보이론 I Beam Theor etal Forming CE La. Department of echanical Engineering Geongsang National Universit, Korea
개론 - 세장부재에관한고체역학의총정리 Chapter Ke words emer Load 변형 변형의기하학 응력 힘 - 변형관계 관계식 Uniaial loading Truss, rod Uniaial load δ, u u( ) ε, ε δ L Eε P PL, δ, E du d P( ) E 3 4 5 Torsion Shear force, ending moment Stresses in eams Shaft Beam Beam Twisting moment Lateral force, ending moment Bending moment φ, φ φ( ) dφ θ r d dφ ε ds tan v ( ) φ( ) θ, θ G Eε θ tr θ I, dφ t ( ) d GI dv q ( ), d d d V( ) dφ ds EI, VQ ± I 6 Deflection of eams, staticall determinate sstem Beam Shear force, ending moment v ( ) I, ( ) ( v ) EI 7 Deflection of eams, staticall indeterminate sstem Beam Shear force, ending moment v ( ) tan v ( ) φ( ) φ( ) v ( ) Buckling Column Lateral force, moment, aial force(p) v ( ) ε Eε dv q ( ) d d dv V( ) P d d ( EI v ( )) + ( Pv ( )) q( )
개론 - 세장부재, 보의정의와특징 가느다란긴부재 ( 세장부재, Slender memer) 에작용하는힘과응력 트러스부재 (Truss memer) 또는봉 (Rod) 축력 법선응력 원형축 (Circular shaft) 비틀림모멘트 전단응력 보 (Beam) θ 측력 - 굽힘모멘트, 전단력 법선응력, 전단응력 I-eam, H-eam Flange Tr J F 보에작용하는응력 VQ VQ,, I I ti 기둥 (Column) t 압축력 P P 좌굴 Column Buckled We
개론 - 봉과원형축에서의변형률 봉의단축하중시의변형률 Δ u () u ( +Δ) ' B B' q( ) :Load per unit length ' B' B u( +Δ) u( ) du ε lim ε B Δ Δ d ε vε vε 축의비틀림시의변형률 rδ φ θ Δ dφ θ θ r r d θ θ Δ φ ( + Δ) φ( ) rδφ Δφ 일반적인변형률 (Strain) Deformed Δ Undeformed Δ S P Δ R ( ε ) + Δ P β S π β ( ε ) R + Δ ε β + β PR, PS are straight lines under the small deformation assumption ε ε ε ij ij ji, εij
개론 - 순수굽힘 순수굽힘 (Pure ending): V( ), ( ) 일정 a a L Pa
개론 - 주요용어정의 용어정의및설명 v () 굽힘 ( 처짐 ) 곡선 : v ( ) ( δ ( ) v ( )) 기울기각도 : 기울기 : φ ( ) tan cos v φ 곡률 ( ) 및곡률반경 ( ): φ + v ( ) 곡선의길이 : v () t s ( + v ( t) ) dt + dt + v ( t) dt κ dφ dφ κ v ( ) ds d 대칭면 : 대칭축과보의방향 ( 중립축 ) 이이루는면 중립축 : 대칭면상의선으로길이가변하지않는선 기타 : 굽힘강성, 변형에너지 O O O' v () ssume u ( ) Δφ C s Δs D φ vl ( ) B Δφ φ
개론 - 곡률의정의와곡률 - 함수관계식 κ v ( ) 관계의유도 dφ dφ d 정의 : ds d ds φ 의계산 : v ( ) tanφ v ( ) φ sec φ dφ v ( ) φ d + v ( ) cos v () φ + v ( ) dφ d v ( ) κ d ds ( ) 3 + v ( ) s () v v ( ) φ 접선 s d 의계산 : ds Δs Δ Δ s Δ +Δv Δv Δ + Δ Δ Δs Δv + Δ d ds + v ( ) Δv
