통계수학 Chapter. 미분.5 미분응용.5. 최대값과최소값 지역 (local) 과절대 (absolute) 의의미 f 절대최소지역최대지역최소절대최대지역최소 차미분정리함수 f 가일정구간안의모든점에서미분가능하고구간내임의의점 c 에서 차미분이 0 이면 ( c) 0 ) 함수 f 는점 c 에서지역최대값이나최소값을갖는다. 증가함수와감소함수정의만약 > f ( ) > f ( ) 이면 f () 는증가함수이다.( 정의 ) > f ( ) < f ( ) 이면 f () 는감소함수이다. ( 정의 ) 차미분과증가함수관계정리함수 f 에대해 f > 0 이면증가함수이고 f < 0 이면감소함수이다. 차미분 y 차미분이 0 인점에서최대, 최소혹은변곡이발생한다. 차미분 y 차미분 ( 기울기 ) 의변화율이므로기울기가감소하면 차미분값은음이고기울기가증가하면 차미분값은양이다. 9
통계수학 Chapter. 미분 오목성 (Concavity) 만약 y 의기울기가감소하면함수 f 는 concave down ( f < 0), 만약 y 의기울기가증가하면함수 f 는 concave up( f > 0) 이라한다. 만약 concavity 가변하는점이있으면이점을변곡점 (inflection point) 이라한다. 변곡점에서는 y 0 이성립한다. concave down concave up 변곡점 차미분과 차미분을이용한최대, 최소만약 c) 0 이고 f ( c) < 0 이면함수 f 는점 c 에서 ( 지역 ) 최대값을갖는다. 만약 c) 0 이고 f ( c) > 0 이면함수 f 는점 c 에서 ( 지역 ) 최소값을갖는다. 만약 c) 0 이고 f ( c) 0 이면함수 f 는점 c 에서변곡점이다. 최대값, 최소값 함수 y + 의최대값, 최소값, 변곡점이있는지알아보고 있다면 (, f ( )) 를구하시오. 먼저 R 을이용하여그래프를그려보자. 9
통계수학 Chapter. 미분 () 차미분이 0 인값을구한다. y 0 이므로, 이다. () 차미분을구하고 차미분이 0 인곳에서 차미분값의구한다. y 에서 y 이므로최대값 y / 에서 y 이므로최소값 y 표준정규분포최대값 먼저표준정규분포의 R 을이용하여그래프를그리고, 최대값이나최소값이있으면구하시오. 정규분포확률밀도함수 f ( μ ) σ ( ) e π σ 표준정규분포는평균 0, 표준편차 인경우 f ( ) ( 평균 μ, 표준편차 σ) e π 94
통계수학 Chapter. 미분 미분하면 f e ( ) 0 차미분하면 π f e π + > 0,, e π 0에서 차미분값 f ( 0) < 0 ; 최대값 / π 최대값, 최소값구하기다음함수에대하여 R 을이용하여그래프를그리고 (local) 최대값, (local) 최소값, 변곡점이있는지알아보고있다면 (, f ( )) 를구하시오. ) y 4 + ) y 4 4 + ) y 4 ) y 5) y 4 + 6) y 4 7) y sin,0 π 95
통계수학 Chapter. 미분.5. 자유낙하법칙자유낙하의법칙에의하면떨어진거리 s, 시간 t 사이에는다음식이존재한다. s ( t) gt 4.9t ( m) ( 중력 : g 9.8( m / sec) Gravity) 미분응용 자유낙하후 5m 거리에도달하는데걸리는시간은? 초후도달하는거리는? 5 4.9t 으로부터시간t. 75 ( 초 ) 이다. s 4.9() 으로부터거리 s 44. (m) 이다. 미분응용 속력 (velocity): 자유낙하를시작하여 t 초가경과한후속력은? s( t + Δt) s( t) v( t) lim s ( t) 이고속도 (speed) 는속력의절대값이다. Δt 0 Δt 초후속력은 s 9. 8t 로부터 v ( ) s () 9. 4 (m/sec) 이다. 미분응용 가속도 (Acceleration): 물체가얼마나빨리속력을높이나 ( 혹은줄이나 ) 측정하는것이가속력인데이는거리함수의 차미분값이다. 거리함수가 d s s(t) 인경우가속도는 a s ( t) 이다. 미분응용 다이너마이트폭발후바위는수직으로 s 60t 6t 에도달한다. () 얼마나높이올라갈까? ds 60 t 0 이므로 t 5( 초후 ) 최고의높이에이른다. 그때높이는 s (5) 60*5 6*5 400 96
