통계자료분석강희모 2013 년 11 월 29 일

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1 통계자료분석강희모 2013 년 11 월 29 일

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3 목차 제 1 장 여러가지평균비교 단일표본검정 독립인두표본검정 대응표본검정 제 2 장 분산분석 (ANalysis Of VAriance) one way ANOVA 평균비교 다중비교 (multiple comparison) 대비 (contrast) two way ANOVA 제 3 장 공분산분석 (ANCOVA; ANalysis of COVAriance) 25 제 4 장 반복측정분산분석 (repeated measures anova) one way repeated measures two way repeated measures 제 5 장 회귀분석 (regression analysis) 45 제 6 장비모수검정 (nonparametric analysis) 적합도검정 (goodness of fit test) 부호검정 (sign test) Wilcoxon 부호순위검정 (Wilcoxon signed rank test) McNemar 검정 Wilcoxon 순위합검정 (Wilcoxon rank sum test, Mann Whitney U test) i

4 6.6. Kruskal Wallis 검정 Cochran Q 검정 Friedman 검정 제 7 장 범주형자료분석 적합도검정 (goodness of fit test) 독립성검정 동일성검정 likelihood ratio test linear by linear association 제 8 장 표본수 (sample size) 구하기 단일표본평균에대한표본수 독립인두표본평균차이에대한표본수 단일표본비율에대한표본수 독립인두표본비율차이에대한표본수 참고문헌 86 ii

5 표목차 3.1 나병간균환자 순차제곱합 부분제곱합 나병간균환자 근전도자료 정규성검정 부호평가 부호순위평가 순위합에서순위평가 독립표본과대응표본의순위평가 승산비 우도비검정 선형대선형결합 iii

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7 그림목차 1.1 H 1 : µ > µ 0 일때 단일표본검정 SPSS 출력결과 ( 단일표본 ) 독립인두표본검정 SPSS 출력결과 ( 독립인두표본 ) 대응표본검정 SPSS 출력결과 ( 대응표본 ) 자료입력및분산분석 분산분석설정 등분산을가정한경우분산분석 등분산을가정하지않는경우분산분석 이원배치분산분석설정 이원배치분산분석출력결과 일원배치분산분석 공분산분석과정 공분산분석과정 반복측정분석과정 다변량과구형성 개체내효과와대비검정 사후검정 반복측정분석과정 (2원배치) 다변량과구형성 개체내효과 사후검정결과 v

8 5.1 회귀분석설정 회귀분석 저장 회귀분석분석결과 정규성검정 부호검정 Wilcoxon 부호순위검정 McNemar 검정 Wilcoxon 순위합검정 Kruskal Wallis 검정 Cochran Q 검정 Friedman 검정 적합도검정 독립성검정 승산비검정 승산비검정 (2 2 k) H 1 : µ > µ 0 일때 H 1 : µ > µ 0 일때 H 1 : µ µ 0 일때 엑셀목표값찾기

9 제 1 장 여러가지평균비교 모집단의평균비교검정은단일표본에대한평균검정, 독립인표본에대한평균차이검정, 대응표본평균검정등이있으며이장에서는이검정의사용방법을소개한다. 우선검정방법을알아보기전에검정에사용하는용어에대하여알아보자. 통계적가설검정계산에사용하는몇가지용어를소개하고그림 8.1에나타내었다. 귀무가설 (null hypothesis;h 0 ) : 이미전에연구자가입증한가설대립가설 (alternative hypothesis;h 1 ) : 연구자가연구결과입증하려는가설로귀무가설이아닌가설유의수준 (significance level;α) : 연구자가귀무가설이옳은데도잘못하여귀무가설을기각하는오류의최대허용한계의확률로많은경우 0.05로설정기각역 (rejection region for H 0 ) : 유의수준에서귀무가설을기각하는영역유의확률 (probability value) : 데이터에서구한검정통계량이귀무가설이옳은데도잘못하여귀무가설을기각하는오류의확률 검정통계량 (test statistic) : 귀무가설의기각, 채택여부판정할때사용하는통계량으로관측한데이터에서계산 제 1종의오류 (type I error; α) : 유의수준과동일한의미제 2종의오류 (type II error;β) : 귀무가설이옳지않을때귀무가설을기각하지않는오류의확률 1

10 검정력 (power;1 β) : 귀무가설이옳지않을때귀무가설을기각하는오류의확률 1.1. 단일표본검정 H 0 : µ = µ 0 β H 1 : µ = µ a µ 0 µ a acceptance region for H 0 rejection region for H 0 σ c = µ 0 + z α n σ = µ a z β n 그림 1.1: H 1 : µ > µ 0 일때 이검정은한집단의평균값이특정한값이라고할수있는지검정하는방법이다. 1 귀무가설 H 0 : µ = µ 0 ( 의미 : 어느집단의평균은 µ 0 이다.) 이며, 예전에조사한결과알려진평균이다. 대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : µ > µ 0 ( 의미 : 어느집단의평균은 µ 0 보다크다.) 단측검정 대립가설 H 1 : µ < µ 0 ( 의미 : 어느집단의평균은 µ 0 보다작다.) 단측검정 대립가설 H 1 : µ µ 0 ( 의미 : 어느집단의평균은 µ 0 이아니다. 즉 µ 0 보 다크거나 µ 0 보다작다 ) 양측검정 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 예를들어연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률 ( 양측 ) 이 0.07이라면 α 2

11 단측검정인경우는유의확률이 0.035이므로귀무가설을기각하고 양측검정인경우는유의확률이 0.07이므로귀무가설을기각하지못한다. 사례 : 1.1. ( 단일표본검정 ) 어느도시의남자중학생평균키가 5년전에 159cm으로알려져있다고하자. 현재중학생의평균키와같은지알아보려고 30명의중학생의키를조사하였다. 5년전과현재중학생의키의평균이동일한지검정과정을알아보자. 귀무가설 H 0 : µ = 159 ( 의미 : 어느도시의중학생평균키는 159cm이다.) 이고대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : µ > 159( 의미 : 어느도시남자중학생의평균키는 159cm보다크다.) 대립가설 H 1 : µ < 159( 의미 : 어느도시남자중학생의평균키는 159cm보다작다.) 대립가설 H 1 : µ 159( 의미 : 어느도시남자중학생의평균키는 159cm가아니다. 즉 159cm보다크거나 159cm보다작다 ) 여기서대립가설의설정은 H 1 : µ > 159라고하자. 그러면검정과정은다음과같다. 1 가설설정귀무가설 H 0 : µ = 159 ( 의미 : 어느도시의중학생평균키는 159cm이다.) 이고대립가설 H 1 : µ > 159( 의미 : 어느도시남자중학생의평균키는 159cm보다크다.) 2 SPSS 설정 ( 그림 1.2) 및출력결과 ( 그림 1.3) SPSS에서단일표본검정에대한자료입력은데이터보기시트에서한열에모든값을입력한다. 단일표본검정은분석 평균비교 일표본 T 검정메뉴를클릭하여그림 1.2 창에여러가지설정한후분석을실행한다. 이창에설정값으로 검정변수에는검정에사용할변수를추가하고, 검정값에는귀무가설의설정값을입력한후 3

12 3 결론 : 그림 1.2: 단일표본검정 그림 1.3: SPSS 출력결과 ( 단일표본 ) 확인버튼을누르면분석이완료된다. 그림 1.3에서양쪽유의확률이 0.282이므로단측유의확률은 0.141이며유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각할수없다 독립인두표본검정 이검정법은독립인두집단의평균이같다고할수있는지알아보는방법이다. 먼 저두집단이분산이같은지다른지에따라통계량계산이다르므로두집단의분 산이같은지동일성검정을한다 ( 등분산성검정 ). 등분산성에대한검정은 SPSS 출 4

13 력결과에서확인할수있으며, 검정과정은다음과같다. 1 가설설정 (Levene 검정 ) 귀무가설 H 0 : σ1 2 = σ2 2 ( 의미 : 두집단의분산은같다.) 대립가설 H 1 : σ1 2 σ2 2 ( 의미 : 두집단의분산은같지않다.) 2 SPSS의출력결과에서 Levene 등분산검정의유의확률을확인한다. 3 등분산성에대한검정결과해석및평균비교방법선택 유의확률이 0.05보다작으면두집단의분산은서로다르다고할수있으며두집단의평균을비교할때두집단의분산이다른경우의유의확률로검정한다. 유의확률이 0.05보다크면두집단의분산은서로같고할수있으며두집단의평균을비교할때두집단의분산이같은경우의유의확률로검정한다. 두집단의평균비교과정은다음과같다. 1 귀무가설 H 0 : µ 1 µ 2 = 0 ( 의미 : 두집단의평균차이는 0이다.) 대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 > 0( 의미 : 두집단의평균차이는 0보다크다.) 단측검정 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 < 0( 의미 : 두집단의평균차이는 0보다작다.) 단측검정 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 0( 의미 : 두집단의평균차이는 0이아니다. 즉두집단의평균차이는 0보다크거나 0보다작다 ) 양측검정 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채 택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 예를들어연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률 ( 양측 ) 이 0.07이라면 단측검정인경우는유의확률이 0.035이므로귀무가설을기각하고 양측검정인경우는유의확률이 0.07 이므로귀무가설을기각하지못환 다. 5

14 즉 대립가설이 H 1 : µ 1 µ 2 > 0일때귀무가설을기각하므로통계적으로두젖소집단의우유생산량평균차는 0보다크다고할수있고, 대립가설이 H 1 : µ 1 µ 2 0일때귀무가설을기각하지못하므로통계적으로두젖소집단의우유생산량평균차는 0라고할수있다. 사례 : 1.2. ( 독립인두표본검정 ) 두종류의사료가젖소의우유생산량에차이가있는지알아보기위하여 16 마리의젖소를임의로두집단으로나눈후 8 마리에는사료 A를다른 8 마리는사료 B를먹이고우유생산량을조사하였다. 사료 A 를먹은소의우유생산량과사료 B를먹은소의우유생산량이차이가있다고할수있는가? SPSS는등분산성검정의한종류로 Levene 등분산성검정방법을사용한다. Levene 검정결과가 두집단의분산이같다면그림 1.5의등분산이가정됨에서평균의동일성에대한검정의유의확률을사용하고 두집단의분산이같지않다면그림 1.5의등분산이가정되지않음에서평균의동일성에대한검정의유의확률을사용한다. 두종류의젖소의우유생산량자료로유의수준 α = 0.05에서가설검정하자. 귀무가설 H 0 : µ 1 µ 2 = 0 ( 의미 : 두젖소집단의우유생산량평균차는 0이다.) 이고대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 > 0( 의미 : 두젖소집단의우유생산량평균차는 0보다크다.) 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 < 0( 의미 : 두젖소집단의우유생산량평균차는 0보 다작다.) 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 0( 의미 : 두젖소집단의우유생산량평균차는 0이아니다. 즉 0보다크거나 0보다작다 ) 여기서대립가설의설정은 H 1 : µ 1 µ 2 0 일때다음과같은검정과정을진행하 자. 6

15 (b) 독립인두표본설정창 (a) 독립인두표본자료입력 그림 1.4: 독립인두표본검정 (c) 독립인두표본집단설정 1 1 두집단의분산의동일성에대한가설설정 귀무가설 H 0 : σ1 2 = σ2 2 ( 의미 : 두집단의분산은같다.) 대립가설 H 1 : σ1 2 σ2 2 ( 의미 : 두집단의분산은같지않다.) 7

16 그림 1.5: SPSS 출력결과 ( 독립인두표본 ) 출력결과그림 1.5에서 Levene 등분산검정의유의확률이 0.914이므로두집단의분산은같다고할수있다. 따라서등분산을가정하고두집단의평균비교에대한검정을한다. 1 2 두집단의평균차에대한가설설정귀무가설 H 0 : µ 1 µ 2 = 0 ( 의미 : 두젖소집단의우유생산량평균차는 0이다.) 대립가설 H 1 : µ 1 µ 2 0 ( 의미 : 두젖소집단의우유생산량평균차는 0이아니다. 즉 0보다크거나 0보다작다 ) 2 SPSS 설정 ( 그림 1.4) 및출력결과 ( 그림 1.5) SPSS에서자료분석하기전데이터의입력에대하여알아보자. 데이터를입력할때 한열에는분석에사용할종속변수인관측값을입력하고, 다른한열에는두집단을구분하는집단변수의구분값을 입력한다 ( 그림 1.4(a)). 데이터가올바르게입력되었다면분석을실행하자. SPSS에서독립인두표본검정은분석 평균비교 독립표본 T 검정메뉴를클릭한다 ( 그림 1.4(b)). 이창의설정값은 검정변수에는검정에사용할종속변수를추가하고, 집단변수에는두집단을구분하는변수를추가하며 8

