Mosley 실험 1913년 Ca 20, Sc 21, Ti 22, V 23, Cr 24, Mn 25, Fe 26, Co 27, Ni 28, Cu 29, 그리고 Zn 30으로부터의 radiation을연구하던중 Mosley는 Mosley의법칙으로알려진법칙을발표했는데이는 이

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1 Mosley 실험 1913년 Ca 20, Sc 21, Ti 22, V 23, Cr 24, Mn 25, Fe 26, Co 27, Ni 28, Cu 29, 그리고 Zn 30으로부터의 radiation을연구하던중 Mosley는 Mosley의법칙으로알려진법칙을발표했는데이는 이들원소들로부터의 X-선의진동수는근사적으로방출원소의원자량의제곱에비례한다 로간단히기술할수있다. 모슬리는아래그림으로부터 80 X-ray 선 K-series 간단한관계식 cm 을얻었다. 은리드베리상수 cm -1 이고 와 는상수이다. 선에대해서는 이고 인데이는수소유사원소들의 Balmer series 와의유추에의해 에의해 선이 전이로부터방출되고전이에참여하는전자가보는핵전하 는 에있는전자에의해차폐가되어 로보이기때문이다. 모슬리는 를 에 대해 plot 을했는데 Sommerfeld 에의해차원이없는 의 에대한 plot 이이루어졌 다. 예제 : 모슬리의공식을이용하여알루미늄의 선의에너지를구하라. 풀이 : 알루미늄의원자번호는 13번이므로원자수는 이고 Rydberg 상수 은 cm -1 로주어지므로 *(13-1) 2 *(1-1/4) cm -1 = cm -1 = 1.47 ev 을얻는데이값은표 1의값 1.5 ev와일치하는것을볼수있다. X- 선의생성 X- 선은매우빠른속력을갖는전자를금속에부딪쳐발생시킨다. 필라멘트를가열하여

2 - high voltage + source electrons - + rotating anode X-rays 발생된전자를음극과양극사이에전압을걸어가속을시켜금속판으로이루어진양극 (anode) 에충돌을시키면 X-선이발생이된다. 음극과양극간에걸리는가속전압에의해발생되는 X-선의최대에너지가결정이된다. 이러한가속전압을 kilovolt peak(kvp) 라고부른다. 이러한 X-선을발생시키는 X-선관은가열된필라멘트에서나오는전자가공기분자와의충돌로에너지를잃을수있음으로진공으로만든다. 80kVp에서작동하는 X-선관에서발생되는 X-선은최대에너지가 80 kev인에너지스펙트럼을보인다. 이러한발생장치는가정집에있는컬러텔레비전안에도있다. breast cancer를검출하는 mammography 에서는 25에서 50 kvp가쓰이고흉부 X-선촬영의경우는 350 kvp까지쓰인다. 100 kv 의가속전압으로 1A의전자가양극으로흐른다면양극에 100 kw(=iv) 의파워가주입이된다. 이중에서 X-선으로방출되는에너지는 1% 도되질않고나머지 99% 이상은열로바뀐다. 이러한 X-선이양극에쪼이는면적은보통수 mm 2 로양극은 1초도안되어녹아버리게된다. 양극이녹는것을막기위해그림에서처럼양극의모양을입사각이 90 o 가아니라기울기를주어단면적을작게하고한부분이집중적으로열을받지않도록양극을회전시킨다. 예제 : 양극으로구리가사용됐다고하자. 구리의비열은 J g -1-1 이고밀도는 8.96 g cm -3 이다. 원판모양의양극의반지름이 50 mm이고높이가 10mm라고하고양극에주입된 100 kw의파워가전부양극의온도증가에쓰였다면 1초후의양극의온도는얼마인가? 풀이 : 에서질량은 에의해구하면 78.5 cm = 704 g이므로 369 가된다. 본문에서처럼수 mm 2 인경우는더온도가높을텐데면적을 10 mm 2 높이를 1 mm라고하면 1초후의온도는 으로이는구리의녹는점보다훨씬높으므로 1초도안되어양극은녹아버릴것이다. 수십 kv로가속된전자가금속원자에가까이가게되면원자에있는전자들에의해감속이되면서소위 bremsstrahlung이라고불리는현상에의해에너지를잃거나 inner-shell 전자를내쫒는다. 전자의경우에는 white radiation이라고도부르는 X-선영역을포함하는넓은영역의전자기파를내놓고후자의경우는 K 각의전자가내쫒기거나 L각의전자가내쫒기게된다. 이렇게생긴빈 K각에 L각에있는전자가내려오면서내는 X-선

3 을 characteristic X-선이라고부르고 M각의전자가내려오면서내놓는 X-선을 X-선이라부른다. 이러한 X-선은넓은범위의광양자에너지를갖질않고특성적인광양자에너지를가진다. electron with less energy K L M Bremsstrahlung X-ray photon electron characteristic energetic electron K L M X-ray photon K electron (kev) K-Edge (kev) Aluminum Calcium 5 6 Copper 8 9 Molybdenum Iodine Tungsten Lead 표 1 Approximate energies of the X-rays and K-Edge for several elements 이러한특성적인 (characteristic) X-선은 mammography 이외에는의학에서별로사용되질 않는다. 지금까지기술된 X- 선발생기에서발생되는 X- 선의스펙트럼을그림 5 에보였다. 넓은범위에걸쳐서서히변하는곡선은 bremsstrahlung 에의한것이다. 뾰족한봉오리는 characteristic X- 선에의한것이다. 리에흡수가된다. 발생된 X- 선중에너지가작은것들은 X- 선관의유

