경우의수 1 인쇄는 공급용지에맞추어 로하세요.(B4) 기본정석에있는문제와유제 7. 600 보다작은자연수중 18 의배수의집합을, 800 1. 1 부터 20 까지의정수중에서다음개수를구하여라. (1) 3 또는 7 의배수의개수 (2) 2 또는 3 의배수의개수 1) 보다작은자연수중 24의배수의집합을 이라할때, 다음을구하여라. 7) (1) (2) 2. 를전개할때, 항의개수를구하여라. 2) 3. 두종류의주사위 A, B를동시에던질때, 나타나는눈의수의합이 4의배수가되는경우의수를구하여라. 3) 8. A지점에서 B지점으로가는데있어 P또는 Q지점을거쳐야하고, 그지점들사이의길은그림과같다. (1) A에서 P를거쳐 B로가는길은몇가지인가? (2) A에서 B로가는길은모두몇가지인가? (3) A와 B사이를왕복하는데, P를반드시, 그리고오직한번만거치는길잡이수는몇가지인가? 8) 4. 두종류의주사위 A, B를동시에던질때, (1) 나타나는눈의수의합이 7이되는경우의수를구하라. (2) 나타나는눈의수의합이 4또는 6이되는경우의수를구하여라. (3) 나타나는눈의수의합이 5의배수가되는경우의수를구하여라. (4) 나타나는눈의수의합이 10이상이되는경우의수를구하라. 4) 9. A, B, C, D 네지점사이에오른쪽그림과같은도로망 이있다. A 에서 D 까지의경로는모두몇가지인가? 단, 같 은지점은많아야한번만지난다. 9) 5. 1부터 100까지의정수중에서 (1) 2로도 5로도나누어지는정수의개수를구하라. (2) 2또는 5로나누어지는정수의개수를구하여라. (3) 2로도 5로도나누어지지않는정수의개수를구하여라. 5) 6. 100보다작은양의정수가있다. 다음각경우의개수를구하여라. (1) 3의배수 (2) 5의배수가아닌정수 (3) 3 및 5의배수 (4) 3또는 5의배수 (5) 3의배수도 5의배수도아닌정수 6) 10. A, B, C, D네지점사이에그림과같은도로망이있다. 갑, 을두사람이 A에서중간지점 C, D를각각통과하여 B로가는길잡이수를구하여라. 단, 한편이통과한중간지점을다른편이통과할수없다. 10)
경우의수 2 4192 5 193 11. 그림과같이철사로연결된공간도형이있다. 모든 모서리의길이가같을때, 지점에서 지점까지철사 를따라서최단거리로움직이는방법의수를구하여 라. 11) 15. 0 과 1 을나열하여만들수있는 자리자연수의개 수를 이라할때, 의값을구하여라. 15) 단, 0 은연속해서나열하지않는다. 12. 정육면체 의한변 의점 에 서출발하여변만을따라서점 에도달하는길은모두몇가지인가? 단, 변 를지나는길은제외하고같은꼭지점은한번밖에지나지않는다. 12) 16. 그림과같이 A, B, C, D, E의다섯개의부분에빨강, 노랑, 파랑, 초록, 보라중의어느색이든지마음대로칠하려고한다. 같은색을몇번써도좋으나, 서로인접한부분은서로다른색으로칠하려한다. 그방법의수는? 16) 1 180 2 270 3 540 4 720 5 890 17. 그림에서네점 는정사각형 의각 변의중점이다. 이그림안에있는삼각형의개수를구하 여라. 17) 13. 1부터 72까지의정수중에서 72와서로소인수의개수는? 13) 1 20 2 24 3 28 4 32 5 36 14. 10000원짜리 5장, 1000원짜리 7장와 100원짜리동전을 3개로지불할수있는금액의가지수는? 단, 0원을지불하는것은제외한다. 14) 1 104 2 105 3 191 18. 의세변 위에꼭지점을제외 하고각각 6 개, 4 개, 3 개의점이있다. 이들각점을두 개씩이으면몇개의직선이되는가? 18)
경우의수 3 19. 그림에서점 을출발하여점 로가는방법을생각한다. 길은반드시왼쪽에서오른쪽으로, 아래에서위로나아가고, 사선부분은왼쪽아래에서오른쪽위로만간다고한다. 19) (1) 점 를지나서점 로가는방법의수를구하여라. (2) 점 를지나지않고점 로가는방법의수를구하여라. 20. 일때, 함수 : 중에서 의 임의의원 에대하여 를만족시키는함수 의 개수를구하여라. 20)
경우의수 4 경우의수 ( 하편 ) 27. 두개의주사위를동시에던질때, 나오는눈의합이 21. 에서 까지의정수중에서다음개수를구하시오.( 합의법칙 ) 21) (1) 의배수 (2) 로나누어떨어지지않는정수 (3) 또는 의배수 (4) 로도 로도나누어떨어지지않는정수 (5) 12 또는 13의배수가나오는경우의수 (6) 100과서로소인수가나오는경우의수 또는 이되는경우는모두몇가지인가?( 합의법칙 ) 27) 28. 여섯개의숫자 에서서로다른세가지숫자를사용하여만든세자리의자연수중 의배수는모두몇개인가?( 곱의법칙 ) 28) 22. 두주사위를동시에던져서나오는눈의수 의차를 라할때, 가홀수가되는경우의수를구하여라. 22) 23. 10원, 50원, 100원짜리동전이각각 3개, 3개, 4 개가있다. 이동전의일부또는전부를써서지불할수있는방법의수를, 지불할수있는금액의수를 라할때, 의값은? 23) 1 79 2 91 3 126 4 152 5 160 24. special 의모든문자를써서만든순열에서 s와 p 사이에두개의문자가들어있는것의개수를구하여라. 24) 29. 짐을보낼때 이상 이하이면요금은같다. 지금이요금내에서 의상품과 의상품을각각 개이상섞어보낸다면상품의조합방법의모든가지수는? ( 합의법칙 ) 29) 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 30. 똑같은짐 개가있다. 창수는한차례에짐을 개혹은 개씩운반할수있다. 이짐을모두운반하는방법의수는? ( 단, 운반할때 개만을가지고가는일은없다 ) ( 합의법칙과같은것이있는순열 ) 30) 1 2 3 4 5 25. 를일렬로배열한 것을 라할때, 를전부 만족시키는것의개수를구하여라. 25) 31. 이하의자연수에대하여다음을구하시오.( 합의법칙 ) 31) (1) 또는 의배수의개수 (2) 의배수도아니고 의배수도아닌것의개수 26. 자연수 을 개의자연수의합으로나누는방법의 수를 로나타낼때, 을구하여 라. 26) - 4 -
경우의수 5 32. 남학생 명, 여학생 명이한줄로서서등산을할 때, 특정인 명이이웃하여서는방법은몇가지인가? ( 곱의법칙과순열 ) 32) 1 2 3 4 5 37. 다음식을전개하면항이몇개생기는가?( 곱의법칙 ) 37) (1) (2) 33. 크고작은두개의주사위 를동시에던질때, 나오는눈은모두몇가지인가? 또, 두개의눈이서로다른경우는몇가지인가?( 곱의법칙 ) 33) 34. 철수네분단의학생을일렬로세울때철수, 규철, 영희세학생이계속해서같이설때학생중에서철수가가장앞에서고, 영희가가장뒤에서는경우의수가 일때철수네분단의학생들의수는?( 곱의법칙과순열 ) 34) 1 2 3 4 5 38. 가 에서 까지정수일때 이이차부등식 의해가되는이부등식의개수는? ( 합의법칙 ) 38) 1 2 3 4 5 39. 네개의도시 사이에는다음그림과같은도로가있다. 를출발하여모든도시를한번씩만거치고, 로다시돌아오는방법의수를구하시오. ( 곱의법칙과합의법칙 ) 39) 35. 과 의공약수의개수는모두몇개인가?( 곱 의법칙 ) 35) 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 36. 지점 에서서울역으로가는길은 가지, 서울역에서지점 로가는길은 가지가있다. 또, 에서서울역을거치지않고 로가는길은 가지이다. 서울역을한번만거쳐서 와 를왕복하는방법의수를구하시오.( 곱의법칙과합의법칙 ) 36) 40. 남자 명, 여자 명을한줄로세울때, 양끝과한가운데여자가서는방법의수는?( 순열과곱의법칙 ) 40) 1 2 3 4 5-5 -
경우의수 6 41. 크기가다른주사위 개를동시에던질때나오는눈의수의합이 또는 인경우는모두몇가지인가?( 합의법칙 ) 41) 42. 크기가다른세개의주사위를동시에던질때, 나오는눈의수의합이 이하가되는경우는모두몇가지인가?( 합의법칙 ) 42) 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 49. 두자리의자연수에서, 십의자리의숫자와일의자리의숫자의합이짝수인수는몇개인가?( 합의법칙 ) 49) 43. 원, 원, 원의 종류우표를합해서 원어치사는방법의수는몇가지인가? ( 단, 각우표를적어도 장씩은산다고한다.)( 합의법칙 ) 43) 44. 한개의주사위를던질때, 홀수의눈이나오거나소수의눈이나오는경우의수를구하시오.( 합의법칙 ) 44) 45. 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원짜리지폐 장이있을때, 이들을전부또는일부사용하여지불할수있는금액은몇가지인가?( 곱의법칙 ) 45) 50. 좌표평면위에동점 가있다. 주사위를한개던져홀수의눈이나오면 축의방향으로, 축의방향으로 만큼움직이고, 짝수의눈이나오면 축의방향으로, 축의방향으로 만큼움직인다. 처음원점의위치에있던점 가점 에있게되는경우의수는?( 곱의법칙 ) 50) 1 2 3 4 5 46. 종류의신문과 종류의잡지에서각각 종류씩택 하는방법은몇가지인가? ( 곱의법칙 ) 46) 51. 다음수의양의약수는몇개인가?( 곱의법칙 ) 51) (1) (2) 47. 크고작은두개의주사위를동시에던질때, 나오는 눈의수의합이 의배수가되는경우의수를구하시 오.( 합의법칙 ) 47) 48. 다음그림과같은도로망에서도로 와 는화살표방향으로일방통행만되고그외의도로는양쪽방향으로통행이된다고할때, 지점에서출발하여 지점을거쳐 지점까지갔다가다시 지점을거쳐 지점까지되돌아오는길의가지수는? ( 곱의법칙 ) 48) - 6 -
경우의수 7 52. 다음그림은 지점에서 지점으로가는길을나타낸것이다. 지점에서 지점으로갔다가다시 지점으로돌아오는방법은몇가지인가?( 합의법칙과곱의법칙 ) 52) C A D B 1 2 3 4 5 53. 중복을허용하여네개의숫자 으로만들수있는세자리정수의개수는?( 곱의법칙 ) 53) 1 2 3 4 5 54. 서로다른두개의주사위를동시에던질때, 나오는 눈의합이 또는 가되는경우의수를구하시오.( 합의 법칙 ) 54) 55. 의양의약수의개수를구하시오.( 곱의법칙 ) 55) - 7 -
경우의수 8 경우의수 ( 중급 ) 61. 에서 까지의정수가있을때, 다음을구하시오. 56. 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원짜리동전 개를가지고지불할수있는방법의수를, 지불할수있는금액의수를 라할때, 의값은? ( 곱의법칙 ) 56) 1 2 3 4 5 ( 합의법칙 ) 61) (1) 또는 의배수의개수 (2) 또는 의배수의개수 62. 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원짜리동전 개를사용하여거스름돈없이지불할수있는지불금액의수는몇가지인가?( 곱의법칙 ) 62) 57. 방정식 을만족시키는양의정수 의쌍은모두몇가지인지구하시오. ( 합의법 칙, 사전식배열 ) 57) 63. 를일렬로배열할때 번째숫자를 라고하면 인경우의수는몇가지인지구하시오. ( 수형도 ) 63) 58. 방정식 을만족시키는양의정수 의쌍의개수는모두몇개인가?( 합의법칙, 사전 식배열 ) 58) 64. 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원짜리동전 개를사용하여거스름돈없이지불할때, 다음을구하시오. 64) (1) 지불방법의수 (2) 지불금액의수 59. 일렬로놓여있는 개의의자에세사람이앉을때, 명중어느두사람도서로이웃하지않도록앉는방법의수를구하시오. ( 곱의법칙 ) 59) 60. 무게가 인분동이각각 개씩있다. 이들을써서몇가지무게를달수있는가?( 곱의법칙 ) 60) 1 2 3 4 5 65. 명씩두팀이참가한마라톤경주가있다. 등에 점을주기로하고점수의합이낮은팀이이긴다고한다. 동순위는없다고할때, 경주에서이길수있는승점의종류는? 65) 1 2 3 4 5-8 -
