Ⅰ 경우의수 개념 1 경우의수와순열 004 개념 2 여러가지순열 008 개념 3 조합과중복조합 012 개념 4 이항정리 020 Ⅱ 확률 개념 1 확률의정의및계산 024 개념 2 조건부확률 027 개념 3 독립과종속 028 Ⅲ 통계 개념 1 이산확률변수와확률분포 034

Transcription

1

2 Ⅰ 경우의수 개념 1 경우의수와순열 004 개념 2 여러가지순열 008 개념 3 조합과중복조합 012 개념 4 이항정리 020 Ⅱ 확률 개념 1 확률의정의및계산 024 개념 2 조건부확률 027 개념 3 독립과종속 028 Ⅲ 통계 개념 1 이산확률변수와확률분포 034 개념 2 이항분포 038 개념 3 연속확률변수와확률밀도함수 040 개념 4 정규분포 041 개념 5 모평균의추정 047 개념 6 모비율의추정 052 정답 58

3 Ⅰ. 경우의수 01 경우의수와순열 02 여러가지순열 03 조합과중복조합 04 이항정리

4 Ⅰ 경우의수 개념 1-Theme1 분류의기준 1 오른쪽그림과같이반원위에있는 개의점중에서 개의점을 연결하여만들수있는직선의개수를구하시오. 2 각자리의수가 부터 까지인네자리로이루어진신용카드의비밀번호를설정하려고한다. 그런데비밀번호의천의자리숫자는, 일의자리숫자는 이고, 비밀번호가 로나누어떨어지도록 하려고할때, 비밀번호로가능한수의개수를구하시오. ( 단, 각자리의수는중복가능하다.) 3 부터 까지의자연수가하나씩쓰여있는 장의카드가있다. 이중에서임의로세장의 카드를택할때, 이카드에쓰인수의총합이홀수가되는경우의수는? 다음그림과같이가로, 세로의간격이일정하게 개의점이놓여있다. 이중세점을연결하여만들수있는삼각형은모두몇개인지구하시오

5 Ⅰ 경우의수 개념 1-Theme2 합의법칙 / 곱의법칙 5 집과도서관사이에오른쪽그림과같은길이있다. 이때, 집에서도서관으로가는경우의수를구하시오. ( 단, 한번지나간지점은다시지나지않는다.) 6 네개의지역단체 A B C D 는각지역의관광개발을위하여오른쪽그림과같이 개의관광코스를공동으로개발하여운영하고있다. 어느관광객이 A 지역에서 D 지역으로관광하고자할때선택할수있는관광코스는모두몇가지인지구하시오. 7 서로다른두개의주사위를던질때, 나온눈의수의합이 또는 인경우의수를구하시오. 8 주머니속에 부터 까지의숫자가적힌공이각각 개씩들어있다. 이주머니속에서공을 한개꺼냈을때, 공에적힌숫자가 의약수또는 의배수가나올경우의수를구하시오

6 Ⅰ 경우의수 개념 1-Theme3 수형도 9 A B C D 네사람이각자모자 를하나씩가져갔을때, 모두다른사람의모자를 가져갔을경우의수를구하시오. 10 를모두사용하여만든다섯자리문자열중에서다음세조건을만족시키는문자열의개수를구하시오. ( 가 ) 첫째자리에는 가올수없다. ( 나 ) 셋째자리에는 도올수없고 도올수없다. ( 다 ) 다섯째자리에는 도올수없고 도올수없다. 11 점수가표시된그림과같은과녁에 개의화살을쏘아점수를얻는경기가있다. 개의화살을모두과녁에맞혔을때, 점수의합계가 점이상이되는경우의수를구하시오. ( 단, 화살이과녁의경계에맞는경우는없다.) - 6 -

7 Ⅰ 경우의수 개념 1-Theme4 순열 12 남자 명, 여자 명이한줄설때, 다음과같이서는경우의수를구하시오. (1) 남자와여자가교대로서는경우 (2) 여자 명이서로이웃하여서는경우 (3) 남자가양끝에서는경우 13 네개의숫자 에서서로다른두숫자를사용하여만들수있는두자리의자연수는 모두몇개인지구하시오. 14 축구선수 명, 배구선수 명을일렬로세울때, 배구선수 명이서로이웃하는경우의수를 구하시오. 15 의 개의문자를일렬로배열할때, 적어도한쪽끝에자음이오는경우의수를 구하시오

8 Ⅰ 경우의수 개념 2-Theme1 중복순열 16 의 개의숫자로중복을허락하여만들수있는세자리의정수의개수를구하시오. 17 T I G E R 의 개의문자를가지고중복을허락하여세개의문자로이루어진암호를만들려고 한다. 이때, 반드시문자 T 를포함하여만들수있는암호의개수를구하시오. 18 층건물의엘리베이터에 명이타고 층을출발하였다. 이들은 층부터 층까지중어느한층에 서는반드시내리며 층에서는엘리베이터에남은모든사람들이내린다. 이때, 이들이내리는모든 방법의수는? ( 단, 어느한층에서모두내릴수있다.) 의 개의숫자를이용하여네자리의정수를만드는데 과 만중복을허락하여만들수 있는네자리의정수는몇개인가? ( 단, 이용하지않는숫자가있을수있다.) 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 - 8 -

9 Ⅰ 경우의수 개념 2-Theme2 같은것이있는순열 20 의 명을일렬로세울때, 가 보다앞에서게되는방법의수를구하시오. 21 개의문자 를일렬로배열할때, 모음과자음을교대로배열하는방법의수는? 개의문자 중에서 개를선택하여일렬로나열할때, 만들수있는서로다른문자 열의개수를구하시오. 23 개의본사와 개의지사로이루어진어느회사의본사로부터각지사까지의거리가표와같다. 지사가나다라마 거리 (km ) 본사에서각지사에,,,, 를지사장으로각각발령할때, 보다 가본사로부터 거리가먼지사의지사장이되도록 명을발령하는경우의수는?

10 Ⅰ 경우의수 개념 2-Theme3 최단경로문제 24 오른쪽그림은 A 지점에서 B 지점으로가는도로망을나타낸것이다. 다음물음에답하여라. (1) A 에서 B 까지최단거리로가는방법의수를구하시오. (2) A 에서 C 를거쳐서 B 까지최단거리로가는방법의수를구하시오. 25 오른쪽그림과같은도로망이있다. A 지점에서 CD 를거치지않고 B 지점까지최단거리로가는방법의수를구하시오. 26 오른쪽그림과같이바둑판오양의도로망이있다. 교차로 P 와교차로 Q 를 지날때에는직진또는우회전은할수있으나좌회전은할수없다고한 다. 이때, A 지점에서 B 지점까지최단거리로가는방법의수를구하여라. 27 오른쪽그림과같은도로망에서 A 지점에서 B 지점까지최단거리로가는 방법의수는? 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지

11 Ⅰ 경우의수 개념 2-Theme4 원순열 28 남학생 명과여학생 명이원탁에둘러앉을때, 다음의경우의수를구하여라. (1) 원탁에둘러앉을수있는모든방법의수 (2) 남학생끼리이웃하여앉는방법의수 (3) 남녀가교대로앉는방법의수 29 부터 까지숫자가쓰인 장의카드를원형으로나열할때, 다음물음에답하여라. (1) 원형으로나열하는방법의수를구하시오. (2) 짝수가쓰인카드끼리이웃하지않게나열하는방법의수를구하시오. 30 오른쪽그림과같은직사각형모양의식탁에 명의가족이둘러앉아식사를 하려고한다. 앉을수있는방법의수는? 등분된원판에 A B C D E F 의 가지색을모두사용하여영역을구분하려고한다. 그림과같이 A B 두가지색은이미칠해져있을때, 칠해져있지않은영역에나머지색을칠할수있는방법의수를구하시오. ( 단, 한영역에는한가지색을칠하고, 회전하여같은경우에는한가지방법으로한다.)

