작용소의 행렬표현과 그 응용

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영용 애
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1 작용소의행렬표현과그응용 이영주 무등수학강연회 2012 년 4 월 27 일

2 차례 차례 용어 ( 행렬, 행렬식 ) 의유래 선형작용소에대한행렬표현 곱작용소소개 응용 : 제로곱문제와교환문제

3 행렬 (Matrix)? 행렬의개념은 The Nine Chapters on the Mathematical Art (BC 300-AD 200) 에서처음이용 ( 처음것의하나, 둘째것의 세, 세째것의둘등 ). A page of The nine...

4 행렬 (Matrix)? 행렬의개념은 The Nine Chapters on the Mathematical Art (BC 300-AD 200) 에서처음이용 ( 처음것의하나, 둘째것의 세, 세째것의둘등 ). A page of The nine...

5 행렬 (Matrix)? 행렬보다행렬식의개념이먼저사용 (1693년라이프니치가로피탈에게보낸편지에서연립방정식을풀기위해행렬식의개념을이용 ). 행렬식 (determinant) 이라는용어는 1815년 Cauchy에의해처음사용. 행렬 (Matrix) 이라는용어는 1851년 Sylvester에의해정의되어지고계속이용됨.

6 행렬 (Matrix)? 행렬보다행렬식의개념이먼저사용 (1693년라이프니치가로피탈에게보낸편지에서연립방정식을풀기위해행렬식의개념을이용 ). 행렬식 (determinant) 이라는용어는 1815년 Cauchy에의해처음사용. 행렬 (Matrix) 이라는용어는 1851년 Sylvester에의해정의되어지고계속이용됨.

7 행렬 (Matrix)? 행렬보다행렬식의개념이먼저사용 (1693년라이프니치가로피탈에게보낸편지에서연립방정식을풀기위해행렬식의개념을이용 ). 행렬식 (determinant) 이라는용어는 1815년 Cauchy에의해처음사용. 행렬 (Matrix) 이라는용어는 1851년 Sylvester에의해정의되어지고계속이용됨.

8 선형작용소에대한행렬표현 두벡터공간 V 와 W 에대하여 α = {v 1,, v n }, β = {w 1,, w m } 를각각 V 와 W 의기저라고하고, 선형작용소 T : V W 를생각하자. 각 j = 1, 2,, n 에대하여 인 a ij C 를택하자. T (v j ) = a 1j w 1 + a 2j w a mj w m

9 선형작용소에대한행렬표현 두벡터공간 V 와 W 에대하여 α = {v 1,, v n }, β = {w 1,, w m } 를각각 V 와 W 의기저라고하고, 선형작용소 T : V W 를생각하자. 각 j = 1, 2,, n 에대하여 인 a ij C 를택하자. T (v j ) = a 1j w 1 + a 2j w a mj w m

10 Matrix representations for linear operators 각 x = x 1 v x n v v V 에대하여 n T (x) = x j T (v j ) = n m x j j=1 j=1 k=1 a kj w k = m n a kj x j w k. k=1 j=1 기저 β 에대하여 T (x) 의좌표벡터는 [T (x)] β = a 11 a 1n. a m1 a mn.. x 1. x n = [T ]β α[x] α [T ] β α : T 의표현행렬 (the matrix representation for T ).

11 Matrix representations for linear operators 각 x = x 1 v x n v v V 에대하여 n T (x) = x j T (v j ) = n m x j j=1 j=1 k=1 a kj w k = m n a kj x j w k. k=1 j=1 기저 β 에대하여 T (x) 의좌표벡터는 [T (x)] β = a 11 a 1n. a m1 a mn.. x 1. x n = [T ]β α[x] α [T ] β α : T 의표현행렬 (the matrix representation for T ).

12 Matrix representations for linear operators 두선형사상 S : (U, α) (V, β) 과 T : (V, β) (W, γ) 에대하여 [T S] γ α = [T ] γ β [S]β α. TS := T S: product of S, T.

13 Matrix representations for linear operators 일반적으로 V = W 가무한차원내적공간으로서 α = β 가 orthogonal 할때 T 의표현행렬의 m 행 n 열은 a mn =< Tv n, v m >, m, n = 1, 2,.

