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1 4 점개념완성 확률과통계

2 수학만점을위한기나간여정, 1 등급 class 김현선생님과함께하면확실한길이보입니다. 어떻게하면학생들에게더잘이해를시킬수있을까, 이개념은어떻게적용시킬까. 매일밤고민하다새벽에잠이들고, 매일아침 7 시학생들을만나기위해일어납니다. 다수의온오프라인강의를하면서정말정신없이바쁜하루하루를보내고있습니다. 그렇지만많은학생들이매년명문대에합격하고, 수학을즐기는학생들이늘어가고, 나도몰랐던내용을나에게알려주는학생들을보면서강의하는즐거움을느낍니다. 저는모든문제를적중시킬수있는족집게강사는아닙니다. 하지만어떤문제가나오든해결할수있는능력을만들어드리겠습니다. 수학은누구에게나어려운과목입니다. 선생님도어렵습니다. 그렇지만충분히극복하고이겨낼수있습니다. 매일난더수학을잘하고싶다고희망합니다. 그리고오늘보다내일더똑똑한내가되어있다는것을발견하면서행복해합니다. 어려분도그길을같이갑시다. 힘들겠지만선생님과함께그길을나아갑시다. 먼저손내밀겠습니다. 수능을심화하면수리논술개념을잡을수있고, 수리논술을하면서수능심화도함께완성시킬수있습니다. 왜 라는것에의문을가지고여러분이충분히사고를하면서강의를따라온다면정말수학과수리논술모두어렵지않게정복할수있습니다. 수학은조금공부한다고해서성적이오르지는않습니다. 그렇기때문에이강좌는공부해야할많은것들을최대한짧은시간에효율적으로학습할수있게하고근본적인수리적사고를키우기위한커리큘럼입니다 그리고이를위해고퀄리티문제를엄선하고, 새로운문항을고민해서완성한것이 4 점개념시리즈입니다. 도움주신분남현욱선생님부산대학교수학과겸임교수이학박사 이석현선생님한양대학교수학과現대치새움학원대표강사 유주오선생님고려대학교수학과現대치새움학원강사

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7 차 례 심화개념 Section 01 경우의수 002 Section 02 확률 074 Section 03 통계 122 해설편 182

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9 4 점개념완성확률과통계 01 심화개념 Section 01. 경우의수 Section 02. 확률 Section 03. 통계 9

10 Section 01. 경우의수 01 합의법칙과곱의법칙 1 합의법칙 : 동시에일어나지않는두사건, 에대하여두사건, 가일어나는경우의수가각각, 일때 또는 가일어나는경우의수는 2 곱의법칙 : 사건 가일어나는경우의수가 이고, 그각각에대하여사건 가일어나는경우의수가 일때, 두사건, 가동시에일어나는경우의수는 경우의수 직접세기 (1) 고정 ( 제약조건이많은것부터배열 ) (2) 대칭 ( 수, 집합 ) 2

11 4 점개념완성확률과통계 1 다음은새로개설될방송국 A B C D E 사이의거리를나타낸표이다. 예를들면, 방송국 A 와 B 사이의거리는 이다. ( 단위 : ) 1) A B C D E A B C D E 위의다섯방송국에 3 개의주파수를임의로지정하는데, 거리가 이내의방송국에는서로다른 주파수를부여하지만 보다멀리떨어진방송국에는같은주파수를부여할수있다. C 방송국과 D 방송국에같은주파수를부여하는경우의수는? 집합 에대하여다음세조건을모두만족하는함수 의개수를구하시오. 2) 함수 는일대일대응 이면 3

12 Section 01. 경우의수 02 대칭성의원리 각경우가서로같은입장이어서경우의수가모두같을때, 이를대칭적이라하며, 이경우전체경우의수계산이간 단해진다. 3 부터 까지의숫자중 의개수는몇개인가? 3) 4 집합 에서원소가 개인모든부분집합을각각 이라고하자. 집합 의모든원소들의합을 라고할때, 의값을구하시오. 4) [4 점 ] 평가원 4

13 4 점개념완성확률과통계 5 집합 A 의네원소로만든순열 에대하여 의오른쪽에있는수중 보다작은것의개수를 ( 단, 이라하고이들의합 을 로나타내자. 이를테면 이다. 집합 A 에대한 개의 순열 마다정해지는 의합을구하여라. 5) [4 점 ] 수능 6 어느대회에 A A A A 명의선수가각각다른 명의선수와한번씩경기를갖는방식 ( 리그전 ) 으로시합을하였다. 선수 A k 가이긴시합의수를, 진시합의수를 라할때, < 보 기 > 에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 모든시합은무승부가없으며반드시승패가결정된다고한다.) 6) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 5

14 Section 01. 경우의수 03 수형도를이용하는문제 어떤사건이일어나는모든경우를나무에서가지가나누어지는것과같은모양의계통그림으로나타낸것을수형도라 고한다. 합의법칙이나곱의법칙을이용할수없고, 여러가지순열을이용하여구할수없는복잡한경우의수를구할때에 는수형도를이용한다. 특히, 수형도를이용하면어떤사건을빠뜨리지않고, 같은사건을중복되지않게셀수있다. 7 개의숫자 를일렬로배열한것을 라할때, 를모두만족시키는것은몇개인가? 7) 6

15 4 점개념완성확률과통계 8 오른쪽그림과같이정사각형모양으로배열된 개의원형탁자와빨강, 파랑, 노랑세가지색보자기가각각 장씩있다. 이 장의보자기로탁자를 하나씩덮을때, 어떤행과어떤열에도같은색이놓이지않도록덮는방법 의수는? 8) 탁자 A 에서 명, 탁자 B 에서 명이분임토의를하고있다. 이들 명이전체토의를하기위하여탁 자 B 의다섯자리에임의로앉을때, 탁자 B 에서 분임토의하던 명은모두처음에앉았던자리가아 닌다른자리에앉게되는경우의수를구하여라. 9) 7

16 Section 01. 경우의수 04 P 의계산 1 P 2 P 3 P, P 가포함된식에서, 의값을구할때에는 P 임을이용하여주어진식을 또는 의방정식으로나타낸다. 예 ) P 순열의수학적인성질 1 P P 2 P P r n r P s 3 P r n P r n r 4 P P P 10 의값과같은것은? 10)

17 4 점개념완성확률과통계 05 이웃하는 ( 이웃하지않는 ) 조건이있는순열 1 이웃하는조건이있을때이웃하는것을묶어배열한후, 묶음안에서이웃하는것끼리바꾸어배열한다. 2 이웃하지않는조건이있을때이웃할수있는것을먼저배열한후, 그양끝과사이사이에이웃하지않을나머지를배열한다. 서로다른 개중특정한 개가이웃하지않도록배열하는방법은 (i) 이웃하면안되는 개를제외한 개를먼저배열한다. (ii) (i) 의각각에대하여그양끝과사이사이의자리 개에이웃하지않을 개를배열한다. P 이상에서구하는방법의수는 P 이다. 11 같은종류의 개의가로등이일렬로늘어서있는거리에서에너지절약을위해 개의가로등을켜지않기로하였다. 이때, 꺼진가로등과이웃한가로등의불은반드시켜야한다면가로등의불을켜는 방법의수는? 11)

18 Section 01. 경우의수 06 중복순열 서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는중복순열의수는특히, 이공식을이용할때, 를바꾸어계산하 지않도록주의한다. 선택받는쪽의수 선택되는횟수 r n r 중복순열을이용하는경우는다음과같다. 1 서로다른물건을서로다른사람에게나누어주는경우 2, 를표기하는경우 ( 모스부호, 깃발 ) 3 기명투표하는경우 4 우체통 5 반편성 ( 호텔투숙 ) 6 함수의개수 부분집합의개수 10

19 4 점개념완성확률과통계 12 자연수 에대하여집합 의두부분집합 가 를만족한다. 순서쌍 의개수를 이라할때, lim 의값은? 12) 집합 의원소가 개 ( 단, 일때, 를만족하는순서쌍 는모두몇개인가? 13) 14 집합 의두부분집합 가다음두조건을만족할때, 순서쌍 의개수는? 14) ( 가 ) 집합 는모두공집합이아니다 ( 나 )

20 Section 01. 경우의수 15 집합 의두부분집합 가다음두조건을만족할때, 순서쌍 의개수는? 15) ( 가 ) ( 나 ) 의원소의개수는 개이다 다음두조건을만족시키는집합 의순서쌍 의개수를구하시오. ( 단, 는집합 의원소의개수이다.) 16) ( 가 ) ( 나 ) 12

21 4 점개념완성확률과통계 07 원순열 서로다른 개를원형으로배열하는순열을원순열이라하고, 그원순열의수는 서로다른 개를원형으로배열하는원순열의수를구할때에는처음한개의자리를고정시키고, 나머지 개 의자리를정하는방법의수를구하면된다. 17 아래그림과같이좌석이 10 개인직사각형모양의식탁 와정오각형모양의식탁 가있다. 10 명이 에앉는방법의수를, 에앉는방법의수를 라할때, 의값은? 17)

22 Section 01. 경우의수 18 A B C D E 의다섯사람이오른쪽과같이일정한간격으로 개의자리가고정되어있는책상에서토론을하려고한다. A B 두사람이이웃하여앉는방법 의수는? ( 단, 빈자리를사이에두고앉는경우는이웃하지않은것으로한다.) 18) 남학생 명과여학생 명이원탁모양의식탁에둘러앉아식사를할때, 서로다르게앉을수있는경우의수를, 남학생은남학생끼리, 여학생은여학생끼리이웃하여앉는방법의수를 라할때, 의값을구하여라. 19) 14

23 4 점개념완성확률과통계 20 오른쪽그림은직사각형모양의유리창을균등하게나누어똑같은직각삼각형모양의 면으로나누어색유리를넣으려고한다. 이유리창의 면을다음과 같은조건으로색유리를넣을때, 서로다른경우의수는? 20) ( 단, 회전하여일 치하는것은같은것으로본다.) 21) ( 가 ) 사용하는색유리는모두 가지색이다. ( 나 ) 색칠한부분은같은색의유리를넣는다 그림과같이서로접하고크기가같은원 개와이세원의중심을꼭짓점으로하는정삼각형이있다. 원의내부또는정삼각형의내부에만들어지는 개의영역에서로다른 가지색을모두사용하여 칠하려고한다. 한영역에한가지색만을칠할때, 색칠한결과로나올수있는경우의수는? ( 단, 회 전하여일치하는것은같은것으로본다.) 22) [4 점 ] 평가원

24 Section 01. 경우의수 입체도형에서의원순열 22 그림과같이합동인정삼각형 개와합동인등변사다리꼴 개로이루어진팔면체가있다. 팔면체의각면에는한가지의색을칠한다고할때, 서로다른 개의색을모두사용하여팔면체의각면을칠하 는경우의수는? ( 단, 팔면체를회전시켰을때색의배열이일치하면같은경우로생각한다.) 23) [4 점 ] 교육청

25 4 점개념완성확률과통계 23 그림과같은정팔면체에 부터 까지의자연수를적으려고한다. 부터 까지의자연수를한면에하나씩적는방법의수를 라하고, 한모서리를공유하며 인접하고있는두면에 과 가있도록한면에하나씩적는방법의수를 라 할때, 의값은? ( 단, 회전하여일치하는것은같은것으로본다.) 24) 다음그림과같이직육면체의가로의길이, 세로의길이, 높이를나타내는순서쌍이각각,, 인세직육면체 A, B, C 가있다. 각직육면체의겉면을서로다른 가지의 색을모두사용하여한면에한가지색으로칠하는방법의수를각각 A, B, C 라할때, A B C 의값을구하시오. ( 단, 회전하여일치하는것은같은것으로본다.) 25) 17

26 Section 01. 경우의수 08 같은것을포함하는순열 개중에서서로같은것이각각,,,, 개씩있을때, 이들을모두일렬로배열하는순열의수는 ( 단, ) 일렬로배열하는것중에서특별히순서가정해진것이포함된경우에도같은것을포함하는순열을이용한다. 즉, 서로다른 개중에서특정한 개를미리정해진순서대로배열하는방법의수는 이다. 25 그림과같은 개의빈칸에,,,,, 의 개의수를하나씩써넣으려고한다. 열, 열, 열의숫자들의합을각각,, 라할때, 이되도록빈칸을채우는경우의 수는? 26) [4 점 ] 교육청

27 4 점개념완성확률과통계 26 다음그림과같은도로에서다음조건을만족하면서 에서 까지가는방법의수를구하시오. ( 단, 각각의삼각형은변의길이가 1 인정삼각형이다.) 27) 움직인총거리는 이다. 한번갔던길은다시가지않는다. 갈림길에서는위쪽또는오른쪽으로만갈수있다. 27 은 개이하, 은 개를사용하여이진법의수로나타낼수있는자연수들을원소로하는집합을 라할때, 집합, 는정수,, 의원소의개수는? 28)

28 Section 01. 경우의수 09 길찾기문제의수 바둑판모양의도로에서최단거리로이동하는경우의수를구할때에는같은것을포함하는순열을이용한다. 즉, 가 로, 세로구간의수가각각, 개인바둑판모양의도로에서오른쪽으로한칸이동하는것을, 위쪽으로한칸이 동하는것을 라하면최단경로의수는 를 개, 를 개일렬로배열하는경우의수 과같다. 28 그림과같은바둑판모양의도로망이있다. 갑은 A 에서 C 까지굵은선을따라걷고, 을은 C 에서 A 까지굵은선을따라걸으며, 병은 B 에서 D 까지도로를따라최단거리로걷는다. 갑, 을, 병세사람이모두만 나도록병이 B 에서 D 까지가는경우의수를구하여라. ( 단, 갑, 을, 병 은동시에출발하고같은속력으로걷는다고가정한다.) 29) 20