12 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme1 순열과조합의관계 32 를만족시키는 의값을구하시오. 33 다음등식을만족하는자연수 의값을구하여라. (1) (2) (3) 34 - 을만족시키는 의값을구하시오. 35 다음을만족하는자연수 의값을구하여라. (1) (2) (3) (4)

13 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme2 조합과경우의수 36 명의학생중에서수학경시대회에참가할학생 명을선발하려고한다. 특정한 명이반드시 포함된다고할때, 학생을선발하는방법은모두몇가지인지구하시오. 37 학년 명, 학년 명으로이루어진배구팀에서 학년 명, 학년 명을대표선수로뽑는 방법의수를구하시오. 38 남학생 명, 여학생 명중에서 명의대표를뽑을때, 적어도남학생 명이포함되는경우의수를 구하시오. 39 남학생 명, 여학생 명중에서다음과같이대표 명을뽑는경우의수를각각구하여라. (1) 전체에서대표 명을뽑는경우의수 (2) 남학생중에서 명, 여학생중에서 명을뽑는경우의수 (3) 적어도 명의남학생대표를포함하여뽑는경우의수

14 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme3 중복조합 1 40 방정식 일때, 의음이아닌정수해의개수를구하면? 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 41 방정식 에서 의양의정수해의개수를구하면? 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 42 이고, 인정수해 의개수를구하면? 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개

15 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme4 중복조합 2 43 사과, 배, 감, 포도의 가지과일중에서중복을허락하여 개를선택하는방법의수는? 같은모양의구슬 개를 명의학생들에게나누어주려고한다. 각학생에게적어도 개이상은가지도록구슬을나누어주는방법의수는? 개의문자,, 중에서중복을허락하여 개를뽑을때,,,, 를적어도한개씩 뽑는방법의수를구하시오 46 어떤시험에서 점만점의문제가 문제출제되었다. 각문제를 점, 점, 점, 점, 점 의 단계로채점한다고할때, 총득점이 점이상이되는경우의수를구하시오

16 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme5 함수의개수 47 두집합, 에대하여함수 중에서다음조건을만족하는함수 의개수를구하시오. ( 가 ) ( 나 ) 집합 의임의의두원소, 에대하여 이면 이다. 48 두집합, 에대하여함수 가조건 [ 이면 ] 를만족할때, 함수 의개수는? 두집합, 에대하여함수 가조건 를만족할때, 함수 의개수는?

17 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme6 조나누기 50 명의학생을다음과같이 개조로나누는모든방법의수를구하시오. (1) 명, 명, 명 (2) 명, 명, 명 (3) 명, 명, 명 51 남자 명, 여자 명이 명씩두개의조로나누어놀이기구를타려고한다. 여자 명이같은조에속하는방법의수를구하시오. 52 명의외교관을 명, 명, 명씩나누어 A B C 의세나라에파견하기로하였다. 파견가능한방법의수를구하시오. 53 개의붉은구슬과 개의흰구슬을서로다른 개의상자에넣는방법의수를구하면? ( 단, 각상자에적어도 개의구슬은넣어야한다.)

18 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme7 집합분할 54 집합 을분할하는방법의수는? 집합 에대하여집합 를원소의개수가 인 개의서로소인부분 집합으로분할하는방법의수는? 명의학생이봄소풍에서장기자랑을하려고한다. 팀구별없이 명을 개의팀으로나누는 모든방법의수를구하시오. 57 명의학생을 개조로나누어각각캐나다, 호주, 뉴질랜드로어학연수를보내는방법의수를 구하시오. ( 단, 각조는서로다른곳으로어학연수를간다.)

19 Ⅰ 경우의수 개념 3-Theme8 자연수분할 58 자연수 을 개의자연수의합 로나타내는방법의수는? ( 단, ) 같은종류의가방 개에이번달에나온잡지 권을넣을때, 빈봉투가없도록넣는모든방 법의수는? 똑같은주머니 개에똑같은귤 개를나누어담을때, 빈주머니가없도록담는모든방법의 수를구하시오. 61 똑같은사탕 개를똑같은종류의봉지에나누어담으려고한다. 개이하의봉지에나누어담 는방법의수를구하시오

20 Ⅰ 경우의수 개념 4-Theme1 이항정리의일반항 62 의전개식에서상수항을구하면? 의전개식에서 의계수가 일때, 양수 의값은? 의전개식에서 의계수가 일때, 양수 의값은? 다항식 의전개식에서 의계수와상수항의합이 일때, 양의상수 의값은?

21 Ⅰ 경우의수 개념 4-Theme2 이항계수의성질 66 이자연수일때, 을만족하는 의값을구하면? 의값을간단하게표현한것은? 의값을구하면? log 의값을구하면?

22 Ⅰ 경우의수

23 Ⅱ. 확률 01 확률의정의및계산 02 조건부확률 03 독립과종속

24 Ⅱ 확률 개념 1-Theme1 확률의정의 1 흰공과검은공을합하여 개의공이들어있는주머니에서공 개를꺼낼때 개모두흰공이 나올확률이 이다. 흰공의개수를구하면? 1 개 2 개 3 개 4 개 5 개 2 개의제품중에서 개의불량품이들어있는상자에서동시에 개를임의로택할때, 개만 불량품일확률을구하면? 흰구슬 개와검은구슬 개가들어있는주머니가있다. 이주머니에서임의로 개의구슬을 동시에꺼낼때, 흰구슬 개와검은구슬 개가나올확률을구하면? A B C D E F 명의육상선수가 개의코스에서출발하는데제비뽑기로코스를결정하기로 하였다. 이때, A 와 B 가이웃한코스에서출발할확률은?

25 Ⅱ 확률 개념 1-Theme2 기하적확률 5 주사위를두번던져나온눈의수를각각 라할때, 연립방정식 의 해가존재할확률은? 인실수 에대하여이차부등식 을만족할확률을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) 7 오른쪽그림과같이한변의길이가 인정사각형 ABCD 의내부에 임의로점 P 를잡을때, 삼각형 ABP 의넓이가 이하일확률을구하시오. 8 오른쪽그림과같이반지름의길이가 인반원또는그내부에임의 의한점 P 를잡을때, 삼각형 APB 의넓이가 이하일확률을구하 시오

26 Ⅱ 확률 개념 1-Theme3 확률의덧셈정리와배반사건 9 개의제비중에당첨제비가 개들어있다. 이중에서 개의제비를뽑을때적어도한개가 당첨제비일확률이 이다. 이때, 의값을구하면? 개의제비중에당첨제비가 개들어있다. 이중에서 개를꺼낼때, 적어도 개가당첨제비일 확률을구하면? 사건 가일어날확률은 이고, 사건 가일어날확률은 이다. 두사건 가동시에 일어날확률 의최댓값을, 최솟값을 이라할때, 의값은?

27 Ⅱ 확률 개념 2-Theme1 조건부확률의계산 12 개의제비중에 개의당첨제비가들어있다. 이중에서한개의제비를뽑을때두번째 사람이당첨되었다면첫번째사람도당첨되었을확률을구하면? 어느수험생이 차시험에합격할확률이 이고, 차와 차시험에모두합격할확률이 이다. 이수험생이 차시험에합격했을때, 차시험에합격할확률은? 지영이가학급친구 명을대상으로집에서구독하는신문의종류를조사하였더니 신문을 보는친구가각각 명, 명이었고 중어느신문도구독하지않는친구가 명이었다. 신문을보는친구중한명을택하였을때, 그친구가 신문을구독하지않을확률은? 어느고등학교의 학년학생들을대상으로주거형태를조사한결과 형과 형두가지였다. 주거형태가 형인남학생의수는주거형태가 형인여학생수의 배이고, 주거형태가 형인학생중여학생의비율은 이다. 학년학생중임의로한명을뽑았더니남학생이었다. 이학생의주거형태가 형일확률은?

28 Ⅱ 확률 개념 3-Theme1 독립 / 종속사건 16 다음세사건,, 는한개의주사위를던지는시행의사건이다. 서로종속인것은? : 짝수의눈이나오는사건 : 소수의눈이나오는사건 : 의약수의눈이나오는사건 1 와 2 와 3 와 4 와 5 와 17 한개의동전을 번던질때, 첫번째에앞면이나오는사건을 앞면이적어도 번나오는사건을 번모두같은면이나오는사건을 라하자. < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? ㄱ. 와 는서로종속이다. ㄴ. 와 는서로독립이다. ㄷ. 와 는서로종속이다. < 보기 > 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 18 상자속에모양과크기가같은흰돌 개와검은돌 개가들어있다. 이상자에서임의로 개의돌을꺼낼때, 모두같은색일확률은?

29 Ⅱ 확률 개념 3-Theme2 방정식을이용한확률 19 서로독립인두사건 에대하여, 일때, 의값은? ,, 일때, 를구하면? 서로독립인두사건 에대하여, 일때, 의값은? 세사건 에서 와 는서로배반사건이고, 와 는서로독립이다. 일때, 의값을구하면?

