + f(t)dt g'()=f(+)-f() g'()=a(+)(-)-a(-)(-4) g'()=a(4-6) g'()=a(4-6)=0 =;#; a>0 g() g() =;#; g{;#;} g() f(t) t= t=+ (+)-= =f(t) t=;%; t=;#; t=;&; g() =;#; g() g{;#;} =f() 4 ;#; g'() g() (, ) g'()=-(-)(-)>0 g() (, ) g()-g() lim = lim {-(-)}=0, g()-g() lim = lim {-(-)(-)}= g() = =g'() g'() =g() =g() =k g()=k k 06 5% % 0% 50% 3% - 함수 f() 를 f()=:a/ {+si(t )}dt 라하자. f "(a)='3a 일때, (f )'(0) 의값은? f '()=+si( ), f "()= cos( ) f "(a)=a cos(a )='3a cos(a )= a =;6 ; { 0<a <; ;} f( f ())= =g'() =k =g() { 단, a 는 0<a<Æ; ; 인상수이다.} f'(f ()){(f )'()}= =0 f'(f (0)){(f )'(0)}= (f )'(0)= ` f'(f (0)) =a f(a)=0 f (0)=a f '(a)=+si(a ) (f )'(0)= = = 4=;5@; f '(a) +si(a ) +si ;6 ; '3 05 8% 9% 40% 3% 0% - (<) 함수 f()= g 에대하여함수 g() 를 g()=:_/! (t-)f(t)dt라하자. -+ (æ) [ 보기 ] 에서옳은것만을있는대로고른것은? ㄱ. g() 는구간 (, ) 에서증가한다. ㄴ. g() 는 =에서미분가능하다. ㄷ. 방정식 g()=k가서로다른세실근을갖도록하는실수 k가존재한다. f() g() f(g())= g'()= 5 f'(g()) a 9

20 07 + 함수 f()= -4에대하여 F()=: f(t)dt라할때,- 에서 F() 의최댓값과최솟값 - 의합은? + + F()=: f(t)dt=: (t -4t)dt - - F'()=f(+)-f(-) F'()={(+) -4(+)}-{(-) -4(-)} F'()=6-6 F'()=6-6=6(+)(-)=0 =- = - F() =- = 0 연속함수 f() 가 : 0 f(t)dt= si p 를만족할때, f(4) 의값은? f() F() [F()] º = si p F( )-F(0)= si p F'( )=si p+p cos p f( )=si p+p cos p = 4f(4)=p f(4)=; ; ` F(-)=:_0@ (t -4t)dt=[;4!;t -t ]0_@=4 F()=:) (t -4t)dt=[;4!;t -t ])= 에대한다항식 f() 가 ( -)f()= :)/ f(t)dt를만족할때, 다항식 f() 의모든계수와상수항의합은? f() æ3 (+) (+) +++ <3 (+) 4 +=4 = f()= +a+b(a, b ) ( -)( +a+b)= :)/ (t +at+b)dt 모든실수 에대하여연속함수 f() 가 :)/ (-t)f(t)dt=e (+)+-를만족할때, f() 의극댓값은? :)/ (-t)f(t)dt=:)/ f(t)dt-:)/ tf(t)dt=e (+)+- :)/ f(t)dt+f()-f()=-e (+)+e + :)/ f(t)dt=-e (+)+ f()=e (+)-e =e f '()=e -e =e (-) f '()=0 = f() = f()=e =;e!; ( +a+b)+( -)(+a)= ( +a+b) 4 +3a +(b-)-a=4 +6 +(6a-6)+6b+4 3a=6, b-=6a-6, -a=6b+4 a=, b=- f()= +- f()= 정의역이 { 0 5} 인함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같을때, 함수 g()=:)/ f(t)dt 에대하여옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것 은? ㄱ. lim h 0 ; h;{g(+h)-g()}=0 ㄴ. g() 는 = 에서극솟값, =3 에서극댓값을갖는다. ㄷ. g(5)=g()+:!3 f(t) dt-:#5 f(t) dt =f() 양의실수전체의집합에서정의된미분가능한함수 f() 가 f()=+:!/ f(t)dt를만족할때, f(e ) 의값을구하시오. f()=+:!/ f(t)dt f()+ f '()=+f() f '()=;[!; (>0) f()=: ;[!; d=l +C = f()= C= f()=l f(e )= (l e +)= (k+) k= k= 0 k= 0 f(e )= +0=55+0= k= g()=:)/ f(t)dt g'()=f() g(+h)-g() lim ; h;{ g(+h)-g()}=;!; lim =;!;g'() h 0 h 0 h ; h;{ g(+h)-g()}=;!;f()=0 0<< f()<0, <<3 f()>0 g() = <<3 f()>0, 3<<5 f()<0 g() =3 g() g(5)-g()=:)5 f(t)dt-:) f(t)dt=:!5 f(t)dt g(5)-g()=:!3 f(t) dt-:#5 f(t) dt 0

21 g(5)=g()+:!3 f(t) dt-:#5 f(t) dt 5 (+k) 등식 lim =c:ab d가성립할때, a+b+c의값은? ( 단, a, b, c는자연수이다.) k= fi 3 0 에서정의된연속함수 f() 가다음조건을만족한다. (+k) lim = lim {+: apple:}4 ;@; k= fi k= =:!3 d 0 일때, f()= 0 인실수 에대하여 :?/ f(t)dt=+;3!; a=, b=3, c= a+b+c=+3+=5 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. f()= ㄴ. f'()= ㄷ. <c< 일때, f'(c) 6 :? + f(t)dt=+;3!; 등식 lim k= ;@;{+: apple:}=;#;: a d를만족시키는상수 a의값은? ;3@; f(+)-f()= 0 f()= f(+)=f()+= + +=t t f(t)=(t-) + f()=(-) + (0 ) f()= g (-) + ( ) f()=(-) + f()= (0<<) f '()= g (-) (<<) f '()= lim = lim -0 lim +0 f '()= lim (-)=0 lim f '()+ lim f '() -0 f '() <c< f '(c)= c (c-)= c=;#; f'{;#;}=0 =f() <c<;#; f '(c)< ;#;<c< f '(c)> <c< f '(c) 4 함수 f()= +일때, lim ;!; f{+: apple:} 의값을구하시오. k= lim ;!; f{+: apple:}= lim f{+: apple:} ;@; ;!; k= k= =f() lim ;@;{+: apple:}= lim ;@;{+;#; : apple:} k= a=;3*; lim 7 ;@;{+: apple:}= lim ;#;{;3@;+: apple:};@; ;3@;+ ;@;{+: apple:}=;#;: d ;3@; ;3*; ;@;{+: apple:}=;#;: d ;3@; k= k= (b-a)k b-a ;K+! f {a+ 5} =(b-a):) f(a+(b-a))d :Ab f()d a+(b-a) =0= a b f(a+(b-a)) f() b-a (b-a):) f(a+(b-a))d=:ab f()d (b-a)k b-a lim ;K+! f {a+ 5} =:Ab f()d M -Cliic 자연수 에대하여일반항이 =--;#;+: apple: 인등차수열 { } 가있다. 함수 f()=3 -+ 에대하 여 lim f( )( - ) 의값은? k= =--;#;+: apple:=-+(k-) ;#; { } ;#; - =;#; lim f( )( - )= lim f {-+(k-) ;#;} ;#; k= k= ;!; f{+: apple:}=;!;:!3 f()d f( )( - )=:_! f()d ;!; f{+: apple:}=;!;:!3 ( +)d f( )( - )=:_! (3 -+)d ;!; f{+: apple:}=;!;[;4!; +;!; ]3!= f( )( - )=[ -;!; +]_!=: :

22 8 함수 f()= lim [{:apple :} +:apple :];{; 에대하여 f '(0) 의값을구하시오. k= f()= lim [{:apple :} +:apple :];{; f()= lim [{;{;k} +;{;k];{; f()=:)/ (t +t)dt k= k= f '()=;dî[;:)/ (t +t)dt= + f '(0)=0 +0=0 0 9 lim p 3p ;!; {si ; ;+si +si ++si :ñ :} 의값은? k k 곡선 =e 위의점 {, e } 에서의접선의 절편을 S ;K; 라할때, lim ;!;S ;K; 의값은? k= k k '=e {, e } k k k -e =e {- } k k k k -e =e {0- } ={- } e k S k ={- } e k k lim ;!;S k = lim {- } e k= k k= ;!;S =:) (-)e d ;!;S =[(-)e ])-:) (-e )d k p p 3p p lim ;!; {si +si +si ++si } kp = lim ;!; si =:) si pd k= =[-;ç!; cos p])=;ç@; 0 lim lim '+'+'3++' 의값은? ' '+'+'3++' = lim ;!; ' = lim {æ;!;+æ;@;+æ;#;++æ;n; } ;!; '+'+'3++' ' k = lim æ ;!;=:) 'd k= =[;3@; ;#; ])=;3@; ;!;S =-+[e ])=e- 3 f() 자연수 에대하여 f()=«"( + )( + )( +3) ( + ) 일때, lim l 의값은? l =l l =l «æ{ +;!; }{ +;#; }{ +;N;} l l f() =;!; l[{+;!;}{+;@;}{+;#;}{+;n;}] =;!; [l {+;!;}+l {+;@;}+l {+;#;}++l {+;N;}] k l =;!; l {+ } «" (+)(+)(+ 3)(+) k= f() k lim l = lim ;!; l {+ }=:! l d k= l =[ l ]!-:! ;[!; d lim { } 의값은? lim { } = lim = lim ;!; k= +k k= +{;K;} =:) d + l = l -[]!=l 4-4 0% 6% 4% 9% 5% k- 함수 f()= 에대하여그림과같이구간 [0, ] 을 등분한후, 구간 [ , ;apple;] 를밑변으로하고 높이가 f{;apple;} 인직사각형의넓이를 S 라하자. ( 단, 은자연수이고 k=,, 3,, 이다.) f()= S S =ta h {-; ;<h<; ;} d=sec h dh =0 h=0, = h=;4 ; =:) d=:) ;4 ; sec h dh + +ta h =:) ;4 ; sec h sec h dh=:) ;4 ; dh ;4 ; =[h] =;4 ; 0 [ 보기 ] 에서옳은것을모두고른것은? S S S S S S ㄱ. lim S =:) ;!; d ㄴ. lim (S -S )=0 ㄷ. lim k= k= S =;!;:) d k=

23 S =f {;apple;} ; ; lim S = lim f{;apple;} ; ; S = lim {;apple;} ; ;=:) ;!; d k- S -S =f {;@K;;} ; ;-f { 55 } ; ; k- S -S =; ;[{;@K;;} -{ 55 } ] 4k- 4k- S -S =; ; 55 = k= lim (S -S )= lim (S -S )= lim (4k-) 8 k= (+) (S -S )= lim [ ] 8 + (S -S )= lim =0 8 lim S = lim f{;@k;} ; ; k= k= S =;!; lim {;K;} ;!;=;!;:) d k= k= k= k= 함수 f()= +a+b (aæ0, b>0) 가있다. 그림과같이 이상인자연수 에대하여닫힌구간 [0, ] 을 등분한각분점 ( 양끝점도포함 ) 을차례로 0=º,,,, -, =이라하자. 닫힌구간 [ k-, k ] 를밑변으로하고높이가 f( k ) 인직사각형의넓이를 A k 라하자.(k=,,, ) k= 4k =f() A f()= +3 8k k k lim 54 A = lim 8 f{ } k= k= k k A =8 lim f{ } k= A =8:) f()d=8:) ( +3)d A =8[ 5 +;#; ]) 4 A =8 ;4&;=4 4 A A«a, b f() 6 구간 [, ] 를 등분한각점과양끝점의좌표를차례로 º,,,, «, «(º=, «=) 이라 할때, lim {º+(-) +(-) ++«+«} 의값은? =+;K; lim 55 {º+(-) +(-) ++«+«} - = lim 55 (-k){+;k;} k=0 - = lim {-;K;}{+;K;} ;!; k=0 A º k - k- Ak 0 - = lim [-{;K;} ] ;!; k=0 =:) (- )d 7 + 8k 양끝에있는두직사각형의넓이의합이 A +A«= 일때, lim 555 A 의값을구하시오. k= A, A«;!; f( )=f {;!;}, f(«)=f() A =;!; f {;!;}, A«=;!; f() A +A«=;!; f {;!;}+;!; f() =[- 55 ])=;3@; 3 7 함수 f() 가다음조건을만족할때, :$8 f()d 의값을구하시오. 임의의실수, 에대하여 f(+)=f()+f() lim k= f {+;K;} ;!;= A +A«=;!;[ f {;!;}+f()] A +A«=;!; { 3+;A;+b++a+b} +a+(+a+b) A +A«= A +A«= 3 +a+(+a+b) = 3 a=0 +a+b=7 b=3 f(+)=f()+f() = f()=f() f(+)=f()+f() = f(3)=f()+f()=f()+f()=3f() f(+)=f()+f() =(-) f()=f()+f((-)) f()=f()+(-)f() f()=f() ` 3

24 :$8 f()d= lim k= f {4+: apple:} ;$; :$8 f()d= lim 4f{+;K;} ;$; k= 30 오른쪽그림과같이 A= B=90, AD =, AB =4, BC =3인사다리꼴 ABCD에서변 AB를 등분한점을각각 P, P, P,, P«이라하고각점에서변 BC에평행한직선을그어변 CD와만나는점을각각 Q, A P P P D Q Q Q :$8 f()d=6 lim k= f {+;K;} ;!; :$8 f()d=6 =3 3 Q, Q,, Q«이라할때, lim ;#;(P Q +P Q +P Q ++P «Q«) 의값을구하시오. ( 단, 점 B 를 P«, 점 C 를 Q«이라한다.) P B(=P) Q C(=Q) 8 (-) 정의역이 { -<<} 인함수 f()= lim ;!; { + +;@; } 은 =a 일때, 최솟값 b 를갖는다. 이때, a+b 의값은? (-) f()= lim ;!;{ + +;@; + +;$; } - f()= lim ;!; +: apple: = lim +: apple: ;@; ;!; k=0 f()=;!;:@?/ t dt = t f() (, 0) (+, 0) ++ f() =0, =-;!; t f {-;!;}=;!;:_! t dt=;!; :) tdt=[ 5 ])=;!; a=-;!;, b=;!; a+b=-;!;+;!;=0 9 - k=0 오른쪽그림과같이함수 =4- (æ0, æ0) 의그래프가 축과만나는점을 P라할때, P 를 등분한점을차례로 P, P, P,, P«이라하자. 점 P (i=,,, -) 를지나고 축에평행한직선이곡선 =4- 과만나는점을 Q (i=,,, -) 라할때, lim : :(P Q +P Q ++P«Q «) 의값을구하시오. (-) P =;@;, P =;$;,, P «= = t + t (-) P Q =4-{;@;}, P Q =4-{;$;},, P «Q «=4-[ ] lim : : (P Q +P Q ++P «Q «) - = lim : : [4-{: apple:} ] k= 4 Q Q P P =4- Q P P D BC E DE =4, CE = DE P Q, P Q,, P «Q «R, R,, R«4(-) D R =;$;, D R =;*;,, D R «= , DE =: : (-) R Q =;@;, R Q =;$;,, R «Q «= , EC =: : P Q =+;@;, P Q =+;$;,, P «Q«=+: : lim ;#;(P Q +P Q +P Q ++P «Q«) = lim ;#; {+: apple:} = lim {+: apple:} ;@; ;#; k= k= =;#;:!3 d=;#;[;3!; ]3!=3 3 3 오른쪽그림과같이반지름의길이가 인반원의호 AB를 등분하는점을 P, P,, P«이라하고, 점 A(, 0), B(-, 0) 을각각 Pº, P«이라할때, lim 의값은? ;!;(P ºP +P ºP ++P ºP«) AP =:apple : P {cos :apple :, si :apple :} P ºP ={-cos :apple :} +si :apple : P ºP =- cos :apple :+cos :apple :+si :apple : P ºP =- cos :apple : lim ;!; (P ºP +P ºP ++P ºP«)= lim ;!; P ºP A P P P B R R R E D Q 4 Q Q P - R - Q- = lim ;!; {- cos :apple :} P k= k= P k B(-, 0) P =:) (- cos p)d B(-, 0) P P C P P A(, 0) A(, 0) = lim : : [4-{: apple:} ] { k=4-{: apple:} =0} k= =[-;ç@; si p])= = lim [4-{: apple:} ] ;@; : : k= =: ::) (4- ) d =: ::) (6-8 + )d =: :[6-;3*; +;5!;fi ])=8 8 3 오른쪽그림과같이반지름의길이가 인원에내접하는정삼각형 ABC가있다. A 의 등분선이 ABC의외접원과만나는점을 P, P,, P«이라하 고, 점 C를 P«이라하자. 이때, lim ;!; A P 의값은? k= A B C(P«) P P«P P 4

25 ABP BAP =;3 ; k =;3K ;, AP B=;3 ; A 34 % 3% % 90% 3% 두곡선 = -, =- +로둘러싸인도형의넓이가곡선 =a(-) 에의하여이등분될때, 상수 a의값은? =- + ABP =p-;3k ;-;3 ;=: 3 :-;3K ; ( 단, 0<a<) =a(-) A P si( ABP ) = A P = si {: 3 :-;3K ;} lim ;!; A P = lim ;!; si{: 3 :-;3K ;} k= ;!; A P =:) si {: 3 :-;3 ;} d ;!; A P =[;ç#; cos {: 3 :-;3 ;}]) k= B P P P P k C(P«) = -, =- + :) {(- +)-( - )}d=:) (- + +)d :) {(- +)-( - )}d=[-;5@;fi +;4!; +;!; ]) = - :) {(- +)-( - )}d=; 0; ` =- + =a(-) ;!; A P =;ç^; {cos ;3 ;-cos : 3 :}=;ç^; ;!; ABC R a b c = = =R si A si B si C B c A b R a C :) {(- +)-a(-)}d=:) {- +a +(-a)}d a -a :) {(- +)-a(-)}d=[-;5!;fi ]) 3 9-5a :) {(- +)-a(-)}d= =;4 0; a= a=;4#; 33 오른쪽그림과같이좌표평면위에함수 =e 의그래프가있다. 두점 A(0, ), B(0, ) 에대하여 AB 의 등분점을점 A에가까운점부터순서대로 P, P,, B =e C P«이라하고, 점 B를 P«으로놓는다. 점 P (k=,,, ) 를지나고 축에 Qk Pk 평행한직선을그어곡선 =e 과만나는점을 Q 라하고, 점 Q 를지나고 축에 평행한직선을그어 축과만나는점을 R 라하자. A S +S ++S«원점 에대하여직사각형R Q P 의넓이를 S 라하면 lim 55 Rk D 의값은직사각형 DCB의넓이보다 a만큼작다. 이때, 00a의값을구하시오. ( 단, Q«은점 C이고, R«은점 D이다.) k k P {0, + } R {l {+ }, 0} k k Q {l {+ }, + } k k P Q =l {+ }, Q R =+ k k S =Q R _P Q ={+ } l {+ } S +S ++S«k k lim = lim ;!; {+ } l {+ } =:! l d =[;!; l ]!-:! ;!; ;[!; d = l -[;4!; ]! = l -;4#; DCB l a= l -{l-;4#;}=;4#; k= 00a=00 ;4#;= 곡선 =6 +과 축및두직선=-h, =+h(h>0) 로둘러싸인부분의넓이를 S(h) 라할때, S(h) lim 5555 의값을구하시오. h +0 h 6 +>0 =6 + S(h)=:!_ Hh (6 +)d=[ +] +h -h S(h)=(+h) +(+h)-{(-h) +(-h)} S(h)=4h+4h S(h) 4h+4h lim 5 = lim = lim (4+4h )=4 4 h +0 h h +0 h h +0 S(h)=:!_ Hh (6 +)d F'()=6 + S(h)=F(+h)-F(-h) S(h) F(+h)-F(-h) lim 5 = lim h +0 h h +0 h F(+h)-F() F(-h)-F() = lim [ ] h +0 h -h 36 =F'()= 7=4 좌표평면에서곡선 = e 과직선 =;3@;로둘러싸인두부분의넓이의합은? e + = { e e + 7% % 5% 0% 7% e e + -;3@;}=0 =;3@; e e + =;3@; 5

26 e =0 e + e =;3@; e = e + =l = 'l e :) 'l -;3@; d= :) 'l { -;3@;} d e + e + :) 'l -;3@; d= [;!; l(e 'l +)-;3!; ] 0 :) 'l -;3@; d= [l(e 'l +)-;3@; ] 0 :) 'l -;3@; d= (l 3-l )-;3@; l :) 'l -;3@; d= l 3-;3%; l :) 'l -;3@; d=;3%; l -l 3 ;3%; >3 e 37 연립부등식 이나타내는영역의넓이는? 39 - 곡선 = 와 축, 축으로둘러싸인부분의넓이가 a+b l 일때, a+b의값은? + ( 단, a, b는정수이다.) - = = :) {-+ } d=[-+ l(+)]) + :) {-+ } d=-+ l a=-, b= a+b=(-)+= = = M -Cliic =3-5+ =+ 3-5+=+ 3(-)=0 =0 = S S=:) {(+)-(3-5+)}d S=:) (6-3 )d S=[3 - ])=4 = =+ 40 오른쪽그림과같이구간 [0, ; ;] 에서곡선 =si 와직선 =a 로둘러싸인어두운두부분 A, B의넓이가서로같을때, 상수 a의값은? ; ; : (si -a)d=0 0 ; ; [-cos -a] =-; ;a+=0 0 a=;ç@; a A B p =si p >f()<f() =f() >f() =f() <f() =f() 4 오른쪽그림과같이곡선 = (æ0) 위의두점 P(a, a ), Q(, 4) 에서 축에내린수선의발을각각 A, C, 축에내린수선의발을각각 B, D라하자. 어두운두부분의넓이의합이 4일때, a의값은? ( 단, 0<a<) D 4 = Q 38 오른쪽그림의두곡선 =, = '로둘러싸인부분의넓이는? = =' CQD-APB+:)a d-:a d BP a A C a =8-a +[;3!; ]a)-[;3!; ]A S =:) d=:) d=[;5!;fi ])=;5!; S =:) d=:) d=[;3!; ])=;3!; -(S +S )=-{;5!;+;3!;}=; 5; = = ' S S a a =8-a + 3 -{;3*;- 3 } 3 3 =: 3 :-;3!;a : 3 :-;3!;a =4 a =4 a= '4 6

27 4 포물선 =- ++6과 축으로둘러싸인부분을직선 =4가오른쪽그림과같이두부분으로나눌때, 어두운부분의넓이는? = =0, -(+)(-3)=0 =- =3 =- ++6 (-, 0), (3, 0) =- ++6 =4 S S S +S =:_3@ (- ++6)d 5 S +S =[-;3!; +;!; +6]3_@= 6 =- ++6 = =4 --=0 (+)(-)=0 =- = S =:_! {(- ++6)-4}d S =:_! (- ++)d S =[-;3!; +;!; +]_!=;(; 5 S = -;(;=: 3ª: 6 S =- ++6 =- ++6 S S =4 =4 :)3 (-+3)d=;(;>3 =k = =+3 0<k<3 k :K3 (-+3)d=[- +3]3K= -3k+;(;=3 k -6k+3=0 k=3-'6 0<k<3 =k =+3, = k+3, k =k k+3-k=3-k 3-k 3 ;!;(3-k) =3, k=3 '6 k=3-'6 0<k<3 44 곡선 =;[!;(>0) 과두직선 =, =3 로둘러싸인부분의넓이는? =;[!;(>0) =, =3 (, ), {, '3} :) '3 (3-)d+: {;[!;-} d '3 =[ ] 0 '3 '3 +[l -;!; ] '3 '3 =;3!;+{-;!;-l +;6!;}=;!; l 3 '3 '3 =3 45 함수 f()=-e 에대하여두곡선 =f(), =f '() 와 축으로둘러싸인부분의넓이는? = = S=:_-@ (- ++6)d+:_! 4d+:@3 (- ++6)d S=[-;3!; +;!; +6]-_@+[4]_!+[-;3!; +;!; +6]3@=: 3ª: 43 함수 = 의그래프와직선 =+3으로둘러싸인부분의넓이를직선 =k가이등분할때, 상수 k 의값은? f '()=-e (-)=e =f(), =f '() -e =e 3e =, e =;3!; -=-l 3 =;!; l 3 =-e =e l 3 = =+3 >0 =+3 =3 <0 -=+3 =- = =+3 :_3! {+3- } d=:_0! (3+3)d+:)3 (-+3)d :_3! {+3- } d=[;#; +3]0_!+[-;!; +3]3) :_3! {+3- } d=;#;+;(;=6 = = =k :) ;!; l 3 {e -(-e )} d=:) ;!; l 3 (3e -)d :) ;!; l 3 ;!; l 3 {e -(-e )} d=[-;#;e -] 0 :) ;!; l 3 {e -(-e )} d=-;!; l 3 46 좌표평면의제 사분면에서곡선 =e 과직선 =4 로둘러싸인부분의넓이를 S 라하면 S=a+b l +c(l ) 이다. 이때, a +b +c 의값을구하시오. ( 단, a, b, c 는정수이다.) =e '=e +e =(+)e >0 '>0 =e >0 7

28 =e =4 e =4 (e -4)=0 =0 =l 4 S S=:) l 4 (4-e )d l 4 l 4 l 4 S=[ ] -{[e ] -:) e d} 0 0 l 4 S=8(l ) -8 l +[e ] 0 S=3-8 l +8(l ) a=3, b=-8, c=8 a +b +c = = 두곡선 =l, =l 와 축및직선 =로둘러싸인부분의넓이는? a +b+c=0 a, b(a<b) b a : a(-a)(-b)d=- (b-a) a 6 a +b+c=0 a, b(a<b) a+b=-;ab;, ab=;ac; b : (a +b+c)d a =[;3A; +;B; +c] Ú =;3A;(b -a )+;B;(b -a )+c(b-a) =;6A;(b-a)[(b +ab+a )+3 ;ab;(b+a)+6 ;ac;] =;6A;(b-a)[(b +ab+a )-3(a+b) +6ab] =;6A;(b-a)(-a +ab-b )=-;6A;(b-a) =l, =l = =l =e, =l =;!; e :) {e -;!;e } d=:) ;!;e d=;!; [e ])=;!;(e-) 48 b-a 임의의양의실수 a, b에대하여 :Ab f()d< 555 { f(a)+f(b)} 를만족하는함수 f() 만을 [ 보기 ] 에서 있는대로고른것은? ( 단, a<b) ㄱ. f()=+ ㄴ. f()= + ㄷ. f()= + b-a :Ab f()d< { f(a)+f(b)} b-a { f(a)+f(b)} f(a), =f() f(b), b-a a b f() >0 f() 49 포물선 = +3k와직선 =(k+3)로둘러싸인부분의넓이가 : 3 : 가되도록하는음수 k의값은? f(b) f(a) =l =l = 50 삼차함수 f()=(-a)(-a-) 의그래프와 축으로둘러싸인두부분의넓이가같아지도록하는양수 a의값은? f()=(-a)(-a-)=0 =0 =a =a+ a =f() =f() :) a+ f()d=0 :) a+ f()d=:) a+ (-a)(-a-)d :) a+ f()d=:) a+ { -(a+) +a(a+)}d =f() a a+ :) a+ (a+) a(a+) a+ f()d=[ - + ] 4 3 º :) a+ (a+) (a+)(a+) a(a+) f()d= :) a+ (a+) f()d= 5 {3(a+)-4(a+)+6a} :) a+ (a+) (a-) f()d= 5=0 (a+) +0 a>0 a-=0 a= +3k=(k+3) -(k+3)+3k=0 (-k)(-3)=0 =k =3 = +3k =(k+3) (3-k) 6 = +3k =(k+3) k 3 3k (3-k) =: 3 :, (3-k) = k=4 k=- 5 -<a<일때, 곡선 =(+)(-a)(-) 와 축으로둘러싸인부분의넓이가최소가되도록하는상수 a의값은? =(+)(-a)(-) = -a -4+4a S(a) =(+)(-a)(-) - a 8

