소수의아름다움 양재현 ( 인하대학교 ) 자연수가인간의실생활에서중요하다는사실을누구나인정할것이다. 그러면우리인간은자연수의성질을알아야할필요가있다. 자연수는소수들의곱으로나타낼수있다는사실을쉽게알수있다. 여기서소수란약수가 1과자기자신뿐인수이다. 예를들면, 2, 3, 5, 7, 1

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경실 궁
5 years ago
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1 소수의아름다움 양재현 ( 인하대학교 ) 자연수가인간의실생활에서중요하다는사실을누구나인정할것이다. 그러면우리인간은자연수의성질을알아야할필요가있다. 자연수는소수들의곱으로나타낼수있다는사실을쉽게알수있다. 여기서소수란약수가 1과자기자신뿐인수이다. 예를들면, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 은소수이며 2 는짝수인유일한소수이다. 자연수를이해하기위해서는소수를철저하게이해해야한다. 따라서소수가수의기본이된다는사실을인정할것이다. 오늘의강연은소수의아름다움, 심오함과신비성을잘설명하고있는리만가 설 (Riemann Hypothesis) 과골드바하가설 (Goldbach Conjecture) 에관한이야기 와이와관련된여러흥미로운문제들을소개한다. 먼저리만가설에관한역사적인배경과내용에관하여간략하게설명하겠다. 오래전부터위대한수학자들은소수의신비와분포에관하여연구하여왔다. 1859년에리만 1) 은베를린학술원의회원으로선정되었다. 베를린학술원의헌장에의하면, 새로이선출된회원은반드시최근의연구업적을보고하게되어있었다. 그래서리만은 주어진수보다작은소수의개수에관하여 (On the number of primes less than a given magnitude) 의제목으로보고서를학술원에제출하였다.( 참고문헌 [16] 참조 ) 그는이보고서에서리만제타함수의성질들을열거하고소위, 리만가설을제시하였다. 이미이전에소수의분포에관하여오일러 2), 르장드르 3), 가우스 4) 등의위대한 수학자에의하여연구되었다. 오일러는소수의분포를연구하기위하여아래의 제타함수 (1) 단 는실수 1) Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) : 리만의일생과업적에관해참고문헌 [14] 을참고할것. 2) Leonhard Euler ( ) : 스위스수학자. 금년에탄생 300 주년을맞이하여스위스와러시아에서많은국제학술회의및여러행사가거행되었음. 3) Adrien Marie Legendre ( ) : 프랑스수학자. 4) Carl Friedrich Gauss ( ) : 위대한독일수학자

2 를공부하였다. 그는 (2) 의관계식을보였다. 여기서 는모든소수 들의무한곱을나타낸다. 관계식 (2) 는 오일러곱 (Euler product) 이라고불린다. 이사실로부터소수의개수가무한임을알수있다. 를주어진양의실수라고하고 p Z p x p 는소수 라고하자. 여기서 수를나타낸다. 가우스는 는모든자연수들의집합을나타내고 는집합 의개 (3) lim log 일것이라는추측을제시하였다. 르장드르, 가우스와같은위대한수학자들이 (3) 을증명하려고시도하였지만실패하였다 년에체비쉐프 5) 는논문집 Memoires de l Academie des Sciences de Saint Petersburg 에서 (4) log 의등식을증명하였다. ( 단, 이고 임 1850년경에리만은 (1) 에서실수변수 뿐만아니라복소수변수 까지생각하였다. 그는 Re 을만족하는영역에서 는해석적함수이고해석적접속 (analytic continuation) 을지님을증명하였다. 게다가논문 [16] 에서그는 의함수방정식을발견하였을뿐만아니라 5) Pafnuti L'vovich Chebyshev ( ) : 러시아수학자