통계수학 Chapter. 미분 () 56 높이에있을때바위의속력은? 높이가 56 일때시간은 s ( t ) 60 t 6 t 56 이므로 6 ( t )( t 8) 0 로부터 t 초와 8 초이다. ds 속력 v( t) 60 t 이므로 v ( ) 60 * 96, v ( 8) 60 *8 96 ( 음의의미는떨어짐 ) 미분응용 달에서바위를수직으로 4m/sec 속력으로던지면 t 초후높이 s 4t 0.8t 이된다고한다. () 바위의속력과가속력을구하시오. () 바위가지상에서가장높이올라갈때까지걸리는시간과그때의높이? () 바위가 00m 에있을때순간속력을구하시오..5. 경제학응용 경제학에서미분은한계값 (marginal value) 이라불려진다. A 회사에서냉장고를생산하는데소요되는비용함수를 c() 라하자. 는제품생산량이다. c() 나 f () 의의미는같다. 둘다 의함수라는것이다. 비용이 cost 이므로 c 를사용한것뿐이다. 경제학에서효용 (utility) 은소비자가재화나서비스를소비할때느끼는주관적인만족을의미한다. 효용함수는 (utility function) 재화혹은서비스소비량 과효용의관계를함수형태로나타낸것으로 u () 로나타낸다. u 가함수의 f 이다. c ( + h) c( ) 의의미는제품을 만큼생산하고있는생산라인에서제품을 h 만큼더 h 생산할때비용의평균비용증가량이다. h 0 일때이를 서한계비용이라 (marginal cost) 한다. u ( + h) u( ) 의미는재화를 만큼소비하는소비자가 h 만큼더소비할때평균효용 h 증가량이다. h 0 일때이를 서한계효용이라 (marginal utility) 한다. Cobb Douglas α 생산함수 Y f ( L, K) AL K β 보자. L 은노동력투입량, K 는자본투입량이고, α, β 는탄력계수이다. 그러므로생산량 Y 는 L, K 의함수이다. 97
통계수학 Chapter. 미분 편미분 (partial differentiation) 함수 f 가 만의함수가아니라여러변수의함수일때각변수에대해미분을하면편미분한다고한다. 편미분의경우해당변수를제외하고다른변수는상수로간주한다. 편미분기호는 이다. y 가 (, w, z) 의함수 y f (, w, z) 이다. 의편미분은다음과같이정의한다. ( 기호 ) y f (, w, z ) y f ( + h, w, z) f (, w, z) ( 정의 ) lim h 0 ( + h) 편미분 Cobb-Douglas 함수 Y f ( L, K) AL α K β 는 L 과 K 의함수이다. L 의편미분 ( 노동한계생산량 ), K 의편미분 ( 자본한계생산량 ) 구하시오. Y L αak β L α, Y K βal α K β 한계비용 A 회사에서냉장고를생산하는데드는비용함수가 c( ) 6 + 5 라하자. 현재는하루에 0 개생산하고있다. 이경우하나를더생산하는데드는비용은얼마일까?( 단위 : 만원 ) d c ( ) ( 6 + 5) + 5 d c (0) (0) (0) + 5 95 즉초과비용은 95( 만원 ) 이다. 경제학미분응용책상을만드는회사의수익함수는 r ( ) 000(00 + 0) 이다. 는생산량이다. () 5 대생산에서 6 개생산으로늘리면수익은얼마나증가하는가? () 최대수익을얻으려면생산량을얼마나? 98
통계수학 Chapter. 미분.5.4 통계학응용 (OLS 추정치 ) 미분이통계학에사용되는예를들어보자. 미분은함수의최대값이나최소값을구하는경우에사용된다. f () f ' ( ) 0 을만족하는 값 아이키 (Y) Y aˆ + bx ˆ 아빠키 (X) 어떤직선이가장적합한가? 회귀모형 Y a + bx + e 에서오차항의제곱합 min( e) min( Y a bx ) 을최소화하는회귀계수 ( a, 를 OLS(Ordinary Least Square, a, b a, b 최소자승법 ) 추정치라한다. 기호로는 ( aˆ, b ˆ ) 으로나타낸다. Q( a, min( Y a 는 ( a, 의함수이므로함수를최소화하는 a, b 를구하면된다. a, b 이는함수 Q( a, 을 ( a, 에대해미분하여 0 이라놓고방정식을풀면된다. 즉 f f 0, 0 만족하는 a 와 b 가최소자승법추정치 ( aˆ, b ˆ ) 가된다. a b 최소자승추정치 Q( a, 을 ( a, 에대해편미분하여각각을 0 으로하여연립방정식을푼다. 정규방정식 (normal equation): 정규방정식에서 Q n ( y ˆ ˆ i α βi ) 0 α i Q n ( ˆ ˆ i yi α βi ) 0 β i α, β 의해를구하면다음과같고이를 OLS 추정치라한다. 99