14 응용 : L 2 (T ) space Definition (L 2 (T ) 공간 ) T = {z = (x, y) C : z 2 = x 2 + y 2 = 1} = {e iθ = cos θ + i sin θ : θ [0, 2π]} : 단위원. L 2 (T ) : 아래를만족하는측도가능한함수 f : T C 의모임. 2π 0 f (e iθ ) 2 dθ 2π <. L 2 (T ) 는아래의내적에대하여 Hilbert 공간이다. < f, g >= 2π 0 f (e iθ )g(e iθ ) dθ 2π.

15 응용 : L 2 (T ) space Definition (L 2 (T ) 공간 ) T = {z = (x, y) C : z 2 = x 2 + y 2 = 1} = {e iθ = cos θ + i sin θ : θ [0, 2π]} : 단위원. L 2 (T ) : 아래를만족하는측도가능한함수 f : T C 의모임. 2π 0 f (e iθ ) 2 dθ 2π <. L 2 (T ) 는아래의내적에대하여 Hilbert 공간이다. < f, g >= 2π 0 f (e iθ )g(e iθ ) dθ 2π.

16 L 2 (T ) space 함수 e n (e iθ ) := e inθ = cos(nθ) + i sin(nθ) 에대하여 {e n : n = 0, ±1, ±2, } 은 L 2 (T ) 의 orthonormal basis 이다. 각함수 f L 2 (T ) 는다음의 Fourier 급수전개를갖는다. f (e iθ ) = f n e inθ. n= 여기서, f n =< f, e n > 은퓨리에계수이다.

17 L 2 (T ) space 함수 e n (e iθ ) := e inθ = cos(nθ) + i sin(nθ) 에대하여 {e n : n = 0, ±1, ±2, } 은 L 2 (T ) 의 orthonormal basis 이다. 각함수 f L 2 (T ) 는다음의 Fourier 급수전개를갖는다. f (e iθ ) = f n e inθ. n= 여기서, f n =< f, e n > 은퓨리에계수이다.

18 Multiplication operators Definition ( 곱작용소 ) 주어진유계함수 φ에대하여곱작용소 M φ : L 2 (T ) L 2 (T ) 를생각하자. M φ (f ) = φf, f L 2 (T ). 즉, (M φ f )(e iθ ) = φ(e iθ )f (e iθ ) 이다. M φ : 유계인선형작용소이다. 사실 M φ (af + bg) = φ(af + bg) = am φ (f ) + bm φ (g) M φ = φ 이성립한다.

19 Multiplication operators Definition ( 곱작용소 ) 주어진유계함수 φ에대하여곱작용소 M φ : L 2 (T ) L 2 (T ) 를생각하자. M φ (f ) = φf, f L 2 (T ). 즉, (M φ f )(e iθ ) = φ(e iθ )f (e iθ ) 이다. M φ : 유계인선형작용소이다. 사실 M φ (af + bg) = φ(af + bg) = am φ (f ) + bm φ (g) M φ = φ 이성립한다.

20 Matrix for multiplication operators 각 m, n Z 과기호 φ 의 Fourier 급수전개 에대하여 φ(e iθ ) = n= φ n e inθ = n= < M φ e n, e m > =< φe n, e m > = = 2π 0 2π 0 =< φ, e m n > = φ m n. < φ, e n > e inθ φ(e iθ )e inθ dθ eimθ 2π φ(e iθ i(m n)θ dθ )e 2π

21 Matrix for multiplication operators 그래서 M φ 의행렬의 m 행 n 열은 < M φ e n, e m >= φ m n 이다. 또한 (m + 1) 행 (n + 1) 열은 < M φ e n+1, e m+1 >= φ m+1 n 1 = φ m n. 이다.

22 Matrix for multiplication operators 그래서 M φ 의행렬의 m 행 n 열은 < M φ e n, e m >= φ m n 이다. 또한 (m + 1) 행 (n + 1) 열은 < M φ e n+1, e m+1 >= φ m+1 n 1 = φ m n. 이다.

