9 장상대성이론 (Relatiity)
갈릴레이의상대성원리 갈릴레이의상대성원리 : 모든관성기준계에서역학법칙은불변이다. 관측결과는상대적으로다르지만그측정들은동일한역학법칙을만족한다. F ma F ma 결과적으로, 관성기준계에있는관측자는상대기준계를통해서만이자신의운동상태를알수있다.
갈릴레이변환 (Galilean Transformation): 단일사건과상대속도 갈릴레이변환 : 특정사건을한관성기준계에서측정한결과를다른관성기준계에서의측정결과와서로연결시켜주는변환 t=0 일때두기준계의원점은같고, 두기준계의시간은 t=t =0 으로동기화되어야한다. 사건 P 를, S 에서측정한시공간좌표를 (,y,z,t), S 에서측정한시공간좌표를 (,y,z,t ) 으로표현한다. 기준계 S 은기준계 S 에대해상대적으로등속도 로움직인다. 이때 는 S 에서측정한 S 의속도이다. t, y y, zz, t t ( 갈릴레이좌표변환 ),, ( 갈릴레이속도변환 ) y y z z d / dt, dy / dt, dz / dt y z 고전역학체계에서시간은모든관성기준계에서동일한비율로흐른다. 3
마이켈슨 - 몰리의실험 : 배경 뉴턴역학의갈릴레이상대성은전자기학 (1865년) 이나광학등에적용되지않는다. 전자기파의속도 ( 빛의속도 ) 0 0 는누구또는어떤좌표계에대한속도인가? / 8 1.9979 10 / m s 수면파나음파와같은역학적인파동은전달되기위해모두매질을필요로한다 19 세기후반물리학자들은빛이진행하는매질로서발광성에테르 (lminiferos ether) 를생각했다. 에테르는절대기준틀 (absolte frame of referene) 을정의한다. 빛의속력은이기준틀에서 이다. 에테르의존재를보이기위한마이켈슨 - 몰리의실험 (1887 년 ) 마이켈슨간섭계 에테르에대한지구의상대속도를측정하기위한실험 4
마이켈슨 - 몰리의실험 : 결과 마이켈슨간섭계를이용하여에테르에대한지구의상대속력을측정하려는실험의도 ( 가상의에테르바람 ) 1 t t 1 L L L L t t 1/ 1 / 1 t t 1 어떠한경우에도마이켈슨간섭계의무늬는변화하지않았다.!!! 5
아인슈타인의상대성원리 1. 상대성원리 : 모든관성기준계에서모든물리법칙은불변이다.. 광속도불변의원리 : 진공에서의광속은모든관성기준계에서모든방향에대 하여동일한 이다. ( 관측자나광원의속도에무관하다.) 광속도불변검증실험 : 중성파이온의붕괴 0 1964 년 CERN 입자가속기에서 0.99975 의속력으로움직이는중성파이온다발을만듬 실험실좌표계에서정지하여있는파이온에서방출되는감마선의속력을측정하여광속을얻음 빠르게움직이는광원에서방출되는감마선의속력을측정하여동일한광속을얻음 6
사건의측정 : 시공간좌표, 동기화 사건이란어떤일이일어나는것이며, 관측자는이사건에세개의공간좌표와하나의시간좌표를부여할수있다. - 사건에는 (1) 전구의점멸, () 두입자의충돌 (3) 폭발, (4) 빛의특정한점통과등등 사건에시공간좌표를부여하는방법 y km 1km A y S y S ( 공간좌표, 시간의동기화 ) o o 7
특수상대성이론의결과 : 사건의동시성 한기준계에서동시인사건들이다른기준계에서는동시가아니다. 동시성은관측자의운동에의존하며절대적인아닌상대적인개념이다. 사고실험 : 점광원에서나오는빛을서로다른관성계의관측자들이볼때빛의파면은관측자와무관하게동심원을그리며퍼져나간다. 관측자 O 에게두번개가동시에친것으로측정되었다고가정한다. 관측자 O 에게두번개는동시에치지않은것으로나타난다. A 지점보다 B 지점에번개가먼저친것으로측정한다. 8
특수상대성이론의결과 : 시간의상대성 두사건사이의시간간격은시간과공간모두에서그들이얼마나떨어져있는가에따라결정된다. 즉사건의시간적분리와공간적분리는서로얽혀있다. 사건 1: 빛이광원을떠나는것 사건 : 빛이광원으로돌아오는것 한관측자에게는두사건이동일한장소에서일어나는것으로제한한다. ( 영희 ) ( 철수 ) 기차안에정지하고있는영희가보는광시계의두사건 지면에정지하고있는철수가보는광시계의두사건 9
특수상대성이론의결과 : 시간의상대성 ( 영희 ) ( 철수 ) t L / L D t 철수가측정하는두사건의시간간격 t D / D t 1 / t0 1 / 영희가측정하는두사건의시간간격 t 0 D t t, 1/ 1 / 0 t 0 10
특수상대성이론의결과 : 시간의상대성 동일한장소에서일어난두사건의시간간격을고유시간 (roer time interal) 이라한다. t at y z 0 상대적으로움직이는시계의시간이더느리게가는것으로관측된다.( 시간팽창효과 ) t t, 1/ 1 / 1 11