원의곡률 하부원 R ( R ) 3 R ( R ) 개론 - 원의곡률과곡률의기하학적의미 ( ) ( ) 원의곡률의기하학적의미 3 3 ( ) R ( R ) R ( R ) κ 3 3 3 3 R + ( ) + ( R ) R ( R ) Δφ R RΔφ dφ κ ds Δφ RΔφ R 상부원 R κ R
개론 - 단면특성과면적적분 단면 ( 도형 ) 의특성 (Properties): 면적, 도심, 단면극관성모멘트, 단면관성모멘트 도심 (Centroid) 의정의 : 도형의중심 취급하는보의단면이대칭이므로, d 보의단면에대한면적적분 d ' d + d + I 기타 f ( d, ) f( d, ) f( d, ) + f( d, ) + + f( d, ) + + + + n n
보이론전개를위한주요가정 순수굽힘보이론 - 보이론의가정과과정 기하학적가정 : 보의단면은좌우대칭이되어야함. 적은변형 (Small deformation) 재료학적가정 : 대칭축에대하여재료가대칭이어야하며, 모든재료는후크법칙을따름 역학적가정 : 하중, 즉측력은대칭축에서만작용함., Flange We (O) (X) (O) (X) (O) (X) 보이론의전개과정 순수굽힘보이론 : 전단력이작용하지않고굽힘모멘트가일정하게작용하고있는보에작용하는응력 ( 굽힘응력 ) 을구함 대칭축에서이론을전개함. 대칭면에평행한면에서는대칭면에서유도한결과가그대로적용된다고가정함 공학보이론 : 전단력이작용하더라도순수굽힘보이론에서구한굽힘응력, 변형과굽힘모멘트관계식등은그대로사용가능하다는가정하에전단응력을계산함 좌표축의설정 중립면 대칭축 대칭면 중립축
순수굽힘보이론 - 변형의기하학적적합성 축의비틀림변형의기하학적적합성 보의순수굽힘변형의대칭성논리 대칭성논리 t Cavit 기하학적적합성조건에어긋남그원인은단면이불룩하게 ( 오목하게 ) 된다는가정이잘못된것에있음 중립축에수직한단면의거동 : 중립축에수직한단면 ( 평면 ) 은변형후에도평면으로남음 중립면의변형모양 : 보의길이방향과평행한직선은변형후에원호가됨 t 대칭면 (X) Contradiction 발생 : 임의의평면 (X) 가정에모순이있음. 즉 Curved profile의가정이잘못되었음. J J' F C F' E B B' 대칭면 (O) D D'
순수굽힘보이론 - 변형과변위와의관계 변형률 (Strain) 의계산 B C P D E F Q R S 대칭면 neutral ais P R RS PQ Δφ Q S P Q PQ ( ) φ φ ε ε v ( ) PQ φ v ε ε vε,, 이식은변형의기하학적적합성에근거하여도출된것으로재료와는무관하게성립함. 따라서두개이상의재료로구성된복합보에대해서도성립함 그림 nticlastic curvature
등방성재료의일반화된후크법칙 순수굽힘보이론 - 응력과변형률의관계 ( ) ε E ν + ε E ν( + ) ε E ν( + ) ( + ν ) E G ( + ν ) E G ( + ν ) E G 응력성분 ij ji face face face 후크법칙의적용, 응력성분의계산 가정 :, Eε E, ε ε νε,, (,, ) ε ε ε ε ε ε Flange We
순수굽힘보이론 힘의평형조건 평형조건식의적용 : 단면이하나의소재로되어있을경우 ( 단일재료보 ) F ; d E ( ), Ed If E constant d ; d E, ( ) Ed If E constant EI : 굽힘강성 EI E ; d d I d 좌우대칭으로자동적으로성립 단면 차관성모멘트
순수굽힘보이론 - 중립축, 처짐곡선, 응력 평형조건식의적용결과의정리 : 단면이하나의소재로되어있을경우 ( 단일재료보 ) F ; d d v ( ) EI ( ) EI v ( ) ( ) ; ( ) EI v ( ) q( ) ( ), ( ) q( ) EI EI 중립축과도심은일치함 ε EI Eε I I d 단면 차관성모멘트 (rea moment of interia of the cross-section)
가정및결과 ( ) 굽힘모멘트가일정함 ( 전단력이작용하지않음 ) 대칭성논리가적용될수있는환경 ( 기하학적, 역학적대칭, 재료학적대칭등 ) 주요결과및공식 중립축 : 도심과일치함 보의변형된모양 : 원호임 ( 원의반경은임 ), 응력 : EI v ( ) ( ) 처짐곡선 : 또는 I 순수굽힘보이론 - 총정리 κ EI v ( ) q( ) I d ε, ε ε νε EI ( ) 변형률 : ( ), EI EI ε ε ε ε ε ε 남은문제 : 도심의결정, 단면 차관성모멘트의계산
단일재료보의중립점과단면 차관성모멘트 별도로면적적분부분에서상술하였음