3 단 은자연수 임을증명하고 (RH) 의다른영점 (zero) 은모두 Re 의선상에놓여있다. 라는사실을추측하였다. 그러나리만은이추측을증명하지않았다. 그의사후에제타함수 는 리만제타함수 (the Riemann zeta function) 라고불렸고주장 (RH) 는 리만가설 이라고불렸다. 그후프랑스수학자 Jacques Hadamard ( ) 와벨기에수학자 Charles de la Vallée-Poussin ( ) 등과같은유명한수학자들이리만가설을해결하려고하였지만실패하였다. 아직까지도이가설은풀리지않고있다. 1941년에프랑스수학자베이유 6) 는함수체 (function field) 인경우에 (RH) 를증명하였고, 1949년에유한체 (finite field) 상에서정의되는대수다양체의제타함수에대하여 (RH) 와유사한소위, 베이유가설 (Weil conjecture) 을제시하였다.( 참고문헌 [20] 과 [21] 참조 ) 그후, 1974년에벨기에수학자델리네 7) 가매끄러운사영다양체 (nosingular projective variety) 인경우에베이유가설이옳다는것을증명하였다.( 참고문헌 [3] 참조 ) 이업적과하지이론의업적으로델리네는 1978년에수학의노벨상인필즈상을수상하였다. 1980년에일반적인다양체 (complete variety) 인경우에베이유가설이진실이라는사실을증명하였다.( 참고문헌 [4] 참조 ) 리만가설은정수론분야에서중요한 소수정리 (the Prime Number Theorem) 와아주밀접한관계가있다. 가령, 주장 (3) 은 단 인실수 이라는주장과동치이다. 리만가설의내용을어느정도이해하기위해서는우선, ( ㄱ ) 복소수 (complex number) 의개념 ( ㄴ ) 해석적 ( 解析的 ; analytic or holomorphic) 함수의개념 ( ㄷ ) 유리형 (meromorphic) 함수의개념 ( ㄹ ) 해석적접속 (analytic continuation) 의개념 등의기본적인여러개념을알아야한다. 복소수의개념은여러분모두가잘알 고있기때문에설명은생략하겠다. 복소함수 가 의근방에서극한값 6) André Weil (1906~1998) : Wolf 상을수상하였음. 시카고대학과고등연구소교수를역임하였음. 7) Pierre Deligne (1944~ ) : 1978 년에필즈상을수상한벨기에수학자. 현재고등연구소교수로재임

4 lim 을가질때함수 는 에서해석적이다라고한다. 영역 (a region) 의모든점에서복소함수 가해석적일때 는 상에서해석 적이다라고한다. 그리고 단 와 는해석적함수이고 임 의형태의함수를유리형함수라고한다. 복소함수 가 의근방에서 ( 단, 임 ) 의형태로나타낼수있을때함수 는 에서 계의극점 or 을갖는다고한다. 이제부터 C 는복소평면즉, 복소수전 체의집합을나타내기로한다. 영역 C 에서정의되는해석적함수 가주어져있다고하자. 를포함하는영역 상에유리형함수 가 존재하여 상에서는 일때함수 를 의해석적접속이라고 한다. 예를들면, 기하급수로주어지는함수 는중심이원점인단위원내부 C 에서정의되는해석적함수 이다. 그런데함수 는 C 상에서정의되는해석적 함수이며 상에서는 이다. 그러므로 적접속이라말할수있다. 를 의해석 도움말 : (a) 1737 년에오일러는자연대수 단 가무리수임을증명하였고, 1873 년에프랑스수학자 Charles Hermite ( ) 는자연대수 가초월수임을증명하였다. (b) 단 는실수 가복소수이고 일때 Re 즉 의실수부분 Im 즉 의허수부분 cos sin ln 와같이정의한다. 가령, 이자연수일때 ln 이다

5 (c) 일때무한급수 는수렴한다. 그리고무한급수 는발산한다. (d) z C Re z 이라놓으면 는 domain(open and connected set) 이다. 제타함수 는 상에서절대수렴하며 Weierstrass- 테스트에의하여 는해석적함수이다. 리만은다음의정리를증명하였다. 정리 1. (1) 는전복소평면상으로해석적으로접속이가능하며 에 서만단순극점 (a simple pole) 을지니며이의 residue 는 1 이다. (2) 리만제타함수는 (FE) 와같은함수방정식을만족한다. 여기서 단 Re 으로정의되며 는해석적접속을지닌다. (3) 단 은자연수 이제, 리만제타함수의성질을열거하겠다. 에관한참고문헌으로 [10,11, 12, 15] 을소개한다. (R1) Re 이면 이다. (R2) Z 가자연수일때 B k k 이다. 여기서 는 - 5 -