17 집단정의버튼을누른후집단정의에사용한각집단의구분값을입력하고 ( 그림 1.4(c)) 확인버튼을누르면분석이완료된다. 3 결론 : 그림 1.5에서양쪽유의확률이 0.333이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각할수없다. 즉두종류사료로먹인소의우유생산량은통계적으로차이가없다고할수있다 대응표본검정 두집단의자료가쌍으로된경우 ( 한개체에서두번자료를관측하거나동일한종류의기계두대에서자료를관측하는경우 ) 로쌍으로된두집단차이의평균을 δ라고할때이값에대하여검정하는방법이다. 만일두집단의차이가없다면 δ는 0이된다. 1 귀무가설 H 0 : δ = δ 0 ( 의미 : 쌍으로구성된두집단차이의평균은 δ 0 이다.) 대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : δ > δ 0 ( 의미 : 쌍으로구성된두집단차이의평균은 0보다크다.) 단측검정 대립가설 H 1 : δ < δ 0 ( 의미 : 쌍으로구성된두집단차이의평균은 0보다작다.) 단측검정 대립가설 H 1 : δ δ 0 ( 의미 : 쌍으로구성된두집단차이의평균은 0이아니다. 양측검정즉쌍으로구성된두집단차이의평균은 0보다크거나 0보다작다 ) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채 택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 예를들어연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률 ( 양측 ) 이 0.07이라면 단측검정인경우는유의확률이 0.035이므로귀무가설을기각하고 양측검정인경우는유의확률이 0.07이므로귀무가설을기각하지못환다. 9

18 즉 (a) 대응표본자료입력 그림 1.6: 대응표본검정 그림 1.7: SPSS 출력결과 ( 대응표본 ) (b) 대응표본설정창 대립가설이 H 1 : δ > 0라면귀무가설을기각하므로통계적으로두집단의평균차이는 0보다크다고할수있고, 대립가설이 H 1 : δ 0라면귀무가설을기각하지못하므로두집단의평균차이는 0라고할수있다. 사례 : 1.3. ( 대응표본검정 ) 첨가제를사용하는차량과사용하지않는차량의주 행거리가같은지검정하려고다섯종류의동일한새차 2 대를추출하여임의로첨 가제를사용한경우와첨가제를사용하지않은경우주행거리를보고두경우가차 이가있는지알아보자. 10

19 귀무가설 H 0 : δ = 0 ( 의미 : 첨가제와휘발유를주유한차량의주행거리는같다.) 이고대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : δ > 0( 의미 : 첨가제와휘발유를주유한차량의주행거리차이의평균은 0보다크다.) 대립가설 H 1 : δ < 0( 의미 : 첨가제와휘발유를주유한차량의주행거리차이의평균은 0보다작다.) 대립가설 H 1 : δ 0( 의미 : 첨가제와휘발유를주유한차량의주행거리차이의평균은 0이아니다. 즉주행거리차이의평균은 0보다크거나 0보다작다 ) 1 가설설정귀무가설 H 0 : δ = 0 ( 의미 : 첨가제주입차량과주입하지않은차량의주행거리차이의평균은 0이다.) 이고대립가설 H 1 : δ ( 의미 : 첨가제주입차량과주입하지않은차량의주행거리차이의평균은 0이아니다.) 2 SPSS 설정 ( 그림 1.6) 및출력결과 ( 그림 1.7) SPSS에서자료분석하기전데이터의입력에대하여알아보자. 데이터를입력할때한열에는반복측정한변수값을입력하고, 나머지열에반복측정한또다른변수값을입력한다 (( 그림 1.6(b)). SPSS에서대응표본검정은분석 평균비교 대응표본 T 검정메뉴를클릭한다 ( 그림 1.6(b)). 이창에 대응변수에검정에사용할반복측정한두변수를추가하고 확인버튼을누르면분석이완료된다. 3 결론 : 그림 1.7에서양쪽유의확률이 0.032이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을 기각한다. 첨가제주입한차량과주입하지않은차량의주행거리는통계적으로같지않다고할수있다. 11

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21 제 2 장 분산분석 (ANalysis Of VAriance) 모수적검정에서한집단이나두집단의평균비교는 t 검정을사용하고셋이상집단의평균비교는 F 검정을사용한다. 이장에서는세집단평균비교인분산분석 (ANOVA) 에대하여알아보자 one way ANOVA 한요인 (factor) 에대하여셋이상집단의평균비교에대한통계학적모델을일원배치분산분석 (one way ANalysis Of VAriance; one way ANOVA) 이라고하며 y ij = µ + τ i + ɛ ij, ˆµ = y, ˆτ i = y i. y (2.1) 이며다음과같은조건을만족해야한다. ɛ ij 서로독립이다. ɛ ij 는 N(0, σ 2 ) 인정규분포를따른다. 각처리집단의분산은모두같다. 만일위의조건에서첫번째, 두번째조건은만족하고세번째조건에서처리집단 간분산이같은지같지않은지에따라분석방법을다르다. 따라서셋이상집단의평균을비교하기전에모든집단의분산이모두같은지등분산성에대한검정을해야한다. 가설설정귀무가설 H 0 : σ1 2 = σ2 2 = = σ2 k ( 의미 : k 집단의분산은같다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 적어도한집단은분산은같지않다.) 13

22 등분산성검정은 17 페이지그림 2.2(c) 에서분산동질성검정을선택하고분석하면 19 페이지그림 2.3(a) 에서분산의동질성검정에대한결과를확인할수있다. 등분산성검정결과 유의확률이 0.05보다크면모든집단의분산이같다고할수있고분산분석으로평균을비교한다 ( 그림 2.3, 19 페이지 ). 유의확률이 0.05보다작으면셋이상의집단중분산은같지않은집단이하나이상존재하며이런경우는 Welch 검정으로평균을비교한다. 이검정은 17 페이지그림 2.2(c) 에서 Welch 선택하고분석을실행하면 20 페이지그림 2.4(a) 의출력결과를확인할수있다 평균비교 1 귀무가설 H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k ( 의미 : k개집단평균은모두같다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : k개집단에서평균이다른집단이적어도한개이상이다.) 사례 : 2.1. ( 분산분석 ) 레코드테이프의코팅처리가음질의재생에효과가있는지알아보기위하여코팅처리가다른네종류의테이프에대하여잡음을조사하였다면귀무가설 H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 ( 의미 : 네종류테이프의잡음소리의평균은모두같다.) 이고대립가설 H 0 : not H 0 ( 의미 : 4 종류테이프에서잡음의평균이다른테이프가적어도한개이상있다.) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. SPSS에서자료분석하기전데이터의입력에대하여알아보자. 데이터를입 력할때 한열에는분석에사용할종속변수인관측값을입력하고, 다른한열에는 k 집단을구분하는집단변수의구분값을입력한다 ( 그림 2.1(a)). 데이터가올바르게입력되었다면분석을실행하자. SPSS에서독립인두표본검정은분석 평균비교 일원배치분산분석메뉴를클릭한다 ( 그림 2.1(b)). 이창에서 14

23 lym.ac.kr (a) 분산분석 자료입력 (b) 분산분석 화면 그림 2.1: 자료입력 및 al 종속변수에는 검정에 사용할 종속 변수를 추가하고, 요인에는 k 집단을 구분하는 변수를 추가하고(그림 2.1(b)) 확인 버튼을 누르면 분산분석표가 출력된다(그림 2.3(a), 19 페이지). 분산분석에서는 기본값으로 각 그룹마다 기술통계량을 보여주지 않기 때문 에 17 페이지 그림 2.2(c)에서 기술통계를 선택하고 분석하면 출력결과에 기 초통계량을 확인할 수 있다. kan g ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, 채 택 여부를 결정하고, 그 결과를 해석한다. 연구자가 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.03이 라면 유의확률이 0.03이므로 귀무가설을 기각하므로 통계적으로 네 개의 레 hm 코드 중 적어도 한 집단의 평균은 다르다고 할 수 있다 다중비교(multiple comparison) 귀무가설 H0 : µi = µ2 =... = µk 를 기각한 경우 적어도 한 집단의 평균이 다르므 로 어떤 집단의 평균이 다르다고 할 수 있는지!알아보자. 집단 수가 k인 경우 두 집 k 단씩 묶어서 평균차를 비교하는 개수는 이다. 비교 방법은 2 등분산을 가정할 때 LSD, Duncan, Tukey, SNK 등 14개와 15

24 등분산을가정하지않을때 Tamhane, Dunnett 등 4개모두 18개를제공한다. 다중비교의분석과정은 1 귀무가설 H 0 : µ i µ j = 0 for all i, j( 의미 : 두집단평균은같다.) 대립가설 H 1 : µ i µ j 0 ( 의미 : 두집단의평균은같지않다.) 사례 : 2.2. ( 다중비교 ) 귀무가설 H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 을기각하였을 ( ) 때 4 어떤집단의평균이다르다고할수있는지다중비교를하려면 = 6 2 개쌍의평균차를비교한다. 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 사례 : 2.3. ( 다중비교결과 (LSD)) 연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하였을때, 4 개집단에서 2 개집단씩비교하는개수는 6개며 SPSS 결과가 H 0 : µ 1 µ 2 = 0 일때유의확률이 0.004면귀무가설을기각하며통계적으로두집단의평균은같지않다. H 0 : µ 1 µ 3 = 0 일때유의확률이 0.008이면귀무가설을기각하며통계적으로두집단의평균은같지않다. H 0 : µ 1 µ 4 = 0 일때유의확률이 0.044이면귀무가설을기각하며통계적으로두집단의평균은같지않다. H 0 : µ 2 µ 3 = 0 일때유의확률이 0.494이면귀무가설을기각못하며통계적으로두집단의평균은같다. H 0 : µ 2 µ 4 = 0 일때유의확률이 0.192면귀무가설을기각못하며통 계적으로두집단의평균은같다. H 0 : µ 3 µ 4 = 0 일때유의확률이 0.442면귀무가설을기각못하며통계적으로두집단의평균은같다. 16

25 대비 (contrast) (a) 다중비교 (b) 대비 (c) 옵션 그림 2.2: 분산분석설정 대비는사후검정결과통계적으로다른집단이존재한경우각변수를두개의그 룹으로나누어두그룹의평균이차이가있다고할수있는지검정하는것이다. 1 귀무가설 H 0 : c 1 µ 1 + c 2 µ c k µ k = 0( 의미 : 두그룹의평균은같다.) 대립가설 H 0 : c 1 µ 1 + c 2 µ c k µ k 0 ( 의미 : 두그룹의평균은같지않 다.) k 개그룹에대한대비는 C = c 1 µ 1 + c 2 µ c k µ k 로정의하며상수 c 는 k i=1 c i = 0 이되도록설정한다. 사례 : 2.4. ( 대비 ) 그림 2.2(b) 에계수의합이 0 이되도록설정하였고계수 가음수인첫번째변수를한그룹, 계수가양수인나머지세개의변수를다 른한그룹으로나눠두그룹을비교하였으며그림 2.3(b)(19 페이지 ) 에그 결과가있다. 다시말하자면그룹을 µ 1 과 µ 2, µ 3, µ 4 로하였을때귀무가설은 H 0 : 3µ 1 + µ 2 + µ 3 + µ 4 = 0 으로각상수의합이 0 이되도록한다. 2 SPSS 로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채 택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 사례 : 2.5. ( 대비결과 ) 연구자가유의수준을 α = 0.05 로설정하였을때 유의확률이 라면귀무가설을기각하므로집단 1 과집단 2, 집단 3, 집단 4 개를묶은그룹의평균은통계적으로다르다고할수있다. 17