23 Matrix for multiplication operators M φ 의행렬의 (m, n) entry 은 φ m n 이고, 그행렬표현은 φ0 φ 1 φ φ1 φ 0 φ 1 φ 2 [M φ ] = φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ.. 1. φ 2 φ 1 φ

24 Toeplitz matrix Definition (Toeplitz 행렬 ) 주어진행렬 [a mn ] 이모든 m, n 에대하여 a m,n = a m+1,n+1 을 만족할때그행렬을 Toeplitz 행렬이라고한다. Otto Toeplitz( ) (University of Breslau-Göttingen University-University of Kiel)

25 Toeplitz matrix Definition (Toeplitz 행렬 ) 주어진행렬 [a mn ] 이모든 m, n 에대하여 a m,n = a m+1,n+1 을 만족할때그행렬을 Toeplitz 행렬이라고한다. Otto Toeplitz( ) (University of Breslau-Göttingen University-University of Kiel)

26 Toeplitz matrix 예제 1: 유한 Toeplitz 행렬

27 Toeplitz matrix 예제 2: one side 무한 Toeplitz 행렬 a 0 a 1 a 2. a 1 a 0 a 1 a.. 2. a 2 a 1 a 0 a

28 Toeplitz matrix 예제 3: one side 무한 Toeplitz 행렬 a0 a 1 a 2... a1 a 0 a 1 a 2 a 1 a 0.

29 Matrix for multiplication operators 곱작용소의행렬은 (two side 무한 ) Toeplitz 행렬이다 φ0 φ 1 φ φ1 φ 0 φ 1 φ 2 [M φ ] = φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ.. 1. φ 2 φ 1 φ

30 Matrix for multiplication operators 그역도성립함이알려졌다. Theorem (Brown-Halmos, 1964) L 2 (T ) 에서유계인선형작용소 T 에대하여 T = M φ 이기위한필요충분조건은 {e inθ } 에대한 T 의행렬이 Toeplitz 행렬이다. two side infinite Toeplitz 행렬은 one infinite Toeplitz 행렬보다 다루기쉽고연구하기에재미가덜하다 (to someone). 예를들어, M φ1 M φ2 = M φ1 φ 2.

31 Matrix for multiplication operators 그역도성립함이알려졌다. Theorem (Brown-Halmos, 1964) L 2 (T ) 에서유계인선형작용소 T 에대하여 T = M φ 이기위한필요충분조건은 {e inθ } 에대한 T 의행렬이 Toeplitz 행렬이다. two side infinite Toeplitz 행렬은 one infinite Toeplitz 행렬보다 다루기쉽고연구하기에재미가덜하다 (to someone). 예를들어, M φ1 M φ2 = M φ1 φ 2.

32 Matrix for multiplication operators M φ 의행렬표현에서 lower right corner 에관심을갖자 φ0 φ 1 φ 2... φ1 φ 0 φ 1 φ 2 M φ = φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ.. 1. φ 2 φ 1 φ 위의 red 부분은 M φ 를정의역과공변역을 {e inθ : n 0} 에 의해생성된부분공간에제한한작용소의대응행렬이다.

33 Matrix for multiplication operators M φ 의행렬표현에서 lower right corner 에관심을갖자 φ0 φ 1 φ 2... φ1 φ 0 φ 1 φ 2 M φ = φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ.. 1. φ 2 φ 1 φ 위의 red 부분은 M φ 를정의역과공변역을 {e inθ : n 0} 에 의해생성된부분공간에제한한작용소의대응행렬이다.

34 Hardy space ONB {e inθ : n 0} 에의해생성된부분공간을생각하자. Definition (Hardy 공간 H 2 ) H 2 = {f L 2 (T ) : f (e iθ ) = f n e inθ }. n=0 함수 f H 2 에대하여 f n =< f, e n >= 0, n = 1, 2,. H 2 L 2 (T ) closed.

35 Hardy space ONB {e inθ : n 0} 에의해생성된부분공간을생각하자. Definition (Hardy 공간 H 2 ) H 2 = {f L 2 (T ) : f (e iθ ) = f n e inθ }. n=0 함수 f H 2 에대하여 f n =< f, e n >= 0, n = 1, 2,. H 2 L 2 (T ) closed.

36 Hardy space ONB {e inθ : n 0} 에의해생성된부분공간을생각하자. Definition (Hardy 공간 H 2 ) H 2 = {f L 2 (T ) : f (e iθ ) = f n e inθ }. n=0 함수 f H 2 에대하여 f n =< f, e n >= 0, n = 1, 2,. H 2 L 2 (T ) closed.