4 Photon energy 그림 5 The spectrum from a tungsten X-ray tube operated at 87kVp. All of the energies below 12keV are absorbed in the glass wall. 12keV are due to noise. Counts below * 용어의유래 : X-선이파동이라는것이명확히밝혀지기전, Barkla와 Sadler는알루미늄에의해 X- 선이흡수되는현상을연구하던중연속적인 background radiation과같이나오는 X-선에는알루미늄에의투과정도가다른두종류가있는것을발견했다. 그들은 hard radiation이라고불리는더잘투과하는 X-선을 radiation이라불렀고, soft radiation이라불리는투과성이약한것을 radiation이라불렀다 [C. G. Barkla 와 C. A. Sadler, Phil. Mag., 17, 739, 1909]. * radiation은큰에너지때문에응용성이크다. 소듐의경우에는 1 kev, 원자수가 31인갈륨의경우에는 10 kev, 원자수가 88인라듐의경우에는 100 kev이다. 반면에 radiation은원자수가 28이더라도 1 kev이고 10 kev가되려면원자수가 74가되어야한다. X- 선의흡수 물질에흡수되는 X- 선은단색광이면 Beer-Lambert 공식 에따라에너지가감소 한다. 는 attenuation 계수라부르고 X- 선에너지의함수로 X- 선의에너지가커지면 (hard) 작아진다. medical imaging 에서사용되는 X- 선의에너지영역에서는 attenuation 은 주로 photoelectric effect 에의한기여 와 Compton 충돌에의한기여 의합 로주어진다. X- 선이단색광이아니면높은에너지의 X- 선때문에시료의두께가두꺼워 짐에따라 Beer-Lamber 공식에의한것보다느리게감소한다. X- 선의에너지가반으로 감소하는층의두께는 half-value layer (HVL) 라고부른다. 이값은알루미늄의경우는 2.5mm 이다. HVL 는 attenuation 계수와다음과같은관계식으로관련된다 : HVL =. 납에서는 HVL 의값이 0.1 mm 이다. 1.5 mm 두께의납판은 15 HVL 에해당하고 X- 선의 에너지가 2 15 즉 30,000 배감소한다. 물질의밀도에따른영향을제거하기위해 attenuation 계수보다 mass attenuation 계수 도사용된다 :.

5 요오드 납 (cm 2 /g) 1 뼈 근육 지방 X-ray energy (kev) 그림 6 for various tissues, lead, and iodine. 그림 6 은지방, 근육, 뼈, 요오드, 납의 mass attenuation 계수를보여준다. 그램에대한값 을비교하면 30 에서 90 kev 사이에서는요오드가납보다훨씬좋은 X- 선흡수제인것을 볼수있다. 이는요오드의 X- 선흡수가 30 kev 에서갑자기크게증가하는데기인한다. 이 렇게갑자기흡수가증가하는이유는 photoelectric 효과때문이다. photoelectric effect 는 X- 선의에너지가원자에서의전자의결합에너지보다커서 전자를쫒아내어원자가이온화가되는현상을말한다. 이러한현상은강한전장이존재하 는핵가까운주변에서훨씬잘일어난다. 즉 K 껍질의전자가다른껍질의전자보다 X- 선 에의해쉽게이온화되는것을뜻한다. X- 선에의한 K 껍질의전자의이온화과정에대한 단면적을양자역학에의해구하면 ( 부록참조 ) 로주어지는데이는광이온화단면적 (photoionization cross section) 이핵전하의 5 승에, X- 선의에너지의 -7/2 승에비례하는것을보여준다. 실험값에서는핵전하의 4 승에서 5 승 의값을가져간단한양자역학계산에의한결과가실험값과어느정도잘맞는것을볼 수있다. 요오드원자에서 photoelectric 효과가일어나려면 X- 선의에너지는요오드의 K 껍 질에서의전자의결합에너지 33 kev 보다커야한다. 따라서그림에보인것처럼 X- 선의 에너지가 33 kev 보다크게되면 X- 선의흡수가갑자기크게일어난다. 이러한급등되는 영역을 K-edge 라고부른다. 뼈, 근육, 지방에서도 K-edge 가있지만매우작은에너지에서 일어나기때문에그림에는보이지않는다. ( 칼슘의경우 K-edge 는 ~6 kev 에위치한다.) X- 선이에너지를잃는또다른메커니즘은 Compton 현상에의한것이다. Compton 현상은 X- 선의에너지가커서입자처럼행동을하여원자의전자와충돌하면서 에너지를잃음에따라나타난다. Compton 현상에의해 x- 선이에너지를잃는것은원자수 에는비교적무관하고원자의전자수에주로좌우되는데이는 Compton 충돌이원자외각 의느슨하게붙들린전자들에의해주로일어나기때문이다. X- 선이갖는 effective 질량은 X- 선의에너지를빛의속력의제곱으로나눈양으로계산된다 ( ). 전자의질량이갖

6 는에너지는 511 kev임으로 X-선이이러한크기의에너지를가질때 Compton 현상은크게일어날것이다. 그런데 Compton 현상은단위부피당전자의개수에비례하고지방, 근육, 뼈의경우거의비슷한수를가짐으로 Compton 현상에의해서는이들조직들을거의구별할수가없다. 그림 7 for water in the 10 to CE 10 5 kev range. PE: phoelectric, CE: Compton effect, PP: pair production. (J.C Cameron과 J.G. Skofronick가쓴 Medical Physics 에서발췌.) 0.01 PE PP photon energy (kev) 그림 6에서뼈, 근육, 지방의경우 150 kev에서는 값이거의비슷하고이는 Compton 효과가주된에너지소실메커니즘이라는것을말해준다. 이외 X-선이에너지를잃는다른메커니즘으로는 X-선의에너지가원자핵근방에서전자-반전자쌍으로변환되는과정이다. 그러나이러한변환이일어나기위해서는 X-선의에너지가두쌍의정지질량에너지 1.02 MeV보다커야함으로 X-선의에너지가이보다작을때는그림 6에서보듯이무시할수있다. 그림 6에의하면 30 kev에서는뼈가다른조직보다 8배이상 X-선을더흡수하는것을보여주고따라서 photoelectric 현상이주된에너지를잃는메커니즘이라는것을말해준다. 임상적으로 photoelectric 효과를더욱효율적으로이용하기위해요오드를포함하는물질을 ( 조영제 ) 주사한다. * 원자수가그리큰차이가나지않는 soft tissue사이의차이가크게들어나게하려면 에거의무관한 Compton 충돌보다는 에비례하는 photoelectric effect가주되게일어나게해야하고그러려면 kev의낮은에너지의 X-선을써야할것이다. 반면의흉부 X-선촬영은조직들간의더큰차이를보이므로 kev의 X-선이쓰인다. * photoelectric 단면적은광자에너지 에대해 에비례하여변하고 Compton 충돌 단면적은 로변한다. 따라서낮은광자에너지에서는광전효과가중요하고광자에너지 가커질수록 Compton 효과가더중요한역할을한다.