경우의수 1 66. 두개의정육면체가서로붙어있는아래그림에서 에서부터 까지모서리를따라최단거리로가는방법중 를통과하지않는방법의수를구하면?( 수형도 ) 66) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 중앙 2005 년 3 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 70. 70) 두개의깃발 와 가점 를중심으로회전 하면서여러가지신호를만들고있다. 깃발은아래 [ 그림 ] 의위치에서시작하여시계방향으로 초에 씩회전하고, 깃발은 [ 그림 ] 의위치에서시작하여시계반대방향으로 초에 씩회전한다. 아래 [ 그림 ] 은두깃발의처음위치를보여주고있고, [ 그림 ] 는 초후의신호를보여주고있다. 지금부터 초동안만드는서로다른신호의총가지수는? [3 점 ] [ 종로 2005 년 3 월 - 가형 ] 67. 67) 으로만들수있는세자리의자연수는 개가있다. 이중에서다음규칙을만족시키는세자리의자연수의개수를구하시오. [3 점 ] [ 교육청 2005 년 4 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 68. 68) 전체집합 의두부분 집합 에대하여 를만족시키는순서쌍 의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ][ 대성 2005 년 2 월 - 나형 ] 71. 71) 결합법칙이성립하는이항연산은연산의순서를달리할수있다. 예를들어, 과같이세수의덧셈은 가지방법으로연산의순서를달리하여계산할수있다. 네수의덧셈연산 는 가지연산순서가있음을확인하고, 다섯수의덧셈연산 에서모든연산순서의경우의수를구하시오. [4 점 ] [ 종로 2005 년 3 월 - 가형 ] 69. 69) 자연수 을 개의자연수 ( ) 의합으로나타내는것을 의 분할 이라고한다. 예를들어 의 분할 은, 와같이 가지방법이있다. 이때, 의 분할 의방법의수는? 72. 72) 길이가같은 개의성냥개비를모두사용하여하나의삼각형을만들려고한다. 이때, 만들수있는서로다른모양의삼각형의개수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 중앙 2005 년 3 월 - 가형 ] - 1 -
경우의수 2 [ 대성 2005 년 4 월 - 가형 ] 73. 73) 이산이네마을에는그림과같은도로가있다. 이 산이가집에서출발하여학교와도서관을한번씩만거쳐집으로돌아오는방법의수는? [3 점 ] [ 교육청 2005 년 4 월 - 가형 ] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 1 2 3 4 5 77. 77) 주머니속에크기와무게가같은흰공, 붉은공, 검은공이각각 개씩들어있다. 이주머니에서 개 의공을임으로꺼내어흰공은개당 점, 붉은공은개 당 점, 검은공은개당 점으로계산할때, 다음중얻 을수없는점수는? 74. 74) 한개의주사위를두번던져나온눈의수의합이 짝수가되는경우의수는? 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 교육청 2005 년 4 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 [ 대성 2005 년 4 월 - 가형 ] 78. 78) 선생님 명, 남학생대표 명, 여학생대표 명 이모두사진기를향하여일렬로서서사진을찍으려고 75. 75) 임의의서로다른 개의자연수에대하여 < 보 한다. 이때, 선생님끼리이웃하고남학생끼리도, 여학생 끼리도이웃하여서는방법의수는? 기 > 에서옳은것을모두고른것은?[4점] [ 교육청 2005 년 4월-가형 ] 1 2 3 4 5 [ 고려 2005 년 5 월 - 나형 ] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 79. 79) 같은종류의 개의공과 개의상자가있다. 공 을상자에모두나누어넣으려고할때, 빈상자가없도 록넣는방법의수는? 1 [3 점 ] [ 교육청 2005 년 6 월 - 가형 ] 76. 76) 어느마라톤동호회에서아침운동을하기위해 회원을소집하였더니 명이나왔다. 나온사람들이서로악수를나누었을때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 악수를나누지않은사람이있을수도있으나같은사람과두번악수하는경우는없다.) 2 3 4 5-2 -
경우의수 3 80. 80) 한모서리의길이가 인투명정육면체 개가 아래그림과같이큰정육면체모양으로붙어있고, 이중 개의정육면체에는검은공이하나씩내접되어있다. 이 개의정육면체를각층에검은공이하나씩들어가도록아래그림과같이 층으로쌓을때, 세공의중심이일직선이되도록쌓는방법의수는?( 단, 회전하거나뒤접거나굴리거나층을바꾸어서는안되고, 한방향에서볼때다른것은다른것으로본다.) [4 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 가형 ] 83. 83) 상품, 중품, 하품이적힌사과상자가각각 개, 개, 개씩 상자가있다. 이때, 다음그림과같이아래에한줄로 상자를먼저진열하고, 그위에나머지 상자를각각바로밑에있는상자보다품질이좋은상자를올려서진열하려고한다. 이와같이 개의사과상자를진열하는방법의수를구하시오. ( 단, 같은품질의상자끼리는구별하지않는다 ) [4 점 ] [ 대성 2005 년 6 월 - 나형 ] 상상중중상 중중하하하 1 2 3 4 5 84. 상자 개를크기순으로나란히배열하여 개의 테니스공을나누어담으려고한다. 각상자는바로왼쪽 에놓인상자보다 개의공을더많이담고, 빈상자가 없도록할때, 자연수 의최대값을구하시오. 84) [4 점 ] [ 종로 2005 년 6 월 - 가형 ] 81. 81) 중국여행전문가인 씨는동료들과함께 박 일의중국여행을가기로하였다. 그런데, 다양한경험을해보는것이좋겠다고생각하여숙소를호텔급숙소, 여관급숙소, 여인숙급숙소를모두이용해보기로하였다. 모두 박을하는동안이세등급의숙소를적어도한번씩은이용하는것으로하고, 전날이용한등급의숙소는다음날이용하지않는것으로할때, 숙소를이용하는서로다른방법의수를구하시오. ( 단, 각등급의숙소를이용하는순서가다르면서로다른방법으로간주한다.) [3 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 나형 ] 85. 자연수 을두자연수 의합 으로나타내는방법의수를 이라하자. 예를들어, 이다. < 보기 > 에서항상옳은것을모두고른것은? 85) [4 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 가형 ] 82. 82) 이라할때, 다음중 의양 의약수의총합을 와 로바르게나타낸것은? 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 대성 2005 년 6 월 - 가형 ] 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ - 3 -
경우의수 4 86. 86) 다항식 를전개하였을때항의개수는? [3 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월나형 ] 1 2 3 4 5 87. 시각장애인을위한문자체계의하나인브라유점자는그림과같은 개의점으로구성되어있으며, 이점들중볼록하게튀어나온점들의개수와위치로한문자를결정한다. 이때, 적어도하나의점은튀어나와야한다. 브라유점자체계에서표현가능한문자의개수를구하시오. 87) [4 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월가형 ] 89. 89) 어느학교에서학생들에게자연수의성질을깨닫 게하기위해두사람이갖고있는사탕의개수를비교하여많이가진사람의사탕에서적게가진사람의사탕만큼선생님께드리는놀이를하는데양쪽의사탕의개수가같게될때까지놀이를계속하도록하였다. 와 두학생이놀이를시작하기위해사탕의무더기에서각각한무더기씩의사탕을집고그개수를세어보니 는 개, 는 개이었다. 이놀이를모두마쳤을때 가가지게되는사탕의개수는? 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 대성 2005 년 7 월 - 가형 ] 90. 둘레의길이가 이고, 세변의길이 가정수인삼각형의개수는? ( 단, 합동인삼 각형은같은것으로간주한다.) 90) 88. 자연수 을 개의자연수의합으로나타내는분할 의방법의수를 ( 단, 그순서가바뀐것은같은 분할로본다.) 라한다. 예를들어 를두자연수의합으 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 나형 ] 로나타내면 이므로 이고, 세자연수의합으로나타내면 이므로 이고네자연수의합으로나타내면 이므로 이다. 이때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 88) [3 점 ] [ 대성 2005 년 7 월 - 가형 ] 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 91. 직장인 씨는매일회사에출퇴근하는데그방법은다음과같다. 아침에집에서나와걸어서버스정류장에가서버스를타고직장부근의버스정류장에서내려걸어서회사에출근한다. 퇴근시에는출근의반대순서로한다. 집에서버스정류장까지가는길은 가지가있고이버스정류장에서회사부근의버스정류장까지가는버스가 개의노선이있으며회사부근의버스정류장에서회사까지걸어가는길은 가지가있다. 퇴근시에는걷는길또는버스노선중출근시와적어도두종류가다르다고할때, 씨가출퇴근하는모든방법의수를구하시오. 91) [4 점 ] [ 대성 2005 년 7 월 - 나형 ] - 4 -
경우의수 5 92. 그림과같이 에서 로가는도로망이있다. 에 서 를거쳐 까지최단거리로이동할때, 점 에서방향을바꾸지않고직진하는경우의수는? 92) [3 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 가형 ] ( 나 ) 사용한상자에다음물건을넣을수있을때는사용가능한최초의상자에넣고그렇지않으면새로운상자에넣는다. ( 다 ) 물건을모두넣을때가지 ( 나 ) 의과정을반복한다. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 93. 아래그림과같은도형에 네가지색깔을칠하려고한다. 같은색은두번이상칠해도되지만서로이웃한면에는다른색을칠해야한다고할때, 가능한방법의수는? 93) [3 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 가형 ] 95. 아래그림과같이가운데원에 이적혀있고, 나머지원에 의 개의숫자를적어일직선위의세원에적힌수의합이일정하게하려고한다. 회전하여겹치는것은같은배열로생각할때, 서로다른수를적는경우의수는? 95) 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 고려 2005 년 8 월 - 나형 ] 1 2 3 4 5 96. 남자 명과여자 명이아래그림과같이앞줄에 명뒷줄에 명이서서사진을찍으려고한다. 이때, 여자 명이앞줄또는뒷줄에서옆으로나란히이웃하도록서는방법의수를구하시오. 96) [4 점 ] [ 고려 2005 년 8 월 - 나형 :] 94. 어느운송회사에서는하나의배달상자에최대 까지의상품을담을수있다고한다. 이운송회상에서다 음과같은무게의물건을배달상자에담아운송하려고 한다. 94) 위에서배열한순서대로다음규칙에따라배달상자에 담을때필요한배달상자의수는? [3 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 가형 ] ( 가 ) 처음 의물건을배달상자에넣는다. - 5 -