29 ( -a -4+4a)d-:A ( -a -4+4a)d S(a)=[ -;3A; - +4a]a_@-[ -;3A; - +4a]A 4 4 S(a)=-;6!;a +4a +8 S'(a)=-;3@;a +8a=-;3@;a(a -)=0 a=0 a= '3 -<a< S(a) a S'(a) S(a) (-) 0 () S(a) a=0 5 S()S() S'() S() ab (S() )=(S() ) (S() )=(S() ) e 곡선 = (>0) 와 축및두직선 =, =+(은자연수 ) 로 둘러싸인부분의넓이를 S«이라할때, lim S«의값은? = e M -Cliic 54 구간 [0, ; ;] 에서두곡선 =' cos, =si 와 축으로둘러싸인두부분의넓이의합을 S 라할때, 00S 의값을구하시오. ( 단, '=.4 로계산한다.) si = si cos 'cos=si 'cos('si-)=0 cos =0 si = =;4 ; =; ; { 0 ; ;} S S=:) ;4 ; ('cos-si )d+: ;4 ; ; ; (si -'cos)d ;4 ; ; ; S=['si+;!; cos ] +[-;!; cos -'si] 0 ;4 ; S=;!;+;#;-'=-' ' 00S=00(-' )=00-4 ( '=.4) 00S= ' =' cos p 4 =si 자연수 에대하여구간 [(-)p, p] 에서곡선 ={;!;} «si 와 축으로둘러싸인부분의넓이를 S«이 라하자. S«=a일때, 50a의값을구하시오. = p S«=: (-)p {;!;} «si d= : (-)p {;!;} «si d p p S + p S«= {;!;} «[-cos ] (-)p S«=: + ;[E; d=e [l ] + =e {l(+)-l } lim S«= lim e{l(+)-l } + S«= lim el = lim el {+;!;} «S«= lim el {+;!;} =e l e=e 53 오른쪽그림에서두함수 =si, =a cos 의그래프와 축또는 축으로둘러싸인어두운두부분의넓이가서로같을때, 상수 a 의값은? =si (0 p) S =a cos {0 ; ;} S S =:)» si d=[-cos ]»)=+= S =:) ; ; a cos d=[a si ] º ; ; =a S =S a= a =a cos p =si p S«={;!;} «cos(-)p-cos p S«={;!;} «={;!;} «a= S«= {;!;} «= 3= = = -;!; 50a= % 6% 9% 48% 0% 함수 f()=si 3 에대한설명으로옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. 0<<일때, si 3 <f()<cos 3 이다. ㄴ. 구간 (0, ) 에서곡선 =f() 는위로볼록하다. ㄷ. :) f()d ;!; si ;!; 0<< 0< < si <si ` 0< <;!;<;4 ; si <cos ` si <si <cos si <f()<cos 9

30 f '()=cos = cos f "()=cos + {-si } =cos - si f "()>0 =f() (0, ) =f() ={ si } =f() 57 8% 6% % 40% 4% 다항함수 f() 가다음두조건을만족한다. f(0)=0 0<<< 인모든, 에대하여 0<f()< f() 세수 A=f '(0), B=f(), C=:) f()d 의대소관계를옳게나타낸것은? f() f() 0< f()< f() 0< < f(0)=0 =f() PQ ;!;f() ;!; f()<:) f()d f()<:) f()d B<C =f() =f '(0) PR ;!; f '(0) ;!; f '(0)>:) f()d f '(0)>:) f()d A>C B<C<A 58 :) f()d AB=;!; si ;!; f'(0) f() =f'(0) R P Q =f() 자연수 에대하여두곡선 =«, =«± 으로둘러싸인부분의넓이를 S«이라할때, S«의값은? = =«, =«± «± =««± -«=«(-)=0 =0 = 0<< «>«± S«=:) («-«± )d S«=[ «± -«± ]) + + S«= si S«= lim S = lim { - } = k= k= k+ k+ S«= lim [{;!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}++{ - }] + + = + = S«= lim {;!;- }=;!; + S A B 59 어두운부분이곡선 =- +3와직선=-3으로둘러싸인부분의넓이와같은넓이를나타내는것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. ㄴ. 5 =- ++5 ㄷ. 3-3 =- ++3 =- +3 = =-3 --3=0, (+)(-3)=0 =- =3 =- +3 =-3 S S=:_3! {(- +3)-(-3)}d S=:_3! (- ++3)d S=:_3! {-(-3)(+)}d S=:_3! {(- ++5)-}d S=:!5 {-(-5)(-)}d =- +3 =-3 60 = - = =-3 =- +3 곡선 =l 위의점 P(e, ) 을지나고이점에서의접선과수직인직선을 l 이라할때, 곡선 =l 와 축및직선 l 로둘러싸인부분의넓이는? =l '=;[!; P(e, ) ;e!; -e l -=-e(-e) =0 =e+;e!; :!e l d+;!; ;e!; =[ l -]e e!+; e;=+; e; 6 곡선 =l(+) 과직선 = l 및 축으로둘러싸인부분의넓이는? =l(+) = l + >- = l(+) HjK l(+)=;}; =e ;}; - = l + P(e, ) e e+ e l =l - - l =l + =- -=e ;}; - =e ;}; =l 30

31 l : e ;}; d=[e ;}; l ] =4(e l -) 0 0 =f() =f() =4(-)=4 6 : f()d= e +C (C는적분상수 ) 를만족하는함수 f() 에대하여곡선 =f() 와 축및두직선 =;!;, = 로둘러싸인부분의넓이는? e : f()d= +C e -e e (-) f()= = < f()<0 > f()>0 -: e ;!; f()d+:! f()d=-[ ] e +[ ]! ;!; -: ;!; f()d+:! f()d=-(e-'e)+{;!;e -e} -: ;!; f()d+:! f()d=;!;e -e+'e 63 연속함수 f() 가모든실수 에대하여등식 f(3-)+f(3+)=4 를만족시킬때, :!5 f()d 의값은? f(3-)+f(3+)=4 f(3-)+f(3+) = =3 =f() =f() f(5) B =f() (3, ) f() A D C A= B 3 5 f()+f(5)=4 :!5 f()d= A+ C+ D 64 = B+ C+ D = C+{ B+ D} =(3-)f()+(5-3)f(5) ={ f()+f(5)} = 4=8 0 ( 은자연수 ) 에서함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같을때, - A= f(k), B= f(k), C=:) f()d의대소관계는? k=0 k= =f() C=:) f()d =f() = A<C<B 65 ( + 연립부등식 { 의영역의넓이를직선 =a+(a<0) 이 :로나눌때, 상수 a의값은? ª æ;4!; ++ =+, =;4!; ++ +=;4!; ++ =4 = =a+ S, S, S S +S =:_0@ [(+)-{;4!; ++}]d S +S =:_0@ {-;4!; }d S +S =[-; ; ]0_@=;3$; S =:) [(+)-{;4!; ++}]d S =:) {-;4!; }d S =[-; ; ])=;3$; S +S =S =;3$; S : (S +S )= : S =S +S S =;9*;, S =;9$; = ++ 4 S S =+ =a+ S - =a+, =+ a+=+ = a- S - a- S =;!; = =;9$; -a (-a) 8-8a=9 a=-;8!; - A= f(k)=f(0) +f() +f() ++f(-) k=0 B= f(k)=f() +f() +f(3) ++f() k= 66 곡선 =;4!; + 위를움직이는점 P{t, ;4!;t +} 과점 (0, ) 사이의거리를 ``f(t) 라하자. 다음중어두운부분의넓이가 :) f(t)dt 의값과같은것은? = + 4 f(t) P 3

32 ; ; ; P{t, ;4!;t +} (0, ) f(t) f(t)=æt +{ ;4!;t -} = 수열 {«} 에대하여 =이고, 곡선 f()=e 위의점 («, f(«)) 에서의접선 l«이 축과만나는점의 좌표를 «이라하자. 이때, 두직선 l«, =«과곡선 =f() 로둘러싸인부분의넓이는? f(t)=æ {;4!;t +} =;4!;t + :) f(t)dt=:) {;4!;t +}dt :) f(t)dt=:) {;4!; +}d f()=e f '()=-e l«=-e -«(-«)+e -«=0 =«=«+ {«} = =+ =e + l«:) f(t)dt «=, «=+ 67 삼차함수 =f() 가임의의실수 에대하여 f()+f(a-)=b ( a, b 는양수 ) 를만족한다. 곡선 : + e d-;!; e «=[-e ] : + e d-;!; e «=;!;e «{-;e@;} + -;!;e «=-e «+e «-;!;e «=f() 와직선 =-;A;+;B; 가서로다른세점에서만날때, :)a [ f()-{-;a;+;b;}]d 의값은? f()+f(a-) f()+f(a-)=b 555 =;B; =;A; =f() ;B; =f() {;A;, ;B;} =-;A;+;B; {;A;, ;B;} :)a [ f()-{-;a;+;b;}]d=0 68 곡선 = cos (æ0) 와직선 = 가접하는점을원점에가까운순서로 Pº( 원점 ), P, P,, P«, P«, (은자연수 ) 이라하자. 선분 P«P«과곡선 = cos 로둘러싸인부분의넓이를 A«이라할때, A +A +A ++A«을 에대한식으로나타낸것은? = cos = cos = =0, p, 4p, ( æ0) P«, P«=(-)p, =p ( ) p A«=: (-)p (- cos )d p p A«=[;!; ] (-)p -[[ si ] (-)p p -: (-)p p A«= p -(-) p +[-cos ] (-)p b =f() a Pº A si d] a a b =- + P P = = cos A =- 70 닫힌구간 [0, ] 에서정의된연속함수 f() 가 f(0)=0, f()= 이며, 열린구간 (0, ) 에서이계도함수 를갖고 `f '()>0, f "()>0 일때, :) { f ()-f()}d 의값과같은것은? f '()>0, f "()>0 f() [0, ] f () =f() = :) { f ()-f()}d = =f() = =f() k k :) {-f()}d= lim [ -f { }];!; 4% 5% 3% 8% 5% k= :) { f ()-f()}d=:) {-f()}d k k :) { f ()-f()}d= lim [ -f { }] k= k k :) { f ()-f()}d= lim [ -f { }] f "()>0 k= ;K;, d ;!; =f () =f() = f '()>0 A«=p (-) A = p (k-)=p {(+)-}= p k= k= (+) (+)(+) k= 33 k = 33 k= k= 6 (+) k =[ 33 ] k= 7 제 사분면에서네직선 축, 축, =0, =0으로둘러싸인정사각형의내부를점 (0, 0) 을지나는함수 =f() 의그래프를경계로나누려고한다. 오른쪽그림과같이나누어진영역의넓이 S, S 의비가 3:7일때, 함수 =f() 와그역함수 =g() 에대하여 :) 0 { f()-g()}d 의값을구하시오. =f() 0 S S 0 3

33 00 S :S =3:7 S =30, S =70 :) 0 { f()-g()}d =:) 0 { f()-}d =:) 0 f()d-:) 0 d =S - 50 = =g() 0 =f() 0 f() g() =f() =g() = :@4 g()d=b=c :@4 g()d=_4-_-:! f()d :@4 g()d=6-a 4 = =f() C =g() A B 4 =40-00=40 40 :) 0 f()d=s, :) 0 g()d=s :) 0 { f()-g()}d=:) 0 f()d-:) 0 g()d :) 0 { f()-g()}d=s -S =70-30=40 74 함수 f()= + 의역함수를 g() 라할때, :) f()d+:!3 g()d 의값은? f() g() =f() =g() = 7 삼차함수 =f() 의그래프가오른쪽그림과같을때, =f() 의그래프와그역함수 =g() 의그래프로둘러싸인부분의넓이를구하는식만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? a b =f() = c :) f()d=a, :!3 g()d=b B=C :) f()d+:!3 g()d=a+b :) f()d+:!3 g()d=a+c :) f()d+:!3 g()d= 3=3 =f() = 3 C A =g() B 3 ㄱ. :Ab { f()-g()}d +:Bc { g()-f()}d ㄴ. :Ac -g() d ㄷ. :Ac f()d-:ac g()d =f() = A, B =f() =g() A+B :Ab { f()-g()}d+:bc { g()-f()}d =A+B a A = =f() =g() b B c 75 오른쪽그림은함수 f()=e (0 ) 의그래프이다. 함수 f() 의역함수를 g() 라할때, 정적분 :)e g()d의값은? :)e g()d e e =f() =f() :Ac -g() d=:ab {-g()}d+:bc { g()-}d :)e g()d= e-:) f()d :Ac -g() d=a+b :Ac f()d-:ac g()d :)e g()d=e-:) e d :)e g()d=e-{[e ])-:) e d} =:Ac { f()-g()}d :)e g()d=[e ])=e- =:Ab { f()-g()}d+:bc { f()-g()}d =:Ab { f()-g()}d-:bc { g()-f()}d 76 =A-B 정적분 :! d+:@4 log d 의값은? =f() =g() 73 역함수를갖는연속함수 f() 가다음조건을만족시킨다. A=:@4 log d B=:! d=:! d=:! d B =log A 4 f()=, f()=4 :! f()d=a :! d+:@4 log d=b+a 함수 f() 의역함수를 g() 라할때, :@4 g()d 의값을 A 로나타낸것은? :! d+:@4 log d=4 - :! d+:@4 log d=6 33

34 77 연속함수 f() 가다음조건을만족시킨다. f(0)=0 임의의두실수, 에대하여 < 이면 f( )<f( ) 이다. 다음중 :)a f()d+:) f(a) f ()d 와같은것은? ( 단, a>0) «± S«=:) (-«)d=[;!; - ]) + - S«={;!;- }=- = =;!(; =0 + =f() :)a f()d+:) f(a) f ()d C(0, f(a)) =f() B(a, f(a)) 80 삼차함수 f()= - +의역함수를 g() 라할때, 두곡선=f() 와 =g() 로둘러싸인부분의넓이는? ABC a f(a) A(a, 0) =f() =g() = f '()=3-4+=3{-;3@;} +;3@;>0 f() 78 삼차함수 =f() 가다음조건을만족시킨다. =f() =g() =f() = - += (-) =0 =0 = f(0)=0, f()= f(-)=-f() :) f()d= :) f()d=:) ( - +)d=; ;>;!;=:) d 이때, 곡선 =f() 와그역함수 =g() 의그래프로둘러싸인부분의넓이는? f()= f(-)=-f() f(-)=- =f() =g() =f() = :) f()d=<=:) d 0 =f() = =f() =g() A =f() =g() 4A - A = =f() - =g() 0 =f() = =f() =g() =f() = S S=:) { f()-}d S=:) {( - +)-}d S=:) ( - +)d S=[;4!; -;3@; +;!; ]) S=_; ;=;6!; = =f() =g() A=:) {-f()}d A=:) d-:) f()d A=-= 4A=4 8 함수 f()=;4!; +a(æ0) 의그래프와그역함수 =f () 의그래프가서로접할때, 두곡선 =f(), =f () 와 축, 축으로둘러싸인부분의넓이는? ( 단, a는상수이다.) f()=;4!; +a =f () 79 두곡선 =«, «=(æ0) 로둘러싸인부분의넓이가 ;!(; 일때, 자연수 의값은? «= =«=««= = «= («-)=0 =0 = S«S«=«= = = = f()=;4!; +a = ;4!; +a=, -4+4a=0 D ;;4;D;=4-4a=0 a= f()=;4!; + = (, ) S S=:) {;4!; +-}d S=[; ; +-;!; ]) S=;3$; =f() = =f () 34

35 8 함수 f()=+si 의역함수를 g() 라할때, :» g()d 의값은? f(p)=p, f(p)=p f(p) : g()d=:f(p) g()d pp A B p : f()d=: (+si )d pp p p : f()d=[ -cos ] =;#;p - pp p p : g()d=(p) -p -{;#;p -}=;#;p + p C =si (0 p) C :) p si d=[-cos ]»)= p : g()d=p +;!;p +=;#;p + p p p p p p A p p =+si B p p =+si C p =+a = (+a) =, +(a-6)+a =0 ` D=0 D 5=(a-6) -a =0 a=3 ` 4-6+9=0 =3 =+3 = (3, 6) p:)3 (+3) d-p:)3 d=p:)3 ( -6+9) d p:)3 (+3) d-p:)3 d=p [ ]3)=9p 3 b=9 ab=3 9=7 7 `p: d =+a = a 83 함수 f()=eå 과그역함수 =g() 의그래프가 =e 에서서로접하도록상수 a 의값을정할때, 두곡선 =f(), =g() 와 축, 축으로둘러싸인부분의넓이는? =eå =;a!; l (>0) f '()=aeå, g'()= a =e g()=;a!; l 85 곡선 =5' l 와 축및직선 =e로둘러싸인부분을 축둘레로회전하여생기는회전체의부피를 V라할때, V 의값을구하시오. p =5'l =e V =e =5'l f(e)=g(e) e ae =;a!; f '(e)=g'(e) ae ae =;a e; ` ` V=p:!e (5'l ) d V=5p:!e l d e a ;a!;=;a e; a=;e!; e =e, =e l = S =e e = V=5p[ l -]e! V=5p(e-e+)=5p V 5p = =5 5 p p S=:)e (e S=[e e e e -)d -;!; ]e) e =e l 86 곡선 ='-과 축, 축으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜얻은입체의부피는? S=e -e e ='- V ='- 84 직선 =+a 가포물선 = 에접할때, 포물선 = 와직선 =+a 및 축으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전 =+a = V=p:_0! d V=p:_0! {(+) } d - 체의부피를 bp 라하자. 두상수 a, b 의곱 ab 의값을구하시오. V=p:_0! ( )d fi V=p[ ]0_!=;5 ; 5 35

36 87 자연수 에대하여곡선 ='ƒ+ 과 축, 축으로둘러싸인도형을 축의 둘레로회전시킨회전체의부피를 V«이라하자. 이때, ;ç!; 오. k= V 의값을구하시 = + =;!; l =e =e =l V l = l =l l V=p: (e ) d=p: e d 0l 0 ='ƒ+ (-, 0) 0 0 V«=p: d=p: (+)d V«=p[;!; +] - =-p{;!; - } V«=;!;p 3 5 V =;!;p k =;!;p 55555=35p k= k= 6 ;ç!; V =35 35 k= 88 제 사분면에서두곡선 =-;!;, + =4 로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시킨회전체의부피 를 ap 라할때, 상수 a 의값은? =-;!;, + =4 =-;!; =4- + =4 =4- V V=p:) (4- )d-p:) (4-)d V=p:) (- )d V=p[ -;3!; ])=;3$;p a=;3$; =4 =- 0 p 에서함수 =si ;{; 의그래프와 축으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜서생기는회전 체의부피는? l V=p[;4!;e ] =p{4-;4!;}=: 4 :p 0 4V =5 5 p 9 곡선 = 과직선=m로둘러싸인도형을 축의둘레로회전시킨회전체의부피를 VÆ, 축의둘레로회전시킨회전체의부피를 VÚ라하자. 이때, VÆ-VÚ가최소가되도록하는양수 m의값은? = =m =m =0 =m = =m VÆ=p:) m {(m) -( ) }d m VÆ=p[ 5 -;5!;fi ])m =; 5;pmfi 3 VÚ=p:) m [-{;m};;} ]d=p[;!; -555 ]) m =;6!;pm 3m f(m)=væ-vú=; 5;pmfi -;6!;pm = f '(m)=;3@;pm -;3@;pm =;3@;pm (m-)=0 m=( m>0) m>0 f(m) m= 9 m m =m 곡선 ='ß-m과직선 = 및 축과 축으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피를 V라할때, V의최솟값은? ( 단, m은실수이다.) V=p:) ('-m) d V=p:) (4-4m'+m )d V=p[ -;3*;m'+m ]) V=p{m -;3*;m+} -m V m m=;3$; V = ='-m V V=p:)» d=p:)» si ;{; d V=p:)» -cos d p =si p V=p{: 9 :-: 9 :+}=;9@;p 93 곡선 =-' 와 축, 축으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피는 ;ab;p 이다. V=; ; [-si ])» 이때, a +b 의값을구하시오. ( 단, a, b 는서로소인자연수이다.) V=; ; p=p V V=p:)4 d=p:)4 (-4'+4)d 90 곡선 =;!; l 와 축, 축및직선 =l 로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피를 V라할때, 4V 의값을구하시오. p V=p[;!; -;3*;'+4]4) V=p{8-: 3 :+6}=;3*;p 4 =-' a +b =9+64=

37 94 곡선 = -+와직선 =+로둘러싸인부분을직선 =의둘레로회전시킬때생기는입체의부피는? - = -+ - =(+) -(+)+, = +, =+ - =(+)+, =+3 V V=p:!5 (-)d-p:#5 (-3) d V=p[;!; -]5!-p[;3!; -3 +9]5# V=8p-;3*;p = -+ = = = + 3 =+ 96 오른쪽그림과같이높이가 m인물탱크가있다. 이물탱크에깊이가 m가되도록물을넣었을때의수면은한변의길이가 (+ )m인정사각형이된다고한다. 이물탱크의부피는? m S() S()=(+ ) = + + V V=:) S()d=:) ( + +)d V=[;5!;fi +;3@; +])=;@5*;(m ) m (+ )m (+ )m M -Cliic V=: 3 :p f(, )=0 a b f(-a, -b)=0 a b =0 =0 -a -b 94 = =0 - = +=+3 =0 M -Cliic 97 오른쪽그림과같이반지름의길이가 인구의중심을반지름의길이가 인구가지나고있다. 이때, 두개의구가겹쳐지는공통부분의부피는? + =, (-) + =4 - =4-(-) 4= =;4!; + = - (-) + = 곡선 =e 과세직선 =0, =e, =e 으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피는 p(ae -Be) 이다. 이때, 유리수 A, B에대하여 0AB의값을구하시오. =e =l V V=p:E e d V=p:E e (l ) d =e e =e e =e V V=p:) ;4!; {4-(-) }d+p: (- )d ;4!; V=p:) ;4!; (4- )d+p: (- )d ;4!; V=p[ -;3!; ]) ;4!; +p[-;3!; ] ;4!; V=; 9 ;p+;6@4&;p=;!4#;p V=p[[(l ) ] e e -:E e l d] V=p{4e -e-[ l -] e e } V=p(4e -e-e ) V=p(e -e) A=, B= 0AB= 함수 f()=;3a; -a+a (a>0) 이있다. 함수 g() 는모든실수에대하여 f'()=g'() 를만족시키고 g(0)=a+이다. 두곡선 =f(), =g() 와두직선=-, =로둘러싸인부분을 축둘레로회전시켜생기는회전체의부피가 50p일때, a의값을구하시오. g'()=f'()=a -a g()=: (a -a)d=;3a; -a+c (C ) 37

38 g(0)=a+ C=a+ g()=;3a; -a+a+ g()-f()= ` f'()=a -a=a(+)(-)=0 =- = f() - f '() f () ;3%;a ;3A; f() = ;3A;>0 [-] f()>0 =f()=g()=-= V V=p:_! [{ g()} -{ f()} ]d V=p:_! { g()-f()}{ g()+f()}d 00 반지름의길이가 인구가있다. 구의중심으로부터의거리가 인한평면으로이구를자를때, 잘린두부분중작은부분의부피와큰부분의부피의비는? S() " - =" 4- S()=p(" 4- ) =p(4- ) V V V =:! S()d V =:! p(4- )d V =p[4-;3!; ]!=;3%;p ;3$;p =: 3 :p V =: 3 :p-;3%;p=9p V=p:_! {;3@;a -a+a+} d V V =;3%;p 9p=5 7 V=p:) (a+)d V=p[(a+)]) V=(a+)p (a+)p=50p, a+=5 a= 99 실수전체의집합에서연속인함수 f() 가모든양수 에대하여 :) (-t){ f(t)} dt=6:) (-t) dt를만족시킨다. 곡선 =f() 와직선 =, 축, 축으로둘러싸인도형을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피를 ap라할때, a의값을구하시오. :)/ (-t){ f(t)} dt=6:) (-t) dt :)/ [{ f(t)} -t{ f(t)} ] dt=6:) ( t - t+fi )dt :)/ { f(t)} dt-:)/ t{ f(t)} dt=6[ 5 t - t +fi t]) 3 :)/ { f(t)} dt-:)/ t{ f(t)} dt= -6 +6fi :)/ { f(t)} dt+{ f()} -{ f()} = :)/ { f(t)} dt= = 0 æ0에서두곡선 =«, =«± (은자연수 ) 으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시킨회전체의부 00 피를 V«이라할때, V«=;pQ;p이다. 이때, p+q의값을구하시오. ( 단, p, q는서로소인자연수이다.) = =«, =«± «± =««(-)=0 =0 = 0 «æ«± =«, =«± V«=p:) {(«) -(«± ) }d V«=p:) ( «- «± )d V«=p[ «± - «± ]) + +3 V«=p{ - } V«=p { - } = = + +3 V«=p[{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}++{;0!;-;0!3;}] V«=p{;3!;-;0!3;}=;6@0)9);p p+q=609+00= =«` ± =«` :) { f(t)} dt= p:) { f()} d=p:) { f(t)} dt=p a= 0 원 (-) + =4의현중축에수직인현을밑변으로하고 평면에수직인정삼각형을만든다. 이정삼각형의밑변의중점이 축위에있는원의지름을따라점 (0, 0) 부터점 (4, 0) 까지이동하여생기는입체의부피는 ;pq;'3이다. 이때, p+q의값을구하시오. ( 단, p, q는서로소인자연수이다.) 4 38

39 (-) + =4 (0, 0), (4, 0) (, 0) " 4-( -ç) =" 4 - S() '3 S()= 555 (" 4 - ) ='3(4- ) 4 :)4 S()d=:)4 '3(4- )d (-) + =4 4-(-) 4 tfi p{ t } 5 tfi p:)t [{ g()} -{ f()} ]d=p{ t } 5 tfi :)t [{ g()} -{ f()} ]d= t 5 t { g(t)} -{ f(t)} =t +4t =t (t +4t) { g(t)-f(t)}{ g(t)+f(t)}=t (t +4t) ` g(t)+f(t)=t +4t ` f(t)=t, g(t)=t +t f()g()= 3=6 6 :)4 S()d='3[ -;3!; ]4) :)4 S()d=: 3 :'3 p+q=3+3= 반지름의길이가 6인반구모양의그릇에물이가득들어있다. 이그릇에쇠공을그릇의바닥에닿도록넣었더니물이꼭절반만큼흘러나왔다. 이때, 쇠공의반지름의길이는? 03 모든실수 에대하여두연속함수 f(), g() 가다음조건을만족시킨다. g()æ`f() f(-)=-f() g(-)=g() :) { f()} d=4, :) { g()} d=0 일때, 두곡선 =f(), =g() 와직선 =-, = 로둘 러싸인부분을 축의둘레로회전시킨입체의부피는 kp 이다. 이때상수 k 의값을구하시오. =f() =g() g()æ f() g(-)æ f(-) g()æ f() V V=p:_0! { g()} d+p:) [{ g()} -{ f()} ]d V=p:_0! { g()} d+p:) { g()} d-p:) { f()} d =g() =f() - r ;!; ;3$;p 6 =44p r 3 ;3$;pr 36p ;4!; r>3 V V=p:_R 6-r 6-r (r - )d=p[r -;3!; ]_R V=36(r-)p 36(r-)p=;!; 44p r-= r=4 r 6 + =r V=p:) { g()} d-p:) { f()} d V=p 0-p 4=6p k= 포물선 = 의윗부분에반지름의길이가 인원을오른쪽그림과같이내접시킬때, 원과포물선으로둘러싸인부분 ( 어두운부분 ) 을 축의둘레로회전시킨입체의부피는? = 04 æ0에서두연속함수 f(), g() 가0 f() g() 를만족한다. 임의의양수 t에대하여두함수 t =f(), =g() 의그래프와두직선 =0, =t로둘러싸인부분의넓이는 5555 이고, 이부분을 축의 3 tfi 둘레로회전시킬때생기는입체의부피는 p{ t } 일때, f()g() 의값을구하시오. 5 =f(), =g() =0, =t t t :)t { g()-f()}d= t g(t)-f(t)=t ` +(-a) = = +(-a) =, +(-a)+a -=0 D D=(-a) -4(a -)=-4a+5=0 a=;4%; -;#;+;ª6;=0, 6-4+9=0 a=;4%; ` (4-3) =0 =;4#; = 39