7 그림 8 사람의 soft tissue를가로지르는 X-선의 linear attenuation coefficient는광이온화에의한흡수와 Compton 충돌의두기여에의한다. 그림 7과다르다. 어느것이맞는지확인못함. (Physics Today 월호에서발췌.) Compton scattering 전자와의 Compton 충돌에의한 X- 선의에너지의변화를생각해보자. 전자의정지질량을 라고하고충돌전의전자의운동량은 0, 후에운동량은, X-선의충돌전의운동량을, 후의운동량을 라고하자. X-선과전자의운동을입자간의충돌로취급하면이러한충돌은에너지와운동량보존법칙을만족시켜야한다. 그런데충돌후에전자의속력이빛의속도가까이되면전자의에너지로 relativistic energy (1) 를써야하고반면에충돌전의전자는정지질량이갖는에너지 를고려해야하므로에너지보존법칙은 (2) 로되는데이를제곱을하면 (3) 가된다. 또한운동량보존법칙으로부터전자에전달된운동량은 (4) 로얻는데이의크기의제곱은 (5) 가된다. (5) 식에서 (3) 식을빼고양변을 로나누고 (2) 식을이용하면 cos

8 을얻는다. X- 선의파장, 운동량, 진동수사이의관계식은 이를써서충돌후 X- 선의진동수를구하면 로주어지므로 (6) cos 로얻어진다. 충돌전후의운동량의비는다음과같다 : cos. (7) 원자번호가 인원자에의해 ( 전자의스핀은무시하고전자의질량과전하량을 로쓰자 ) 빛이산란이될때의충돌단면적은부록에서유도된바에의하면 cos cos cos (8) 로주어지는데이는톰슨단면적이라불리는톰슨의고전역학에의한공식 cos (9) 과 만큼다른데이인자는 phase space factor 라불리는양이다. (ds/dw)/(e 2 /mc 2 ) Differential cross section of X-ray by a charge particle at rest E/mc 2 = 0 E/mc 2 =0.25 E/mc 2 = 0.5 E/mc 2 = 1 Class Thomson result 0.3 E/mc 2 =0.25 (Klein-Nishina) 0.2 E/mc 2 =1 (Klein-Nishina) cosq 미분단면적의단위로는 를썼는데 는고전적인전자의반지름으로알려진 양으로 ( 보통 로표기 ) cm 의값을가지므로결국단면적의값은 cm 2 에대한상대적인값으로매우작은값이다. 위의그래프는 X- 선의에너지가커질수록 점점 back scattering 의값이작아지고 forward scattering 이주된과정이되는것을보여 준다. 위의 Compton 충돌공식은전자가스핀이없다고가정하고유도된공식인데전자 의스핀을고려한충돌공식은간단하게유도되지않고 Dirac 의 quantum electrodynamics 를이용하여유도해야하는데 Klein-Nishina 에의해처음으로유도되었기때문에그들의 결과식은 Compton 충돌에대한 Klein-Nishina 식이라부른다 : cos cos cos cos cos (10)

9 위그림에서볼수있듯이전자스핀의영향을고려한 Klein-Nishina 공식은 back scattering 값에큰영향을주는데이에의해단면적이작아지는것을볼수있다. 과식은 전체단면적을구하는것은약간복잡하다. 이에대한유도는부록에적었는데결 ln (11) 로주어진다. 위식은 Compton 충돌에의한단면적의에너지에대한 dependence 는 ln 로주어지고원자수에의의존성은 로주어지는것을보여준다. 원자수에의의존 성은 sum rule 로부터유도된것이다 : ln C om pton (12) kev 100 kev 500 kev MeV 10 MeV 그림 11 여러 X-선에너지에대한 Compton scattering 단면적의각도분포

10 Pair creation

11 모든과정에대한전체단면적 Z Backscatter 그림 16 X-ray의단면적. (G.E. Knoll의 Radiation Detection and Measurement에서발췌.) Z Backscatter 는물질로부터 compton 효과에의해산란되어나오는 X- 선을이용한다. 그 림 16 은 X- 선의에너지를 60 kev 로선택을하면 Compton 산란은주로 Al 이나이보다가 벼운원소들에의해일어나고무거운원소들은광이온화에의한흡수를일으키는것을보여

12 준다. 이에의해 Z backscatter 신호는특히통상적인 X-선영상에서는보기힘든폭발물이나, 플라스틱, 다른유기물에대해강하다. 심지어금속들도 Z backscatter 영상을보여주어해석을하는데도움을준다. 짐칸에숨어있는사람들의영상 그림 17 American Science and Engineering, via Agence France-Presse LEFT A backscatter X-ray image shows the skin surface and objects hidden by clothing. RIGHT A "cloaked" backscatter image turns the X-ray into an image resembling a drawing. (New York Times 2005 년 10 월 9 일기사에서발췌.)

13 Nuclear medicine imaging devices 그림 20 동위원소. 안정도띠 (belt of stability) 에서벗어나면방사능을가 지는데 C 에서처럼중성자 / 양성자 수의비가크면 - 붕괴 C N 를일으키고, C 에서처럼중성자 / 양성자수의비가작으면양전자를 방출하거나 C B K- 전자포획을일으킨다 : Ar e Cl. 병원환자의 3명의 1명은 nuclear medicine 과정을받는다. 24 Na( 반감기가 14.8 hr, 방출 ) 는혈액의흐름을추적하거나순환계에서나타나는협착 (stenosis) 이나폐색 (blockade) 을모니터할수있다. 131 I ( 반감기 8.04 day, 방출 ) 은갑상선의활성을검사하는데사용되는데 Na 131 I를환자에게마시게한후갑상선바로위에서방사선을측정함으로써갑상선의이상을감지할수있다. 이러한측정은 scintillation counter에의해방사선의양만을측정하는데감마카메라를이용하여영상을얻기도하는데요오드의다른동위원소인 123 I ( 반감기 13.2 hr, 전자포획, 선 ) 은뇌의영상을촬영하는데사용된다. 99m Tc( 반감기 6 hr, 140 kev의 -선방출, m은 metastable을나타냄 ) 는핵의약

14 품중에서가장중요한원소중하나이다. 이들은모든동위원소들이방사성인데다음반응 에의해합성된다 : Mo n Mo Mo m Tc 위첨자 m 은 99 Tc 이들뜬핵상태에있는것을나타내고 6 시간의반감기를갖고바닥상태로 떨어지면서감마선을내놓는데이감마선은쉽게몸을투과하고수미리두께의납으로쉽 게차폐를시킬수있는유용한에너지수단이다. 환자들은 99 Tc 이들은용액을마시거나 주사를맞는데 99 Tc 에서방출된감마선은심장, 간, 폐와같은기관들의영상을보여준다. 그림 I 를이용하여촬 영한사진. 왼쪽 : 정상뇌. 오른쪽 : 알츠하이머환자의 뇌. ( 일반화학, Raymond Chang, 4 판에서발췌 ) 그림 22 산소 -15 나탄소 -11 같은반감기가짧은방사성핵종 (radionuclides) 을얻기위해 병원에서사용된첫번째가속기. St. Louis, Missouri 의 Washington 대학 Mallinckrodt institute of radiology 소재. (Physics Today 1983, July, 26 에서발췌.)