30 Ⅱ 확률 개념 3-Theme3 독립일때의곱셈정리 1 23 갑, 을, 병세사람이시장선거에출마하였다. 갑, 을, 병세사람이당선될확률이각각 이고, 당선되었을때버스노선을개편할확률은각각 이다. 선거가끝난후버스노선이개편될확률은? 세집합,, 가있다. 각집합에서원소를한개씩뽑았을때, 나온세수의곱이 의배수가될확률은? 어느지방의 월중날씨의변화는다음표와같다고한다. 예를들어, 맑은다음날흐릴확률은 이다. 어느날이지방의날씨가맑았을때, 다음날부터연속해서 일간모두같은날씨가될확 률을구하면? 내일오늘 맑음 흐림 비 눈 맑음 흐림 비 눈

31 Ⅱ 확률 개념 3-Theme4 독립일때의곱셈정리 2 26 어떤의사가암에걸린사람을암에걸렸다고진단할확률은 이고, 암에걸리지않은사람을암에걸리지않았다고진단할확률은 라고한다. 이의사가실제로암에걸린사람 명과실제로암에걸리지않은사람 명을진찰하여암에걸렸는지아닌지를진단하였다. 이들 명중임의로한사람을택하였을때, 그사람이암에걸렸다고진단받은사람일확률은? 빨간공 개, 노란공 개, 파란공 개가들어있는주머니가있다. 이주머니에서공을하나씩 꺼내는시행을 회실시하였더니빨간공, 노란공, 파란공이각각한개씩나왔다고한다. 두번째 꺼낸공이파란공이었을확률은? ( 단, 꺼낸공은다시주머니에넣지않는다.) 어느도시에서야간에뺑소니사건이일어났다. 이도시전체차량의 는자가용이고, 는영업용이다. 그런데한목격자가뺑소니차량을자가용이라고증언하였다. 이증언의타당성을알아보기위해사고와동일한상황에서그목격자가자가용차량과영업용차량을구별할수있는능력을측정해본결과바르게구별할확률이 이었다. 그렇다면목격자가본뺑소니차량이실제로자가용 일확률은 이다. 이때, 의값을구하면? ( 단, 는서로소인자연수이고, 모든차량이뺑소니사건을일으킬가능성은같다고가정한다.)

32 Ⅱ 확률 개념 3-Theme5 독립시행의확률 29 지하 층에서 명이엘리베이터를탔다. 층에서 층까지각사람이어느층에내리는가는같은 정도로기대된다. 이때, 층에서 명이내릴확률은? A, B 두사람이테니스경기를한다. 먼저 세트를이기는사람이우승을하는데매세트마다 A 가 B 를이길확률은 이라고한다. 다섯번째세트에서 A 가우승할확률을구하시오. ( 단, 비기는경우는없다.) 31 결승전에올라온두씨름선수갑, 을은 번의경기에서먼저 번을이기면우승을하게된다. 갑이 을에대한역대전적이 승 패를이루고있을때, 네번째경기에서을이우승할확률을구하시오. ( 단, 비기는경기는없다.) 32 주사위를던져 또는 의눈이나오면오른쪽으로한칸, 과 이외의 눈이나오면위로한칸움직이는놀이가있다. 다음그림의 A 에서출발하 여 P 에도착할확률은?

33 Ⅳ. 통계 01 이산확률변수와확률분포표 02 이항분포 03 연속확률변수와확률밀도함수 04 정규분포 05 모평균의추정 06 모비율의추정

34 Ⅲ 통계 개념 1-Theme1 확률분포표 1 확률변수 의확률분포가다음표와같을때, 는? ( 단, 는상수이다.) 합계 확률변수 의확률분포가다음과같을때, 의값을구하시오. 합계 3 다음은확률변수 의확률분포이다. 합계 일때, 상수 의값을구하시오. 4 확률변수 의확률질량함수가 로주어질때, 의값을구하시오. ( 단, 는상수이다.)

35 Ⅲ 통계 개념 1-Theme2 확률분포의평균 / 분산 1 5 확률변수 의확률분포가다음과같다. 합계 일때, 의값을구하시오. 6 확률변수 의확률분포가다음과같다. 합계 을만족하는양수, 에대하여 의값을구하시오. 7 아래의확률분포에서 의값을구하시오. 합계 8 이산확률변수 의확률분포표가다음과같다. 확률변수 의평균이 일때, 의분산을 구하시오. 합계

36 Ⅲ 통계 개념 1-Theme3 확률분포의평균 / 분산 2 9 자유투성공률이각각 인두사람이자유투를한번씩던지려고한다. 자유투를성공하는사람의수를확률변수 라고할때, 는? 흰구슬 개와검은구슬 개가들어있는주머니에서 개의구슬을동시에꺼낼때, 나오는검은구슬의개수를확률변수 라하자. 이때, 의표준편차는? 흰공이 개, 검은공이 개들어있는주머니에서두개의공을동시에꺼낼때, 나오는공이모두 흰공이면 원, 모두검은공이면 원, 서로다른색의공이면 원을받는다고한다. 한 번의시행에서받을수있는금액을 원이라고할때, 의기댓값을구하시오. 12 의숫자가적힌카드가각각 장, 장, 장, 장있다. 이카드를잘섞어서한장의카드를뽑을때, 뽑힌카드에적힌숫자의평균을, 분산을 라하자. 이때, 의값을구하시오

37 Ⅲ 통계 개념 1-Theme4 확률변수의성질 13 확률변수 에대하여, 일때, 의값을구하시오. 14 확률변수 에대하여 이고, 확률변수 에대하여 일때, 상수 에대하여 의값은? ( 단, ) 확률변수 에대하여 이고, 의평균과 의평균이각각 일때, 의평균은? 확률변수 의평균이 표준편차가 일때, 의평균이 표준편차가 이되도록 하는상수 에대하여 의값은? ( 단, )

38 Ⅲ 통계 개념 2-Theme1 이항분포의평균 / 분산 17 확률변수 가이항분포 을따를때, 확률변수 의표준편차는? 어느공장에서생산되는제품은불량률은 이다. 이공장에서생산된제품 개중에 들어있는불량품의개수를 라할때, 의값은? 빨간공 개와파란공 개가들어있는주머니에서 개의공을꺼내어색깔을확인하고다시넣는 시행을 회반복하여빨간공이나올때마다 원씩받는다고한다. 이때, 받을수있는총금액 의기댓값은? 1 원 2 원 3 원 4 원 5 원 20 원점 를출발하여수직선위를움직이는점 가있다. 동전을던져서앞면이나오면오른쪽으로 만큼, 뒷면이나오면왼쪽으로 만큼이동시킨다. 동전을 회던질때, 점 의 좌표를 라고 하자. 의평균과분산을차례로구하면?

39 Ⅲ 통계 개념 2-Theme2 이항분포와독립시행의확률 21 확률변수 의확률질량함수 가 일때, 의값은? 확률변수 의확률질량함수가 일때, 확률변수 에대하여 의값은? 한개의주사위를 번던질때, 의눈이나오는횟수를확률변수 라할때, 이고 는이항분포 를따른다. 이때, 의값을구하시오. 24 완치율이 인어떤병을앓고있는 명의환자가동일한치료를받을때, 완치되는환자의 수를확률변수 라하자. 일때, 상수 의값을구하시오

40 Ⅲ 통계 개념 3-Theme1 확률밀도함수 25 연속확률변수 의확률밀도함수가 일때, 의 값을구하시오. 26 연속확률변수 의확률밀도함수 가 일때, 의값은? ( 단, 는상수이다.) 확률변수 의확률밀도함수가 일때, 확률 의값은? ( 단, 는상수이다.) 연속확률변수 의확률밀도함수 의그래프가 오른쪽그림과같을때, 상수 의값은?

41 Ⅲ 통계 개념 4-Theme1 정규분포곡선 29 오른쪽그래프는다음세함수의그래프이다. 다음중옳지않은것을고르면? 다음세곡선 가나타내는정규분포의평균과분산의대소관계를바르게나타낸것은? ( 단, 를평행이동하면 와일치한다.) 평균 분산 평균 분산

42 Ⅲ 통계 개념 4-Theme2 정규분포의표준화 31 다음은어느고등학교 학년학생의성적표이다. 과목 국어 영어 수학 점수 과목평균 표준편차 각과목의성적이정규분포를따를때, 성적이상대적으로우수한과목부터차례대로나열한것은? 1 국어, 수학, 영어 2 수학, 국어, 영어 3 수학, 영어, 국어 4 영어, 국어, 수학 5 영어, 수학, 국어 32 확률변수 가정규분포 N 을따를때, 확률 은? ( 단, 의평균, 표준편차 에대하여, ) 확률변수 가정규분포 N 을따를때, 확률 는? 정규분포 N 을따르는확률변수 에대하여 확률밀도함수 가모든실수 에대하여 를만족한다. 일때, 의값은? ( 단, 오른쪽표준정규분포표를이용한다.)