40 V +(-7) =9 V=p:) ;4#; ;4#; d-p: [-{-;4%;} ]d ;4!; V=p:) ;4#; ;4#; d-p: {- +;%;-;ª6;}d ;4!; V=p[;!; ]) ;4#; -p[-;3!; +;4%; -;ª6;] ;4#; V=;3ª;p-; 4;p=;9 6;p ;4!; p:)5 d-p:$5 {9-(-7) } d =p:)5 d-p:$5 ( )d =p[ 55555]5)-p[ ]5$ 3 =: :p-p[{-:;!3@:%;+75-00}-{-: 3 :+-60}] 07 밑면의반지름의길이가, 높이가 4 인직원기둥이있다. 오른쪽그림과같이밑면 =: 6ª:p 의지름을지나고, 밑면과 30 의각을이루는평면으로원기둥을자를때, 이평면의아래쪽에생기는입체의부피는? 동점 P의좌표 (, ) 가 h를매개변수로하여 =h-si h, =-cos h (0 h p) 로나타내어질때, 점 P가그리는곡선과 축으로둘러싸인부분을 축의둘레로회전시켜생기는회전체의부피는? P(, 0) PQR PR =øπ R π-p =" 4- '3 QR =PR ta 30 = 5" 4-3 PQR S() S()=;!; PR QR '3 S()=;!; " 4-5" 4-3 '3 S()= 5(4- ) 6 '3 :_@ S()d=:_@ 5(4- )d 6 '3 :_4$ S()d= 5 :) (4- )d 6 '3 :_4$ S()d= 5[4-;3!; ]) 3 6'3 :_4$ S()d= P 30 Q R V V=p:)» d =h-si h d=(-cos h)dh V=p:)» (-cos h) (-cos h)dh V=p:)» (-cos h) dh V=p:)» (-3 cos h+3 cos h-cos h)dh +cos h cos 3h+3 cos h cos h=, cos h= 4 +cos h cos 3h+3 cos h V=p:)» {-3 cos h+3 - } dh 4 V=p:)» {;%;-: 4 : cos h+;#; cos h-;4!; cos 3h} dh p V=p[;%;h-: 4 : si h+;4#; si h-; ; si 3h] =5p 0 -cos a +cos a -cos a si ;ƒ;= cos ;ƒ;= ta ;ƒ;= +cos a si 3a=3 si a-4 si a cos 3a=4 cos a-3 cos a 08 포물선 = (-'5 '5) 을 축의둘레로회전시킨모양의그릇에물이가득들어있다. 반지름의길이가 3인구를오른쪽그림과같이그릇의윗부분에올렸을때, 그릇에남아있는물의양은? 3 = 0 오른쪽그림과같이곡선 =e 과세직선 =0, =, =a로둘러싸인어두운부분을직선 =a의둘레로회전시켜생기는회전체의부피를 V(a) 라하자. 이때, V(a) 가최소가되도록하는 a의값은?( 단, <a<e) e a =e =a -'5 '5 C A B A H CA =CB =3, AH ='5 CH =øπca -AH ='9-5= A('5, 5) H(0, 5), B(0, 4), C(0, 7) C H B 3 -'5 '5 A = V(a)=p:) (e -a) d=p:) (e -ae +a )d V(a)=p[;!;e -ae +a ])=p[{;!;e -ae+a }-{;!;-a}] V(a)=p[;!;(e -)-a(e-)+a ] V(a) a a=e- 40

41 오른쪽그림과같이반지름의길이가 0 cm인반구모양의그릇에밑면의반지름의길이가 5cm이고높이가 0 cm인직원기둥을밑면의둘레가완전히그릇에닿도록중앙에수직으로세워놓았다. 이때, 이반구모양의그릇에최대로담을수있는물의양은? ( 단, 반구모양의그릇과원기둥의밑면사이에는물이들어가지않는다.) 3 8% 57% % 6% 7% 실수전체의집합에서이계도함수를갖고 f(0)=0, f()='3을만족시키는모든함수 f() 에대하여 :) øπ+{ f '()} d의최솟값은? :) " +{ f ' ()} d 0 =f() 0 + =0 (, '3) øπ +(π'3) = A =ø πbπ -πab =" 0-5 =5'3 0 0 p: ( -5 )d=p: ( )d -5'3-5'3 : 0-5'3 0 : -5'3 0 p( -5 )d=p[75-;3!; ] -5'3 p( -5 )d=50'3p (cm ) -0 A 5 B 직선철로위를 0 m/ 초의속력으로달리고있는열차가있다. 이열차에제동을걸면 t초후의속력은 v(t)=0-0.5t(m/ 초 ) 라고한다. 제동을건후부터정지할때까지이열차는몇 m를움직이는가? t=0 t=40 :) t dt=:)4 0 (0-0.5t)dt :) t dt=[0t-;4!;t ]4)0 =400(m) 8% 8% 9% 56% 9% 오른쪽은원점을출발하여수직선위를움직이는점 P 의시각 t`(0 t d) v(t) =0 M -Cliic 에서의속도 v(t) 를나타내는그래프이다. :)a v(t) dt=:ad v(t) dt일때, [ 보기 ] 에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 0<a<b<c<d) ㄱ. 점 P는출발하고나서원점을다시지난다. ㄴ. :)c v(t)dt=:cd v(t)dt ㄷ. :)b v(t)dt=:bd v(t) dt a b c d t ( )=0 ( )=0 t 0 t ( )=0 [0, a], [a, c], [c, d] v(t) t A, B, C :)a v(t) dt=a, :Ac v(t) dt=b, :Cd v(t) dt=c v(t) A C b c a d t B :)a v(t) dt=:ad v(t) dt=:ac v(t) dt+:cd v(t) dt A=B+C A=B+C A-B=C>0 0<t d :)t v(t)dt=0 t P :)c v(t)dt=:)a v(t)dt+:ac v(t)dt=a-b, :Cd v(t)dt=c 5 원점을동시에출발하여수직선위를움직이는두점 P, Q의시각 t에서의속도가각각 v (t)=3t -5t, vœ(t)=t이다. 출발후두점 P, Q의속도가같아지는순간에두점 P, Q 사이의거리는? 3t -5t=t 3t -6t=0, 3t(t-)=0 t= P, Q v (t), vœ(t) 0<t< v (t)<vœ(t) t= P, Q S S=:) tdt-:) (3t -5t)dt S=:) {t-(3t -5t)}dt S=:) (6t-3t )dt =v P (t) =v Q (t) 5 3 t A=B+C A-B=C :)c v(t)dt=:cd v(t)dt S=[3t -t ])=4 :Ab v(t) dt=s :)b v(t)dt=a-s, :Bd v(t) dt=(b-s)+c 6 수직선위를움직이는어떤물체의시각 t에서의속도 v(t) 를나타내는그래프가오른쪽그림과같을때, 속도가처음으로 -a가될때까지이물체가움직 v(t) a A=B+C A-S=B+C-S :)b v(t)dt=:bd v(t) dt 인거리는 0 이다. t= 일때까지이물체가움직인거리는? 4 5 t -a 4

42 t=0 t=5 0 :)5 v(t) dt=0 0 t 5 v(t) t 0 ;!; 4 a+;!; a=0 a=4 t= :) v(t) dt,, 4 ;!; 4=4 0 직선도로위를 0시간동안주행하는어떤자동차의출발한지 t시간후의속도 v(t)(km/ 시 ) 가 90t (0 t ) v(t)= g 이라고한다. 출발지점에서직선거리로 333 km 떨어진곳에도 -t +t+80 ( t 0) 착하는데걸리는시간은? :) 90tdt=[45t ])=45 > :!/ (-t +t+80)dt=[-;3@;t +6t +80t]/! :!/ (-t +t+80)dt={-;3@; }-: ;3%; : 7 수직선위를움직이는점 P의시각 t에서의속도 v(t) 를나타내는그래프가오 v(t) 른쪽그림과같다. 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? c a b t ㄱ. t=a에서 t=b까지점 P가운동한거리는 :Ab v(t)dt이다. ㄴ. t=a일때점 P는순간적으로정지상태에있다. ㄷ. 점 P는 t=b일때운동방향을바꾸었다. a t b v(t)æ0 :Ab v(t)dt t=a t=b P t=a v(a)>0 P t=b v(t) P t=b 8 원점을출발하여수직선위를움직이는점 P의 t초후의속도v(t) 는 v(t)=3t -t+9라한다. 출발할때의진행방향과반대방향으로움직이는동안의점 P의운동거리는? v(0)>0 v(t) 0 t v(t)=3t -t+9 0 3(t-)(t-3) 0 t 3 S S=:!3 v(t) dt=:!3 (-3t +t-9)dt S=[-t +6t -9t]3!=4 9 축위를움직이는두점 P, Q가있다. 원점에서출발한점 P의 t초후의속도는 8t이고, 좌표가 0인지점에서점 P와동시에출발한점 Q의 t초후의속도는 6t+3일때, 점 P가점 Q를앞지르는것은출발한지몇초이후인가? 45+{-;3@; }-: ;3%; := =0 (-4)( -5-40)=0 =4 < km 4 오른쪽은원점을출발하여수직선위를움직이는어떤물체의시각 v(t) 6 t(0 t 4) 에서의속도 v(t) 를나타내는그래프이다. 이물체가출발 하고나서다시원점을지나는것은몇초후인가? t -6 :)/ v(t)dt=0 t 0 원점을출발하여수직선위를움직이는점 P의시각t(0 t 7) 와속도 v(t) 의관계가오른쪽그림과같다. 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른 v(t) 것은? t ㄱ. t=일때, 점 P의속도는최대이다. - ㄴ. t=4일때, 점 P는원점에서가장멀리떨어져있다. ㄷ. t=6일때, 점 P는원점에가까워지고있다. t 3 0 t 4 v(t)æ0 t=4 P :)6 v(t)dt>0 v(6)<0 t=6 P t P, Q, Œ =:)t 8tdt=[4t ]t)=4t Œ=0+:)t (6t+3)dt=0+[3t +3t]t)=3t +3t+0 P Q >Œ 4t >3t +3t+0, t -3t-0>0 (t+)(t-5)>0 t>5 t>0 PQ 에서곡선 =;3!;'ß(-3) 의길이는? =;3!;'(-3)=;3!; ;#; - ;!; '=;!;( ;!; - -;!; ) +(') =+[;!;( ;!; - -;!; )] +(') =;4!;( ;!; + -;!; ) 4

43 9 :!9 " +(') d=;!;:!9 ( ;!; + -;!; )d :!9 " +(') d=;!; [;3@; ;#; + ;!; ]9! :!9 " +(') d=;!;{4-;3*;} :!9 " +(') d=: 3 : 4 좌표평면위를움직이는점 P 의시각 t 에서의위치가 =e cos t, =e si t 로주어질때, t=0 에서 t=p 까지점 P 의운동거리는? =e cos t, =e si t d d =e (cos t-si t), =e (si t+cos t) dt dt d æ { } d +{ } ="( e ) ( cos t -si t) +( e ) ( si t +c os t) dt dt æ { } +{ } =e " (co s t- si t ) + (si t+c os t) æ { } +{ } =e " (si t +c os t) æ { } +{ } ='e t=0 t=p P :)» 'e dt=' [e ]»)='(e p -) 5 æ0 에서미분가능한함수 f() 는다음조건을만족한다. f(0)= f '()æ0 =0 에서 =t 까지곡선 =f() 의길이는 ;!; (e -e ) 이다. 이때, 0 f(l ) 의값을구하시오. :)t " +{ f '()} d=;!;(e -e ) t " +{ f '(t)} =;!;(e +e ) +{ f '(t)} =;4!;(e +e +) { f '(t)} =;4!;(e +e -)=[;!;(e -e )] f '(t)=;!;(e -e )( f '()æ0) f(t)=: ;!;(e -e )dt=;!;(e +e )+C f(0)= +C= C=0 f(t)=;!;(e +e ) 0 f(l )=0 ;!;(e l +e -l ) 0 f(l )=0 ;4%;=5 5 6 곡선 =f() (0 30) 를 축의둘레로회전시켜만든밑면이평평한빈용기가있다. 이용기에매초 a cm 의비율로물을넣을때, 물이가득찰때까지는 t초후의수면의상승속도가 (cm/ 초 ) 라한 'ƒ+t 다. 수면의높이가 0 cm가되는것은몇초후인가?( 단, 의좌표 을 cm로생각한다.) t h cm dh dt = h=:)t ' +t h=[' +t]t) dt h=(' +t-) h=0 (' +t-)=0 ' +t=6 t=35 7 ' +t 원점을출발하여수직선위를움직이는점 P 의시각 t(0 t 5) 에서의속도 v(t) 가다음과같다. v(t)=( 4t (0 t<) v(t)={ -t+6 ( t<3) v(t)=9 t-3 (3 t 5) 0<<3인실수 에대하여점 P가시각 t=0에서 t=까지움직인거리, 시각 t=에서 t=+까지움직인거리, 시각 t=+에서 t=5까지움직인거리중에서최소인값을 f() 라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. f()= 9% 4% 7% 43% 7% ㄴ. f()-f()=:! v(t)dt ㄷ. 함수 f() 는 = 에서미분가능하다. v(t), t=a t=b P v(t) t=a, t=b t=0 t= p(), t= t=+ q(), t=+ t=5 r() p()=;!; 4= q()=;!; 4=4 r()=;!; = f()= p()=;!; 4+;!; (4+) =5 q()=;!; +;!; =;#; r()=;!; (+) =;#; ;#; f()=;#; f()-f()=;#;-=-;!; :! v(t)dt=;!; (4+) =3 f()-f()+:! v(t)dt v(t) t 43

44 0< f()=p()=;!; 4= << f()=r()=-;!;{(+)-3} =-;!; ++;#; 4 (0<<) f'()=g -+ (<<), lim f'()=4, lim f'()=0 f() = A D :)5 tdt+:% 0 (4t-0)dt+:!)5 (-6t+90)dt =[t ]5)+[t -0t]%0 +[-3t +90t]!5) = =00(km) 30 원점 를동시에출발하여 축위를움직이는두점 P, Q의 t초후의속도가각각 v =-t, vœ=3t -t라고한다. 이두점 P, Q를이은선분의중점을 M이라할때, 출발후처음으로점 M이원점 로되돌아올때까지점 M 이움직인거리는? P, Q, Œ =:)/ (-t)dt=[t-t ]/ /)=- 8 v(t) =0 에서 =6 까지곡선 =;3!;( +) ;#; 의길이를구하시오. =;3!;( +) ;#; '=;3!; ;#;( +) ;!; =( +) ;!; l l=:)6 " + ( +) d f() Œ=:)/ (3t -t)dt=[t -t ]/)= - P, Q M  +Œ - + Â= = M Â=0 - +=0 (-) =0 = >0 M v v +vœ v= 55555=;#;t -t+;!; M S S=:) ;#;t -t+;!; dt S=:) ;3!; {;#;t -t+;!;}dt-: {;#;t -t+;!;}dt ;3!; S=[;!;t -t +;!;t]) ;3!; -[;!;t -t +;!;t] ;3!; l=:)6 ( +)d S=; 7;-{-; 7;}=; 7; l=[;3!; +]6) l=7+6= 어떤열차는일직선의선로위를운행하며, 각구간별속도와걸리는시간은다음표와같다. A B B C C D A tkm t 4t+a -6(t-b) 0 t 5 5 t 0 0 t 5 이열차가 A 지점에서출발하여 D 지점에도착할때까지운행한거리는? ( 단, a, b 는상수이다.) ( t (0 t 5) v(t)= { 4t+a (5 t 0) 9-6(t-b) (0 t 5) v(t) t=5, t=0 5=4 5+a a= =-6(0-b) 30=-60+6b b=5 3 물이가득들어있는큰물통의바닥에반지름의길이가 cm인원모양의구멍을뚫어물을빼내려고한다. 물을빼내기시작한지 t초후의빠져나가는물의속도가 (5-t) cm/ 초일때, 0초동안빠져나간물의양은 Ap cm 이다. 이때, A의값을구하시오. 0 cm l cm l=:) 0 (5-t) dt=[5t-;!;t ])0 =00 4p_00=400p(cm ) A= 반지름의길이가 인원형의트랙위를 A, B 두자동차가서로반대편에서시계방향으로동시에출발하여트랙을따라움직인다. 출발한지 t시간후의 A, B의속도를각각 t p, (-t+5)p라할때, 출발한후 6시간동안 A, B가만난횟수를구하시오. A, B (0 6) så, sı 44

45 så=:)/ t pdt=p[;3!;t ]/)=;3!; p sı=:)/ (-t+5)pdt=p[-t +5t]/)=(- +5)p 4p A, B p så-sı=(4k+)p` k så-sı=p{;3!; + -5} f()=;3!; + -5 f '()= +-5=(+5)(-3) f '()=0 =3 ( 0 6) 0 6 f () 0 6 =f() f()=4k+(k =f() =-6, -,, -,,, 8 7_= =9 A, B f '() f () =f() 점 P가원점을출발하여수직선위를움직이고 t초후의속도가 v(t)=4t라고한다. 점 P가출발한지 초후에점 Q가원점에서출발하여일정한속도로점 P를쫓아갈때, 점 P를따라잡기위한점 Q의속도의최솟값은? + 8 d d=:!4 v(t) dt d=-:!4 (t -5t+4)dt d=-[;3!;t -;%;t +4t]4! d=;(; 0d=0 ;(;= 오른쪽그림과같이한변의길이가 인정사각형 ABCD가있다. 점 P가점 A 를출발하여시계반대방향으로변을따라움직이고, 점 Q가점B를출발하여시 D C 계방향으로변을따라움직인다. 점 P, Q의 t초후의속도가각각 4t, t+3일 때, 두점 P, Q가세번째로만나는것은동시에출발한후몇초가지났을때인가? A P Q B P, Q A, B t :)t 4tdt=t :)t (t+3)dt=t +3t +8+8=8 t +t +3t=8, t +t-6=0 (t+3)(t-)=0 t= t>0 P, Q t>0 v(t)=4t>0 Q P Q v (v>0) P (æ) P, Q 36 곡선 ø + ø =의그래프가오른쪽그림과같을때, 이곡선의전체길이는? :)/ 4tdt=[t ]/)= :@/ vdt=[vt]/@=v-v - - Q P v-væ, -v+v 0 -v+v=0 D D=v -6v=v(v-6)æ0 væ6 ( v>0) P Q 6 34 원점을출발하여수직선위를움직이는점 P의시각t에서의속도 v(t) 에대하 여이차함수 =v(t) 의그래프는오른쪽그림과같다. 점 P가출발할때의운 =v(t) 4 동방향과반대방향으로움직인거리를 d라할때, 0d의값을구하시오. 4 t =v(t) (0, 4), (, 0), (4, 0) v(t)=(t-)(t-4)=t -5t+4 P v(t) 0 t= t=4 " + " = ;3@; + ;3@; = ;3@; -;3!; +;3@; -;3!; d =0 d d =-{;[};} ;3!; d d +{ } =+{;[};} ;3@; d +{ } ;3@; + ;3@; = +{ } = = -;3@; l l=4:) æ +{ ;3@; l=4:) -;3!; d l=4[;#; ;3@; ])=6 ;3@; d d } d 45

46 37 오른쪽그림과같이중심이원점이고반지름의길이가 4인원 C 의내부에서반지름의길이가 인원 C 를 C 에접하면서미끄러지지않게굴린다. 이때, 원 C 위의점 P 의처음위치가점 (4, 0) 이라면점 P 의시각 t 에서의위치는 (4 cos t, 4 si t) 가된다고한다. 점 P가출발후최초로처음위치로돌아올때까지움직인거리를구하시오. t P(, ) =4 cos t, =4 si t d d =- cos t si t, = si t cos t dt dt P (4, 0) 4 cos t=4, 4 si t=0 t=p l d d l=:)» æ{ } +{ dt dt } dt l=:)» "( - cos t si t) +( si t c os t) dt l=:)» " 44 si t c os t (si t+ co s t )dt l=:)» si t cos t dt l=:)» 6 si t dt f(t)= 6 si t ; ; l=4:) ; ; 6 si t dt l=4:) ; ; 6 si t dt ; ; l=4[-3 cos t] 0 l=4(3+3)=4 4-4 C 4-4 P C 4 39 어떤그릇에깊이가 h cm 가되도록물을넣으면수면은반지름의길이가 øπ9+h cm인원이된다고한다. 이그릇에매초 60p cm 의비율로물을넣을때, 수면의높이가 cm인순간에수면이상승하는속도는 A cm/ 초이다. A의값을구하시오. ( 단, 그릇의높이는 cm보다크다.) h cm V V=:)h p(" 9+h ) dh V=:)h p(9+h )dh t dv dt =p(9+h ) dv dt 60p=p(9+h ) dh 60 = dt 9+h dh dt =60p dh dt dh 60 [ ] h= = =0(cm/ ) dt 9+4 A= h cm '9+h cm 곡선 =cos {0 ;3 ;} 를 축의둘레로회전시켜만든입체모양의항아리에물을매초 의비율로부을 때, 수면의높이가항아리높이의절반이되는순간수면의상승속도는? h V V=p:)h cos d 38 오른쪽그림과같이점 P가곡선 =' 위를움직인다. 점 P에서 축에내린수선의발을 Q라하고, 이곡선과 축및선분 PQ로둘러싸인부분의넓이를 S 라하면 S는매초 4의비율로증가한다고한다. 점 P가점 (8, 4') 를지나는순간에매초 K의속력으로움직인다고할때, 00K의값을구하시오. S P Q =' V=p:)h d t dv +cos h dh =p dt dt dv dt +cos = P(, ) +cos h dh p = dt S=:)/ 'd t ds dt =' d dt ds d =4 = dt dt ' =' t d d = = =;[@; dt ' dt ' ' P(, ) dh =;ç!; dt +cos h ;!; ;3 ;=;6 ; h=;6 ; dh 4 =;ç!; = dt 3p +cos ;6 ; d d æ{ } +{ } 4 4 =æ + dt dt =8 K=æ;8$; +;6 4;=;4#;= K=

47 45 A, B, C, D 4명을일렬로세울때, A가 B보다앞에서게되는경우의수를구하시오. 4 A, A, A, B, B, C가하나씩적힌 6장의카드가있다. 이카드를일렬로배열하는방법의수는? A B B A A, A, C, D A B 4! =! A 3 B 6! 3!! = 개의흰바둑알과 5개의검은바둑알이있다. 이 개의바둑알들을일렬로나열할때, 좌우대칭이되도록나열하는방법의수는? 4 집합 A의원소의개수는 5이고집합 B의원소의개수는 4이다. 이때, A를정의역으로하고 B를공역으로하는함수의개수는? P =4fi = % 7% % 7% 4% 어느행사장에는현수막을 개씩설치할수있는장소가 5곳이있다. 현수막은` A, B, C 세종류가있고, A는 개, B는 4개, C는 개가있다. 다음조건을만족시키도록현수막 5개를택하여 5곳에설치할때, 그결과로나타날수있는경우의수는? ( 단, 같은종류의현수막끼리는구분하지않는다.) ` A는반드시설치한다. ` B는 곳이상설치한다 ! =0 3!! 47 0,, 4, 6의 4개의숫자를중복사용하여만들수있는세자리의자연수중에서 4가적어도한개포함되어있는것의개수를구하시오. A BC 5! 3=30!! A B3C 5! 3=0 3! A B4 5! 3=5 4! =55 0,, 4, ,, 4, 6 3_ P =3_4 =48 4, 6 0,, 6 _ P =_3 =8 48-8= 서로다른 5가지색을모두사용하여정육면체의여섯면을칠할때, 어느평행한두면에는서로같은색을칠하는방법의수는? A B 5 (4-)!=3! 5_3!_;!;=5 44 부모를포함한 6명의식구가원모양의탁자에둘러앉을때, 부모가이웃하여앉는방법의수는? 5 5! =4! 5 4!_= 명이 층에서엘리베이터를타고위층으로출발하였다. 이들은 층부터 5층까지어느한층에서내리며, 5층에서엘리베이터에남은사람이있다면남은사람모두가내린다. 이때, 내리는모든방법의수는? ( 단, 어느한층에서모두내릴수도있다.) 6 A, B, C, D, E, F {A, B, C, D, E, F} {, 3, 4, 5} P =4fl = 47

48 50 a, b, c 3대의 4인승자동차에 6명이나누어타고마트에가려고한다. 6명중 3명만이운전면허증이있으며, 운전면허증을가진사람만이운전할수있다. 6명이 3대의자동차에나누어타는방법의수를구하시오. ( 단, 3대의자동차를모두이용해야하며, 자동차안에서자리에앉는경우는고려하지않는다.) 3 a, b, c 3 3!= P =3 =7 6_7=6 6 5 부터 9까지의자연수중에서서로다른두개의숫자를선택한후이두숫자를사용하여휴대전화의비밀번호를설정하려고한다. 휴대전화의비밀번호는네자리의수일때, 만들수있는비밀번호의개수를구하시오. ( 단, 두개의숫자를모두사용하여비밀번호를설정한다.) 9 ªC =36 a, b a, b 4! a, b, b, b =4 3! 4! a, a, b, b =6!! 4! a, a, a, b =4 3!,, 36_(4+6+4)= a, b P = =6 a b 36_(6-)=504 5 오른쪽그림과같은직사각형모양의도로가있다. P지점에서출발하여도로를따라 A지점은반드시지나지만 B지점은지나지않고 Q지점까지최단거리로가는경우의수는? 4! P A =6!! 5! A Q =0 3!! A B Q 3! _!=6! 6_(0-6)= 원과 0000 원짜리두종류의지폐만을사용할수있는교통카드충전기가있다고하자. 교통카드에 0000원을충전하기위해교통카드충전기에지폐를투입하는방법은 (5000원, 5000원, 5000원, 5000원 ), (5000원, 5000원, 0000원 ), (5000원, 0000원, 5000원 ), (0000원, 5000원, 5000원 ), (0000원, 0000원 ) 의다섯가지가있다. 교통카드에 50000원을충전하기위해교통카드충전기에지폐를투입하는방법의수는? P A B Q 5000 m m+0000=50000 (0 m 0, 0 5) (m, ) (0, 5), (, 4), (4, 3), (6, ), (8, ), (0, 0) 6 (0, 5) 6! (, 4) =5!4! 7! (4, 3) =35 4!3! 8! (6, ) =8 6!! 9! (8, ) =9 8! (0, 0) =89 54 빨강, 파랑, 노랑, 초록 4가지색의깃발이여러개있다. 이중에서한개이상의깃발을선택하여일렬로늘어놓아서로다른신호를만든다. 같은색의깃발을중복해사용하는것도허용할때, 000개의신호를만들기위하여필요한깃발의최소개수는? P =4 P =4 P«=4« «æ000 4(4«-) 4- æ0004«æ75 4 =564fi =04 æ a r S«a(-r«) a(r«-) r+s«= = -r r- r=s«=a 55 A, A, B, B, C가하나씩적힌 5장의카드가있다. 이카드를일렬로배열할때, 같은문자는서로이웃하지않도록배열하는방법의수는? ( 단, 같은문자가적힌카드는서로구별이되지않는다.) A, A, B, B, C 5 5! =30!! 5 4! A =! 4! B =! A, B 3!=6,, A B +-6=8 30-8= 48