6 으로정의되는베르누이 (Bernoulli) 수이다. 가령, (R3) Z 가자연수일때 이다. 단, 는 개중에서 개를뽑는경우의수이다. 즉, (R4) 이다. 여기서 lim log 은오일러상수이다. 아직까지도오일러상수가무리수인지초월수인지를 모르고있다. (R5) 단, 리만가설 (RH) 는아직까지도증명되지않았다. 리만가설을해결하기위해노르웨이수학자셀버그 8) 는 1950년경에소위, 셀버그트레이스공식 (trace formula) 을창안해내었다. 이트레이스공식은매우심오하고아름다운이론으로 Lie 군의표현론, 보형형식론, 수리물리, 미분기하학등의분야에응용되었다 ( 참고문헌 [10, 17, 19, 22, 23]). 지난 10여년전에는독일수학자데닝어 9) 는코호모로지접근방법으로 motivic -함수의여러성질들을유도하였으며이의리만가설을 8) Alte Selberg ( ) : 보다자세한것은부록을참조할것. 9) Christopher Deninger (1959 ) : 독일수학자 년 ICM 에서기조강연을하였음

7 해결하려고시도하였다 ( 참고문헌 [5, 6, 7]). 물론, motivic - 함수또는 motivic 제타함수는리만제타함수의경우를일반화한함수이다 ( 참고문헌 [13]). 함수 Z Z 를아래와같이정의하자. 임의의 Z 에대하여 단 들은소수이며같을수가있다 이면 i f prime i f and i f and 가령, 임을쉽게알수있다. 함수 Z Z 를 으로정의한다. 정리 2. (RH) is true iff grows no faster than a constant multiple of as for any 이정리는오래전에증명되었다. 2004년에 Xavier Gourdon과 Patrick Demichel 은 Odlyzko-Schönhage 계산법을이용하여 1조개이상의리만제타함수의영점을발견하였다. 리만의유고집에의하면리만이첫여섯번째까지의영점을계산하였다고전해지고있다. 리만의유고집을검토한후지겔 10) 은소위리만-지겔공식 (the Riemann-Siegel Formula) 을발견하였다 ( 참고문헌 18]). 이공식의중요성이 40여년이지나서야밝혀졌다. 이공식에기반을두고많은사람들이 의영점을발견하는계산법을개발하여왔다. 아래에재미있는말을인용한다. I don't believe in God, but I believe in the Riemann Hypothesis. For the latter there are more than 400,000,000,000 reasons to believe. -Manoj Verma- 10) Carl Ludwig Siegel ( ) : 독일의위대한수학자. 첫번째 Wolf 상을수상하였음. 괴팅겐대학과프린스턴고등연구소교수를역임하였음

8 가양수일때 를사각형 Re Im 안에있는 의 영점들의개수라고하자 년에 H. von Mangoldt ( ) 는 log log log 와같은점근공식을얻었다. 그리고리만제타함수는 의무한곱관계식을만족한다. 여기서, 는상수이고 는 의자명하지않 는모든영점들의곱을나타낸다. 이제소수가어떻게분포되어있는가를살펴보자. 가령, 9,999,900 과 10,000,000 사이에는 9,999,901 ; 9,999,907 ; 9,999,929 ; 9,999,931 ; 9,999,937 ; 9,999,943 ; 9,999,971 ; 9,999,973 ; 9,999,991 와같이 9 개의소수가있다. 그런데 10,000,000 과 10,000,100 사이에있는소 수는 10,000,019 ; 10,000,079 밖에없다. 이예에서보듯이소수의분포에관하여무엇이라말할수없는입장 이다. (9,808,358 자리수 ) 이지금까지알려진가장큰소수이다. 이소수는 2006 년 9 월 4 일에 Curtis Cooper 와 Steven Boone 에의해발견되었으며, 44 번째 Mersenne 소수이다. 그 리고 Mersenne 소수가아니며알려진가장큰소수는 (3,918,990 자리수 ) - 8 -