15 양전자방출단층촬영 Positron emissition tomography (PET) 11 C ( 반감기 20.3 분 ) 혹은 15 O ( 반감기 124 초 ) 와같이안정한원소에서보다중성자보다양 성자가많은방사성동위원소들은붕괴할때양전자를방출한다 : C B 이렇게방출된양전자는주변의전자를만나면소멸하면서감마선을내놓는데 head-on collision 이아니면그들이가지고있는속력때문에바로소멸되지않고서로주위를맴돌 게된다. 이러한회전운동은복사선의방출을야기시키고궤도반지름이작아지면서두입 자는결국은만나소멸이된다. 혹자는이를죽음의춤 (death dance) 이라고표현하는데적 절한시적표현이라볼수있다. 소멸시양전자 - 전자계의운동량은영으로볼수있으므로 운동량보존법칙에의해같은에너지 511 kev 의두감마선이반대방향으로방출이된다. 양전자가방출이되어소멸되기까지이동하는거리는대략수 mm 정도되는것으로측정 되어있고이만큼양전자방출위치에대한오차가생긴다. 이들을포도당과같은물질에넣은다음환자에게주사한다. 신체로부터양전자방 출흔적을따라서건강한사람과그렇지못한사람의혈액의흐름과포도당신진대사를연 구할수있다. 뇌로부터발생하는 PET 사진은특히유용한데포도당대사가정상인과그렇 지않은사람사이에서다르게나타나기때문이다. 알츠하이머, 파킨스씨병, epilepsy, 심 장근육대사에영향을주는관상동맥관련병의치료에쓰이고뇌, 폐, 유방에서의암을발견 하는분야로의발전이이루어지고있다. conventional film radiography, digital subtraction angiography 나 computed tomography (CT), magnetic resonance imaging(mri) 에서는영상을얻는조직의화학적 인조성에대해서는간접적인정보만을얻을뿐이다. 그런데많은병들의경우초기에신진 대사에서의변화가먼저일어나고후에기관의크기나, 위치, 밀도의변화가일어난다. 방사 성표지를단화합물을이용하여생화학반응경로를추적하는것은잘알려진연구도구이 다. CT 기술은방사성핵종 (radionuclide) 의공간적분포를측량하는데사용될수있다. 이 러한일을성공적으로수행하기위해서사용되는방사성핵종은두가지요구사항을만족시 켜야한다. 대사경로에서의화학종을따라서행동해야하고, 이들의경로를쉽게추적할수 있어야한다. positron emitter 는이러한경로를추적하는목적에딱부합되는선택인데이 는양전자소멸시생기는두개의 511-keV 의감마선이쉽게경로를재구성할수있도록 하기때문이다. 신진대사물에주입되는양전자방출원소로는 C 11, N 13, O 15, F 18 이쓰인다. 그림 23 환자를 둘러싸고 ring 있는 camera 에서 의 PET 검출기의 배치. 요즘의양전자방출단층촬영기는분해능이 4 mm 정도되고, 검출기의수는 19,000 개정도 된다 (1995 년도의수치 ). 감마선의검출에는 NaI 결정이쓰이는데 coincidence resolution time 이 10 ns 정도된다. coincidence 검출은 background noise 를제거를쉽게제거할수

16 NaI 결정 Lead shieding 있도록도아주어선명한영상을얻을수있도록한다. 이러한영상은적은방사성물질만으로도얻을수있다. 예를들면심장벽의비정상적인움직임을검출하기위한용도로피의흐름을추적하기위해 11 C( 반감기 20분 ) 로표지된일산화탄소를쓰는데수밀리큐리의양만으로충분하다. 이러한양은일산화탄소 분자에해당하는데이는 1/3 picomole에해당하고일산화탄소중독을일으키려면이보다 배더농도가진해야한다. 일산화탄소는물론피속의헤모글로빈에결합이된다. 이를이용해심장의 fluid volume을측정하는데이는다른 imaging technique에의해서도얻을수있다. 다른방법에의해얻을수없는영상의예로 Rb-81을이용하여심장근육으로의피의흐름을추적하는것을들수있다. 정상적인심장에서는 100 g의심장조직당분당 50 ml의피가흐른다. 염화루비듐은포타슘경로를따르는데피에의해공급이이루어진다. 16mCi의 81 Rb으로표지된염화루비듐을정맥에주사함으로써심근에서의관류의깨끗한영상을얻을수있다. 국부적인대사요구량은 fluorosugar나지방산을방사성표지시켜심장의생화학상태와영양분요구량을측정함으로써맵핑을할수있다. 뇌의연구에서 PET는큰기여를하고있다. 뇌에서는오직산소와포도당만이대사의기질로써의목적에부합된다. 이를위해포도당을탄소-11로표지시킬수있지만포도당의대사생성물인젖산이나이산화탄소와구분이어려워해석상의어려움이있다. 대신에포도당의불소 analog인 2-fluoro-2-deoxyglucose는 blood-brain-barrier를쉽게통과하고완전히대사되지않고 2-FDG-phosphate로트랩되게된다. 불소-18로표지된 2-FDG는뇌의포도당흡수에대한 PET 영상을얻을수있게한다. 이러한영상을통해그림 25 PET 영상은여러종류의청각자극에대해살아있는뇌의종단면에서의 F 18 표지된 2-deoxyglucose의분포를보여준다. (Physics Today 1983년 7월판에서발췌.)