26 사례 : 2.6. ( 등분산인경우분산분석 ) 레코드테이프의질을향상시키려고네종류 A, B, C, D의코팅처리에대하여음질의재생에얼마나효과가있는지를비교하려고한다. 데이터는레코드의잡음소리를기록한것이다. 1 1 네집단의분산의동일성에대한가설설정귀무가설 H 0 : σ1 2 = σ2 2 = σ2 3 = σ2 4 ( 의미 : 네집단의분산은같다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 적어도한집단은분산은같지않다.) 결과그림 2.3(a) 에서 Levene 등분산검정의유의확률이 0.101이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각할수없으므로네집단의분산은모두같다고할수있다. 따라서등분산을가정하고네집단의평균비교에대한검정을한다. 1 2 네집단의평균차에대한가설설정귀무가설 H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 ( 의미 : 네종류레코드의음질처리에대한잡음소리평균은모두같다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 적어도한종류의레코드는평균이다르다.) 결과그림 2.3(a) 에서분산분석결과유의확률이 0.018이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각한다. 따라서적어도한레코드의평균이다르다는것을알수있다. 2 사후검정레코드의잡음에대한 ( 평균이 ) 적어도한집단이다르므로네개의 4 집단을두집단씩묶는개수가 = 6개이므로이것들에대하여두집단 2 의평균비교를한다. 귀무가설 H 0 : µ i µ j = 0 for all i, j when i j ( 의미 : 두집단의평균은같다 ) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 두집단의평균은같지않다.) 그림 2.3(b) 에서사후검정결과 A 레코드와 B, C, D 레코드의잡음에대한평 균이같은집단을묶을수있다. 그림 2.4(b) 에서적용한검정방법은등분산을가정한경우 Duncan을사용하였다. 3 대비레코드 A와레코드 B, C, D 그룹으로나눈후두그룹의평균이같다고할수있는지검정한다. 귀무가설 H 0 : 3µ 1 = µ 2 + µ 3 + µ 4 ( 의미 : 두그룹의평균은모두같다 ) 18

27 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 두그룹의평균은다르다.) 그림 2.3(c) 에서양쪽유의확률이 0.003( 등분산가정 ) 이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각한다. 따라서레코드 A 그룹과레코드 B, C, D 그룹의평균은같지않다. (a) 등분산성검정및분산분석 (c) 대비 (b) 사후검정 그림 2.3: 등분산을가정한경우분산분석사례 : 2.7. ( 등분산이아닌경우분산분석 ) 네종류의비료종류에대한수확량의평균을비교하려고한다. 19

28 (a) 등분산성검정및분산분석 (c) 대비 (b) 사후검정 그림 2.4: 등분산을가정하지않는경우분산분석 1 1 네집단의분산의동일성에대한가설설정 귀무가설 H 0 : σ1 2 = σ2 2 = σ2 3 = σ2 4 ( 의미 : 네집단의분산은같다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 적어도한집단은분산은같지않다.) 결과그림 2.4(a) 에서 Levene 등분산검정의유의확률이 0.013이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각하므로적어도한집단의분산은다르다고할수있다. 따라서등분산을가정하지않고네집단의평균비교에대한검정을한다. 1 2 네집단의평균차에대한가설설정 귀무가설 H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 ( 의미 : 네종류비료로경작한작물의수확 량의평균은모두같다.) 20

29 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 적어도한종류의수확량의평균은다르다.) 결과그림 2.4(a) 에서 Welch 검정결과유의확률이 0.000이하이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각한다. 따라서적어도한비료에대한수확량평균이다르다는것을알수있다. 2 사후검정농작물수확량에대한 ( 평균이 ) 적어도한집단이다르므로네개의 4 집단을두집단씩묶는개수가 = 6개이므로이것들에대하여두집단 2 의평균비교를한다. 귀무가설 H 0 : µ i µ j = 0 for all i, j when i j ( 의미 : 두집단의평균은같다 ) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 두집단의평균은같지않다.) 그림 2.4(b) 에서사후검정결과비료종류 1, 4와비료종류 3, 4는서로평균이다르다고할수있다. 그림 2.4(b) 에서적용한검정방법은등분산을가정하지않은경우 Dunnect의 T3을사용하였다. 3 대비비료 1,4 와비료 2,3 그룹으로나눈후두그룹의평균이같다고할수있는지검정한다. 귀무가설 H 0 : µ 1 + µ 4 = µ 2 + µ 3 ( 의미 : 두그룹의평균은모두같다 ) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 두그룹의평균은다르다.) 그림 2.4(c) 에서양쪽유의확률이 0.000이하 ( 등분산가정하지않음 ) 이므로유의수준 α = 0.05에서귀무가설을기각한다. 따라서비료 1, 4 그룹과비료 2, 3 그룹의평균은같지않다 two way ANOVA 두요인 (factor) 의각요인의평균비교와교호작용 (interaction) 을검정하는것을이 원배치분산분석 (two way ANalysis Of VAriance; two way ANOVA) 이라고한다. 교호작용은두변수의곱에대한검정으로유의확률이의미있는결과라면두변수는서로영향을준다고할수있으며수학적으로는두변수는서로독립이아니라고할수있다. 이원배치분산분석의통계학적모델은다음과같다. Y ij = µ + α i + β j + (αβ) ij + ɛ ijk 데이터가조건에맞는지알아보기위하여오차분산의동일성검정을한다. 21

30 가설설정귀무가설 H 0 : V (ɛ) = σ 2 ( 의미 : 오차분산은 σ 2 이다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 오차분산은 σ 2 이아니다.) 등분산성검정결과유의확률이 0.05보다작으면위의모델을사용하여분석할수없다. (a) 변수설정 (c) 사후분석 그림 2.5: 이원배치분산분석설정 (b) 모형설정 (d) 옵션 이원배치분산분석은요인의종류가모수효과 (fixed effect) 와변량효과 (random effect) 인경우에따라계산의차이가있다. 모수요인 (fixed effect) : 인자의수준이고정되어있는경우로그예로는인종, 부모교육수준, 성별, 학년변수등이있다. 22

31 변량요인 (random effect) : 인자의수준이임의로된경우로그예로는수요일과토요일에만자료를얻었을때요일변수, 춘천시 10개고등학교중 3개학교의학생점수를얻었을때변수등이변량요인이다. 이원배치분산분석에서 두요인이모두모수요인인경우 두요인이모두변량요인인경우 한요인은모수요인한요인은변량요인인경우자료분석자가적절하게분석방법을설정한다. SPSS에서이원배치분산분석은 (a) 분산분석표 (b) 분산의동질성검정 (c) 사후분석1 (d) 사후분석2 그림 2.6: 이원배치분산분석출력결과 1. 분석 일반선형모형 일변량메뉴를선택 23

32 2. 분석에교호작용은그림 2.5(a) 에서모형버튼을클릭한후그림 2.5(b) 의요인및공변량에서두변수를선택하고추가버튼을누르면모형에추가된다. 3. 사후분석은일원배치분산분석과유사하게그림 2.5(c) 창에검사후검정변수에변수를추가한후사후검정방법을선택한다. 4. 기술통계량, 동일성검정등은그림 2.5(a) 에서옵션버튼을클릭한후그림 2.5(d) 창에서통계량이나그림을선택한다. 분석방법은이원배치분산분석결과두변수간교호작용이있는지우선판단하고그결과에따라각요인에대한평균이다른지검정한다. 만일교호작용이의미있는결과를얻었다면각요인의평균비교결과가유의한결과가나타났다고하더라도두변수가서로독립이아니므로각요인에대한평균비교는의미가없다. 그림 2.5에이원배치분산분석의출력결과를일부분나타내었다. 그림 2.6(a) 에교호작용을포함한분산분석결과를보여주고있다. 여기서제곱합은 Type III 이며, 분석결과교호작용이유의한것으로나타났다. 그림 2.6(b) 에각그룹마다오차분산에대한동질성검정결과로유의확률이 0.221로귀무가설 H 0 : V (ɛ) = σ 2 를기각하지못하므로각요인의집단간오차분산은같다고할수있다. 그림 2.6(c) 에유리강도요인에대한 Turkey, Scheffe, LSD 등세가지분석에대한평균차, 유의확률, 신뢰구간의정보가출력되며, 그림 2.6(d) 에사후분석결과에대한동일집단군표시에대한결과를보여준다. 24

33 제 3 장 공분산분석 (ANCOVA; ANalysis of COVAriance) 실험에서얻어지는다변량자료들은연속형자료와이산형자료들이혼합되어있는경우가대다수이다. 이때성격이다른자료들을일반선형모델 (generalized linear modeling) 로분석할경우공분산분석 (ANCOVA, ANalysis of COVAriance) 이라고한다. 즉독립변수들이이산형, 연속형변수이고종속변수가연속형자료인경우에해당된다. 공분산분석은분산분석모형 y ij = µ + τ i + ɛ ij, ˆµ = y, ˆτ i = y i. y (3.1) 에공변량 (covariate) 을추가하면 y ij = µ + τ i + β(x ij x) + ɛ ij (3.2) 이되며각추정량들은 ˆµ = y ˆτ i = y i. y ˆβ(x i. x) ˆβ = Sxy S xx 이다. 이렇게분산분석모형에회귀분석모형을추가하면모델의설명력이높아지기때문에오차를줄이면서추정의정밀도를높이게된다. 공분산분석에추가되는연속변수공변량은종속변수에영향을주며, 종속변수의값과함께관측되지만실험자가그값을마음대로조절하지못하는변수이다. 25

34 그러나랜덤화블록설계에서는실험자가임의로블록요인의수준을조정하는것 이가능하였다. 따라서공분산분석의핵심은종속변수의값에영향을미치는공변 량의영향을보정 (adjust) 하는데있다. 나병환자의치료법을연구하기위하여 A, D 두항생제의효과를비교하려고한 다. 실험에참여하는나병환자를랜덤하게 30명을뽑은후 10명에게는항생제 A, 10명에게는항생제 D, 나머지 10명대조군에게는생리식염수를투여하고그경과 를관찰하였다. 일정기간치료한후환자의몸에서나병간균 (leprosy bacilli) 을측정 한결과가표 3.1에있다. 이자료를일원배치분산분석 (one way ANOVA) 방법으로 항생제 A 항생제 B 대조군 F 표 3.1: 나병간균환자 분석한결과가그림 3.1에있다. 그림 3.1(a) 의분산분석표에서유의확률이 0.03으 (a) 분산분석표 (b) 그룹간다중비교 그림 3.1: 일원배치분산분석 로귀무가설 세집단의평균은모두같다 를기각한다. 그러면어느집단의평균 26

35 sequential sum of squares SSR SSR(β 1, β 2, β 3 β 0 ) SSR(β 1 β 0 ) SSR(β 2 β 0, β 1 ) SSR(β 3 β 0, β 1, β 2 ) SSE SSE(β 0, β 1, β 2, β 3 ) 표 3.2: 순차제곱합이다른지그림 3.1(b) 에다중비교한결과유의수준 5% 에서항생제 A와대조군 F, 항생제 D와대조군 F의평균이다른것으로분석되었다. 표 3.4에는표 3.1의자료에치료전환자의나병간균자료가추가되어있다. 환자의세균수는치료전의세균수에많은영향을줄수있기때문에치료전세균수를공변량 (covariate) 에포함시키는것이바람직할것이다. 따라서독립변수가이산형, 연속형자료가모두포함되기때문에공분산분석을실시하면더명확한분석이진행될것이다. 공분산분석에서관심있는요인의수준간효과차이에대한검정은귀무가설 H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ i = 0에대한가설검정으로이것을기각하면요인수준간효과차이가있다고할수있다. 공분산분석이나분산분석, 회귀분석모두일반선형모델이다. 일반선형모델에서변수를선택할때모델을설명하는제곱합으로그방법은네종류가있다. 세가지변수에대하여일반선형모델을설정한후제곱합에대하여알아보자. 세변수에대한일반선형모델은 Y i = β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + β 3 X i3 + ɛ i (3.3) 이며이식으로제곱합을알아보자. Type I(sequential) Sums of Squares : 순차제곱합으로부르기도한다. 추가되는변수에따라제곱합이증가하며추가되는변수의순서에따라제곱합이 다르다. 식 3.3의순차제곱합은표 3.2에나타내었다. Type II Sums of Squares : 완전모형 (full model) 에서변수를제거할때감소하는제곱합이다. Type III(partial) Sums of Squares : 부분제곱합이다. 변수가 p개일때 p 1개의독립변수가이미추가되어있고나머지한변수가추가될때증가되는제곱합이다. 식 3.3의부분제곱합은표 3.3에나타내었다. 27

