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1 개념완성 확률과통계 VITAEDU-ACADEMY 노박사수학교실

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3 제 1 장 경우의수

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5 01 경우의수

6 개념완성 1. 경우의수 01 경우의수 빠짐없이, 중복되지않게 사전식배열, 수형도 복잡한경우의수를셀때는점화식을이용하는경우도있다. (1) 합의법칙 한사건 가 가지의방법으로일어나고, 다른사건 가 가지의방법으로일어난다고할때 또는 가일어나는경우의수는, 가동시에일어나지않을때, 가동시에일어나는경우가 가지있을때 (2) 곱의법칙한사건 가 가지의방법으로일어나고, 그각각에대하여다른사건 가 가지의방법으로일어난다고할때 와 가동시에일어나는경우의수 화폐의지불방법과지불금액 원짜리동전 개, 원짜리동전 개, 원짜리동전 개를사용하여거스름돈없이지불할때, 지불방법과지불금액의수를구하시오. 1 지불방법곱의법칙에따라 100원 개, 50원 개, 10원 개라할때 (,, ) 의개수를구한다. 2 지불금액 원두개로 원을지불할수있을때는 원짜리를 원짜리로바꾸어 원 개 원 개로지불하는방법과같다 6 / 제 1 장경우의수

7 개념확인문제 01 경우의수 1. 에서 까지의자연수중에서 또는 로나누어떨어지는수의개수를구하시오. 1) 2. 방정식 를만족하는자연수 의순서쌍 의개수를 구하시오. 2) 3. 의양의약수의개수 * 를구하시오. 3) 노박사수학 / 7

8 개념완성 2. 점화식을이용한풀이 01 경우의수 경우의수를구하는데 점화식을이용하면편리한경우가있다. 예제, 기호다섯개를같은기호는연속하여세번이상 이어지지않게나열하는경우의수, 기호네개를나열하고맨앞은, 기호세개를나열하고맨앞은를추가하면, 다섯개의기호가연속하여세번이상이어지지않게나열되는것을알수있다. 피보나치의수열 8 / 제 1 장경우의수

9 개념확인문제 01 경우의수 4. 를일렬로늘어놓은네자리의수 중에서 1. 를전부만족하는경우의수를구하시오.4) 5. 단으로된계단을한걸음에 단또는 단씩올라간다면, 이계단을오르는방법의수를구하시오.5) 6. 단으로된계단을한걸음에 단, 단, 또는 3 단씩올라간다면, 이계단을오르는방법의수를구하시오.6) 노박사수학 / 9

10 핵심체크 약수의개수와총합 약수와배수 1. 약수와배수 세개의정수 사이에 인관계가있을때, 를 의배수, 를 의약수라한다. 2. 배수판정법 1 2 의배수판정법 : 2 3 의배수판정법 : 3 4 의배수판정법 : 4 5 의배수판정법 : 5 6 의배수판정법 : 6 7 의배수판정법 : 7 8 의배수판정법 : 8 9 의배수판정법 : 9 11 의배수판정법 : + +, ( + + )-( + ) 3. 약수의개수와총합 : 정수 가 과같이소인수분해될때 1 양의약수의개수 N= 2 양의약수의총합 S= 3 양의약수전체의곱 P= 4. 약수의개수로정수분류 1 약수의개수가 개 2 약수의개수가 개 3 약수의개수가 개 4 약수의개수가 개 5 약수의개수가홀수개 10 / 제 1 장경우의수

11 심화학습 완전순열 약수와배수 1 에서 n 까지의번호가붙은 n 개의상자와 1 에서 n 까지의번호가붙은 n 개의공이 있다. 다음은각상자마다 1 개씩의공을임의로넣을때상자의번호와공의번호가맞는 것이하나도없는경우의수는 임을증명한것이다. 증명 공 1 을 2, 3,, n 의어느상자에넣는방법은 ( 가 ) 가지이고, 공 1 이 2 번상자에들어갈때, 다음과같이두경우가있다. ⅰ) 1 이 2 번, 2 가 1 번상자에들어가는경우는 가지 ⅱ) 1 이 2 번, 2 가 1 번상자에들어가지않는경우는 ( 나 ) 가지,, = ( 가 ) ᄀ ᄀ을변형하면 = = = = = ( 다 ) ᄂ ᄂ의양변을 n! 로나누면 다 n 에 2, 3,, n 을대입하여변끼리더하면 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을순서대로적어라. 정답 : ( 가 ) ( 나 ) ( 다 ) 노박사수학 / 11