9 이다. 소수정리 3. (3) lim log J. Hadamard, de la Vallée-Poussin, A. Selberg 등의수학자들에의하여상기 의소수정리가증명되었다. 이의증명과정에서리만제타함수 의자명하지 않는영점 (zero) 들이모두 축과 직선사이에있다는사실을사용하고있 다. 그래서소수정리는리만가설 (RH) 와매우밀접한관계가있음을알수있 다. 또, 우리는 (5) ~ log 임을증명할수있다. (5) 로부터소수정리와리만제타함수의이론과어느정도 연관되어있음을어렴풋이알수있다. 정리 4. 소수정리는 단 인실수 이라는주장과동치이다. 정리 4 로부터소수정리와리만제타함수와는아주밀접한관계가있음을재확인 할수있다. 만약에리만가설 (RH) 가진실이라면, 우리는소수의분포에관한 보다자세하고구체적인정보와지식을얻을수있다. 예를들어, 다음의흥미로운문제를생각하여보자. 문제 A. 단 은자연수 의형태의소수의개수가무한개인가? 예를들면, 등은 형태의소수이다. 디리클레 11) 의정리. 와 이서로소인자연수라고하자. 그러면, ( 단, 은자연수 ) 의형태의소수의개수는무한이다. 그래서문제 A 는디리클레의정리에의하여해결된다. 11) Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ) : 수론을연구한독일수학자

10 이제골드바하가설에관한역사적인배경과이가설과관련된여러최근 의놀랄만한결과들을소개하겠다 년 6 월 7 일에프러시아수학자골드바흐 12) 는 (6) 5 보다큰자연수는세개의소수들의합으로나타낼수있다 라고추측하는내용이담긴편지를스위스수학자오일러에게보냈다. 예를들면, 6=2+2+2, 7=2+2+3, 8=2+3+3, 9=3+3+3, 10=2+3+5, 11=3+3+5, 12=2+5+5, 13=3+5+5, 14=2+5+7, 15=3+5+7, 16=2+3+11=2+7+7, 17=3+3+11=3+7+7, 18=2+5+11, 19=3+5+11=5+7+7, 20=2+7+11, 21=3+7+11=5+5+11=7+7+7, 22=2+3+17=2+7+13, 등이다. 오일러는이편지를받은후이문제에흥미를가지며 (7) 2 보다큰짝수는두개의소수의합으로나타낼수있다 라는가설을내놓았다. 가령, 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5, 12=5+7, 14=3+11=7+7, 16=3+13=5+11, 18=5+13=7+11, 20=3+17, 22=5+17=11+11, 24=5+19=7+17=11+13, 26=13+13=7+19, 28=11+17, 등이다. 주장 (6) 을삼변수 (ternary) 골드바흐가설이라하고주장 (7) 을이변수 12) 크리스쳔골드바흐 [Christian Goldbach ( )] : 프러시아 ( 지금은러시아 ) 수학자. 수론연구에많은업적을남겼음

11 (binary) 골드바흐가설이라고부른다. 주장 (7) 이우리가지금까지익히알고있 는골드바흐가설이다. 또한우리는 (8) 9 보다큰홀수는세개의홀수인소수의합으로나타낼수있다 라는추측을약한 (weak) 골드바흐가설이라한다. 예를들면, 11=3+3+5, 13=3+3+7=3+5+5, 15=3+5+7=5+5+5, 15=3+5+7=5+5+5, 17=3+7+7=5+5+7, 등이다. 약 260년이지난지금까지도골드바흐가설은풀리지않았다! 유명한전문수학자들뿐만아니라아마추어수학자들이이가설을풀려고시도하였지만실패하였다. 1973년에중국수학자첸징륜 13) (Jing-Run Chen) 는그의논문 [1], [2] 에서체 (sieve) 방법을사용하여 (9) 가소수로 가소수이든가 가두소수의곱이 되는 가무수히많이존재한다 는사실을증명하였다. 게다가첸징륜은상기의논문에서 (10) 충분히큰임의의짝수는모두한소수와두소수의곱의 형태로쓸수있다 라는사실을증명하였다. 예를들면, 등이다. 그래서보통골드바흐가설을 <1+1> 로표시하고첸징륜의결과는 13) 진경윤 [ 陳景潤 ( )] : 1953 년에중국 Xiamen 대학을졸업하고, 중국과학학술원에서유명한중국수학자 Hua Luogeng ( ) 의지도아래해석적수론을공부하였음