29 4 점개념완성확률과통계 29 오른쪽그림과같은길이있다. 에서출발하여 에도달하는방법의수를다음각경우에대하여구하여라. 30) (1) 오른쪽과위로만간다. (2) 오른쪽, 위및오른쪽위로만간다. 30 오른쪽그림과같이바둑판모양의도로망이있다. 교차로 와교차로 를지날때에는직진또는우회전은할수있으나좌회전은할 수없다고한다. 이때, 지점에서 지점까지최단거리로가는방 법의수를구하여라. 31) 21

30 Section 01. 경우의수 31 직사각형모양의잔디밭에산책로가만들어져있다. 이산책로는그림과같이반지름의길이가같은원 개가서로외접하고있는형태이다. 32) A 지점에서출발하여산책로를따라최단거리로 B 지점에도착하는경우의수를구하시오. ( 단, 원위에표시된점은원과직사각형또는원과원의접점을나타낸다.) [4점] 수능 32 그림과같은도로망이있다. A 지점에서출발하여강변도로의일부분또는전체를지나 B 지점까지도달하는최단경로의수는? ( 단, 모든도로는평행하거나수직으로만나고, 한번지난도로는다시지나 지않는다.) 33)

31 4 점개념완성확률과통계 33 다음그림과같은도로망에서 A 지점에서 B 지점까지가는모든경로의수를구하여라. ( 단, 지나간길은다시지날수없고, 세가지방향으로갈수있다.) 34) 34 그림과같이정사각형으로이루어진도로망에서 지점에서출발하여 위의점을적어도한번지나 지점까지가는경로의수는? ( 단, 지나간 길은다시지날수없고, 세가지방향으로갈수있다.) 35)

32 Section 01. 경우의수 35 그림과같이이웃한두교차로사이의거리가모두같은도로망이있다. 철수가집에서도로를따라최단거리로 약속장소인도서관으로가다가어떤교차로에서약속장소 가서점으로바뀌었다는연락을받고곧바로도로를따라 최단거리로서점으로갔다. 집에서서점까지지나온길 이같은경우하나의경로로간주한다. 예를들어, [ 그림 1] 과 [ 그림 2] 는연락받은위치는다르나, 같은경로이다. 36) 집 도서관 서점 도서관 도서관 집 서점 집 서점 [ 그림1] [ 그림2] 철수가집에서서점까지갈수있는모든경로의수를구하시오. ( 단, 철수가도서관에도착한후에서점으로가는경우도포함한다.) [4점] 교육청 24

33 4 점개념완성확률과통계 36 그림과같이이웃한두교차로사이의거리가모두 인바둑판모양의도로망이있다. 로봇이한번움직일때마다길을따라거리 만큼씩이 동한다. 로봇은길을따라어느방향으로도움직일수있지만, 한번통 과한지점을다시지나지는않는다. 이로봇이지점 O 에서출발하여 번움직일때, 가능한모든경로의수는? ( 단, 출발점과도착점은일치하 지않는다.) 37) [4 점 ] 평가원 갑팀과을팀은반복하여게임을한다. 어느한팀의승리의횟수가패배의횟수보다 만큼크면우승을차지하고, 더이상게임을하지않는다. 예를들어갑팀이 승 패인상태에서갑팀이게임을이 기면갑팀이우승을차지하고끝난다. 승 패에서게임을시작하여갑팀이 승 패로우승을차지 하게되는경우의수를구하시오. ( 단, 한게임에서비기는경우는없다.) 38) 25

34 Section 01. 경우의수 38 다음그림과같이색이서로다른세개의주머니에숫자 이적힌세개의구슬이각각들어있다. 39) 이세주머니에서각각한개의구슬을꺼낼때, 다음 < 보기 > 중옳은것을모두고른것은? 보기 ㄱ. 세개의주머니에서꺼낸구슬에적힌숫자가모두같은경우의수는 이다. ㄴ. 세개의주머니에서꺼낸구슬에적힌숫자가모두다른경우의수는 이다. ㄷ. 세개의주머니에서꺼낸구슬에적힌숫자 개가같은경우의수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 39 가, 나, 다, 라, 마의다섯글자를오른쪽과같이사전식으로배열할때, 가라마나다 의배열은몇번째인가? 40) 가 나 다 라 마 가 나 다 마 라 가 나 라 다 마 가 나 라 마 다 가 나 마 다 라 26

35 4 점개념완성확률과통계 임의의서로다른 개의자연수에대하여 < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 40 41) [4점] 교육청 보기 ㄱ. 차가 의배수가되는두수는반드시존재한다. ㄴ. 제곱의합이 의배수가되는두수는반드시존재한다. ㄷ. 제곱의차가 의배수가되는두수는반드시존재한다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 41 두집합 에대하여함수 중다음두조건을만족하는함수 의개수를구하여라. 42) ( 가 ) 의임의의원소 에대하여 이면 이다. ( 나 ) 치역의최댓값이, 최솟값이 이다. 27

36 Section 01. 경우의수 42 여섯개의문자 A, B, C, D, E, F 를모두사용하여만든 자리문자열중에서다음조건을모두만족시키는문자열의개수는? 43) ( 가 ) A 의바로다음자리에 B 가올수없다. ( 나 ) B 의바로다음자리에 C 가올수없다. ( 다 ) C 의바로다음자리에 A 가올수없다. ( 예를들어 CDFBAE 는조건을만족시키지만 CDFABE 는조건을만족시키지않는다.) [4 점 ] 수능 두집합 A, B 에대하여 A 에서 B 로의함수가다음두조건을만족할때, 함수 의개수는? 44) ( 가 ) 집합 A 의임의의원소 에대하여 ( 나 ) 집합 A 의원소의개수는항상 개이상이다

37 4 점개념완성확률과통계 44 다음그림과같이 번부터 번까지번호가적힌 개의칸이있는사물함이있다. 45) 크기가같은 개의공을 개, 개, 개로나누어사물함의서로다른 개의칸에넣으려한다. 이때, 홀수번호가적힌칸에는홀수개, 짝수번호가적힌칸에는짝수개를넣고, 공이들어갈칸중에서 오른쪽으로갈수록공의개수가많아지도록공을넣는경우의수를구하여라. 45 아시아 개국과아프리카 개국이있다. 개국을 개국씩짝지어 개의그룹으로나누려고한다. 적어도한개의그룹이아시아국가만으로이루어지도록 개의그룹으로나누는경우의수를 구하시오. 46) [4 점 ] 평가원 29

38 Section 01. 경우의수 10 조합 P (1) C (2) C C, C C (3) C C C 서로다른 개에서 개를택한후, 개를배열하면순열이된다. 즉, C P 또, 서로다른 개에서필요한 개를택하는방법의수와필요하지않은 개를택하는방법의수는서로같다. 즉, C C 30

39 4 점개념완성확률과통계 46 다음은 일때, C C 임을증명하는과정이다. 47) 보기 C 가 나 다 C C C 위의증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을차례대로나열한것은? 남자 명, 여자 명으로구성된단체에서 명의대표를뽑아해외연수를보내려고한다. 남녀각각 명이상포함하여대표를뽑는방법의수를구하시오. 48) 31

40 Section 01. 경우의수 48 다음그림과같이 개의섬이있다. 개의다리를건설하여 개의섬모두를연결하는방법의수를구하시오. 49) [4 점 ] 수능 49 개의섬을 개의다리를건설하여 개의섬모두를연결하는방법의수는? 50) 32

41 4 점개념완성확률과통계 50 그림과같이 개의섬 A BCDE 가있다. 이미 AB 가다리로연결되어있을때, 섬과섬을연결하는 개의다리를더건설하여 개의섬을모 두다리로연결하는방법의수는? 51) [4 점 ] 14- 경찰대 케일리정리 <Cayley s theorem> 일반적으로라벨수형도 (labelled tree) 라고불리는경우의수에대한공식으로 개의점을 개의선으로연결하 는경우의수를구하는공식이다. 33

42 Section 01. 경우의수 11 중복조합 (1) H C H r 을쓸수있는경우는 1 개 ) 에서 개를택하는경우의수 2 개 ) 로이루어지는 차항의가지수 3 개 ) 을전개할때항의가지수 4 개 ) 의음이아닌정수해의가지수 51 어느동아리회원 10 명이위원장후보 3 명에서무기명으로투표를할때무효나기권은없다는가정하에세후보가얻을수있는서로다른투표의수의결과는보기중어떤것을일렬로배열하는경우 의수와같은가? 52) [3 점 ] 대성 34

43 4 점개념완성확률과통계 52 한개의주사위를 번던져서 번째나오는눈의수를 이라할때 을만족하는경우의수를구하여라. 53) 53 명의후보가출마한선거에서 명의유권자가한명의후보에게각각투표할때, 무기명으로투표하는방법의수를 기명으로투표하는방법의수를 라하자. 이때 의값을구하여라. ( 단, 기권 은없는것으로한다.) 54) 35

44 Section 01. 경우의수 54 방정식 에서 를만족시키는정수해 의개수를구하여라. 55) 55 방정식 을만족시키는 에대하여다음을구하여라. 56) (1) 음이아닌정수인해 의개수 (2) 자연수인해 의개수 (3) 음이아닌정수인해 의개수 36

45 4 점개념완성확률과통계 56 의각자리의숫자의합은 이된다. 이때, 각자리를상자로생각하면 은네개의상자에그림과같이 개의공을넣는것으로생각할수있다. 57) 이를이용하여 부터 까지의정수중에서각자리의숫자의합이 이되는정수의개수를구하면? [4점] 교육청 평면위에평행한두직선 과직선 위의서로다른세점 P Q R 가있다. 직선 위의세점 P Q R 에서각각하나의선분으로직선 위의점을연결할때, 세선분이교차하지않는경우 의수를구하려고한다. 예를들어, 그림과같이직선 위에두점이있을때, 구하는모든경우의 수는 가지이다. 58) 직선 위에 개의점이있을때, 위와같이세선분이교차하지않는모든경우의수를구하시오. [4 점 ] 교육청 37

46 Section 01. 경우의수 58 자연수 에대하여방정식 의해중에서 와 는짝수, 와 는홀수인해의개수는? 59) 서로다른 개에서중복을허락하여 개를택하는방법의수를 라할때, 다음 < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? 60) 보기 ㄱ. ㄴ. 을만족하는자연수 이존재한다. ㄷ. ( 단 는서로다른 개중에서 개를뽑아일렬로나열하는방법의수이다.) 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 38

47 4 점개념완성확률과통계 60 주희는유럽 개국 ( 영국, 이탈리아, 프랑스 ) 으로 박 일의여행을가려고한다. 갈때와올때기내에서 박씩하고나머지 박중영국, 이탈리아에서각각적어도 박을, 프랑스에서적어도 박을하 려고한다. 또한, 같은나라는연속해서머물러야한다. 예를들어, 영국, 이탈리아, 프랑스를각각 라하면 박의여행코스중의하나는다음과같다. 61) 주희가만들수있는여행코스의개수를구하시오. 61 크기가같은정육면체모양의블록 개를모두사용하여쌓은입체도형을만들려고한다. 이도형을위에서내려다본모양이 < 그림 >, 정면을기준으로오른쪽옆에서본모양이 < 그림 > 와같이되도 록만들수있는방법의수를구하시오. ( 단, 블록은서로구별하지않는다.) 62) [4 점 ] 교육청 < 그림 > < 그림 > 39

48 Section 01. 경우의수 12 자연수의분할집합의분할 자연수의분할 (1) 자연수 을 개의자연수 의합으로 와같이나타내는것을이자연수의분할이라고한다. 이때, 분할하는방법의수를기호로 와같이나타낸다. (2),,, (3) 자연수 n 을분할하는모든방법의수는 (4) 집합의분할 (1) 원소의개수가 인집합을 개의부분집합으로분할하는방법의수를기호로 와같이나타 낸다. (2),,, (3) 원소의개수가 인집합을 개이하의부분집합으로분할하는방법의수는 (4) 분할 - 서로다른 개를 개, 개, 개 ( ) 로나누는분할의수는다음과같다. 1, 가모두다를때 C C C 2,, 중같은것이 개있을때 C C C 분배 - 서로다른물건 개를 개, 개, 개 ( ) 로나누어 명에게나누어주는방법의수는다음과같다. 1,, 가모두다를때 C C C 2,, 중어느두개가같을때 C C C 3,, 가모두같을때 C C C 40

49 4 점개념완성확률과통계 1 서로같은 개의물건을서로같은 개의상자에빈상자가없도록나누어담는방법의수는자연수의분할의수 2 서로다른 개의물건을서로같은 개의상자에빈상자가없도록나누어담는방법의수는집합의분할의수 3 서로같은 개의물건을서로다른 개의상자에나누어담는방법의수는중복조합의수 H k ( 단, 빈상자가있 어도됨.) 4 서로다른 개의물건을서로다른 개의상자에나누어담는방법의수는중복순열의수 ( 단, 빈상자가있 어도됨.) 5 서로다른 개의물건을서로다른 개의상자에빈상자가없이나누어담는방법의수는 같은상자 -> 분할 -> 빈상자없어야한다 다른상자 -> 경우의수 -> 빈상자있어도된다. 41