이다.) 101) [3 점 ] [ 평가원 2005 년 9 월 - 가형 ] 경우의수 6 시오. 99) [4 점 ] [ 대성 2005 년 9 월 - 나형 ] 97. 다음은 명의남자와 명의여자가 개의좌석이 있는원탁에앉을때, 양쪽옆에모두여자가앉은사람 이항상존재함을증명한것이다. 97) 명이양쪽모두여자가앉은사람이없도록앉아있다고가정하자. 두남자사이에여자들만앉아있는것을여자블록, 두여자사이에남자들만앉아있는것을남자블록이라고하면남자블록은적어도 ( 가 ) 명으로이루어져있으므로남자블록의수는 ( 나 ) 이하이다. 따라서, 여자블록의수도 ( 다 ) 명으로이루어진여자블록이존재한다. 그런데이블록에는여자사이에앉아있는사람이존재하게되어가정에모순이다. 따라서, 양쪽옆에모두여자가앉은사람이항상존재한다. 위의증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은수의합은? 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 중앙 2005 년 8 월 - 가형 ] 100. 그림과같이정육각형의방사형모양의길과둘레를잇는길이있다. 에서 로가는방법의수는? ( 단, 한번지난점은두번지나지못한다.) 100) [4 점 ] [ 종로 2005 년 9 월 - 나형 ] 1 2 3 4 5 101. 다음그림이포함하고있는모든직사각형의넓이의총합은? ( 단, 각칸의가로의길이와세로의길이는 98. 그림과같이빨강, 노랑, 초록, 파랑의네가지색깔의 카드가있다. 각카드위에 중한개의수를임의로적는다. 빨강, 노랑, 초록, 파랑의네개의카드에적은수를각각 라할때, 을만족하는순서쌍 의개수를구하시오.( 단, 다른색의카드에같은수를적을수있다.) 98) [4점] [ 중앙 2005년 8월-나형 ] 1 2 3 4 5 99. 한모서리의길이가 인주사위의각면에 부터 까지의자연수가하나씩적혀있고, 한모서리의길이가 인주사위의각면에 부터 까지의자연수가하나씩적혀있다. 또한, 한모서리의길이가 인주사위의각면에 부터 까지의자연수가하나씩적혀있다. 이와같이계속될때, 각면에적혀있는수들의합이 인주사위에적혀있는수중에서가장큰수를구하 - 6 -
경우의수 7 로가는경우는 지점에서 나 지점의방 향으로갈수없고 로가야한다. 이와같은방 법으로 지점을출발하여 지점까지최단거리로가 102. 집합 은다음과같다.,, 는모든방법의수를구하시오. 105) [4 점 ] [ 대성 2005 년 3 월 - 가, 나형 ] 집합 에서한개의원소를선택하여백의자리의수, 집합 에서한개의원소를선택하여십의자리의수, 집합 에서한개의원소를선택하여일의자리의수로하는세자리의수를만들때, 각자리의수가모두다른세자리의수의개수는? 102) 1 [3 점 ] [ 평가원 2005 년 9 월 - 나형 ] 2 3 4 5 106. 개의숫자와문자 에대하여 < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 106) [3 점 ] [ 중앙 2005 년 3 월 - 가형 ] ㄱ. 를일렬로배열하는방법의수 103. 영준이는방학이되어유적답사여행을떠나기로 했다. 여행에필요한물건의무게와가치는다음표와 같다. 103) 물건무게 () 가치카메라 계산기 망원경 책 야외용전등 까지만담을수있는손가방에단위무게당가치가 큰물건부터넣을때, 손가방에넣을물건의가치의 합은? 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 종로 2005 년 9 월 - 가형 ] 는 이다. ㄴ. 가 보다앞에오도록배열하는방법의수는 이다. ㄷ. 와 를교대로배열하는방법의수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 107. 개의숫자 을일렬로배 열할때, 맨앞자리에는 이오고맨뒷자리에는 이오지않는경우의수는? 107) [3점] [ 교육청 2005년 4월-가형 ] 1 2 3 104. 의 개의문자를일렬로나열할때, 자 음과모음이교대로나열되는경우의수를구하시 오 104).[3점][ 대성 2005년 2월-나형 ] 4 5 108. 의각각은 의 세수중어느한값을갖는다. 방정식 105. 아래그림과같은모양의도로망이있다. 지점을 출발하여 지점까지가는데, 두지점 를연결 한직선도로를가로방향으로갈수없다. 예를들어 의해의순서쌍 의개수를구하시오. 108) [ 대성 2005 년 4 월 - 가형 ] - 7 -
경우의수 8 109. 아래그림과같이정팔면체는평행한 쌍의정삼각 형으로이루어져있다. 정팔면체의마주보는평행한두면에적힌수의합이 가되도록각면에 부터 까지의자연수를각각하나씩적어넣는경우의수는? 109) [ 고려 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] 는? 위의규칙에따라 개의바둑돌을놓는방법의수 [4 점 ] [ 대성 2005 년 9 월 - 가, 나형 ] 1 2 3 4 1 가지 5 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 112. 을한번씩만사용하여만들 수있는여섯자리자연수중에서일의자리의수와백 의자리의수가모두 의배수인자연수의개수를구 하시오. 112) [3 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 나형 ] 110. 가로, 세로, 높이가각각 인벽돌 장과 인벽돌 장으로가로, 세로, 높이가각각 인벽을쌓으려고한다. 그림과같이가로가 인벽돌은반드시뉘어서쌓아야하고세워서쌓아서는안된다. 각층마다가로가 인벽돌이적어도하나씩들어있게할때, 만들수있는서로다른벽모양의가지수는? ( 단앞쪽에서보는것으로가정한다.) 110) [4 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 가형 ] 113. 집합 에서 로의함수 중에서다음두조건을만족시키는함수 의개수를 구하시오. 113) [4 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 가형 :] 1 2 3 4 5 114. 아래그림과같이크기가같은정사각형모양으로 이루어진도로망에서 는 에서출발하여 까지 최단거리로이동하고 는 에서출발하여 까지 111. 그림과같이 개의고정된정사각형안에다음 두규칙에따라 개의바둑돌을놓았다. 111) 최단거리로이동한다. 와 의속력이서로같고동시에출발할때, 서로만나는경우의수를구하시오. 114) [4 점 ] [ 고려 2005 년 8 월 - 가형 ] 예를들면, 다음과같다 - 8 -
경우의수 9 115. 아래그림과같은정삼각형 의세꼭지점과각변의중점 의위치에빨간공 개, 노란공 개, 하얀공 개를하나씩놓으려고한다. 이때, 서로다른방법으로놓을수있는경우의수를구하시오. ( 단, 같은색의공은같은종류로간주한다.) 115) [ 고려 2005 년 5 월 - 나형 ] 118. 정팔각형의모든꼭지점에숫자 또는 을지정하려고한다. 아래그림과같이고정된두꼭지점 와 를잇는직선에대하여대칭인점에같은숫자를지정하는경우의수는? 118) [3점] [ 평가원 2005년 6월-가형 ] 116. 어느동물원에서그림과같이번호가적혀있는 칸의동물우리에호랑이, 사자, 늑대, 여우, 원숭이, 곰을각각한마리씩넣을때, 호랑이와사자는이웃하지않게넣으려고한다. 예를들어, 의경우에는 와 가이웃하는우리이고,,, 은이웃하지않는우리이다. 이때, 마리의동물들을서로다른우리에각각넣는방법의수는? 116) <1> <2> <3> <4> <5> <6> 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 교육청 2005 년 6 월 - 가형 ] 117. 층에서 명이엘리베이터를타고출발하였다. 이 들은 층부터 층까지어느한층에서내리며 층에서는엘리베이터에남은사람들은모두내린다. 이때, 내리는모든방법의수는? ( 단, 층은멈추지않으며어느한층에서모두내릴수도있다.) 117) 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 교육청 2005 년 6 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 119. 그림과같은도로망이있다. 지점에서 를거치 지않고 지점으로갈때, 최단거리로가는방법의 수를구하시오. 119) [3 점 ] [ 교육청 2005 년 6 월 - 가형 ] 120. 어떤로또복권은 부터 까지의자연수중에서 중복되지않게임의로뽑은 개의숫자의순서를고려 하지않고맞히면 등에당첨이된다. 다음중이복권 에서 등에당첨될수있는경우의수를나타낸것 은? 120) 1 2 3 4 5 [ 정일 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] - 9 -
경우의수 10 121. 두집합 에대하여함수 중 을만족하는함수 의개수는? 121) [ 정일 2005년 5월-나형 ] 1 2 3 4 5 가 나 위의과정에서 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은것은? 1 2 3 [3 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] 4 5 122. 를일렬로나열할때, 같은문자가이웃하 지않도록나열하는경우의수는? 122) [3 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 123. 은섭이는형은호의 번째생일을축하해주기위해케익을하나준비하였다. 둥근케익에큰촛불두개와작은촛불세개를원형으로꽂으려고한다면그방법의수는? ( 단, 크기가같은촛불들은구별하지않는다.) 123) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 가형 ] 124. 다음은순열 를다른식으로변형하는과정이 다. 124) 125. 숫자 에서중복을허용하여세개를택하여만든세자리자연수를문장에대응시켜암호화시키려고한다. 이때, 짝수가연속으로나오는자연수는위조방지용숫자로제외시킨다. 예를들어, 등은제외시키고 등은허용한다. 위와같은방법으로암호화시킬수있는문장은최대몇개인가? 125) [4 점 ] [ 중앙 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 126. 아래그림과같은도로망이있다. 이도로망의어느교차지점 에서네꼭지점 에최단거리로이르는방법의수를각각 라할때, 행렬 를 로나타내기로하자. 두교차지점 에서만든행렬 에대하여행렬 의모든성분의합을구하시오. 126) [4 점 ] [ 중앙 2005 년 5 월 - 나형 ] - 10 -