37 Hardy space 다음의사상은 L 2 (T ) 에서 H 2 로의정사형 P 이다. L 2 (T ) n= f n e inθ f n e inθ H 2 n=0 즉, P [ 1 n= f n e inθ + ] f n e inθ = n=0 f n e inθ. n=0

38 Hardy space 다음의사상은 L 2 (T ) 에서 H 2 로의정사형 P 이다. L 2 (T ) n= f n e inθ f n e inθ H 2 n=0 즉, P [ 1 n= f n e inθ + ] f n e inθ = n=0 f n e inθ. n=0

39 Hardy space 각 f (e iθ ) = f n e inθ = f n (e iθ) n H 2 에대하여 n=0 n=0 F (z) = f n z n, z < 1 n=0 는단위원판에서해석함수 (analytic function) 이다.

40 Hardy space M φ 의행렬에서 lower right corner 을다시보자 φ0 φ 1 φ 2... φ1 φ 0 φ 1 φ 2 M φ = φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ.. 1. φ 2 φ 1 φ

41 Hardy space M φ 의행렬에서 lower right corner 를 T φ 의행렬이라고하자. φ 0 φ 1 φ 2. φ T φ = 1 φ 0 φ 1 φ.. 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ 그때, 정사형 P : L 2 (T ) H 2 에대하여 을만족한다. T φ = PM φ P

42 Hardy space M φ 의행렬에서 lower right corner 를 T φ 의행렬이라고하자. φ 0 φ 1 φ 2. φ T φ = 1 φ 0 φ 1 φ.. 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ 그때, 정사형 P : L 2 (T ) H 2 에대하여 을만족한다. T φ = PM φ P

43 Toeplitz operators Definition (Toeplitz 작용소 ) 주어진 φ L (T ) 에대하여 Toeplitz 작용소 T φ : H 2 H 2 는다음과같이정의된다. T φ f = PM φ (f ) = P(φf ) f H 2. 여기서, P : L 2 (T ) H 2 는정사형이다. T φ : 유계인선형작용소이고 이성립한다. T φ = φ

44 Toeplitz operators Definition (Toeplitz 작용소 ) 주어진 φ L (T ) 에대하여 Toeplitz 작용소 T φ : H 2 H 2 는다음과같이정의된다. T φ f = PM φ (f ) = P(φf ) f H 2. 여기서, P : L 2 (T ) H 2 는정사형이다. T φ : 유계인선형작용소이고 이성립한다. T φ = φ

45 Toeplitz operators 기호 φ(e iθ ) = n= φ ne inθ L (T ) 에대하여 φ 0 φ 1 φ 2. φ [T φ ] = 1 φ 0 φ 1 φ.. 2. φ 2 φ 1 φ 0 φ

46 Toeplitz operators T φ 의 adjoint 작용소 Tφ 의행렬표현을보자. φ(e iθ ) = n= φ n e inθ = n= φ n e inθ 이므로 [Tφ ] = φ 0 φ 1 φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2... φ 2 φ 1 φ 0 φ = [T φ ]. T φ = T φ.

47 Toeplitz operators T φ 의 adjoint 작용소 Tφ 의행렬표현을보자. φ(e iθ ) = n= φ n e inθ = n= φ n e inθ 이므로 [Tφ ] = φ 0 φ 1 φ 2 φ 1 φ 0 φ 1 φ 2... φ 2 φ 1 φ 0 φ = [T φ ]. T φ = T φ.

48 Toeplitz operators T φ = 0 φ = 0 이고, 다음의함수는일대일이다. φ T φ. 위의결과를보면다음의질문는아주자연스럽다. Question ( 제로곱문제 ) 두 symbols φ 1, φ 2 에대하여다음이성립하는가? T φ1 T φ2 = 0 φ 1 = 0 or φ 2 = 0.

49 Toeplitz operators T φ = 0 φ = 0 이고, 다음의함수는일대일이다. φ T φ. 위의결과를보면다음의질문는아주자연스럽다. Question ( 제로곱문제 ) 두 symbols φ 1, φ 2 에대하여다음이성립하는가? T φ1 T φ2 = 0 φ 1 = 0 or φ 2 = 0.