50 Section 01. 경우의수 62 일때, 방정식 을만족시키는자연수 의순서쌍 의개수는? 63) 똑같은공 개를똑같은상자 개에나누어담는방법의수는? ( 단, 빈상자가있어도된다.) 64)

51 4 점개념완성확률과통계 64 명을세개의조로나누는방법의수는? 65) 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 65 명의여행객이 A B C 호텔에투숙하는데, A 에 명, B 에 명, C 에 명씩배치되는방법의수는? 66) 1 가지 2 가지 3 가지 4 가지 5 가지 43

52 Section 01. 경우의수 66 종류의과일을모양이서로다른접시에 개, 개, 개씩배치하는방법의수는? 67) 서로다른 개의빵과똑같은 개의음료수가있다. 똑같은 개의접시에빵과음료수를나누어담을때, 각접시에적어도한개의빵과적어도한개의음료수가놓이도록나누어담는방법의수를구하 시오. 68) 44

53 4 점개념완성확률과통계 68 똑같은 개의쇼핑백에똑같은 벌의운동복을나누어넣으려다가각운동복에 명의이름을적어넣었다. 운동복에이름을적은후쇼핑백에넣는방법의수를, 이름을적지않고쇼핑백에넣는방법 의수를 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 빈쇼핑백은없다.) 69) 69 다음은 일때, P P P P P 가성립함을보이는과정이다. 70) 일때, P 는똑같은구슬 개를똑같은상자 개에빈상자없이나누 어담는방법의수와같다. 빈상자가없도록담으려면먼저 개의상자에구슬을 개씩담 은후, 남은 가 개의구슬을 개, 개, 개,, 나 개의상자에나누어담으면 된다. 따라서주어진등식이성립한다. 위의과정에서 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각, 라할때, 의값을구하여라. 45

54 Section 01. 경우의수 함수의개수 1) 함수의개수 2) 일대일함수의개수 3) 일대일대응의개수 4) 일때, 5) 일때, 6) 치역과공역이일치하는함수의개수 46

55 4 점개념완성확률과통계 70 이라고한다. 함수 중에서치역과공역이일치하는것은몇개인가? 71) 71 집합 는 이하의자연수 에대하여집합 에서 로의일대일대응 중에서 개를선택할때, 다음을만족시키는함수일확률을구하여라. 72) 에대하여 인 의개수는 이다. 72 집합 A 에서 A 로가는함수 중에서모든 에대하여 를만족하는것의개수를구하여라. 73) 47

56 Section 01. 경우의수 73 에서 로의함수중에서 일때, 를만족시키는함수 의개수를구하시오. 74) [4 점 ] 평가원 74 두집합 에대하여함수 중에서 를만족시키는함수 의개수는? 75)

57 4 점개념완성확률과통계 75 집합 에대하여함수 중에서 를만족시키는함수 의개수를구하여라. 76) 76 두집합, 에대하여 에서 로의함수를 라할때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, ) 77) 보기 ㄱ. 이면 를만족시키는함수 의개수는 이다. ㄴ. 이고, 이면 를만족시키는함수 의개수는 이다. ㄷ. 를만족시키는함수 의개수는 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 49

58 Section 01. 경우의수 13 도형과관련된문제 (1) 한직선위에있지않은서로다른 개의점을이어만들수있는 1 직선의개수 : C 2 삼각형의개수 : C 3 사각형의개수 : C (2) 개의평행선과 개의평행선이서로만날때만들어진평행사변형의개수는 C C (3) 대각선의수 : C (4) 대각선의교점수 : C 한직선위에있는점들을이으면직선은중복해서만들어지고, 삼각형과사각형은만들어지지않음을고려해야한다. 77 오른쪽그림과같이가로줄네개와세로줄다섯개가같은간격으로그어져있다. 개의교점에서세점을선택하여그것들을꼭짓점으로하는삼각형을만들때, 그 개수를구하여라. 78) 50

59 4 점개념완성확률과통계 78 좌표평면위에 개의점 ( ) 이있다. 이 개의점중네점을꼭짓점으로하는사각형중에서내부에세점,, 을꼭짓점으로하는삼각형을포함하는 사각형의개수는? 79) [4 점 ] 평가원 평행한두직선 이있다. 직선 위에는 개의점이있고, 직선 위에는 개의점이있다. 직선 위의점 와직선 위의점 을연결한모든 선분의교점의최대개수가 개일때, 의값은? 80)

60 Section 01. 경우의수 14 대진표와관련된문제 (1) 토너먼트방식 부전승이있는경우에는먼저부전승으로올라가는팀을정하고나머지팀은분할, 분배를이용하여조편성하는경 우의수를구한다. (2) 풀리그방식 개팀이출전하여모든팀들이다른팀과한번씩경기를하는방식으로총경기수는 C 이다. 80 명의격투기선수끼리다음대진표와같이우승자를뽑는경기를할때, 가능한모든대진방법의수는? 81) 세지역에서각각 명씩의선수를내어다음대진표와같이우승자를뽑는경기를한다. 같은지역의선수는결승전외에는시합하지않도록하는방법의수는? 82)

61 4 점개념완성확률과통계 82 어느대회는예선결과상위 개팀이본선경기를한다. 이때, 경기방식은 위팀이 위팀과시합을하여진팀이 등이되고이긴팀은 위팀과시합을한다. 여기서진팀이 등이되고이긴팀 이 위팀과시합을한다. 이러한방식으로시합을하여마지막으로이긴팀이 등이되기로하였다. 이때, 등부터 등까지의순위에대한경우의수를구하시오. 83) 83 어느전국야구대회에서는승자끼리경기하는토너먼트방식으로대회를진행하기로하였다. 회전에서는부전승으로 회전에진출하는팀이있고, 회전부터는부전승없이모든팀이경기를치르는방식 으로우승학교를결정하려고한다. 이대회의총경기횟수가 회일때, 참가한모든팀의수를구하 시오. ( 단, 모든경기는당회경기에서승패를결정한다.) 84) 53

62 Section 01. 경우의수 15 이항정리와일반항 C C C C C C 1 의전개식에서특정한항의계수를구할때에는 C 을이용하고, 상수항은 일때이므로 C 이다. 2 이항계수 C, C, C,, C 은좌우대칭이다. 84 을간단히하면? 85)

63 4 점개념완성확률과통계 85 의전개식에서 의계수와 의계수를구하라. 86) 86 을 으로나눈나머지를구하여라. 87) 55

64 Section 01. 경우의수 16 이항계수 (1) C C C C C (2) C C C C C (3) C C C C (4) C C C C (5) (6) (7) 이홀수 (8) 56

65 4 점개념완성확률과통계 87 다음값을구하여라. 88) 88 엄지이외의손가락을엄지에붙인여러가지경우를신호로쓰려고한다. 신호를만들수있는방법의수는? ( 단, 신호는한손으로하고, 엄지에다른손가락이하나도붙지않은것은신호가아니다.) 89)

66 Section 01. 경우의수 89 다음식에서 의값을구하시오. ( 단, 는홀수 ) 90) 다음중 90 과같은것은? 91)

67 4 점개념완성확률과통계 91 에서 의값은? 92) 이하의자연수 중에서 92 의값이 의배수가되도록하는 의개수를구하시오. 93) [4점] 평가원 59

68 Section 01. 경우의수 다음은 가자연수일때 인모든자연수 에대하여등식 93 수학적귀납법으로증명하는과정이다. 94) 증명 C C 이성립함을 (1) 일때 ( 좌변 ) C ( 가 ), ( 우변 ) C ( 가 ) 이므로주어진등식이성립한다. (2) ( ) 일때주어진등식이성립한다고가정하면 C C 이다. 일때성립함을보이자. C C ( 나 ) ( 다 ) C 따라서 일때주어진등식이성립한다. (1), (2) 에의하여 인모든자연수 에대하여주어진등식이성립한다. 위증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은? [3 점 ] 10 년 - 사관학교 ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 60

69 4 점개념완성확률과통계 94 앞면이나올확률이 인동전을 번던졌을때, 앞면이짝수번나올확률을구하여라. 95) 95 똑같은종류의상품 개와이와는다른서로다른종류의상품 개가있다. 이 개의상품중에서 개를뽑는경우의수를구하여라. 96) 96 의전개식을이용하여다음값을구하여라. ( 단, 이다.) 97) 61

70 Section 01. 경우의수 97 을전개하여 의오름차순으로정리하였다. 98) : 이면 번째항 번째항 ) 이되는 의값은얼마인가? 98 어떤자연수 에대하여오늘부터 일후는월요일이라고할때, 오늘부터 일후는무슨요일인가? 99) 1 화요일 2 수요일 3 목요일 4 금요일 5 토요일 62

71 4 점개념완성확률과통계 17 파스칼의삼각형 의전개식에서,,, 일때의각항의계수는다음과같이삼각형모양으로나타낼수있다. 이와같은이항계수의배열을파스칼의삼각형이라고한다. 파스칼의삼각형에서의이항계수의배열이좌우대칭이므로 C C 이성립한다. 또, 각단계에서이웃하는두수의합은그두수의아래의중앙에있는수와같으므로 C C C 63

72 Section 01. 경우의수 다음그림의파스칼의삼각형에서 99 의값은? 100) 다음과같이제 행의맨양쪽에는 을쓰고, 그안쪽에는바로위의행의두수의합을써서삼각형 모양으로수를나열하였다. 101) 이때, 제 행에있는모든수의합은?

73 4 점개념완성확률과통계 101 그림과같이제 행에는 개, 제 행에는 개,, 제 행에는 개의직사각형을나열하고그안 에다음과같은규칙으로수를적었다. 102) ( 가 ) 제 행의직사각형에는 을적는다. ( 나 ) 제 행의왼쪽끝직사각형에는제 행의왼쪽끝직사각형에적힌수보다 이큰수를적는다. ( 다 ) 제 행의오른쪽끝직사각형에는제 행의오른쪽끝직사각형에적힌수보다 이작은수를적는다. ( 라 ) 제 행의안쪽직사각형에는그직사각형에인접한제 행의두직사각형에적힌수의합을적는다. 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행 제 행의맨왼쪽으로부터 번째직사각형에적힌수를 로나타내자. 예를들어 이다. 이때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. [4 점 ] 교육청 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 65

74 Section 01. 경우의수 102 자연수 에대하여원소가 개인집합 에서 2 개의원소를뽑는경우의수 를다음과같은방법으로구하였다. 103) 를원소가 개이고 인두집합 와 로나누고, 다음과같은경우를생각한다. (i) 와 중한집합에서만두개의원소를뽑는경우 (ii) 와 각집합에서원소를한개씩뽑는경우 (i) 의경우의수는 이고 (ii) 의경우의수는 이다. (i) 과 (ii) 둘중에서한가 지경우만일어날수있으므로합의법칙에의하여 이다. 위에서 ( 가 ) 와 ( 나 ) 에알맞은것을순서대로적은것은? C C C C, C C C C 에대하여 일때, 의값을구하여라. 104) 66

75 4 점개념완성확률과통계 104 다음은 를간단히하는과정이다. 105) 가 가 가 나 다 위의과정에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을순서대로적은것은? 남자 명, 여자 명중에서 명의위원을선출할때, 다음각경우의수를크기순으로바르게나타낸 것은? 106) : 남자 명, 여자 명을뽑는경우의수 : 여자를적어도 명뽑는경우의수 : 남자 명, 여자 명을반드시포함시키는경우의수 : 특정한 명중적어도 명을뽑는경우의수

76 Section 01. 경우의수 106 어떤학교의농구동아리 A 와 B 는올해신입생이각각 명과 명이다. 명의신입생연합팀을구 성하여다른학교와시합을하려고할때, 동아리 A 의신입생 명과동아리 B 의신입생 명으로구 성하는방법의수가 가지이다. 자연수 의값을구하여라. 107) 107 지난대회우승팀 A 가먼저배정을받은오른쪽그림과같은토너먼트방식의 대진표에서제비뽑기를하여 개의팀을결정하기로할때, 가능한모든경우의 수는? 108)

77 4 점개념완성확률과통계 108 부터 까지의자연수중에서서로다른 개의수를선택할때, 개의수중에서두번째로큰수 가 인경우의수를 라하자. 예를들어, 은선택된 개의수중에서 보다큰수가한개이고 보다작은수가 개인경우의수이므로 이다. < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 109) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 109 다음 < 보기 > 의등식중에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 은자연수 )110) 보기 ㄱ. C C C C ㄴ. C C C C C C C C ㄷ. C C C C 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 69

78 Section 01. 경우의수 110 오른쪽그림과같이일렬로늘어선 개의물건사이에 개의칸을막아 개의구획으로분할하는방법의수는? ( 단, 맨앞과맨끝에는칸막이를놓을수없고, 칸막이와칸막이사이에는적어도한개의물건이있어야한다.) 111) 두집합 에대하여다음두조건을만족하는 함수 : 의총개수는? 112) ( 가 ) 일때, 이면 이다. ( 나 )

79 4 점개념완성확률과통계 112 어떤테니스단식시합에서 명이출전하였다. 차전은추점에의하여 명씩 개조로나누어시합을하고승리자 명이 차전에진출한다. 차전을풀리그방식, 즉한선수가나머지 명과한번씩모두시합하는방식으로우승자를가리려고한다. 차전에서시합을치르기위하여대진표를작성하는방법의수를, 차전에서치르는시합의수를 라할때, 의값을구하여라. 113) 113 집합 의두부분집합 에대하여 이고, 함수 : 가역함수를가질때, 함수 의개수를구하여라. 114) 71