49 56 집합 X={, 3, 4, 5, 6} 에대하여다음조건을만족시키는함수 f:x X의개수는?, 4, 6 f()3, 5 f() {, 4, 6} {, 4, 6} P =3 =7 {3, 5} {3, 5} P = =4 f 7_4=08 57 오른쪽그림과같은바둑판모양의도로망이있다. 갑은 A지점에서 C지점 D C 으로, 을은 B지점에서 D지점으로최단거리로이동하였다. 갑과을의속력 이같고동시에출발하였을때, 두사람이도중에만나는경우의수는? A B P, Q, R P A P C, B P D 4! 4! {_ }_{_ }=6_6=36!!!! Q A Q C, B Q D 3! 3! 3! 3! { _ }_{ _ }=9_9=8!!!! R A R C, B R D 4! 4! { _}_{ _}=6_6=36!!!!,, =53 58 D A R Q P C B 0을한개이하사용하여만든세자리자연수중에서각자리의수의합이 3인자연수는, 0, 0, 0, 0이다. 0을한개이하사용하여만든다섯자리자연수중에서각자리의수의합이 5인자연수의개수를구하시오 임의의 <X 에대하여 +f() 는짝수이다. 0,,,, 0 5! 4! - =0-4=6 3! 3! +6= % 3% 33% % 0% 그림과같이이웃한두교차로사이의거리가모두 인바둑판모양의도로망이있다. 로봇이한번움직일때마다길을따라거리 만큼씩이동한다. 로봇은길을따라어느방향으로도움직일수있지만, 한번통과한지점을다시지나지는않는다. 이로봇이지점 에서출발하여 4번움직일때, 가능한모든경로의수는? ( 단, 출발점과도착점은일치하지않는다.) 4 6 A, B, C, D, E, F 4 A 4! B =4 3! 4! C =6!! 4! D =4 3! fi E,,, E (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ) 6 fl F A B E C F D (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ) 4 ( )_4=00 60 직사각형모양의잔디밭에산책로가만들어져있다. 이산책로 B 는그림과같이반지름의길이가같은원 8개가서로외접하고있는형태이다. A지점에서출발하여산책로를따라최단거리 A 로 B지점에도착하는경우의수를구하시오. ( 단, 원위에표시된점은원과직사각형또는원과원의접점을나타낸다.) A A B A B A P B 4! 4! { -}_ =5_4=0!! 3! A Q B 4! 3! _{ 4!!! B -}=4_5=0 0+0=40 40 A P Q B 49

50 «P, «C P _;4!;=90 7_90=630 6 좌표평면위의점들의집합 S={(, ) 와 는정수 } 가있다. 집합 S에속하는한점에서 S에속하는다른점으로이동하는 점프 는다음규칙을만족시킨다. 점 P에서한번의 점프 로점 Q로이동할때, 선분 PQ의길이는 또는 '이다. 점 A(-, 0) 에서점 B(, 0) 까지 4번만 점프 하여이동하는경우의수를구하시오. ( 단, 이동하는과정에서지나는점이다르면다른경우이다.) 7 5 C 5 4 (4-)!=3! C _5_3!= 출발점에서시작하여 5km를가려고할때, km단위로걷기, 달리기, 자전거의세가지방법중한가지를사용하여갈수있다고한다. 이때, 자전거를홀수번사용하여가는방법의수는? ( 단, 같은방법을반복하여사용할수있으며, 순서가다르면서로다른경우로간주한다.) A(-, 0) B(, 0),, 4! 4! + +=9!!! 9 A C D E F K B G K B L B K B H L B M B G K B L B K B H L B M B I L B M B K B H L B M B I L B M B J M B 9 6 A - 서로다른 7가지색을사용하여정사각뿔의다섯면을칠하는방법의수는? ( 단, 정사각뿔의한면에는한가지색을칠하며, 같은색을중복하여사용하지않는다.) C D E F G H I J - K L M B 5km 5km 3km km 5! =0 3!! kmkm 5! =0 3! km 5! =0 3!! 3km 0+0+0=40 km 4km 5! =5 4! 3kmkm 5! =0 3! kmkm 5! =30!! km3km 5! =0 3! 4km 5! =5 4! km =80,, = 50

51 64 프로야구한국시리즈는그해에가장우수한야구팀을뽑는경기이다. 결승에올라온두팀은최대 7번의경기를하여 4번을먼저이긴팀이우승을하고, 우승팀이정해지면더이상경기를하지않는다. 0년에개최되는한국시리즈결승에 A, B 두팀이올라왔다고할때, 우승팀이정해질때까지두팀이치르는경기의경우의수는? ( 단, 무승부로끝나는경기는없다.) A A 4 5 4! =4 3! 6 5! =0!3! 7 6! =0 3!3! A =35 B A 35 A, B 35+35=70 65 사이렌을울려서신호를만들려고한다. 사이렌은 초또는초간울릴수있고, 사이렌과사이렌사이의쉬는시간은 초씩으로한다. 신호에필요한시간이 4초일때, 만들수있는서로다른신호의개수는? (+-) _+_+(+-)=4 +3=5,, (, ) (0, 5), (3, 3), (6, ) ! =0 3!3! 6 7! =7 6! +0+7=8 66 오른쪽그림과같이 9개의작은정사각형으로이루어진큰정사각형판이있다. 서로다른0가지색을사용하여한가운데작은정사각형을제외한나머지 8개의작은정사각형에색을칠하려고한다. 같은색을중복하여사용하지않을때, 서로다르게칠하는방법의수는 k_7! 이다. 이때, k의값을구하시오. ( 단, 큰정사각형판을회전시켜일치하는것은한가지방법으로계산한다.) 0 8 ºC =45 8 (8-)!=7! 8 45_7!_=90_7! k= 철수가자동차로오른쪽그림과같은바둑판모양의도로를따라 A지점에서출발하여약속장소인 B지점까지최단거리로가는도중, 도로 PQ 위에서약속장소가 C지점으로변경됐다는연락을받고곧바로 C지점을향하여도로를따라최단거리로이동하였다. 이때, 철수가 A지점에서출발하여 C지점까지최단거리로이동하는경우의수는? P A B Q C ( 단, 연락받은위치가달라도이동경로가같으면동일한경우로간주한다.) A PQ C ACQP PQ A C' 9! =6 4!5! 68 오른쪽그림과같은도로망이있다. 4개의지점 P, Q, R, S 중어느한지점도지나지않고 A지점에서 B지점까지최단거리로갈수있는모든경로의수는? C, D, X, Y, Z A B C, D P, Q, R, S, T A C X D B A C Y D B 4! 4! _=6 3! 3! P A C' Q C A C Z D B 4! 4! _{ -}_{ -}_=5!!!! E, F P, Q, R, S, T A B (+6+5)_=4_=84 T P, Q, R, S A B 4_4=6 84+6=00 X C A Y A P Z E P Q Q T D R R S S B B F 5

52 69 다음그림과같은 A, B, C, D 네가지모양의탁자에각각 8 개의좌석이있다. A B C D A는원모양의탁자, B는이등변삼각형모양의탁자, C는직사각형모양의탁자, D는정사각형모양의탁자일때, 각각의탁자에 8명이앉는방법의수가큰것부터차례로나열한것은? 8 A (8-)!=7! B 8 8! 7! 4 8 C 4_7! C 3 4 7! 8 D _7! 8 B, C, D, A 8! =8 7! 6! =5!4! 4! =4 3! = a«a =, a =, a = 70 0부터 9까지의숫자로이루어진디지털도어록이있다. 이디지털도어록의비밀번호는한번에 개씩누른 5개의숫자로설정할수있다. 설정된비밀번호의 5개의숫자중 4개는, 3, 7, 7이다. 나머지한숫자와이네숫자의순서를잊어버렸다고할때, 이디지털도어록을풀기위해모든가능한경우의수를눌러본다면최대 번을눌러야한다. 의값을구하시오. ( 단, 숫자 5개를모두누른것을한번으로하고, 누른순서가다르면다른경우로생각한다.) 3,, 3, 7, 7, 3, 3, 7, 7 5! _=60!! 7, 3, 7, 7, 7 5! =0 3!, 3, 7 0,, 4, 5, 6, 8, 9 7 k,, 3, 7, 7 (k, 3, 7) 5! 7_ =40!,, =500 = 오른쪽그림과같이한변의길이가 인정사각형 30개로이루어진직사각형이있다. 이직사각형을가로의길이가, 세로의길이가 3 인직사각형 0개로완전히덮는방법의수를구하시오 [ 7 [ a a a 3 3 a«a«(-)_3 (-3)_3 a«=a«+a«=4, 5,, 0 a =a +a =3, a =a +a =4, a =a +a =6, a =a +a =9 a =a +a =3, aª=a +a =9, a º=aª+a =8 7 같은종류의사탕 5개를 3명의아이에게 개이상씩나누어주고, 같은종류의초콜릿 5개를 개의사탕을받은아이에게만 개이상씩나누어주려고한다. 사탕과초콜릿을남김없이나누어주는경우의수는? z=5 (,, z) H = C = C =6 (,, 3), (, 3, ), (,, ), (,, ), (,, ), (3,, ) 5 (,, 3) a+b=5 (a, b) H = C = C =4 (,, ) =5 5

53 73 3명의후보자중에서한명을뽑기위하여 5명의유권자가각각무기명으로후보자한명을적어낼때, 투표결과의경우의수는? ( 단, 기권이나무효표는없다.) 79 같은모양의 5개의농구공을 4개의바구니 A, B, C, D에넣으려고한다. 바구니 A에는 3개이상, 바구니 B에는 개이상의농구공이들어가게할때, 농구공을넣는방법의수는? 3 5 H = C = C = C = 74 방정식 ++z+w=0에서 æ3, æ, zæ0, wæ5를만족하는정수해의개수는? A 3 B 0 4 A, B, C, D A, B, C, D 0 H º= º C º= C º= C =86 '=-3, '=-, z'=z, w'=w-5 ('+3)+('+)+z'+(w'+5)=0, '+'+z'+w'= ', ', z', w' H = C = C = C = 두집합A={,, 3, 4, 5}, B={6, 7, 8, 9} 에대하여 A에서 B로의함수 f:a B 중에서다음조건을만족시키는함수 f의개수는? B 4 5 H = C = C = C =56 76 세양의정수a, b, c가부등식 a b c 0을만족시킬때, 순서쌍 (a, b, c) 의개수는? (a, b, c) 0 3 ºH = º C = C =0 77 모든항의계수가자연수인이차방정식 a +b+c=0이 a+b+c=0을만족시킬때, 서로다른이차방정식의개수를구하시오. a +b+c=0 a+b+c=0 a+b+c=7 a, b, c 7 H = C =ªC =ªC = i<j 이면 f(i) f(j) 이다. 딸기맛사탕, 포도맛사탕, 레몬맛사탕중에서 9개를선택하려고한다. 딸기맛사탕, 포도맛사탕, 레몬맛사탕을각각적어도 개이상씩선택하는경우의수를구하시오. ( 단, 각종류의사탕은 9개이상씩있다.) 9 6 H = C = C = C = 같은모양의지우개 4개와서로다른연필 3개를 3개의필통 A, B, C에넣는방법의수는? 4 3 A, B, C A, B, C 4 H = C = C = C =5 3 A, B, C 3 3_3_3=7 5_7=405 8 빨간색, 파란색, 노란색색연필이있다. 각색의색연필을적어도하나씩포함하여 5개이하의색연필을선택하는방법의수를구하시오. ( 단, 각색의색연필은 5개이상씩있고, 같은색의색연필은서로구별이되지않는다.) a, b, c aæ, bæ, cæ 5 a+b+c 5 a', b', c' a'=a-, b'=b-, c'=c- a'æ0, b'æ0, c'æ0, a'+b'+c' a'+b'+c'= H«Hº+ H + H ++ H = Cº+ C + C ++ C = Cº+ C + C ++ C = C + C ++ C = = C = C = 한개의주사위를다섯번던질때, k 번째에나타나는눈의수를 a (k=,, 3, 4, 5) 라하자. 이때, a a <a a <a 를만족시키는경우의수를구하시오. a a a a a 6 5 H = C = ºC =5 a a =a a a 6 4 H = C =ªC =6 53

54 a a a a =a 6 4 H = C =ªC =6 a a =a a =a 6 3 H = C = C =56 a a <a a <a H -( H + H - H )=5-(6+6-56)= 검은색바둑알 5개와흰색바둑알 8개를일렬로배열할때, 색깔의변화가 5번이되도록 3개의바둑알을배열하는방법의수는? _ H _ H =_ C _ C = 6=5 84 모양과크기가같은흰공 4개와모양과크기가같은검은공 6개가있다. 이 0개의공을 A, B, C 세주머니에넣는방법의수는? ( 단, 어느주머니에도 개이상의공을넣는다.) 86 { -;[!;} 의전개식에서의계수는? { -;[!;} ºC ( ) 0-r {-;[!;} = ºC (-) 30-4r = 30-4r=- 4r=3 r=8 0 9 ºC (-) = ºC = =45 87 (-)fl (+) 의전개식에서 의계수는? (-)fl C (-) (-)fl C _(-) =-60 (-)fl C _(-) =60 (-)fl (+) -60, = ;dî[; ( +) 의전개식에서 의계수를구하시오. 4 6 A, B, C H H H _ H = C _ C = C _ C =5_8=40 A, B, C 3 A, B, C C _( H _ H -)=3_( C _ C -) =3_(5_7-)=99 40-(3+99)=38 85 다항식 (+)«의전개식에서 의계수가 45일때, 자연수 의값을구하시오. (+)««C «C «C =45 (-) =45, --90=0 (+9)(-0)=0 =0 0 ;dî[;( +) ( +) ( +) C ( ) 4-r r = C -r -r = -r=8 r= C =6 ;dî[; 6 =48 ;dî[; ( +) a«=«cº+;5@;«c +{;5@;} «C ++{;5@;} «C«일때,;N'+! 의값은? a«a«=«cº+;5@; «C +{;5@;} «C ++{;5@;} «C«a«={+;5@;} ={;5&;} ;7%; = {;7%;} = =;%; = a«= -;7%; 90 log ( ººCº+ ººC + ººC ++ ººC ºº) 의값은? ººCº+ ººC + ººC ++ ººC ºº= ººCº- ººC + ººC -+ ººC ºº=0 54

55 + ( ººCº+ ººC + ººC ++ ººC ºº)= ººCº+ ººC + ººC ++ ººC ºº= log ( ººCº+ ººC + ººC ++ ººC ºº)=log = 99 5 f(5)= k- = 4 k- = k= 5 k= (4fi -) 4-03 f(5)= = 34= % % 50% 5% 0% 다음은 이 이상의자연수일때 k(«c ) 의값을구하는과정이다. k= 두다항식의곱 (aº+a ++a«- )(bº+b ++b«) 에서 - 의계수는 aºb«+a b«++a«bº 이다. 등식 (+) - =(+) - (+) 의좌변에서 - 의계수는 에서 - 의계수를구하면 («C _ ) 이다. 따라서 = («C _ ) 이다. 한편 k 일때 k_«c =_«C 이므로 이다. k= k= k(«c ) = (_«C _ ) k(«c ) =_ («C _ ) k(«c ) = k= k= k= ( ) 이고 ( ) 을이용하여우변 이하의자연수 중에서 «C 의값이 3의배수가되도록하는 의개수를구하시오. k= «C =«C +«C +«C ++«C«k= =(«Cº+«C +«C ++«C«)-«Cº =«- = -=, = -=3, =3 -=7, =4 -=5, « «3 3 «- 3 5 위의과정에서,, 에알맞은것은? (aº+a ++a«- )(bº+b ++b«) - aºb«+a b«++a«bº (+) - =(+) - (+) - ( ) - - («C _«C«)= («C _ «C«) k=0 «C«= («C _ «C«) k k_«c =_«C k(«c ) = (_«C _«C )= (_«C _ «C«) k= 9 = («C _ «C«)=_ «C«(-)! =_ = _ (-)!! = k= k= k= ;N;_ «C«k= k= ()!!! 자연수 에대하여 f()= ( C + C + C ++ C ) 일때, f(5) 의값을구하시오. k= (+) k = Cº+ C + C ++ C k = k = Cº+ C + C + C ++ C =- 0= Cº- C + C - C ++ C - k =( C + C + C ++ C ) k- = C + C + C ++ C ( ) «C«94 {-;[!;}+{-;[!;} +{-;[!;} +{-;[!;} +{-;[!;} fi 의전개식에서 의계수는? {-;[!;} ««C -r {-;[!;} =«C (-) -r ( 5) -r= =, r=0 =4, r= Cº- C =-4=-3 95 (a+)«의전개식에서 a, a, a 의계수가이순서로등차수열을이룰때, 이를만족하는모든자연수 의합을구하시오. (a+)««c a a «C, a «Cª, a «C º «Cª=«C +«C º (-)(-8) (-)(-7) (-)(-9) = + 9! 8! 0! 0(-8)=90+(-8)(-9) -37+3=0 (-4)(-3)=0 =4 =3 4+3=37 37 a, b, c b-a=c-b HjK b=a+c 55

56 96 함수 f() 가 f()= Cº+ C + C + C fl + C + C + C 일때,f(ta h)= 을만족하 는 h 의값은? { 단, 0<h<; ;} f()= Cº+ C + C + C fl + C + C + C f()= C k =(+ )fl f(ta h)= (+ta h)fl = +ta h=4, ta h=3 ta h='3 { 0<h<; ;} h=;3 ; 6 k=0 97 오른쪽그림은파스칼의삼각형이다. 그림에있는모든수들의총합은? Cº+ C =(+) Cº+ C + C =(+) Cº+ C + C + C =(+) ºCº+ ºC + ºC ++ ºC º=(+) (+)+(+) ++(+) =+ ++ ( -) (+)+(+) ++(+) = = ºCº Cº ºC Cº Cº C C C C C C Cº C C C C 0 개의똑같은제품과 4 개의서로다른제품을합쳐모두 6 개의제품이있다. 이들 6 개의제품중에서 0 개를뽑는서로다른방법의수는? 0 r 4 (0-r) C º 6 0 C º r=0,,,, 0 0 C º = C r=0 0 r=0 ºCª ºC º 99 3 행렬 A= 에대하여 A 00 을다음과같은방법으로구하였다. 3 0 행렬 X= 이라하면 A=3X+E이므로 0 A 00 =(3X+E) 00 ᄀ을계산하면 A 00 =ax+be 로나타낼수있다. 위과정에서상수 a, b 에대하여 a+b 의값은? ( 단, E 는단위행렬이다.) X = = =E A 00 =(3X+E) 00 A = ººC (3X) E 00-k A = ººCºE+ ººC 3X+ ººC 3 E+ ººC 3 X++ ººC ºº3 00 E A =( ººC 3+ ººC 3 + ººC 3fi ++ ººCªª3 99 )X A +( ººCº+ ººC 3 + ººC 3 ++ ººC ºº3 00 )E a+b=( ººC 3+ ººC 3 + ººC 3fi ++ ººCªª3 99 ) a+b=+( ººCº+ ººC 3 + ººC 3 ++ ººC ºº3 00 ) a+b= ººCº+ ººC 3+ ººC 3 + ººC 3 ++ ººC ºº3 a+b=(+3) 00 =4 00 = k=0 (+) 의전개식에서 의계수를 a, (+) +(+) 의전개식에서 의계수를 a,, ᄀ (+) +(+) ++(+) 의전개식에서 의계수를 a º 이라하자. 이때, a +a ++a º 의값을구하시오. (+) a = C = C (+) +(+) a = C + C = C + C = C (+) +(+) +(+)fi a = C + C + C = C + C = C (+) +(+) ++(+) a º= C + C ++ ºC = C a +a +a ++a º= C + C + C ++ C = C + C + C ++ C = C + C + C ++ C = C + C ++ C = = C + C = C =79 79 (+) = C = C + C (+) = C + C (+) = C + C = C 0 = C r=0 4 r=0 0 r=0 0 r=0 0 r=0 0 r=0 0 r=0 0 C = 40 r=0 4 r= 0 r=0 56

57 ++3z=0 (,, z) (5,, ), (3,, ), (,, ), (, 3, ) 4 ;$6;=;5 4; 30 어느공장에서만든 00개의제품중에 5개의불량품이있다고한다. 이중에서 개의제품을꺼낼때, 개모두불량품일확률은? 307 부터 00까지의자연수가하나씩적혀있는 00장의카드가있다. 이중에서 장을뽑았을때, 그카드에적혀있는수가 의배수도아니고 3의배수도아닐확률은? 00 ººC 5 C C =;49!5; ººC 30 단거리육상대회에서갑, 을, 병세명의선수가동시에출발했을때, 결승선을갑, 을, 병의순서로통과할확률은? ( 단, 어느두선수도결승선을동시에통과하는경우는없다.) A, 3 B (AÇ ;BÇ )=((A'B)Ç )=(U)-(A'B) (A'B)=(A)+(B)-(A;B) (A'B)= =33 (AÇ ;BÇ )=00-33=67 ; 0 0; 3 3!=6 308 오른쪽그림과같이 8등분된원주위에 5개의점 A, B, C, D, E가찍혀있다. 이중임의로 3개의점을골라그점을세꼭짓점으로하는삼각형을만들때, 그삼 A E ;6!; 각형이둔각삼각형일확률은? B D 303 C 어느상자에양면이모두파란색인딱지한장, 양면이모두흰색인딱지한장, 양면이각각파란색, 흰색인딱지한장이들어있다. 이3장의딱지중에서임의로한장을꺼내어바닥에놓았을때, 파란색의면이보일확률은? 5 3 C =0 A E B 6 3 ABC ABE BCD CDE 4 ;6#;=;!; ; 0;=;5@; C D % 4% 6% 4% 3% 흰공개, 노란공 개, 파란공 개가들어있는주머니가있다. 이주머니에서임의로 3개의공을동시에꺼낼때, 공의색깔이모두다를확률은? ( 단, 모든공의크기와모양은같다.) «C «C C _ C _ C C 305 =;5@; 동전의앞면에, 뒷면에 3을써서주사위와함께던졌을때, 동전의숫자와주사위의눈의합이 7 이상일확률은? 7 (, 5), (, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6) 세자리자연수의집합에서임의로뽑은자연수를 M이라할때, log M이정수가될확률은? log M M=5«5«5 =5, 5 = ;90@0;=;45!0; 5 _6 306 =; ; 주사위한개를연속하여세번던졌을때나오는눈의수를차례로,, z 라하자. 이때, 방정식 ++3z=0 을만족시킬확률은? 30 부터 5까지의자연수가하나씩적혀있는 5장의카드가안이보이지않는상자에들어있다. 이상자에서임의로 장의카드를꺼내어숫자를확인한후다시넣는시행을 4회반복했을때, 제 i 번째에꺼낸카드에적힌숫자를 a i (i=,, 3, 4) 라하자. a <a <a <a 가될확률이 ;pq; 일때, p+q의값을구하시오. ( 단, p, q는서로소인자연수이다.) 6 =6 5 4 P =65 57

58 a <a <a <a 5 4 a, a, a, a C =5 ;6%5;=;!5; p=5, q= p+q=6 6 3 오른쪽그림과같이회전하지않는원의둘레를 8등분하는 8개의점이있다. 이들중에서임의로세점을택하여삼각형을만들때, 직각삼각형이될확률은? C = = _6=4 ;5@6$;=;7#; 34 0% % 7% 5% 0% 한국, 중국, 일본학생이 명씩있다. 이 6명이그림과같이좌석번호가지정된 6개의좌석중임의로 개씩선택하여앉을때, 같은나라의두학생끼리는좌석번호의차가 또는 0이되도록앉게될확률은? !=70 0,, 3 3 3!=6 =8 6_8=48, 3, 3 48,, =;5!; 70 3 반지름의길이가 5인원이있다. 이원안에임의로점 P를잡을때, 원의중심 에대하여 P 3이될확률은? ( 단, 점 P는원안의어느점이든같은확률로잡을수있다.) P 3 P p_5 =5p P p_3 -p_ =5p 5p =;5!; 5p S S A S A P(A) ( A ) P(A)= 55 ( S ) 33 길이가 a인선분 AB 위에임의로두점 C, D를잡을때, CD 의길이가 a 이하가될확률은? AC =, AD = 0 a, 0 a (, ) a a CD a - a a (, ) (, ) a a (, ) (a) -a = (a) =;4#; 5 M -Cliic 35 39% 8% 6% 6% % 부터 9까지자연수가하나씩적혀있는 9개의공이주머니에들어있다. 이주머니에서임의로 3개의공을동시에꺼낼때, 꺼낸공에적혀있는수 a, b, c (a<b<c) 가다음조건을만족시킬확률은? a+b+c 는홀수이다. a_b_c 는 3 의배수이다 ªC = =84 3 a+b+c a+b+c=++ a+b+c=++ a_b_c 3 abc 3 a+b+c= C =0 (57) abc 3 (abc) 0-=9 a+b+c= C _ C =5_6=30 58

59 57 48 abc 3 (abc) 30- C _ C =30-3 3=30-9= 9+=30 ;8#4);=; 4; 36 네명이가위바위보게임을할때, 어느한사람이라도이기는사람이생기면게임이끝난다고한다. 회의시행에서게임이끝날확률은? C =4 C =6 C = =4 C _4= =;!7$; =6 6-=4 37 수직선위에세점 X, X, X 이이순서대로나열되어있을때, 다음과같은게임을하기로한다. 동전을던져서앞면이나오면인접한오른쪽점으로이동하고, 뒷면이나오면인접한왼쪽점으로이동한다. X 에서동전을던져뒷면이나오면이동하지않는다. X 에도착하면어느경우에도이동하지않는다. X 을출발점으로할때, 동전을 6 회던져 X 에있을확률은 ;pq; 이다. p+q 의값을구하시오. ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) fl =64 H T 6 X T H H 5 H H 5! 4! - =6!3! 3! H =;6!4#; 64 p=64, q=3 p+q= 오른쪽그림과같이한변의길이가 인정사각형 ABCD의꼭짓점 A 위에검은돌이놓여있다. 주사위를던져서나온눈의수만큼검은돌을시계반대방향으로움직인다고하자. 예를들어, 가나오면검은돌은꼭짓점 C에놓인다. 이때, 주사위를 번던진후검은돌이꼭짓점 A에놓일확률은? 4 4, 8, A 4 (, 3), (, ), (3, ) 3 8 (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ) 5 (6, 6) ;3ª6;=;4!; 39 A B D C 주머니에 부터 0까지서로다른자연수가각각하나씩적혀있는구슬 0개가들어있다. 이주머니에서한개의구슬을꺼내어숫자를확인한후다시집어넣는시행을세번반복하여첫번째나온수를 a, 두번째나온 수를 b, 세번째나온수를 c 라하자. 다음과같은규칙으로 X 를정할때, X=5 일확률은 ;pq; 이다. p+q 의 값을구하시오. ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) [ 규칙 ] a, b, c 가모두다르면두번째큰수를 X 라한다. [ 규칙 ] a, b, c 중에서두개이상이같으면같은수를 X 라한다. X= X=5 5 C =4 5 C =5 5, 3!=6 4_5 6=0 X=5 a, b, c ªC =9 5 5 C =3 9_3=7 a, b, c = 0 50 p=50, q=37 p+q= 오른쪽그림과같이다섯개의의자가있다. A, B 두사람이앞줄의두개의의자에앉아있다가새로운세사람이들어와서모두일어나 5명이임의로다시의자에앉을때, A, B 두사람이모두처음의자가아닌다른의자에앉게될확률은? 5 5 5!=0 A, B 3 _3!=6 59