경우의수 11 127. 좌표평면위에점 가있다. 동전한개를던져앞면이나오면 축의방향으로 만큼, 뒷면이나오면 축의방향으로 만큼나아가기로한다. 좌표평면위의원점에놓인점 가점 에도달하는방법의수를구하시오. 127) [3 점 ] [ 중앙 2005 년 5 월 - 나형 ] 128. 원짜리와 500 원짜리두종류의동전만을사용 할수있는어떤인형자동판매기에서는동전을넣은총금액이같더라도동전을넣는방법이다르면다른종류의인형이나온다. 이때, 다른종류의동전끼리는동전을넣는순서를구별하고, 같은종류의동전끼리는동전을넣는순서를구별하지않는다. 예를들면 원을넣는방법은아래와같이 가지경우가있고, 그때나오는 원짜리인형의종류도 가지이다. 이자동판매기에서얻을수있는 원짜리인형의종류의수는? 128) [4점] [ 대성 2005년 6월-나형 ] 1 2 3 4 5 129. 다음은어느극장의각행별좌석배치도로, 번과 번, 번과 번은커플좌석이고, 번부터 번까지는개인별좌석이다. 두쌍의부부를포함하여총남자 명과여자 명을 행의좌석에배정하는데부부는부부끼리커플좌석에배정하고남은여자 명이이웃하도록좌석을배정하는경우의수를쓰시오. 129) [4 점 ] [ 종로 2005 년 6 월 - 가, 나형 ] A 행 1 2 3 4 5 6 7 8 9 130. 철수는국가대표팀의축구경기를시청하고있었 다. 그런데우리나라국가대표팀이전반전경기를 으로이기고난후중간휴식시간에갑자기철수 네집이정전이되어후반전경기를시청할수없었다. 다음날친구들로부터후반전경기까지마친결과 으로우리나라국가대표팀이승리하였다는사 실을알게되었지만, 두팀이골을넣은순서는알수 없었다. 철수는 < 표 1> 과같은표를만들어후반전경 기에서두팀이골을넣어가는상황중한가지를 < 표 2> 와같이적어보았다. 이와같이철수가 < 표 1> 의어 두운부분을완성할수있는모든경우의수를구하시 오. 130) 구분국가 대표팀상대팀 전반전 1 0 후반전 최종득점 결과 <1> 5 3 [4 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월가, 나형 ] 구분국가대표팀상대팀전반전 1 0 후반전 최종득점 결과 <2> 2 0 2 1 2 2 2 3 3 3 4 3 5 3 5 3 131. 개의바둑돌이담긴주머니에서한번에한개또 는두개의바둑돌을꺼내기로하였다. 주머니안의바 둑돌이모두없어질때까지바둑돌을꺼내는방법의수 는? 131) [3 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월가형 ] 1 2 3 4 5 B 행 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 행 1 2 3 4 5 6 7 8 9-11 -
경우의수 12 형모양의탁자에앉으려고한다. 135) 132. 다음그림과같은놀이기구가있다. 이기구의입구인 번방으로구슬을넣으면구슬은아래쪽으로내려와 번에서 번중의어느한출구로나오게된다. 이때, 번출구로공이나오는경우의수를구하시오. ( 단, 공은밑으로만움직인다.) 132) [4 점 ] [ 대성 2005 년 8 월 - 나형 ] 학교 남학생수 여학생수 합계 같은학교학생끼리는탁자의같은면에이웃하여앉으 면서동시에남학생과여학생이섞인학교는남학생 은남학생끼리, 여학생은여학생끼리이웃하여앉으 려고할때, 총경우의수를구하시오.( 단, 학생이앉 기전에탁자세면의구별이없다.) [4 점 ] [ 종로 2005 년 8 월 - 가형 :] 133. 세종류의문자 를사용하여네자리의문 자열을만든다고할때, 다음두조건을만족시키는문 자열의개수는? 133) [4 점 ] [ 대성 2005 년 8 월 - 나형 ] 1 2 3 4 5 136. 남학생 명과여학생 명을두명씩 개의조로나누는데각조를남녀한명씩으로구성되게하는방법의수를 라하자. 또남학생끼리서로이웃하도록하여이들 명이원탁에들러앉는방법의수를 라할때, 의값을구하시오. 136) [3 점 ] [ 종로 2005 년 8 월나형 ] 137. 의 개의문자를원형으 로배열할때, 같은문자끼리이웃하지않는방법의수를구하시오. 137) [3점] [ 중앙 2005년 8월-가, 나형 ] 134. 다섯개의인터넷동호회에가입한승기는각동호 회의홈페이지 를다음과같은규칙으로방문하려고한다. 134) 138. 가지서로다른색을모두써서정육면체의각면 을칠하려고한다. 서로이웃하는면은다른색으로칠하려고할때, 칠할수있는경우의수를구하시오. 138) [ 대성 2005 년 2 월 - 가, 나형 ] 위와같은규칙으로승기가하루에동호회홈페이지에 방문하는방법의수를구하시오. [3 점 ] [ 종로 2005 년 8 월 - 가, 나형 :] 135. 다음표와같이 세학교에서각각대표 명씩이토론회에참석하여, 아래그림과같은정삼각 - 12 -
경우의수 13 139. 그림과같은 개의빈칸에 의 개의수를하나씩써넣으려고한다. 열, 열, 열의숫자들의합을각각 라할때, 이되도록빈칸을채우는경우의수는? 139) 열 열 열 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 교육청 2005 년 3 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 142. 서로다른네개동의아파트를서로다른네개의건설팀이건설하는데두팀식 개조로나누어서각조가 개동씩나누어맡아서건설하기로하였다. 건설하는방법의수는? 142) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 종로 2005 년 3 월 - 가형 ] 140. 석준이는대학생이되면해외로배낭여행을하기로하고, 가고싶은나라를대륙별로아래표와같이적어보았다. 석준이는두대륙을여행하되먼저방문하는대륙에서 개국을여행하고, 두번째방문하는대륙에서는 개국을여행하기로하였다. 석준이가계획할수있는배낭여행의경우의수를구하시오.( 단, 방문국의순서는고려하지않는다.) 140) [4 점 ] [ 교육청 2005 년 3 월 - 가형 :] 대륙가고싶은나라아시아일본, 중국, 인도, 태국유럽프랑스, 이탈리아, 스페인, 그리스아메리카미국, 멕시코, 브라질아프리카이집트, 리비아, 튀니지 143. 어느일요일 테니스동호회월례대회에모두 명의선수가출전하였다. 시합은모두단식이고 명, 명씩두조로나누어각조별로예선전을치른후각조의우승자두명이결승전을치르기로하였다. 예선전은같은조의모든선수들이한번씩경기를하는리그전이고결승전은한번의시합으로승부를낸다면, 이날 테니스동호회가치러야할총경기의수의최소값은? 143) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 종로 2005 년 3 월 - 가형 ] 141. 회전이가능한원판위에내접하는정사각형을그려아래그림과같이다섯부분으로나누어이웃하는부분이구별될수있도록서로다른 가지색중에서 가지색을선택하여색칠하는방법의수는? 141) [3 점 ] [ 대성 2005 년 3 월 - 가, 나형 ] - 13 -
경우의수 14 144. 아래그림은합동인여덟개의마름모로만든도형이다. 이도형에빨강, 노랑, 파랑, 초록, 보라의다섯가지색중에서서로다른네가지색을골라마름모두개마다하나의색을칠하려고한다. 이웃한곳은서로다른색을칠하고전체적으로도형의중심에대하여점대칭이되도록칠하는방법의수는? 144) [4 점 ] [ 종로 2005 년 3 월 - 가형 ] 148. 집합 에대하여원소의개수가 개, 개, 개인집합으로분할하는방법의수를구하시오. 148) [4 점 ] [ 교육청 2005 년 4 월 - 가형 ] 149. 아래그림과같이자물쇠번호의네자리의수가각각 에서 까지의 개의수로되어있는자물쇠가있다. 이자물쇠의키번호를정하는데 와 등과같이 가이순서로하나씩만나오게하려고한다. 이때, 만들수있는키번호의개 1 2 3 4 5 수는? 149) [ 고려 2005 년 5 월 - 나형 ] 1 개 2 개 145. 집합 의두부분집합 가다음세조건을만족할때, 집합 의쌍의개수를구하시오. 145) [4 점 ] [ 중앙 2005 년 3 월 - 가형 ] 3 개 4 개 5 개 150. 보다작은네자리의자연수중에서각자리의 숫자중두개만같은자연수는몇개인지구하시오. 150) [4 점 ] [ 교육청 2005 년 6 월 - 가형 ] 146. 양의정수 에대하여부등식 를만족시키는좌표평면위의점에서임의로세점을선택할때, 이세점을꼭지점으로하는삼각형의개수를구하시오. 146) [3 점 ] [ 교육청 2005 년 4 월 - 가형 ] 147. 집합 에대하여다음두조건을모두만족시키는 의부분집합 의개수를구하시오. 147) [4점] [ 교육청 2005년 4월-가형 ] 151. 서로다른종류의 송이꽃이있다. 송이, 송 이, 송이씩포장하여 명의친구에게각각선물하는방법의수는? 151) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 교육청 2005 년 6 월 - 가형 ] - 14 -
경우의수 15 152. 네개의 과여섯개의 를모두사용하여만든 자리수중에서다음두조건을모두만족시키는수열의개수는? 152) [ 대성 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] 1 2 3 4 5 156. 아래그림과같이한모서리를공유하고밑면이바닥과평행한두개의정육면제가있다. 이도형의꼭지점중 개를택하여만들수있는삼각형의개수를구하시오. 156) [4점] [ 중앙 2005년 5월-가, 나형 ] 153. 다음과같은컴퓨터오락게임이있다. 현재점수가 점인창호가앞으로 번째되는게임에 서점수가 점이되어게임이완전히종료되는경우 의수를구하시오. 153) [ 정일 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] 154. 여섯개의수 가있다. 이중에서서로다른네개의수를뽑아서네자리정수를만들려고한다. 이때, 백의자리의수가일의자리의수보다작게되는네자리의정수는모두몇개인가? 154) 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 [3 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 가, 나형 ] 157. 색깔이모두다른 개의공을똑같은상자 개에 나누어넣을때, 각상자속에들어있는공이적어도 개이상이되도록나누는방법의수는? 157) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 대성 2005 년 6 월 - 가형 ] 158. 남자 명, 여자 명이있다. 이중에서남자 명, 여자 명을뽑아남녀한명씩짝을짓는방법의수를구하시오. 158) [3 점 ] [ 대성 2005 년 6 월 - 나형 ] 155. 아래그림과같은원판을붉은색물감과파란색물감으로칠하려고한다. 반드시 이적힌부분부터칠을시작하여시계반대방향으로 ( 그림의번호순으로 ) 칠하기로한다. 도중에숫자가적힌부분의경계면에서물감의색깔을바꿀수있고, 그횟수를 회까지허용하려고할때, 칠할수있는방법의수를구하시오. 155) [3 점 ] [ 종로 2005 년 5 월 - 나형 ] - 15 -