43 Ⅲ 통계 개념 4-Theme3 표준화를이용한확률 ( 확률의계산 ) 35 주사위를던져나온눈의수를 라할때, sin 인사건을 라 하자. 이시행을 번하였을때, 사건 가일어나는횟수를확률변 수 라할때, 의값을오른쪽표준정규분포표를 이용하여구한것은? 어느놀이공원입장객의 일지출액은평균이 원이고표준편차가 원인정규분포를따른다고한다. 어느날이놀이공원에입장한 명의입장객중에서지출액이 원이상인입장객이 명 이상일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 대남성의오른손쥐는힘은평균이 N, 표준편차가 N 인정 규분포를따른다고한다. 임의로 대남성 명을선택하여오른손 쥐는힘을측정하였을때, 그힘이 N 이상인사람의수가 명이상 일확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? ( 단, N 은힘의 단위 )

44 Ⅲ 통계 개념 4-Theme4 표준화를이용한확률 ( 확률변수구하기 ) 38 확률변수 가정규분포 N 을따를때, 를만족시키는상수 의값을 구하시오. ( 단, ) 39 아마추어골프동호인들의 일연습시간은정규분포 N 을따른 다고한다. 아마추어골프동호인들의 일연습시간이 이하일확률이 일때, 평균 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한 것은? ( 단, 연습시간의단위는시간이다.) 명이정원인어느대학의입학시험의응시자수는 명이다. 응시자 전체의점수분포가평균이 점, 표준편차가 점인정규분포를따른 다고할때, 합격자의최저점수는? 어느회사에서의신입사원 명을대상으로연수를실시하고, 연수점 수에따라상위 명을선발하여본사에근무하도록배치하려고한다. 신 입사원 명의연수점수가평균 점, 표준편차 점인정규분포를 따른다고할때, 오른쪽표준정규분포표를이용하여본사에배치되기위한 최소점수를구하시오

45 Ⅲ 통계 개념 4-Theme5 정규분포의활용 42 어느회사에서생산되는음료수의용량은평균, 표준편차 인 정규분포를따른다고한다. 이회사는생산된음료수중용량이 이 상 이하인음료수만을적합품으로판정하여판매한다. 이회사에서 생산된음료수중에서임의로한개를선택하였을때, 적합품으로판정받을확률을구하시오. 43 어느고등학교의 학년학생 명의수학성적은평균이 점, 표준편 차가 점인정규분포를따른다고한다. 이고등학교의 학년학생중수 학성적이 점이상인학생수를구하시오. 44 명을채용하는어느회사의입사시험에 명이응시하였다. 응시자들의시험성적은평균이 점, 표준편차가 점인정규분포를따른다고할때, 합격자의최저점수는몇점인지구하시오. ( 단, ) 45 확률변수 가정규분포 을따를때, 함수 을 라고한다. 다음 < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? < 보기 > ㄱ. ㄴ. ㄷ. 임의의두실수 에대하여 일때, 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

46 Ⅲ 통계 개념 4-Theme6 이항분포의정규분포화 46 확률변수 가이항분포 B 를따를때, 확률 은? 어느연극공연장의입장권을예매한사람들중에서입장하지않은비율 은 라한다. 좌석이 석인연극공연장에 명이예매를했을경 우, 공연때좌석이부족할확률로가장적절한것은? ( 단, 오른쪽표준정 규분포표를이용한다.) 어느나라국민들은해외여행을할때, 가분실사고를경험한다고한 다. 이나라국민이해외여행의분실사고에대비한보험에 명이가 입했다고할때, 보험회사가 명이상에게보험금을지급하게될확률 을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? C 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여 구한것은?

47 Ⅲ 통계 개념 5-Theme1 표본평균의평균과분산 50,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드를모집단으로하여크기가 인표본을 복원추출할때, 표본평균의평균 와표준편차 를차례로구하시오. 51 다음은어느모집단의확률분포표이다. 계 이모집단에서크기가 인표본을임의추출할때, 표본평균 의표준편차는? ( 단, 는상수이다.) 다음은확률변수 의확률분포를표로나타낸것이고,,, 는이순서대로등차수열을이룬다. 계 이모집단에서크기가 인표본을임의추출할때, 표본평균 의표준편차는? ( 단,, 는양의상수이다.)

48 Ⅲ 통계 개념 5-Theme2 추정을이용한정규분포 53 세남성들의손너비는평균이 이고표준편차가 인정규분포를따른다고한다. 세남성중에서임의로 명의표본을뽑아구한표본 평균을 라하자. 을만족하는자연수 의최솟값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? ( 단, 길이의단위는 이다 ) 대남성이물건을들어올리는힘은평균이 N 이고표준편차가 N 인정규분포를따른다고한다. 임의로 대남성 명을택하여 물건을들어올리는힘을측정한표본평균을 라할때, 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것 은? ( 단, N 은힘의단위이다.) 월평균원-달러환율은평균이 원이고, 표준편차가 원인정규분포를따른다고한다. 임의로 달을택해조사한월평균원-달러환율의 평균을 라하자. 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 어떤제과회사에서만드는과자 개의무게는평균이, 표준편차가 인정규분포를따른다고한다. 이제과회사는과자 개를무게가 인 상자에넣어포장하는데과자를넣은상자의무게가 이하인경우불량품으로판정한다. 어느날포장된 개의상자중불량품의개수를 라할때 의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여 구한것은? ( 단, 무게의단위는 g 이다.)

49 Ⅲ 통계 개념 5-Theme3 신뢰구간 57 모표준편차가 인정규분포를따르는모집단에서크기 인표본을임의추출하여구한표본평균이 이었다. 이때, 신뢰도 인모평균 에대한신뢰구간을구하시오. ( 단, 가표준정규분포를따를때, 이다.) 58 야구공을만드는어떤공장에서생산되는야구공 개를임의추출하여무게를조사해본결과 평균이 g 표준편차가 g 이었다고한다. 이공장에서생산되는야구공의무게의평균에 대한 의신뢰구간은? ( 단, 가표준정규분포를따를때, 이다.)

50 Ⅲ 통계 개념 5-Theme4 신뢰구간의길이및오차 59 표준편차가 인정규분포를따르는모집단에서 개의표본을임의추출하여신뢰도가 로추정한모평균의신뢰구간이 일때, 이라하자. 일때, 이되도록하는 의값을구하시오. 60 분산이 인정규분포를따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출하여신뢰도 로 추정한모평균의신뢰구간이 이다. 을만족시키는 의최솟값은? ( 단, 가표준정규분포를따를때, 로계산한다.) 어느회사에서생산하는영양제 정에들어있는칼슘의양을확률변수 라고하면 는정규분포를따른다고한다. 이영양제 정을임의추출하여모평균 mg 에대한신뢰도 인신뢰구간을구했더니 이었다. 이영양제 정을임의추출하여모평균 mg 에대한신뢰도 인신뢰구간을구할때, 이신뢰구간의길이를구하시오. ( 단, 가표준정규분포를따를때,, 이다.)

51 Ⅲ 통계 개념 5-Theme5 추정의활용 62 정규분포를따르는모집단에서표본을임의추출하여모평균을추정하려고한다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 가표준정규분포를따를때, 로계산한다.) < 보기 > ㄱ. 표본의크기가커지면표본평균 의분산은작아진다. ㄴ. 이고, 표본이같을때, 신뢰도 로추정한신뢰구간을 신뢰도 로추정한신뢰구간을 라하면 이다. ㄷ. 크기가 인표본을이용하여신뢰도 로모평균을추정할때, 크기가 인표본으로추정한신뢰구간은크기가 인표본으로추정한신뢰구간에포함된다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 63 정규분포 N 을따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출하여모평균 을추정하려고한다. 에대한신뢰도 인신뢰구간 와 에대한신뢰도가 인신뢰구간 에대하여 라고할때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단,, 이다.) ㄱ. < 보기 > ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ

52 Ⅲ 통계 개념 6-Theme1 표본비율의평균과분산 64 어느도시에거주하고있는 가구를임의추출하여조사하였더니고등학생자녀가있는가구가 가구이었을때, 표본비율 을구하시오. 65 어느고등학교학생 명을임의추출하여조사하였더니헌혈을해본경험이있는학생의수는 명이었다. 이때, 표본비율 을구하시오. 66 모비율이 인모집단에서크기 인표본을임의추출할때, 표본비율 에대하여 E V 의 값을각각구하시오

53 Ⅲ 통계 개념 6-Theme2 표본비율의확률 67 어느마을주민중에서 는하루평균 보이상을걷는다고한다. 이마을에서임의추출한 명의주민중에서하루평균 보이상을 걷는주민의비율이 이상 이하일확률은? 어느정당에대한유권자의지지율은 라고한다. 유권자 명을임의 추출하여조사할때, 이정당의지지율이 이상으로나타날확률을오 른쪽정규분포표를이용하여구하시오. 69 어느공장에서생산된제품의무게가정규분포 을따른다고하자. 와 두사람이크기가 인표본을각각독립적으로임의추출하였다. 와 가추출한표본의평균이모두 이상 이하가될확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구하면?