12 <1+2> 로표시한다고한다. 처음의 1 은하나의소수를나타내고다음숫자 2는두개의소수의곱을의미한다. 첸칭륜의놀랄만한결과 (10) 은 1966년에발견되어증명되었다는사실이전세계에알려졌다. 그러나그당시에중국문화의역사를후퇴시켰던문화혁명이란소용돌이로인하여 7년이지나서야 (10) 의완벽한증명이수학저널 [1] 에게재되어출판되었다. 첸칭륜은이연구결과로인하여하루아침에전세계에서유명한인사가되었다. 보다자세한것은부록을참고하길바란다. 1975년에휴몽고메리 (Hugh Montgomery) 와로버트보간 (Robert Vaughan) 은 대부분의짝수들은두개의소수의합으로나타낼수있다 는사실을증명하였고, 2002년에는영국수학자로저히드-브라운 (Roger Heath-Brown) 은그의동료와함께 상당히큰짝수는두개의소수와 의합으로쓸수있다 라는사실을증명하였다. 잘알려진쌍둥이소수 (twin primes) 문제에관하여이야기할까한다. 와같이차가 2 인소수짝을 소수쌍둥이 (prime twin) 이라고한다. 100,000 보다작은소수쌍둥이의개수는 1224 개이고 1,000,000 보다작은소수쌍둥이 의수는 8164 개이다. 지금까지알려진소수쌍둥이중에서가장큰것은 이다. 이것은지난 2007 년 1 월 15 일에발견되었다. 이제흥미롭고자연스런문제 를제기할수있다. (PTP) 소수쌍둥이의개수는무한인가? (PTP) 문제는아직까지도해결되지않았다. 많은전문가들은소수쌍둥이의개수 가무한이라고추측하고있다. 그래서이추측을소수쌍둥이추측 (Twin Prime Conjecture) 라고한다. 보다나아가아래의문제를제기할수있다. (PTP*) { 단 은모두소수 } 의개수는무한인가?

13 물론이문제도풀리지않았다. 소수쌍둥이추측과관련된놀랄만한결과가약 2년전에얻어졌다. 2005년에미국수학자골드스톤 (Dan Goldston), 항가리수학자핀츠 (Janos Pintz) 와터키수학자일디림 (Cem Yildirim) 은함께쓴논문 [8] 에서 flim log 임을증명하였다. 여기서, f lim 14) 는 limit inferior 을나타내고, 는 번째 소수이다. 게다가그들은최근에논문 [9] 에서 flim log log log 임을증명하였다. 터키수학자일디림은 2002년 7월에전북대학에서개최된국제학술회의에서 리만제타함수와소수의분포에관하여 란제목으로초청강연을하였다. 그후연세대학에서비슷한토픽으로집중강연을하기도하였다. 그는아직결혼하지않고독신으로지내고있다. 다음은자연수가아닌수인원주율 π 에대하여간략하게언급하겠다. 원주율 π 는 ( 원둘레 ) ( 지름 ) 으로정의되는수이다. 이정의에서원주율 π 는기하학적이며아름다운수임을 알수있다. 원주율 π 는자연수도아니고분수도아님이알려져있다. 실제로 π 로주어지며끝이없는무한소수이다. 또한 π 는 14) 한글 (hwp) 에서 limit inferior 의기호를나타낼수없어상기와같은기호를사용하였음

14 π 의무한합으로나타낼수있다. 최근에들리는소문에의하면뉴욕에거주하고있는러시아출신의처드노프스키 (Chudnovsky) 형제는소수점이하 80억자리의계산을이미끝내고소수점이하 1조자리까지의계산을진행중이라고한다. 그리고 18세기에스위스수학자오일러는 즉, 와같은아름다운공식이성립한다는사실을증명하였다. 이공식에서원주율 π 는모든소수와밀접한관계가있다는것을추측할수있다 년에독일수학 자 Ferdinand von Lindemann ( ) 는 가초월수임을증명하였다. 즉, 원주율 가유리수계수를갖는다항식의영점 (zero) 이될수없다. 그래서많 은수학자들뿐만아니라일반사람들이원주율 에매료되어이에관한저서도 많이발간하였으며연구하였다. 참으로원주율 π 는기하학적이고정수론적인성 질을지닌아주신비롭고, 아름다운수일뿐만아니라우주적인수라고할수있 다. 참고로지금특히중국수학자들을포함하여여러수학자들이다음의문제를 연구하고있다는사실을언급하고싶다. 문제 : 홀수인자연수를항상 단 는소수임 의형태로쓸수있을까?