80 Section 01. 경우의수 114 좌표평면위에오른쪽그림과같이좌표값이정수인 개의점이있다. 이 개의점이있다. 이 개의점에서 개의점을뽑아만들수있는삼각형 중에서점 를삼각형의한꼭지점으로하는삼각형의개수는? 115) 오른쪽그림과같이원위에일정한간격으로점 개가있다. 점의개수를, 서로다른두점을택하여만들수있는직선의개수를, 서로다른세점을택하여만들수있는삼각형의개수를, 서로다른네점을택하여만들수있는사각형의개수를, 서로다른 개의점을택하여만들수있는 각형의개수를 이라할때, 이다. 이때, 자연수 의값을구하여라. 116) 72

81 4 점개념완성확률과통계 116 퓨전식당 A 의메뉴에는 가지종류의한식, 가지종류의중식, 가지종류의일식이있다. 중식의 특정한음식 가지를포함하면서한식과일식이각각적어도한종류는포함되도록모두 6 가지종류의 음식을주문하는방법의수는? 117) 어떤학교의수학서술형평가에는 점만점의문제가 문제출제되는데각문제의채점방법은 점, 점, 점의 단계로평가된다. 예를들면, 번문항은 점, 번문항은 점, 번문항은 점, 번문항은 점, 번문항은 점으로평가받을수있으며총점은 점이다. 이런평가방법으로 점이상을받는서로다른경우는몇가지인지구하여라. 118) 73

82 Section 02. 확률 Section 02. 확률 01 수학적확률 어떤시행의표본공간 에서사건 가일어날수학적확률은 사건 가일어나는경우의수 P 일어날수있는모든경우의수 1 수학적확률은각근원사건이일어날가능성이같은정도로기대될때구할수있고, 특별한조건이없는한각사건 들이일어날가능성은모두같다고본다. 2 P 는 의원소의개수를전체집합의원소의개수로나눈값이다. 확률은경우의수의확장이다. 확률문제해결전략은집합에서출발한다. 1 흰색카드 장, 노란색카드 장, 파란색카드 장에각각 가적혀있다. 이중 장을뽑을때, 다음이일어날확률을구하여라. 1) (1) 모두같은색이다. (2) 숫자가모두다르다. (3) 색도숫자도모두다르다. 74

83 4 점개념완성확률과통계 2 주머니에 의숫자가하나씩적혀있는 개의공이들어있다. 이주머니에서임의로 개의공을동시에꺼내어임의로일렬로나열하고, 나 열된순서대로공에적혀있는수를 라할때, 일확 률은? 2) [4 점 ] 평가원 4 5 크기와모양이같은주사위 개를던져나온눈을원소로하는집합을근원사건으로하는표본공간, 크기와모양이서로다른주사위 개를던져나온눈의순서쌍을근원사건으로하는표본공간 는다음과같다. 표본공간 의원소의개수는중복을허락하여 개의눈에서 개를선택하는경우의수이므로 H 표본공간 의원소의개수는중복을허락하여 개의눈에서 개를나열하는경우의수이므로 크기와모양이같은주사위 개를던져나온눈의합이 가될확률을위의두표본공간 중하나를선택하여 구하려고한다. 이때 를선택한다. 표본공간 은각각의근원사건이일어날가능성이같지않으므로, 눈의합이 가될확률은같은주사위를 번던질때와다른주사위 개를동시에던질때가서로같은표본공간 를선택하여 야한다. 이때, 눈의합이 가되는사건을 라고하면 이므로구하는확률은 75

84 Section 02. 확률 3 집합 가있다. 의부분집합중에서임의로서로다른두집합을택하였을때, 한집합이다른집합의부분집합이될확률은? 3) [4 점 ] 교육청 다음그림과같이자연수가 부터차례로제 행에 개씩나열되어있다. 4) 제행 제행 제행 제행 제 행에있는수중에하나를택할때, 택한수가 의배수또는 의배수가될확률은 이다. 이 때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) 76

85 4 점개념완성확률과통계 5 각면에임의로자연수를하나씩적은정육면체모양의주사위를만들었다. 이주사위를던지는시행에서소수의눈이나오는사건을 라하면 와배반인사건의수는 개이다. 이주사위를두번던 질때, 소수의눈이한번만나올확률은 여라. 5) ( 는서로소인자연수 ) 이다. 이때, 의값을구하 6 한개의동전을한번던지는시행을 번반복한다. 각시행에서나온결과에대하여다음규칙에따라표를작성한다. 6) ( 가 ) 첫번째시행에서앞면이나오면, 뒷면이나오면 를표시한다. ( 나 ) 두번째시행부터 (1) 뒷면이나오면 를표시하고, (2) 앞면이나왔을때, 바로이전시행의결과가앞면이면, 뒷면이면 를표시한다. 예를들어동전을 번던져 앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면 이나오면다음과같이표가작성된다. 시행 표시 한개의동전을 5 번던질때작성되는표에표시된 의개수를확률변수 라하자. P X 의값은? [4 점 ] 평가원

86 Section 02. 확률 7 두주머니 A B 에 부터 까지의자연수가하나씩적힌카드가각각 장씩들어있다. 주머니 A 에서꺼낸두장의카드에적힌수중큰수와주머니 B 에서꺼낸두장의카드에적힌수중작은수 가서로같을확률을 이라할때, lim 의값은? 7) 어떤박테리아 개가 분후에 개, 개, 개로될확률은각각,, 이라고한다. 지금 개의박테리아가 분후에 개가될확률은? 8)

87 4 점개념완성확률과통계 9 어느근로자는일주일단위로주간근무만하거나야간근무만하는데, 앞으로 주동안 주는야간근무, 주는주간근무를한다. 회사에서주간근무하는주와야간근무하는주를임의의순서로배정할 때, 그근로자가 주이상연속하여야간근무를하지않을확률은? 9) 명씩탑승한두대의자동차 가어느휴게소에서만났다. 이들 명은연료절약을위해좌석수가 개인자동차 에모두승차하려고한다. 자동차 의운전자는자리를바꾸지않고나머지 명은 임의로앉을때, 처음부터자동차 를탔던 명이모두처음좌석이아닌다른좌석에앉게될확률 은 ( 는서로소인자연수 ) 이다. 이때, 의값을구하여라. 10) 79

88 Section 02. 확률 11 전체집합 의두부분집합 가있다. 의부분집합중에서임의로 개를택할때부분집합 를포함하는것이나올확률이, 부분집합 를포함하는것이나올확률이 이다. 두집합 를, 라할때, 의부분집합중에서임의로택한 개의집합이 또는 의원소일확률을구하여라. 11) 12 오른쪽그림은어떤오락기를단순화하여그린것이다. 12) 이오락기는입구에공을넣으면 A B C D 중어느한곳을지나면서 그위치의꺼져있는전등은켜지고, 켜져있는전등은꺼지도록되어있다. 예를들어전구가모두꺼진상태에서공을두번넣어두번모두 A 를지 나면 A 위치의전등은켜졌다꺼지고, 각각 A B 를지나면 A B 두위 치에있는전등은모두켜지게된다. 이와같이공이지날때마다전등이켜 지거나꺼지기를반복하다가 A B C D 네곳모두전등이켜지면게임 은끝난다. 여섯번째공을넣었을때이게임이끝나게될확률을 ( 는서로소인자연수 ) 라고하자. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 처음상태는전등이모두꺼져있으며, 갈림길에서양쪽방향으로공이지나갈확률은서로같다.) [4 점 ] 평가원 80

89 4 점개념완성확률과통계 13 오른쪽그림에서 O 에서구슬을넣으면관을따라아래방향으로떨어져출구인 A B C D E 중어느한곳으로나오게된다. 각갈림길에서 어느한쪽으로떨어질확률이동일할때, 구슬이출구 B 또는 C 로나올 확률은? 13) 다음그림과같이위에서아래로내려오는구슬게임이있다. 각갈림길에서한쪽길이선택될확률은같다. 와 에구슬을넣었을때, 그구슬이 로나올확률을각각, 라고하자. 이때, 의값은? 14)

90 Section 02. 확률 길찾기에서경우의수와확률의차이근원사건의확률이같다. 그림과같이정사각형모양으로이루어진도로망에서갑은 지점에서 지점으로, 을은 지점에서 지점으로최단거리를택하여간다고한다. 갑, 을두사람은동시에출발하여같은속도로이동할때, 두사람이서로만나지않고각각, 지점에도착할확률을 라고하자. [1] 각갈림길에서이동할경로가선택될확률이같을때 갑과을이만나는경우는오른쪽그림과같이 지점에서만나는 가지의경우이다. ⑴ 로갈확률은아래그림에서 이므로 지점에서갑과을이만날확률은 로갈확률은아래그림에서 이므로 지점에서갑과을이만날확률은, 지점은각각 지점과대칭이므로네지점에서갑과을이만날확률은 따라서주어진조건에서두사람이서로만나지않고각각, 지점에도착할확률은 [2] 최단거리로가는전체경로의수에서각경로가선택될확률이동등할때전체경우의수는 로가는경로의수는 따라서 지점에서만나는경우의수는 로가는경로의수는 따라서 지점에서만나는경우의수는 지점은각각 지점과대칭이므로네지점에서만나는경우의수는 따라서주어진조건에서두사람이서로만나지않고각각 지점에도착할확률은 82

91 4 점개념완성확률과통계 02 여사건의확률 적어도라는표현이나왔을때는여사건의경우의수를이용해서확률을구한다. 스위치 0n-0ff 문제 1 직렬 : on 2 병렬 : off 15 오른쪽그림과같이독립적으로작동하는네개의스위치 A B C D 를이용하여만든전기회로가있다. 각스위치가닫 혀있을확률이 일때, X 에서 Y 로전류가흐를확률은? 15)

92 Section 02. 확률 16 오른쪽그림과같이다섯개의스위치 를가진전기회로가있다. 각스위치는독립적으로작동되며, 열릴확률과닫 힐확률은각각 이다. 사이에전류가흐를확률을기약분 수 로나타낼때, 의값을구하시오. 16) 17 그림과같이 에서 까지 개의스위치가연결되어있는회로가 있다. 각스위치가열려있을확률이 일때, 전류가흘러서전구에 불이들어올확률은? ( 단, 각각의스위치는독립적으로작동한다.) 17)

93 4 점개념완성확률과통계 18 그림과같이 개의전구와전광판으로이루어진신호기가있다. 열의전구가 개켜져있는경우 으로계산되고, 네개의열이계산된수의합 이전광판에나타난다. 예를들어 열에서 개, 열에서 개의전구가켜진 경우, 전광판에 이나타난다. 개의전구중임의로 개를켤때, 전광판에 짝수가나타날확률을 ( 는서로소 ) 라하자. 의값을구하시오. 18) [4 점 ] 교육청 19 세학생 A B C 는오전 시정각에놀이동산입구에서만나기로약속을하였다. 세학생이각자놀이동산에오면서생각해보니입구가 오른쪽그림처럼동문, 서문, 남문, 북문으로 곳이있음을알았다. 세 학생모두 개의문중에서임의의한곳을선택하여 시정각에도 착한다고할때, 같은문에서두학생만만날확률은? 19)

94 Section 02. 확률 20 한개의주사위를 번던져나오는눈의수의최댓값이 일확률과최솟값이 일확률을차례대로나열한것은? 20) 어느주식회사에서세명의대주주 가각각전체주식의,, 를소유하고있으며나머지 는소액주주가소유하고있다. 각주주는소유하고있는주식의비율만큼투표권을 갖고있으며, 제안된안건은 이상의찬성을받아야통과된다고한다. 이때, 소액주주는대표가 투표를한다고한다. 와소액주주의대표가모두투표할때, 이주식회사의 년도예산 안에대하여 와 가찬성할확률은각각 이고, 와소액주주의대표가찬성할확률은각각 이다. 이때, 년도예산안이통과될확률은? ( 단, 와소액주주의대표는각각독립적으 로투표한다.) 21)

95 4 점개념완성확률과통계 03 통계적확률 일정한조건에서같은시행을 번반복하였을때, 사건 가일어난횟수가 이면사건 가일어날확률 P 는 P lim 이것을사건 가일어날통계적확률이라한다. 번에 번꼴로사건 가일어난다고하면사건 가일어날통계적확률은 이다. 주사위를 1000 번던져서, 1 의눈이 100 번나왔다. (1) 수학적확률은? (2) 통계적확률은? 22 흰공과검은공을합하여 개의공이들어있는주머니가있다. 주머니에서 개의공을꺼내색을확인하고다시넣는시행을 번반복하였을때, 개모두흰공이나온횟수가 번이었다. 이때, 주머니속에는흰공이몇개있다고볼수있는가? 22)

96 Section 02. 확률 04 기하학적확률 연속적인변량을크기로갖는전사건의영역 안에서각각의점을선택할가능성이같은정도로기대될때, 영역 에 포함되어있는영역 에대하여영역 에서임의로잡은점이영역 에속할확률 P 는 영역 의크기 P 영역 의크기 이것을사건 가일어날기하학적확률이라한다. 23 오른쪽그림과같이점 를중심으로하는사분원의호위에임의의두점 를잡을때, 의크기가 보다작을확률을구하여라. 23) 88

97 4 점개념완성확률과통계 24 원 의원주위에두점 가있고 이다. 이원주위에임의의점 를잡을때, 가예각삼각형이될확률을구하여라. 24) 25 정삼각형 ABC 의내부에임의로점 P 를잡을때, AP BP CP 가성립할확률은? 25)