17 다른정보처리에따fms 뇌의신진대사의국부적차이를알수있다. 산소는트랩이될수없지만산소-15로표지된산소 ( 반감기 2분 ) 를들이마신촬영대상 (subject) 이 5-10분동안 steady state에도달할수있는점을이용한다. 국부적인출입의차이는붕괴와대사활성에의해균형이잡히고이를통해국부적인산소요구량을측정할수있다. 국부적인피의흐름은물을산소-15로표지시켜볼수있다. Magnetic Resonance Imaging (MRI ) 2003년노벨의학및생리학상은 magnetic resonance imaging을발견한공로로 Paul Lauterbur와 Peter Mansfield에게수여되었다. 이들의발견은현대 MRI의발전을가져왔고진단의학에서의돌파구를열었다. MRI에서사용되는 rf 광자에너지는 10-7 ev 정도로그림 26 MRI는신체의모든장기의영상을얻는데사용된다. Nobel site에서발췌. h e r p e s M S ( m u t i p l e encephalistis를앓 sclerosis) 를앓는 목의 MRI. 붉은화살 는 환자의 MRI 환자의 MRI. 흰점 은디스크가이탈되어 spinal canal을누르는것을보여준다. ( 흰영역 ) 은 MS-plaques를나타낸다. X-선의에너지 10 5 ev에비해매우작아환자에게주는피해가훨씬줄어든다. X-선에서 처럼광이온화를이용하지않고화학결합을끊음이없이결합에대한정보를 rf 전자장으로 부터얻기때문에환자에게해롭지않다. 한편이러한작은시그널을사용하기때문에영상을얻는데많은시간이소요되는 단점이있다. 예를들어 X-선 CT 촬영에의해뇌에서의 ventricle의 morphology를보는데

18 2초면족한데 MRI에의해서는수십분이소요된다. MRI를얻는핵심은자장의기울기를이용하는데있다. 핵의공명진동수는외부자장의세기에비례하는데공간적으로외부자장이일정하지않으면핵의공명진동수도공간에따라달라질것이다. 아래그림에서물이담긴플라스크의 MRI 영상을생각하면자장이균일한경우에는하나의진동수만측정이될것이다. 자장이비균일한경우에는자장이작은경우에는작은진동수에서큰경우에는큰진동수가대응되고각진동수에서의 MRI 강도는양성자의수에비례하므로물의영상이그림에서처럼보일것이다. 강도 진동수 강도 진동수 MRI는공간적인 3차원영상을얻는데쓰일뿐아니라 nmr 시그널의 decay time 을측정함으로써조직의물리화학적인성질들에대해알수있다. nmr 신호의 decay time은크게두가지종류로분류가되는데비평형상태의핵스핀 population 분포가얼마나빨리평형상태의분포로가는가에대한 decay time 과여러핵스핀들의 coherency가얼마나한시간동안에사라지는지에대한시간 가있다. 이러한시간의공간분포에따른변화를같이측정함으로써예를들면인-31의대사정보에대해얻을수있다. 그림 28 복부의 coronal slice의 MRI 영상. 밝기의차이는 decay time의차이에해당하고예로근육과지방조직같은다른화학적인환경을반영한다. (Physics Today 월호에서발췌.)

19 X- 선 computed tomography (CT), computed axial tomography (CAT) 3차원 X-선영상을얻는방법은 Cormack 등에의해개발된수학이론에의해가능해졌다. 이에대해서는 1979년노벨의학및생리학상을 Hounsfield와공동수상한 Cormack의 nobel lecture를보기바란다. 여기서는단지 X-선을이용해찍은영상만을아래에실겠다. 그림 29 머리의 X-선 CT 영상. 뇌조직은두개골이나검은영역으로나타나는 cerebrospinal fluid로찬 ventricle과확연히구분된다. ventricle 오른쪽의흰부분은병에의한것이다. (Physics Today 월호에서발췌.) Phase-sensitive X-ray Imaging

20 그림 31 phase-contrast X-ray로찍은사람의콩팥샘플 ( 직경 5mm). 영상은물과샘플간의굴절율의차이를써서얻어진다. 어두운영역에암이있다. 그림 32 사람의유방암표본 (specimen). 처음사진은보통의 X- 선흡수영상이고두번째사진은 diffraction-enhanced 기술 (DEI) 에의한영상이다. DEI 기술은굴절율의변화에민감한데경계면에서특히민감하여 edge enhancement를보이는데이에의해암성장의가는선 (spiculations) 이 DEI 영상에서더확연히보인다. 참고문헌 1. U. Fano와 A.R.P. Rau, Atomic Collisions and Spectra (Academic, 1986, San Diego). 불과몇년의연구기간에그쳤지만 Bethe와더불어 radiology에크게기여함. Born scattering, Bethe-Fano formula에대한훌륭한기술. 2. I. Tinoco, Jr., K. Sauer, J.C. Wang 그리고 J.D. Puglisi, Physical Chemistry, 4판 (Prentice-Hall, 2002, New Jersey). 분광학에대한전반적으로매우좋은책자.

21 3. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics 2판 (John Wiley & Sons, 1975, New York). Thomson scattering, Rutherford scattering, Compton scattering에대한좋은책자. 4. B.H. Bransden과 C.J. Joachain, Quantum Mechanics (Longman, 1997, Edinburgh). Photoionization에대한좋은소개책자. 5. J.R. Cameron과 J.G. Skofronick, Medical Physics (John Wiley & Sons, 1976). 여기서다룬타픽뿐아니고전반적으로 medical physics에대한매우좋은소개책자. 6. W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 3판 (Dover, 1954, New York). X- 선, -선과물질의상호작용에대한연구역사와, 이론의완벽한기술, 실험과의완벽한비교를접할수있다. 흠은내용이오래전의일에국한되어최근의많은일들이누락된점이다. 7. A.C. Melissinos, J. Napolitano, Experiments in Modern Physics, 2판, (Academic, 2003, San Diego). Heitler에대한 reference를이책에서접함. 8. 그외 radiology에대한많은책자들이있으나 original reference가아닌후대의책으로전공자를위한책으로전관련분야에대한광범위한내용을다루고있으나근본적인이해를원하는경우에는적합지않고내용이너무방대한점이흠임. 그러한종류의책으로 G.F. Knoll의 Radiation Detection and Measurement를들수있겠다. 부록 Photoionization 바닥상태에있는원자가빛을받아이온화되는경우를생각해보자. 전자한개인원자를생 각하면원자의바닥상태는 (44) 로주어진다. 는핵의전하이다. 이상태의에너지는 이다. 최종원자상태 는핵의 Coulomb 장하에서 의운동량을갖고움직이는전자로 구성되어있다. 이러한 continuum state 를 로표시를하고에너지를 라고하면 와같은관계식을만족한다. 근사적으로전자와핵간의상호작용을무시하면 로주어지고다음과같이 normalize 된다 : (45). 원자가빛을받아 로들뜰확률은 (13) 식으로주어진다 : cos cos,