54 Ⅲ 통계 개념 6-Theme3 신뢰구간 ( 모비율의범위 ) 70 어느공장에서생산되는제품중 개를임의추출하여불량률을조사하였더니 개가불량품이었다. 전체제품의불량률을신뢰도 로추정한신뢰구간은 신뢰도 로추정한신뢰구간은 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 가표준정규분포가따르는확률변수일때, 이다.) 71 우리나라성인을대상으로특정질병에대한항체보유비율을조사하려고한다. 모집단의항체보유비율을, 모집단에서임의로추출한 명을대상으로조사한표본의항체보유비율을 이라고할때, 일확률이 이상이되도록하는 의최솟값을구하시오. ( 단, 가표준정규분포가따르는확률변수일때, 이다.) 72 어느휴대폰제조업체의새로운모델에대한고객의만족도를 명을대상으로조사하였더니 명중 에 명꼴로만족한다고답하였다. 이모델에대한만족도의참값을신뢰도 로추정한신뢰구간이 일때, 이기위한 의최솟값은? ( 단, 어느과자공장에서생산하는과자 의무게는평균 g, 표준편차 g 인정규분포를따른다고한다. 이공장에서는생산시스템의이상여부를 점검하기위해하루에생산된과자 중크기가 인임의표본을추출하 여과자의무게에대한표본평균 를계산한다. 가상수 보다작으면 생산시스템에이상이있는것으로판단하고생산시스템을점검한다. 생산시스템에이상이있다고 판단될확률이 라할때, 오른쪽표준정규분포표를이용하여 의값을구하시오

55 Ⅲ 통계 개념 6-Theme4 신뢰구간의길이및오차 74 어느지역의고등학생중에서 명을임의추출하여하루에보내는문자의개수를조사하였더니 명이하루에평균 개이상의문자를보낸다고한다. 이지역의전체고등학생중에서하루에평균 개이상의문자를보내는학생의모비율을신뢰도 로추정하면모비율과표본비율의차가 이하일때, 의최솟값은? 단, 어느고등학교학생중 명을대상으로계열별선호도를조사하였더니인문계열을선호하는학생이 명, 자연계열을선호하는학생이 명이었다. 이고등학교학생중에서자연계열을선호하는학생의비율을신뢰도 로추정할때, 모비율 와표본비율 의최대오차를 라하자. 의값을구하시오. 단, 76 정규분포를따르는모집단에서표본을임의추출하여모비율을추정할때, 표본의크기가 이고신뢰도 일때의신뢰구간의길이를, 표본의크기가 이고신뢰도 일때의신뢰구간의길이를 이라하자. 이때 이성립하기위한 의값은? 단, 두표본의표본비율은같고,, 어느인터넷쇼핑몰에서판매하는모든상품중에서 개를임의추출하여검사한결과불량품이 개나왔다. 신뢰도 로추정할때, 모비율과표본비율의차이가 이하가되게하려면표본은 최소몇개이상이어야하는지구하시오. 단,

56 Ⅲ 통계

57 정답및해설 Ⅰ 경우의수 Ⅱ 확률 Ⅲ 통계

58 Ⅰ 경우의수 1. 개의점중에서 개의점을택하는경우의수는 C ( 가지 ) 지름위에있는 개의점중에서 개의점을 택하는경우의수는 C ( 가지 ) 따라서구하는직선의개수는 ( 개 ) 2. 백의자리숫자를, 십의자리숫자를 라고하면 비밀번호가 의배수이므로 은 의배수이어 야한다., 는모두 부터 까지의수이므로 또는 ⅰ) 이면 따라서순서쌍 는,, ⅱ) 이면 따라서순서쌍 는,,,,,,, ⅰ), ⅱ) 에서구하는개수는 이다. 5. (ⅰ) 집 A 도서관 ( 가지 ) (ⅱ) 집 A B 도서관 ( 가지 ) (ⅲ) 집 B 도서관 ( 가지 ) (ⅳ) 집 B A 도서관 ( 가지 ) 따라서집에서도서관으로가는경우의수는 ( 가지 ) 6. 관광코스의가짓수는각각 A지역에서 B지역으로는 가지, B지역에서 D 지역으로는 가지, A 지역에서 C 지역으로는 가지, C 지역에서 D 지역으로는 가지, A지역에서 D 지역으로는 가지 3. 3 (ⅰ) 세수가모두홀수인경우의수 의 개중에서 개를택하면되므로 C (ⅱ) 하나가홀수, 두개가짝수인경우의수 홀수중에서한개를택하고, 짝수중에서두개를 택하면되므로 C C 따라서구하는경우의수는 4. 개의점에서 개의점을뽑는경우의수에서일직 선위에있는 개의점을뽑는경우의수를빼면된 다. 개의점중 개의점을뽑는경우의수는 C 일직선위에있는 개의점을뽑는경우의수는 C C C 그런데 A지역에서 D 지역으로관광하는경우는 A B D 또는 A C D 또는 A D 이므로구하는경우의수는 ( 가지 ) 7. 나온눈의수의합이 인경우 : 나온눈의수의합이 인경우 : 8. 공에적힌숫자기 의약수인경우 : 공에적힌숫자가 의배수인경우 :

59 Ⅰ 경우의수 9. A B C D a d c b c d a d a c c a d b d a b b a d a b c c a b b a 가지 12. (1) (2) (3) (1) 남자 명을일렬로세우고, 남자사이사이에 여자 명을세우면되므로 (2) 여자 명을묶어서한명으로생각하고남자 명과일렬로세우는방법의수는 이다. 각경우에대하여여자끼리서로자리를바꾸는 방법의수는 이므로 (3) 남자 명중에서 명을양끝에세우는방법의 수는 P 이고, 그각각에대하여나머지 명을 세우는방법의수는 이므로 P (ⅰ) 를배치하는방법 : 2, 4 뿐이므로 ( 가지 ) (ⅱ) 와 를배치하는방법 : 를 5에배치하는경우엔 는 의자리와 5를제외하는곳에배치하므로 가지 를 5가아닌곳에배치하는경우엔 는 의자리와 의자리, 5를제외한곳에 배치하므로 가지 ( 가지 ) (ⅲ) 와 를배치하는방법 : 2( 가지 ) 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에의해 ( 가지 ) 이다 가능한경우는아래표와같다. 10점개수 9점개수 8점개수 가짓수 가지 5 0, 1 1, 0 2가지 4 0, 1, 2 2, 1, 0 3가지 3 0, 1, 2, 3 3, 2, 1, 0 4가지 2 0, 1, 2, 3, 4 4, 3, 2, 1, 0 5가지 1 1, 2, 3, 4, 5 4, 3, 2, 1, 0 5가지 0 3, 4, 5, 6 3, 2, 1, 0 4가지 따라서구하는경우는 가지이다. 13. 개에서 개를뽑아일렬로배열하는경우의수는 P ( 가지 ) 십의자리에 이오는것을제외하면 ( 가지 ) 다른풀이 십의자리에올수있는숫자는 을제외한 가지, 일의자리에올수있는숫자는십의자리에사용한 수를제외한 가지이므로 14. 배구선수 명을한묶음으로생각하여 명을일렬 로세우는경우의수는 P ( 가지 ) 이들각각에대하여배구선수 명이자리를바꾸 어서는경우의수는 P ( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 15. 개의문자를일렬로배열할때, 적어도한쪽끝에 자음이오는경우의수는전체의경우의수에서양 쪽끝에모음이오는경우의수를빼면된다. 전체경우의수는 = 양쪽끝에모음이오는경우는 에서 에모음 를배열하고, 에자음 를배 열하면되므로경우의수는

60 Ⅰ 경우의수 = 따라서적어도한쪽끝에자음이오는경우의수는 16. 백의자리에는 이올수없으므로백의자리에올수있는숫자는 의 개이다. 이각각의경우에대하여십의자리와일의자리에는 의 개의숫자가중복하여올수있으므로경우의수는 ( 가지 ) 따라서구하는정수의개수는 17. T I G E R 의 개문자로중복을허락하여만들수있는세개의문자로이루어진암호의개수는 한편, T 를제외한 I G E R 의 개의문자로중복을허락하여만들수있는세개의문자로이루어진암호의개수는 따라서구하는암호의개수는 명이각각내릴수있는층은 층에서 층까지모두 개이다. 즉, 서로다른 개의층에서중복을허락하여 개를택하는중복순열의수와같다. 따라서구하는방법의수는 구하는네자리의정수는다음과같이세가지의경우로나누어생각할수있다. (ⅰ) 와같이네자리중한자리에 ( 또는 ) 만들어있는경우 이들어갈수있는자리는 가지이고, 이각각에대하여각자리에 가중복을허락하여들어갈수있으므로 ( 개 ) 마찬가지로네자리중한자리에 만들어있 는네자리의정수의개수도 ( 개 ) (ⅱ) 와같이네자리중두자리에각각 가들어있는경우 가들어갈수있는자리는각각 가지, 가지이고, 이각각에대하여각자리에 가 중복을허락하여들어갈수있으므로 ( 개 ) (ⅲ) 와같이네자리모두 가모두 들어있지않은경우 각자리에 가중복을허락하여들어갈수 있으므로 ( 개 ) 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ) 에서구하는정수는 ( 개 ) 20. 와 의순서가정해져있으므로 를 로놓으 면같은것이있는순열의수가된다. 따라서 를일렬로세우는방법의수와같다. ( 가지 ) 주어진 개의문자중에서자음은 의 개이고, 모음은 의 개다. 자음을, 모음을 라할때, 모음과자음을교대 로배열하려면 와같이배열해야한다. 자음 개를배열하는방법의수는 모음 개를배열하는방법의수는 따라서구하는방법의수는 22. 순서에관계없이 개를선택하는경우는 가지 각각의경우에일렬로나열하는경우의수는 (i) (ii)