경우의수 16 159. 가운데세로줄의여섯글자종로학력평가를중심으로좌우대칭이되도록글자를배열하였다. 다음의예와같이가운데의첫글자종 에서부터시작하여 종로학력평가 의마지막글자 가 에서끝나도록연결선을이을때, 연결할수있는방법의수는다음그림처럼여러가지이다. 종 에서부터시작하여모든마지막글자 가 에연결할수있는방법의수는? 159) 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 종로 2005 년 6 월 - 가, 나형 ] 162. 에서 로의함 수중에서 일때, 를만족시키는함수 의개수를구하시오. 162) [3 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 가형 ] 163. 지역에는세곳, 지역에는네곳, 지역에는다섯곳, 지역에는여섯곳의관광지가있다. 이중에서세곳을선택하여관광하려고할때, 선택한세곳이모두같은지역이되는경우의수는? 163) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 나형 ] 164. 어느건물에서는출입을통제하기위하여각자리가 160. 항공사는서울, 대구, 광주, 부산의 개도시 를운항한다. 이항공상에서는그동안 개도시의어느두도시건간에다른도시를경유하지않고한번에가는직항로를운항하였으나, 최근경영상의문제로몇몇직항로를폐쇄해야하는상황에처했다. 이항공사의비행편을이용하는승객을잃지않기위해 개도시가연결되는최소항로만운항하려고할때, 직항로를폐쇄하는방법의가지수는? 160) [4 점 ] [ 종로 2005 년 6 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 161. 아시아 개국과아프리카 개국이있다. 개국을 개국씩짝지어 개의그룹으로나누려고한다. 적어도한개의그룹이아시아국가만으로이루어지도록 개의그룹으로나누는경우의수를구하시오. 161) [4 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 가형 ] 과 로이루어진 자리문자열의보안카드를이용하고있다. 보안카드의 자리문자열에 의개수가 개이거나문자열의처음 자리가 이면이건물의출입문을통과할수있다. 예를들어, 보안카드의문자열이 이거나 이면이건물에출입할수있다. 이건물의출입문을통과할수있는서로다른보안카드의총개수를구하시오. 164) [4 점 ] [ 평가원 2005 년 6 월 - 나형 ] 165. 원소의개수가 인집합을공집합이아닌두개의부분집합으로분할하는경우의수는? 165) 1 2 3 4 5 [3 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월가형 ] - 16 -
경우의수 17 수를구하시오. 169) [4 점 ] [ 대성 2005 년 7 월 - 가형 ] 166. 의각자리의숫자의합은 이된다. 이때, 각 자리를상자로생각하면 은네개의상자에그림과같이 개의공을넣는것으로생각할수있다. 이를이용하여 부터 까지의정수중에서각자리의숫자의합이 이되는정수의개수를구하면? 166) [4 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월가형 ] 170. 숫자 가각각적힌 장의카드가있다. 이 장의카드중 가적힌카드 장을포함해서 장이상의카드를뽑는방법의수를구하시오. 170) [3 점 ] [ 대성 2005 년 7 월 - 나형 ] 1 2 3 4 5 167. 그림과같이점 에서만나는두선분, 위에 개의점이있다. 이중세점을꼭지점으로하는삼각형의개수를구하시오. 167) [3 점 ] [ 교육청 2005 년 7 월나형 ] 171. 아영이네사진동아리는총인원이 명이고, 명 모두키가다르다. 사진콘테스트에서대상을받으면아영이를포함한 명이단상위로올라가기로하였다. 한가운데있는사람이가장키가크고양쪽끝으로갈수록키가작은사람이서있게하려고할때, 가능한배열의수는? 171) 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 [3 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 가형 ] 168. 집합 에서집합 로의함수중에서치역에속하는모든원소의합이짝수인것의개수는? 168) 1 2 3 4 5 [4 점 ] [ 대성 2005 년 7 월 - 가, 나형 ] 172. 경부선철도의어느작은역에는모두 개의개찰구가있다. 전국일주여행중인철수, 영희, 경선세사람이이역에내려서개찰구를빠져나가는서로다른방법의수를구하시오.( 단, 각각의개찰구는서로다른것으로간주하고, 각개찰구는한번에한사람만통과할수있다. 또한한개찰구로여러명이나갈때, 나가는순서가다르면다른방법으로간주한다.) 172) [3 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 나형 ] 173. 의일의자리, 십의자리, 백의자리의숫자를 각각 라할때, 를구하여라. 173) [4 점 ] [ 종로 2005 년 7 월 - 나형 ] 169. 어느공원길에 개의가로등이일렬로놓여있다. 에너지절약을위해이중 개의가로등은켜고 개의가로등은끄려고한다. 이때, 인접한가로등은동시에켜지지않도록 개의가로등을켜는모든경우의 - 17 -
경우의수 18 5 174. 아래그림과같이가로, 세로방향으로 만큼떨어진정사각형모양으로배열된 개의점이있다. 이 개의점에서세점을연결하여삼각형을만들때, 아래색칠된삼각형보다넓이가작은삼각형을만들수있는경우의수를구하시오. 174) [4 점 ] [ 고려 2005 년 8 월 - 가, 나형 ] 178. 좌표평면위의 축의양의부분에 개, 축의양의부분에 개의점이있다. 축위의한점과 축위의한점을양끝점으로하는선분이 개가만들어진다. 이선분들로만들어지는교점의개수의최대값은? ( 단, 교점은제 사분면안쪽에있는것만센다.) 178) [3점] [ 종로 2005년 9월-가, 나형 ] 1 2 3 4 175. 집합 에서집합 5 로의함수 중에서 를만족하는함수 의개수는? 175) [4 점 ] [ 종로 2005 년 8 월 - 가형 ] 1 2 3 4 5 176. 아래그림과같이 개의칸으로이루어진도형의각칸에흰색또는검은색을칠하여도형을왼쪽부터순서대로흰색, 검은색, 흰색, 검은색의네부분으로나누려고한다. 이와같이색을칠하여도형을네부분으로나누는모든방법의수를구하시오. 176) [3 점 ] [ 중앙 2005 년 8 월 - 가형 ] 179. 평면위에모두 개의원이그려져있다. 서로다른두원은반드시두점에서만나고어느세원도한점에서만나지않는다고할때, 이들원에의해분할된평면의개수는? 179) [4 점 ] [ 종로 2005 년 9 월 - 가, 나형 ] 1 2 3 4 5 180. 키다리농구단과기린농구단은내년시즌트레이드를위해원하는선수를각각 명씩신청받아두농구단이서로동일한인원으로맞교환하기로하였다. 맞교환할인원을 명부터 명까지로할때, 발생할수있는경우의수는? 180) 1 [3 점 ][ 종로 2005 년 9 월 - 가형 ] 2 177. 두집합 에대하여함수 중에서 일때, 를만족시키는함수의개수는? 177) 1 2 3 4 [4 점 ] [ 대성 2005 년 9 월 - 나형 ] 3 4 5-18 -
경우의수 19 1) 답. (1) 8 (2) 13 2) 답. 6개 3) 답. 9 4) 답. (1) 6 (2) 8 (3) 7 (4) 6 5) 답. (1) 10 (2) 60 (3) 40 6) 답. (1) 33 (2) 80 (3) 6 (3) 46 (4) 53 7) 답. (1) 8 (2) 58 8) 답. (1) 6 (2) 14 (3) 96 9) 답. 38 10) 답. 72 11) 답. 25가지 12) 답. 14가지 13) 답. 2 14) 답. 3 15) 답. 16) 답. 3 17) 답. 16개 18) 답. 57개 19) 답. (1) 16가지 (2) 6가지 20) 답. 24 21) (1) (2) (3) (4) (5) 15 (6) 40 [ 해설 ] 는 의배수, 는 의배수 라하면 는 의배수 이다. (1) 에서 (2) 에서 (3) ⑷ 22) 18 23).3 지불할수있는금액의수 원권 장, 원권 장, 원권 장으로지불할수있는금액의수 (1) 일때 ( 화폐액면이중복되지않을때 ) ( 가지 ) (2) 중에 이상인것이있을때 ( 화폐액면이중복된부분은 (1) 의공식을이용한다. 24) 960 25) 44 26) 8 27) 가지 [ 해설 ] 두주사위의눈의수를순서쌍 로나타내면눈의합 이 인경우, 즉 인경우는,,,, 가지 눈의합이 인경우, 즉 인경우는,,,, 가지이고이들은동시에일어나지않으므로구하는경우의수는 ( 가지 ) 28) 개 [ 해설 ] (i) 의자리가 인경우 : 의자리에 의 가지가올수있고, 의자리에는 의자리의수를제외한 가지가올수있다. 지 ) ( 가 (ii) 의자리가 인경우 : 의자리에 의 가지 가올수있고, 의자리에는 의자리의수를제외한 가지 와 의 가지가올수있다. ( 가지 ) (i), (ii) 에서 ( 개 ) 29) 4 [ 해설 ] 의개수, 의개수 라고하면 일때, 일때 일때, 일때 일때 따라서, ( 가지 ) 30) 3 [ 해설 ] 짐 개를운반하는횟수를, 개를운반하는횟수를 라 고하면 이것을만족시키는순서쌍자연수 는 따라서, 운반하는방법의수는 31) (1) 개 (2) 개 [ 해설 ] 이하의자연수전체의집합을 라고하면, 의배수의집합, 의배수의집합을각각 라하면, 이고, 한편,, (1) 또는 의배수의집합은 이므로 ( 개 ) (2) 의배수도아니고 의배수도아니다. 또는 의배수가아니다. 즉, 이것을집합으로나타내면 ( 개 ) 32) 3 인접순열 1 인접할때 인접한것들을묶어서한뭉치로생각하고, 묶은것의자체내의순열의수를곱한다. 2 인접하지않을때 인접해도좋은것들을먼저배열하고, 그사이사이와양끝에인접하지않는것들을배열하는순열의수를곱한다. [ 해설 ] 특정인 명을한묶음으로생각하여 명을일렬로세우는 방법의수가 ( 가지 ), 묶음안에서 명이자리를바꾸는방법의 수가 ( 가지 ) 이므로, 구하는경우의수는, ( 가지 ) 33) 가지, 가지 [ 해설 ] (i) 에서 가지, 에서 가지가나오므로모든경우의 수는 ( 가지 ) (ii) 눈이서로다른경우는 의 가지각각에대하여 에서 가 지가나오므로 ( 가지 ) 34) 1 [ 해설 ] 구하는순열의수는철수, 규철, 영희를한사람으로보고일렬로늘어놓은다음세사람의자리에철수, 규철, 영희의순서로세 우면된다. 철수네분단의학생의수를 이라하면 여기서 로나누는이유는철수, 규철, 영희를한사람으로보았기때문에이들이자리를바꿔생기는경우수는빼야하므로즉, 35) 3 양의약수의개수와총합 은자연수 는소수 은자연수 일때 (1) 의양의약수의개수 (2) 의양의약수의총합 [ 해설 ] 두수의공약수는두수의최대공약수의약수이므로, 에서 따라서공약수의개수는 36) [ 해설 ] (i) 서울역 : ( 가지 ) (ii) 서울역 : ( 가지 ) (i), (ii) 이므로 ( 가지 ) 37) (1) 개 (2) 개 [ 해설 ] (1) 각각에 가곱해지므로 ( 개 ) - 19 -
경우의수 20 (2) 각각에 가곱해지고, 또이들각각에 가 곱해지므로 ( 개 ) 38) 3 [ 해설 ] 이주어진부등식의해이므로이부등식에 의값을 대입하면 4 [ 해설 ] 여자를 라하면, 와같은방법이어야하므로 의위치에세울여자 를선택하는방법은 이고, 의위치에세울사람 ( 여자 1 명, 남자 3 명 ) 을선택하는방법은 이다. 따라서, 구하는방법의수는 여기서 일때성립 시키는 의값은없다. 따라서, 일때 이고, 일때 이다. 따라서 개. 39) [ 해설 ] 로왕복할때 로왕복할때 40) 4 가지 [ 해설 ] 여자를 라하면, 와같은방법이어야하므로 의위치에세울여자 를선택하는방법은 이고, 의위치에세울사람 ( 여자 1 명, 남자 3 명 ) 을선택하는방법은 이다. 따라서, 구하는방법의수는 41) 가지 [ 해설 ] 눈의수의합이 인경우는 의 가지 이고, 눈의수의합이 인경우는,,,, 의 가지이므로, 구하는경우의 수는 ( 가지 ) 42) 가지 [ 해설 ] 세개의주사위의눈의수를순서쌍 으로나타 낼때, 인경우의수를구하면된다. (i) 인경우,,,,, 지 (ii) 인경우,, (iii) 인경우 ( 가지 ) 43) 가지 가지 가지 가 [ 해설 ] 원 매, 원 매, 원 매산다고하면 ( ), ( ) 에서 (i) 일때 에서 의 가지 (ii) 일때, 에서 의 가지 가지 44) [ 해설 ] 홀수의눈이나오는경우를집합, 소수의눈이나오는경우 를집합 로나타내면,, 45) 가지 [ 해설 ] 원짜리동전을 개사용할수있고 이들각각에 원짜리동전을 개사용할수 있고여기에 원짜리지폐 개를각각사용할수있다. 그런데 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원자리 지폐 개를동시에사용하는것은의미가없으므로구하는경우의 수는 ( 가지 ) 46) 가지 [ 해설 ] 신문의종류를 라하고, 잡지의종류를 라하면, 이들에서각각 종류씩택하는방법은아래그림과같이 ( 가지 ) 47) 가지 [ 해설 ] 크고작은주사위의눈의수를순서쌍 로나타내고 가 의배수인경우를생각한다. (i) 인경우,, (ii) 인경우,,,, 지 가지 가 (iii) 인경우 가지또, 위의세사건은동시에일어나지않으므로, 구하는경우의수는다음과같다. ( 가지 ) 48) 4 [ 해설 ] 의길의가지 수는각각 이므로구하는길의가지수는 ( 개 ) 이다. 49) 개 [ 해설 ] 십의자리의숫자와일의자리의숫자가모두짝수이거나모두홀수인경우를생각하면된다. (i) 모두짝수인경우 : 십의자리의숫자가 네가지 있고이들각각에일의자리의숫자 이대응되 므로 (ii) 모두홀수인경우 : 십의자리의숫자가 다섯 가지가있고이들각각에일의자리의숫자 가 대응되므로 (i), (ii) 에서 ( 개 ) 50) 5 [ 해설 ] 홀수의눈이나온횟수를, 짝수의눈이나온횟수를 라하면, 이것을풀면 주사위를 번던져, 홀수가 회짝수가 회나오는경우의수는 그리고, 홀수가나오는경우가 로각각세차례, 짝수가나 오는경우가 으로세차례이므로구하는경우의수는 51) (1) 개 (2) 개 [ 해설 ] (1) 이므로약수는 ( 개 ) - 20 -