22 그런데 는 continuum state 로실험적으로는정확히 를갖는상태만을측정할수 없고 구간안에서측정을하게된다. 즉 상태의원자가빛을받아 구간으로들뜰확률은 cos cos (46) 로주어진다. 로쓸수있고 는 의 solid angle 로 sin 로쓸수있다. photon 그림 33 은빛의편광방향. 의 spherical coordiate = (). (46) 식으로주어진확률은시간이지남에따라더욱 주위로 peak 를이루게된다. 에 서는다음과같은에너지보존칙을만족시키는 로만전이가일어난다 :. (47) 그러면총전이확률은 cos cos 로계산되고 는 에서계산된값이다. 에대한적분의하한을 로확대하면 총전이율은 cos cos (48) 로된다. 위의식은 Golden Rule 의공식의꼴로적을수있다. sin 를 로적으면 Golden rule 공식에의하면 가성립이된다. 그런데 임으로 (49) cos.

23 그리고 를 의 solid angle 이, 에너지가 구간 에서의상태수를나타낸다면 에서 로얻어지는데이를 이용하면 (48) 식이 (49) 식의형태가됨을볼수있다. 단면적 photoionization 단면적은 의정의식에의해구하면 cos (50) 로주어진다. (44) 와 (45) 를이용하여전이모멘트 를계산하면 오른쪽항의적분은 의푸리에 transform 으로다음과같이계산된다 : 그러면단면적은 cos (51) 는 fine structure 상수이다. 그런데빛에의해방출되는전자의에너지가원자에서의 binding energy 보다훨씬크면즉 이면에너지보존법칙인 (47) 식은 따라서. 또한 항은 항에비해무시할수있다. 이런근사에서는 cos 미분단면적은 cos 그런데 는 와빛의편광축 이이루는각이다. 편광축을 축에놓고 spherical triangular rule 을적용하면 cos sin cos 빛의편광이되어있지않으면각도 에대해평균을구해야한다. 그러면 cos 는 1/2 이 되고미분단면적은 sin 로된다. 이공식은빛에의해이온화가되는전자는빛의입사방향에수직한방향으로가 장많이방출되는것을보여준다. 편광되지않은빛에의한전체 photoionization 단면적은

24 위의공식을적분해서얻는다 :. 위의식은빛의진동수가증가할수록이온화단면적은 로감소하는것을보여준다. 또 한핵의전하

25 를얻기위해 를곱하여얻는다. 이를정리하면 (2) 를얻는데이러한양을미분단면적 (differential cross section) 이라부른다. 위의식을좀더분석하기위해 의 Fourier 전개를생각하자. 입사하고있는입 자와타깃원자의구성성분 1, 2,..,,... 간의퍼텐셜 는거리의함수로주어지므로 로적을수있는데이의 Fourier 변환은 (3) 로주어진다. 이를써서 를계산하자. = exp, = exp 와위의퍼텐셜의 Fourier 변환식을 에대입하면 를얻는다. 위에서 이다. 의전하를가진입사입자와 의전하를가진타 깃을생각하면입사에너지가큰경우 Coulomb potential 이주된상호작용이고이경우에 는 로주저진다. 이를위식에대입하면 (4) exp (5) 를얻는다. 위에서 form factor 라불리는 (6) 를도입했는데이는 target 만의성질에의해결정되는양으로 상태의전하분포의 에대한 Fourier 성분을나타낸다. 최종상태가처음상태와같으면이는 target 의바닥상태전하분포의 Fourier 성분이다. 값을바꾸어가며실험함으로써우리는타깃 의전하분포에대해알수있다. (6) 식을 (2) 식에대입을하면 (7) 를얻는데오른편의첫번째항은 Rutherford 단면적으로부르는양으로전하 를가진 입사입자가 의전하를가진입자와운동량전달량 의충돌을하는경우의미분단 면적을나타낸다. Rutherford 단면적은운동량전달이영으로가면무한대로발산을하는데 이는 forward peak 이무한대로가는것을이야기해주는데이는큰에너지충돌의경우타 깃에의해경로가거의변치않기때문에생기는현상이로이러한충돌을 impact collision 이라부른다.

26 작은충돌각도 (Small deflections) 운동량전달이작은경우는고전충돌경로가타깃으로부터먼경우즉큰 impact parameter 의경우에해당한다. 탄성충돌의경우에는 Rutherford factor 는충돌 경로가휘지않고직진하는경우에는무한대로발산을하나, 이경우운동량전달은영으로 수렴하고 form factor 는 lim 에의해영으로간다. 그런데 form factor 가영으로접근하는속도는지수함수적으로 Routherford factor 보다더크기때문에 전체적으로탄성충돌의경우 forward scattering 은영으로접근을한다. 비탄성충돌의경우의작은 deflection 을생각하면 이고, cos 는타깃의 excitation energy 이고 는 impact 속력이다. [] 의처음항은 zero angle 의제곱항이라고부르는데입사전자의에너지가 50 kev 이고 가 10 ev 인경우 10-4 의작은값을가지고미분단면적은매우큰 forward peak 을가진다. zero angle 의값은 projecctile 로무거운입자를쓸수록더작아질것이다. 따라서미분단면적의 각도의존성을연구하려면가벼운 projectile 을쓰고이런이유로전자를선호한다. 작은 deflection 의경우는 impact parameter 가큰경우에해당한다. 그런데 impact parameter 가큰경우에는타깃원자에작용하는힘은원자전체에걸쳐거의 uniform 한데이는빛과원자의상호작용의경우빛의파장이매우커서원자가받는전장 은원자전체에걸쳐 uniform 하다는 dipole 근사하는것과같은상황이다. 또한힘은시간 적으로가파른정점 (sharply peaked) 을가지는데이는 projectile 이매우빠른속력을갖기 때문이다. 이는힘의푸리에성분의 (8) 진동수에대한분포가넓고고른크기의분포를가진 다는것을의미한다. 이는긴파장의넓은스펙트럼의빛을쬐어주는것과동등하다. 빛의 경우진동자강도 (oscillator strength) 라는양을쓰는것이편리한데전하를띈입자들간 의충돌에서도 generalized oscillator strength 를다음처럼정의를하자 : (9) ( 같은에너지에대해서광자의운동량은입자의운동량에비해매우작은데이는 로볼수있다.) momentum of photon momentum of electron 큰충돌각도 (Large deflecgtions) 앞에서쓴 Born 근사는 small deflection의경우를위해고안된방법이다. 그러나 small deflection에서얻은공식인 (7) 식은여전히큰충돌각도 (deflection) 에서도성립하는데이는다른이유로성립한다. 큰충돌각에서는운동량전달량은타깃을이루는성분들이가지고있는운동량보다훨씬크다. 이러한상황에서는타깃원자에묶여있는전자들은자유전