36 partial sum of squares H 0 SSR(β 1 β 0, β 2, β 3 ) β 1 = 0 SSR(β 2 β 0, β 1, β 3 ) β 2 = 0 SSR(β 3 β 0, β 1, β 2 ) β 3 = 0 SSE(β 0, β 1, β 2, β 3 ) 표 3.3: 부분제곱합 Type IV Sums of Squares : 결측값이없는경우 Type III(partial) Sums of Squares와같다. 일반선형모델에서특이사항으로각변동의제곱합을모두합하더라도그합이총제곱합이되지않는제곱합이있는것을위에서확인하였다. 즉 SST SSR + SSE인제곱합의종류가존재한다. 공분산분석도일반선형모델에속하기때문에총제곱합이회귀제곱합과오차제곱합의합과같지않는제곱합이있다. 공분산분석에서는범주형자료의제곱합및오차제곱합이연속형자료인공변량에대하여보정되었기때문이다. 따라서요인간효과가있을때사후검정을실시하는경우각처리집단의평균은보정한자료를가지고비교하게된다. 보정된처리평균 (y i.(adj) ) 은 y i.(adj) = y i. ˆβ(x i. x) (3.4) 으로정의하여계산한다. 공분산분석을실시하려면다음과같이몇가지조건이만족되어야한다. 종속변수와공변량사이에는선형회귀관계가있어야한다. 공변량이회귀관계가존재하지않다면회귀분석으로제거할수있는변동이없으므로이때는분산분석의결과와별로다른결과가없을뿐만아니라오차의자유도만소모되어검출력이오히려나빠질수있다. 따라서귀무가설 H 0 : β = 0을기각해야한다. 종속변수와공변량사이의회귀계수가처리집단간동일해야한다. 공분산분석을올바로수행하려면기울기의동질성 (homogeneity of slopes) 이보장되어야하고귀무가설 H 0 : β 1 = β 2 = = β t = β를검정하여귀무가설을기각한다면공분산분석의의미가줄어든다. 즉각처리집단마다기울기가모두같아야보정된처리효과의평균을사용할수있다. 종속변수의각그룹마다기울기의동질성검정은독립변수와공변량의교호작용이유의성검정으로 28

37 한다. 교호작용이통계적으로유의하지않으면종속변수의집단마다각기울 기가모두같은것을의미한다. 따라서교호작용이존재하지않으면공분산 분석을실시할수있다. 표 3.4 자료로공분산분석을실행해보자. 치료후자료나병환자의세균수 (y) 항생제를투여한두집단과대조군한집단모두세집단의평균이차이가있는지 치료전세균수 (x) 를통제하여분석하자. 항생제 A 항생제 B 대조군 F 치료전 치료후 치료전 치료후 치료전 치료후 표 3.4: 나병간균환자 표 3.4 자료가공분산분석을실시하여도적합한지알아보자. 먼저교호작용변 수를포함한공분산분석을시행한후출력결과를보고판단한다. SPSS에서공분 산분석은 1. 분석 일반선형모형 일변량메뉴를선택 2. 일변량분석창에서종속변수에치료후변수, 모수요인에항생제변수, 공변량에 치료전변수를추가 ( 그림 3.2(a)) 3. 모형버튼클릭후일변량 : 모형창에서사용자정의선택하고항생제변수, 치료전변수, 두변수의교호작용인항생제 * 치료전을모형에추가하며, 제곱합의종류와절편을포함시킬지결정 ( 그림 3.2(b)) 4. 옵션버튼클릭후일변량 : 옵션창에서표시할변수에대한통계량이나검정방법을선택 ( 그림 3.2(c)) 29

38 5. 출력결과 : 그림 3.2(d), 그림 3.2(e) 출력결과일부분 (a) 일변량분석 (b) 일변량 : 모형 ( 교호작용추가 ) (c) 일변량 : 옵션 (d) 통계량 (e) 분산분석표그림 3.2: 공분산분석과정1 공분산분석출력결과를살펴보자. 30

39 그림 3.2(e) 에서교호작용항생제 * 치료전변수의유의확률이 0.551로통계적으로유의하지않기때문에독립변수항생제변수의각그룹마다기울기가같다고할수있다. 따라서교호작용변수는분석에서제외하고나머지변수들로다시분석한다. 참고로교호작용변수에대한검정결과유의하였다면독립변수의각그룹별회귀식이서로교차하는것을의미하고유의하지않은것은각그룹별회귀식이서로평행한것을의미한다. 독립변수와공변량의교호작용에대한귀무가설은 H 0 : (αβ) ij = 0이다. 그림 3.2(e) 에서공변량치료전변수에대한유의확률이 0.000으로매우유의하므로회귀계수는 0이아니라고할수있다. 공변량의회귀계수에대한귀무가설은 H 0 : β = 0이다. 따라서표 3.4 자료가공분산분석에적합하다고할있다. 그러면독립변수와공변량의교호작용를분석에서제외하고다음과같이다시분석해보자. 1. 분석 일반선형모형 일변량메뉴를선택 2. 일변량분석창에서종속변수에치료후변수, 모수요인에항생제변수, 공변량에치료전변수를추가 ( 그림 3.2(a)) 3. 모형버튼클릭후일변량 : 모형창에서사용자정의선택하고항생제변수, 치료전변수는모형에추가하고, 두변수의교호작용인항생제 * 치료전는모형에서제외 ( 그림 3.3(b)) 4. 옵션버튼클릭후일변량 : 옵션창에서표시할변수에대한통계량이나검정방법을선택 ( 그림 3.3(b)) 5. 출력결과 : 그림 3.3(c), 그림 3.3(d), 그림 3.3(f), 그림 3.3(g), 그림 3.3(h) 출력결과일부분 다시분석한결과항생제종류에대한유의확률이 0.138( 그림 3.3(c)) 로항생제종류에따라나병세균수가다르다고할만한통계적근거가없으며, 회귀계수에대 한검정에서는유의확률이 0.000( 그림 3.3(c)) 으로계수가통계적으로매우의미가 있으므로공분산분석에사용하는것이적합하다고판정할수있다. 식 3.4 로보정된처리집단의평균 (adjusted treatment mean; y i.(adj) ) 은 y 1.(adj) = 5.30 (0.987)( ) =

40 (a) 일변량 : 모형 (b) 일변량 : 옵션 (c) 분산분석표 (d) 모수추정 (e) 치료전통계량 (f) 치료후통계량 (g) 보정평균 (h) 사후분석 그림 3.3: 공분산분석과정 2 32

41 y 2.(adj) = (0.987)( ) = y 3.(adj) = (0.987)( ) = 로계산된다. 여기서 y i. 는그림 3.3(f), ˆβ 은그림 3.3(d) 의분석결과에계산된값이다. 또한 x i. 와 x는 SPSS에서분석 평균비교 일원배치분산분석메뉴를실행하고요인분석에항생제, 종속변수에치료전을입력한후옵션버튼을눌러기술통계를선택하고실행하여구하였으며그결과는그림 3.3(e) 에있다. 항생제별나병환자의세균수가차이가있는지검정한결과 일원배치분산분석결과항생제를사용한환자군과항생제를사용하지않은환자군이차이가있는것으로분석되었으나 공분산분석을실시하여공변량 ( 치료전나병환자균 ) 을모델에포함하여분석한결과나병환자의균수는통계적으로차이가없는것으로분석되었다. 33

42

43 제 4 장 반복측정분산분석 (repeated measures anova) 반복측정자료는동일한개체가통제된실험에참여하여여러번자료를관찰한것이다. 이자료는변수들이서로독립이아니기때문에일원배치에서서로독립적으로시행된결과와분석방법이약간다르다. 반복측정도분산분석이므로정규성, 독립성, 등분산성등몇가지가정이있다. 그중에서구형성가정에대하여알아보자. 구형성 (sphericity) 이란분산분석에서분산의동일성 (homogeneity of variance) 과같은것으로만일구형성가정이위배된다면검정력을잃어서 F 검정으로분석을실행할수없다. SPSS에서구형성검정은 Mauchly s test를사용하며통제된상태에서관찰한자료이므로각시행에서각변수의차이에대한분산의동일성검정법이다. 구형성검정에서 귀무가설 H 0 : σy 2 1 y 2 = σy 2 1 y 3 = = σy 2 k 1 y k 대립가설 H 1 : not H 0 로가설을설정할수있으며각변수의차이에대한개수는 k(k 1)/2 개이다. 구형성검정결과유의확률이 0.05보다작으면구형성을보장할수없으므로이런경우에는자유도를보정하여다시분석해야한다. SPSS에서자유도보정은 epsilon(ɛ) 으로출력되며 ɛ > 0.75 인경우는 Hyunh Feldt correction 그이외의경우는 Greenhouse Geisser corrected value를이용하여검정한다. 위에서설명한반복측정자료에대한분석방법을요약하면다음과같다 1. 1 Andy Field(2009)[1] 가제안 35

44 구형성이보장되는경우 : 구형성에대한검정결과유의확률이 0.05보다크면반복측정자료검정 구형성이보장되지않고 ɛ > 0.75 인경우 : Hyunh Feldt correction로반복측정자료검정 구형성이보장되지않고 ɛ <= 0.75 인경우 : Greenhouse Geisser corrected value로반복측정자료검정분석결과귀무가설을기각하였다면어느집단차이가유의한지사후검정으로알아본다. 만일귀무가설을기각하지못한상태에서사후검정을시행하더라도유의한집단차이를보이는것들이있을수도있으나주효과에서기각하지못하였다면결과를무시해도된다. 또한반복측정자료가어떤요인에대한차이가있는지검정하는방법은다변량 ANOVA 로분석할수있으며다음과같이여러가지검정방법이있다. Pillai s Trace Wilks Lambda Hotelling s Trace Roy s Largest Root 4.1. one way repeated measures 단일변량반복측정분산분석에대하여알아보자. 다음자료는 22 명에게세가지서로다른종류의음악을같은순서로들려주고음악에따른표정의미세한변화를알아보기위한실험 (Vasey and Thayer(1987)) 에서얻은자료이다. 이실험에서편안한음악 (1), 경쾌한음악 (2), 격렬한음악 (3) 을순서대로들려주고각단계에서 mean electromyographic(emg) amplitude( 단위 : µv ; 근전도 ) 를왼쪽눈섭부근 에서측정하였다. 각각의음악은 90 초간들려주었다. 음악간의차이에대하여알 아보자. 표 4.1를이용하여반복측정자료에대한분석을실행해보자. 실행과정은 1. SPSS에서분석 일반선형모형 반복측정메뉴를선택 2 2. 요인의수준수를설정 ( 그림 4.1(a)) 2 이메뉴는 SPSS 를 basic 로설치한경우에는없고 advanced 로설치해야사용할수있다. 36

45 음악 음악 표 4.1: 근전도자료 (a) 요인의수준수설정 (b) 설명변수설정 (c) 사후분석 그림 4.1: 반복측정분석과정 3. 반복측정에서설명변수설정 ( 그림 4.1(b)) 4. 사후분석 ( 그림 4.1(c)) 그림 4.2, 그림 4.3, 그림 4.4 에일변량반복측정출력결과가있다. 그림 4.2에반복측정에대한다변량검정결과유의확률이매우의미있는결과가나왔으므로각변수차에대하여서로다르다고할수있다. 그림 4.2에구형성검정결과유의확률이 0.002로매우유의하므로구형성을가정할수없다. 따라서자유도를보정한 Greenhouse Geisser 또는 Huynh Feldt로검정해야한다. 37

46 그림 4.3에엡실론이 Huynh Feldt인경우 0.716으로 0.75보다작으므로변수차이에대한검정은 Greenhouse Geisser로하는것이적합하다고할수있다. Greenhouse Geisser에서유의확률이 이하이므로변수간차이가있다고할수있다. 그림 4.3에대비에대한검정결과선형모형에대한유의확률이 이하이므로선형모형이라고할수있고, 2차선형모형은유의확률이 0.069로유의하지않으므로 2차선형모델을따른다고할수없다. 그림 4.4에사후분석결과 1과 3, 2과 3 변수차이가유의한결과를보였으며 1과 2 변수차이는유의하지않았다. 그림 4.2: 다변량과구형성 그림 4.3: 개체내효과와대비검정 38

47 그림 4.4: 사후검정 4.2. two way repeated measures 2개의요인에대하여반복측정한경우를이원배치반복측정 (two way repeated measures) 이라고한다. SPSS 메뉴사용법은단일요인반복측정과동일하다. 다 음자료는 30명에게 3가지연령대 (10, 15, 20) 에학교생활과직업에대한관심도를 조사하였다. 나이는 10세, 15세, 20세로구분하여학교생활관심도와직업관심도 를측정하였다. s10 s15 s20 w10 w15 w