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13 02 순열

14 개념완성 1. 순열 02 순열 서로다른 개의물건에서 개를택하여한줄로배열하는 것을 개의물건에서 개를택하는 이라하고 이경우의수를기호로와같이나타낸다. (1) P r (2) 개를다뽑는순열의수 (3), P P r 의계산아래그림과같이 개의장소를미리만들어놓는다 r 안에차례로서로다른것을택하여한개씩넣는다. 1 의장소에는 개중에서어느것이라도좋으니 가지 2 의장소에는 1 에이미한개를넣었으므로 가지 같은방법을되풀이하면 r 의장소에는 가지 따라서, 구하는순열의수 P r 는곱의법칙을이용하여 P r 14 / 제 1 장경우의수

15 개념확인문제 02 순열 7. 다음식을만족하는자연수 또는 의값을구하시오. 7) (1) P (2) P (3) P P (4) P P 8. 명으로구성되어있는동아리에서회장, 부회장, 총무를선출하는방법의수를 구하시오. 8) 9. 에서서로다른네숫자를이용하여네자리정수를만들때, 짝수의개수를구하시오. 9) 노박사수학 / 15

16 개념완성 2. 인접순열 (1) 특정한원소끼리인접할때 인접하는것들을묶어서하나로생각하고, 묶인부분의자체내에서의순열의수를곱한다. 02 순열 (2) 특정한원소끼리인접하지않을때 인접해도좋은것을먼저배열하고, 그사이사이에 인접하지못하는것들을배열하는순열의수를곱해준다. 서로인접하지않는순열 서로다른 n 개의순서가정해진배열에서 서로인접하지않은 r 개를선택하여순서대로배열하는순열 모델링 [modeling] 수리현상을특정한목적에맞추어이용하기쉬운형식으로 표현하는것을모델링 [modeling] 이라고한다. 예제 주차구역열군데에대형차두대와소형차세대를 주차시키는방법 ( 단, 대형차는두구역에걸쳐주차한다.) / 제 1 장경우의수

17 개념확인문제 02 순열 10. 남학생 명, 여학생 명을한줄로세울때, 여학생끼리는이웃하지않도록 세우는방법의수는? 10) P 4 P 한줄로놓여있는 개의의자에 명의학생과 명의선생님이앉는데먼저선생님이자리에앉고나중에학생들이앉는다고한다. 세선생님이모두두학생사이에앉게되도록세선생님의자리를정하는방법의수를구하시오. 11) ( 단, 학생들의순서는고려하지않는다.) 12. 남자 명, 여자 명을일렬로세울때, 남자와여자가교대로서는경우의수를 구하시오. 12) 노박사수학 / 17

18 개념완성 3. 원순열 02 순열 서로다른 개의물건을원형으로배열하는순열 (1) 개의물건을배열하는원순열의수 (2) 개중 개를택한원순열의수 원순열의수 (1) ( 순열의수 ) ( 자리수 ) 가지 (2) 하나를고정한순열 18 / 제 1 장경우의수

19 개념확인문제 02 순열 13. 남자 명, 여자 명이원탁에둘러앉을때, 다음을구하시오. 13) (1) 앉는방법의수 (2) 남자, 여자가번갈아앉는방법의수 14. 서로다른 가지색을모두사용하여오른쪽그림과같은 큰원내부의 칸을칠하는방법의수를구하시오. 14) 15. 오른쪽그림과같이농구공을 개의대원으로 등분하여 가지색으로칠하는방법의수를구하시오. 15) 노박사수학 / 19

20 개념완성 4. 다각형순열 ( 대칭인경우 ) 02 순열 (1) 정사각형식탁에 8 명이앉는방법 (2) 정삼각형식탁에 6 명이앉는방법 (3) 직사각형식탁에 10 명이앉는방법 20 / 제 1 장경우의수