27 자처럼행동하고 (7) 식의 Rutherford 단면적항은여전히이러한상황에서쓸수있다. 그런 데 form factor 항은 exp 를포함하고있는데운동량전달량이클때에는 phase 항이크기때문에매우빠르게부호가바뀌고적분에서이는상쇄를가져오고적분값을영 으로만드는데만약 target 의전자상태가이큰온동량전달을받아들일수있는경우에 는적분항은유한한값을가진다. 이는 target의들뜬상태에너지 가 과같 으면성립이되고이러한 값근방에서 peak 를가질것이다. 전체단면적 (total cross section) 전체단면적을얻기위해서우리는 (7) 식을전충돌각도에대해적분을하면되는데원자 들의경우많은경우구형대칭을가지거나 random orientation 때문에충돌계는 각도에 대해대칭이고식에나오지않는다. 따라서 (7) 식은 만의함수가되는데 cos 이므로 (7) 식은 만의함수로볼수있다. solid angle 은 에대해 먼저적분을하면 sin 를생각하면되는데이는 (10) 로쓸수있고 (7) 식은 ln (11) 로쓸수있다. 여기서 는전자의경우는보아반지름으로 로정의된양이다. 는 여기서는에너지단위로표현된양으로 로정의된양이다. (11) 식의유도를생각해 보자. Rutherford scattering 항을생각해보면 로쓸수있고마지막항인 는 와 합하면 가 되는데이는 (9) 식에의해 (12) (13) 로대체할수있다. (10), (12), (13) 식을합하고 를이용하면 (11) 식을얻게된다. (11) 식에서 는 로입사입자의 dimensionless 속력이다. 여기서 는 hyperfine constant 이다. (11) 식의오른편의두번째항은 form factor 항으로앞에서언급 했듯이 에서 peak를가진다. 가보아반지름인경우 값은 cm 2 ev 로주어진다. 보존법칙 이제 (11) 식의 값에대한적분을생각하자. 이값이가질수있는범위는에너지 (14)

28 과운동량보존법칙 cos (15) 으로부터그리고 를이용하여 cos (16) 가되는데이값의최소, 최대값은 과 에서일어나고 인경우에는 로얻어진다. m in, (17a) m ax (17b) 그런데 generalized oscillator strength 값은큰 값에서는급격하게감소한다. 따라서 (11) 식의 에대한적분은 의값이최대값이되기전에적분항의적분에대한 기여는무시할수있게되는데특히양성자같이무거운입자인경우더그렇다. 충돌각으 로번역을하면적분에대한기여는작은충돌각에서대부분온다. 이러한사실은 항을 에대한 power series 로전개를하는경우처음항만고려를해도된다는이야기 와같다. 그런데이러한전개에서처음항은 optical oscillator strength 와같다 ( 인경 우 generalized oscillator strength 가 optical strength 로가는것을상기하라 ). 충돌과정이 optically allowed process 이면 ln (18) 적분하한은 m in 이고상한은앞에서언급했듯이적절한값을취하면된다. 상한과하 한의비는관습적으로 로표현하는데이는 (17a) 식의 에대한의존성을보 여주기위함이다. 는전이의고유한상수이다. 전체단면적은 의 ln (19) ln 에대한 plot 은직선을주고기울기는 optical oscillator strength 의값의크기에비례한다.

29 그림 34 로표현된전체비탄성 충돌 단면적의 ln 에대한 plot. 큰속력에서 plot은직선 으로접근하는데기울기 는 optical oscillator strength와 같다. e-he + 계에대한실험. (Dolder 와 Peart의 Rep. Prog. Phys. 1976, 39, 693에서발 췌 ) Mean energy loss 충돌에의해잃는에너지를계산해보자. 처음에 상태에있는타깃원자한개에대해 잃는에너지는 effective retardation 이라고불리는양으로표현하는데 (20) 을원자의 number density 라고하면 는입사입자가주어진 solid angle 로산란될 때단위길이당잃는에너지를나타낸다. (11) 식을 (20) 식에대입하고 sum rule 그리고 를대입하면 (21) 를얻는다. stopping power 는단위길이당입사입자의에너지상실로정의되는양인데이 는 (21) 식을모든가능한 에대해적분을하여얻을수있다 : ln ln. 핵자기공명 (NMR) 핵은고유의성질로스핀각운동량과자기모멘트를가지는데이들은서로평행한방향을가진다. 고전역학적으로는전하를가진입자가어떤각운동량을가지고자전을하면이에의해자기모멘트가생긴다. 이를이해하기위해전하 를가진입자가반지름 의원궤도를속력 로돈다고

30 하자. 그러면전류는 로주어지고따라서자기모멘트 는 ( 전류 면적 ) 으로정의됨 으로 으로되고궤도운동의각운동량 을이용하여표현하면 의관계를가진다. 이러한궤도각운동량과자기모멘트사이의관계는양자역 학적으로도옳다는것이밝혀졌다. 만약핵이자전운동을한다면이에의한자기모멘트를계산할수있을것이고자전 각운동량과의관계식을생각할수있을것이다. 고전적으로이는전하의원운동에서의관계식 과같은관계식이될것이다. 그러나실험적으로구한식은이들관계식이 Lande의 -factor만큼차이가난다는것이밝혀졌다. 즉. Lande -factor 의값은전자의경우는 -2 에매우가까운값으로 2 로근사된다. 양성자의경우는 = 5.58 로측정이되었고, 놀랍게도중성자의경우도자기모멘트를가지는데 2(-1.93) 으로측정이되었다. 이러한관계식은원자자체를전자같은입자로취급을했을 때도성립이된다. 핵의스핀에의한각운동량은 이라는기호대신 라는기호로적는다. 또한 은 magnetogyric ratio 라고부르고 로표현을한다. 이들을이용하면. (1) 이러한자기모멘트가자장 하에서갖는에너지는 (2) 로주어지는데자장의방향을 방향으로잡으면즉 이면 (3) 로되고양성자의스핀각운동량은, 두개의값을가질수있음으로자장하에 서양성자의두스핀상태는다른에너지를가진다. 이러한에너지차이때문에