60 A, B P _3!=36 A, B _ P _3!=36,, A, B =78 ; 0;=;!0#; A, B A 4 4!=4 B 4!=4 A, B 3!=6 A, B 5!-(_4!-3!)=0-4=78 3 주머니에 부터 0까지의번호가각각하나씩적힌공이 0개들어있다. 이때, 번호가 인공의무게는 { -5+4} 라고한다. 임의로두개의공을동시에꺼낼때, 그무게가같을확률은? ( 단, 어느공도크기나무게에관계없이공을꺼낼확률은같다.) f()= -5+4 m, f(m)=f() m -5m+4= -5+4 m - =0(m-) (m+)(m-)=0(m-) m+ m+=0 (m, ) (, 9), (, 8), (3, 7), (4, 6) = = ºC 서로다른두개의주사위를동시에던져서나오는눈의수의합을 a 라할때, 두원 + =4 와 (-6) + =a 이서로다른두점에서만날확률은 ;pq; 이다. p+q 의값을구하시오. 5 (, 4), (, 3), (3, ), (4, ) 4 6 (, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, ) 5 7 (, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ), (6, ) 6 5 ;3!6%;=; ; p=, q=5 p+q= 한모서리의길이가 6 cm인정육면체모양의상자의밑면에두개의합동인직사각형이생기도록오른쪽그림과같이폭이 cm인테이프를붙였다. 이상자속에반지름의길이가 cm인동전을넣어서충분히흔들어정지시킬때, 이 동전이테이프와만날확률이 ;ab; 이다. a+b 의값을구하시오. ( 단, a, b 는서로소인자연수이고, 동전이세워져있는경우는생각하지않는다.) (6-) =4 =96 4_(6-)=56 34 상자에 0개의제비가들어있고이중에당첨제비가 개있다. 상자에서 0개의제비를임의로뽑을때, 그중에서한개만이당첨제비가될확률을 P«이라하자. lim P«의값은? 0 0 º«C º 9 9 ª«Cª 9(9-)(9-)(9-8) _ ª«Cª P«= = º«C º 0(0-)(0-)(0-9) P«= lim P«={;ª0;} =;7@; a=7, b= a+b=9 9 cm cm 9(9-)(9-)(9-3)(9-8) (0-)(0-)(0-3)(0-9) cm cm cm 6cm cm 6cm ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) + =4 (0, 0) (-6) + =a (6, 0) a 6 +a a- a-<6<a+ 4<a<8 a=5, 6, 7 5, 6, 7 35 파란상자에는 부터 까지의자연수가적힌파란구슬이 개들어있고, 빨간상자에는 부터 까지의자연수가적힌빨간구슬이 개들어있다. 파란상자에서구슬 4개, 빨간상자에서구슬 3개를임의로꺼낼때, 빨간구슬 3 개에적혀있는번호가파란구슬 4 개중 3 개의번호와일치할확률 p«에대하여 00 을구하시오. 4 «C 3 «C =4 p«의값 60

61 4 3 «C C «C C C 4 p«= = = (æ4) «C «C «C (-)(-) p«= lim p = lim =4 k=4 k=4 4 k(k-)(k-) p«= lim [ - ] k=4 (k-)(k-) k(k-) p«= lim { - }+{ - } [ - ] (-)(-) (-) p«= lim [ - ]= 3 (-) 00 p«=00 =00 00 =4 A, B = 3 { 3-3 } AB B-A A B A, B, C 3 = 3 { - } ABC C-A AB BC 37 서로다른세개의주사위를동시에던질때, 나오는눈의수가모두같거나모두다르게나올확률은? 36 흰공 개, 검은공 3개가들어있는주머니에서 개의공을꺼낼때, 개가모두같은색의공일확률은? 5 C A B C C P(A)= =; 0;, P(B)= =; 0; C C A, B P(A'B)=P(A)+P(B)=; 0;+; 0;=; 0;=;5@; C _ C =; 0;=;5#; C -;5#;=;5@; 38 83% 6% 5% 3% 3% 두사건 A, B 는서로배반사건이고 P(A;BÇ )=;5!;, P(AÇ ;B)=;4!; 일때, P(A'B) 의값은? A, B P(A;B)=0 P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)=P(A)=;5!; P(AÇ ;B)=P(B)-P(A;B)=P(B)=;4!; P(A'B)=P(A)+P(B)=;5!;+;4!;=;ª0; ( 단, AÇ 은 A 의여사건이다.) 39 서로다른주사위세개를동시에던질때, 나오는세개의눈의수중에서같은것이있을확률은? 6 3 P 6 =;9%; -;9%;=;9$; 330 당첨복권 3 장이포함된 0 장의복권에서 3 장의복권을선택했을때, 적어도한장은당첨될확률이 ;pq; 이다. p+q 의값을구하시오. ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) A P(A)= C ºC =; 0;=; 4; A AÇ P(AÇ )=-P(A)=-; 4;=;!4&; p=4, q=7 p+q= 학년학생 명과 3학년학생 7명이 A, B 두지역으로봉사활동을갔다. 5명의학생이 A지역으로, 남은 4 명의학생이 B지역으로갔을때, A지역으로간 5명의학생중 학년학생이모두포함됐거나한명도포함되지않았을확률은? C A =; 8; ªC C A =;6!; ªC ; 8;+;6!;=;9$; A 6 6 P(A)= =;3 6; 6 B P =0 0 P(B)= =;9%; 6 A, B P(A'B)=P(A)+P(B)=;3 6;+;9%;=; ; 33 학년학생 명, 학년학생 3명, 3학년학생 4명중명의대표를선발할때, 선발된대표가모두서로같은학년일확률은 ;ab; 이다. ab의값을구하시오. ( 단, a, b는서로소인자연수이다.) 9 ªC =36 A, B 3 C C C C P(A)= =;3 6;, P(B)= =; ;, P(C)= =;6!; ªC ªC ªC 6

62 A, B, C P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A'B'C)=;3 6;+; ;+;6!;=; 8; a=8, b=5 ab= 오른쪽그림과같이한변의길이가 인정사각형 4개를붙여놓은도형이있다. 9개의꼭짓점중에서임의의두점을연결한선분의길이가무리수일확률은? 9 ªC =36 3_ C +3_ C =8 -;3!6*;=;!; 334 WHITECANDY 의 0개의각문자를원소로갖는집합의모든부분집합중에서하나의부분집합을임의로택할때, 그부분집합이집합 {H, A, N} 을포함하거나 {C, D, Y} 를포함할확률은? WHITECANDY 0 X X {H, A, N} X {W, I, T, E, C, D, Y} {C, D, Y} X {H, A, N, C, D, Y} X + - =;6!4%; A={a, a, a,,a«} A «A «- 335 A k(k ) «A k(k ) «-«흰공 개, 빨간공 개, 파란공 3개, 검은공 4개가들어있는주머니가있다. 여기에서임의로 3개의공을꺼낼때, 두가지색의공이나올확률은? 3 3 C + C =5 4 C _ C _ C + C _ C _ C + C _ C _ C + C _ C _ C =6+8++4=50, =-; 0;=; 0;=;!4#; ºC M -Cliic 336 3,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 주사위한개를 번던지는시행에서나타나는눈의수들중에서가장큰수를 a«, 가장작은수를 b«이라하자. 예를들어, 주사위를한번던지는시행에서나타나는눈의수가 3이면 a =b =3이고, 주사위를두번던지는 시행에서나타나는눈의수가 4, 6이면 a =6, b =4이다. a«-b«<5가될확률을 p«이라할때, p«의 = 값은? a«-b«<5 a«-b«æ5 a«=6, b«= 6 A, B a«=6, b«= A;B a«-b«<5 p«p«=p((a;b)ç )=P(AÇ 'BÇ ) p«=p(aç )+P(BÇ )-P(AÇ ;BÇ ) P(AÇ )={;6%;} «, P(BÇ )={;6%;} «, P(AÇ ;BÇ )={;6$;} «p«={;6%;} «+{;6%;} «-{;6$;} «= {;6%;} «-{;6$;} «p«= [ {;6%;} «-{;6$;} «;6%; ;6$; ]= = = -;6%; -;6$; p«=0-=8 337 % 5% 80% 0% 3% 어느공항에는 A, B 두대의검색대만있으며, 비행기탑승전에는반드시공항검색대를통과하여야한다. 남학생 7명, 여학생 7명이모두 A, B 검색대를통과하였는데, A검색대를통과한남학생은 4명, B검색대를통과한남학생은 3명이다. 여학생중에서한학생을임의로선택할때, 이학생이 A검색대를통과한여학생일확률을 p라하자. B검색대를통과한학생중에서한학생을임의로선택할때, 이학생이남학생일확률을 q라하자. p=q일때, A검색대를통과한여학생은모두몇명인가? ( 단, 두검색대를모두통과한학생은없으며, 각검색대로적어도 명의여학생이통과하였다.) A B (7-) A A 4 B 3 7- (4+) B (0-) A p p=;7{; B q 6

63 3 q= 0-3 p=q ;7{;= =0, (-3)(-7)=0 =3 =7 =3 A 두사건 A, B에대하여 P(A)=;8#;, P(B)=;!;, P(A;B)=;4!; 일때, 확률 P(BÇ AÇ ) 의값은? ( 단, AÇ, BÇ 은각각 A, B의여사건이다.) P(A)=;8#;, P(B)=;!;, P(A;B)=;4!; P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;8#;+;!;-;4!;=;8%; % 6% 8% 66% 6% 두사건 A, B 에대하여 P(A)=;!;, P(BÇ )=;3@; 이며 P(B A)=;6!; 일때, P(AÇ B) 의값은? 74% 7% 8% 8% 3% 철수가받은전자우편의 0 % 는 여행 이라는단어를포함한다. 여행 을포함한전자우편의 50 % 가광고이고, 여행 을포함하지않은전자우편의 0 % 가광고이다. 철수가받은한전자우편이광고일때, 이전자우편이 여행 을포함할확률은? A B P(A)=0., P(B A)=0.5, P(B AÇ )=0. P(B)=P(A;B)+P(AÇ;B) =P(A)P(B A)+P(AÇ )P(B AÇ ) P(B)=0._ _0.=0.3 ( 단, AÇ 은 A 의여사건이다.) P(A;B) P(A;B) P(B A)= = =;6!; P(A;B)=; ; P(A) P(B)=-P(BÇ )=-;3@;=;3!; P(AÇ ;B) P(B)-P(A;B) P(AÇ B)= 3 = 3 P(B) P(B) ;3!;-; ; P(AÇ B)= =;4#; ;3!; P(A;B) 0._0.5 P(A B)= = =; 3; P(B) 0.3 P(AÇ ;BÇ ) P(BÇ AÇ )= = P(AÇ ) P((A'B)Ç ) P(AÇ ) -;8%; -P(A'B) P(BÇ AÇ )= = =;5#; -P(A) -;8#; 34 어느고등학교 학년학생들의 60 % 는입학전에수학을예습하였고, 40 % 는예습하지않았다고한다. 수학을예습한 학년학생들의 0 %, 예습하지않은 학년학생들의 0 % 가 학기중간고사수학성적이 90점이상이었다. 학년학생들중에서임의로한명을뽑았더니 학기중간고사수학성적이 90점이상이었을때, 그 학년학생이입학전에수학을예습하였을확률은? 90 A, B P(B A) P(A;B) P(A;B) P(B A)= = P(A) P(A;B)+P(A;BÇ ) 0.6_0. P(B A)= =;4#; 0.6_0.+0.4_0. 34 다음표는어느고등학교의남녀학생 50명을대상으로 만일다시입학해도지금의학교에입학하고싶은가? 에대하여설문조사한것이다. 조사대상자중에서한학생을임의로뽑았는데그학생이남학생이었다. 그남학생이지금의학교에다시입학하고싶어하는학생일확률은? B A P(A B) ; 5º0; P(A;B) P(A B)= = =;5@; P(B) ; 5 0; P(A B)= A, B P(B) P(A;B) P(A;B) P(B) 343 다음은두학생 A, B가나눈대화의일부이다. A : 너희학교의남학생과여학생은각각몇명이니? B : 남학생은 80명이고여학생은 60명이야. A : 너희학교학생들은수능모의고사에서탐구영역을모두선택했니? B : 모두선택했지. 사회탐구를선택한남학생은 0명이고, 과학탐구를선택한여학생은 70명이야. A : 그럼너희학교학생중에서사회탐구를선택한학생들중한명을뽑을때, 그학생이여학생일확률은어떻게되지? 위의대화에서 A 의마지막질문에대한옳은답은? 63

64 A B P(B A) ;3ª4º0; P(A;B) P(B A)= = =;7#; P(A) ;3@4!0); 344 어느전자제품대리점에서는 TV를사는손님에게가습기또는공기청정기중하나를, 에어컨을사는손님에게 가습기와공기청정기모두를사은품으로주는행사를하였다. 다음표는이행사기간에판매한전자제품의수와 지급한사은품의수를나타낸것이다. TV 가습기를사은품으로받은손님이 TV 를산손님일확률은? ( 단, 두대이상의전자제품을구입한고객은없다.) A TV B TV =00 P(A;B) P(B A)= =;4@5)0);=;9$; P(A) % 5% 6% 8% 3% 여학생 00명과남학생 00명을대상으로영화 A와영화 B의관람여부를조사하였다. 그결과모든학생은적어도한편의영화를관람하였고, 영화 A를관람한학생 50명중여학생이 45명이었으며, 영화 B를관람한학생 80명중여학생이 7명이었다. 두영화 A, B를모두관람한학생들중에서한명을임의로뽑을때, 이학생이여학생일확률은? A A B B W M P(W A;B) A B A;B A'B (W) (M) P(W;A;B) P(W A;B)= =;3!0&; P(A;B) 346 통계에의하면자동차보험에가입한지 년이내에사고를일으킬확률은 40 세미만이 0.04 이고, 40 세이상이 0.0라고한다. 보험가입자의 70 % 가 40세이상이라할때, 보험가입자가가입한지 년이내에사고를낸경우그사람이 40세이상일확률은? A 40 B P(A BÇ )=0.04, P(A B)=0.0, P(BÇ )=0.3, P(B)=0.7 P(A)=P(A;BÇ )+P(A;B) P(A)=P(BÇ )P(A BÇ )+P(B)P(A B) P(A)=0.3_ _0.0=0.06 P(A;B) 0.7_0.0 P(B A)= = =; 3; P(A) A, B, C 세개의주머니에각각모양과크기가같은 5개의공이들어있다. A주머니에는노란공 개와파란공 3개, B주머니에는노란공 3개와파란공 개, C주머니에는노란공 개와파란공 4개가들어있다. 각주머니에서공을한개씩꺼냈더니파란공이두개나왔다고한다. 이때, A주머니에서꺼낸공이파란공일확률은? ;5#;_;5@;_;5!;+;5#;_;5#;_;5$;+;5@;_;5@;_;5$;=; 5; A ;5#;_;5@;_;5!;+;5#;_;5#;_;5$;=; 5; E, A A ; 5; P(A;E) 4 P(A E)= = = = P(E) 58 9 ; 5; 348 부터 6까지하나씩번호가붙은 6개의상자가있다. 각상자마다 0개의공이들어있고, 그중흰공의개수는상자의번호와같다. 먼저주사위를던져얻어지는눈의수와같은번호의상자를선택한후그상자에서한개의공을꺼낸다. 꺼낸공이흰공일때, 이것이짝수번호의상자에서나왔을확률은? W 6 k 6 7 P(W)=;6!; =;6 0; =; 0; k= 0 A P(W;A)=;6!; {; 0;+; 0;+; 0;}=;5!; ;5!; P(W;A) P(A W)= = =;7$; P(W) ; 0; 349 어떤의사가암에걸린사람을암에걸렸다고진단할확률은 99 % 이고, 암에걸리지않은사람을암에걸리지않았다고진단할확률은 94 % 라고한다. 이의사가실제로암에걸린사람 300명과실제로암에걸리지않은사람 700명을진찰하여암에걸렸는지를진단하였다. 이때, 암에걸렸다고판정된사람이실제로도암에걸려있을확률은? X P(X)=; 0º0º0;_;ª0ª0;=; 0ª0 0; Y P(Y)=; 0º0º0;_{-;ª0 0;}=;0$0@0; X Y 000 Z P(Z)=P(X'Y)=; 0ª0 0;+;0$0@0;=; 0 0ª0; 64

65 ; 0ª0 0; P(Z;X) P(X) P(X Z)= = = =;ªª3; P(Z) P(Z) ; 0 0ª0; 350 앞면과뒷면두가지경우만나오는딱지가있다. 앞면이나올확률이서로다른 9개의딱지를하나씩차례로던질때, 번째던지는딱지가앞면이나올확률은 ;9N; (=,,, 9) 이라고한다. 이딱지를모두던진후에 354 5% 7% 73% 3% % 서로독립인두사건 A, B에대하여 P(A)=;3!;, P(A'B)=;5$; 일때, P(BÇ ) 의값은? ( 단, BÇ 은 B의여사건이다.) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) A, B ;5$;=;3!;+P(B)-;3!;P(B) P(B)=; 0; P(BÇ )=-P(B)=; 0; 한개의딱지를임의로택하여살펴보았더니앞면이나왔다. 이때, 이딱지가 6 번째던진딱지일확률은 ;ab; 이다. ab 의값을구하시오. ( 단, a, b 는서로소인자연수이다.) H P(H)=;9!;_;9!;+;9!;_;9@;++;9!;_;9(;=;8 ; k=;8 ; =;9%; k= 6 A P(A)=;9!;_;9^;=; 7; ; 7; P(A;H) P(A) P(A H)= = = =; 5; P(H) P(H) ;9%; a=5, b= ab= 사격경기에서갑은 8발중 5발, 을은 7발중 4발, 병은 6발중 5발의비율로명중시킨다고한다. 이세사람이동시에한발씩쏘았을때, 어느한사람만이명중시킬확률은? P =;8%;, P =;7$;, P =;6%; ;8%;_;7#;_;6!;+;8#;_;7$;_;6!;+;8#;_;7#;_;6%;=; 4; 35 6개의면에각각,,,, 3, 3의숫자가새겨져있는주사위가있다. 이주사위를연속해서 번던졌을때, 눈의합이 5가될확률은? (, 3), (3, ) ;6#;_;6@;+;6@;_;6#;=;3!; 353 두사건 A, B에대하여 P(A)=0., P(B)=0.7일때, 다음에서두사건 A, B가서로독립인지종속인 지판단하기위해필요한정보가될수없는것은?( 단, BÇ 은 B의여사건이다.) P(B A) P(A B) 3 P(A'B) 4 P(A;B) 5 P(BÇ ) 355 5% 5% 8% 5% 47% 3학년에 7개의반이있는어느고등학교에서토너먼트방식으로축구시합을하려고하는데이미 반은부전승으로결정되어있다. 오른쪽과같은형태의대진표를만들어시합을할때, 반과 반이축구시 합을할확률은? ( 단, 각반이시합에서이길확률은모두 ;!; 이고, 기권하는반은없다고한다.) a b ;6@;_;!;=;6!; a b c d e f c, d, e, f ;6$;_;!;_;!;_;!;=; ;, ;6!;+; ;=;4!; 356 두사건 A, B가서로독립이고 P(A)=;4!;, P(B)=;3!; 일때, P((A;BÇ )'(B;AÇ )) 의값은? ( 단, AÇ, BÇ 은각각 A, B의여사건이다.) A;BÇ, B;AÇ A, B P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=P(A;BÇ )+P(B;AÇ ) P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=P(A)-P(A;B)+P(B)-P(A;B) P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=P(A)-P(A)P(B)+P(B)-P(A)P(B) P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=;4!;-;4!;_;3!;+;3!;-;4!;_;3!;=; ; A;BÇ, B;AÇ A, B P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=P(A;BÇ )+P(B;AÇ ) P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=P(A)P(BÇ )+P(B)P(AÇ ) P((A;BÇ )'(B;AÇ ))=;4!;_;3@;+;3!;_;4#;=; ; A, B P(A;B)=P(A)P(B) P(A;B) P(B A)P(A)=P(A;B) P(A B)P(B)=P(A;B) P(A)+P(B)-P(A'B)=P(A;B) P(A;B) P(BÇ )=-P(B) P(BÇ ) P(A;B) A, B P(A;B)=P(A)P(B) P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)=P(A)-P(A)P(B) P(A;BÇ )=P(A){-P(B)}=P(A)P(BÇ ) A, BÇ A, B P(AÇ;B)=P(AÇ )P(B) AÇ, B 65

66 357 오른쪽그림과같은전기회로에서다섯개의스위치 가, 나, 다, 라, 마 는서로독립적으로작동된다. 가 또는 다 가 연결될사건을 X, 나 또는 라 가연결될사건을 Y, 마 가 A B 연결될사건을 Z라할때, A에서 B로전류가흐를확률을나타내는식은? A B P(X;Y;Z) P(X;Y;Z)=P(X)P(Y)P(Z) 358 두사건 A, B가서로독립이고 P(A)=0.4, P(AÇ ;BÇ )=0.4일때, P(B) 의값은? ( 단, AÇ, BÇ 은각각 A, B의여사건이다.) P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )=-P(A'B)=0.4 P(A'B)=0.6 A, B P(A;B)=P(A)P(B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 0.6=0.4+P(B)-0.4P(B) P(B)=;3!; 359 서로다른세개의주사위를동시에던져서나오는눈의수를각각 a, b, c라할때, 세수 a, b, c의최대공약수가 일확률은? a, b, c 4 6 a, b, c ;6#;_;6#;_;6#;={;!;} a, b, c 4 ;6!;_;6!;_;6!;={;6!;} a, b, c 6 ;6!;_;6!;_;6!;={;6!;} {;!;} -{;6!;} -{;6!;} =; 6; 360 정육면체의각면에 -, -,,,, 의숫자가하나씩적혀있다. 이정육면체를두번던져나온수의합이 0이될확률은? 0 (-, ) (, -) - ;6@;=;3!;, ;6$;=;3@; (-, ) ;3!;_;3@;=;9@; (, -) ;3@;_;3!;=;9@; ;9@;+;9@;=;9$; 36 주사위한개를던져 의눈이나오면 0점, 짝수의눈이나오면 점을얻고 를제외한소수의눈이나오면 점을얻는다. 주사위를 3회연속던질때, 합계점수가 5점일확률은? ;6#;=;!; ;6@;=;3!; 5 ;!;_;3!;_;3!;+;3!;_;!;_;3!;+;3!;_;3!;_;!;=; 8;+; 8;+; 8;=;6!; 36 경사면을내려오면세구멍 A, B, C가있고, 경사면의꼭대기에서서로다른구슬 5개를동시에떨어뜨리는시행을한다. 이때, 한개의구멍만비는경우를성공으로한다. 이시행을여러번반복할때, 9번째시행에서처음으 a b 로성공할확률은 { } (a, b, 은자연수 ) 이다. a+b+의값을구하시오. 7 7 ( 단, 구슬은 A, B, C 중하나의구멍에반드시들어가고, 구슬이들어갈확률은 A, B, C 모두같다.) 5 P =3fi =43 A 5 B C B C P -=fi -=30 B, C 3_30 =;!7); {-;!7);} _;!7);={;!7&;} ;!7); a=7, b=0, =8 a+b+= 오른쪽그림과같이간격이일정한직선도로망에서동점 P는주사위를한번던질때마다다음규칙에따라움직인다. 4 또는 6의눈이나오면왼쪽으로 칸이동한다. 소수의눈이나오면오른쪽으로 칸이동한다. 의눈이나오면위쪽으로 칸이동한다. 한개의주사위를 7 회던질때, A 지점에있는동점 P 가 B 지점에있게될확률은 ;ab; 이다. a+b 의값을구하시오. ( 단, a, b 는서로소인자연수이다.) A P B ( ) 3 ( ) 5 7 P A B ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ;6#;=;!; ( ) ;6@;=;3!; ( ) ;6!; 7! 4!! _{;!;} _;3!;_{;6!;} =;5 7 6; a=576, b=35 a+b=6 6 A B 66

67 364 어떤학생이버스나지하철중어느하나를한번만타고등교한다. 버스를탄다음날에버스를탈확률은 ;3!; 이고, 지하철을탈확률은 이다. 또, 지하철을탄다음날에버스를탈확률과지하철을탈확률은모두 ;!; 이라고한 다. 월요일에버스로등교하였다면다음날인화요일부터 3 일동안버스를적어도한번타고등교할확률은? A B A B B B 3 ;3@; ;!; ;!;=;6!; -;6!;=;6%; 365 어떤상자속에불량품 3개를포함하여모두 7개의제품이들어있다. 한개의주사위를던져나온눈의수와같은개수만큼상자에서제품을동시에꺼낼때, 불량품이 개일확률은? 4,, 3, 4, 5 C C C C C C C C C ;6!; +;6!; +;6!; +;6!; +;6!; C C C C C =; 4;+; ;+;3 5;+;3 5;+;4 ;=;3!; P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A'B)+P(A)+P(B) P(A)P(B)+P(BÇ )P(A)=P(A)P(B)+{-P(B)}P(A) P(A)P(B)+P(BÇ )P(A)=P(A) 368 흰공4개와빨간공 6개가들어있는주머니속에서갑이 4개의공을꺼낸후을이 3개의공을꺼낼때, 갑, 을두사람이같은수의흰공을꺼낼확률은? ( 단, 갑이꺼낸공은다시넣지않는다.) C C C C _ =;3 5; ºC C C C C C _ =;3 5; ºC C ;3 5;+;3 5;=;3ª5; 369 두사건 A, B에대하여 P(A'B)=0.7, P(A)=0.4이다. 이두사건 A, B가배반사건이면 P(B)=a 이고, 독립이면 P(B)=b이다. 이때, 상수 a, b에대하여 (a+b)_00의값을구하시오. 366 임의의두사건 A, B에대하여옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. 0 P(A) ㄷ. P(A'B) P(A)+P(B) A, B P(A;B)=P(A)P(B) P(A;B)=P(A)P(B A)=P(B)P(A B) A;B=Δ P(A'B)=P(A)+P(B) A;B+Δ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)<P(A)+P(B) P(A'B) P(A)+P(B) 367 공사건이아닌두사건 A, B가서로독립일때, 항상옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. P(BÇ A)=-P(B) ㄷ. P(A)=P(A)P(B)+P(BÇ )P(A) A, B P(A;B)=P(A)P(B) P(BÇ ;A) P(BÇ A)= = P(A) P(BÇ A)= P(A)-P(A)P(B) P(A) ㄴ. P(A;B)=P(A)P(B) ㄴ. P(A'B)=P(A)+P(B) P(A)-P(A;B) P(A) =-P(B) A, B P(A'B)=P(A)+P(B) 0.7=0.4+P(B) P(B)=0.3 a=0.3 A, B P(A;B)=P(A)P(B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 0.7=0.4+P(B)-0.4P(B) P(B)=0.5 b=0.5 (a+b)_00=( )_00= 서로다른두개의주사위를던져서나오는눈의합 S를관찰하는실험을한다. 이와같은실험을반복할때, S=6이관찰되기전에 S=5가관찰되면실험이끝난다고한다. 이실험이끝날확률은? S=5 (, 4), (, 3), (3, ), (4, ) 4 S=6 (, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, ) 5 S=5 S=6 S 36-(4+5)=7 S=5 ;3 6;, S=5 S=6 S ;3@6&; S=5 ;3 6; S=5 S=6 S S=5 ;3@6&;_;3 6; 67