98 Section 02. 확률 05 확률의활용 어떤시행을 번반복했을때사건 가일어날확률을 으로놓고, 두항, 또는세항,, 사이의관계식으로나타내어지는점화식을이용하여확률을구할수있다 개의주머니 A, B, C, D 에각각 1 부터 까지의숫자가쓰여진 개의공이들어있다. 각주머니에서 1 개씩공을무작위로꺼낼때, 주머니 A 에서나온공의숫자가주머니 B, C, D 로부터나온공의 숫자보다작거나같을확률일 이라하자. 이때, 극한 lim 의값은? 26) 에서 5 까지의수가하나씩적힌구슬 5 개가들어있는주머니가있다. A, B 두사람이이주머니에서구슬을꺼내어숫자를확인하고다시집어넣는시행을차례로각각 10 번씩되풀이하였다. 번째에 A, B 두사람이꺼낸구슬에적힌수를각각, 라고할때, 이홀 수가될확률을구하면? 27)

99 4 점개념완성확률과통계 28 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 의숫자가각각적힌 9 장의카드가들어있는주머니에서임의로한장을꺼내어수를확인한후주머니에넣고다시한장을꺼내는시행을계속한다. 이시행을반복하여 회째 시행까지나타난모든카드의수의합이 3 의배수일확률을 이라할때, lim 의값은? 28) 자연수 중에서임의로서로다른두수를택할때, 두수의합이 의배수일확률은? ( 단, 은자연수이다.) 29)

100 Section 02. 확률 30 어느고등학교학생 명의혈액형을조사한결과그분포는다음표와같았다. 30) 혈액형 A B AB O 계 학생수 ( 명 ) 이학생 명중에서한명을임의로뽑을때, 혈액형이 A 형일확률은혈액형이 AB 형일확률의 배가된다고한다. 이때, AB 형인학생은모두몇명인지구하여라. 31 주머니 A 와 B 에는,,,, 의숫자가하나씩적혀있는다섯개의구슬이각각들어있다. 철수는주머니 A 에서, 영희는주머니 B 에서각자구슬을임의로한개씩꺼내어두구슬에적혀있는 숫자를확인한후다시넣지않는다. 이와같은시행을반복할때, 첫번째꺼낸두구슬에적혀있는 숫자가서로다르고, 두번째꺼낸두구슬에적혀있는숫자가같을확률은? 31) A B [4 점 ] 수능

101 4 점개념완성확률과통계 32 주사위를두번던질때, 나오는눈의수를차례로, 이라하자. 의값이 이될확률 이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 이고, 는서로소인자연수이다.) 32) [4 점 ] 수능 33 부터 까지의수가각각적혀있는 장의카드가들어있는주머니가있다. 이주머니에서임의로꺼낸한장의카드에적혀있는수를, 다시카드를주머니에넣고임의로꺼낸카드에적혀있는 수를 라할때, 두수 는각각두연산장치 A B 에입력되어다음규칙에따라그림의연산 장치를통하여연산된다. 두수 가모두연산장치 C 를통과할확률은? 33) ( 가 ) 연산장치에입력된수 가짝수이면 로연산되어왼쪽아래방향 (å) 의연 산장치에입력된다. ( 나 ) 연산장치에입력된수 가홀수이면 로연산되어오른쪽아래방향 (æ) 의연산장치에입력된다

102 Section 02. 확률 34 1 부터 9 까지자연수가하나씩적혀있는 9 개의공이주머니에들어있다. 이주머니에서임의로 3 개의공을동시에꺼낼때, 꺼낸공에적혀있는수 가다음조건을만족시킬확 률은? 34) [4 점 ] 평가원 ( 가 ) 는홀수이다. ( 나 ) 는 3 의배수이다 A B C D 개의축구팀이있다. 이들은각각다른모든팀과 경기씩을치르게되고, 각각의팀이경기에서이길확률은 이다. 경기에서모두이기거나, 경기에서모두진팀이생길확률을 ( 은서로소인자연수 ) 이라할때, 의값을구하시오. ( 단, 비기는경기는없다.) 35) [4 점 ] 평가원 94

103 4 점개념완성확률과통계 36 학생의주머니에는빨간구슬 개와노란구슬 개, 학생의주머니에는노란구슬 개와파란구슬 개가들어있다. 두명의학생이각자의주머니에서한개의구슬을꺼내어색깔에따라승부를 가리는데, 빨간구슬이노란구슬에이기고, 노란구슬은파란구슬에이기고, 파란구슬은빨간구슬에 이긴다고한다. 이때, 학생이이길확률은? ( 단, 같은색의구슬이나왔을때는구슬을한개씩더 꺼내어승부를가리고, 꺼낸구슬은다시넣지않는다.) 36) [4 점 ] 교육청 집합 에서선택한임의의두수 에대하여 의일의자리의숫자가 3 일확률이 일때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수 ) 37) [4 점 ] 교육청 95

104 Section 02. 확률 38 다음조건을만족하는상자가 ( ) 개있다. 38) [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 [ 상자] 흰구슬 개, 검은구슬 개 개의상자에서임의로한상자를택하여 개의구슬을동시에꺼낼때, 모두흰구슬이나올확률을 P 이라하자. P 의값은? [4 점 ] 교육청 그림과같이일정한간격으로 개의점이찍혀있다. 이중서로다른두점을이어선분을만들때, 이선분이직선 또는 과만날 확률은? 39)

105 4 점개념완성확률과통계 40 가하나씩적혀있는 장의카드를네명의친구들에게한장씩나누어주고, 또다시 가하나씩적혀있는 장의카드를같은친구들에게한장씩나누어주었다. 이때, 같은숫 자의카드를가지고있는친구가한명이상일확률은? 40) 의여섯개의숫자를이용하여각자리의숫자가모두다른세자리의자연수를만들때, 각자리의숫자의합이홀수일확률은 이다. 서로소인두자연수 에대하여 의값을 구하여라. 41) 97

106 Section 02. 확률 42 오른쪽그림과같이원주위에서로다른 개의점이있다. 이점중에서서로다른 개이상의점을선택하여만들수있는다각형중에서하나를택할 때, 이다각형이오각형일확률은 ( 단, 는서로소인자연수이다.) 이다. 의값을구하여라. 42) 43 A B C 를포함한 개의제품을오른쪽그림과같은 칸의진열대에임의로배치할때, A B C 세제품이위 아래, 좌 우로이웃하지 않도록배치될확률은? 43)

107 4 점개념완성확률과통계 44 개의수 이오른쪽표와같이배열되어있다. 각행에서한개씩임의로선택한세수의곱을 으로나눈나머지가 이될확률은? 44)

108 Section 02. 확률 06 조건부확률의계산문제 사건 가일어났다는조건하에서사건 가일어날확률을사건 가일어났을때의 의조건부확률이라하고, P 로나타낸다. P P P ( 단, P ) 여사건이포함된경우의확률은다음등식은이용하면편리하다. P P P P P P 는표본공간 를전사건으로했을때 가일어날확률이고, P 는 를전사건으로했을때 가일어날확률이다. P P P, P P ** P P ( ) 100

109 4 점개념완성확률과통계 45 주머니안에흰공과붉은공이모두 개들어있다. 흰공중 개와붉은공중 개에는 이적혀있고, 나머지에는 이적혀있다. 임의로한개를뽑을때흰공일사건을, 붉은공일사건을, 이적힌공일사건을, 이적힌공일사건을 라한다. 일때, 흰공의개수와 의값을구하여라. 45) 46 역에서출발하여다른역을거치지않고 역만을거쳐 역으로가는기차가있다. 역에서비어있는기차에남자 명, 여자 명의승객이승차하였다. 역에서는남자 명, 여자 명의승객이 하차하고남자 명, 여자 명의승객이승차하여 역으로이동하였다. 역에서 역으로가는도 중에임의로선택된한승객이여자였을때, 이승객이 역에서승차한승객일확률은? ( 단, 하차한 승객이하차한역에서다시승차하는경우는없다.) 46) [4 점 ] 교육청

110 Section 02. 확률 47 대학수학능력시험을치를때, 수험생들은수험표나주민등록증중하나의인증도구를이용하여매교시마다본인확인을거쳐야한다. 세고등학교,, 에서치른시험에서 1 교시에수험표를이용하여 본인확인을한수험생의수는이순서대로등차수열을이루고, 주민등록증을이용하여본인확인을한 수험생의수는각각 명, 명, 명이다. 본인확인을한 명의수험생중에서임의로한명을 택하였더니 고등학교에서대학수학능력시험을치른수험생이었다. 이때, 이수험생이주민등록증으로 본인확인을했을확률을구하시오. 47) 48 개의야구팀 A, B, C, D 가다음과같은방법으로우승팀을결정하기로하였다. 48) ( 가 ) A 팀과 B 팀이경기를하고, C 팀과 D 팀이경기를한다. ( 나 ) ( 가 ) 에서이긴팀끼리경기를한다. ( 다 ) ( 가 ) 에서진팀끼리경기를한다. ( 라 ) ( 나 ) 에서진팀과 ( 다 ) 에서이긴팀이경기를한다. ( 마 ) ( 나 ) 에서이긴팀과 ( 라 ) 에서이긴팀이경기를한다. ( 바 ) ( 마 ) 에서이긴팀이우승팀이된다. 매경기에서각팀이이길확률은모두 로같다고하자. A 팀이우승했을때, A 팀이 ( 가 ) 에서이겼을확률은 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 와 는서로소인두자연수이다.) [4 점 ] 교육청 102

111 4 점개념완성확률과통계 49 어떤시행에서나올수있는모든결과의집합을 라하자. 의부분집합인세사건 가다음조건을만족시킨다. 49) ( 가 ) ( 나 ),, 중어느두사건도동시에일어나지않는다. ( 다 ) P P P 의부분집합인사건 에대하여 P, P, P 일때, P 의값은? [4 점 ] 교육청 그림과같이 P 지점과 Q 지점을병렬로연결한통신선로가있다. 50) 각선로에고장이발생할사건은서로독립이며, 그확률은아래의표와같다고한다. 선로 A B C 고장발생확률 어느날 P 와 Q 의구간중어느곳에서고장이발생하였으나, 통신은정상적으로이루어졌다. 이고장 이 C 선로만의고장일확률은 ( 는서로소인자연수 ) 라고한다. 의값을구하시오. 103

112 Section 02. 확률 51 주사위를 번던져서나오는눈의수를차례로 라하자. 일때, 일확률이 이다. 의 값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) 51) [4 점 ] 교육청 52 볼트를만드는어느공장에서세대의기계,, 가각각전체의,, 를만들며, 또각각의제품의,, 가불량품이라고한다. 제품가운데임의로꺼낸하나의볼트가불량 품이었다고할때, 그것이기계 에서만들어졌을확률을구하여라. 52) 104

113 4 점개념완성확률과통계 53 어느프로축구팀에서는체력테스트, 전술테스트, 실전테스트의 단계를차례대로모두통과하는선수중에서주전으로선발되는기회를주려고한다. 체력테스트, 전술테스트, 실전테스트를통과할확률이 각각 인선수 M이주전으로선발되는기회를얻지못하였을때, 전술테스트에서통과하지 못했을확률을기약분수로나타내면 이다. 이때, 의값을구하여라. ( 단, 앞단계의테스트를 통과한경우에만다음단계의테스트를받을기회가주어진다.) 53) 어느창고에부품 가 개, 부품 가 개있는상태에서부품 개를추가로들여왔다. 추가된부품 54 은 또는 이고, 추가된부품중 의개수는이항분포 을따른다. 이 개의부품중임의로 개를선택한것이 일때, 추가된부품이모두 였을확률은? 54) [4 점 ] 평가원

114 Section 02. 확률 07 독립과종속의판별 두사건 와 의독립과종속의판별 (i) 전사건과사건,, 의경우의수를구한다. (ii) P, P, P 를구한다. (iii) P P P 이면독립, P P P 이면종속 두사건, 가서로독립이기위한필요충분조건은 P P P 이다. 가독립 가독립 가독립 가독립 55 C 고등학교 A 반학생 명을대상으로회장선거를실시하여단독후보가영이에대한찬반여부를조사했더니찬성이 표, 반대가 표나왔다. 이반학생중에서임의로한명을뽑을때, 그학생이 남학생일사건과가영이에대하여찬성할사건이서로독립이다. 여학생이 명일때, 남학생중가영 이에대하여찬성한학생수를구하시오. 55) 106

115 4 점개념완성확률과통계 56 주머니에 부터 까지의자연수가각각하나씩적힌 개의공이들어있다. 부터 까지적힌공중에는 개가, 부터 까지적힌공중에는 개가노란공이고나머지는모두흰공이다. 주머니에 서임의로한개의공을꺼낼때노란공이나오는사건을, 이하의자연수가적힌공이나오는 사건을 라하자. 두사건 가서로독립일때, 의값은? 56) 표본공간 S 의세사건 A, B, C 는다음세조건을만족한다. 57) S 두사건, 는서로배반사건이다. 두사건, 는서로독립이다.,, 일때, 의값을구하시오. 107

116 Section 02. 확률 58 다음은어느회사에서전체직원 명을대상으로재직연수와새로운조직개편안에대한찬반여부를조사한표이다. 58) 찬반여부재직연수 찬성 반대 계 년미만 년이상 계 재직연수가 년미만일사건과조직개편안에찬성할사건이서로독립일때, 의값을구하여라. 59 부터 까지의수에서 개를택할때, 소수일사건을 라하자. 이때, 부터 까지의수에서 개를택하는사건중사건 와독립인사건 는모두몇가지인가? ( 단, 이다.) 59)