통계수학 Chapter. 미분 ˆ ( )( y y) β i i, ˆ α y ˆ β ( ) i.5.5 상대변화율 예제를중심으로상대변화율이어떤개념이고어디에적용될수있는지알아보자. 풍선이 d θ 하늘로날아간궤적을보니다음과같고 0.4( rad / min) 이라고하자. 지상 500m 지점에서풍선의속력은얼마인가? y θ π / 4 500 () 무엇을구하는것인가적는다. π dy θ 일때을구한다. 4 () 변수이름을설정한다. y 풍선의 ( 현재 ) 높이, θ 풍선이날아간각도 y () 관계수식 ( 함수 ) 을구한다. tanθ 이므로 y 500 tan θ 500 (4) 500 sec dθ y θ ( ) 500(.44) (0.4) 40 분당 40 의속력으로올라감 00
통계수학 Chapter. 미분 극한계산 저수통의물이분당 000( l / min) 로빠지고있다. 물의높이가얼마나빨리 dv 줄어들겠는가? ( 세제곱미터당,000 l 물이있다 ) TIP 000 이고알고자 dh 하는것은이다. π 와 r 은변하지않음 반지름 r V,000π r h 높이 h.5.6 Taylor Series 함수를임의의값에서의미분값의무한연속형태로표현하는방법을 Taylor 시리즈라정의한다. a 는상수이다. (constant) a) f ( a) + + f ( a) f ( ) f ( a) + +L!!! 상수 a 0 인경우에이를 Maclaurin 시리즈라한다. 0) f (0) + + f (0) f ( ) f (0) + +L!!! 이를일반화하면다음과같다. a) f ( a) + + + f ( a) f ( a) f ( a) + +L!!! Taylor 시리즈 () f ( ) 의 Maclaurin 시리즈를구하시오. ( 풀이 ) f ( ) + + + + L () f ( ) 의 a 에서의 Taylor 시리즈를구하시오. 0
통계수학 Chapter. 미분 ( 풀이 ) f ( ) ( ) + ( ) ( ) + L () f ( ) ln( ) 의 Maclaurin 시리즈를구하시오. 4 ( 풀이 ) f ( ) + + + + L 4 (4) f ( ) ln( ) 의 a 에서의 Taylor 시리즈를구하시오. ( ) ( ) ( 풀이 ) f ( ) ( ) + + L (5) f ( ) e 의 Taylor 시리즈를구하시오. ( 풀이 ) f ( ) + + + +L n ( 참고 ) e lim ( + )!! n n ( 정의 ) Linear Approimation f ( ) L( ) f ( a) + a)( a) Quadratic Approimation f ( ) Q( ) f ( a) + a)( a) + f ( a)( a) 근사값구하기 9. 의근사값을구하시오. (Linear, Quadratic 이용 ) ( 풀이 ) f ( ) > ) > ( 이차미분 ) 함수값을구하기쉬운 9 를 a 로이용하자. f (9.) 9. L( 9.) f (9) + 9)(9. 9) f (9)(9. 9) Q(9.) f (9) + 9)(9. 9) + f ( ) 4 / 0
통계수학 Chapter. 미분.5.7 Newton-Raphson Method 0 ); slope f ( 0 ) ( 0, f ( 0 )) * 0 함수 f () 의해는 * 이다. 미분을이용하여이를구하는과정을 N-R 방법이라한다. 임의의초기값을 0 라하자. 접선의기울기가 0 ) 이므로다음이성립한다. f ( 0 ) 0) 0 이를 으로 ( 다음의초기값 ) 정리하면다음과같다. f ( ) 0 0 + 0) 이를반복하면다음식이성립한다. f ( ) n n+ n + n ) 만약 n+ n < ε 0. 000 ( 충분히작은값 ) 이성립하는 n+ 이함수 f () 의해가된다. N-R 방법에의해해를항상구할수있는것은아니다. 다음은초기값을잘못잡게되어해를구할수없는예이다. R-N 방법을이용할때는해에대한근사값을알거나그래프를그려예상하는것이필요하다. 0 0