48 이원배치반복측정을하려면원자료 (raw data) 의변수를이용하여새로운변수 를생성하여분석해야한다. 그과정은다음과같다. 학교생활의수준수도 3, 직업 의수준수도 3개이면총 9(3 3) 개의새로운변수가필요하며 SPSS에서변환 변수계산메뉴에서다음과같은변수를만든다. 10세학교생활관심도, 10세직업관심도 = 10세학교생활변수 + 10세직업 관심도변수 10세학교생활관심도, 15세직업관심도 = 10세학교생활변수 + 15세직업 관심도변수 10세학교생활관심도, 20세직업관심도 = 10세학교생활변수 + 20세직업관심도변수 15세학교생활관심도, 10세직업관심도 = 15세학교생활변수 + 10세직업관심도변수 15세학교생활관심도, 15세직업관심도 = 15세학교생활변수 + 15세직업관심도변수 40

49 15세학교생활관심도, 20세직업관심도 = 15세학교생활변수 + 20세직업관심도변수 20세학교생활관심도, 10세직업관심도 = 20세학교생활변수 + 10세직업관심도변수 20세학교생활관심도, 15세직업관심도 = 20세학교생활변수 + 15세직업관심도변수 20세학교생활관심도, 20세직업관심도 = 20세학교생활변수 + 20세직업관심도변수위에서설정한자료를이용하여 SPSS로이원배치분산분석을실시하자. 설정과 (a) 요인의수준수설정 (b) 설명변수설정 그림 4.5: 반복측정분석과정 (2 원배치 ) 정은 1. 그림 4.5(a) 에학교생활관심도의수준수와직업관심도의수준수를설정하 고 2. 그림 4.5(b) 에 2원배치분산분석을하기위하여변환한변수 9개를추가하며 나머지과정은일원배치반복측정분산분석과동일하다. 출력결과는 41

50 그림 4.6: 다변량과구형성 그림 4.6 에다변량검정결과와구형성에대한검정결과 그림 4.7 에두반복측정요인에대한개체내효과의검정결과 그림 4.7: 개체내효과 그림 4.8에반복측정한두요인에대하여사후검정결과가있으며그림 4.8(a) 에 school 요인에대한사후검정결과가그림 4.8(b) 에 work 요인에대한검정결 과가있다. 다른 2원배치반복측정에대한통계적모델을소개하면한요인은반복측정한요인이고다른한요인은반복측정하지않은요인이다. 이런경우에는그림 4.5(b) 에 42

51 (a) 사후검정 (school) (b) 사후검정 (work) 그림 4.8: 사후검정결과 개체 내변수에반복측정한변수를추가하고 개체 간변수에반복측정하지않은변수를추가한다. 2원배치분산분석에대한 SPSS 출력결과는 개체 내변수에대한검정결과와 개체 간변수에대한검정결과를모두확인할수있다. 다음자료는 27마리쥐의체중을실험시작시 (wt0) 부터일주일마다 4주간측정하였으며쥐를 3개의그룹으로나누었는데 첫번째그룹은대조군 두번째그룹은 thiouracil을마실물에첨가 세번째그룹은 thyroxin을마실물에첨가하였다 이자료는다음과같다. group mouse wt0 wt1 wt2 wt3 wt

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53 제 5 장 회귀분석 (regression analysis) 회귀분석은한개이상의독립변수와한개의종속변수의관계를분석하는방법이다. 회귀분석모델중단순선형회귀는종속변수와독립변수가모두한개인경우이고다중선형회귀는여러개의독립변수와한개의종속변수인것이다. 이장에서는회귀분석과정및회귀분석모델에대한성능평가, 진단등을소개한다. 1. 모형의성능평가방법중많이알려진것으로결정계수 (coefficient of determination) R 2 과수정된 (adjusted coefficient of determination) R 2 이있으며, 수정된결정계수 (adj R 2 ) 를사용하기를권장한다. 결정계수는 0 1 사이의값을가지며모델의성능을나타낸다. 만일수정된결정계수가 0.750이었다면이선형회귀모델은자료를 75% 설명한다고할수있다 ( 설정은그림 5.1(b), 결과는그림 5.3에서확인 ). 2. 분산분석 : 모든변수를분석에사용한경우 full 모델이라고하고이때모든변수의최소제곱추정치 β에대한가설검정 1 귀무가설 H 0 : β 1 = β 2 = = β p = 0 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : p 개회귀계수는적어도 1 개는 0이다.) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 예를들어연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률이 0.007이라면귀무가설을기각하므로계수중적어도한개는 0이아니라고할수있다. 45

54 3. 계수 : 각계수마다별도로유의한지검정하는방법 ( 별도설정없으며그림 5.3에서확인 ) 1 귀무가설 H 0 : β 0 = 0 대립가설 H 1 : β 0 0( 상수계수값은 0이아니다.) 귀무가설 H 0 : β 1 = 0 대립가설 H 1 : β 1 0( 소득변수의계수값은 0이아니다.) 귀무가설 H 0 : β 2 = 0 대립가설 H 1 : β 2 0( 자녀수변수의계수값은 0이아니다.) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다. 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 예를들어연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과각변수의계수값에대한유의확률이각각 0.069, 0.376, 0.042이라면첫번째상수와세번째자녀수변수는귀무가설을기각하지못하고두번째소득변수의계수는귀무가설을기각할수있다. 4. 유의한설명변수의선택 : 모든가능한회귀 (all possible regression), 앞으로부터선택 (forward selection), 뒤로부터제거 (backward elimination), 단계적회귀 (stepwise regression) 이있다. 모든가능한회귀 : p개의독립변수중에서일부를포함하는모든가능한회귀모형을얻어서이중가장적절한회귀모형선택 ( 그림 5.1(a) 에서입력선택 ) 앞으로부터선택 : 가장유의한독립변수부터하나씩추가하는방법 ( 그림 5.1(a) 에서전진선택 ) 뒤로부터제거 : 모두유의하다고생각되는독립변수를모형에추가한다음유의하지않은독립변수를하나씩제거 ( 그림 5.1(a) 에서후진선택 ) 단계적회귀 : 앞으로부터선택과뒤로부터제거를번갈아가면서변수를선택 ( 그림 5.1(a) 에서단계선택 ) 5. 다중공선성 (multicolinearity) 은다중회귀분석에서독립변수들사이의상 관관계가높을경우회귀계수 β i 의추정치분산이커쳐서추정량의밀도가떨 46

55 어지게된다. 다중공선성에대한척도로 VIF(variance inflation factor) 가있 으며 1 VIF k = 1 Rk 2 로계산한다. Rk 2은 x k를종속변수로 x 1, x 2,..., x k 1, x k+1,..., x p 를종속변수로 계산한결정계수이다. VIF 가 10 이상이면다중공선성을의심하고, 10 미만이 면다중공선성이없다고판단한다 ( 그림 5.1(b) 에서공선성진단선택 ). 6. 회귀분석에서이상치 (outlier) 은회귀모형에적합하였을때지나치게모형을 벗어나는것을말하고영향치 (influential data) 는회귀계수 β 나표준편차 σ 영향을주는것이다 ( 그림 5.2). 스트던트화잔차 (studentized residual) : 이상치판별에사용하며 ri = MSE (i) (1 h ii ) 로 MSE (i) 는 MSE 에서 i 번째자료를제외하고계산하였고, h ii 는 H = X(X X) 1 X 의대각원소이다. 이값이 r i > t n p 1;α/2 이면유의수준 α 에서이상치로판별한다. DFFITS i (Difference in Standardized Fit) 는회귀계수와표준편차에영 향을주는자료를판단하며 e i DFFITS i = xt i (b b (i) ) h ii MSE (i) 로계산한다. 영향력관측치는 DFFITS i > 2 p/n 을만족하는값이다. 공분산비율 (covariance ratio) 은표준편차에영향을주는관측치를판단 하며 COVRATIO i = (Xt (i) X (i) ) 1 MSE (i) X t X 1 ) MSE 로계산된다. 영향력관측치는 COVRATIO i > 3p/n 을만족하는값이 다. DFBETAS j,i (difference in betas) 는 i 번째자료를제외할때 b j(i) 와포함 할때 b j 의변화를관찰하며 로계산된다. b i b j(i) DFBETAS i = MSE (i) (X t X) 1 jj 47

56 (a) 선도표회귀모형 (c) 도표 그림 5.1: 회귀분석설정 (b) 통계량 (d) 옵션

57 그림 5.2: 회귀분석 저장 49

58 (a) 전체모델분석결과 50 (b) 단계선택분석결과

59 제 6 장 비모수검정 (nonparametric analysis) 모집단의분포를알수없거나모집단이정규분포를따른다고가정할수없는경우에는모수적검정을사용할수없다. 이경우에자료의부호나순위로가설검정을실시하며이러한검정방법을비모수검정이라고한다 적합도검정 (goodness of fit test) 주어진자료가어떠한통계적모델을따른다고할수있는지검정하는방법으로범주형자료분석에서이미소개하였다. 이절에서주어진자료가특정한분포를따른다고할수있는지검정해보자. 이검정방법은 SPSS에서비모수검정 레거시대화상자 일표본 k-s 메뉴를선택한다. 검정방법은정규분포, 균일분포, 포아송분포, 지수분포등이있다. 1 귀무가설 H 0 : goodness of fit of a probability model ( 의미 : 어떤확률모델을따른다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 어떤확률모델을따르지않는다.) 사례 : 6.1. ( 정규성검정 ) 어떤자료가정규를따른다고할수있는지검정 해보자. 2 SPSS 로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 그림 6.1). 51

60 lym.ac.kr ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, 채 택 여부를 결정한다. 예를 들어 연구자가 연구자료의 정규성을 검정하기 위 하여 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.048(그 림 6.1(b))이라면 귀무가설(H0 )를 기각한다. 따라서 주어진 자료가 정규분포 를 따르지 않는다고 할만한 통계적 근거가 있으므로 단일표본 t 검정을 사용 할 수 없고 비모수 검정을 실시해야 한다. 사례 : 6.2. (정규성 검정 결과) 다음 자료는 어떤 12개 제품의 수명을 나타낸 것 이다(표 6.1). 이 자료는 정규분포를 따른다고 할 수 있는지 검정하여라. 그림 6.1의 출력결과 유의확률이 0.048이므로 이 자료는 정규분포를 따른다고 할 수 없다 al 5300 kan g 표 6.1: 정규성 검정 hm (a) 정규성 검정 설정 (b) 정규성 검정 결과 그림 6.1: 정규성 검정 6.2. 부호검정(sign test) 단일 집단의 분포가 정규분포를 따른다고 가정할 수 없는 경우 중앙값 θ를 θ0 로 할 수 있는지 검정하는 방법으로 SPSS에서 비모수 검정 레거시 대화 상자 이항 메뉴를 선택한다. 52

61 1 귀무가설 H 0 : θ = θ 0 ( 의미 : 어느집단의중앙값은 θ 0 이다.) 대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : θ > θ 0 ( 의미 : 어느집단의중앙값은 θ 0 보다크다.) 단측검정 대립가설 H 1 : θ < θ 0 ( 의미 : 어느집단의중앙값은 θ 0 보다작다.) 단측검정 대립가설 H 1 : θ θ 0 ( 의미 : 어느집단의중앙값은 θ 0 가아니다. 즉집단의중앙값은 0보다크거나 0보다작다 ) 양측검정사례 : 6.3. ( 부호검정 ) 표 6.1에서중앙값이 5210인지검정해보자. 귀무가설 H 0 : θ = 5210 ( 의미 : 제품수명의중앙값은 5210이다.) 이고대립가설은다음세가지중하나를연구자가정한다. 대립가설 H 1 : θ > 5210( 의미 : 제품수명의중앙값은 5210보다크다.) 대립가설 H 1 : θ < 5210( 의미 : 제품수명의중앙값은 5210보다작다.) 대립가설 H 1 : θ 5210( 의미 : 제품수명의중앙값은 5210이아니다. 즉 5210보다크거나 5210보다작다 ) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 그림 6.2). 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률 ( 양측 ) 이 0.039( 그림 6.2(b)) 라면 단측검정인경우는유의확률이 0.039/2=0.0185이므로귀무가설을기각 못하고 양측검정인경우도유의확률이 0.039이므로귀무가설을기각할수없다 표 6.2: 부호평가 53