50 Product problem Question ( 곱문제 ) 세 symbols φ 1, φ 2, g 에대하여다음이성립하는가? T φ1 T φ2 = T g. 다른표현으로두 Toeplitz 행렬의곱이언제다른 Toeplitz 행렬이되는가? Easy: T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 if φ 1 H 2 or φ 2 H 2. 즉, φ 1 = 1 n= a n e inθ or φ 2 = b n e inθ. n=0

51 Product problem Question ( 곱문제 ) 세 symbols φ 1, φ 2, g 에대하여다음이성립하는가? T φ1 T φ2 = T g. 다른표현으로두 Toeplitz 행렬의곱이언제다른 Toeplitz 행렬이되는가? Easy: T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 if φ 1 H 2 or φ 2 H 2. 즉, φ 1 = 1 n= a n e inθ or φ 2 = b n e inθ. n=0

52 Product problem 위사실로부터다음을얻는다. Lemma (One direction) 만약 φ 1 H 2 or φ 2 H 2 이고 g = φ 1 φ 2 이면, 이성립한다. T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 = T g 위의역은어떠한가요?

53 Product problem 위사실로부터다음을얻는다. Lemma (One direction) 만약 φ 1 H 2 or φ 2 H 2 이고 g = φ 1 φ 2 이면, 이성립한다. T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 = T g 위의역은어떠한가요?

54 Product problem ( 역 ) 두기호의퓨리에급수전개를생각하자. φ 1 = a n e inθ, φ 2 = b n e inθ. n= n= [c ij ] = T g = T φ1 T φ2 a 0 a 1 a 2. a = 1 a 0 a 1 a.. 2. a 2 a 1 a 0 a b 0 b 1 b 2 b 1 b 0 b 1 b 2... b 2 b 1 b 0 b

55 Product problem ( 역 ) 두기호의퓨리에급수전개를생각하자. φ 1 = a n e inθ, φ 2 = b n e inθ. n= n= [c ij ] = T g = T φ1 T φ2 a 0 a 1 a 2. a = 1 a 0 a 1 a.. 2. a 2 a 1 a 0 a b 0 b 1 b 2 b 1 b 0 b 1 b 2... b 2 b 1 b 0 b

56 Product problem 그래서, 각 i, j 0 에대하여 c ij = c i+1,j+1 = a i k b k j, k=0 a i+1 k b k 1 j k=0 = a i+1 b j 1 + = a i+1 b j 1 + a i+1 k b k 1 j k=1 a i k b k j k=0 = a i+1 b j 1 + c ij.

57 Product problem Note: [c ij ] = T g : Toeplitz 행렬 = c i+1,j+1 = c ij. T φ1 T φ2 = T g = a i+1 b j 1 = 0 for all i, j 0. 그래서, φ 1 = 1 n= a n e inθ or φ 2 = b n e inθ. n=0 T g = T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 = T g φ1 φ 2 = 0 = g = φ 1 φ 2.

58 Product problem Note: [c ij ] = T g : Toeplitz 행렬 = c i+1,j+1 = c ij. T φ1 T φ2 = T g = a i+1 b j 1 = 0 for all i, j 0. 그래서, φ 1 = 1 n= a n e inθ or φ 2 = b n e inθ. n=0 T g = T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 = T g φ1 φ 2 = 0 = g = φ 1 φ 2.

59 Product problem Note: [c ij ] = T g : Toeplitz 행렬 = c i+1,j+1 = c ij. T φ1 T φ2 = T g = a i+1 b j 1 = 0 for all i, j 0. 그래서, φ 1 = 1 n= a n e inθ or φ 2 = b n e inθ. n=0 T g = T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 = T g φ1 φ 2 = 0 = g = φ 1 φ 2.

60 Product problem Note: [c ij ] = T g : Toeplitz 행렬 = c i+1,j+1 = c ij. T φ1 T φ2 = T g = a i+1 b j 1 = 0 for all i, j 0. 그래서, φ 1 = 1 n= a n e inθ or φ 2 = b n e inθ. n=0 T g = T φ1 T φ2 = T φ1 φ 2 = T g φ1 φ 2 = 0 = g = φ 1 φ 2.

61 Product problem 위의과정을종합하면다음을얻는다. Theorem (Brown-Halmos, 64) 세 symbols φ 1, φ 2, g에대하여다음이성립한다. T φ1 T φ2 = T g (a) φ 1 H 2 or φ 2 H 2, (b) g = φ 1 φ 2.