15 가령,, 끝으로소수에관한흥미로운문제들을소개하겠다. 문제 I. 을주어져있는자연수라고하자. 아래형태의수 단 은자연수 가모두소수가되게하는소수 가있느냐? 이문제도역시아직까지도풀리 지않았다. 예. (1) (2) 문제 II. 단 은자연수 의형태의소수의개수는무한인가? 가령, 이문제의해답은아직까지도모르고있다. 문제 III. 을 번째소수라고하자. 집합 { 은자연수 } 의원소중 에서가장큰값은? 또, 아래의극한값 lim 은무엇일까? 문제 IV. 이자연수라고하자. 과 사이에소수가존재하느냐 이질문은 Bertrand 의문제로알려져왔는데체비쉐프에의하여이질문이옳다 는사실이밝혀졌다

16 [ 참고문헌 ] [1] J.-R. Chen, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and a product of at most two primes, Sci. Sinica, 16 (1973), [2] J.-R. Chen, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes [Chinese], J. Kexuse Tongbao, 17 (1966), [3] P. Deligne, La conjecture de Weil, I, Publ. Math. IHES, Vol. 43 (1974), [4] P. Deligne, La conjecture de Weil II, Publ. Math. IHES, Vol. 52(1980), [5] C. Deninger, On the Γ-factors attached to motives, Invent. Math. vol. 104 (1991), [6] C. Deninger, Local -factors of motives and regularized determinants, Invent. Math. Vol. 107 (1992), [7] C. Deninger, Evidence for a cohomological approach to analytic number theory, Proc. of European Congress of Mathematicians, Birkhäuser (1994), [8] D. Goldston, J. Pintz and C. Yildirim, Primes in tuples I, to appear in Annals of Math. or math.nt/ [9] D. Goldston, J. Pintz and C. Yildirim, Primes in tuples II, arxiv:math. NT/ v1. [10] D. A. Hejhal, The Selberg trace formula and the Riemann zeta function, Duke Math. J. Vol. 43, No. 3 (1976),

17 [11] L. K. Hua, Introduction to Number Theory, Springer-Verlag (1982). [12] N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Springer-Verlag (1984). [13] Y. Manin, Lectures on Zeta Functions and Motives, Lecture Notes (Columbia Univ.), [14] M. Monastyrsky, Riemann, topology and physics, Birkhäuser (1987). [15] Y. Motohashi, Spectral theory of the Riemann zeta function, Cambridge Univ. Press (1997). [16] B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einen gegebenen Grösse, Gesammelte mathematischen Werke (1859), (Dover, 1953). [17] A. Selberg, Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc., Vol. 20 (1956), [18] C. L. Siegel, Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astromie und Physik 2 (1932), [19] A. Voros, Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Trace Formula, Communications Math. Physics, Vol. 111 (1987), [20] A. Weil, On the Riemann Hypotheses in function-fields, Proc. Nat. Acad. Sci., Vol. 27 (1941), [21] A. Weil, Numbers of solutions of equations in finite fields, Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 55 (1949),

18 [22] D. Zagier, Eisenstein series and the Riemann zeta function, Tata Institute for Fundamental Research, Bombay (1979), [23] D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Hochschultext, Springer-Verlag (1981). 참고로리만가설, 골드바흐가설, 소수쌍둥이추측과관련된흥미로운 논문과책을아래에소개하겠다. [a] J. B. Conrey, The Riemann Hypothesis, Notices of the AMS, 50 (2003), no. 3, [b] H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, New York, [c] D. A. Goldston, Are there infinitely many twin primes?, arxiv: v1 [math.nt] (2007). [d] A. Odlyzko, The -nd zero of the Riemann zeta function, Contemp. Math. Series, AMS. Providence, RI (2001), [e] K. Soundararajan, Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Bulletin of the AMS, vol. 44, No. 1 (2007), [f] J. Wu, Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem 2, arxiv: v1 [math.nt] (2007)