특수상대성이론의결과 : 시간의상대성검증실험 시간팽창에대한두가지검증실험 t t, 1/ 1 / 0 미시적시계 : 뮤온의생성 ( 사건 1) 과붕괴 ( 사건 ) 사이의시간간격즉, 수명측정 비상대론적계산 뮤온의수명 : t. s 상대론적계산 l t 8 6 (3.0 10 m/s)(. 10 s)=660 m 거시적시계 : 1971 년헤이펠과키팅은세슘원자시계로지구자전방향과반대방향으로지구를각각일주하여 10% 오차안에서실제시간팽창을확인함. 1
예제 9.1 진자의주기는얼마인가? ( 진자시계 ) 진자의기준계에서측정한진자의주기가 3.00s 이다. 진자에대해 0.960 로움직이는관측자가측정한진자의주기는얼마인가? 진자의기준계에서측정한주기가고유시간이다. 움직이는관측자의관점에서는진자가움직인다. t t, 1/ 1 / 0 3.57 1/ 1 / 1/ 1 (0.960 ) / t t 0 3.57 3.00s 10.7s 13
특수상대성이론의결과 : 길이의상대성 고유길이 (roer length): 물체에대해정지해있는사람이측정한길이 움직이는물체의길이또는공간간격은동시에측정되어야한다. 지구에서출발하여어느별을향하여속력 로움직이는우주선을생각한다. 사건 1: 지구에서우주선의출발 사건 : 어느별에우주선의도착 L t 지구의관측자 우주선안의관측자, L 지구 - 별거리 L L t L / L t / t 1/ 지구 - 별도착시간 t t 1 L L L t t 1 / ( 사건 1) ( 사건 ) L L 14
특수상대성이론의결과 : 길이의상대성 고유길이 (roer length): 물체에대해정지해있는사람이측정한길이 움직이는물체의길이또는공간간격은동시에측정되어야한다. 막대와함께움직이는기준계의관측자가재는길이는고유길이 L 이며단순히양끝점의좌표값을빼주면되며양끝점을동시에측정하지않아도된다. 1 L L 길이수축은상대운동을하는방향에서만일어난다. 관측자가있는기준틀에대해상대적으로움직이는막대의길이를측정한값은고유길이보다짧다. 움직이는물체의길이는양끝점을동시에측정해야한다. L 1 / 움직이는물체의길이는고유길이에상대적으로수축된다. L L sin 1 / L y L os 15
예제 9. 시리우스별로의여행 한우주인이지구로부터 8 광년떨어진시리우스별로우주여행을떠났다. 우주인은가는데 6 년이걸릴것으로측정했다. 우주선이 0.8 의일정한속력으로간다면, 어떻게 8 광년의거리가우주인이측정한 6 년으로맞춰질수있는가? ( 사건 1) ( 사건 ) L L 지구에서측정한시리우스별까지의거리는 8 광년 우주인의기준계에서지구와별은움직인다. L 1 L L L 1 / 8 ly, L L 1 / 8ly 1 (0.8 ) / 5ly 우주인이측정한여행시간 ( 고유시간 ) 은 t L L 0.8 5yr 0.8 6yr 16
로렌츠변환식 (Lorentz Transformation) 로렌츠변환 : 하나의사건을, 한기준계에서측정한결과를다른기준계에서의측정결과와서로연결시켜주는변환으로서고전적인갈릴레이변환의일반화 (1890 년 ) 마이켈슨 - 몰리실험의결과를설명하기위해운동하는방향의길이의수축가설과전자기학에기초하여 1890 년에로렌츠가유도함. 특수상대론의두가설로부터유도할수있으며에테르에대한존재를필요치않음. 사건 P 의시공간좌표 ( t), y y, z z, t ( t / ) S S : (, y, z, t ), S: (, y, z, t) ( t), y y, z z, t ( t/ ) S S S 인경우로렌츠변환은갈릴레이변환으로된다. ; 1, 1/ 1 / / 0 t, y y, zz, t t 17
로렌츠변환식 (Lorentz Transformation): 두사건의시공간간격 ( t), y y, z z, t ( t / ) ( S S) 1,, 1 1 t t t, t t 1 t1 ( t), y y, z z, t ( t / ) S S ( t), y y, z z, t ( t / ) S S 18
로렌츠변환식 (Lorentz Transformation): 동시성, 시간팽창, 길이수축유도 ( t), t ( t / ) ( S S) ( t), t ( t / ) ( S S) 1 사건의동시성유도 : S 에서동시인사건들이 S 에서는일반적으로동시가아니다. t 0: t ( t / ) / 0 (S 에서동시인사건들 ) 시간팽창유도 : 두사건이 S 의같은장소에서다른시간에발생하였다고하자. 0, t 0: t ( t / ) t ( t t ) 길이수축유도 : 어떤막대가, 축에평행하고, S 에서정지해있다고가정하자. t t t L, t 0: ( t), L L L / 19
로렌츠속도변환 로렌츠변환식을이용하여갈릴레이속도변환에대응하는상대론적인속도변환을얻는다. ( t), y y, z z, t ( t / ) ( S S) d/ dt, d / dt, S 에서측정한입자의속도를 S 에서의속도로변환할수있다. d ( d dt), dy dy, dz dz, dt dt d ( / ) y z d d / dt dt 1 ( d / dt) / 1 / dy dy / dt y dt (1 ( d / dt) / ) (1 / ) dz z dt (1 / ) 0