117 4 점개념완성확률과통계 확률 ox 퀴즈 - 단 P A P B 이다. 1., 가독립사건이면조건부확률 와조건부확률 는같다. ( ) 2. 이면 P 이다. ( ) 3., 가배반사건이면 이다. ( ) 4. 이면 는 의여사건이다. ( ) 5. 와 는항상배반사건이다. ( ) 6., 가배반사건이면 P 이다. ( ) 7., 가배반사건이면, 는종속사건이다. ( ) 8., 가배반사건이면 과 도독립사건이다. ( ) 9., 가독립사건이면 P P 이다. ( ) 10., 가배반사건이면 P P 이다. ( ) 11., 가독립사건이면 P A c B P A c P B 이다. ( ) 12. P A c B c P AB c 이다. ( ) 13., 가종속이면 와 는독립이다. ( ) 14., 가배반이면 P 이다. ( ) 15., 가배반이면 P BA c P B P A 이다. ( ) 16., 가독립이면 이다. ( ) 17., 가독립사건이고 가배반사건이고 가배반사건이면 P P P A 이 다. ( ) 18., 가배반사건이면 P C P CA P CB 이다. ( ) 19. 가 의여사건이면 P C P CA P CB 이다. ( ) 20., 가독립사건이면 P C P CA P CB 이다. ( ) 1 x x x x 4 x 8 x x 109

118 Section 02. 확률 08 독립시행의확률 한번의시행에서사건 가일어날확률을 라할때, 회의독립시행중사건 가 회일어날확률 P 는 P C ( 단,,,,,, 동전이나주사위를여러번던지는경우처럼동일한시행을반복할때각시행의결과가서로독립일경우이러한 시행을독립시행이라한다. 즉, 확률이같은어떤시행을반복할때, 독립시행의확률을이용한다. 60 어느스포츠용품가게에서는별 ( ) 모양이그려져있는야구공한개를포함하여모두 개의야구공을한상자에넣어상자단위로판매한다. 한상자에서 개의야구공을임의추출하여별 ( ) 모양이 그려져있는야구공이있으면축구공한개를경품으로준다. 어느고객이이가게에서야구공 상자 를구입하여경품당첨여부를모두확인할때, 축구공 개를경품으로받을확률은 이다. 의 값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다.) 60) [4 점 ] 평가원 110

119 4 점개념완성확률과통계 61 A, B, C, D, E, F 가각각적힌 개의상자가있다. 이들상자에서로다른 개의공을임의로넣을때, A, B, C 세상자에들어가는공의개수의합이 일확률을구하시오. ( 단, 각상자에들어가 는공의개수는제한이없다.) 61) 62 한개의주사위를던져서나온눈의수 에대하여 주사위를 번던져서나온눈의수,,,, 에대하여 이라하자. 한개의 일확률을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 는 를넘지않는최대정수이고,, 는서 로소인자연수이다.) 62) [4 점 ] 교육청 111

120 Section 02. 확률 63 A 대학교에서는수시모집과정시모집으로입학생을선발한다. 수시모집은정시모집보다먼저실시하고, 수시모집에지원하여합격한학생은정시모집에지원할수없다고한다. 어떤고등학생 명이 A 대학 교의수시모집에지원하였을때합격할확률은각각 이고, 정시모집에지원하였을때합격할확률은 각각 이라고하자. 이학생 명이 A 대학교의수시모집에모두지원하고, 이중불합격한학생은다 시 A 대학교의정시모집에지원한다고할때, 명중 명이합격할확률은? ( 단, 각학생이 A 대학교 에합격하는사건은서로독립이다.) 63) [4 점 ] 평가원 다음과같이주사위를던지는시행을할때, [ 시행 1] 또는 [ 시행 2] 에서주사위가하나도남아있지않을 64 확률은 이다. 이때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수이다. ) ( 단주사위는서로독립이다.) 64) [ 시행] 주사위 개를동시에던져서짝수의눈이나온주사위를집어낸다. [ 시행] 시행에서남겨진주사위를동시에던져서짝수의눈이나온주사위를집어낸다. 112

121 4 점개념완성확률과통계 65 주머니 A 에는흰공이 개, 검은공이 개들어있고, 주머니 B 에는흰공이 개, 검은공이 개들어있다. 임의로한주머니를선택하여하나의공을뽑았더니흰공이었을때, 선택한주머니가 B 이 었을확률은? 65) 정보이론에서는사건 가발생했을때, 사건 의정보량 가다음과같이정의된다고한다. log P E < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? ( 단, 사건 가일어날확률 P E 는양수이고, 정보량 의단위는비트이다.) 66) 보기 ㄱ. 한개의주사위를던져홀수의눈이나오는사건을 라하면 이다. ㄴ. 두사건, 가서로독립이고 P A B > 이면 이다. [4 점 ] 수능 ㄷ. P A >, P B > 인두사건, 에대하여 이다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 113

122 Section 02. 확률 농구선수 A B 가 점슛을시도할때, A 가성공시킬확률은 67 이고, 한사람만성공시킬확률은 이다. B 가 점슛을시도하여성공시킬확률을 라할때, 의값을구하여라. 67) 평소연습에서 문제를풀어 문제의정답을맞힐수있는학생이같은유형의문제 개를풀었을때, 68 개이상의문제의정답을맞힐확률은 이다. 이때, 의값을구하여라. 68) 114

123 4 점개념완성확률과통계 69 에서 까지의자연수중에서하나의수를뽑을때, 그수가 의배수인사건을 라하자. 이때, 사건 와독립이고, 를만족하는사건 의개수는? 69) 여학생 명과남학생 명을대상으로영화 A 와영화 B 의관람여부를조사하였다. 그결과모든학생은적어도한편의영화를관람하였고, 영화 A 를관람한학생 명중여학생이 명이었으며, 영화 B 를관람한학생 명중여학생이 명이었다. 두영화 A B 를모두관람한학생들중에서 한명을임의로뽑을때, 이학생이여학생일확률은? 70) [4 점 ] 평가원

124 Section 02. 확률 71 어느공장에서기계 는각각전체제품생산량의, 를생산하고, 그중각각, 가불량품이라고한다. 어떤제품이불량품일때, 이제품이기계 에서생산되었을확률은? 71) 어느전시회를찾은전체관람객들을조사하였더니전체관람객의 가학생이고나머지는일반인이었다. 전체관람객의 가남자였으며여자관람객의 가일반인이었다. 전체관람객중에서뽑 은한명이일반인일때, 이관람객이여자일확률은? 72)

125 4 점개념완성확률과통계 73 어느학급은남학생 명, 여학생 명으로이루어져있다. 이학급의모든학생은중국어와일본어중한과목만수업을받는다고한다. 남학생중에서중국어수업을받는학생은 명이고, 여학생중 에서일본어수업을받는학생은 명이다. 이학급에서선택된한학생이중국어수업을받는다고할 때, 이학생이여학생일확률은? 73) 설악산등산에참여한어느등산동호회원의등산모자의색을조사한결과는다음표와같았다. 빨간색 파란색 노란색 계 남자 여자 계 이등산동호회원 명중임의로택한사람이쓴모자가노란색이었을때, 이사람이여자일확률을 라하자. 또, 이등산동호회원 명중임의로택한사람이여자였을때, 이여자가노란색모 자를쓰고있을확률을 라하자. 이때, 의값은? 74)

126 Section 02. 확률 75 흰공 개, 검은공 개가들어있는주머니가있다. 거짓말을할확률이 인어떤사람에게공을한개꺼내어보여주었더니그공이흰공이라고대답하였다. 이때, 그공이실제로흰공일확 률은? 75) 흰공이 개, 검은공이 개들어있는주머니에서한개의공을꺼내색을확인하고꺼낸공과함께같은색의공을한개더주머니에넣은다음주머니에서한개의공을꺼낼때, 첫번째꺼낸공과 두번째꺼낸공의색이같을확률은? 76)

127 4 점개념완성확률과통계 77 A B 두배드민턴선수는 세트경기를하여먼저 세트를이기는선수가우승하기로하였다. 매세트마다 A 선수가 B 선수를이길확률이 라할때, 세트경기에서 A 가우승을확정지을확률은 이다. 이때, 의값을구하여라. ( 단, 는서로소인자연수이고, 비기는경우는없다.) 77) 78 주머니안에자연수 가적혀있는구슬이각각 개, 개, 개,, 개씩들어있다. 이주머니에서 개의구슬을꺼내는시행을 번반복할때, 숫자 가적혀있는구슬이 번나 올확률이 이다. 이때, 자연수 의값을구하여라. ( 단, 꺼낸구슬은다시주머니에넣는다.) 78) 119

128 Section 02. 확률 79 다음은어느해스포츠기사의일부분이다. 79) 정규시즌내내 S팀에대한전적이 승 패로부진을면치못하던 H 팀이 전 선승제로우승을가리는프로야구한국시리즈에서오늘승리함에따라 승 패로우승에한걸음더가까워진것처럼느껴집니다. 하지만, 정규시즌의승률을근거로남은경기에서 H 팀이우승 할확률을따져보면 로여전히 을넘지못하고있습니다. 이때, 서로소인두자연수 에대하여 의값을구하여라. 80 어느도시에서야간에뺑소니사건이일어났다. 이도시전체차량의 가자가용이고, 는영업용이다. 그런데한목격자가뺑소니차량을자가용이라증언하였다. 이증언의타당성을알아보기위해 사고와동일한상황에서그목격자가자가용차량과영업용차량을구별할수있는능력을측정해본결 과바르게구분할확률이 이었다. 그렇다면목격자가본뺑소니차량이실제로자가용일확률은 이다. 이때, 의값을구하여라. ( 단, 는서로소인자연수이고, 모든차량이뺑소니사건을 일으킬가능성은같다고가정한다.) 80) 120

129 4 점개념완성확률과통계 121

130 Section 03. 통계 Section 03. 통계 01 이산확률분포 확률변수,,, ) 에대응하는확률을 라고할때 1 평균 : 2 분산 : V E E E 3 표준편차 : V 계 P X 1 가유한개의값,,, 을가질때, (i) 일확률 가정해지고 (ii), (,,,, ) 을만족하는변수 를확률변수또는이산확률변수라고한다. 1 흰공 개, 검은공 개가들어있는주머니에서 개의공을동시에꺼낼때, 나오는흰공의개수를확률변수 라한다. 확률 의값은? 1)

131 4 점개념완성확률과통계 2 확률변수 의확률분포는다음표와같다. 2) 합계 의평균이 일때, 의표준편차를구하여라. 확률변수 의확률분포가 3 일때, 을만족한다. 이때, 의값은? 3)

132 Section 03. 통계 자연수만을가지는확률변수 X 가모든자연수 에대하여 PX X 4 때, P X 의값을구하여라. 4) 를만족할 5 다음표는 부터 까지의정수를이진법의수로나타낸것이다. 이중에서 과같이두개의자리의수만이 인모든정수들의평균은? 5) [4 점 ] 교육청 십진법 이진법

133 4 점개념완성확률과통계 연속확률변수 의확률밀도함수 가 6 으로주어질때, 조건부확률 의값은? 6) 확률변수 X 의확률분포가다음과같을때, 상수 의값과 X 의평균을구하여라. 7 7) P X ( 단, ) 125

134 Section 03. 통계 02 평균과분산, 표준편차의성질 가확률변수이고,, 가상수일때 1 E E 2 V V 3 확률변수 에대하여 로확률변수를변환할때, 의평균과분산은 의평균과분산을이용하여다 음과같은순서로구한다. E V E E E V V V E X Y E X E Y 126

135 4 점개념완성확률과통계 두통계자료 A B 에서각각의평균은 8 이고, 표준편차는 이며총도수는 라고한다. 다음은두자료를합한 개의자료의분산이 임을증명한것이다. 8) 증명 두통계자료를 자료 : 자표 : 라고하면, 개의자료의평균은 가 또, 나, 다 위의증명에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것은? ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) [4 점 ]

136 Section 03. 통계 9 집합 의부분집합중에서공집합이아닌두집합 에대하여 의원소의합을확률변수 라할때, 의값은? ( 단, 의평균과분산은각각 와 이다.) 9) 원짜리동전 개와 원짜리동전 개를던져서앞면이나온동전의금액의합을확률변수 X 라고할때, X 의평균을구하여라. 10) 11 개의직사각형,, 이있다. 이들각각의둘레의길이는 이고, 변,, 의길이의평균이, 표준편차가 일때, 이직사각형들의넓이의평 균을구하시오. 11) 128

137 4 점개념완성확률과통계 12 음이아닌모든정수값을취하는확률변수 X 가 E X P X 를만족할때, X 의분산 V X 의최댓값은? 12) 주머니속에 의번호가하나씩적혀있는카드가 개들어있다. 이중에서카드를한장씩복원추출로두번꺼냈을때, 두카드에적혀있는번호중작지않은쪽의수를확률변수 X 라 고하자. X 의기댓값을 E X 라할때, lim 의값을구하면? 13)

138 Section 03. 통계 03 이항분포의평균분산 독립시행의횟수가, 회시행에서어떤사건이일어날확률이 인이항분포 B 에서 1 P C,,, 2 평균 : E 3 분산 : V (i) C (ii) E C (iii) E C. 확률변수 가이항분포 B 14 을따를때, P P 을만족시키는 의값은? 14)

139 4 점개념완성확률과통계 15 다음은확률변수 가이항분포 를따를때, 의평균이 임을증명하는과정이다. ( 단, ) 15) 증명 이므로 여기서 이므로 따라서확률변수 가이항분포 를따를때, 의평균은 이다. 위의과정에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을순서대로적으면?