62 Product problem 특별히 g = 0 인경우가앞에서제기한제로곱문제이다. Question ( 제로곱문제 ) 두 symbols φ 1, φ 2 에대하여다음이언제성립하는가? T φ1 T φ2 = 0.

63 Zero product problem Recall : AB = 0 A = 0 or B = 0. Corollary ( 제로곱정리 ) 두 symbols φ 1, φ 2 에대하여다음이성립한다. T φ1 T φ2 = 0 φ 1 H 2 or φ 2 H 2, and φ 1 φ 2 = 0 φ 1 = 0 or φ 2 = 0 T φ1 = 0 or T φ2 = 0. There are no zero divisors.

64 Zero product problem Recall : AB = 0 A = 0 or B = 0. Corollary ( 제로곱정리 ) 두 symbols φ 1, φ 2 에대하여다음이성립한다. T φ1 T φ2 = 0 φ 1 H 2 or φ 2 H 2, and φ 1 φ 2 = 0 φ 1 = 0 or φ 2 = 0 T φ1 = 0 or T φ2 = 0. There are no zero divisors.

65 Zero product problem Question ( 일반적제로곱문제 ) 여러개의 symbols φ 1,, φ N 에대하여다음이성립하는가? T φ1 T φ2 T φn = 0 = one of φ j = 0. Brown-Halmos(1964): N = 2. Guo(1996): N = 5. Gu(2000): N = 6. Aleman-Vukotic(2009): true for general N. Open for the higher dimensional cases.

66 Zero product problem Question ( 일반적제로곱문제 ) 여러개의 symbols φ 1,, φ N 에대하여다음이성립하는가? T φ1 T φ2 T φn = 0 = one of φ j = 0. Brown-Halmos(1964): N = 2. Guo(1996): N = 5. Gu(2000): N = 6. Aleman-Vukotic(2009): true for general N. Open for the higher dimensional cases.

67 Zero sum of products 다른각도에서일반적인문제를생각해봅시다. Question ( 제로합문제 ) f 1,, f N, g 1,, g N 에대하여언제다음이성립하는가? T f1 T g1 + T f2 T g2 + + T fn T gn = 0. 특별한경우 : N = 2, g 2 = 1 : product 문제. N = 1 : zero product 문제.

68 Zero sum of products 다른각도에서일반적인문제를생각해봅시다. Question ( 제로합문제 ) f 1,, f N, g 1,, g N 에대하여언제다음이성립하는가? T f1 T g1 + T f2 T g2 + + T fn T gn = 0. 특별한경우 : N = 2, g 2 = 1 : product 문제. N = 1 : zero product 문제.

69 Commuting problem 특별히 N = 2, f = f 1 = g 2, g = g 1 = f 2 경우를생각하자. Question ( 교환성문제 ) 두기호 f, g 에대하여다음이언제성립하는가? [T f, T g ] = T f T g T g T f = 0, or T f T g = T g T f. 어렵지않아요 : They are commuting if f, g H 2. (T f T g = T fg = T g T f ) f, ḡ H 2. (T f Tḡ = Tḡ T f T f T ḡ = Tḡ T f f = αg + β. T f T g = T g T f ). 위의역은성립하나요?

70 Commuting problem 특별히 N = 2, f = f 1 = g 2, g = g 1 = f 2 경우를생각하자. Question ( 교환성문제 ) 두기호 f, g 에대하여다음이언제성립하는가? [T f, T g ] = T f T g T g T f = 0, or T f T g = T g T f. 어렵지않아요 : They are commuting if f, g H 2. (T f T g = T fg = T g T f ) f, ḡ H 2. (T f Tḡ = Tḡ T f T f T ḡ = Tḡ T f f = αg + β. T f T g = T g T f ). 위의역은성립하나요?

71 Commuting problem 특별히 N = 2, f = f 1 = g 2, g = g 1 = f 2 경우를생각하자. Question ( 교환성문제 ) 두기호 f, g 에대하여다음이언제성립하는가? [T f, T g ] = T f T g T g T f = 0, or T f T g = T g T f. 어렵지않아요 : They are commuting if f, g H 2. (T f T g = T fg = T g T f ) f, ḡ H 2. (T f Tḡ = Tḡ T f T f T ḡ = Tḡ T f f = αg + β. T f T g = T g T f ). 위의역은성립하나요?