로렌츠속도변환 S 에서측정한입자의속도를 S 에서의속도로변환할수있다. 1 / 1 /,, y y, z z (1 / ) (1 / ) S 에서측정한입자의속도를 S 에서의속도로변환할수있다. y y, z z (1 / ) (1 / ) S 에서측정한빛의속도는 S 에서측정한속도와같고그역도성립한다. ( 광속불변 ) S :, y z 0 S : 1 / 0 y z!! 1
예제 9.4 두우주선의상대속도 두우주선 A 와 B 가그림처럼서로마주보고움직인다. 지상에있는관측자가측정한우주선 A 의속력은 0.750, B 의속력은 0.850 이다. 우주선 A 에있는우주인이측정한우주선 B 의속도를구하라. S 에서측정한우주선 A 의속도 : S 에서측정한우주선 B 의속도 : 1 / 0.750, 0.850 이경우지상과우주선 A 가관측자가되고우주선 B 가관측대상이된다. 일차원이므로한방향만고려한다. 1 / 0.8500.750 0.977 1 ( 0.850 ) (0.750 ) /,
예제 9.5 상대론적인속력으로경주하는오토바이폭주족 오토바이폭주족인데이비드와에밀리가그림에서처럼직교하는교차로에서상대론적인속력으로경주하고있다. 데이비드가그의어깨너머로볼때에밀리는얼마나빨리멀어져가고있는가? 이경우경찰관과데이비드가관측자가되고에밀리가관측대상이된다. 이차원이므로두방향모두고려해야한다. 1 /, y S 에서측정한데이비드의속도 : y (1 / ) 0, 0.75, S에서측정한에밀리의속도 : 0.90 데이비드가측정한에밀리의상대속도는 0 0.75 0.90 0.75, y 1 (0.75 ) / 1 0 0.75 / (1 00.75 / ) 0.60 (, ) ( 0.75, 0.60 ), 0.96 y y 3
상대론적운동량과뉴턴법칙의상대론적형태 m md / dt A B C D m A A B m B mc ( 충돌전 ) ( 충돌후 ) C md D S 기준계에서운동량보존은 m m m m A A B B C C D D S 기준계에서운동량보존을알아보기위하여갈릴레이속도변환을하면 m ( ) m ( ) m ( ) m ( ) A A B B C C D D m m m m, m m m m A A B B CC D D A B C D S 기준계에서도질량보존과함께운동량은보존된다. 4
상대론적운동량과뉴턴법칙의상대론적형태 m md / dt A B C D m A A B m B mc ( 충돌전 ) ( 충돌후 ) C md D S 기준계에서운동량보존은 m m m m A A B B C, C D D A B C D S 기준계에서운동량보존을알아보기위하여로렌츠속도변환을하면 1 /, 1 / m m m m e. g. A B C D ma mb mc md 1 A / 1 B / 1 C / 1 D / A A 1 / A S 기준계에서는운동량이보존되지않는다?? 5
상대론적운동량과뉴턴법칙의상대론적형태 상대론적운동량의정의 : S 기준계에서운동량보존은 m m 1 / m ( ) m m m m A A A B B B C C C D D D S 기준계에서운동량보존을알아보기위하여로렌츠속도변환을하면 1 /, 1 / 1 (1 / ) 1 / 1 / 1 / (1 / ) m m m m A A A B B B C C C D D D m m m m A A B B C C D D S 기준계에서도상대론적운동량정의를이용하면운동량은보존된다. Bt, 비상대론적인경우에질량보존에대응하는것처럼보이는식은?? 6
상대론적에너지 m m m m A A B B C C D D 상대론적질량의정의 : m( ) m m 1 / 비상대론적인경우로의근사를하면 m ( ) m( ) m 1 / m 1 / E m m1 for 1 m m 1 m m m 상대론적에너지의정의 : 1 / E 0 m : 정지에너지 7
상대론적힘과상대론적운동에너지 상대론적운동량 : m m 1 / E m m 상대론적에너지 : 1 / m K 상대론적힘 : F d 일정한힘 a d / dt dt 1 / 3/ 입자가상대론적인조건하에서일정한힘을받으면그때가속도는점차로감소하여속력이광속에가까워지면 0 에접근한다. 그러므로광속이상으로가속시키는것은불가능하다. 상대론적운동에너지 : K m U ( 1) ( 0) 1 K m ( ) 8
상대론적인입자의에너지 - 운동량관계식 상대론적운동량의정의 : m m 1 / 상대론적에너지의정의 : E m m 1 / E 4 m, m 1 / 1 / E m 4 : 에너지 - 운동량관계식 질량이 0 인광자또는중력자등등의경우 E 9