140 Section 03. 통계 16 확률변수 가이항분포 를따를때, 다음은 임을이용하여 임을증명한것이다. 16) 증명 그런데 이므로 위의증명에서, 에알맞은것을차례로쓰면? 1, 2, 3, 4, 5, 132

141 4 점개념완성확률과통계 17 확률변수 의확률분포가 0, 1, 2,, 720) 일때, 의값을구하면? 17) 이항분포 를따르는확률변수 에대하여 이라한다. 이때, 의값을구하여라. ( 단, 의평균과분산은각각 와 이다.) 18) 133

142 Section 03. 통계 19 다음각물음에답하여라. 19) (1) 한개의주사위를 회던져서 또는 의눈이나오는횟수 X 에대하여 X X 원의상금을 받기로하였다. 이때, 상금의기댓값을구하여라. (2) 한개의주사위를 회던져서 의눈이나오는횟수 X 에대하여 X 원의상금을받기로하였다. 이때, 상금의기댓값을구하여라. 20 확률변수 의확률분포가 20) ( 단, 이고 ) 일때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? ( 단, 는 의평균이고, 는 의분산이다.) 보기 ㄱ. 확률변수 는이항분포 를따른다. ㄴ. 이일정할때 의값은 일때최솟값을갖는다. ㄷ. 의값은 일때최솟값을갖는다. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 134

143 4 점개념완성확률과통계 21 확률변수 의확률분포는다음표와같다. 21) 계 이때, 의평균과분산의합을구하여라. 22 이산확률변수 에대한확률질량함수가 P C 으로주어질때, 함수 를다음과같이정의하자. P 이때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? 22) 보기 ㄱ. 확률변수 의분산은 이다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 을만족하는 가적어도하나존재한다. [4 점 ] 교육청 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 135

144 Section 03. 통계 04 연속확률변수 변수 가어떤구간 안의모든값을취하고, 가구간 를정의역으로하는함수로 와같은세조건을모두만족할때, 를연속확률변수라하고, 함수 를 의확률밀도함수라고한다. 확률변수 의확률밀도함수가 23 또는 일때, P 구하여라. ( 단, 는상수이다.) 23) 136

145 4 점개념완성확률과통계 24 상수 에대하여함수 가확률변수 의확률밀도함수이다. P P 일때, 의값을구하여라. ( 단, ) 24) 25 에서정의된연속확률변수 의확률밀도함수 의그래프가오른쪽그림과같을때, 에서확률밀도함수가될 수있는것을 < 보기 > 에서모두고른것은? 25) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄴ 5 ㄴ, ㄷ 137

146 Section 03. 통계 26 각면에 가하나씩적혀있는정사면체모양의주사위가있다. 이주사위를두번던져서밑면에놓인눈의수의합을확률변수 라할때, 의평균 이되도록하는상수 의 값은? 26) 한개의동전을 번던지는시행에서앞면이나오는횟수를확률변수 라할때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 27) 보기 ㄱ. 확률변수 는이항분포 을따른다. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 138

147 4 점개념완성확률과통계 28 어느과수원에서생산되는과일의 는최상급으로판정되어백화점으로공급한다고한다. 올해이과수원에서생산된과일 개중에서최상급으로판정되는과일의개수 에대하여 의분산을 구하여라. 28) 29 개의동전을던져서앞면이 개나오면 원을상금으로받는다고할때, 상금의기댓값은? 29)

148 Section 03. 통계 30 정원이각각 명인 두반에서 점만점의시험을실시하였더니두학급의평균은모두 점이었고, 반의표준편차는각각 점, 점이었다. 반학생의점수에모두 점씩을더하여 주고, 반학생의점수는모두 배씩하였을때, 다음 < 보기 > 중옳은것을모두고른것은? 30) 보기 ㄱ. 반의평균은모두 점이된다. ㄴ. 반의표준편차는 점이된다. ㄷ. 반의표준편차는 점이된다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄷ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 31 다음은확률변수 의확률분포표이다. 31) 계 P 이때, 확률 P 의값은?

149 4 점개념완성확률과통계 확률변수 의확률분포가 32 의값은? 32) 일때, 의평균 부등식 를만족하는정수 의순서쌍 중에서하나를택하여좌표평면위에나타낼때, 선분 OP 의길이를확률변수 라한다. 이때, 의평균을구하여라. ( 단, 점 O 는원점이다.) 33) 141

150 Section 03. 통계 34 부터 까지의자연수를각면에하나씩적어놓은정사면체모양의주사위가있다. 이주사위를한번던져바닥에닿은면의숫자가 이면 점을주고, 이아니면 점을감점한다고한다. 이와같은시 행을 번반복할때, 기대되는점수는? 34) 어느공장에서는다른회사에서공급되는두종류의제품 를조립하여완제품을만든다고한다. 공급되는제품 은 개중 개꼴로불량품이고, 제품 는 개중 개꼴로불량품이라할때, 이공장에서조립한완제품 개에대하여불량품이아닌제품의개수 의평균을구하여라. ( 단, 완제품 개만드는데제품 가각한개씩필요하고, 조립하는과정에서는불량품이생기지않 는다고가정한다.) 35) 142

151 4 점개념완성확률과통계 확률변수 의확률분포가다음표와같고, 36 일때, 의값을구하여라. 36) 계 37 결승에진출한두프로게이머 가다섯번게임을하여먼저 승하면우승이고, 번째게임에서우승자가결정되었을때우승자에게 억원의상금이주어진다고한다. 두프로게이머의실력이같고, 반드시매게임마다승부가결정된다고할때, 프로게이머 가우승하여받는상금은약얼마로기대 할수있는가? 37) 1 억 천만원 2 억원 3 억 천만원 4 억 천만원 5 억 6 천만원 143

152 Section 03. 통계 38 문자 가적혀있는공이각각다음표의개수만큼상자안에들어있다. 38) 문자 계 공의개수 상자안에서 개의공을꺼내는시행을 번반복할때,가적혀있는공이나오는횟수를 라하고, 상자안에서 개의공을꺼내는시행을 번반복할때, 가적혀있는공이나오는횟수를 라한다. 확률변수 의분산과확률변수 의분산이같도록하려면 의값을얼마로해야하는지구하여라. ( 단, 꺼낸공은다시상자에넣는다.) 39 다음표는 일때, C 낸것이다. 39) 의값을소수점아래셋째자리까지나타 주사위를 번던져 의눈이나오는횟수를확률변수 라할때, 위의표를이용하여 P 의값을구한것은?

153 4 점개념완성확률과통계 40 흰공 개, 검은공 개가들어있는주머니에서한개의공을꺼내색을확인하고주머니에다시넣는시행을 번반복할때, 흰공이나오는횟수를 라한다. 의평균과분산을구하여라. 40) 확률변수 의확률분포가 41 (는상수, ) 일때, 의분산 의값은? 41)

154 Section 03. 통계 05 정규분포의표준화 정규분포곡선의성질 1 직선 에대하여대칭인종모양의곡선이다. 2 축을점근선으로하고, 곡선과 축사이의넓이는 이다. 3 이일정할때, 표준편차 가커지면곡선은양쪽으로퍼지고 가작아지면곡선은뾰족하게된다. 4 가일정하고 이변하면곡선의모양은그대로이고대칭축의위치만달라진다. 확률변수 가정규분포 N 을따를때, 1 확률변수 은표준정규분포 N 을따른다. 2 P P 확률변수 가표준정규분포를따를때, 인두양수, 에대하여 (i) P P P (ii) P P (iii) P P 146

155 4 점개념완성확률과통계 42 두확률변수 의확률밀도함수의그래프는오른쪽그림과같다. 가각각정규분포 을따를때, < 보기 > 에 서옳은것을모두고른것은? ( 단평균은양수값이다 ) 42) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 43 확률변수 는정규분포 N 을따르고, 확률변수 는표준정규분포 N 을따른다. 두확률변수 의확률밀도함수를각각 라할때, 다음조건이모두성립한다. 43) < 표준정규분포표 > P ( 가 ) > ( 나 ) 두곡선 는 일때만난다. 두곡선 로둘러싸인도형의넓이가 일때, 확률변수 의표준편차 의값을위의표준정규분포표를이용하여구하시오. 147

156 Section 03. 통계 44 두확률변수, 가각각정규분포 N, N 을따르고 의확률밀도함수, g 의그래프가아래그림 과같다. 두곡선으로둘러싸인도형의넓이를, 두곡선과직선 으로둘러싸인도형의넓이를 라할때, 라 한다. 이때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고르시오.( 단, 이 < 표준정규분포표 > P 고, 오른쪽표준정규분포표를이용한다.) 44) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 일때, 이다. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 45 명의키 의분포는평균이, 표준편차가 인정규분포를이룬다고한다. 키가 에서 까지인학생수가 명이었을때, 키가 에서 사이인학생수는? ( 단, 45) 148

157 4 점개념완성확률과통계 46 어떤사람이집에서회사까지승용차로출근하는데걸리는시간이평균 분, 표준편차가 분인정규분포를따른다고한다. 이사람이출근시 간 분전에집에서출발하여지각할확률을위의표준정규분포표를 이용하여구한것은? 46) < 표준정규분포표 > P 모집인원이 명인어느대학의입학시험에 명의수험생이응시하였다. 시험결과수험생의평균은 점, 표준편차는 점이었다. 수험생전체의성적이정규분포를따를때, 합격자의최하점은약몇점 인가? 47) < 표준정규분포표 > P

158 Section 03. 통계 06 이항분포와정규분포의관계 확률변수 가이항분포 B 를따를때, 이충분히크면 는근사적으로, 인정규분포, 즉 N 를따른다. ( 단, ) 이항분포에서확률 P 를구할때에는정규분포로근사시킨후, 표준화하여확률값을쉽게구할수있다. 48 한개의주사위를 회던져서짝수의눈이나오는횟수를확률변수 라하자. P 라할때, 오른쪽표준정규분포표를이용하여 를구하면? 48) P

159 4 점개념완성확률과통계 49 현재까지타율이 인타자가 타수에 개이상의안타를칠확률을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? 49) < 표준정규분포표 > P 세확률변수 는각각다음과같다. 50) 는이항분포 을따른다. 는이항분포 을따른다. 는이항분포 을따른다. 이때, 다음 < 보기 > 중옳은것을모두고르면? 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 151

160 Section 03. 통계 51 어느공장에서생산되는제품의무게는평균 g, 표준편차가 g 인정규분포를따른다고한다. 이공장에서는무게가 g 이상인제품을불량품으로판정하다. 이제품중에서 개를임의로추출할때, 불량품의개수가 개이상일확률을구하여라. ( 51) 52 양의실수전체의집합을정의역으로하는함수 는평균, 표준편차 인정규분포를따르는확률변수 에대하여 이다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ( 단, 표준정규분포를따르는확률변수 에대하여 이다.) 52) 보기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 152

161 4 점개념완성확률과통계 주사위를 회던질때, 의눈이나오는횟수 는이항분포 53 을따른다. 다음표와그림은 의값이 일때의확률 계산한것이다. 53) 을 한개의주사위를 번던졌을때, 의눈이나오는횟수를 라하고, 의표준편차를 라고할 때, 는? ( 단, 로계산할것 )

162 Section 03. 통계 07 모평균과표본평균 모평균이, 모분산이 인모집단에서크기가 인표본을복원추출할때, 표본평균을 라하면 1 평균 E 2 분산 V 3 표준편차 분산과표본분산의정의가다른이유 평균이 이고분산이 인어떤모집단에서크기가 인표본을임의추출할때, 표본평균 와표본분산 은표본을 추출할때마다다름값을취하는확률변수이다. 이들확률변수의평균이 을만족하면, 이들확률변수가취하는값을모집단의평균과분산에대한추측값으로사용할수있음이잘알려져있다. 일반적인자료에대한분산을정의할때와는달리, 표본분산 을정의할때 과같이 이아닌 로나누는이유는 이성립하도록하기위해서이다. 이를확인하기위하여 의분자를풀어쓰고, 임을이용하면 이다. 따라서위등식의양변을 로나누고, 기댓값을구하면 이다. 여기서각 에대하여 이고, 이므로 이성립한다. 154

163 4 점개념완성확률과통계 54 어느고등학교에서학생들이다니는학원수를알아보기위하여 명의학생들을임의추출하여조사하였더니그결과가오른쪽표와같았다. 다 음물음에답하시오. ( 단, P ) 54) (1) 명의표본평균과표본표준편차의합을구하시오. (2) 이고등학교학생 명이다니는학원수에대한모평균 의신뢰도 의신뢰구간을구하시오. 55 다음은어떤모집단의확률분포표이다. 계 P X x 이모집단에서크기가 인표본을복원추출하여구한표본평균을 라하자. 의평균이 일때, P X 의값은? 55) [4 점 ] 수능

164 Section 03. 통계 56 모집단 에서크기 인임의표본을복원추출하는경우, 그표본평균을크기순서대로 이라할때, < 보기 > 에서옳은것을모두고른것은? 56) 보기 ㄱ. 표본평균의집합을 라할때, 이다. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 57 정규분포 을이루는모집단에서 개의변수를뽑아더한값을 라했을때, 의분포는? 57)