경우의수 21 (2) 이므로약수는 ( 개 ) 52) 5 [ 해설 ] ⅰ) 의경우 ; ( 가지 ) ⅱ) 의경우 ; ( 가지 ) ⅲ) 의경우 ; ( 가지 ) ⅳ) 의경우 ; ( 가지 ) ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ) 에서모든경우의수는, ( 가지 ) 53) 2 [ 해설 ] 백의자리에올수있는경우의수는 의 가지이 고, 십의자리와일의자리에올수있는경우의수가각각 가지이므로, 구하는세자리정수의개수는, ( 개 ) 이다. 54) [ 해설 ] 눈의합이 인경우의집합을 라하면 눈의합이 가되는경우의집합을 라하면 는동시에일어날수없는사건이므로 55) [ 해설 ] 을소인수분해하면 이므로 의약수는 의꼴로나타낼수있다. 의약수의집합을 라하면 의약수의집합을 라하면, 이므로 의양의약수의개수는 56) 2 [ 해설 ] 동전을사용하지않는것도지불방법이되므로각동전을사 용하는경우의수는 가지이다. 그러나, 금액이모두 원이면지불방법이되지못하므로, ( 지불방법의수 ) 지불금액의수는금액이중복되어있으므로 원짜리동전 개를 원짜리동전 개로바꿔생각한다. 즉, 원짜리동전 개와 원짜리동전 개로지불할수있는경우의수를계산하면된다. ( 지불금액의수 ) 57) 가지 [ 해설 ] 이므로 (i) 인경우 : 을만족하는짝 는, 의 가지 (ii) 일경우 : 이므로,, 의 가지 (iii) 인경우 : 이므로 의 가지 (iv) 인경우 : 이므로 의 가지 (v) 인경우 : 이므로 의 가지 이상 (i) 에서 (v) 까지의어느 개도동시에발생하는일이없으므로, 조건식을만족하는 의쌍은합의법칙에의하여 ( 가지 ) 58) [ 해설 ],, 이므로 (i) 일때 :, 에서 의 가지 (ii) 일때 :, 에서 의 1 가지 (i), (ii) 에서구하는경우의수는 가지 59) 가지 [ 해설 ] 일렬로늘어선 개의의자중서로이웃하지않은세개의자리를고르는경우의수는, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 의 가지이고, 각각의경우세사람을앉히는경우의수가 가지이므로, 구하는방법의수는, ( 가지 ) 별해 ) ( 가지 ) 60) 2 [ 해설 ] 서로다른네개의분동을각각 개또는 개씩사용할수 있고, 네개의분동을모두 개씩사용하는경우는무게의개수에서제외되므로, 구하는경우의수는, ( 가지 ) 61) 수학 1, 확률, 경우의수, 중, 미, 단답형,1 문제,-, 수학내적문제해 [ 해설 ] (1) ( 의배수 ) 의개수 개, ( 의배수 ) 의개 수 개, φ ( 개 ) (2) ( 의배수 ) 의개수 개, ( 의배수 ) 의개수 개, ( 의배수 ) 의개수 개 개 62) 가지 [ 해설 ] 원짜리동전 개이면 원짜리동전 개와같으므로금 액이중복된다. 원짜리동전 개를 원짜리동전 개로바꾸 면 원짜리동전 개, 원짜리동전 개가되고지불방법의 수는 가지 돈이 원이면지불하는것이아니므로 가지 63) ( 가지 ) [ 해설 ] 인것은 인것을뜻한다. - 21 -
경우의수 22 이므로 인경우에따라서조사한다. 인경우 의네가지경우가있으며, 위수형도와같이조사해보면모두 가지가있다. 인경우도마찬가지이므로구하는모든경우의수 는 ( 가지 ) 64) (1) (2) [ 해설 ] (1) 원짜리동전 개로 개의 가지로지불할 수있으므로 원짜리동전 가지, 원짜리동전 가지, 원짜리동전 가지씩이다. 그런데모두 개를지불하는경우 는없으므로구하는가지수는 ( 가지 ) (2) 금액이중복되므로 원짜리 개, 원짜리 개로보고지불방법을계산한다. ( 가지 ) 65) 2 [ 해설 ] 명의점수의총합은 이고, 가 장낮은점수로이기는경우는 이다. 따 라서 에서 점의절반을넘지않는 점까지의점수를얻은 팀이이긴다. 승점의종류는 에서 까지 종류이다. 66) 2 [ 해설 ] 위의수형도에서구하는방법의수는 가지이다. 67) 13 조건에맞는세자리수는 이므로 가지이다. 68) 2 의두부분집합 가 를만족시키므로 벤다이어그램으로나타내면아래그림과같다. 이때, 의각원소 은각각집합 또는 또는 에속하면된다. 따라서, 구하는순서 쌍 의개수는 ( 개 ) 이다. 69) 3 의 분할 의방법의수는방정식 ( 는 인자연수 ) 을만족하는순서쌍 의개수와같으므로,, 이라 하면 ( 는 인정수 ) 에서 ⅰ) 인경우 이므로 는 따라서, 순서쌍 의개수는 이다. ⅱ) 인경우 이므로 는 따라서, 순서쌍 의개수는 이다. ⅲ) 인경우 이므로 는 따라서, 순서쌍 의개수는 이다. ⅳ) 인경우 이므로순서쌍 는존재하지않는다. 따라서, (ⅰ)~(ⅱ) 에의하여 의 분할 의방법의수는 ( 개 ) 70) 2 매초마다 의위치가다르고 초후에 모두그림 의 위치로되돌아오므로 초동안만드는서로다른신호의총가지 수는 가지이다. 71) 24 네수의연산의경우처음연산할두수를정하는가지수는 의세가지이고각경우마다 그이후의연산은세수의연산의경우와같이 가지씩생기므로 ( 가지 ) 임을확인할수있다. 마찬가지로다섯수의연산의경우처음연산할두수를정하는가지수는 의네가지이고각경우마다그이후의연산은네수의연산의경우와같이 가지씩생기므로 ( 가지 ) 이다. 72) 3 성냥개비한개의길이를 이라하고삼각형의세변의길이를 ( ) 라하면 ⅰ) 인경우 일때, 세변의길이가 인이등변삼각형을만들수있다. 일 때, 세변의길이가 인직각삼각형을만들수있다. ⅱ) 인경우 일때, 세변의길이가 인정삼각형형을만들수있다. 따라서, ⅰ), ⅱ) 에의하여 개의성냥개비를모두사용하여만들수있는서로다른모양의삼각형의개수는 이다. 73) 5 (ⅰ) 집 학교 도서관 집 (ⅱ) 집 도서관 학교 집 가지 74) 4 눈의수의합이짝수가되는경우는 (ⅰ) 회던진눈 : 홀수, 회던진눈 : 홀수 (ⅱ) 회던진눈 : 짝수, 회던진눈 : 짝수 (ⅰ) 과 (ⅱ) 를모두합하면 가지이다. 75) 3 ㄱ. 모든정수는 ( 단, 는정수 ) 중어느한꼴이다. 개의수를모두다른종류의것이라고가정하면 ( 단, 는정수 ) 이고 번째수는 로나눈나머지가그중하나가되어두수의차가 의배수가되는것이반드시존재한다. 참 ㄴ. ( 반례 ) 개의자연수가 이면두 수의제곱의합을 로나눈나머지는항상 이다. 거짓 ㄷ. ㄱ과마찬가지방법으로증명할수있다. 참 76) 4 ㄱ. 각사람이한악수의횟수의총합은악수한총횟수의 배이므로항상짝수이다.( 참 ) ㄴ. ㄱ에의하여각사람이악수한횟수의총합은짝수이어야하므로홀수번악수한사람의수는짝수이다.( 참 ) ㄷ. 명각각세번씩악수한횟수의합이 이므로ㄱ에모순이다.( 거짓 ) 77) 3 개중에서흰공, 붉은공, 검은공의개수를각각 라 하면, 이므로, - 22 -
경우의수 23,,, 따라서, 으로나누어떨어지는수인 는얻을수없는점수이다. 78) 5 선생님, 남학생, 여학생각각 명을한조로생각하여세조를일렬로나열하는방법의수는 이때, 각조의 명끼리자리를바꾸는방법의수는 가지씩이므 로 따라서, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 79) 1 으로분할할수있으므로 가지이다. 80) 3 아래그림에서 에서만들수있는방법이 ( 가지 ), 에서만 들수있는방법이 ( 가지 ), 에서만들수있는방법이 ( 가지 ) ㄱ. ( 참 ) (ⅰ) ( ) 일때 을두자연수의합으로나타내면 따라서, 총 개이다. (ⅱ) ( ) 일때 따라서, 총 개이다., (ⅰ), (ⅱ) 에의하여모든자연수 에대하여성립한다. 따라서, 총방법의수는 ( 가지 ) 이다. 81) 42 호텔급숙소, 여관급숙소, 여인숙급숙소를각각문자 에대응시키기로하면, 문자 의순서를생각하여일렬로나열하되같은문자끼리는이웃하지않도록하고, 각문자를적어도한번은사용하도록하는것으로생각할수있다. 맨앞에놓을문자를결정하는방법은 가지이고, 그뒤부터는 앞에온문자를제외한 가지문자가올수있으므로, 언제나 가지씩이다. 따라서, ( 가지 ) 이가운데어느두문자만을사용하는경우는 의 가지이므로, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 82) 5 의양의약수의총합은 83) 30 아래에중품 상자, 하품 상자를놓아야하며, 이들을한줄로 놓는방법은 ( 가지 ) 이다. 중품상자위에는반드시상 품상자를올려놓아야하고, 하품상자위에는상품또는중품상 자를올려놓으면되므로위에상자를올려놓는방법은 가지이다. 따라서, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 84) 19 왼쪽에서부터 번째상자에담는공의수를 라하고, 각상자에담는공의수를왼쪽부터차례대로적으면 이므로 즉, 각상자에담는공의수는 이고, 빈상자가 없어야하므로 따라서, 자연수 의최대값은 이다. 85) 1 ㄴ. ( 거짓 ) 반례, 일때, ㄷ. ( 거짓 ) 반례 일때, 86) 5 의전개식의항의개수는 의전개식의항의개수는 따라서구하는항의개수는 이다. 87) 63 각각의점은튀어나오거나그렇지않은 가지경우이고 개의점 으로구성되므로가능한문자의개수는 이다. 그런데모든점이튀어나오지않는경우는제외되므로구하는문자 의개수는 ( 개 ) 이다. 88) 5 ㄱ. 을두자연수의합으로나타내면 ( 참 ) ㄴ. 을세자연수의합으로나타내면 이므로 을네자연수의합으로나타내면 이므로 ( 참 ) ㄷ. 을 개의자연수의합으로나타내는분할은 개의같은구 슬을 개의같은접시에담되빈접시가생기지않게하는것과같다. 이때, 빈접시가생기지않게하기위해 개의접시에 개씩미리담아놓은후, 나머지 개의구슬을적당히 개의접 시에나누어넣으면되므로 을 개의자연수의합으로나타내는 분할은 를 개또는 개또는 개의자연수로분할하는모든경우와같다. ( 참 ) 89) 3-23 -