68 3 S=5 S=6 S 3 S=5 ;3@6&;_;3@6&;_;3 6;={;3@6&;} _;3 6; 4 {;3@6&;} _;3 6; 5 {;3@6&;} _;3 6; ;3 6;+;3@6&;_;3 6;+{;3@6&;} _;3 6;+{;3@6&;} _;3 6;+ ;3 6; = =;9$; -;3@6&; 37 성냥개비 6개를사용하여정사면체를만들었을때, 어느꼭짓점에나유황부분이있을확률은? a c b d =8 e=3e=5 8_3=4 ; 0;=;5!; % 9% % 7% 8% 주머니 A와 B에는,, 3, 4, 5의숫자가하나씩적혀있는다섯개의구슬이각각들어있다. 철수는주머니 A에서, 영희는주머니 B 에서각자구슬을임의로한개씩꺼내어두구슬에적혀있는숫자를확인한후다시넣지않는다. 이와같은시행을반복할때, 첫번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자가서로다르고, 두번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자가같을확률은? A B (, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5) 5 5_{;5!;} =;5!; -;5!;=;5$; 3 6 {;!;} =;8!; 4 ;8!;_4=;!; 3 3_{;4!;} =; 6; ;5$;_; 6;=; 0 -;!;=;!; 37 오른쪽그림과같은 5개의작은정사각형에,, 3, 4, 5를임의로하나씩써넣 을때, 가로와세로의세수의합이서로같게될확률은? ( 단, 오른쪽그림은하나의예이다.) a+e+c=b+e+d a+c=b+d =5 a+b+c+d e e ;5#; a b e d c 374 7% 8% 9% 7% 39% 정보이론에서는사건 E가발생했을때, 사건 E의정보량 I(E) 가다음과같이정의된다고한다. I(E)=-og P(E) [ 보기 ] 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, 사건 E가일어날확률 P(E) 는양수이고, 정보량의단위는비트이다.) ㄱ. 한개의주사위를던져홀수의눈이나오는사건을 E라하면 I(E)=이다. ㄴ. 두사건 A, B가서로독립이고 P(A;B)>0이면 I(A;B)=I(A)+I(B) 이다. ㄷ. P(A)>0, P(B)>0인두사건 A, B에대하여 I(A'B) I(A)+I(B) 이다. I(E)=-log P(E) e= a, b, c, d 3, 4, 5 5 a+c=b+d 5 ;3!; e=3, 5 ;5#;_;3!;=;5!;,, 3, 4, 5 a, b, c, d, e 5!=0 a+e+c=b+e+d e e= 5 a c 3 4 b d 5 b d 3 4 a c P(E)=;!; I(E)=-log ;!;= A, B P(A;B)=P(A)P(B) I(A;B)=-log P(A;B) I(A;B)=-log P(A)P(B) I(A;B)=-log P(A)-log P(B) I(A;B)=I(A)+I(B) =log =-log P(A) P(A'B) I(A)æI(A'B) P(B) P(A'B) I(B)æI(A'B) I(A'B) I(A)+I(B) 68

69 376 A주머니에는흰공 개와검은공 개가들어있고, B주머니에는검은공 개가들어있다. A주머니에있는공을 개꺼내어 B주머니에넣은후, 다시 B주머니에서공을 개꺼내어 A주머니에넣는과정을 번의시행이라하자. 이와같은시행을 3번반복하였을때, A주머니에흰공이들어있을확률은? A 375 주머니안에스티커가 개, 개, 3개붙어있는카드가각각 장씩들어있다. 주머니에서임의로카드 장을꺼내어스티커 개를더붙인후다시주머니에넣는시행을반복한다. 주머니안의각카드에붙어있는스티커의개수를 3으로나눈나머지가모두같아지는사건을 A라하자. 시행을 6번하였을때, 회부터 5회까지는사건 A 가일어나지않고, 6회에서사건 A가일어날확률을 ;pq; 라하자. p+q의값을구하시오. ( 단, p와 q는서로소인자연수이다.) 3 (a, b, c) (,, 0) 3 (0, 0, 0) (,, ) (,, ) (0, 0, 0) (,, ) (,, ) 3 (0, 0, 0) (,, 0) (,, 0) (0,, 0) (0, 0, 0) (,, 0) (,, 0) (, 0, 0) (0, 0, 0) (,, 0) (, 0, 0) (, 0, 0) (0, 0, 0) 3 3 (,, ) (,, 0) (, 0, 0) (,, 0) (,, ) (,, 0) (, 0, 0) (, 0, ) (,, ) (,, 0) (,, ) (, 0, ) (,, ) 3 3 (,, ) (,, 0) (,, 0) (,, ) (,, ) (,, 0) (,, ) (,, ) (,, ) (,, 0) (,, ) (,, ) (,, ) 3,, 3 A 9, 3 3_3_3=7 3 A ;ª7;=;3!; 3 A -;3!;=;3@;,3 (,, 0) A 6 A ;3!; 5 A 6 A ;3@;_;3!;=;9@; p=9, q= p+q=9+= ;!;_;3!;+;!;_=;3@; ;!;_;3@;=;3!; _;3@;=;3@; _;3!;=;3!; ~ A 3 3 {;3@;} {;3!;} {;3@;} {;3!;} {;3@;} {;3!;} {;3@;} {;3@;} +3_{;3!;} {;3@;}=;!7$; 377 주머니 A에는흰구슬 4개, 빨간구슬 5개가들어있고, 주머니 B에는흰구슬 3개, 빨간구슬 4개가들어있다. 주머니 A에서한개의구슬을꺼내어주머니 B에넣고잘섞은다음에주머니 B에서세개의구슬을꺼낼때, 적어도하나는다른색의구슬이섞여있을확률은? A A ;9$; A B 4 4 B C C + =;7!; C C -;7!;=;7^; A ;9$;_;7^;=; ; A ;9%; A B 3 5 B C C + =;5!6!; C C -;5!6!;=;5$6%; A ;9%;_;5$6%;=;5@6%;, ; ;+;5@6%;=;!6#8(; 69

70 378 서로다른주사위두개를동시에던져서나오는눈의합이 6의배수가되면이기는놀이를한다. A부터시작하여 A, B 두사람이교대로던져승부가날때까지계속할때, A가이길확률은? 6 (, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, ), (6, 6) 6 ;3 6;=;6!; A A P(A)=;6!;+;6%; ;6%; ;6!;+;6%; ;6%; ;6%; ;6%; ;6!;+ 38 0세의여자가앞으로 50년동안생존할확률은 ;4#; 이라고한다. 0세의여자 5명중4명이상이앞으로 50년동안생존할확률이 ;ab; 일때, a+b의값을구하시오. ( 단, a, b는서로소인자연수이다.) C {;4#;} ;4!;+ C {;4#;} fi =; 8; a=8, b=8 a+b=09 09 ;6!; P(A)= -;3@6%; P(A)=; ; 383 한번의시행에서사건 A가일어날확률이 p {0 p ;3!;} 일때, 번의독립시행에서사건 A가단한번일어날확률을 f(p) 라하자. 이때, f(p) 의최댓값은? f(p)= C p(-p)=(p-p )=-{p-;!;} +;!; 379 어느상자안에주황색탁구공 개와흰색탁구공 8개가섞여있다. 상자안을보지않고, 탁구공을한개씩꺼내는시행을할때, 주황색탁구공을모두꺼내면시행을멈추도록한다. 두번째시행에서멈출확률을 a, 다섯번째시행에서멈출확률을 b라할때, a+b의값은? C a= _ =; 0;_;9!;=;4 5; ºC ªC C _ C b= _;6!;=;4 5; ºC, a+b=;4 5;+;4 5;=;9!; 0 p ;3!; p=;3!; f {;3!;}=-{;3!;-;!;} +;!;=;9$; 384 한개의주사위를한번던져서나온눈의수만큼동전을던질때, 동전의앞면이 4회나올확률은? 4 4 4, 5, 6 ;6!; (æ4) 4 «C {;!;} {;!;} «=«C {;!;} «;6!; C {;!;} +;6!; C {;!;} fi +;6!; C {;!;} fl =;3 8ª4; 380 한개의동전을 7회던졌을때, 앞면이적어도 회이상나올확률은? 385 한개의주사위를 번던져서 의눈이 k(k ) 번나올확률을 P 라하자. 함수 f()= 대하여 f() 의값은? k=0 P () 에 ;!; ;!; -[ Cº{;!;} {;!;} + C {;!;} {;!;} fl ]=-; 6;=;!6%; P =«C {;6!;} {;6%;} «f()= «C {;6!;} {;6%;} «() = «C { } {;6%;} «={ +;6%;} 6 «k=0 k=0 6 f()={;6$;+;6%;} «={;#;} «38 좌표평면위의점 P가원점을출발하여다음규칙에따라움직인다. 동전을던져서앞면이나오면 축의양의방향으로 만큼이동한다. 동전을던져서뒷면이나오면 축의양의방향으로 만큼이동한다. 이때, 동전을 6번던져서점 P가좌표평면위의점 (3, 3) 에놓여있을확률은? 386 % 6% 9% % 6% 채널이 부터 00까지설정된텔레비전이있다. 이텔레비전의리모콘의일부는오른쪽그림과같고, 현재켜져있는채널은 50이다. 채널증가버튼과채널감소버튼 두개중한번에한개의버튼을임의로여섯번누를때, 채널이다시 50이될확률은? ( 단, 버튼을한번누르면채널은 씩변한다.) P (3, 3) 3 3 ;!; 3 C {;!;} {;!;} = C {;!;} fl =; 6; C {;!;} {;!;} =;6@4);=; 6; 70

71 387 주머니에빨간공 개와파란공 4개가들어있다. 이주머니에서공한개를꺼내어색을확인해본후다시넣는시행을 3번반복하였을때, 꺼냈던공중파란공이 개일확률을 p«이라하자. 또, 이주머니에서한꺼번에 q«공 3개를꺼낼때, 파란공이 개있을확률을 q«이라하자. 이때, lim 의값은? p«390 오른쪽그림과같은것을갈톤 (Galto) 의관이라고한다. 지점에서아래쪽으로그림과같은통로가이어지며 지점에서공을놓았을때공이아래로내려가는방향을기준으로오른쪽으로내려갈확률은 ;3!;, 왼쪽으로내려갈확률은 라고한다. 지점에서공을놓았을 p«= C { } { }= «C _ C q«= = «C q«36(+4) lim = lim =;4#8^;=;4#; p«48(+4)(+3)(+) 부터 6까지의눈이새겨진주사위 6개를다음그림과같이붙여바닥에놓은다음에앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽그리고위에서보았을때, 의눈이3개가보일확률은 ;ab; 이다. a+b의값을구하시오. ( 단, a, b는서로소인자연수이다.) 6 4 ;6$;=;3@; 48 (+4) 36 (+4)(+3)(+) 한개의주사위를던져서나온눈의수 에대하여 f()=+(-)«-[;n;] 이라하자. 한개의주사위를 7번던져서나온눈의수 (i=,,, 7) 에대하여 f( )=5일확률이 ;ab; 일때, a+b의값을구하 시오. ( 단, [] 는 보다크지않은최대의정수이고, a, b 는서로소인자연수이다.) f()=f(3)=f(5)=-, f()=f(4)=f(6)= X Y 7 X+Y=7 7 i= f( )=5 X-Y=5 X=4, Y=3 ;6#;=;!; ;6#;=;!; C {;!;} {;!;} =; 8; i= a=8, b=35 a+b=63 63 때, 출구 Aº, A, A,, A ºº 중에서공이떨어질확률이가장큰곳은 A 이다. 이때, r의값을구하시오. Aº 00 ººCº{;3!;} {;3@;} A 00 ººC {;3!;} {;3@;} A 00 r P(A ) P(A )= ººC {;3!;} {;3@;} (r=0,,,, 00) P(A ) P(A ) ººC {;3!;} {;3@;} ± = ººC {;3!;} {;3@;} Aº A A Aª Aªª A ºº 00! 3 {;3!;} {;3@;} ± (r+)!(99-r)! = 4 00! 33 {;3!;} {;3@;} r!(00-r)! (00-r) = r+ (00-r) > 00-r>r+, 3r<99 r+ P(A ) r<66. > P(A )>P(A ) P(A ) P(Aº)<P(A )<P(A )<<P(A )<P(A ) (00-r) < 00-r<r+, 3r>99 r+ P(A ) r>66. < P(A )<P(A ) P(A ) P(A )>P(A )>>P(A ºº), A r=67 67 ;6#;=;!; 3 (, ) C {;3@;} C {;!;} =; 4 4; (, ) C {;3@;} {;3!;} C {;!;} =; 4 4; (0, 3) Cº{;3!;} C {;!;} =;4$4; ; 4 4;+; 4 4;+;4$4;=;3!6!; a=36, b= a+b=

72 394 4% 75% 7% 4% 0% -4 이산확률변수` X의확률질량함수가` P(X=)= (=,, 3, 4, 5) 일때, E(4X+5) 의값은? 7 X 39 확률변수 X의확률질량함수가 P(X=)=a +a (=,, 3) 일때, 상수` a의값은? X P(X=) ;7#; ;7@; ;7!; 0 ;7!; P(X=)+P(X=)+P(X=3)= a+6a+a=, 0a= E(X)=_;7#;+_;7@;+3_;7!;+4_0+5_;7!;=: 7 : E(4X+5)=4E(X)+5 a=; 0; E(4X+5)=4 : 7 :+5=35 39 흰공이 3개, 검은공이 개들어있는주머니에서임의로 3개의공을꺼낼때, 이중에서흰공의개수를확률변수 X라하자. 이때, 확률변수 X의평균은? X,, 3 C _ C P(X=)= =; 0; C C _ C P(X=)= =; 0; C C P(X=3)= 5=; 0; C X X 3 P(X=) ; 0; ; 0; ; 0; 395 네개의동전을동시에던질때나오는앞면의개수를확률변수 X라하면X의확률질량함수는 P(X=k)=; 6; «C (k=0,,, 3, 4) 이다. 이때, 자연수` 의값을구하시오. k(4-k) k P(X=k)= C {;!;} k {;!;} 4-k =; 6; C =4 4 k k k «C {;!;} k {;!;} -k = 5 «C «E(X)=_; 0;+_; 0;+3_; 0;=;5(; 393 3% 9% 78% 7% 3% 확률변수 X의확률분포표는다음과같다. X 0 P(X=) ;7@; ;7#; ;7@; 확률변수 7X의분산 V(7X) 의값은? X E(X) 396 확률변수 X 가갖는값이 X 인정수이고 X 의확률질량함수가 P(X=)=( k-;; ( 0) P(X=)={ 일때, P(0 X ) 의값은? ( 단, k는상수이다.) P(X=)=9 k+;; (>0) P(X=-)+P(X=-)+P(X=0)+P(X=)+P(X=)= {k+; ;}+{k+; ;}+k+{k+; ;}+{k+; ;}= 0k+; ;=0k=;!; E(X)=0_;7@;+_;7#;+_;7@;= V(X) V(X)=0 _;7@;+ _;7#;+ _;7@;- =;7$; k=; 0; P(0 X )=P(X=0)+P(X=) P(0 X )=4k+; ;=; 0;+; ;=;6!0&; V(7X)=7 V(X)=49_;7$;=8 397 확률변수 X의확률질량함수가 P(X=)=;0; (=,, 3, `, `) 일때, 확률변수 ;3!;X-의분산 `` E(X) E(X ) V(X)=E(X )-{E(X)} V(aX+b)=a V(X) V(X) V{;3!;X-} 의값은? ;K+!P(X=k)=;K+!;apple0;= (+) ; 0; 5=(+)=0 =4 7

73 4 5 9 E(X)=;K4+! k ;apple0;=; 0;;K4+! k =; 0; = 개의문자로구성된단어 STATISTICS 에대하여표본공간 {S, T, A, I, C} 의각문자에주어진확률 V(X)=;K4+! k ;apple0;-{e(x)} =; 0 ;K4+! k V(X)=; 0; { } -9= V{;3!;X-}=;9!;V(X)=;9!; 398 확률변수 X의확률분포표가다음과같고, X의평균과분산이각각 ;&;, : 4 : 이다. 이때, a +b 의값을구하시오. 은단어 STATISTICS에나타난그문자의개수에비례한다고한다. 각문자의개수를확률변수 X라할때, 확률변수 X의표준편차는? STATISTICS S 3 T 3 I A C X X,, 3 P(X=)=; 0;=;5!;, P(X=)=; 0;=;5!;, P(X=3)=; 0;=;5#; X X a b 6 P(X=) ;3!; ;6!; ;6!; ;3!; X P(X=) 3 ;5!; ;5!; ;5#; 37 a +b E(X )= _;3!;+a _;6!;+b _;6!;+6 _;3!;= V(X)=E(X )-{E(X)} 37 a +b V(X)= + -{;&;} =: 4 : a +b -47=5, a +b =50 a +b = 확률변수 X의확률분포표가다음과같다. Y=aX+b에대하여확률변수 Y의평균과분산이각각 5, 36 일때, a+b의값을구하시오. (`단, a>0`이고, b는상수이다.) X 0 3 P(X=) ; 0; ;5!; ; 0; ;5@; E(X)=0_; 0;+_;5!;+_; 0;+3_;5@;= V(X)=0 _; 0;+ _;5!;+ _; 0;+3 _;5@;- = E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b=5 V(Y)=V(aX+b)=a V(X)=a =36 a=6 ( a>0) a=6+b=5 b=3 a+b= ,, 3, `, 0이하나씩적혀있는 0장의카드가상자안에들어있다. 이상자에서카드한장을뽑아그수를종이에적고다시집어넣는다. 이와같은시행을 회반복할때, 종이에적은수의최댓값을확률변수 X 라하자. 이때, 기댓값 E(X) 는? k k k- P(X k)={;apple0;} P(X=k)=P(X k)-p(x k-) P(X=k)={;apple0;} k- k- -{;;:0:;; } = 00 k- E(X)=;K+! 0 k P(X=k)=;K+! 0 k 00 E(X)=;0!0;;K+! 0 (k -k) 0 0 E(X)=;0!0;{ 35- }=: 0 : 6 E(X)=_;5!;+_;5!;+3_;5#;=: 5 : V(X)= _;5!;+ _;5!;+3 _;5#;-{: 5 :} =0.64 r(x)=' 0. 64= % 40% 6% 9% 9% 한개의동전을한번던지는시행을 5번반복한다. 각시행에서나온결과에대하여다음규칙에따라표를작성한다. 첫번째시행에서앞면이나오면, 뒷면이나오면 `를표시한다. 두번째시행부터 ⑴ 뒷면이나오면 를표시하고, ⑵ 앞면이나왔을때, 바로이전시행의결과가앞면이면, 뒷면이면 를표시한다. 예를들어동전을 5 번던져 앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면 이나오면다음과같은표가작성된다. 한개의동전을 5 번던질때작성되는표에표시된 의개수를확률변수 X 라하자. P(X=) 의값은? H, T H H T 4 3 H T 3 H T T T 4 H C =6 H 3 T HH TH T T 3 HH H C _!=6 H 4 T HH HHTHH HHH TH T HHH H P = 6+6++=5 5 fi =3 P(X=)=;3!%;

74 H TH THHH HTHH HHTH THHT HTHT HTTH THTT TTHH TTTH TTHT 0 T H T TH TH THH HTH THT TTH 4 HTH TT 0+4+=5 5 fi =3 P(X=)=;3!%; 403 주머니에숫자,, 3 이각각적혀있는모양과크기가같은공이 개씩들어있다. 이주머니에서동시에 3 개 의공을꺼낼때, 그 3 개의공에적혀있는숫자의합을확률변수 X 라하자. 이때, 직선 =;{;+X 와포물선 X X =- + 이서로다른두점에서만날확률은? 6,, 3 3 X 4, 5, 6, 7, 8 C _ C _ Cº P(X=4)= =; 0;=; 0; C C _ Cº_ C + C _ C _ Cº + P(X=5)= = =; 0; C 0 C _ C _ C P(X=6)= =; 0;=; 0; C C _ Cº_ C + Cº_ C _ C + P(X=7)= = =; 0; C 0 P(X=8)= Cº_ C _ C C =; 0;=; 0; X X P(X=) X (,, ) 4 (,, 3) 5 (,, ) 5 (,, 3) 6 X (, 3, 3) 7 (,, 3) 7 (, 3, 3) ; 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 0; X X =;{;+X =- + 6 X X ;{;+X=- + X +6+X-X =0 6 D D =3 -X(X-X )>0 4 X -X +9>0 X 6, 7, 8 ; 0;+; 0;+; 0;=; 0; 404 =a +b+c =m+ a +(b-m)+c-=0 D D>0 HjK D=0 HjK D<0 HjK,, 3의숫자가하나씩적혀있는 3개의빨간공과,, 3의숫자가하나씩적혀있는 3개의흰공이주머니에들어있다. 이주머니에서 개의공을꺼낼때, 다음과같이확률변수 X를결정한다. 빨간공과흰공이나올때에는 X는공에적힌두숫자의곱 개모두빨간공이나올때에는 X=0 개모두흰공이나올때에는 X=- 확률 P(X -X-6<0)=;pQ; 일때, `p+q 의값을구하시오. ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) X,, 3, 4, 6, 9 P(X=)=P(X=4)=P(X=9)= =; 5; C P(X=)=P(X=3)=P(X=6)= =; 5; C X=0 C P(X=0)= =; 5; C X=- C P(X=-)= =; 5; C X X P(X=) X -X-6<0 (X+)(X-3)<0 -<X<3 P(X -X-6<0)=P(-<X<3) P(X -X-6<0)=P(X=-)+P(X=0)+P(X=)+P(X=) P(X -X-6<0)=; 5;+; 5;+; 5;+; 5;=;5#; p=5 q=3 p+q= ; 5; ; 5; ; 5; ; 5; ; 5; ; 5; ; 5; ; 5; 주머니에,,, 3의숫자가하나씩적혀있는같은모양의카드 4장이들어있다. 이주머니에서임의로카드 장을꺼낼때, 꺼낸카드에적혀있는숫자의합을확률변수 X라하자. X의평균이 m일때, 확률 P( X-m ) 은? 74

75 ,,, 3 4 (, ) (, ) (, 3) (, 3) X X, 3, 4, 5 P(X=)= =;6!;, P(X=3)= =;6@; C C P(X=4)= =;6@;, P(X=5)= =;6!; C C X X P(X=) m= ;6!;+3 ;6@;+4 ;6@;+5 ;6!;=;&; P( X-m )=P(- X-m )=P(m- X m+) P( X-m {)=P{;%; X ;(;}=P(X=3)+P(X=4) P( X-m {)=;6@;+;6@;=;3@; 406 공차가양수 d인등차수열 {a«} 에대하여확률변수 X, Y, Z를다음과같이정의하자. {a«} d 00 X d, d,, 99d 00 a 00 a, a+d, a+d,, a+99d X=50d (a, a+50d), (a+d, a+5d), (a+d, a+5d),, (a+49d, a+99d) P(X=50d)= =;9 9; ººC {a «}, {a «} d 00 Y, Z d, 4d, 6d,, 98d X P(X= )=p (i=,,, 99) Y P(Y= )=p Z P(Z= )=p Y=Z=X E(Y+Z)=E(X+X)=E(4X)=4E(X) E(Y)+E(Z)=E(X)+E(X)=4E(X) E(Y+Z)=E(Y)+E(Z) Y=Z=X {V(Y)} ={V(X)} ={4V(X)} =6{V(X)} V(X)V(Z)=V(X)V(X)=4{V(X)} {V(Y)} +V(X)V(Z) ;6!; ;6@; ;6@; ;6!; X : 수열 {a«} 의연속하는 00 개의항에서임의로뽑은두수의차 Y : 수열 {a «} 의연속하는 00 개의항에서임의로뽑은두수의차 Z : 수열 {a «} 의연속하는 00 개의항에서임의로뽑은두수의차 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. P(X=50d)=;9 9; ㄷ. {V(Y)} =V(X)V(Z) ㄴ. E(Y+Z)=E(Y)+E(Z) 407 동점 P는좌표평면위의점 (3, ) 를출발하여다음의규칙에따라움직인다. [ 규칙 ] 주사위를던져서 3 의배수의눈이나오면 축에대하여대칭이동한다. [ 규칙 ] 주사위를던져서 3 의배수이외의눈이나오면 축에대하여대칭이동한다. 주사위를두번던진후점 P 의 좌표를확률변수 X 라할때, 확률변수 X 의표준편차는? 3 3 (3, ) (3, -) (3, ) X=3 ;3!;_;3!;=;9!; 3 3 (3, ) (3, -) (-3, -) X=-3 ;3!;_;3@;=;9@; 3 3 (3, ) (-3, ) (-3, -) X=-3 ;3@;_;3!;=;9@; 3 3 (3, ) (-3, ) (3, ) X=3 ;3@;_;3@;=;9$; X -3, 3 P(X=-3)=;9@;+;9@;=;9$;, P(X=3)=;9!;+;9$;=;9%; X E(X)=-3_;9$;+3_;9%;=;3!; V(X)=E(X )-{E(X)} V(X)=(-3) _;9$;+3 _;9%;-{;3!;} V(X)=: 9º: r(x)=æ : 9º:= 408 4'5 3 한주머니안에붉은구슬과푸른구슬이모두합하여 0개가들어있다. 동전두개를던져서앞면이나오는개수만큼의구슬을주머니에서꺼낸다. 이때, 꺼낸구슬중에서푸른구슬의개수를확률변수 X라하자. P(X=)=;3 0; 일때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. 주머니안에들어있는붉은구슬은 6 개이다. ㄷ. E(X)=;5@; k (0-k) X= P(X=)= C {;!;} _ C ºC = C 80 X P(X=) ㄴ. P(X=0)=;!0!; -3 3 ;9$; ;9%; 75

76 C =;3 0; C =6 80 k(k-) =6 k=4 ( k) 4 6 X 0,, X=0 P(X=0)= Cº{;!;} + C {;!;} _ P(X=0)=;4!;+; 0;+; ;=;3!0(; + C {;!;} _ X= P(X=)= C {;!;} _ P(X=)=;5!;+; 5;=;3!; C ºC + C {;!;} _ X C ºC C _ C ºC C ºC X 0 P(X=) ;3!0(; ;3!; ;3 0; 4 X-r(X) X-E(X) 이항분포 B {8, ;3!;} 을따르는확률변수 X에대하여 E{ }+r{ } 는? r(x) E(X) E(X)=8_;3!;=6, r(x)=æ8 _;3!; _;3@; = X-r(X) X-E(X) E{ }+r{ } r(x) E(X) X- X-6 =E{ }+r{ }=E{;!;X-}+r {;6!;X-} 6 =;!;E(X)-+;6!;r(X)=;!;_6-+;6!;_=;3&; 4 어느상자안에들어있는 개의건전지중에서 개가불량품이라고한다. 이상자에서건전지한개를꺼내서불량품여부를조사하고다시넣는다. 이와같은조사를 회반복할때, 불량품이나온횟수를확률변수 X라하자. 이때, X의분산은? ; ;=;6!; X B{, ;6!;} X V(X)= ;6!; ;6%;=;3%; 43 두확률변수 X, Y 가각각이항분포 B(3, p), B(6, p) 를따르고, P(Xæ)=;!7(; 일때, P(Y=6) 은? E(X)=0_;3!0(;+_;3!;+_;3 0;=;5@; 409 확률변수 X 가이항분포 B(0, p) 를따르고, P(X=4)=;3!;P(X=5) 일때, E(7X) 의값을구하시오. X B(0, p) P(X=4)=;3!; P(X=5) ºC p (-p)fl =;3!; ºC pfi (-p)fi 0! 0! p (-p)fl =;3!; pfi (-p)fi 4!6! 5!5! ;6!;(-p)=;3!; ;5!;p, -p=;5@;p p=;7%; ( 단, 0<p<) E(7X)=7E(X)=7_{0_;7%;}=50 50 X B(3, p) X 0,,, 3 P(Xæ)=P(X=)+P(X=)+P(X=3)=;!7(; P(X=0)=-;!7(;=; 7; P(X=0)= Cºp (-p) =(-p) (-p) =; 7;, -p=;3@; ( p ) p=;3!; Y B{6, ;3!;} P(Y=6)= C {;3!;} fl {;3@;} = 44 3fl 흰구슬 9개, 검은구슬 3개가들어있는상자속에서한개의구슬을꺼내어색을확인하고다시넣는다. 이와같은시행을 6회반복할때, 검은구슬이나온횟수를확률변수 X라하자. 이때, P(X ) 은? ; ;=;4!; 6 X B{6, ;4!;} 40 이항분포 B(4, p) 를따르는확률변수 X 에대하여 P(X=0)=; 6; 일때, p 의값은? P(X )=P(X=0)+P(X=) P(X{)= Cº{;4!;} {;4#;} fl + C {;4!;} {;4#;} fi =3 {;4#;} fl P(X=0)=; 6; Cºp (-p) =; 6; (-p) =; 6;, -p=;!; ( -p>0) p=;!; 45 어떤시행을 회반복하여사건 A가일어나는횟수를 X라할때, P(X=r)=«C {;4!;} {;4#;} -r (r=0,,,, ) 이다. X의표준편차가 3'일때, E(X ) 을구하시오. 76