21 개념확인문제 02 순열 16. 오른쪽그림과같이 명의학생을정삼각형모양의탁자에앉히는 방법의수를구하시오. 16) 17. 오른쪽그림과같이정오각형의식탁에 명이둘러앉는방법의 수를구하면 이다. 이때안의값을구하시오. 17) 18. 오른쪽그림과같이 명의가족이식탁에앉아서식사를 하려고한다. 앉을수있는모든경우의수는? 18) 노박사수학 / 21

22 개념완성 5. 같은것이있는경우의순열 02 순열 개중에같은것이각각 개, 개, 개있을때, 이 개를모두택하여만든순열의수 ( 단, ) 순서가정해진순열 최단거리 B b b B A a a a A A 에서 B 에이르는최단거리는 < 초딩해법 > 오른쪽으로세칸, 위로두칸이동하는경우이다. 즉, a a a b b 를나열하는경우의수와같다. 22 / 제 1 장경우의수

23 개념확인문제 02 순열 19. STUDY 를구성하는다섯개의문자를일렬로배열할때, 세문자 S T D 를 SUTYD YSUTD 등과같이반드시 STD 의순서로배열하는방법의수를구하시오. 19) 20. 오른쪽그림과같은도로망이있다. 에서출발하여 를지나서 로가는최단경로의수를 구하시오. 20) 21. 단으로된계단을한걸음에 단또는 단씩올라간다면, 이계단을오르는방법의수를구하시오. 21) 노박사수학 / 23

24 개념완성 6. 중복순열 02 순열 서로다른 개에서중복을허용하여 개를택하는순열을 개의물건에서 개를택하는 이라하고 이경우의수를기호로와같이나타낸다. 의계산 개를배열할자리를다음과같이나타내면 첫째칸에가지, 둘째칸에도 마지막칸에도 가지,, 가지가들어갈수있으므로 24 / 제 1 장경우의수

25 개념확인문제 02 순열 22. 중복을허용하여 의다섯개의숫자로만들수있는네자리정수와 다섯자리정수의개수의합을구하시오. 22) 23. 문자 에서중복을허용하여세개를택해만든단어를전송하려고한다. 단, 전송되는단어에 가연속되면수신이불가능하다고한다. 예를들면, 등은수신이불가능하고, 등은수신이가능하다. 이때, 수신가능한단어의개수를구하시오. 23) 24. 기호 와 ㅡ 를 개이상 개이하로사용하여만들수있는 신호의가짓수를구하시오. 24) 노박사수학 / 25

26 심화학습 최단거리문제 최단거리문제 (1) A PQ 위의점 B A B A B P Q P Q B (2) A PQ 위의적어도한칸 B A B A A' B P Q P Q B B 26 / 제 1 장경우의수

27 심화학습같은것을포함하는원순열 같은것을포함하는원순열 빨간공네개와파란공두개를원형으로배열하는방법은그림과같이세가지이다. 이를구하는식을생각하여보자. 노박사수학 / 27

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29 03 조합 노박사수학 / 29

30 개념완성 1. 조합 03 조합 서로다른 개중에서순서를생각하지않고 개를택할때, 이것을 개에서 개를택하는이라하고, 이경우의수를기호로는로나타낸다. np r (1) C r r (2) C n r (3) C r n C r (4) C, C 의계산 서로다른 개중에서 개를택하는조합을한줄로 나열하는방법의수는 이므로 C r 개의조합으로만들수있는순열의총수는 양변을 으로나누면 C r P r 을대입하면 C r 30 / 제 1 장경우의수

31 개념확인문제 03 조합 25. 이이순서대로등차수열을이룰때, 자연수 의값을구하시오. 25) 26. 야구선수 명, 농구선수 명중 명의대표를뽑을때, 야구선수와농구선수가각각적어도한명씩포함되는경우의수를구하시오. 26) 27. 대각선의개수가 개인정 각형의각꼭지점을이어만들수있는 사각형의개수를 라할때, 의값을구하시오. 27) 노박사수학 / 31