165 4 점개념완성확률과통계 08 표본평균 의분포와 의확률구하기 모평균이, 모표준편차가 인모집단에서크기 인표본을임의추출할때, 표본평균을 라고하면 1 모집단의분포가정규분포일때는 의분포는정규분포 N 을따른다. 2 모집단의분포가정규분포가아닐때에도표본의크기 이충분히크면 의분포는근사적으로정규분 포 N 을따른다. 의분산보다 의분산이더작으므로 의값들은 의값들보다평균 의값에더밀집되어있다. 58 어느공장에서생산되는제품의무게 는평균이 g, 표준편차가 g 인정규분포를따른다고한다. 제품의무게가 g 이하인제품은 불량품으로판정한다. 이공장에서생산된제품중에서 개를임 의로추출할때, 개무게의평균을, 불량품의개수를 라 고하자. 위의표준정규분포표를이용하여옳은것만을 < 보기 > 에서있 는대로고른것은? 58) 보기 < 표준정규분포표 > P ㄱ. P ㄴ. P P ㄷ. 임의의양수 에대하여 P P 1 ㄱ 2 ㄷ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 157

166 Section 03. 통계 59 정규분포 을따르는모집단에서크기 인표본을임의로추출할때그표본평균을 X n 라고한다. 59) X 이고, X 일때, 의값은? ( 단, ) 어느과수원에서재배하는귤의무게는평균이 g, 표준편차가 g 인정규분포를따른다고한다. 이귤을 개씩한상자에담아서판매하는데 상자에담긴 개의귤의무게의합이 g 이상이면이상자를합격품 으로판정한다. 갑과을이귤이 개씩담긴상자중에서각각상자를한 개씩임의로선택하였을때, 위의표준정규분포표를이용하여두상자가모 두합격품일확률을구하면? ( 단, 갑과을이상자를선택하는것은서로독립이다.) 60) P

167 4 점개념완성확률과통계 61 정규분포 을따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출할때, 표본의합을 라하면, 일확률을 이라하자. 을만족하는 의최솟값은? ( 단, ) 61) 어느공장에서만드는제품 A 의무게는평균 g, 표준편차 인정규분포를따른다고한다. 이공장에서만드는제품 A 중에서임의추 출한 개의무게가 g 이상일확률을, 임의추출한 개의무게의 평균이 g 이상일확률을 라할때, 의값을오른쪽표준 정규분포표를이용하여구한것은? 62) < 표준정규분포표 > P

168 Section 03. 통계 모평균이 모표준편차가 인정규분포를따르는모집단에서크기 인표본을임의추출할때, 표본 63 평균 X 에대하여확률 의값을 이라한다. 이때, 를만족시키는자연수 의값은? ( 단, ) 63)

169 4 점개념완성확률과통계 09 모평균의추정 모표준편차가 인모집단에서크기가 인표본의표본평균을 라하면모평균 의신뢰구간은 1 신뢰도 : 2 신뢰도 : (1), 의근삿값으로각각, 를택하기도한다. (2) 모표준편차 는밝혀지지않는경우가많으므로 이충분히크면 대신표본표준편차를사용할수도있다. 64 우리나라신생아의몸무게는표준편차 kg 으로알려져있는데어떤산부인과에서이번달에출산된신생아 명의몸무게의평균이 kg 이라는자료를발견하였다. 이를바탕으로우리나라신생아의몸 무게의평균을신뢰도 로추정한신뢰구간을구하라. ( 단, 이다.) 64)

170 Section 03. 통계 10 신뢰구간의길이 모표준편차가 인모집단에서크기가 인표본의표본평균을 라하면모평균 의신뢰구간의길이는 1 신뢰도 : 2 신뢰도 : 65 크기가 인표본을추출하여신뢰도 로모평균을추정할때의신뢰구간의길이를 이라하자. 신뢰구간의길이를 로하기위한표본의크기를 라할때, 의 값은? ( 단, ) 65) 평균이 표준편차가 인정규분포를따르는모집단에서크기가 인표본을임의추출하여얻은모평균에대한신뢰도 의신뢰구간이 이고, 같은크기의표본을임의추출하여얻은모평균에대한 신뢰도 의신뢰구간이 이다. 66) 일때, 위의표준정규분포표를이용하여 의값을구하여라. P 162

171 4 점개념완성확률과통계 11 모비율과표본비율 (1) 모비율 : 모집단에서어떤사건에대한비율을고려할때, 그비율을그사건에대한모비율이라하고, 기호로 와같이나타낸다. (2) 표본비율 : 모집단에서임의추출한표본에서의비율을그사건에대한표본비율이라하고, 기호로 과같이나타낸다. 크기가 인표본에서어떤사건이일어나는횟수를확률변수 라할때, 이사건에대한표본비율 (3) 모집단에서어떤사건에대한모비율이 일때, 크기가 인표본을임의추출하면표본비율 에대하여 E V ( 단, ) (4) 모비율이 이고표본의크기 이충분히클때, 표본비율 은근사적으로정규분포 N 를따른다. ( 단, ) 67 어느도시의주민을대상으로쓰레기소각장유치에대한여론을조사하였더니 가찬성하였다. 이도시의시민 명을임의추출하여조사하였을때의찬성률을 이라할때, P 를만족시키는 의최솟값을구하여라. ( 단, 가표본정규분포를따르는 확률변수일때, P 로계산한다.) 67) 163

172 Section 03. 통계 68 멘델의유전법칙에의하면둥근완두와주름진완두를교배하였을때, 잡종 세대에는둥근완두와주름진완두의비가 로나타난다. 둥 근완두와주름진완두를교배한잡종 세대에서얻은완두콩 개를 조사하였을때, 위의표준정규분포표를이용하여주름진완두의비율이 이상 이하일확률을구하여라. 68) P 69 어느영화제작사에서제작한영화중 가별 개이상의평가를받았다고한다. 이제작사에서제작한영화중 편의영화를임의추 출할때, 별 개이상의평가를받은영화가 편이하일확률은 이다. 위의표준정규분포표를이용하여 의값을구하면? 69) P

173 4 점개념완성확률과통계 12 모비율의추정 개의표본중에서 A 라는성질을가진것이 개있는경우 을표본비율이라한다. 표본비율이 일때, 모집단에 서이성질을가진것의비율 ( 모비율 ) 를다음과같이구할수있다. 1 신뢰도 : 2 신뢰도 : 70 어느지역에서 명을임의추출하여간염검사를하였더니 명이양성반응을일으켰다. 이지역의간염양성반응률의신뢰도 의신뢰구간은? ( 단, ) 70)

174 Section 03. 통계 71 어느도시의중앙공원을이용한경험이있는주민의비율을알아보기위하여이도시의주민중 명을임의추출하여조사한결과 가이중앙공원을이용한경험이있다고답하였다. 이결과를이용하여 구한이도시주민전체의중앙공원을이용한경험이있는주민의비율에대한신뢰도 의신뢰구 간이 이다. 일때, 의값을구하시오. ( 단, 가표준정규분포표를따르는확률변 수일때, 로계산한다.) 71) [4 점 ] 수능 72 우리나라성인을대상으로특정질병에대한항체보유비율을조사하려고한다. 모집단의항체보유비율을, 모집단에서임의로추출한 명을대상으로조사한표본의항체보유비율을 이라고할때, 일확률이 이상이되도록하는 의최솟값을구하시오. ( 단, 가표준정규분포가따르는확률변수일때, 이다.) 72) [4 점 ] 수능 166

175 4 점개념완성확률과통계 73 정규분포 을따르는확률변수 와정규분포 을따르는확률변수 가다음두조건을만족하도록하는 의값을구하여라. ( 단, 는각각확률변수 의분산이다.) 73) ( 가 ) ( 나 ) 74 어느고등학교학생 명의키는표준편차가 인정규분포를이룬다고한다. 이고등학교학생중에서평균보다 이상키가큰학생은약몇명인가? 74)

176 Section 03. 통계 75 재령이가아침에학교까지가는통학시간은평균 분, 표준편차 분인정규분포를따른다고한다. 어느날재령이가등교시간 분전에집에서출발하여학교로갈때, 지각할확률은? 75) 고속도로의어느지점을통과하는자동차들의속력은평균이 시, 표준편차가 시인정규분포를따른다고한다. 이지점에서의속력이 시를초과하면과속으로단속된다고할때, 이 지점을통과하는두자동차 가모두과속으로단속될확률을구하면? 단, 와 의속력은서로 독립이다. ( 단, ) 76)

177 4 점개념완성확률과통계 77 어느종목의운동선수들의체력검사로몇가지과정을연속적으로끝내는데걸리는시간을측정하였더니평균 분, 표준편차 분인정규분포를따른다고한다. 이체력검사의합격기준이 분이내라고한다면체력검사를받은운동선수의몇 가합격하 겠는가? 77) 어느회사에서생산되는음료수의용량은평균이 ml 표준편차가 ml 인정규분포를따른다고한다. 이회사에서는용량이 ml 이상이거나 ml 이하인음료수는폐기처분한다고한다. 이 회사에서만든 개의음료수중에서폐기처분되는음료수가 개이하일확률을 라할때, 의값을구하여라. ( 단, ) 78) 169

178 Section 03. 통계 79 주머니속에 의숫자가각각적혀있는 개의구슬이들어있다. 이것을모집단으로하여크기가 인표본을복원추출할때나온숫자의표본평균 X 의평균과표준편차의합은 이다. 이 때, 서로소인두자연수 에대하여 의값을구하여라. 79) 80 정규분포 을따르는모집단에서크기 인표본을임의추출하여신뢰도 로모평균 을추정할때신뢰구간의길이를 라한다. < 보기 > 에서항상옳은것을모두고른것은? 80) 보기 ㄱ. 표본의크기를 으로줄이면신뢰구간의길이는 가된다. ㄴ. 모표준편차 의크기를 로줄이면신뢰구간의길이는 가된다. ㄷ. 신뢰도를 로하면신뢰구간의길이는 가된다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 170

179 4 점개념완성확률과통계 81 평균이 이고표준편차가 인모집단에서크기가 인표본들을복원추출하여그표본평균을 라할때, 다음 < 보기 > 중옳은것을모두고른것은? 81) 보기 ㄱ. 의평균은, 표준편차는 이다. ㄴ. 모집단이정규분표를따르면 의값에관계없이 의분포도정규분포를따른다. ㄷ. 표본의크기 의값이커질수록 의분포는모집단보다더평균가까이에밀집해있다. ㄹ. 표본의크기 의값이커질수록 의평균은모집단의평균에가까워진다. 1 ㄱ, ㄴ 2 ㄱ, ㄷ 3 ㄴ, ㄷ 4 ㄴ, ㄹ 5 ㄴ, ㄷ, ㄹ 82 어느마라톤대회의통계자료에의하면풀코스 에참가한일반인은 명중 명의비율로완주에성공한다고한 다. 마라톤운영위원회에서는이번대회에서풀코스에참가하는 명의일반인중에서완주에성공하는일반참가자에게줄메 달 개를준비하였다. 풀코스를완주한일반참가자전원에게 준비된메달을줄수있게될확률은? 82)

180 Section 03. 통계 83 어떤모집단의분포가정규분포 N m 을따르고, 이정규분포의확률밀도함수 의그래프와구간별확률은아래와같다. 83) 확률밀도함수 는모든실수 에대하여 를만족한다. 이모집단에서크기 인표본을임의추출할때의표본평균을 의값은? 라하자. P 어느도시에서시립도서관개방시간연장을희망하는주민들의비율을알아보기위하여이도시의주민중 명을임의추출하여조사한결과 명이개방시간연장을희망하였다. 이결과를이용하여 구한이도시주민전체의시립도서관개방시간연장을희망하는비율에대한신뢰도 의신뢰구 간이 일때, 의값은? ( 단, 가표준정규분포를따르는확률변수일때, 로계산한다.) 84)

181 4 점개념완성확률과통계 85 확률변수 가표준정규분포 N 을따를때, 임의의양수 에대하여 P P 라하자. 표준편차가 인정규분포를따르는모집단에서크기가 인표본을 임의추출하여구한표본평균 의값이 일때, 모평균 을신뢰도 로추정한신뢰구 간이 이었다. 이때상수 에대하여 의값을구하여라. 85) 86 평균이 표준편차가 인정규분포를따르는모집단이있다. 이모집단에서크기가 인표본을임의추출하여얻은모평균 의신뢰도 의신뢰구간이 이고, 크기가 인표본을임의 추출하여얻은모평균 의신뢰도 의신뢰구간이 이다. 옳은것만을 < 보기 > 에서있 는대로고른것은? 86) 보기 ㄱ. 이면 이다. ㄴ. 이고 이면 이다. ㄷ. 이고 이면 이다. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 173

182 Section 03. 통계 87 어느마을주민의 는하루평균 보이상을걷는다고한다. 오른쪽표준정규분포표를이용하여이마을에서임의추출한 명의주민 중에서하루평균 보이상을걷는주민의비율이 이상 이하일확률을구하면? 87) P 174

183 4 점개념완성확률과통계 175

184 Section 03. 통계 176

185 4 점개념완성확률과통계 빠른정답 Section 01. 경우의수 29. (1) (2) (1) (2) (3) (1) (2) (3) 177

186 빠른정답 빠른정답 Section 02. 확률 (1) (2) (3) 빠른정답 Section 03. 통계 (1) (2)

187 4 점개념완성확률과통계 평균 분산 (1) (2)