77 X B{, ;4!;} E(X)=;4!;, V(X)=_;4!;_;4#;= 3 V(X)=(3') =8 =96 6 E(X)=96_;4!;=4 V(X)=E(X )-{E(X)} E(X )=V(X)+{E(X)} =8+4 = 한번사격을했을때 0 점을맞출확률이 ;5@; 인사격선수가있다. 이선수가 0 번연속사격을했을때, 0 점을 맞춘횟수를 X, 0 점을맞추지못한횟수를 Y 라하자. 확률변수 Z 를 Z=X+Y 라할때, Z 의분산은? Y 0 Y=0-X Z=X+Y=X+0-X=X+0 V(Z)=V(X+0)=V(X) X B{0, ;5@;} V(X)=0_;5@;_;5#;=: 5 : 3 6 P Y Y Y=X-(00-X)=3X-00 P Y E(Y)=E(3X-00)=3E(X)-00= = 두주사위 A, B를동시에던질때, 나오는각각의눈의수 m, 에대하여 m + 5가되는사건을 E라하자. 두주사위 A, B를동시에던지는 회의독립시행에서사건 E가일어나는횟수를확률변수 X라할때, X 의분산 V(X) 는 ;pq; 이다. p+q 의값을구하시오. ( 단, p, q 는서로소인자연수이다.) E m= 4 =,, 3, 4 4 m= =,, 3, 4 4 m=3 6 =,, 3, 4 4 m=4 9 =,, 3 3 P(E)= =; ; X B{, ; ;} V(Z)=: 5 : V(X)= ; ; ; ;=;#%; 47 흰공 3개, 검은공 개가들어있는상자에서공을한개꺼내어색을확인한후다시넣는시행을 회되풀이할때, 검은공이나오는횟수를확률변수 X라하자. X의평균은 4이고분산은.4일때, +의값을구하시오. X 0 p 3+ X B{, } 3+ E(X)=_ =4 3+ V(X)= {- }= _{- }=.4, - = =;5@; = 3+ = =0 += 48 동점 P가수직선위에서다음규칙에따라움직인다. 한개의주사위를던져짝수의눈이나오면오른쪽으로 만큼, 홀수의눈이나오면왼쪽으로 만큼이동한다. 주사위를 00 번던질때, 원점에서출발한점 P 의좌표의기댓값을구하시오. 00 X 00-X X B{00, ;!;} E(X)=00_;!;=50 p+q=+35= X =p =p(-p) m + 5 E X B(, p) 확률변수 X의확률질량함수가` P(X=)= C 3 (=0,,, `, 36) 일때, E(X)+E(X ) 의 3 fl 값을구하시오. X P(X=)= C = C {;3@;} {;3!;} 36-3 fl X B{36;3@;} E(X)=36_;3@;=4V(X)=36_;3@;_;3!;=8 V(X)=E(X )-{E(X)} 8=E(X )-4 E(X )=584 E(X)+E(X )=4+584= M -Cliic P(X=)= C X 3 fl 36 E(X)=; C =0 3 fl P(X=)= C p (-p) 36-77

78 4 다음은어느백화점에서판매하고있는 TV에대해제조회사별고객의선호도를조사한표이다. B ; 0 0;=;4!; X B{48, ;4!;} E(X)=48_;4!;= V(X)=48_;4!;_;4#;=9 48 r P(X=r)=E(X ) V(X)=E(X )-{E(X)} r=0 9=E(X )- A B C D 37 % 5 % 4 % 4 % 00 % 이백화점에서 48명의고객이각각 TV를한대씩산다고할때, B회사제품을사는고객의수를확률변수 X라 48 하자. 이때, r P(X=r) 의값을구하시오. r=0 48 r P(X=r)=E(X )=9+44=53 53 r=0 44 흰공이 개, 검은공이 4개들어있는주머니에서두개의공을꺼내어색을조사한후다시넣는시행을 번반복 할때, 두개모두검은공이나오는횟수를 X라하자. 이때, 함수 f()= (-k) P(X=k) 의최솟값은? k=0 B{, ;5@;} f()= (-k) P(X=k) k=0 =;5@; X f()= { P(X=k)-k P(X=k)+k P(X=k)} k=0 f()= P(X=k)- k P(X=k)+ k P(X=k) k=0 f()= -E(X) +E(X ) f()= -E(X) +V(X)+{E(X)} f()={-e(x)} +V(X) f() =E(X) V(X) X B{, ;5@;} k=0 C C k=0 4 어느공장에서생산하는제품은 0개중 개의비율로불량품이나온다고한다. 또한, 이제품을포장하기위해만드는상자는 9개중 개의비율로불량품이나온다고한다. 이공장에서이제품과상자를만들어내면서한상자에 개씩의제품을포장하여 5000상자를만들때, 제품과포장상자모두합격품인상자의개수를확률변수 X라하자. 이때, X의표준편차는? ; 0; ;9!; V(X)=_;5@;_;5#;=; 5; 45 연속확률변수 X가취할수있는값의범위가 0 X 이고, 확률밀도함수의그래프가오른쪽그림과같을때, P{;!; X } 은? a {-; 0;} {-;9!;}=;!5*; X B{5000, ;!5*;} V(X)=5000_;!5*;_; 5;=008 r(x)='ƒ008='7 43 영훈이와동욱이는다음과같은시행을하려고한다. [ 영훈 ] 회의시행에서사건 A 가일어날확률이 ;!; 인시행을 번독립적으로실시한다. [ 동욱 ] 회의시행에서사건 B 가일어날확률이 ;4!; 인시행을 (+) 번독립적으로실시한다. ;!; a= a= P{;!; X } P{;!; X }=;!; -;!;_;!;_;!;=;8#; 46 연속확률변수 X의확률밀도함수 f() 가` f()=k(-) ( 4) 일때, 상수 k의값은? 영훈이가실시한시행에서사건 A 가일어난횟수를 X, 동욱이가실시한시행에서사건 B 가일어난횟수를 Y 라할때, 다음중옳은것은? X B{, ;!;} E(X)=_;!;=;N; V(X)=_;!;_;!;=;4N; Y B{+, ;4!;} E(Y)=(+)_;4!;= + V(Y)=(+)_;4!;_;4#;= E(X)<E(Y), V(X)<V(Y) :@4 f()d= :@4 k(-)d=k[ -]4@=8k= k=;8!; f() 4 f()æ0 k>0 =f() =f() =, =4 ;!;_(k+6k)_= k=;8!; 6k k 4 78

79 47 5% 9% 7% 73% 6% 연속확률변수 X가갖는값의범위는 0 X 이고, X의확률밀도함수의그래프는그림과같다. 확률 P{a X a+;!;} 의값이최대가되도록하는상수 a의값은? 430 k (0 <) 확률변수 X가갖는값의범위는 0 X 이고 X의확률밀도함수 f() 가` f()=g 일때, k ( ) 평균 E(X) 의값은? ( 단, k는상수이다.) P{a X a+;!;} [aa+;!;] ;!;<a< P{a X a+;!;} :) f()d= :) k d+:! kd=[;3k; ])+[;K; ]! :) k d+:! kd=: 6 :k= k=; ; P{a X a+;!;} ={;!;-;!;a }+[;!;-;!;{;#;-a} ] a a+;!; E(X)=:) f()d E(X)=:) ; ; d+:! ; ;d =-a +;#;a-;8!; =-{a-;4#;} +; 6; E(X)=[; ; ])+[; ; ]!=;#!; a=;4#; P{a X a+;!;} 48 4% 7% 6% 0% 8% 연속확률변수 X가갖는값의범위는 0 X 3이고, 확률 P(X ) 과확률 P(X ) 의값이이차방정식 6-5+=0의두근일때, 확률 P(<X ) 의값은? 6-5+=0 (3-)(-)=0 =;3!; =;!; P(X )<P(X ) P(X )=;3!;, P(X )=;!; 43 연속확률변수 X가갖는값의범위가 0 X 일때, 함수 f()=a+b가확률변수 X의확률밀도함수가되기위한조건만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ( 단, a, b는상수이다.) ㄱ. bæ0 ㄴ. a+bæ0 ㄷ. a+b= f()=a+b (0 ) f(0)=bæ0, f()=a+bæ0 :) f()d= :) (a+b)d=[;a; +b]) :) (a+b)d=;a;+b= P(<X )=P(X )-P(X ) P(<X{)=;!;-;3!;=;6!; a+b= X XP(X=a)=P(X=b)=0 P(a X b)=p(a X<b)=P(a<X b)=p(a<x<b) a>0b>0 b>a P(a X b)=p(0 X b)-p(0 X a) 43 연속확률변수 X가갖는값의범위가 0 X 8 이고, 확률밀도함수 =f() 의그래프는오른쪽과같다. P(0 X b)=;4 0; 일때, 상수 a, b의합 a+b의값은? (`단, 0<b<8`) =f() a X 인값을갖는확률변수 X 의확률밀도함수가 `` f()=k(-) 일때, P{ X ;#;} 의값은? :) f()d= :) k(-)d=k[ 5- ])=-;3$; k= 3 k=-;4#; 0 f()=k(-)æ0 P{ X ;#;}=:! ;#; [-;4#;(-)]d P{ X ;#;}=-;4#;[ 4- ]! ;#; =;3!!; 3 :)8 f()d= =f() ;!;_8_a= a=;4!; P(0 X 5)=;!;_5_;4!;=;8%; 0<b<5 P(0 X b) =; 0; =b b P(0 X b)=;!;_b_;ı0;= =;4 0; 40 b = b= 0<b<5 a+b=;4!;+=;4%; 79

80 433 확률변수 X에대하여확률밀도함수 f() 가구간` 0, 에서다음과같이주어졌다. a (0 <) f()=g b- ( ) X의평균이 일때, P(X k)=0.08을만족하는 k의값은? ( 단, 0 k<) :) f()d= :) ad+:! (b-)d=[;a; ])+[b- 3 ]! :) ad+:! (b-)d=;!; a+b-;#;= a+b=5 E(X)=:) f()d= :) ad+:! (b-)d=[;3a; ])+[;B; - 3]! 3 :) ad+:! (b-)d=;3!; a+;#; b-;3&;= a+9b=0 a=b= 0 < f()= P(X k)=:)k f()d=:)k d=[ 3]k)=;!; k =0.08 k =0.6 0 k< k=0.4 f() M -Cliic f() :Ab f()d=:ac f()d+:cb f()d ab f()ac cb f()e(x) V(X) E(X)=m=:Ac f()d+:cb f()d V(X)=:Ac f()d+:cb f()d-m 434 9% % 7% 55% 7% 연속확률변수 X가갖는값의범위는 0 X 이고확률밀도함수의그래프는오른쪽과같다. 두양수 a, b에대하여 p =P(0 X a), p =P(a<X b), p =P(b<X ) 이다. 세확률 p, p, p 이이순서로등차수열을이루고 a+b=;3$; 일때, b의값은?(`단, a<b`) a b p +p +p = p, p, p p +p =p p =;3!; =;!; a+b=;3$; b-a= a+b=;3$; b-a= b=;6&; a d a«a«=a+(-)d a, b, c b a c b-a=c-b HjK b=a+c 435 연속확률변수 X가갖는값의범위가 -3 X 3이고, 확률밀도함수 =f() 의그래프는오른쪽과같다. 병에기름을채워넣는자동제어공정에서병의무게를 Y g이라 a =f() 할때, Y=00+X라고한다. Y 99.5 또는 Yæ00.5인병을불량품이라할때, 불량품이나올확률은? -3 3 Y X 99.5 X -0.5, Yæ Xæ00.5 Xæ0.5 =f() P(Y 99.5)+P(Yæ00.5)=P(X -0.5)+P(Xæ0.5) P(Y{99.5)+P(Y}00.5)=P(Xæ0.5) =f() ;!;_6_a= a=;3!; 0 3 f()=-;9!;+;3!; f {;!;}=-;9!;_;!;+;3!;=; 8; P(Xæ0.5)=_;!;_{3-;!;}_; 8;=;3@6%; f() M -Cliic =f() -aa (a>0) f() P(-a X 0)=P(0 X a)=;!; 0<b<a bp(x -b)+p(xæb)=p(xæb) 436 함수 f() 는 0 에서정의된연속확률변수 X의확률밀도함수이고, 함수 g() 는 0 에서정의된연속확률변수 Y의확률밀도함수이다. 함수 =f()+g()(0 ) 의그래프와 축및직선 =0, =로둘러싸인부분의넓이가 ;3&; 일때, P( Y ) 의값은? :) f()d=:) g()d=:) {f()+g()}d=;3&; :) f()d+:) g()d=;3&; :) g()d=;3&;- =;3!; p =P(a<X b)=;!;_b_;!;b-;!;_a_;!;a=;4!;(b -a ) P( Y )=:! g()d=:) g()d-:) g()d ;4!; (b -a )=;3!; (b+a)(b-a)=;3$; P( Y )=-;3!;=;3@; 80

81 437 확률밀도함수 f() 가 f()=a (0 b) 로주어지는확률변수 X의분산이 일때, bx+a의표준편차` r(bx+a) 의값은? ( 단, a, b는상수이다.) P(X -a)=;!;-p(-a X ) { P(X )=;!;} P(X{-a)=;!;-P( X +a)( f(+)=f(-)) :)b f()d= :)b ad=[;a; ]b)=;!; ab = ab = E(X)=:)b f()d=:)b ad=[;3a; ]b)=;3!; ab V(X)=:)b f()d-{e(x)} = ` p -p -p +p P(X{-a)=;!;- = P(-b X +b)=p( X +b) ( f(+)=f(-)) P(-b{X{+b)={P( X +a)+p(+a X +b)} p -p P(-b{X{+b)={ +p } P(-b{X{+b)=p -p +p =p +p V(X)=:)b ad-{e(x)} =[;4A; ]b)-{;3!;ab } V(X)=;4!;ab -;9!;a bfl = ab (9-4ab )=7 ` b (9-4 )=7 b =36 b=6 ( b>0) b=6 36a= a=; 8; r(bx+a)=r{6x+; 8;}=6r(X)=6' 438 연속확률변수 ` X 와양수 ` a 에대하여 ax 의확률밀도함수가 f()=a { ;!;} 일때, X 의분산은? =m M -Cliic f() f()=f() + =m() =f() =m f(-)=f(+) f()=f(-) f(--)=f(3+) =f() = =m f() f(m-)=f(m+) f()=f(m-) =m ;!; : f()d= -;!; 440 양수 a 에대하여 0 a 에서정의된연속확률변수 X 의확률밀도함수 ;!; : a d=a:) ;!; d=a[;!; ]) ;!; =;4A;= a=4 -;!; 4X =f() 의그래프가오른쪽과같다. 매회의시행에서사건 A가일어날확률이 P(X ) 로일정할때, 3회의독립시행에서사건 A가 회일어날확률은? a ;!; ;!; E(4X)=: f()d=: 4 d=0 -;!; -;!; ;!; ;!; V(4X)=: f()d-{e(4x)} =: 4 d-0 -;!; -;!; V(4X)=:) ;!; 4 d=8[;4!; ]) ;!; =;8!; V(4X)=;8!; 4 V(X)=;8!; 0 a =f() ;!;_a_= a= 0 =-;!;+ P(X )=-P(X>)=-;!; ;!;=;4#; V(X)=;!8; 3 A C {;4#;} {;4!;} =;6@4&; 439 연속확률변수 X 의확률밀도함수 f() 가모든실수 에대하여 f(+)=f(-) 를만족시킨다. 두양수 a 와 b(a<b) 에대하여 P(-a X +b)=p, P(+a X +b)=p 라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? (` 단, p >0, p >0`) ㄱ. P( X +a)= p -p ㄷ. P(-b X +b)=p +p p -p =P(-a X +b)-p(+a X +b) p -p =P(-a X +a) p -p =P( X +a) ( f(+)=f(-)) P( X +a)= p -p ㄴ. P(X -a)= +p -p 44 확률변수 X 가정규분포 N(, ) 을따르고, 확률변수 Y 가정규분포 N(0, 3 ) 을따를때, P( X 5)=P(0 Y a) 를만족하는상수 a 의값은? X N(, ) - 5- P( X 5)=P{ Z }=P(0 Z ) Y N(0, 3 ) a P(0 Y a)=p{0 Z } 3 a = 3 a=6 8

82 44 확률변수 X가정규분포 N(0, ) 을따를때, P( X-7 ) 의값은? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z )=0.343, P(0 Z )=0.477`이다.) X N(0, ) P( X-7 )=P(6 X 8)=P{ Z } P( X-7 <)=P(- Z -)=P(0 Z )-P(0 Z ) P( X-7 <)= = X X N(7, 3 ) 65 g 65-7 P(X 65)=P{Z }=P(Z -) 3 P(X{65)=0.5-P(0 Z )= = g 5000_0.08=4 9% 68% 6% 0% 7% 어느자격증의필기시험에 000명이응시하였다. 시험응시자의점수분포는평균 어느재래시장을이용하는고객의집에서시장까지의거리는평균이 740 m, 표준편차가 500 m인정규분포를따른다고한다. 집에서시장까지의거리가` 000 m 이상인고객중에서 5 %, 000 m 미만인고객중에서 5% 는자가용을이용하여시장에온다고한다. 자가용을이용하여시장에온고객중에서임의로 명을선택할 63점, 표준편차 0점인정규분포를따른다고한다. 이필기시험에서 70점이상을얻은응시자는필기시험합격이라고할때, 필기시험합격자의수를오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 때, 이고객의집에서시장까지의거리가` 000 m 미만일확률은? ( 단, Z가표준정규분포를따르는확률변수일때, P(0 Z 0.5)=0.로계산한다.) 446 z P(0 Z z) X X N( ) 000 m P(Xæ000)=P{Zæ 35}=P(Zæ0.5) 500 P(Xæ000)=0.5-P(0 Z 0.5)=0.5-0.= m P(X<000)=-P(Xæ000)=-0.3= m A B P(A B) P(A;B) P(A;B) P(A B)= 3533= P(B) P(A;B)+P(AÇ ;B) 0.7_ P(A B)= 35= 5=; 6; 0.7_ _ X X N(63, 0 ) P(Xæ70)=P{Zæ }=P(Zæ0.7) 0 P(X}70)=0.5-P(0 Z 0.7)= = _0.40= A회사에서생산되는휴대전화배터리는한번충전한후완전히방전되는데걸리는시간이평균 00시간, 표준편차 8시간인정규분포를따른다고한다. 이회사에서생산된휴대전화배터리중에서하나를골랐을때, 한번충전한후완전히방전되는데걸리는시간이 9시간이상 04시간이하일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0 Z z) 정규분포 N(40, 0 ) 을따르는확률변수 X에대하여확률변수 Y가 Y=X-일때, P(Y 69) 의값은? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z 0.5)=0.95, P(0 Z )=0.343이다.`) X N(40, 0 ) Y Y=X- E(Y)=E(X-)=E(X)-= 40-=79 r(y)=r(x-)=r(x)= 0=0 Y N(79, 0 ) P(Y 69)=P{Z }=P(Z -0.5) 0 P(Y{69)=0.5-P(0 Z 0.5)= = 어떤공장에서생산되는과자한봉지의무게는평균 7 g, 표준편차 3g인정규분포를따른다고한다. 어느날이공장에서하루에생산된과자가 5000봉지였다면그중에서 65 g 이하인것은몇봉지인가? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z )=0.343, P(0 Z )=0.477이다.) X X N(00, 8 ) P(9 X 04)=P{ Z } 8 8 P(9{X{04)=P(- Z 0.5) P(9{X{04)=P(0 Z )+P(0 Z 0.5) P(9{X{04)= = 어느고등학교학생 500명의수학시험점수는평균 75점, 표준편차 8점인정규분포를따른다고한다. 이때, 500명중상위 0등인학생의점수를오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0 Z z) X X N(75, 8 ) 0 a P(Xæa)=;5 0º0;=0.0 a-75 a-75 P{Zæ }=0.5-P{0 Z }= a-75 P{0 Z }= = P(0 Z.06)=0.48 8

83 a-75 =.06 8 a=.06_8+75=9.48? 어떤오렌지상자 A에들어있는오렌지한개의무게는평균 50 g, 표준편차 4g인정규분포를따르고, 어떤복숭아상자 B에들어있는복숭아한개의무게는평균 50 g, 표준편차 5g인정규분포를따른다고한다. 이때, 오렌지상자 A에서임의로꺼낸오렌지한개의무게가 6 g 이하일확률은복숭아상자 B에서임의로꺼낸복숭아한개의무게가 k g 이상일확률과같다. 상수 k의값을구하시오. X, Y X N(50, 4 ) Y N(50, 5 ) 6 g 6-50 P(X 6)=P{Z }=P(Z 3)=P(Zæ-3) 4 k g k-50 P(Yæk)=P{Zæ } 5 k =-3 k=35 35 어느지역의연간강우량은평균 60 mm, 표준편차 40 mm인정규분포를따른다고한다. 앞으로 년동안연이어이지역의연간강우량이 750 mm를초과 할확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하면 ;00K00; 이다. 이때, k 의값 을구하시오. X X N(60, 40 ) 750 mm P(X>750)=P{Z> }=P(Z>) 40 P(X}750)=0.5-P(0 Z )= = mm 0.6_0.6=0.056= k=56 56 z P(0 Z z) % 8% 56% 3% 4% 양의실수전체의집합을정의역으로하는함수 H(t) 는평균 0, 표준편차 t인정규분포를따르는확률변수 X에대하여 H(t)=P(X 5) 이다. 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z )=0.343, P(0 Z )=0.477이다.) ㄱ. H(.5)=P(Zæ) ㄷ. H(5)<5H() X N(0, t ) H(t)=P(X 5)=P{Z }=P{Z } t t H(.5)=P{Z H()=P{Z }=P(Z -)=P(Zæ) }=P(Z -.5)=P(Zæ.5) H(.5)=P(Zæ) P(Zæ.5)<P(Zæ) H()<H(.5) -5 H(5)=P{Z }=P(Z -) 5 H(5)=P(Zæ) H(5)=0.5-P(0 Z ) H(5) m H(5)= = H(.5)=5P(Zæ)=5{0.5-P(0 Z )} 5 H(.5)=5( )=0.40 H(5)>5H(.5) H()<H(.5) 5H()<5H(.5) H(5)>5H() G r G ㄴ. H()<H(.5) 40-m r 45 5% 8% 70% % 5% 어느공장에서생산되는병의내압강도는정규분포 N(m, r ) 을따르고, 내압강도가 40보다작은병은불량품으로분류한다. 이공장의공정능력을평가하는공정능 m-40 력지수 G는 G= 으로계산한다. G=0.8일때, 임의로추출한한개의 3r 병이불량품일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0 Z z) A대학의 B학과에서는 700점만점인입시시험을통해 00명의신입생을선발하려고하는데수험생 000명이응시하였다. 이시험에응시한수험생의점수는평균 550점, 표준편차 40점인정규분포를따른다고한다. 합격자의최저점수보다 50점이상높은점수를받은수험생들에게장학금을준다고할때, 장학금을받는학생수를오른쪽표준정규분포표를이용하여구하면 a명이다. 이때, a의값을구하시오. z P(0 Z z) X X N(m, r ) m-40 G= = 3r 40-m =-.4 r P(X<40)=P{Z< 40-m r }=P(Z<-.4) P(X<40)=0.5-P(0 Z.4)= = % X X N(550, 40 ) k k-550 k-550 P(Xæk)=P{Zæ }=0.5-P{0 Z }= k-550 P{0 Z }=0.5-0.= P(0 Z 0.85)=0.3 k =0.85 k=584 83

84 584+50= P(Xæ634)=P{Zæ }=P(Zæ.0) 40 P(X}63)=0.5-P(0 Z.0)= = _0.0=0 a= P(-<X<)=P{ <Z< }=P(-<Z<0.5) P(-<X<)=P(-<Z 0)+P(0<Z<0.5) P(-<X<)=P(0 Z )+P(0 Z 0.5) P(-<X<)= = 어느전자제품회사에서생산하는제품의수명은평균 0년, 표준편차 년인정규분포를따른다고한다. 이제품에대한매출을증가시키기위하여보증기간중에고장이나서더이상사용할수없는제품은모두무상으로수리해주기로하였다. 이회사에서판매한제품중무상수리를해주는제품의비율이전체판매량의 % 이하가되도록하려면보증기간을최대몇년으로정해야하는가? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z 0.05)=0.0, P(0 Z )=0.48, P(0 Z.5)=0.49이다.`) X X N(0, ) t t-0 P(X t)=p{z } 0.0 P(- Z 0)=P(0 Z )=0.48 P(Z -)= =0.0 t-0 - t 어느고속도로에서정상적으로주행하는승용차의속력은평균 09 km/ 시, 표준편차 9km/ 시인정규분포를따른다고한다. 만일고속도로경찰대에서고속으로주행하는차량중 5% 만을과속으로단속하고자할때, 과속의기준이되는속력을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? X X N(09, 9 ) t km t-09 P(Xæt)=P{Zæ }= P(0 Z.65)=0.45 P(Zæ.65)= =0.05 t-09 =.65 t=3.85?4 9 4 km 456 연속확률변수 X 가정규분포 N(, ) 을따를때, 두함수 f(t)=t +Xt+X-, g(t)=4xt-4의그래프가서로만나지않을확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? f(t)=t +Xt+X-, g(t)=4xt-4 f(t)=g(t) t +Xt+X-=4Xt-4 t t -Xt+X+=0 D D =(-X) -(X+)=X -X-<0 4 (X+)(X-)<0 -<X< X N(, ) z z P(0 Z z) P(0 Z z) t- t-x 행렬 A= 에서확률변수 X가정규분포 N(, ) 을따를때, t 모든실수 t에대하여 A의역행렬이존재할확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하면 p이다. 이때, 000p의값을구하시오. t- t-x A= t(t-)-(t-x)+0 t t -4t+X+0 t t -4t+X=0 D D =4-X<0 X> 4 A p X N(, ) - p=p(x>)=p{z> } p=p(z>0.5)=0.5-p(0 Z 0.5) p= = p=000_0.308= z P(0 Z z) a b A= ad-bc+0 A A c d 확률변수 X가정규분포 N(5, ) 을따를때, 확률 P(m X m+) 를 f(m) 이라하자. 확률변수 Z가표준정규분포 N(0, ) 을따를때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. f(5)=p(0 Z ) ㄴ. f(m) 의최댓값은 f(4) 이다. ㄷ. 임의의실수 m에대하여 f(m)=f(4-m) 이다 f(5)=p(5 X 7)=P{ Z } f(5)=p(0 Z ) X 5 P(m X m+) m=4, m+=6 P(m X m+) f(m) f(4) f(m) f(4) m=4 m f(m) =f(m) m=4 f(4-m)=f(4+m) f(m) m 5 m+ =f(m) 4 m 84

85 N(mr ) X =m m r r= r= r=3 r m 459 어느모의대학수학능력시험에서는수험생의상위 5.9 % 가도심근교의대학에합격할것으로나타났다. 이시험에응시한전체수험생의점수는평균 30점, 표준편차 90점인정규분포를이루었고수험생이 5천명거주하고있는 A 지역수험생들의점수는평균이 380점, 표준편차가 0점인정규분포를이루었다. A 지역의수험생중도심근교의대학에합격할것으로예상되는학생수를오른쪽표준정규분포표를이용하여구하시오. (`단, 대학이나학과는고려하지않는다.`) X X N(30, 90 ) 5.9 % k k-30 P(Xæk)=P{Zæ }= k-30 P{0 Z }= = P(0 Z )=0.34 k-30 = 90 k=40 A Y Y N(380, 0 ) 40 A P(Yæ40)=P{Zæ } 0 P(Y}40)=P(Zæ.5) P(Y}40)=0.5-P(0 Z.5) P(Y}40)= =0.067 m= m=3 m= 5000_0.067= % 3% % 4% 54% 다음은어느백화점에서판매하고있는등산화에대한제조회사별고객의선호도를조사한표이다. z m P(0 Z z) C X C ; 0 0;=;4!; XB{9;4!;} E(X)=9_;4!;=48V(X)=9_;4!;_;4#;=36 9 X N(486 ) C P(Xæ4)=P{Zæ 35}=P(Zæ-)=0.5+P(0 Z ) 6 P(Xæ4)= = 어떤상품이불량품일확률이 0.이라고한다. 이상품을임의로 00개샀을때, 불량품이 4개이하일확률은? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z )=0.477이다.`) 00 X 0. X B(00, 0.) E(X)=00_0.=0, V(X)=00_0._0.9=9 00 X N(0, 3 ) P(X 4)=P{Z }=P(Z -) 3 P(X{4)=P(Zæ)=0.5-P(0 Z ) P(X{4)= =0.08 M -Cliic X p B( p) X B( p)e(x)=p V(X)=p(-p) X N(pp(-p)) N(pp(-p)) X X-p N(0)Z= 5 " p(-p) a-p b-p P(a X b)=p{ 5 Z 5} " p(-p) " p(-p) 46 H여행사는 400명정원의패키지상품을개발하여참가신청자를접수하였는데, 400명이모두신청하여정원을채웠다. 그러나통계적으로참가신청을한사람이예약을취소할확률이 0.이라고한다. 여행에참가신청을한 400명의사람중여행에참가하는사람이 35명이하이면여행사가적자를본다고할때, 이여행사가적자를볼확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0 Z z) A B C D (%) 명의고객이각각한켤레씩등산화를산다고할때, C회사제품을선택할고객이 4명이상일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0 Z z) X X B(400, 0.9) E(X)=400_0.9=360, V(X)=400_0.9_0.= X N(360, 6 ) 35 85