경우의수 24 두자연수 에대하여 와 의최대공약수 는 와 의최대공약수와같다. 일반적으로 를 로나눈몫 을 나머지를 라하면나머지 는 에서가능한대로계속 를 ( 번 ) 빼고남은수이므로 ( 의최대공약수 ) ( 의최대공약수 ) 가성립한다. 즉, 마지막에같게남은두 학생의사탕의개수는처음사탕의개수 과 의 최대공 약수와같다., 이므로그최대공약수 는 이다. 실제로 두학생의남은사탕의개수의변화를나타내면다음과같다. 따라서, 놀이를마쳤을때 가가지게되는사탕의개수는 이다. 90) 2 ᄀ, ᄂ 삼각형의정의에의하여 ᄃ ᄂ에서 를ᄃ에대입하면 ᄅ ᄀ에서 ᄆ ᄅ, ᄆ에서정수 (i) 일때, 가지 (ii) 일때, 가지 (iii) 일때, 가지 (iv) 일때, 가지 (i), (ii), (iii), (vi) 에의하여 91) 08 출근하는모든방법의수는 이고, 퇴근하는모든방법의수는출근시와적어도두종류가다르므로출근하는모든방법의수에서출근시와한종류만다른경우와출근시와같은경우의수를뺀것과같다. 즉, 이다. 따라서, 구하는수는 이다. 92) 1 에서 를거쳐서 까지최단거리로이동할때, 점 에서방향을바꾸지않고직진하는경우의수는또는이므로 ( 가지 ) 93) 2 다음그림과같이나누어진영역을 라고 하면각영역에칠할수있는색의경우의수는 48 이다. 가지 가지 가지 가지 이다. 94) 3 규칙에따라물건을넣으면다음과같이넣을수있다. 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 :, 상자 : 따라서, 개의상자가필요하다. 95) 4 을기준으로 이마주보게나열하여야한다. 네쌍중하나를고정하면 쌍의수를일렬로배열하는방법의수 는 ( 가지 ) 이고 짝지은두개씩자리를바꾸는방법의수는 ( 가지 ) 이므로 구하는방법의수는 ( 가지 ) 이다. 96) 432 가지여자 명이이웃하도록이웃한세자리를정하는방법은 다. 과같이 가지이 이때, 위의그림의어두운자리에 명의여자가서는방법의수 는각각 ( 가지 ) 따라서, 여자가서는방법의수는 ( 가지 ) 이때, 남은 자리에남자가서는방법의수는 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) 97) 2 남자블록이 명으로이루어져있으면이남자는양족옆에모두 여자가앉게되어가정에모순이므로남자블록은적어도 명으로 이루어져있고, 남자블록의수는 이하이다. 여자블록의수는남자블록의수와같은 이하이고, 이므 로비둘기집원리에의하여적어도 명으로이루어진여자블록이존재한다. 그런데이블록에서양끝의사람을제외한사람은여자사이에앉아있게되어모순이다. ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 98) 108 빨강카드에 을적을경우노랑카드에적을수있는수는 을 제외한 개의수 이고, 초록카드에적을수있는수 는노랑카드에적은수를제외한개의 수이다. 또한, 파랑카드 에적을수있는수는초록카드에적을수를제외한 개의수이 다. 이때, 빨강카드에적을수있는수는 의 개이므로구하는순서쌍의개수는 99) 108 모서리의길이가 인주사위에적혀있는수는 이므로이들의합은 에서, 따라서, 가장 큰수는 100) 2 로가는경우의수가 이므로 에서 를거쳐 로가는경우의수를 라하면구하는방법의수는 이다. 의경우의수가각각 이므로 101) 5 넓이가 인정사각형의개수는, 넓이가 인직사각형의개수는 넓이가 인직사각형의개수는, 넓이가 인정사각형의개수는 넓이가 인직사각형의개수는, 넓이가 인직사각형의개수는 - 24 -
경우의수 25 넓이가 인직사각형의개수는, 넓이가 인정사각형의개수는 넓이가 인직사각형의개수는 따라서구하는넓이의총합은 102) 5 i) 십의자리의수가각각 중의하나일때 ( 가지 ) ii) 십의자리의수가각각 중의하나일때 ( 가지 ) ( 가지 ) ( 다른풀이 ) 백의자리의수를택하는경우의수는 가지 십의자리의수를택하는경우의수는 가지 일의자리의수를택하는경우의수는 가지 따라서구하는경우의수는 ( 가지 ) 103) 2 무게당가치는다음과같다. 카메라, 계산기, 망원경, 책, 야외용전등 이므로, 계산기, 카메라, 책, 망원경, 야외용전등의순서 로무게가 이하가될때까지손가방에넣으면계산 기, 카메라, 책을넣을수있다. 이때, 가치의합은 104) 36 자음과모음이교대로나열되는경우는자음이, 모음이 이므로 자, 모, 자, 모, 자, 모, 자 와같이나 열하여야한다. 자음 개를나열하는방법의수는 이 고, 모음 개를냐열하는방법의수는 이므로 ( 가지.) 105) 62 두지점 를연결한도로를가로방향으로는갈수없기때문에, 갈수없는길을점선으로표현해보면다음그림과같다. 따라서, 갈수있는길은가로 구간, 세로 구간이므로구하는 방법의수는 106) 5 ㄱ. 를일렬로배열하는방법의수는 이다.( 거짓 ) ㄴ. 가 보다앞에오도록배열하는방법의수는 이다.( 참 ) ㄷ. 와 를교대로배열하는방법의수는 이다. 따라서, 옳은것은ㄴ, ㄷ이다. 107) 2 맨앞자리에는 이오고, 맨뒤에는 이오지않도록하려면, 이고빈칸에나머지수가들어가면된다. (ⅰ) : 빈칸에 이오는경우 의수이므로 가지 (ⅱ) : 빈칸에 이오는경우 의수이므로 가지 (ⅰ) 과 (ⅱ) 에의해모두 가지이다. 108) 80 이므로 중에서 인 것은 개이고나머지세개의미지수가취하는값은모두 이거 나, 개가 이고 개가 이다. 곱이 인순서쌍의수는 을일렬로배열하는방법의수 과 을일렬로배열하는방법의수 의합과같다. 따라서, 구하는순서쌍의개수는 이다. 109) 3 (ⅰ) 한면에 을적어넣어밑면으로하면윗면에는 을적어야하므로그경우의수는 가지 (ⅱ) 세쌍의옆면중한면에 를적어고정하면반대면에는 을넣어야한다. 나머지두쌍의옆면에, 를적 어넣는경우의수는 ( 가지 ) (ⅲ) 위의 (ⅱ) 에서옆면에채운수를옆으로한칸씩이동하면다른경우의수이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에서구하는경우의수는 ( 가지 ) [ 다른풀이 ],,, 중한쌍의수 을먼저고정하고생각하면나머지세쌍을빈윗면에배 열하는방법의수는 ( 가지 ) 이고, 각각의쌍에서두수끼리자리를바꾸는방법의수는 ( 가지 ) 그런데, 전체 ( 가지 ) 중숫자 이적힌삼각형과변을공유하는것 가지, 꼭지 점만을공유하는것 가지씩은회전하면겹치게되므로구하는경 우의수는 110) 5 ( 가지 ) 가로가 인벽돌이두개있는층을정하는가지수는 ( 가지 ), 다른 개층에는각층마다가로가 인벽돌 개와 가로가 인벽돌 개를쌓는것이므로그가지수는 따라서, 만들수있는서로다른벽모양의가지수는 ( 가지 ) 111) 1 i) 우선제 행, 제 행, 제 행, 제 행의바둑돌의수가차례 로 이고규칙 ( 나 ) 를만족시키는경우를생각하자. 가지 가지 가지 가지 제 행에 개의바둑돌을놓는경우의수는 가지이다. 제 행 에 개의바둑돌을놓는경우 개는 행에서놓은바둑돌과같 은열에놓고, 나머지하나는 곳중한곳에놓으면되므로 가 지이다. 제 행에서 개의바둑돌을놓는경우 개는 행에서 놓은바둑돌과같은열에놓고, 나머지하나는 곳중한곳에놓 으면되므로 가지이다. 제 행에서 개의바둑돌을놓는경우 의수는 가지이다. ( 가지 ) ii) 규칙 ( 가 ) 를만족시키는경우의수는제 행, 제 행, 제 행, 제 행의바둑돌의수를바꾸는경우의수와같으므로 가 - 25 -
경우의수 26 지이다. i), ii) 에서구하는경우의수는 ( 가지 ) 112) 48 일의자리의수와백의자리의수가모두 의배수인경우는다음두가지이다. 이때, 나머지네자리에 의숫자를배열하는방법 의수는각각 ( 가지 ) 따라서, 구하는자연수는모두 ( 개 ) 이다. 113) 120 집합 에서 로의함수 에대하여정의역의한원소 이 를만족하려면, 이어야한다. 일때, 이므로함수 의개수는 이고, 일때도마찬가지이므로구하는함 수 의개수는 이다. 114) 15 와 의속력이서로같으므로다음그림과같이세점 에서만날수있다. 수는정삼각형모양으로배열하는경우의수의 배이다. ( 구하는경우의수 ) ( 가지 ) 116) 5 ( 호랑이, 사자 ) 가이웃하지않는경우는 가지즉, 이고서로바꾸는경우의수가 이므로방법의수는 117) 3 명이각층마다내리는경우의수는 가지이므로 118) 2 주어진정팔각형에숫자를지정하는경우는원순열에해당하므로, 점 를고정시키고대칭인경우를찾으면아래그림에서 인경우가서로대칭이고각쌍 마다 의 가지경우가있다. 또한, 점 와 점 에각각 을지정하는 가지경우가있으므로구하는경우의수는 (ⅰ) 에서만나는경우의수는 : (ⅱ) 에서만나는경우의수는 : (ⅲ) 에서만나는경우의수는 : 따라서, 구하는경우의수는 115) 30 빨간공 개, 노란공 개, 하얀공 개를각각 로나타내면 (ⅰ) 세꼭지점 에놓이는공의색이모두다를때, 각각의경우중점 에놓이는공의경우의수가 가지이므로 ( 가지 ) (ⅱ) 세꼭지점 에놓이는공의색이같은것이있을때, 같은색이빨간공인경우 : 중점 에놓이는공의경 우의수가 가지이므로 ( 가지 ) 같은방법으로같은색이노란공인경우 : ( 가지 ) 같은색이하얀공인경우 : ( 가지 ) 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) 이다. [ 다른풀이 ] 빨간공, 노란공, 하얀공을각각 라하면 를일렬로배열한 는아래그림과같은하나의정삼각형배열에대응한다. 따라서, 를일렬로배열하는경우의 119) 9 ( 방법의수 ) ( 방법의수 ) 120) 3 121) 3 122) 1 를일렬로나열하는모든가지수는 두개가이웃하는가지수는 지수는 와 가모두이웃하는가지수는, 두개가이웃하는가 따라서, 구하는수는 ( 가지 ) 123) 2 큰촛불두개와작은촛불세개를원형으로배열하는방법의수 는 가지이다. 124) 2 [ ] 총인원이 명인철수네학급에서 명으로구성된농구팀 을만들어서서로다른등번호가적힌운동복을임의로지급하는 방법의수는 ( 가지 ) [ ] 위의 의방법은다음과같은두가지경우로구분된다. ⅰ) 명중가장농구를잘하는철수가포함되지않은경우 : ( 가지 ) ⅱ) 명중가장농구를잘하는철수가포함된경우 : 이경우, 철수는미리농구팀에포함시켜서마음에드는등번호를선택하게한다음, 남아있는인원을대상으로팀의나머지인원을채우는방법으로생각할수있으므로 ( 가지 ) 위의 ⅰ), ⅱ) 의방법을합하면 [ ] 의방법의수와같아야하므로 125) 5 숫자 에서중복을허용하여세개를택하여만들수있 는세자리자연수의개수는 Π 이중짝수 가연 속으로나오는자연수는 의 개다. 따라서, ( 개 ) 에서최대 개의문장을암호화시킬 - 26 -
경우의수 27 수있다. 126) 37, 따라서, 행렬 의모든성분의합은 127) 70 동전의앞면이나오는사건을, 뒷면이나오는사건을 라하면 점 가 에서 로가는경우는 를일렬로세우는방법의수와같다. 따라서, 구하는방법의수는 128) 3 인형의종류의수는동전을넣는방법의수와같다. 원을넣 는방법은다음 가지경우로나누어생각할수있다. ⅰ) 원짜리동전 개를넣는방법의수는 이다. ⅱ) 원짜리동전 개와 원짜리동전 개를넣는방법 의수는 이다. ⅲ) 원짜리동전 개와 원짜리동전 개를넣는방법 의수는 이다. ⅳ) 원짜리동전 개를넣는방법의수는 이다. 따라서, 구하는인형의종류의수는 129) 384 두쌍의부부를커플좌석에배정하는방법의수는 남은여자 명과남자 명을개인별좌석에여자끼리이웃하도록배정하는방법의수는 따라서, 구하는총방법의수는 ( 가지 ) 이다. 130) 35 우리나라대표팀이득점한상황을, 실점한상황을 라하면 의상황은 개의 와 개의 로나타난다. 이때, 철 수는 으로우리나라국가대표팀이승리하는상황까지알고 있으므로점수가변해가는상황은일곱개의문자 를일렬로나열하는방법의수와같다. 131) 4 두개씩꺼낸횟수를, 한개씩꺼낸횟수를 라하면 (ⅰ) 일때 (ⅱ) 일때 (ⅲ) 일때 (ⅳ) 일때 가지 132) 126 은제 행의 번째에위치한다. 왼쪽아래방향으로움직이 는것을, 아래아래방향으로움직이는것을 로놓으면 에 서 까지 이동하는 방법은 개의 문자 를일렬로나열하는방법의 수와같다. 133) 1 세종류의문자 를사용하여만든네자리문자열전체 개수는 ( 개 ) 이다. 이중, 문제의조건에적합하지않은것은 (ⅰ) 한종류의문자만사용된것 : : 개 (ⅱ) 가두개연속으로사용된것 : 개, 개 개 개 (ⅲ) 가세개연속으로사용된것 : 개, 개 개그러므로구하는문자열의개수는 ( 개 ) 134) 168 전체방법의수는, 가이웃하는방법의수는, 가이웃하는방법의수는 도이웃하고 도이웃하는방법의수는 그러므로구하는방법의수는 ( 가지 ) 135) 192 세학교를탁자의세면에정하는방법의수는 ( 가지 ) 학교학생이자기학교자리에서앉는방법의수는 ( 가지 ) 학교학생이자기학교자리에서앉는방법의수는 ( 가지 ) 학교학생이자기학교자리에서앉는방법의수는 ( 가지 ) 따라서, 구하는총경우의수는 ( 가지 ) 136) 42 (ⅰ) 가일렬로서있는남학생앞에여학생을세우는방법의수이므로 (ⅱ) ( 남자 명, 여자 명의원순열의수 ) ( 남자 명의직선순열의수 ) 이다. 137) 10 개의문자를원형으로배열할때, 같은문자끼리이웃하지않기 위하여 개의 를먼저배열하자. [ 그림 ] 사이에 개의수를배열하기위하여 ⅰ) 와 를배열하는경우 [ 그림 ] : 와 가자리를바꿀 수있으므로배열하는방법의수는 ( 가지 ) ⅱ) 와 를배열하는경우 [ 그림 ] : 와 가자리를바꿀 수있고, 또한 와 가자리를바꿀수있으므로배열하는방법 의수는 ( 가지 ) 이다. ⅲ) 와 를배열하는경우 [ 그림 ] : ⅱ) 와마찬가 지로 가지이다. 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) 이 다. 138) 15 서로반대편에있는두면은같은색으로칠하여야하므로두면에칠하는방법의수는 가지, 나머지 가지의색으로 옆면을칠하는방법의수는원순열의수 이다. - 27 -