32 개념완성 03 조합 2. 조 ( 組 ) 로나누는방법 ( 분할 분배 ) 1) 서로다른 9 개의사과를 3 개, 3 개, 3 개씩 분할 분배 (2) 서로다른 9 개의사과를 5 개, 2 개, 2 개씩 분할 분배 (3) 서로다른 9 개의사과를 4 개, 3 개, 2 개씩 분할 분배 분할과분배 주는쪽받는쪽해법풀이 집합의사과 5 개 3 무더기분할자연수의과일 5 개 3 무더기분할 사과 5 개 3 명 과일 5 개 3 명 32 / 제 1 장경우의수

33 배포 * helpmemath 작성자 * 개념확인문제 03 조합 28. 명으로구성된씨름부에서자체평가전을하려고한다. 오른쪽그림과같이부전승자리에는제일실력이뛰어난 가 배정될때, 대진표를작성하는방법의수를구하시오. 28) 29.,,, 의네학교에서두명씩배드민턴선수를뽑아오른쪽그림과같이토너먼트로시합을할때, 같은학교에서나온선수는결승전이이외에는시합을하지않는경우의수를구하시오.29) 30. 다음은 명의학생을두팀으로나누는방법의수를구하는과정이다. 명중에서몇명의학생을선택하여한팀을만들면나머지학생들은자연히다른한팀이된다. 먼저, 한팀의구성원이결정되는경우의수를나누어생각하자. ⅰ) 한팀의구성원이 명인경우의수는 이다. ⅱ) 한팀의구성원이 명인경우의수는 이다. ( 중략 ) 그러므로, 명의학생을두팀으로나누는방법의수는 가 이다. 그리고, 나 이므로, 명의학생을두팀으로나누는방법의수는 다 이다. 위에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을채우시오. 30) 노박사수학 / 33

34 개념완성 03 조합 3. 자연수의분할 (1) 자연수의분할 자연수 4 를순서를고려하지않고자연수의합으로나타내는방법은 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 와같이 5 가지임을알수있다. 이와같이자연수를순서를고려하지않고한개이상의자연수의합으로나타내는것을 이라하고, 자연수 을 개의자연수로분할하는경우의수를 ( P : Partition ) 으로나타낸다. 3+1, 2+2 (2) 자연수의분할에관한성질 는 곳에 개를배치하는건데, 일단 곳에한개씩배치하고 나머지 개를한곳, 또는 2, 3,, k 곳에배치하면된다. 는자연수 1 을포함하는경우 자연수 1 을포함하지않는경우 34 / 제 1 장경우의수

35 개념확인문제 03 조합 ) 다음의값을구하시오. (1) (2) ) 자연수 를순서를생각하지않고 개의자연수의합으로나타내는경우의수를 구하시오 ) 똑같은 개의상자에똑같은 개의공을넣을때. 경우의수를구하시오.( 단, 빈 상자는없다.) 노박사수학 / 35

36 개념완성 03 조합 4. 집합의분할 (1) 집합의분할 집합을서로소인집합들의합집합으로나타내는것을이라하고, 원소의개수가 개인집합을서로소인 개의집합의합집합으로나타내는경우의수를 ( S : Stirling number) 으로나타낸다. (2) 집합의분할에관한성질 특정한원소 a 가분할할때혼자있는경우 a 가분할할때다른원소와같이있는경우 36 / 제 1 장경우의수

37 개념확인문제 03 조합 34. 다음의값을구하시오.34) (1) (2) ) 집합 을공집합이아닌서로소인 개의부분집합으로분할하는 경우의수를구하시오. 36. 집합 에대하여함수 중에서치역의원소가 개인 함수의개수를구하시오.36) 노박사수학 / 37

38 개념완성 5. 중복조합 03 조합 서로다른 개중에서순서를생각하지않고중복을허락하여 개를택할때, 이것을 개에서 개를택하는이라하고, 이경우의수를기호로는로나타낸다. H r 중복조합의계산 1, 2, 3, 4, 5 다섯개의수에서중복을허용하여세개의수를선택하는경우의수를구하여보자. (1) 각자리숫자에한숫자를대응시키면 (153 은 135 로간주하더라도경우의수는같다.) 에서 선택하는경우의수 (2) 가로는 5 개의선을긋고세로는 3 개의칸으로만든바둑판모양의도형에서좌상단에서우하단에이르는최단거리는 가로개, 세로개의선분을 지난다 가로축의번호 (3) 네개의슬로트 //// 와세개의 를 순서대로나열하는경우의수 // / / 1/2/3/44/5