31 자기모멘트의자장하에서의운동을살펴보자. 자기모멘트 가자장 하에서받는토크는 임으로자기모멘트에토크가걸리면자기모멘트의각운동량은시간에따라다음의 운동방정식 을따라움직인다. 이는자기모멘트와각운동량사이의관계식 을이용하면 로쓸수있다. 단위부피당의 magnetization 을써서표현하면 ( ). (5) 자장의방향을 축으로잡자. 그러면평형계에서는 magnetization 의 x, y 성분은영이된 다. 즉,. 값은평형에서의 net magnetization 으로이는평형에서 는 Boltzmann 분포식에에너지가낮은 스핀상태가 스핀상태로더많이존 재하기때문에생긴다. (* 500 MHz NMR 의경우두스핀상태의비는 exp 로부터 =500MHz 를대입하면 로 population 에있어서약 0.008% 차이가있는것을볼수있다.) Boltzmann 분포식 에의해 를구하면 tanh 로얻어진다. Magnetization 이평형상태에있지않으면계의 magnetization 은평형상태에서의 값과의차이에비례하는속도로평형상태를향해변할것이다 :. (6) 여기서비례상수는 로표현되는데 은평형상태에도달하는시간을나타내고 longitudinal relaxation time 혹은 spin-lattice relaxation time 이라부른다. 위의미분방 정식을풀면 exp 로해가구해진다. 이경우는자기에너지 값이평형에가까워질수록감소하는것을볼수있다. 자장하에서는 (6) 식은다음과같이변형이되어야한다 : (4). (7a) 위식은자장하에서는 magnetization 이자장주위로 precession 할뿐아니라평형계에서 의값 를향해 relaxation 되는것을보여준다. 만약비평형상태에서 magnetization 의 x, y 성분이영이아니라면이들의값도평형에서의값영을향해 relaxation 되어야한다 :, (7b) (7c) 는 transverse relaxation time 혹은 spin-spin relaxation time이라부른다. 자기에너지 는, 의변화에의해변하지않는다. 따라서, 의 relaxation 과정에서는에너지의흐름이없고같은위상을가졌던자기모멘트들이최종적으로 random한위상을가져평균값이영이되어가는과정이다. 는자기모멘트들이같은위상으로남아있는시간을말한다. 처음에는이들이갖은위상을가졌더라도각스핀에작용하는국부적

32 인자장의세기가다르기때문에다른진동수로 precession을하게되고결국은 phase는 random하게된다. 는 dephasing time으로생각할수있다. (7) 식은 Block 방정식이라부른다. 이방정식을이용하여 magnetization이 NMR 장치에서처럼자장 (static) 과 rf (radiofrequency) 하에놓여있는경우의운동을생각해보자. to rf supply and circuit for measuring inductance and losses specimen rf coil 그림 36 schematic arrangement for magnetic resonance experiments. 우선은 rf 장이없는경우즉 magnetization 의 free precession 운동하는경우를생각해보 자. 이경우자장의방향을앞에서처럼 z 방향으로잡고 magnetization 의 z 성분은평형에서 의값을가지고있다고해보자. 그러면,,. (8) 위미분방정식의해로 exp cos, exp sin 를시도하면 (8) 식은, 일때만족이된다. 이는 magnetization 의 x, y 성분이 로 주어지는 angular 진동수로 precession 을하는데시간이지날수록 exponential 하게 magnetization 의값이감소하면서평형에서의값인영으로접근하는것을보여준다. 시간이 만큼흘렀을때는처음의 magnetization 값보다 e -1 만큼감소한다. 에해당하는 angular 진동수는 precession 과정의고유진동수 라고할수있다. 이제시간에따라회전하는 rf field 가걸린경우를생각해보자. 진폭크기가 인 회전하는 rf field 의자장을생각하면 cos, sin 즉 이면위의계는이러한 rf field 로부터에너지를흡수한다. 단위시간당흡수되는 power 는 (cgs) (9) 로주어지고 driving angular frequency 가고유 angular frequency 와같으면 공명이일어나고 로주어지는 angular 진동수폭을가진다. 선폭 (Line width) (9) 식에서핵스핀이 rf field 를흡수할때 로주어지는선폭을갖는데이선폭에대한

33 주된기여는핵스핀 - 스핀상호작용으로부터온다. 이들상호작용은개개의핵스핀의에너 지는바꾸지만전체 magnetization 의에너지는바꾸질않는다. 이들스핀 - 스핀상호작용에의해각핵에가해지는자장의세기에는변화가있게된다. 핵자기모멘트 로부터 만 큼떨어진곳에있는핵자기모멘트 에가해지는자장은 (10) 로주어진다. 양성자들이 0.2 nm 떨어져있는경우 = / = T=2 gauss 정도선폭에기여한다. Motional narrowing 6.0 line width (gauss) 온도 K 그림 37 Li 7 NMR line width in metallic lithium. Abrupt decrease in line width occurs at T=230 K. 그림 3은핵의운동에의해 line width가급격히감소하는것을보여준다. 이러한감소는액체의경우더욱두드러져물에서양성자의 line width는물분자들이그자리에얼어붙어있다고했을때보다 10-5 정도로선폭이감소한다. 이러한현상을설명하여보자. (8) 식에서논의되었듯이 는각핵스핀들이국부적인자장의세기에서의섭동에의해 1 radian만큼 dephasing되는데걸리는시간이다. 원자들은외부자장만작용한다면모두같은진동수로 precession을한다. 그러나다른핵스핀들이미치는자장에의해섭동을받아 precession 진동수에있어서국부적인변이가생기게된다. 다른핵스핀들로부터오는자장을 라쓰면 [(10) 식에의해주어짐 ] 국부적인 angular 진동수에서의변이는 로주어진다. 원자들은액체안에서매우빠르게움직임으로주어진핵스핀이보는 는시간에따라빠르게변한다. 평균적인시간 동안국부자장이 로있다가그다음순간 로바뀐다고하자. 시간 동안스핀은 (8) 식밑에서기술했듯이외부자장 에의한 precession 외에 ± 에의해 ± 각도만큼가외로 precession을할것이다. 번의 시간이지난후에평균 dephasing angle의제곱값은 random walk 이론에의하여

34 가되고한스텝당