86 P(X 35)=P{Z } 6 P(X{35)=P(Z -.5)=P(Zæ.5) P(X{35)=0.5-P(0 Z.5) P(X{35)= = 어느선거에출마하려고하는 A후보의실제지지율은 0 % 라고한다. 유권자 400 명을임의로골라지지하는후보를조사했을때, A후보의지지율이 3 % 이상으로나타나게될확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 400 A X X B(400, 0.) E(X)=400_0.=80, V(X)=400_0._0.8= X N(80, 8 ) A 3 % A 400_0.3= P(Xæ9)=P{Zæ }=P(Zæ.5) 8 P(X}9)=0.5-P(0 Z.5) P(X}9)= = 우리나라국민들은해외여행을할때, % 는분실사고를당한다고한다. 분실사고에대비하여어떤보험회사에해외여행자 0000명이보험을들었다고할때, 이보험회사가 명이상에게보험금을지급하게될확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 0000 X X B(0000, 0.0) E(X)=0000_0.0=00, V(X)=0000_0.0_0.98= X N(00, 4 ) -00 P(Xæ)=P{Zæ }=P(Zæ.5) 4 P(X})=0.5-P(0 Z.5) P(X})= = 어느회사에서생산한 A제품을처음구매한소비자는 75 % 정도가다시 A제품을구매한다고한다. 어느날 A제품을처음구매한소비자 300명중다시 A제품을구매하는소비자가 k명이상일확률이 0.03일때, k의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하시오. A X X B(300, 0.75) E(X)=300_0.75=5 V(X)=300_0.75_0.5= X N(5, 7.5 ) A k 0.03 z z z P(0 Z z) P(0 Z z) P(0 Z z) k-5 k-5 P(Xæk)=P{Zæ }=0.5-P{0 Z }= k-5 P{0 Z }= = P(0 Z )=0.477 k-5 = 7.5 k= 어떤도시에서전체가구의 80 % 가저녁뉴스시간에 D방송을시청한다고가정하자. 이도시에서 00가구를무작위로뽑았을때, 그시간에 D방송을 86가구이상이 시청할확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하면 ;00K00; 이다. 이때, k 의 값을구하시오. D X X B{00, ;5$;} E(X)=00_;5$;=80 V(X)=00_;5$;_;5!;=6 00 X N(80, 4 ) D P(Xæ86)=P{Zæ }=P(Zæ.5) 4 P(X}86)=0.5-P(0 Z.5)= P(X}86)=0.0668= k= % % 5% 5% 5% 세확률변수 X, Y, W는각각다음과같다. X 는이항분포 B {00, ;5!;} 을따른다. Y 는이항분포 B{5, ;5!;} 을따른다. W 는이항분포 B{400, ;5!;} 을따른다. [ 보기 ] 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. P{ ;00; -;5!; <; 0;}<P{ ;400; - -;5!; <; 0;} ㄴ. P{ ;00; -;5!; <; 0;}<P{ ;5; Á- -;5!; <; 5;} ㄷ. P{ ;5; Á- -;5!; <; 5;}<P{ ;400; - -;5!; <; 5;} X B{00, ;5!;} E(X)=00_;5!;=0, V(X)=00_;5!;_;5$;=6 00 X N(0, 4 ) Y, W N(45, 6 ), N(80, 8 ) X X-0 P{ -;5!; <; 0;}=P{ <; 0;} X-0 P{ -;5!; <; 0;}=P{ <;@0%;}=P( Z <.5) 4 W W-80 P{ -;5!; <; 0;}=P{ <; 0;} W-80 P{ -;5!; <; 0;}=P{ <;%0);}=P( Z <5) 8 z P(0 Z z)

87 Y Y-45 P{ -;5!; <; 5;}=P{ <; 5;} 5 5 Y-45 5 P{ -;5!; <; 5;}=P{ < }=P( Z <.5) W W-80 P{ -;5!; <; 5;}=P{ <; 5;} W-80 P{ -;5!; <; 0;}=P{ <;%5);}=P( Z <) 8 P( Z <.5)<P( Z <5) X W P{ -;5!; <; 0;}<P{ -;5!; <; 0;} P( Z <.5)>P( Z <.5) X Y P{ -;5!; <; 0;}>P{ -;5!; <; 5;} 00 5 P( Z <.5)<P( Z <) Y W P{ -;5!; <; 5;}<P{ -;5!; <; 5;} P(0 Z )= =, -'-45=0 ' ('+9)('-5)=0 =5 ( ) X N(0, ) 4-0 P(Xæ4)=P{Zæ }=P(Zæ) P(X}4)=0.5-P(0 Z ) P(X}4)= = 회시행에서 5 점을얻을확률이 ;4!; 이고, 점을잃을확률이 ;4#; 인게임이있다. 처 음 0점에서시작하여이게임을 768회독립적으로시행하였을때, 점수가 474점이상이될확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? X X z P(0 Z z) 468 어느공장에서생산되는제품의무게는평균 60 g, 표준편차 5g인정규분포를따른다고한다. 이공장에서는무게가 55 g 이하이거나 65 g 이상인제품을불량품으로판정한다고한다. 이제품중에서 00개를임의로추출할때, 불량품이아닌제품이 64개이상일확률은? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(Zæ)=0.8이다.) X X N(60, 5 ) P(55<X<65)=P{ <Z< }=P(-<Z<) 5 5 P(55<X<65)=P(0 Z<)={0.5-P(Zæ)} P(55<X<65)=( )= Y Y B(00, 0.64) 00 Y N(64, 4.8 ) 64 P(Yæ64)=P(Zæ0)=0.5 B{768, ;4!;} E(X)=768_;4!;=9, V(X)=768_;4!;_;4#;= X N(9, ) , +=768, 5-=474 =07, = P(Xæ07)=P{Zæ }=P(Zæ.5) P(X}07)=0.5-P(0 Z.5) P(X}07)= = 명중률이 80 % 인어느양궁선수가 개의화살을쏘아표적에명중시킨화살의개수를확률변수 X라할때, X는정규분포를따르고 P(Xæ8)=0.84라고한다. 이때, P(Xæ4) 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z.0.5 P(0 Z z) % 7% 0% 8% 5% 세계핸드볼연맹에서공인한여자일반부용핸드볼공을생산하는회사가있다. 이회사에서생산된핸드볼공의무게는평균 350 g, 표준편차 6 g인정규분포를따른다고한다. 이회사는일정한기간동안생산된핸드볼공중에서임의로추출된핸드볼공 64개의무게의평균이 346 g 이하이거나 355 g 이상이면생산공정에문제가있다고판단한다. 이회사에서생산공정에문제가있다고판단할확률 z P(0 Z z) 을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? X B(, 0.8) E(X)=;5$;, V(X)=_;5$;_;5!; =; 5; X N{;5$;, {;5@;'} } 8-;5$; -+45 P(Xæ8)=P ªZæ 3 º=P{Zæ } ;5@;' ' -45 P(X}8)=0.5+P{0 Z }=0.84 ' -45 P{0 Z }= =0.34 ' X X N(350, 6 ) 6 64 X N{350, { } } '6ß4 N(350, ) P(X 346 X æ355)=p(x 346)+P(X æ355) P(X {346 X {355)=P{Z }+P{Zæ } P(X {346 X {355)=P(Z -)+P(Zæ.5) P(X {346 X {355)=P(Zæ)+P(Zæ.5) P(X {346 X {355)={0.5-P(0 Z )}+{0.5-P(0 Z.5)} P(X {346 X {355)=( )+( ) P(X {346 X {355)= =

88 ' 0-8 P(X æ0)=p{zæ }=P(Zæ) P(X }0)=0.5-P(0 Z ) P(X }0)= = 주머니에,,,,, 3, 3, 3의숫자가하나씩적힌 8개의공이들어있다. 주머니에서 3개의공을복원추출할때, 공에적힌숫자의평균을 X 라하자. 이때, 표본평균 X 의평균과분산을차례로구한것은? 475 어느원양어선에서보관하는참치상자 개의무게는평균 70 kg, 표준편차 0 kg 인정규분포를따른다고한다. 참치가공업체에서이원양어선에서보관하고있는 00개의참치상자를구입한다고할때, 00개의참치상자의총무게가 7050 kg 이상일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P(0 Z z) X X E(X)=_;8#;+_;8@;+3_;8#;= V(X)= _;8#;+ _;8@;+3 _;8#;- =;4#; ;4#; E(X )=, V(X )= 3=;4!; ;8#; ;8@; ;8#; 모평균이 00이고모표준편차가 0인정규분포를따르는어떤모집단에서크기가 00인표본을임의추출하여표본평균을조사하였다. 이표본평균이모평균보다 % 이상크게나타날확률은? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z )=0.343, P(0 Z )=0.477이다.) N(00, 0 ) 00 0 X N{00, { } } N(00, ) ' % % 0-00 P(X æ0)=p{zæ }=P(Zæ) P(X }0)=0.5-P(0 Z ) P(X }0)= =0.08 X P(X=) m, r X r E(X )=m, V(X )=, r(x )= r ' X X N(70, 0 ) 0 00 X N{70, { } } ' 00 N(70, ) kg 00X æ7050 X æ P(X æ70.5)=p{zæ }=P(Zæ0.5) P(X}70.5)=0.5-P(0 Z 0.5) P(X}70.5)= = 어떤회사에서생산하는휴대전화배터리의최장통화대기시간은평균 40시간, 표준편차 5시간인정규분포를따른다고한다. 이회사의휴대전화배터리중에서 00개를임의추출하였을때, 이들의평균을 X 라하자. 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? (` 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z )=0.95`이다.) ㄱ. X 의평균은 40시간이다. ㄴ. X 의표준편차는 5시간이다. ㄷ. X -40 일확률은 95 % 이다. 40 X X 5 ' 00 =;!; P( X -40 )=P(39 X 4)=P ª Z º ;!; ;!; P( X -40 {)=P(- Z )=0.95 X % 474 어느공원의산책로를사람들이한바퀴도는데걸리는시간은평균 8분, 표준편차 6분인정규분포를따른다고한다. 어느날이공원을찾은사람 9명이산책로를한바퀴도는데걸리는평균시간이 0분이상일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? X X N(8, 6 ) 9 X X N{8, { 6 ' } } N(8, ) z P(0 Z z) 477 % 48% 5% % 3% 어떤모집단의분포가정규분포 N(m, 0 ) 을따르고, 이정규분포의확률밀도함수 f() 의그래프와구간별확률은오른쪽과같다. 확률밀도함수 f() 는모든실수 에대하여 f()=f(00-) 를만족한다. 이모집단에서크기 5인표본을임의추출할때의표본평균을 X 라하자. P(44 X 48) 의값은? m f() f()=f(00-) f() =50 88

89 m= X N{50, { } } N(50, ) 'å P(44 X 48)=P{ Z } P(44{X {48)=P(-3 Z -)=P( Z 3) m=50 P(40 X 60)=0.686, P(0 X 80)= Z= P(- Z )=0.686, P(-3 Z 3)= P(0 Z )=;!; P(- Z )=0.343 P(0 Z 3)=;!; P(-3 Z 3)= P( Z 3)=P(0 Z 3)-P(0 Z ) P({Z{3)= = % % 9% 8% 45% 모평균 75, 모표준편차 5인정규분포를따르는모집단에서임의추출한크기 5인표본의표본평균을 X 라하자. 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여양의상수 c가 P( Z >c)=0.06을만족시킬때, [ 보기 ] 에서옳은것을모두고른것은? ㄱ. P(Z>a)=0.05인상수 a에대하여 c>a이다. ㄴ. P(X c+75)=0.97 ㄷ. P(X >b)=0.0 인상수 b 에대하여 c<b-75 이다. P( Z c)=-p( Z >c)=-0.06=0.94 P(0 Z c)=;!; P( Z c)=0.47 P(Z>a)=0.05 P(0 Z a)=0.5-p(z>a)= =0.45 P(0 Z a)<p(0 Z c) c>a N(75, 5 ) 5 5 X N{75, { } } N(75, ) 'å5 c P(X c+75)=p{z }=P(Z c) P(X <c+75)=0.5+p(0 Z c)= =0.97 P(X >b)=p(z>b-75)=0.0 P(0 Z b-75)=0.5-p(z>b-75)= =0.49 P(0 Z c)<p(0 Z b-75) c<b 모평균이 0, 모표준편차가 4인정규분포를따르는모집단에서크기 6인표본을임의추출할때, 표본평균 X 에대한확률 P(X >0+k) 를 f(k) 라하자. 이때, f(k) 0.05를만족시키는 k의최솟값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? N(0, 4 ) 6 X 4 N{0, { } } N(0, ) 'å6 f(k)=p(x >0+k)=P{Z> X k-0 P(Z>k) P(0 Z k) }=P(Z>k) z P(0 Z z) P(0 Z k)æ0.475 P(0 Z.96)=0.475 kæ.96 k 어느학교의수학과목수행평가점수 X는평균 60점, 표준편차 r점인정규분포를따르며 P(50 X 70)=0.686이라고한다. 임의로 4명씩편성한조별평균을 X 라할때, P(50 X 70) 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? X N(60, r ) P(50 X 70)=P{ Z } r r 0 0 P(50{X{70)=P{- Z } r r 0 P(50{X{70)= P {0 Z }=0.686 r 0 P{0 Z }=0.343 r P(0 Z )= r = r=0 X N{60, { 0 ' P(50 X 70)=P{ Z } 5 5 P(50{X {70)=P(- Z )=P(0 Z ) P(50{X {70)=_0.477= 어떤회사에서생산되는음료수한캔에들어있는음료수의무게는평균 600 g, 표준편차 8g인정규분포를따른다고한다. 이회사에서는이음료수를 4캔씩한묶음으로포장하여판매하고있다. 그런데이묶음에들어있는음료수의무게가 360 g 미만이되면이묶음을풀고음료수를다시채운다고한다. 어느날이회사에서생산된음료수한묶음에서음료수를다시채우게될확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? } } N(60, 5 ) X X N(600, 8 ) 4 8 X N{600, { } } N(600, 4 ) '4 4X <360 X < P(X <590)=P{Z< }=P(Z<-.5) 4 P(X <590)=0.5-P(0 Z.5) P(X <590)= = 어느공장에서는하루에 0만개의비누를생산한다. 생산되는비누하나의무게는평균 00 g, 표준편차 g인정규분포를따른다고한다. 제품검사에서무게가 98 g 미만인비누를불량품으로판정한다면하루에평균 p개의불량품이생긴다. 또한, 비누 4개를묶어서한세트로판매할때제품검사에서한세트의무게가 39 g 미만인것을불량품으로판정한다면하루에평균 q세트의불량품이생긴다. 이때, p+q 의값은? z z z P(0 Z z) P(0 Z z) P(0 Z z)

90 X X N(00, ) 98 g P(X<98)=P{Z< }=P(Z<-)=0.5-P(0 Z ) P(X<98)= = _0.587=5870 p= X N{00, { } } '4 N(00, ) 4X <39 X < P(X <98)=P{Z< } P(X <98)=P(Z<-)=0.5-P(0 Z ) P(X <98)= = _0.08=570 4 q=570 p+q= = 정규분포 N(50, 0 ) 을따르는모집단에서크기가 인표본을복원추출하여얻은표본평균을 X 라하자. P(50 X 5)=f() 이라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? ㄱ. f(00)= f(5) ㄴ. < 이면 f( )<f( ) ㄷ. lim f()= 0 =5 E(X )=50, r(x )= = 'å f(5)=p(50 X 5)=P{ Z } f(5)=p(0 Z ) 0 =00 E(X )=50, r(x )= = ' 0å f(00)=p(50 X 5)=P{ Z } f(00)=p(0 Z ) f(00)+ f(5) f()=p(50 X 5)=P Z ª 0 0 º ' ' ' f()=p{0 Z } 5 f() < f( )<f( ) ' lim f()= lim P{0 Z }=P(Zæ0)= % 0% 57% 4% 7% 어느공장에서생산되는탁구공을일정한높이에서강철바닥에떨어뜨렸을때탁구공이튀어오른높이는정규분포를따른다고한다. 이공장에서생산된탁구공중임의추출한 00개에대하여튀어오른높이를측정하였더니평균이 45, 표준편차가 0이었다. 이공장에서생산되는탁구공전체의튀어오른높이의평균에대한신뢰도 95 % 의신뢰구간에속하는정수의개수는? (`단, 높이의단위는 mm이고, Z가표준정규분포를따를때 P(0 Z.96)=0.4750이다.`) P(0 Z.96)=0.475 P(-.96 Z.96)= % m _ m _ ' 00 ' m m , 43, 44, 45, 46, 47, 모분산이 5인어떤모집단에서크기가 00인표본을임의추출할때, 표본평균이 53.5이었다. 신뢰도 95 % 로모평균 m을추정하면? (` 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z.96)=0.475이다.) 'å5=5 m 95 % _ m _ ' 00 ' m 표준편차가 8 인정규분포를따르는모집단에서모평균 m 을신뢰도 95 % 로추정할때, 모평균 m 과표본평균 X 의차가 4 이하가되도록하려면표본의크기를최소한몇개로해야하는가? (` 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z )=0.95이다.) m 95 % X -_ 8 ' m X +_ 8 ' 8 m-x _ ' m X 4 8 _ 4, 'æ9 æ8 ' 8 대학수학능력시험실시후충분히많은학생 명의수리영역답안지를예비채점한결과표본표준편차는 0점이고, 이를토대로전체수리영역평균점수 m을 95 % 의신뢰도로추정한신뢰구간이 a m b이었다. b-a=일때, 자연수 의값은? (` 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z )=0.475이고, 모집단은정규분포를따른다.`) P(0 Z )=0.475 P(- Z )=P(0 Z )=0.95 X m 95 % 0 0 X -_ m X +_ HjK a m b ' ' 0 b-a= b-a= = ' '=40 =40 =600 M -Cliic 30 r s r s 5 r=s' ' 90

91 488 어느고등학교학생 인당연간독서량은표준편차가 5 권인정규분포를따른다고한다. 이학교학생중임의로 명을뽑아조사한 인당연간독서량의평균이 3. 권일때, 이학교학생전체의 인당연간독서량의평균 m을신뢰도 99 % 로추정한신뢰구간이. m 4.이었다. 이때, 표본의크기 의값을구하시오. (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z 3)=0.99이다.) X =3., r=5, P( Z 3)=0.99 m 99 % 3.-3_ ' m 3.+3_ 5 ' _ =., 3.+3_ =4. ' ' 5 3_ = '=5 ' =5 =5 5 M -Cliic r m a % l r l=k 5 { P( Z k)=;00; a```} ' kr ' = 35 l 488 l=k=3r=5 스포츠과학센터에서 00 m 육상경기의출발신호와실제출발사이의반응시간을측정한결과표준편차가 0.05초인정규분포를이루었다. 평균반응시간을 99 % 의신뢰도로추정할때, 오차가 0.0초를초과하지않도록하려면표본의크기를몇명정도로하면되는가? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z.58)=0.99이다.`) m X m 99 % 0.05 X -.58_ m X +.58_ ' m-x 0.05 ' m-x.58_.58_ 0.0 ' ' 'æ.9 æ ' = 53=5 =5 =5 어느도시의휴대전화이용자의월평균휴대전화이용시간을조사하였더니표준편차가 0분인정규분포를이루었다. 이도시의휴대전화이용자중에서표본을추출하여월평균휴대전화이용시간의표본평균과모평균의차가 4분이하가될확률이 0.95 이상이되도록하려면 k명이상의표본을추출하여야한다. 이때, k의값을구하시오. (` 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P(0 Z.96)=0.4750이다.`) P(0 Z.96)=0.475 P(-.96 Z.96)=0.95 m X m 95 % 0 X -.96_ ' m-x.96_ 0 ' m X +.96_ 0 ' _ 4 ' 'æ9.8 æ k= 정규분포를따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출하여신뢰도 95 % 로모평균을추정할때의신뢰구간의길이를 h라하자. 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? (`단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z )=0.95, P( Z 3)=0.99이다.`) ㄱ. 신뢰도 99 % 로모평균을추정할때, 신뢰구간의길이는 ;#;h 이다. ㄴ. 신뢰도 99 % 로모평균을추정할때, 신뢰구간의길이를 ;H; 로하려면표본의크기는 4이어야한다. ㄷ. 크기가 인표본을임의추출하여신뢰도 95 % 로모평균을추정할때, 신뢰구간의길이는 h이다. ' r 95 % h r h=_ ' 99 % r r _3 =;#; =;#;h ' ' 99 % ;H; r r _3 =;H;=;!; 'ß ' 'ß =3' =9 95 % r r _ = = h ' ' ' ' 49 정규분포를따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출하여신뢰도 a % 로추정한모평균 m의신뢰구간의길이를 f(, a) 라할때, 옳은것만을 [ 보기 ] 에서있는대로고른것은? (`단, >) ㄱ. f(, a)=f(4, a) ㄴ. f(, a)>f(, a) ㄷ. a<b 이면 f(, a)<f(, b) r a % m r a f(, a)=_k_ { P( Z k)= } ' 00 r f(4, a)=_k_ ' 4 r f(4, a)=;!;_k ' f(4, a)=;!; f(, a) f(, a)= f(4, a) > > f(, a)<f(, a) a<b f(, a)<f(, b) 9

92 a % r X P( Z k)=;00; Δ a % m r r [X -k5x +k 5] ' ' k r 5 ' 493 3% 0% % 7% 4% 어느회사는전체직원의` 0 % 가자격증 A를가지고있다. 이회사의직원중에서임의로 600명을선택할때, 자격증 A를가진직원의비율이 a% 이상일확률이 0.977이다. 오른쪽표준정규분포표를이용하여구한 a의값은? M -Cliic 600 A p^ p=0. Æ p(-p) 0._0.8 5=Æ 5 =0.0p^ 600 N(0.0.0 ) P{p^æ;0A0;}=0.977 P ;0A0;-0. Zæ =P(Zæa-0)= P(0 Z 0-a)=0.477 P(0 Z )= a= a=8 494 어떤공장에서만들어진전체의제품중에서 00개를임의추출하여검사를하였더니 0개의불량품이나왔다. 이제품전체에대한불량품의비율`` p를`` 95 % 의신뢰도로추정하면? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z )=0.95이다.) =00 p^=; 0º0;=0. p 95 % 0._0.9 0._ Æ 5 p 0.+Æ p 어느고등학교의학생중스마트폰을가지고있는학생의비율은 0.5라고한다. 어느날이학교학생중에서 00명을임의로추출하였을때, 스마트폰을가지고있는학생의비율이 0.43 이상이고 0.56 이하일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 00 p^ p=0.5 Æ p(-p) 0.5_0.5 5=Æ 5 =0.05p^ 00 N( ) P(0.43 p^ 0.56)=P{ 53 Z 53} P(0.43 p 0.56)=P(-.4 Z.) P(0.43 p 0.56)=P(0 Z.4)+P(0 Z.) P(0.43 p 0.56)= =0.804 z z P(0 Z z) P(0 Z z) 어느지역에거주하는사람중에서자전거를가지고있는사람의비율은 0 % 이다. 이지역에거주하는사람중 00명을임의로추출하였을때, 자전거를가지고있는사람의수가 6명이상명이하일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 00 p^ P(0.6 p^ 0.) p=0. Æ p(-p) 0._0.8 5=Æ 5 =0.04p^ 00 N( ) P(0.6 p^ 0.)=P{ 53 Z 53} P(0.6 p^ 0.)=P(- Z 0.5) P(0.6 p^ 0.)=P(0 Z )+P(0 Z 0.5) P(0.6 p^ 0.)= = z P(0 Z z) 어느고등학교에서오전 8 시이전에등교하는학생의비율 ` p 를알아보기위하여, 어느날이학교학생중에서 300명을임의추출하여오전 8시이전에등교한학생의표본비율` p^ 을구하였다. 표본비율` p^ 을이용하여구한비율` p에대한신뢰도 95 % 의신뢰구간이 0.70, 일때, 임의추출된 300명의학생중에서오전 8시이전에등교한학생의수를구하시오. ( 단, Z가표준정규분포를따를때, P( Z.96)=0.95이다.) p^=;300; p 95 % p^(-p^) p^(-p^) [p^-.96æ 5 p^+.96æ 5] p^= =.5 p^=0.75 ;300; =0.75 =300_0.75= 도시 A에서임의로추출한 00명을대상으로가장안전하다고생각하는교통수단을조사한결과, 고속버스를택한사람이 0명이었다. 이결과를이용하여고속버스를택한사람의비율에대한신뢰도 95 % 의신뢰구간을구하였더니 a, b 이었다. 도시 B에서임의로추출한` 명을대상으로고속버스가가장안전한교통수단이라고생각하는사람의비율에대한신뢰도` 95 % 의신뢰구간을구하려고한다. 이신뢰구간의최대허용표본오차가`` b-a 이하가되도록하는` 의최솟값을구하시오. A p^=; 0º0;=0. p 95 % 0._0.8 0._0.8 [0.-.96Æ Æ 35 ] b-a 0._0.8 :::: =.96Æ 35 =.96_ %.96Æ ;4 ;.96Æ ;4 ;.96_0.04' 4æ5 4æ65 æ: ;4@; :=

93 499 어떤모집단에서임의로` 88명을추출하여구한모비율에대한신뢰도 95 % 의신뢰구간이 [;9!;-k, ;9!;+k] 이었다. 같은모집단에서 명을임의로추출하여구한모비율에대한신뢰도 95 % 의신뢰구간이 [; 0;-;@0&;k, ; 0;+;@0&;k] 일때, 자연수` 의값을구하시오. ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 `P( Z.96)=0.95이다.) % [;9!;-k ;9!;+k] «;9!;_;9*; k=.96» ;;:88:;; =.96_;5 4; 95 % [; 0;-;@0&;k ; 0;+;@0&;k] «; 0;_;ª0; ;@0&;k=.96» ;:;;;;::;;:;;; =.96_; 0;_ 5 ' ;@0&;_.96_;5 4;=.96_; 0;_ 5 ' ' = = = 어느고등학교전교생중안경을쓴학생의비율` p를신뢰도 99 % 로추정하려고한다. 이학교학생중 500명을임의추출하여조사하였더니안경을쓴학생이 00명이었다. 신뢰구간의길이를 N, 최대허용표본오차를 N M이라할때, 의값은? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 Z에대하여 P( Z.58)=0.99이다.) M p^p^=;5@0)0);= % N 0.4_0.6 N=_.58Æ M M=.58Æ ;4 ; =.58Æ ;0 00; 0.4_0.6 _.58Æ 500 ;m; N = _.58Æ ;0 00; 0.4_0.6 Æ 500 '6 ;m; N = 5= 5 5 Æ ;0 00; 93

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