62 lym.ac.kr (a) 부호 검정 설정 (b) 부호 검정 결과 그림 6.2: 부호 검정 6.3. Wilcoxon 부호 순위 검정(Wilcoxon signed rank al 분포를 알 수 없는 쌍으로 된 대응 표본의 차이 검정에 사용하며 SPSS에서 비모수 검정 레거시 대화 상자 대응 2-표본 메뉴를 선택한다. ① 귀무가설 H0 : = 0 (의미 : 어느 집단 차이의 중앙값은 0이다.) 대립가설은 다음 세 가지 중 하나를 연구자가 정한다. 대립가설 H1 : > 0(의미 : 어느 집단 차이의 중앙값은 0보다 크다.) 단측검정 kan g 대립가설 H1 : < 0(의미 : 어느 집단 차이의 중앙값은 0보다 작다.) 단측검정 대립가설 H1 : 6= 0(의미 : 어느 집단 차이의 중앙값은 0이 아니다. 즉 집단차의 중앙값은 0보다 크거나 0보다 작다) 양측검정 사례 : 6.4. (Wilcoxon 부호 순위 검정) 두 종류의 청량음료를 20명의 지 hm 원자에게 맛을 보게 한 다음 0에서 100점까지 점수로 평가하였다. 귀무가설 H0 : = 0 (의미 : 두 청량음료 점수 차이에 대한 중앙값은 0이 다.)이고 대립가설은 다음 세 가지 중 하나를 연구자가 정한다. 대립가설 H1 : > 0(의미 : 두 청량음료 점수 차이에 대한 중앙값은 0보 다 크다.) 54

63 lym.ac.kr 대립가설 H1 : < 0(의미 : 두 청량음료 점수 차이에 대한 중앙값은 0보 다 작다.) 대립가설 H1 : 6= 0(의미 : 두 청량음료 점수 차이에 대한 중앙값은 0이 아니다. 즉 0보다 크거나 0보다 작다) ② SPSS로 통계적 모델에 대하여 출력결과를 얻는다(그림 6.3). ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, 채 택 여부를 결정하고, 그 결과를 해석한다. 연구자가 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률(양측)이 0.042(그림 6.3(b))라면 단측검정인 경우는 유의확률이 0.021이므로 귀무가설을 기각 못하고 kan al 양측검정인 경우도 유의확률이 0.042이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. (a) Wilcoxon 부호 순위 검정 설정 (b) Wilcoxon 부호 순위 검정 결과 그림 6.3: Wilcoxon 부호 순위 검정 음료 부호순위 음료 음료 부호순위 hm 음료 1 표 6.3: 부호 순위 평가 55

64 6.4. McNemar 검정 McNemar 검정은명목형자료가 2 2 분할표로표현되는대응표본에대한검정이다. 이분석은 SPSS에서비모수검정 레거시대화상자 대응 2-표본메뉴를선택한다. 1 귀무가설 H 0 : p 12 = p 21 ( 의미 : 주변분포의확률은같다.) 대립가설 H 1 : p 12 p 21 ( 의미 : 주변분포의확률은같지않다.) 사례 : 6.5. (McNemar 검정 ) 경구용약이특별한질병에효과가있는지연구중이다. 이연구에서조사는약복용전질병유무와, 약복용후질병유무를조사하였다. 즉한사람에게두번검사하였다. 약복용전과복용후질병발병율이차이가있는지검정하자. 귀무가설 H 0 : p bp = p ap ( 의미 : 복용전질병 (bp) 발병율과복용후질병 (ap) 발병율은같다 ) 이고대립가설 H 1 : p bp p ap ( 의미 : 복용전질병 (bp) 발병율과복용후질병 (ap) 발병율은같지않다 ) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 그림 6.4). 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률 ( 양측 ) 이 ( 그림 6.4(b)) 이하이고, 양측검정인경우도유의확률이 이하이므로귀무가설을기각할수없다 Wilcoxon 순위합검정 (Wilcoxon rank sum test, Mann Whitney U test) 모수검정에서독립인두표본에대한검정은독립표본 t 검정을하였다. 그러나서로독립인두표본검정에서분포를모르거나분포의독립성을보장할수없을 때에는 Wilcoxon 순위합검정을실시해야한다. 이검정방법은 SPSS 에서비모수 검정 레거시대화상자 독립 2- 표본메뉴를선택하여분석할수있다. 1 귀무가설 H 0 : θ 1 = θ 2 ( 의미 : 두집단의순위평균은같다.) 대립가설 H 1 : θ 1 θ 2 ( 의미 : 두집단의순위평균은같지않다 ) 56

65 lym.ac.kr (a) McNemar 검정 설정 (b) McNemar 검정 결과 그림 6.4: McNemar 검정 사례 : 6.6. (Wilcoxon 순위합 검정) 두 식이요법 A와 B를 실시한 후, al 중의 증가율을 조사한 자료이다(그림 6.5(a)). 두 가설은 귀무가설 H0 : θ1 = θ2 (의미 : 두 식이요법의 순위 평균은 같다.)이고 대립가설 H1 : θ1 6= θ2 (의미 : 두 식이요법의 순위 평균은 다르다.) ② SPSS로 통계적 모델에 대하여 출력결과를 얻는다. ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, 채 kan g 택 여부를 결정하고, 그 결과를 해석한다. 연구자가 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.015(그 림 6.5(b)) 이므로 귀무가설을 기각한다. 즉 두 집단의 식이요법 결과 체중 증 가율이 다르다고 할 수 있다. 식이요법 hm 체중증가율 순위 식이요법 체중증가율 순위 A 방법 A 방법 A 방법 A 방법 A 방법 A 방법 B 방법 B 방법 B 방법 B 방법 B 방법 B 방법 B 방법 표 6.4: 순위합에서 순위 평가 57

66 lym.ac.kr (a) Wilcoxon 순위합 검정 설정 (b) Wilcoxon 순위합 검정 결과 그림 6.5: Wilcoxon 순위합 검정 6.6. Kruskal Wallis al 서로 독립인 세 지단 이상의 평균 비교는 분산분석으로 하였다. 그러나 정규성을 보장할 수 없어서 분포를 알 수 없는 경우에는 Kruskal Wallis 검정으로 세 집단의 분포비교를 한다. 이 분석방법은 서로 독립인 세 집단 이상에서 집단별 순위 평균 을 비교하는 검정방법이다. 순위는 모든 집단에 전체 순위를 계산하여 각 집단의 순위 비교로 SPSS에서 비모수 검정 레거시 대화 상자 독립 k-표본 메뉴를 선 택한다. kan g ① 귀무가설 H0 : θ1 = θ2 = = θk (의미 : k 집단의 순위 평균은 같다.) 대립가설 H1 : not H0 (의미 : k 집단 중 순위 평균이 같지 않은 집단이 있다.) 사례 : 6.7. (Kruskal Wallis 검정) 독일어 교육을 서로 다른 세 개의 집단 으로 나누고 교육이 끝난 후 시험을 보았다. 각 집단은 1은 교실에서 수업과 회화 실습실에서 실습을 병행 hm 2는 교실에서 수업 3은 학생 스스로 공부한 경우 두 가설은 귀무가설 H0 : θ1 = θ2 = θ3 (의미 : 세 집단 순위 평균은 같다.)이고 대립가설 H1 : not H0 (의미 : 세 집단 중 순위 평균이 같지 않는 집단이 있다.) ② SPSS로 통계적 모델에 대하여 출력결과를 얻는다(그림 6.6). 58

67 lym.ac.kr ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, 채 택 여부를 결정하고, 그 결과를 해석한다. 연구자가 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.035(그 림 6.6(b)) 이므로 귀무가설을 기각한다. 즉 세 집단의 순위 평균은 모두 al 고 할 수 없다. (a) Kruskal Wallis 검정 설정 (b) Kruskal Wallis 검정 결과 그림 6.6: Kruskal Wallis 검정 독립인 세 표본 순위 대응된 세 표본 순위 집단 1 집단 2 집단 3 ID 집단 1 집단 2 집단 kan g ID hm 표 6.5: 독립 표본과 대응 표본의 순위 평가 6.7. Cochran Q 검정 세 집단 이상의 대응 표본에서 관측할 수 있는 값이 성공, 실패와 같이 두 개인 경 우 각 집단의 비율이 같은지 비교하는 분석방법이다. 이 분석은 SPSS에서 비모수 검정 레거시 대화 상자 대응 k-표본 메뉴를 선택한다. 59

68 lym.ac.kr ① 귀무가설 H0 : p1 = p2 = = pk (의미 : k 집단의 성공 비율은 모두 같다.) 대립가설 H1 : not H0 (의미 : k 집단 중 성공 비율이 같지 않은 집단이 있다.) 사례 : 6.8. (Cochran Q 검정) 직물원단을 4 가지 방법으로 가공하여 방수 원단을 만들려고 한다. 6 종류의 원단으로 효율성을 검사하였으며 만족하면 1, 그렇지 않으면 0으로 평가하였다. 두 가설은 귀무가설 H0 : p1 = p2 = p3 (의미 : 세 집단의 성공 비율은 같다.)이고 대립가설 H1 : not H0 (의미 : 세 집단 중 성공 비율이 같지 않는 집단이 있다.) ② SPSS로 통계적 모델에 대하여 출력결과를 얻는다(그림 6.7). ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, al 택 여부를 결정하고, 그 결과를 해석한다. 예를 들어 연구자가 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.025(그림 6.7(b)) 이므로 귀무가설을 기각한다. 즉 세 집단의 성공 비율은 kan g 모두 같지 않다고 할 수 있다. (a) Cochran Q 검정 설정 (b) Cochran Q 검정 결과 hm 그림 6.7: Cochran Q 검정 6.8. Friedman 검정 세 집단 이상의 대응 표본의 중앙값을 비교하는 분석방법이다. 모수 검정에서 반복측정 분산분석(repeated measures ANOVA)이 있다. 이 분석 방법은 각 블 록(block)마다 순위를 계산하여 각 집단의 순위를 비교한다. 이 분석 방법은 SPSS 에서 비모수 검정 레거시 대화 상자 대응 k-표본 메뉴를 선택한다. 60

69 lym.ac.kr ① 귀무가설 H0 : θ1 = θ2 = = θk (의미 : k 집단의 순위 평균은 같다.) 대립가설 H1 : not H0 (의미 : k 집단 중 순위 평균이 같지 않은 집단이 있다.) 사례 : 6.9. (Friedman 검정) 8 마리의 쥐에게 0, 24, 72 시간 동안 굶기고 음식을 주었을 때 음식 소비량을 조사하였다. 굶긴 시간에 따라 음식 소비량 이 차이가 있는지 검정해 보자. 두 가설은 귀무가설 H0 : θ1 = θ2 = θ3 (의미 : 세 집단의 순위 평균은 같다.)이고 대립가설 H1 : not H0 (의미 : 세 집단중 순위 평균이 같지 않는 집단이 있다.) ② SPSS로 통계적 모델에 대하여 출력결과를 얻는다(그림 6.8). ③ 연구자는 SPSS 출력결과에서 유의확률을 확인하여 귀무가설(H0 )의 기각, al 택 여부를 결정하고, 그 결과를 해석한다. 연구자가 유의수준을 α = 0.05로 설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.001(그 림 6.8(b)) 이므로 귀무가설을 기각한다. 즉 세 집단의 순위 평균은 모두 같지 kan g 않다고 할 수 있다. hm (a) Friedman 검정 설정 (b) Friedman 검정 결과 그림 6.8: Friedman 검정 61

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71 제 7 장 범주형자료분석 자료의종류가몇개의범주로나누어진것을범주형자료라고부른다. 범주형자료에는 명목형자료 (nominal data) : 범주에가중치가없는자료 ( 예 : 남자, 여자 ; 강원도, 경기도, 충청도등 ) 순위형자료 (ordinal data) : 범주에가중치가있는자료 ( 예 : 상류층, 중류층, 하류층 ; 1급, 2급, 3급등 ) 이있으며, 자료의형태에따라분석방법이다른것들도있다 적합도검정 (goodness of fit test) 이검정법은통계적모델에자료가적합한지 Pearson χ 2 검정한다. 이경우각셀의값, 즉각해당범주의값이 5이상되어야근사확률이정확한확률에근접하며그렇지않은경우에는유의확률에대한보장이어렵다. 1 귀무가설 H 0 : goodness of fit of a probability model ( 의미 : k개범주의비율 은 p 1 = p 10, p 2 = p 20,..., p k = p k0 이다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : k개범주의비율은 p 1 = p 10, p 2 = p 20,..., p k = p k0 가아니다.) 사례 : 7.1. ( 적합도검정 ) 어떤나무의자가수정결과로나올수있는유전형태가세종류일때생물학에서유전적비율이 1 : 2 : 1로알려져있을때 100 개의나무에대하여적합도검정을실시해보자. 63