61 Ⅰ 경우의수 (iii) (iv) (v) 이므로 가지사장으로발령되는경우는가, 나, 다, 라, 마중두곳을골라가까운곳은, 먼곳은 를배치하고, 그중 가같은거리인가, 나 에배치되는경우를빼면되므로 이다. 이각각의경우에 가발령되는경우는 이므로, 전체의경우는 이다. 24. (1) (2) (1) 오른쪽으로한칸이동하는것을, 위로한칸 이동하는것을 라하면 A 에서 B 까지최단거 리로가는방법의수는 가 개, 가 개포 함된 개의문자를일렬로나열하는경우의수 와같으므로 ( 가지 ) (2) A 에서 C 까지최단거리로 25. 가는방법의수는 ( 가지 ) C 에서 B 까지최단거리로 가는방법의수는 ( 가지 ) 따라서곱의법칙에의하여구하는경우의수는 ( 가지 ) (ⅰ) A 지점에서 B 지점까지최단거리로가는방법의 수는 (ⅱ) A 지점에서 CD 를거쳐서 B 지점까지최단거리 로가는방법의수는 (ⅰ), (ⅱ) 에의하여구하는방법의수는 26. 교차로 P Q 에서모든방향으로갈수있을때, A 지점에서 B 지점까지최단거리로가는방법의수는 이중오른쪽그림에서교 차로 P 에서좌회전을하 는최단경로는빨간색선 을따라이동할때이므로 가지이고, 교차로 Q 에서좌회전을하는최단경로 는파란색선을따라이동할때이므로 따라서구하는경우의수는 다음그림과같이합의법칙에의하여 A 지점에서 B 지점까지최단거리로가는방법의수는 가지 28. (1) (2) (3) (1) 명이원탁에둘러앉는방법의수는 ( 가지 ) (2) 남학생 명을하나로묶어서한사람으로생각 하면여학생 명을합한 명이원탁에둘러앉는 방법의수는

62 Ⅰ 경우의수 이각각의경우에대하여남학생 명끼리자리를바꾸어앉는방법의수는 ( 가지 ) (3) 오른쪽그림과같이먼저남학생 명이원탁에둘러앉는방법의수는 ( 가지 ) 이각각의경우에대하여여학생 명이남학생과남학생사이의 개의자리에앉는방법의수는 ( 가지 ) 29. (1) (2) (1) 장의카드를원형으로나열하는방법의수는 ( 가지 ) (2) 오른쪽그림과같이서로이웃해도되는홀수,,, 가쓰인카드를원형으로나열하는경우의수는 ( 가지 ) 이각각의경우에대하여짝수,, 가쓰인카드는홀수와홀수가쓰인카드사이의 개의자리중에서 개를택하여나열하면되므로그방법의수는 P 가지따라서구하는방법의수는 P ( 가지 ) 명을원형으로배열하는방법의수는 그런데아래그림과같이직사각형의모양의탁자에서는원형으로배열하는한가지방법에대하여특정한한명이 1 5에앉는경우는모두다른경우이다. 31. 색이칠해져있지않은영역에칠할수있는색은 C D E F 의 가지이므로 가지색을원형으로 배열하는방법의수는 가지색을칠할때, 특정한한색을 1, 2 에칠하 는경우는모두다른경우이므로구하는방법의수 는 32. 에서 33. (1) (2) (3) (1) P 에서 이므로 (2) P 에서 이때, 이므로 (3) P n P 에서 34. ( ) - = 에서 - 그러므로구하는방법의수는 35. (1) (2) (3) (4) (1) C P 이므로 (2) C C C 이므로

63 Ⅰ 경우의수 (3) C C C 이므로 (4) C C C C C C 이므로 C C C C,,, 에서,, 라놓으면,,, ( 개 ) 36. 특정한 명을제외한 명중에서 명을선발하는 것과같으므로 C 라고하면 의음이아닌정수해 의개수를구하는문제가되므로 ( 개 ) 37. C C ( 가지 ) 38. 전체 명중에서 명의대표를뽑는경우의수는 C ( 가지 ) 여학생 명중에서 명의대표를뽑는경우의수는 C ( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 ( 가지 ) 명의학생들에게먼저 개씩구슬을주고나서나머지 개를분배하는방법의수를구하면된다. 이것은 개중에서중복을허용하여 개를선택하는중복조합의수와같으므로 C C C ( 가지 ) 39. (1) (2) (3) (1) 전체 명에서 명을뽑으므로 C (2) 남학생 명에서 명, 여학생 명에서 명을 뽑으므로 C C (3) (1) 에서여학생만선출되는경우의수를빼면 되므로 C C,,, 에서 C C C ( 개 ) 구하는방법의수는,,, 중에서중복을허락하여 개를뽑는방법의수와같으므로 H C 46. 각문제에서감점된점수를각각,,,, 라고하면 는 중에서하나의값을갖는다. 이때총득점이 점이상이되는경우의수는, 즉 를만족하는근의개수와같다. 를만족하는근의개수는 H C 을만족하는근의개수는

64 Ⅰ 경우의수 H C 같은방법으로 를만족하는해의개수는 따라서구하는경우의수는 C C C C C 47. H C 집합 의원소,,, 중에서 개의원소를뽑아크 기순으로집합 의원소, 에대응시키고, 집합 의 원소,, 중에서 개의원소를뽑아집합 의원소 에대응시키면된다. 따라서구하는함수의개수는 C C 정의역의원소 에대한함숫값은 중의하나이고 이어야한다. 따라서구하는함수의개수는 중에서중복 을허용하여 개를선택한다음 에 대응시키는방법의수와같다. C C C ( 개 ) 구하는함수의개수는집합 의 개의원소중에 서중복을허용하여 개를택하는중복조합의수와 같다. C C ( 개 ) 50. 풀이참고 (1) (2) (3) 51. 남자를 명, 명의 개조로나누는방법의수와 같으므로 C C 52. 명을 명, 명, 명씩나누는방법의수는 C C C A B C 세나라에파견하는방법의수는 따라서구하는방법의수는 ( 가지 ) 붉은구슬을서로다른 개의상자에넣는방법의 수는 흰구슬을서로다른 개의상자에넣는방법의수 는 따라서모든방법의수는 (ⅰ) 구슬을 개도넣지않은상자가 개인경우 구슬을 개도넣지않을 개의상자를택하는 방법의수는 이고, 나머지 개의상자에 적어도 개의구슬을넣는방법의수는 이므로이때의방법의수는 (ⅱ) 구슬을 개도넣지않은상자가 개인경우 구슬을 개도넣지않을 개의상자를택하면 개의구슬은모두나머지 개의상자에넣으 면되므로이때의방법의수는 따라서구하는방법의수는 개의집합으로분할하는경우는 으로 이다. 개의집합으로분할하는경우는,, 로 이다. 개의집합으로분할하는경우는 으로 이다. 따라서집합 를분할하는방법의수는 이다 구하는방법의수는 개다

65 Ⅰ 경우의수 56. 구하는모든방법의수는 이다. 원소의개수가 인집합을공집합이아닌 개의 부분집합으로분할하는방법은 ( 개, 개, 개 ), ( 개, 개, 개 ), ( 개, 개, 개 ), ( 개, 개, 개 ) 로 가지경우가있다. ( 개, 개, 개 ) 로분할하는방법의수는 C C C ( 개, 개, 개 ) 로분할하는방법의수는 C C C ( 개, 개, 개 ) 로분할하는방법의수는 C C C ( 개, 개, 개 ) 로분할하는방법의수는 C C C 따라서구하는모든방법의수는 57. 명의학생을 개의조로나누는모든방법의수는 이다. 원소의개수가 인집합을공집합이아닌 개의 부분집합으로분할하는방법은 ( 개, 개, 개 ), ( 개, 개, 개 ) 로 가지경우가있다. ( 개, 개, 개 ) 로분할하는방법의수는 C C C ( 개, 개, 개 ) 로분할하는방법의수는 C C C 따라서 각각에대하여 개의조를캐나다, 호주, 뉴질랜드로 보내는방법의수는 따라서구하는모든방법의수는 자연수 을 개의자연수로분할하면 로 이다. 따라서 를만족하는방법의수는 개다. 59. 정답 4 같은종류의잡지 권을같은종류의가방 개에 담는방법은 과같다. 이때, 이고,, 에서, 에서 이다. 따라서구하는방법의수는 개다. 60. 구하는모든방법의수는 이다. 자연수 를 개의자연수의합으로분할하면 따라서구하는모든방법의수는 61. 똑같은사탕 개를똑같은종류의봉지 개, 개, 개 에각각나누어담는방법의수는각각,, 이다. 자연수 을 개의자연수의합으로분할하면 이므로 자연수 을 개의자연수의합으로분할하면 이므로 자연수 을 개의자연수로분할하는방법의수는 이므로 따라서구하는방법의수는