19 [ 부록 ] 셀버그 (Atle Selberg) 의명복을빌며 지난 8월 6일에노르웨이수학자애틀레셀버그가 90세의나이로세상을떠났다는소식을최근에여러매체로통하여접하게되었다. 뉴욕타임즈, LA 타임즈, 워싱턴포스트등의주요일간지가그의사망소식을전하며그의일생과뛰어난연구업적을다루었다. 셀버그는필자와학문적으로인연이많은수학자중의한사람이다. 필자가 U. C. Berkeley에서박사과정을하고있을때인도수학회의수학저널에게재된그의유명한논문 15) 을이해하려고지도교수와함께몇달동안세미나를하면서고군분투한기억이지금도생생하게떠오른다. 유학첫해에버클리에서필자는이치로사타케교수의강의를수강하면서셀버그의논문과그의업적을알게되었다. 물론위대한수학자지겔 (Carl Ludwig Siegel, ) 과베이유 (André Weil, ) 의위대한업적도알게되었다. 그때수학이란학문이어떠한학문인가를진지하게생각하였던기억이떠오른다. 셀버그는 1917년 6월 14일에노르웨이의랑게순드 (Langesund) 에서태어났다. 17세가되던해에우연히노르웨이수학저널에게재된인도수학자라마누잔에관한논문 The Indian Srinivasa Ramanujan, a remarkable mathematical genius 16) 을읽게되었다. 이논문은주로라마누잔의흥미로운일생과그의신비로운여러공식을다루고있었다. 이를계기로그는수학에매료되어수학에관심을갖게되었고, 1936년노르웨이의수도인오슬로에서개최되었던 ICM에서독일의수학자인헥케 (Erick Hecke, ) 의강연을듣고큰감명을받은후수학자의길을걷겠다는일생에중대한결심을하게되었다고먼훗날에회고를하고있다 17). 그는 1943년에오슬로대학에서리만제타함수의영점에관한연구로박사학위를취득하였다. 1942년부터 1947년까지오슬로대학에서특별연구원으로근무하다가 1947년지겔의초청으로프린스턴고등연구소 ( 이하 IAS 로약칭 ) 에초청되었다. IAS에서 1년을보낸후시라쿠스 (Syracus) 대학의수학과에부교수로임명되었다. 1948년여름에복소함수론의이론을전혀사용하지않고아주초등적인방법으로소수정리 18) 를증명하였다. 이증명은기술적으로는 15) Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc. B., vol. 20 (1956), ) 이논문의저자는오슬로대학의수학과의교수인스퇴르머 (Carl Störmer) 이다. 17) Reflections around the Ramanujan centenary : Alte Selberg, Collected Papers, Vol. I, Springer-Verlag (1989), ) Prime Number Theorem : 20 세기수학자들과의만남 [ 저자 : 양재현, 경문사 (2005 년 2 쇄 ) 의 쪽을