72 귀무가설 H 0 : p 1 = 0.25 : p 2 = 0.5 : p 3 = 0.25 ( 의미 : 나무의유전적비율은 1:2:1) 이고대립가설은 H 1 : not H 0 ( 나무의유전적비율은 1:2:1 이아니다.) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 그림 7.1). 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 사례 : 7.2. ( 적합도검정결과 ) 연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률이 0.27이라면 유의확률이 0.27이므로귀무가설을기각못하므로나무의자가수정비율은통계적으로 1:2:1이라고할수있다 독립성검정 독립성검정 (independence test) 은두집단이서로독립인지검정한다. 1 귀무가설 H 0 : P [i, j] = P [i] P [j] for all i, j ( 의미 : 두변수는서로독립이다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : 두변수는서로독립이아니다.) 사례 : 7.3. ( 독립성검정 ) 텔레비젼에방송되는오락물에대한사람들의의견이성별과관련있는지알아보려고 1250명을임의추출하여성별 ( 남성, 여성 ) 과오락물방영 ( 너무많다, 적당하다, 너무적다 ) 에대한의견을조사하였다. 성별에따른오락불방영에의견은서로연관성이있다고할수있는가? 귀무가설 H 0 : P [i, j] = P [i] P [j] for i = 1, 2j = 1, 2, 3 ( 의미 : 성별에따라 오락물방영에대한의견은서로관련없다.) 대립가설은 H 1 : not H 0 ( 성별에따라오락물방영에대한의견은서로관련있다.) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 그림 7.2). 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 64

73 al (b) 가중치 설정 kan g (a) 적합도 분석 메뉴 hm (c) 검정변수와 기대값 설정 (d) 출력결과 그림 7.1: 적합도 검정 65

74 사례 : 7.4. ( 독립성검정결과 ) 연구자가유의수준을 α = 0.05 로설정하고 SPSS 출력결과 유의확률이 0.270( 그림 7.2(f)) 이므로귀무가설을기각못하므로성별에 따른오락물방영비율은서로독립이다고할수있다. 독립성검정에서두변수의범주가모두두개일때, 즉 2 2 인경우두변수의연 관성 (association) 의척도로승산비 (odds ratio) 가있다. 승산 (odds) 은어떤실험에 서성공일확률을 p라할때 odds = p 1 p 이며, 승산이주어졌을때성공확률은 p = odds 1 + odds 이다. 두변수의성공일확률이 p 1, p 2 일때승산비는 p 1 1 p 1 odds 1 p 2 = odds 2 1 p 2 이다. 또한두변수에대한상대위험도 (relative risk) 는 p 1 = odds ratio 1 p 2 p 2 1 p 1 이다. 상대위험도는한변수에대하여두범주의성공비율을비교할수있을때는 명확한설명을제시한다. 예를들어남자의음주율과여자의음주율이몇배가차 이가있는지알아보려면쉽게계산되며그의미도이해할수있다. 그러나이값은 분모값에제약이있기때문에많이사용되지않는다. 그예로분모의확률이 0.5 라 면분자의최대값이 1 이고이값은 = 2 를넘을수없는단점이있다. 반면승산비는각승산 ( 성공비율 / 실패비율 ) 의비율을제시하기때문에직관적 인해석이어려울수있다. 그러나승산비 OR 은근사적으로평균이 log(or) 이고 분산이 σ 2 인정규분포를따른다고알려져있기때문에통계적유의성을평가할수 있다. 두그룹의승산이같다면승산비는 1 이다. 따라서승산비에대한귀무가설 H 0 : odds 1 = 1로설정한다. odds 2 X N(log(OR), σ 2 ) 위식에표준오차 (standard error) 는근사적으로 1 S.E = n 11 n 12 n 21 n 22 로알려져있다. 66

75 lym.ac.kr (b) 가중치 al (a) 독립성 검정과 가중치 (d) 카이제곱 통계량 hm kan g (c) 행과 열에 변수 입력 (e) 셀에 출력값 설정 (f) 출력결과 그림 7.2: 독립성 검정 67

76 사례 : 7.5. ( 오즈비검정 ) 음주율이남녀별연관성이있는지알아려고각성별마 다 100명씩조사한결과남자는 80명이지난주음주하였고여자는 30명이음주하 였다고하자 ( 표 7.1). 이때남여별음주가연관성이있는지알아보고만일연관성 이있다면얼마만큼차이가있는지알아보자. 지난주음주여부 음주 금주 합계 성별 남자 여자 합계 표 7.1: 승산비 1 귀무가설 H 0 : odds 1 = 1 odds 2 대립가설 H 1 : odds 1 1 odds 2 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 그림 7.3). 승산비설정는독립성검정단계중그림 7.2(d) 에서위험도메뉴를선택한 다 ( 그림 7.3). 3 그림 7.3(b) 에표 7.1 자료의출력결과가있으며남자음주율과여자음주율에 대한승산비는 9.333이며이통계량에대한 95% 신뢰구간은 (4.870, ) 이 다. 만일두승산비가통계적으로같다면신뢰구간에 1을포함할것이고같 지않다면 1을포함하지않을것이다. SPSS에서는유의확률을제공하지않 기때문에확인할수없으므로직접구해보면 [ ] 1 P Z log(9.333) = P [Z 6.731] = 이며, 통계적으로승산비가 1이아니라고할만큼매우큰유의성을가진다. 주어진변수가 3 개이고 2 2 k 인범주형자료에대하여알아보자. 이경우는 2 2 보 다분석할것이 68

77 lym.ac.kr (a) 승산비 설정 (b) 승산비 출력결과 그림 7.3: 승산비 al k 개 집단별 2 2에 대한 분할표 k 개 집단별 2 2에 대한 독립성 검정 k 개 집단별 2 2에 대한 승산비 검정 전체 승산비에 대한 동질성 검정 전체 승산비에 대한 독립성 검정 kan g 전체 공통 승산비에 검정 이다. 다음 예를 보자. 사례 : 7.6. (오즈비 검정(2 2 k)) )중국 8개 도시를 대상으로 흡연과 폐암에 대 한 자료이다. 이 분석에 변수 설정은 그림 7.4(a), 통계량 설정은 그림 7.4(b)를 참 조한다. hm 각 도시별 2 2에 대한 분할표(그림 7.4(c)) 각 도시도시별 2 2에 대한 독립성 검정(그림 7.4(d)) 각 도시별 2 2에 대한 승산비 검정(그림 7.4(e)) 전체 승산비에 대한 동질성 검정(그림 7.4(f)) 전체 승산비에 대한 독립성 검정(그림 7.4(f)) 전체 공통 승산비에 검정(그림 7.4(f)) 69

78 (a) 각집단을레이어에추가 (c) 분할표출력 (b) 통계량설정 (d) 각집단의카이제곱통계량 (e) 각집단의승산비 (f) 레이어전대상의통계량 그림 7.4: 승산비검정 (2 2 k) 70

79 7.3. 동일성검정 동일성검정 (homogeneity test) 은반응변수집단의범주에대하여모집단을부그룹 (subgroup) 로나눈경우부그룹의비율이모두같은지검정한다. 1 귀무가설 H 0 : P A1 = P B1,..., P Ak = P Bk ( 의미 : k 개반응변수마다부그룹 (A, B) 의비율은모두같다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : k 개반응변수마다부그룹 (A, B) 의비율은같지않다.) 사례 : 7.7. ( 동일성검정 ) 두가지식이요법을비교하기위하여 150명환자를임의로두집단으로 80명과 70명으로나눈후한집단에는식이요법 A를다른집단에는식이요법 B를적용한후건강상태를세가지범주 ( 좋음, 보통, 않좋음 ) 로나누었을때환자의건강상태에따른식이요법비율이같은지검정해보자. 귀무가설 H 0 : P A1 = P B1, P A2 = P B2, P A3 = P B3 ( 의미 : 환자의건강상태에따른식이요법비율은모두같다.) 대립가설은 H 1 : not H 0 ( 환자의건강상태의마다식이요법비율은모두같지않다.) 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 출력과정은독립성검정과같음 ). 3 연구자는 SPSS 출력결과에서유의확률을확인하여귀무가설 (H 0 ) 의기각, 채택여부를결정하고, 그결과를해석한다. 사례 : 7.8. ( 동일성검정결과 ) 연구자가유의수준을 α = 0.05로설정하고 SPSS 출력결과유의확률이 0.16이라면 유의확률이 0.16이므로귀무가설을기각못하므로통계적으로환자의건강상태의범주비율은식이요법마다모두같다고할수있다 likelihood ratio test 우도비검정 (likelihood ratio test) 은귀무가설 H 0 와대립가설 H 1 의두모델의적 합성을비교하는통계적가설검정법으로범주형자료에서도당연히적합도를검정 71

80 할수있다. 통계적모델에대한적합성을검정하기위한검정통계량을 deviance 라 고하며이값은 D = 2 log ( LH0 L max 로나타낸다. 여기서 L은우도함수 (likelihood function) 이며통계량은 χ 2 (df) 분포를따른다. 여기서가설은부모집단 (subgroup) 에대하여 1 귀무가설 H 0 : goodness of fit of a probability model ( 의미 : k개범주의비율은 p 1 = p 10, p 2 = p 20,..., p k = p k0 이다.) 대립가설 H 1 : not H 0 ( 의미 : k개범주의비율은 p 1 = p 10, p 2 = p 20,..., p k = p k0 가아니다.) 사례 : 7.9. ( 우도비검정 ) 표 7.2에우도비를검정할자료로각범주는근로자의독소노출상태와천식증상이다. 독소노출에따라천식증상이연관이있다고할수있는가? 독소노출없음보통강함천식증상없음 있음 표 7.2: 우도비검정 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 출력과정은독립성검정과같음 ). 표 7.2에서 L H0 는 L(p, p, p) = pq 9 p 2 q 3 p 7 q 3 = p 10 q 15 이고 L Hmax 는 L(p 1, p 2, p 3 ) = p 1 q1 9 p 2 2q2 3 p 7 3q3 3 ( ) LH0 이다. 여기서 p 1 = 0.1, p 2 = 0.4, p 3 = 0.7이다. 따라서 log L max 는 log L H0 log L max = 10 log p + 15 log q (log log log log log log 0.3) = ) 72

81 여기서 p = 15 25, q = 이다. 따라서 deviance likelihood χ2 통계량은 χ 2 = 2 ( ) = 이며, 이때유의확률은 이다. SPSS로실행해보면이값이같음을확인할수있다. 3 유의확률이 이므로귀무가설을기각한다. 따라서천식정도는독소노출정도에따라다르다고할수있다. SPSS에서분석과정및출력결과는독립성검정과같으므로생략한다 linear by linear association 선형대선형결합 (linear by linear association) 은범주형자료가순위형 (ordinal) 자료인경우두변수에대한연관성을검정한다. 이경우 Pearson χ 2 과는달리셀의갯수가 5보다작더라도관계없다는면에서유용하게사용할수있다. 이분석방법은로그선형모델에서계수에대한검정으로통계적인모델은 log µ ij = λ + λ X i + λ Y j + βu i v j 이며, 각범주는 u 1 u 2 u I, v 1 v 2 v I 이다. 분석과정은 1 귀무가설 H 0 : β = 0 ( 의미 : 두범주는서로연관성이없다.) 대립가설 H 1 : β 0 ( 의미 : 두범주는서로연관성이있다.) 사례 : ( 선형대선형결합 ) 표 7.3에 10대여성의출생제한과미성년자성관계에대한조사결과가있다. 10대여성의출생제한과미성년자성관계가서로연관성이있는지알아보자. 2 SPSS로통계적모델에대하여출력결과를얻는다 ( 출력과정은독립성검정 과같음 ). 3 분석결과유의확률이 미만이므로귀무가설을기각한다. 즉 10대여성의출생제한과미성년자성관계는의견은서로연관성이있다고할수있다. SPSS 에서분석과정및출력결과는독립성검정과같으므로생략한다. 73