66 Ⅰ 경우의수 의전개식에서일반항은 뒤에서부터계산하면 C C C C C C 상수항은 일때이므로구하는항은 전개식의일반항은 여기서 이므로 의계수는 이므로 C C C C C C log log log 일반항을구하면 에서 에서 ( ) 그러므로

67 Ⅱ 확률 1. 4 흰공의개수를 라하면 에서 6. 을풀면 그런데 이므로두부등식을수직선위에나타내면 2. 4 개의합격품중에서 개, 개의불량품중에서 개를택하는경우의수는 따라서구하는확률은 3. 5 개의구슬중에서 개를꺼내는경우의수는 또, 흰구슬 개중에서 개를, 검은구슬 개중에 서 개를꺼내는경우의수는 이다. 따라서구하는확률은 따라서구하는확률은 7. 아래그림에서 ABP 의넓이가 이하가되려면 점 P 가어두운부분에있어야한다 전체경우의수는 가지이다. A 와 B 가이웃한코스에서출발하는경우의수는 A, B 를묶어한사람으로생각하면 가지이고, 이때, A 와 B 가자리를바꿀수있으므로 가지이다. 따라서구하는확률은 5. 5 해가존재하지않을조건은 이므로 주사위를두번던져서나오는모든경우의수는 이므로해가존재하지않을확률은 따라서해가존재할확률은 따라서구하는확률은 어두운부분의넓이 ABCD 넓이 8. 삼각형 APB 의넓이가 이하인경우는변 AB 를 밑변으로할때, 높이가 이하인경우이다. 즉, 오른쪽그림에서점 P 가 색칠한부분에있는경우이므로구하는확률은 sin

68 Ⅱ 확률 9. 1 개의제비중 개모두당첨제비가뽑히지않을 확률은 이므로 는사건을 라하면, 에서 개모두당첨제비가아닐확률은 따라서구하는확률은 따라서 첫번째사람이당첨된사건을, 두번째사람이 당첨된사건을 라하면두번째가당첨되는것은, 첫번째가당첨인경우와낙첨인경우의두가지가 있으므로 차시험에합격하는사건을, 차시험에합격하 A 신문을보는친구의집합을 B 신문을보는 친구의집합을 라하면, 중어느신문도구독하지않는친구가 명이므로 따라서 A B 모두구독하는친구의수는 따라서구하는확률은 A 형에사는여학생수를 라하면 B 형에사는남학생수를 이다 A 형에사는학생중여학생의비율이 이므로 A 형에사는남학생수와전체학생수는각각 이다. 따라서남학생일사건을, A 형에주거할사건을 라하면 16. 1,,,,,,, 이므로

69 Ⅱ 확률 와 는종속 와 는독립 와 는독립 와 는독 립 와 는독 립 에서 ㄱ. 이므로 두사건 와 는서로종속이다. ㄴ. 이므로 두사건 와 는서로독립이다. ㄷ. 이므로 두사건 와 는서로독립이다. 이상에서옳은것은ㄱ, ㄴ이다 세개가모두흰돌일사건을, 모두검은돌일 사건을 라하면, 모두같은색일사건은 이다. C C C, C 는서로배반이므로덧셈정리에의하여구하 는확률은 두사건 는서로독립이므로 와 는서로배반사건이므로 이다. 따라서 을각각갑, 을, 병이 당선될확률이라하면, 이고 를버스노선이개편될확률이라고하면, 가된다

70 Ⅱ 확률 따라서 전체경우의수는 이고 각집합에서뽑은세수중 의배수가 (ⅰ) 개인경우 : C ( 가지 ) (ⅱ) 개인경우 : C ( 가지 ) (ⅲ) 개인경우 : ( 가지 ) 따라서구하는확률 맑음 맑음 맑음 맑음 ᄀ 맑음 흐림 흐림 흐림 ᄂ 맑음 비 비 비 ᄃ 맑음 눈 눈 눈 ᄅ ᄀ, ᄂ, ᄃ, ᄅ은서로배반사건이므로구하는 확률은 어떤사람이암에걸렸다는것을사건 A, 의사가암에걸렸다고진단하는것을사건 B 라하면 암에걸린사람을바르게진단하는사건 암에걸리지않은사람을틀리게 진단하는사건 는배반사건이므로 세가지색깔의공이각각하나씩나오는사건을, 두번째꺼낸공이파란공일사건을 라하자. 세가지색깔의공이각각하나씩나오는경우는 빨간공 노란공 파란공 빨간공 파란공 노란공 파란공 노란공 빨간공 파란공 빨간공 노란공 노란공 빨간공 파란공 노란공 파란공 빨간공 이나오는경우이다. 세가지색의공이각각하나씩나올확률은 이다. 이경우중두번째꺼낸공이파란공일 확률은 확률은 차량이자가용일사건을, 이므로구하는 목격자가자가용이라증언할사건을 라하면 구하는확률은 이다. 이때, 이고 이므로 구하는확률은 이므로 이다 누구든지어느층에서내릴확률은같은정도로기 대되므로 층에서내릴확률은 이고, 이것은다 른사람에게영향을주거나받지않으므로독립적으

71 Ⅱ 확률 로이루어진다. 따라서구하는확률은 C 30. 다섯번째세트에서 A 가우승을하려면 번째세 트까지 세트를이기고 세트를진후다섯번째 세트에서 A 가이겨야한다. 따라서구하는확률은 C 31. 갑이을에대하여 승 패를이루고있으므로을 이이길확률은 한편, 네번째경기에서을이우승하려면을이앞선 세경기중에두경기는이기고한경기는져야하 고, 네번째경기는이겨야한다. (i) 세번째경기까지 승 패일확률 (ii) 네번째경기를이길확률 따라서을이네번째경기에서이길확률은 또는 의눈이나올확률은, 나머지눈이나 올확률은 이다. A 에서 P 에도달하려면오른쪽 으로 칸, 위로 칸을이동하면되므로구하는확률은 C

72 Ⅲ 통계 1. 2 확률의총합이 이므로 또는 또는 이때, 이어야하므로 2. 확률의총합은 이므로 또는 그런데확률은양수이므로 이다. 3. 확률의총합이 이므로 ᄀ 을ᄀ에대입하면 4. 확률의총합이 이므로 따라서 에서 5. 이므로 확률의총합은 이므로 이므로 ᄀ ᄂ ᄀ, ᄂ에의하여, 6. 확률의총합은 이므로 ᄀ

73 Ⅲ 통계 이므로 또는 그런데ᄀ에서 이고,, 는양수이므로, 9. 2 확률변수 가취할수있는값은 이므로 따라서 의확률분포를표로나타내면다음과같다. 합계 7. 임을이용한다. 8. 확률의총합은 이므로 확률변수가 가취할수있는값은 이므로 C C C C C C C 따라서 의확률분포를표로나타내면다음과같다. ᄀ ᄂ ᄀ, ᄂ을연립하여풀면 따라서확률변수 에대하여 11. (ⅰ) 꺼낸공이모두흰공일확률은 (ⅱ) 꺼낸공이모두검은공이확률은

74 Ⅲ 통계 (ⅲ) 꺼낸공이흰공 개, 검은공 개일확률은 따라서 의확률분포를표로나타내면다음과같다 이므로 에서 이므로 12. 총 장의카드에서 의숫자가적힌카 드가각가 장, 장, 장, 장있으므로뽑힌카드 에적힌숫자를확률변수 라하면확률분포는다 음과같다 합계 따라서, 이므로 13., 이므로 를ᄀ에대입하면 ᄀ 1 이므로 이므로 또, 이므로 확률변수 가이항분포 을따르므로 이다 확률변수 는이항분포 을따르므로

75 Ⅲ 통계 회의시행에서빨간공이나오는횟수를 라 하면 회의시행에서빨간공이나올확률은 이 므로확률변수 는이항분포 를따른다. 이때받는총금액을확률변수 라하면 이므로구하는기댓값은 동전을 회던질때앞면이나오는횟수를 라고 하면뒷면이나오는횟수는 이므로 이때 는이항분포 를따르므로 확률변수 는이항분포 B 을따르므로 확률변수 는이항분포 를따르므로 확률변수 는이항분포 을따르므로 25. 의 그래프에서어두운부분의 넓이가 이므로 에서, 이므로 는 그림의어두운부분의넓이와 같다 에서