72 Commuting problem 두기호의퓨리에급수전개를생각하자. f = a n e inθ, g = b n e inθ. n= n= 앞에서사용한방법을이용하면 a 0 a 1 a 2. a T f T g = 1 a 0 a 1 a.. 2. a 2 a 1 a 0 a b 0 b 1 b 2 b 1 b 0 b 1 b 2... b 2 b 1 b 0 b

73 Commuting problem 두기호의퓨리에급수전개를생각하자. f = a n e inθ, g = b n e inθ. n= n= 앞에서사용한방법을이용하면 a 0 a 1 a 2. a T f T g = 1 a 0 a 1 a.. 2. a 2 a 1 a 0 a b 0 b 1 b 2 b 1 b 0 b 1 b 2... b 2 b 1 b 0 b

74 Commuting problem T g T f = b 0 b 1 b 2 b 1 b 0 b 1 b 2... b 2 b 1 b 0 b a 0 a 1 a 2 a 1 a 0 a 1 a 2... a 2 a 1 a 0 a

75 Product problem 교환조건 T f T g = T g T f 에의하여, 각 i, j 0 에대하여 a i k b k j = b i k a k j k=0 a i+1 k b k j 1 = k=0 k=0 b i+1 k a k j 1 k=0 a i+1 b j 1 + a i k b k j = b i+1 a j 1 + b i k a k j k=0 k=0 a i+1 b j 1 = b i+1 a j 1, i, j 0.

76 Commuting problem 위에서몇가지경우를생각해주면다음을얻는다. Theorem (Brown-Halmos(64), Axler-Cuckovic(91)) 두기호 f, g 에대하여 T f T g = T g T f 이기위한필요충분조건은다음중의하나가성립함이다. (a) f, g H 2. (b) f, ḡ H 2. (c) αf + βg : 상수함수.

77 Zero sum product problem 일반적으로다른방법을이용하여다음이성립함이알려졌다. Theorem (Lee, 08) 기호들 f 1,, f N, g 1,, g N 에대하여 T f1 T g1 + T f2 T g2 + + T fn T gn = 0 이기위한필요충분조건은다음이성립함이다. (a) f 1 g 1 + f 2 g f N g N = 0. (b) N [P(f j )][P(ḡ j )] : 조화함수. j=1

78 Zero sum product problem 조건 (b) 에관하여다음의일반적인문제를생각해볼수있다. Question 단위원판에서해석적인함수들 g j, h j 에대하여다음의함수가 언제조화함수인가? N g j h j. j=1 함수 f 가조화함수라고함은 f (x, y) := 2 f x f y 2 = 2 f z z 을만족할때를말한다. = 0, z = (x, y)

79 Zero sum product problem N = 1 인경우 : [g 1 h 1 ] = g 1h 1. g 1 h 1 : 조화함수 g 1 : 상수함수또는 h 1 : 상수함수 [g 1 g 1 (0)][h 1 h 1 (0)] = 0. ( 위의과정에서해석함수에관한 항등정리 (identity theorem) 을사용할수있다.)

80 Zero sum product problem N = 2 인경우 ( 비슷한계산에의해 ) : g 1 h 1 + g 2 h 2 : 조화함수이기위한필요충분조건은 OFSH: (a) h 1, h 2 : 상수함수 (b) g 1, g 2 : 상수함수 (c) α(g 1 + h 2 ) + β( g 2 + h 1 ) : 상수함수

81 Zero sum product problem 일반적으로다음이알려졌다. Theorem (Choe-Koo-Lee, 08) 단위원판에서해석적인함수들 g j, h j 에대하여 N g j h j. j=1 가조화함수이기위한필요충분조건은 N [g j g j (0)][h j h j (0)] = 0. j=1

82 관심분야 관심분야 함수공간 (Hardy space, (harmonic) Bergman space, Dirichlet space) 에서여러작용소 (Toeplitz operator, Hankel operator) 생각. 이작용소들에대한대수적문제 (boundedness, compactness, product problem, finite rank problem 등 ) 생각. 문제해결을위해함수론 (real-complex function theory) 의여러성질들이용.

83 Closing 감사합니다!! 영어론, Thank you!!

84 Closing 감사합니다!! 영어론, Thank you!!

Vector Differential: 벡터 미분 Yonghee Lee October 17, 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표

Vector Differential: 벡터 미분 Yonhee Lee October 7, 08 벡터미분의 표기 스칼라미분 벡터미분(Vector diffrential) 또는 행렬미분(Matrix differential)은 벡터와 행렬의 미분식에 대 한 표기법을 정의하는 방법이다 보통 스칼라(scalar)에 대한 미분은 일분수 함수 f : < < 또는 다변수 함수(function