82 미성년자성관계 10 대출생제한매우반대반대찬성매우찬성 항상잘못됨 거의잘못됨 가끔잘못됨 전혀잘못없음 표 7.3: 선형대선형결합

83 제 8 장 표본수 (sample size) 구하기 현재각분야에서연구자가주장하려는가설을입증하려면많은경우에있어서표본을추출하여예전연구결과와현재연구결과가차이가있는지또는대조군과처리군이다른지통계분석을실시한다. 이때표본을어느정도추출해야통계적신뢰도를보장받는가가주된관심이다. 이장에서는표본수를계산하는방법에대하여소개한다. 표본수를계산하는프로그램은 연구논문 연구논문 통계프로그램 ( 무료 ) 통계프로그램 ( 무료 ) SPSS SamplePower 통계프로그램 ( 유료 ) 등이있다. 통계적가설검정계산에사용하는몇가지용어를소개하고그림 8.1에나타내었다. 귀무가설 (null hypothesis;h 0 ) : 이미전에연구자가입증한가설대립가설 (alternative hypothesis;h 1 ) : 연구자가연구결과입증하려는가설로귀무가설이아닌가설 75

84 유의수준 (significance level;α) : 연구자가귀무가설이옳은데도잘못하여귀무가설을기각하는오류의최대허용한계의확률로많은경우 0.05로설정기각역 (rejection region for H 0 ) : 유의수준에서귀무가설을기각하는영역유의확률 (probability value) : 데이터에서구한검정통계량이귀무가설이옳은데도잘못하여귀무가설을기각하는오류의확률검정통계량 (test statistic) : 귀무가설의기각, 채택여부판정할때사용하는통계량으로관측한데이터에서계산제 1종의오류 (type I error; α) : 유의수준과동일한의미제 2종의오류 (type II error;β) : 귀무가설이옳지않을때귀무가설을기각하지않는오류의확률검정력 (power;1 β) : 귀무가설이옳지않을때귀무가설을기각하는오류의확률 H 0 : µ = µ 0 β H 1 : µ = µ a µ 0 µ a acceptance region for H 0 rejection region for H 0 σ c = µ 0 + z α n σ = µ a z β n 그림 8.1: H 1 : µ > µ 0 일때 사례 : 8.1. ( 단일표본평균검정 ) 초콜렛제품의무게는평균 260g, 표준편차가 10g으로알려져있다. 이초콜렛은두개의공장에서만든다고하자. 각공장마다 20개씩표본을추출한결과, A 공장에서만든초콜렛의평균이 262.9g 이었고, B 공장은 264.7g 이었다. 각공장에서만든초콜렛은평균이 260g이라고할수있는가? 아니면 260g보다크다고할수있는가? 위에서주어진모수와통계량으로계산한결과가그림 8.2에있다. 여기서초콜렛의무게가 260g 보다크다고할수있는값, 즉통계적으로유의하다고판단할수 α 76

85 있는기각역은과자의평균무게가 264.7g 보다크면되겠다. 따라서 A 공장은통계 적으로유의하지않고, B 공장은통계적으로유의하다. 즉 A 공장의초콜렛평균 는예전평균 260g 보다크다고할수없고, B 공장의초콜렛평균 은예 전평균 260g 보다크다고할수있다 그림 8.2: H 1 : µ > µ 0 일때 8.1. 단일표본평균에대한표본수 단일표본인경우평균에대하여관심이있을때표본수를구하는방법에대하여알 아보자. 귀무가설 H 0 : µ = µ 0 vs 대립가설 H 1 : µ µ 0 일때, 즉양측검정 (two sided) 인경우표본수는 제 1 종의오류 (type I error, α) 만고려하는경우는 로구할수있다. 여기서 z 1 α/2 는정규분포분위수, α 는제 1 종의오류 σ 는표준편차 n = z2 1 α/2 σ2 d 2 (8.1) d = X µ 는표본평균 ( X) 과모집단의평균 (µ) 차 이다. 제 1 종의오류 (type I error, α) 와제 2 종의오류 (type II error, β) 모두고려 할때정규분포를사용하는경우에는 n = (z 1 α/2 + z 1 β ) 2 σ 2 (µ 0 µ a ) 2 (8.2) 77

86 로구할수있다. 여기서 z 1 α/2 는정규분포분위수, α 는제 1 종의오류 z 1 β 는정규분포분위수, β 는제 2 종의오류 σ 는표준편차 µ 0 는귀무가설 H 0 에서설정한평균, µ a 는대립가설 H 1 에서설정한평균 이다. 그림 8.3 에는모집단이정규분포라고가정할때, α 와 β 를모두고려한 경우의기각역과채택역을나타내었다. H 1 : µ = µ a H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ = µ a α/2 β α/2 µ a µ 0 µ a rejection region for H 0 acceptance region for H 0 rejection region for H 0 t 분포로표본수계산은 이다. 여기서 c 그림 8.3: H 1 : µ µ 0 일때 c n = (t n 1;1 α/2 + t n 1;1 β ) 2 S 2 (µ 0 µ a ) 2 (8.3) t n 1;1 α/2 는 t 분포분위수, α 는제 1 종의오류 t n 1;1 β 는 t 분포분위수, β 는제 2 종의오류 S 는표준편차 µ 0 는귀무가설 H 0 에서설정한평균, µ a 는대립가설 H 1 에서설정한평균 이다. 정규분포분위수 z 1 α/2, z 1 β 와 t 분포분위수 t n 1;1 α/2, t n 1;1 β 는엑셀을이용 하여구할수있다. 엑셀에서정규분포분위수계산은 78

87 NORMSINV(probability) 함수이며, 입력값은 probability : 확률 이다. 양측검정에서유의수준 α = 0.05 로설정하였으면 z 1 α/2 = z 이므로다 음과같이입력하여구한다. =NORMSINV(0.975) t 분포분위수계산은 TINV(probability, d.f ) 함수이며, 입력값은 probability : 확률로입력할확률이 p 이면 (1 p) 2 를입력한다. d.f : 자유도 이다. 단일표본양측검정에서유의수준 α = 0.05 이고자료수가 10 개이면 t n 1;1 α/2 = t 0.975,9 이므로확률은 이고 ( ) 2 = 0.05 로계산하여다음과같이 입력한다. =TINV(0.05,9) t 분포인경우표본수 n 이양변에모두포함되어있기때문에직접계산을어 렵고수치해석방법으로해를구할수있다. 엑셀을사용하는경우에는목표값찾 기로구하고 ( 그림 8.4) 통계프로그램 R 에서는 power.t.test 함수를사용한다. 이 함수를사용한예는사례 : 8.2 에있다. 귀무가설 H 0 : µ = µ 0 vs 대립가설 H 1 : µ > µ 0 일때, 즉단측검정 (one sided) 인 경우표본수는 n = (z 1 α + z 1 β ) 2 σ 2 (µ 0 µ a ) 2 (8.4) 로구할수있다. 귀무가설 H 0 : µ = µ 0 vs 대립가설 H 1 : µ < µ 0 인경우도식 (8.4) 에서구한표본수계산식과동일하다. 만일선행연구가없는경우는단측검정결과보다양측검정결과를사용하는 것이적합하다고할수있다. 그래서이후에소개하는표본수는양측검정만소개 하고단측검정은소개하지않았다. 만일단측검정으로표본수를구하려면 α/2 값 을 α 로대치하여계산하면된다. 79

88 사례 : 8.2. ( 단일표본평균의표본수 ) 환자를대상으로한연구에서처음 MMSE 의복용전과복용후차이의평균이 3.3 점으로알려져있다. 이때복용전점수와 복용후점수차이에대한표준편차는 5.1, 유의수준 α = 0.05, 검정력 1 β = 0.8 일 때표본수는얼마인가? 식 (8.2) 의정규분포로구하면 n = ( ) = 계산결과 19 명이상표본을추출하면된다. 식 (8.3) 의 t 분포로구하면 n = (t n 1;1 0.05/2 + t n 1;0.8 ) = (8.5) 계산결과 21 명이상표본을추출하면된다. 계산식 (8.5) 에서표본수 n 이등식의양 쪽에모두포함되어있어서직접계산은어렵고다음과같이컴퓨터로계산한다. 첫번째, 엑셀로 t 분포의표본수계산은목표값찾기를사용한다. 이메뉴는 수치해석중 Newton Rapshon 방법으로해를구하는것으로, 예를들어 f 1 (x) = x 1, f 2 (x) = (x 1) 2 두식의해를구할때 f 1 (x) f 2 (x) < 10 4 조건을만족하 는값 x 를해로찾는것이다. 1. 주어진조건및계산식은그림 8.4 을참조하여엑셀에다음과같은순서로입 력한다. 유의수준 α = 0.05 : A9 셀에 0.05 입력한다. 제 2 종의오류 (1 검정력 )β = 0.2 : B9 셀에 0.2 입력한다. t 분포분위수 t n 1;1 0.05/2 : C9 셀에 =TINV(A9,H9-1) 입력한다. 엑셀 에서 t 분포분위수값은확률이 p 일때 (1 p) 2 를입력하므로확률 이 /2 = 일때 ( ) 2 값 0.05 를입력한다. t 분포분위수 t n 1;0.8 : D9 셀에 =TINV(B9*2,H9-1) 을입력한다. 검정력 이 0.8 이므로 (1 0.8) 2 값 0.4 를입력한다. 표준편차 s = 5.1 : E9 셀에 5.1 입력한다. 귀무가설 대립가설 δ = 3.3 : F9 셀에 3.3 입력한다. 계산식 (8.5) 의왼쪽값 n : G9 셀에초기값 3 을입력한다. 주의사항으로 계산식 (8.5) 의왼쪽값 n 은표본수를찾기위한초기화값으로 t 분포 에서자유도를 3 이상권장한다. 80

89 계산식 (8.5) 의가운데식 : 식 (8.3) 에해당값을입력한다. H9 셀에는셀참조하여 =(C9+D9)^2*E9^2/F9^2를입력한다. 그림 8.4(a) 의수식입력줄에서확인할수있다. 왼쪽 n 가운데식 : I9 셀에 =ABS(G9-H9) 입력한다. 여기서계산식 (8.5) 의가운데식과 왼쪽 n 가운데 값은각값을직접입력하지않고이미입력된각셀의값을셀참조 1 하여입력한다. 2. 데이터 데이터도구 가상분석 목표값찾기메뉴선택 ( 그림 8.4(a)) 3. 목표값찾기창에 (a) 수식셀에는 왼쪽 n 가운데식 인 H9 클릭한다. (b) 찾는값에는두식의차이 0을입력한다. (c) 값을바꿀셀에는구할표본수 n인 G9를클릭한다. (d) 확인버튼을클릭한다 ( 그림 8.4(a)). 4. 그림 8.4(b) 에서목표값을찾은결과를확인할수있다. 두번째는통계자료분석프로그램인 R로표본수를계산하였다. > power.t.test(sd=5.1,delta=3.3,type="one.sample", alternative="two.side",power=.8,sig.level=0.05) One-sample t test power calculation n = delta = 3.3 sd = 5.1 sig.level = 0.05 power = 0.8 alternative = two.sided 1 다른셀에입력된값을현재셀에서작업중클릭하여해당셀의값을참조하는것을말한다. 예 로 A1 셀에 4 가입력되었을때 B1 셀에 = 입력후 A1 셀을클릭하면 B1 셀에 4 가나타난다. 81

90 al (a) 엑셀 목표값 찾기 설정 kan g (b) 엑셀 목표값 찾기 결과 그림 8.4: 엑셀 목표값 찾기 8.2. 독립인 두 표본 평균 차이에 대한 표본수 독립인 두 표본의 평균 차이에 대한 표본수는 귀무가설 H0 : µ1 µ2 = 0 vs 대립가설 H1 : µ1 µ2 6= 0일 때, 즉 양측검정(two sided)인 경우 정규분포로 계산하면를 사 hm 용한 표본수는 n= (σ1 + σ2 )2 (z1 α/2 + z1 β )2 (µ1a µ2a )2 이다. 여기서 z1 α/2 는 정규분포 분위수, α는 제 1종의 오류 z1 β 는 정규분포 분위수, β는 제 2종의 오류 σ1 과 σ2 는 각 집단의 표준편차 82 (8.6)