경우의수 28 그런데그림에서두가지는같은경우이므로 다. 따라서, 구하는방법의수는 139) 2 이 중어느두수의합은모두다르다. 따라서, 구하는경우의수는 개의수를 개, 개, 개의세 조로나눈다음각조의 개의자리를바꾸는경우의수와같다. 즉, 140) 26 ⅰ) 개국이있는두대륙을여행하는경우 ( 가지 ) ⅱ) 개국이있는대륙과 개국이있는대륙을여행하는경우 ( 가지 ) ⅲ) 개국이있는두대륙을여행하는경우 ( 가지 ) 이상에서구하는경우의수는 ( 가지 ) 이다. 141) 3 ⅰ) 가지 색 중에서 가지 색을 택하는 방법의 수 ( 가지 ) ⅱ) ⅰ) 에서택하여진 가지색을원판에칠하는방법의수는가운 데부분에칠할색을선택하는방법의수 ( 가지 ), 주위의네부분 에칠하는방법의수 ( 가지 ) 따라서, ⅰ), ⅱ) 에서 ( 가지 ) 142) 2 서로다른 동의아파트를 개동씩나누는가지수는 서로다른네개의건설팀을두팀씩 개조로나누는가지수는 개조가나누어진 개동중하나를선택하는가지수는 가지 따라서, 건설하는방법의수는 ( 가지 ) 이다. 143) 2 명이리그전을치룰때의경기수, 명이리그전을 치룰때의경기수는 따라서, 총경기수는 이다. 144) 4 다섯가지색중에서네가지색을고르는가지수는, 도형의중심에대하여점대칭이되도록하려면 아래그림의 에각각같은색을칠해야한 다. 이렇게서로다른네가지색을칠하는가지수는원 순열이므로 따라서, 145) 45 조건 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ에의하여 의가장작은원소가 일때, 의가장작은원소가 일때, 의가장작은원소가 일때, 쌍 146) 76 원의내부에있는 개의점중에서 개의점을꼭지점으로하는삼각형의개수를구한다. 147) 64 이므로 는 는포함하고 은포함하지않아야한다. 한편, 이어야하므로 중원소를각각 개, 개, 개, 개를선택하여부분집합을만든다. 위조건을만족하는집 합 의개수는 ( 참고 ), 148) 105 합집합으로나타낼수있는방법의수를구하기 149) 1 가이순서로하나씩만나오는경우는 ᄀ ᄂ ᄃ ᄅ ᄆ ᄇ *, *,, 즉, ( 개 ) 이각각의경우에대하여 자리에는, 를제외한 개의수 가올수있으므로 ( 개 ) 이다. 따라서, 만들수있는키번호의개수는 ( 개 ) 이다. 150) 인네자리자연수에서같은두수가 인수의개수는 같은두수가 이아닌수의개수는 이 므로구하고자하는자연수의개수는 개 151) 4 152) 1 조건 Ⅰ에의하여 를나열하고 안에 이들어가는경우를생각한다. ⅰ) 첫째자리에 이오는경우 : 조건 Ⅱ에의하여마지막자리에는 가와야하므로 ( 가지 ) ⅱ) 첫째자리에 이오지않는경우 : ( 가지 ) 따라서, ⅰ), ⅱ) 에의하여 가지이다. 153) 12 154) 5 자리에올수있는수는 을제외한수이므로 개, 자리에 올수있는수는 에서사용한수를제외하고 을포함한수이므 로 개, 와 는남아있는 개의수중큰수와작은수를구분해야하므로, 따라서구하는개수는 ( 개 ) 155) 32-28 -
경우의수 29 번과 번사이의경계선을, 번과 번사이의경계선을,, 번과 번사이의경계선을 라하면 ⅰ) 번을붉은색으로칠할경우 색깔을한번도안바꾸는경우 : ( 가지 ) 색깔을한번바꾸는경우 : 택 ) 색깔을두번바꾸는경우 : 택 ) ( 가지 )( 중 ( 가지 )( 중 ⅱ) 번을파란색으로칠할경우위의 ⅰ) 의경우와구하는방법의수가같다. ⅰ), ⅱ) 에의하여구하는방법의수는 156) 58 일직선위에있지않은 개의점은삼각형을이룬다. 아래그림의 가지경우에세개의점들이일직선위에있으므로 ( 개 ) 157) 4 각상자에들어있는공이 개이상이되도록나누는방법은 또는 이다. ⅰ) 로나누는방법의수는 : ⅱ) 로나누는방법의수는 : ⅰ), ⅱ) 에서구하는방법의수는 158) 240 159) 4 아래그림의가운데부분에 종 에서출발하여어두운부분에있는 가 에도착하기위해서는오른쪽으로이동하는칸수와위로이동하는칸수의합이항상 이며, 왼쪽의 가 에도착하는방법의수도마찬가지이다. 가운데로올라가는방법은양쪽에중복되므로구하는방법의수는 160) 5 개도시를꼭지점으로하고직항로가있는두도시를변으로연결하여그래프를그리면아래와같다. 적어도한개의그룹이아시아국가만으로이루어지는사건의여사건은아시아국가만으로이루어진그룹이하나라도있으면안되므 로, 여사건의경우는아시아 개국과아프리카 개국으로모든그룹이이루어진다. 162) 210 일 때 를 만족하려면 결국 집합 의원소 개중에서중복을허용하여 개를뽑는경우의수와같으므로 163) 4 (ⅰ) 선택한세곳이모두 지역일경우 : ( 가지 ) (ⅱ) 선택한세곳이모두 지역일경우 : 이는 지역의네곳 중세곳을선택한경우와같다. ( 가지 ) (ⅲ) 선택한세곳이모두 지역일경우 : 위와같은방법으로 ( 가지 ) (ⅳ) 선택한세곳이모두 지역일경우 : 위와같은방법으로 ( 가지 ) 따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ) 에의하여 ( 가지 ) 164) 68 (ⅰ) 의개수가 개인경우 : 이는 자리중 자리를선택하는경우의수와같다. 즉, ( 개 ) (ⅱ) 을처음네자리로하는경우 : 이는 와같은꼴이다. 뒤에네자리에는각각 두가지가가능하 므로 ( 개 ) (ⅲ) 을처음네자리로하면서 의개수가 개인경우 즉, 의꼴에서뒤에네자리에 이세개인경 우 : ( 개 ) (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 165) 1 명을두팀으로나누는경우의수와같다. ( 명을두팀으로나누는경우의수 ) ( 명을두팀으로나누는경우의수 ) ( 명을한팀으 로나누는경우의수 ) ( 명을두팀으로나누는경우의수 ) ( 명을두팀으로나누는경우의수 ) ( 명을한팀으 로나누는경우의수 ) 이므로 이다. < 다른풀이 > 166) 2 부터 까지의정수중에서각자리의숫자의합이 이되 는정수의개수는 개의공을서로다른 개의상자에넣는방법 의수와같다. 따라서 개의서로다른것에서중복을허락하여 개를택하는조합의수이므로 이다. 167) 60 개도시를모두경유하는항로가 개만남도록직항로를폐쇄하는방법의수는위그래프의생성수형도의개수와같다. 그래프의생성수형도는모두 ( 개 ) 이다. 161) 81-29 -
경우의수 30 168) 1 치역의원소는모두홀수이므로그합이짝수이려면원소의개수가 이어야한다. 따라서, 구하는함수의개수는 169) 35 켜진가로등을 꺼진가로등을 로나타내면 개의가로 등중어느 개만켜진결과는 개의빈칸중에 곳은 를 써넣고나머지 개의빈칸에는 를써넣되어느 사이 에도반드시 가있어야한다. 예를들면다음과같다. 한편, 개의점을연결하여삼각형을만드는방법의수는 이므로구하는방법의수는 ( 가지 ) 이다. 이러한선택의경우의수는 개의빈칸ᄀ, ᄂ, ᄃ, ᄅ, ᄆ에 개 의 를넣되ᄀ, ᄆ에는 넣지않아도되지만ᄂ, ᄃ, ᄅ에는반 드시 개이상들어가도록넣는방법의수와같다. ᄀ ᄂ ᄃ ᄅ ᄆ 즉, ᄂ, ᄃ, ᄅ에각각한개씩 를넣고, ᄀ, ᄂ, ᄃ, ᄅ, ᄆ중에 서중복을허락하여 개를뽑아 를넣는방법의수와같다. 따 라서, 구하는수는 170) 176 구하는방법의수는 를제외한 장의카드에서 장이상의카드를뽑는경우의수와같다. 즉 171) 3 아영이를포함해서 명이단상에올라가있으므로단상위에올라 간사람을뽑는경우의수는, 뽑힌사람중에키가가장 큰사람을한가운데세우고, 나머지 명중에서왼쪽에서있는 사람 명과오른쪽에서있는사람 명을선택하는방법의수는 따라서, 사진속에있는사람의배열로가능한방법의수는 172) 120 (i) 세사람이모두다른개찰구로나가는경우 ( 가지 ) (ii) 두사람이같은개찰구로나가고, 한사람이다른개찰구로나가는경우 ( 가지 ) (iii) 세사람이모두같은개찰구로나가는경우 ( 가지 ) (i), (ii),(iii) 에서 ( 가지 ) 173) 9 위식의네번째항이후는모두 의배수이다. 따라서세 3 번째항까지만을계산하면 이므로 따라서, 174) 504 색칠된삼각형의넓이는 정사각형의넓이는 이므로색칠된삼각형의넓이보다큰삼각형은만들수없다. 넓이가 인삼각형은한변을기준으로 개씩생기므로그개 수는 이다. 175) 4 집합 의원소 개를 개의그룹으로나누어각그룹을집합 의원소에일대일대응시키면주어진조건을만족한다. 이때, 집 합 를 개의그룹으로나누는방법은 의분할의수와같으 므로이를구하면 ( ), ( ) 와같다. 따라서, 구하는함수의개수는 176) 84 아래그림에서칸을구분하고있는 개의점선중에서 개를택한후, 그것을경계로흰색, 검은색, 흰색, 검은색을칠하면도형은네부분으로나누어진다. 따라서, 구하는방법의수는서로다른 개에서 개를택하는조합의수와같다. 177) 2 집합 의원소 중에서치역이될수있는경우는 i) 치역의원소가 개인경우 :, ii) 치역의원소가 개인경우 : iii) 치역의원소가 개인경우 : i)~iii) 에서구하는함수의개수는 ( 가지 ) 178) 5 그림과같이서로다른두선분이만났을때, 교점이나타난다. 축, 축에서각각 개의점을택하면된다. 이때어느세선분도한점에서만나지않을때교점의개수가최대가되는경우이므로 ( 개 ) 179) 3 원을하나씩그려나간다고하자. 이때, 두번째의원을그릴때부 터는교점이생길때마다평면의수가 씩증가한다. 그러므로, 구하는분할평면의수는 [ 다른풀이 ] 개의원에의해분할된평면의개수를 개라하 자. 또, 아래그림에서가는선으로그려진원개수를 개라하고, 굵은선으로그려진원을 번째원이라하자. 번째원이이미그려져있던 개의원과만나서생기는 교점의개수는문제의뜻에따라그림에서보는것처럼모두 개 다. 이때, 호 는 개의평면을 개로나누고, 호 는 개의평면을 개로나누고, 호 는 개의평면을 개로 나누고, - 30 -
경우의수 31 호 는 개의평면을 개로나누고, 그리고마지막으 로, 호 는 개의평면을 개로나눈다. 즉, 위와같이모 두 개의호의양쪽으로 개씩평면이생긴다. 그리고, 그총합은 ( 개 ) 이다. 그런데이 개씩으로 나누어진평면중 개씩은원래 개의원에의해나누어진평면 ( 의개수 ) 에포함된평면이므로 번째원에의해새롭게만 들어진평면의개수는그의절반, 즉, 개이다. 따라 서, 다음식이성립한다. 여기서 이므 로 ( 개 ) 180) 4 명씩맞교환하는경우의수는 :, 명씩맞교환하는경우의수는 :, 명씩맞교환하는경우의수는 :,, 명씩맞교환하는경우의수는 :, 따라서, 모든경우의수는 - 31 -