20 초보적이지만계산자체는상당히복잡하다. 그는이증명에관한논문 19) 을작성하여다음해에프린스턴대학의수학연보에발표하였다. 그는이업적으로바일 (Hermann Weyl, ) 과지겔 ( ) 의추천으로 1949년에다시 IAS로초청된후 1950년에영구직연구원으로임명되었다. 1950년에미국의캠브리지의하버드대학에서개최되었던 ICM에서필즈상을수상하였고 1986년에는울프상 (Wolf Prize) 을수상하였다. 1951년에 IAS의영구직교수가되었으며 1987 년에정년퇴임을한후세상을떠나기전까지 IAS의명예교수로있었다. 그의큰연구업적중의하나가소위셀버그대각합공식 (the Selberg Trace Formula) 이다. 이공식은 Poisson 합공식의일반화라고할수있는데이심오하고아름다운연구내용은앞에서소개한인도수학저널 ( 주석 [1] 을참고 ) 에서소개되어그후보형형식의이론, 군표현론과이론물리학분야에지대한영향을끼쳤다. 예를들면, 이대각합공식의이론은후에랑그랭즈에게큰영감을주어 1960년대중반에소위 랑그랭즈프로그램 의탄생에큰영향을끼쳤다. 현재캐나다토론토대학의아더 (James Arthur) 교수가대각합공식의이론을일반화하며수십년간계속연구하여오고있다. 셀버그는리만가설 20) 의해결을위해노력하여왔으며이가설과관련된여러연구를하였다. 즉, 리만제타함수의영점에관한연구결과를발표하였고, 셀버그제타함수와체이론 (sieve theory) 21) 을창안하여연구하였다. 그의이름을딴셀버그적분, 란킨-셀버그 -함수, 셀버그고유값가설등을보더라도그가해석적정수론분야에서위대한업적을남겼다는사실을알수있다. 특히유명한중국의수학자첸징륜 ( 陳景潤, Jingrun Chen, ) 은그의논문 22) 에서셀버그의체방법 (sieve method) 을사용하여 가소수로 가소수이든가 가두소수의곱이되는소수 가무수히많이존재한다 는사실과 충분히큰임의의짝수는모두한소수와두소수의곱의합의형태로나타낼수있다 라는탁월한결과를증명하였다. 예를들면, 첸칭륜의상기의두번째결과는소위 골드바흐가설 을해결하려고시도하며 연구하는가운데서얻어졌다 년에중국정부는이뛰어난업적을기념하기 참고하길바람. 19) An elementary proof of prime number theorem, Annals of Mathematics, vol. 50 (1949), No. 2, ) the Riemann Hypothesis : 이에관하여일반인들이쉽게이해할수있도록쓴논문으로 리만가설에관하여 : 저자양재현 [ [20 세기수학자들과의만남 ]; 경문사 2005 년 2 쇄 ; 쪽과 쪽 ) 을추천함. 21) Alte Selberg, Lectures on sieves, Collected Papers, Vol. II, Springer-Verlag (1991), ) J. R. Chen, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, Sci. Sinica 16 (1973), 또는 J. Kexue Tongbao 17 (1966),

21 위하여 골드바흐가설에관한최고의업적 이란제목으로첸칭륜의실루에트 를실은우표를발행하였다. 또한그의유명한부등식 log 도이우표에인쇄되어있다. 그의박사학위논문지도교수가다름아닌저명한 루오겡후아 (Luogeng Hua, 華羅庚 [ 화라경 ]; ) 이다. 필자는 2001년 2월에랑그랭즈교수의초청으로 IAS에단기간초청된적이있었다. 매주월요일에서금요일까지매일 3시에풀드홀 (Fuld Hall) 의 1층에서다과회가있는데한번은이자리에서셀버그를본적이있었다. 그당시 84세의나이에도불구하고건강하여보였으며미남형의얼굴이었다. 필자는그가아주우아하고멋있게살아오며아름답고심오한진리를탐구하며곱게늙었다는느낌을강렬하게받았던기억이난다. 이전에우리나라에셀버그같은뛰어난수학자가있었더라면대한민국의수학의위상이국제적으로높은위상에있고적지않는뛰어난수학자가배출되었으리라는생각을가끔하여보았다. 이제국내에도셀버그처럼심오하고아름다운수학분야의연구를하며세계수학계에지대한공헌을할뿐만아니라우아하고고상하게늙어가는수학자를보기를기대하여본다. 끝으로그의별세에심심한애도의뜻을표함과동시에그의명복을빌며이글 을끝맺는다

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수학의많은분야의연구가수행되었다. 가령, 19세기말엽에는 Hilbert는그당시에큰이슈중의하나인불변론을완성하였고유체론의기초를세웠다. 20세기에와서는 H. Weyl( ), E. Cartan( ), C. L. Siegel( ), T.

수학의많은분야의연구가수행되었다. 가령, 19세기말엽에는 Hilbert는그당시에큰이슈중의하나인불변론을완성하였고유체론의기초를세웠다. 20세기에와서는 H. Weyl( ), E. Cartan( ), C. L. Siegel( ), T. 현대수학의동향 양재현 ( 인하대학교교수 ) I. 머리말 수학이란학문은많은다른분야보다도역사가길다. 기원전 6~7 세기전부터주로그리스의철학자와수학자들에의하여수학이란학문이정립되었다고생각한다. 가령, 피타고라스정리, 유크리드기하학이등장하였으며원주율과소수의연구가나름대로수행되었다. 그당시에는주로정신적으로나경제적인여유가있는상류층의사람들이모든학문의기본이라고할수있는철학과수학에관심을가지고학문적이론을세워나갔다.