76 Ⅲ 통계 따라서구하는확률은 이므로 에서 이다. 으므로 이다. ( 참 ) 4 의그래프보다 의그래프가더높고 좁으므로 이다. ( 거짓 ) 5 의그래프와 의그래프는평균이일정 하지만 의그래프보다 의그래프가낮 고넓으므로 이다. ( 참 ) 평균은중앙의위치이므로 분산의크기가커지면분산된정도가커지고, 작아지면중앙으로집중하므로 국어점수를표준화하면 영어점수를표준화하면 수학점수를표준화하면 따라서우수한과목의순서는수학, 영어, 국어이다 연속확률변수 의확률밀도함수는 이때, 이므로 P P P P P P P 의그래프보다 의그래프가우측에있으므로평균은 이다. ( 참 ) 2 의그래프와 의그래프는같은평균선에위치하고있으므로 이다. ( 참 ) 3 의그래프보다 의그래프가우측에있 = 으로놓으면 는표준정규분포 N 을따르므로 정규분포곡선은 에대칭이므로

77 Ⅲ 통계 에서 이므로 놀이공원입장객중에서지출액이 원이상인 사람의수를확률변수 라하면 는이항분포 B 을따르고, 근사적으로정규분포 N 을따른다 sin 인경우 일때이므로 회의시행에서사건 가일어날확률은 대남성의오른손쥐는힘을확률변수 라하면오른손쥐는힘이 N 이상일확률은 따라서 는이항분포 B 를따르고 시행횟수가충분히크므로 는근사적으로 정규분포 N 을따른다. 오른손쥐는힘이 N 이상인사람의수를확률변 수 라하면 는이항분포 B, 근사적 놀이공원입장객의 일지출액을확률변수 라 하면 으로정규분포 N 을따른다. 38. 로놓으면 는표준정규분포 을따르므로 에서

78 Ⅲ 통계 이때, 이므로 연습시간을확률변수 라하면 따라서 이므로 배치되기위한최소점수를 라하면 이어야한다. 따라서 주어진표준정규분포표에서 이므로 따라서구하는최소점수는 점이다. 42. 음료수의용량을확률변수 라하면 는정규분 포 N 을따른다. 이때, 으로놓으면 는표준정규분포 응시자의점수를 라고하면확률변수 는정규 분포 N 을따른다. 합격하기위한최저점 수를 라고하면 으로놓으면 는표준정규분포 N 을따르므로 N 을따르므로 따라서합격하기위해서는최소한 점은받아야 한다. 41. 연수점수를확률변수 라하면, 는정규분포 N, 을따르고 이므로본사에 43. 학생들의수학성절을확률변수 라하면 는 정규분포 N 을따른다. 이때, 로놓으면 는표준정규분포 N 을따르므로 따라서수학성적이 점이상인학생수는

79 Ⅲ 통계 44. 응시자들의시험성적을확률변수 라하면 는정규분포 N 을따른다. 합격자의최저점수를 점이라고하면 으로놓으면 는표준정규분포 N 을따르므로 이때, 이므로 따라서합격자의최저점수는 점이다 이므로 ㄱ. ( 참 ) ㄴ. ( 참 ) ㄷ. 일때 이때, 이므로 이다. ( 참 ) 따라서보기에서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다 확률변수 가이항분포 B 를따르므로 따라서 는근사적으로정규분포 N 을 따른다. 이때, 로놓으면 는표준정규 분포 N 을따르므로 입장권을예매한사람중에서공연때입장하는사 람의수를확률변수 라하면 는이항분포 을따른다. 이때, 이고, 은충분히큰수이므로 는근사적으로 정규분포 을따른다. 따라서입장하는 사람이 명을초과하여공연장좌석이부족할확 률은 보험금을지급받는사람의수를확률변수 라고 하면 는이항분포 를따른다. 이때, 의평균과분산이각각 이므로 는근사적으로정규분포 을 따른다

80 Ⅲ 통계 C 이항분포 B P 와같다. 의값은확률변수 가 를따를때확률 이고, 시행횟수 이충분히크므로확률변수 는 근사적으로정규분포 N 을따른다. 50. 평균, 표준편차, 이므로,, 가이순서대로등차수열을이루므로 ᄀ, ᄂ에서,, 이므로 따라서 의표준편차는 이다 확률변수 는 정규분포 을따르므로 따라서 의최솟값은 이다 확률변수 는정규분포 N 을따르므로 확률변수 는정규분포 N 을따르므로 ᄀ 확률분포표로부터 ᄂ 임의로과자 개를택하여측정한과자들의무게 의평균을확률변수 라하면 는정규분포

81 Ⅲ 통계 N 을따른다. 이므로 이면불량품으로판정된다. 확률변수 는이항분포 B 을따르 고, 근사적으로정규분포 N 을따른다. 57. 이므로신뢰도 인모평균 의신뢰구간의양끝값은 따라서구하는신뢰구간은 이다 에서 표본의크기가 표본의평균이 이 고, 표본의크기가충분히크므로표본표준편차를 모표준편차대신이용할수있다. 즉, 이므로신뢰도 로야구공의무게 의평균을추정하면 이므로 이므로 에서 표본의평균을 라하면 이므로신뢰구간은 따라서구하는 의최솟값은 이다. 61. 영양제 정에들어있는칼슘의양의표준편차를 이라고하면 일때, 모평균 에 대한신뢰도 인신뢰구간의길이는 따라서 일때, 모평균 에대한신뢰도 인신뢰구간의길이는 () 59. 라하자. 이고, 표본의크기가 일때, 표본평균을 라하면신뢰도 로모평균을추정한신뢰구간은 이므로 이고, 표본의크기가 일때, 신뢰도 로추정한모평균의신뢰구간은 ㄱ. 모집단의분산 는일정하고, 가성립하므로 이커지면 는작아진다. ( 참 ) ㄴ. 표준정규분포를따르는확률변수 에대하여 가성립하도록 를잡으면 이므로 가성립한다

82 Ⅲ 통계 ( 참 ) 따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 는 따라서신뢰도 로추정한신뢰구간 는 이고, 신뢰도 로추정한신뢰구간 이다. ( 참 ) 이므로 ㄷ. ( 반례 ) 신뢰도 로모평균을추정할때, 표본의크기가 일때, 신뢰구간은 표본의크기가 일때, 신뢰구간은 이때, 표본의크기는 이지만 구간 는 구간 에포함되지않는다. ( 거짓 ) 따라서보기에서옳은것은ㄱ, ㄴ이다 , 표본비율 의평균 E 과표준편차 은각각 E V 명중에서하루평균 보이상을걷는 주민의비율을 이라고하면구하는확률은 이때, 표본의크기는 이고, 모비율은 이므로 을따른다. 는근사적으로표준정규분포 ㄱ. ( 참 ) ㄴ. ㄷ. 이고 이므로 ( 참 ) 따라서구하는확률은 68. 표본비율 의평균 E 과표준편차 은각각

83 Ⅲ 통계 E 이므로 의분포는근사적으로정규분포 N 을따른다. 이때, 를표준화한확률변수 는표준정 규분포를따른다. 따라서구하는확률은 크기가 인표본은표본평균 는정규분포 곧, 을따른다. 로표준화하면 가각각독립적인표본을임의추출하였으므로 두사람이뽑은표본의평균이 이상 이하일확 률은모두 이고, 두사건은서로독립이다. 70. 표본의크기가 이고, 표본비율이 이다. 또, 로추정한신뢰구간의길이는 즉, 이때, P 71. 라하면모비율을신뢰도 이므로 이므로 이충분히큰경우 은근사적으로정규분포 를따른다. 이므로, 따라서 은 이상이어야한다 명중 명꼴로만족한다고했으므로이모델의만 족도의표본비율 이다. 모비율을신뢰도 로추정할때, 표본의크기가 라하면모비율을신뢰도 로 이므로 추정한신뢰구간의길이는 즉, 이므로 에서 이때, 이므로, 따라서 의최솟값은 이다

84 Ⅲ 통계 73. 과자 의무게가정규분포 을따르므 로표본평균 는정규분포 따른다. 따라서 에서 이므로 의하여 이므로주어진표에 을 하루평균 개이상의문자를보내는고등학생의 모비율을, 표본비율을 이라하자. 표본비율이 로추정한신뢰구간은 이므로모비율 를신뢰도 이때, 모비율과표본비율의차가 이하이므로 표본비율을 이라하면표본의크기가 일때, 신뢰도 의신뢰구간의길이 은 표본의크기가 일때, 신뢰도 의신뢰구간의 길이 은 이므로 77., 구하는표본의크기를 이라하면 표본비율 이고, 의신뢰도에서 이므로, 따라서최소 개이상이어야한다. 따라서 의최솟값은 이다. 75. 표본의크기는, 자연계를선호하는학생의수는 이므로표본비율 은 이때, 표본의크기 은충분히크므로모비율 대신표본비율, 을이용하면모 비율 와표본비율 의최대오차 는