39 개념확인문제 03 조합 37. 다음을구하시오. 37) (1) 에서중복을허락하여다섯개의숫자를택하는방법의수 (2) 명의학생에게같은종류의축구공 개를나누어주는방법의수 38. 에대한방정식 에대하여다음물음에답하시오. 38) ⑴ 음이아닌정수해의개수를구하시오. ⑵ 양의정수해의개수를구하시오. 39. 집합 에서집합 로의함수 중에서 다음조건을만족시키는함수의개수를구하시오. 39) ⑴ 이면 ⑵ 이면 ⑶ 이면 노박사수학 / 39

40 핵심체크 도형의해석 도형의해석 1. 삼각형 정십이각형의꼭지점위의세점을잡아만들어진삼각형 직각삼각형둔각삼각형예각삼각형 원주위의세점을잡아만들어진삼각형 [ 심화 ] 직각삼각형예각삼각형둔각삼각형 2. 직육면체 직육면체의각면에수를넣는경우의수 ( 뒤집거나회전하여같은경우는하나로생각 ) 1 ~ 6 대면의합 : 7 (1 1 1) (1 1 2) (3 1 2) 정팔면체 1 ~ 8 대면의합 : 9 40 / 제 1 장경우의수

41 핵심체크 토너먼트대진 토너먼트대진표 4 강 8 강 16 강 경우의수 (3 3 2 ) 2 분할 3 2 (3 3 2 ) 2 배열 명의학생이오른쪽대진표에따라게임을할때, 대진표를 작성하는방법 팀이오른쪽그림과같이시합을할때, 대진표를작성하는 방법 다섯학교에서 명씩대표를뽑아다음그림과같은대진표에따라경기를하며같은학교선수끼리는결승전외에는만나지않도록할때, 대진표를작성하는방법 노박사수학 / 41

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43 04 이항정리

44 개념완성 1. 이항정리 04 이항정리 (1) 의전개식에서 의계수 (2) 파스칼의삼각형 (1) (2) ( 각수는왼쪽위와오른쪽위에있는두수의합 ) ( 각행의수는중앙에대하여좌우대칭 ) (3) (1 에서시작하여대각선방향으로수들을더하면꺽여진곳의수 ) 44 / 제 1 장경우의수

45 개념확인문제 04 이항정리 40. 다음물음에답하시오. 40) ⑴ 의전개식에서 의계수를구하시오. ⑵ 의전개식에서 의계수를구하시오. 41. 의전개식에서 의계수가 일때, 양수 의값을구하시오. 41) 42. 다음파스칼의삼각형을이용하여 의값을 구하면? 42) 노박사수학 / 45

46 개념완성 2. 이항계수의성질 04 이항정리 (1) x=1 : C n C n C n C n C n (2) x=-1 : C n C n C n C n n C n (3) C n C n C (4) C n C n C 의양변을미분하면, 에서 을대입하면 46 / 제 1 장경우의수

47 배포 * helpmemath 작성자 * 개념확인문제 04 이항정리 ) 다음식의값을구하시오. (1) C (3) log C r (1) C C C C C C C (2) C (2) log C C C C 44. 의전개식을이용하여다음식의값을구하시오. 44) (3) C C C C C 45. 다음은 을간단히하는과정을나타낸것이다. 45) 이므로 이것은 가 에서 ( 나 ) 의계수이므로 ( 다 ) 위의과정에서 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은것을차례로적은것은?

48 핵심체크 이항계수의곱 의계산 (1) 의전개 에서 의계수 (2) 상자에서공을꺼내는방법 각각 20 개, 15 개의공이든 A, B 두상자에서 10 개의공을꺼내는방법 A B 20 개 15 개 10 개 A B 경우의수 0개 10개 1개 9개 2개 8개 10개 0개 계 48 / 제 1 장경우의수

49 제 2 장 확률

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51 01 확률

52 개념완성 1. 확률 01 확률 하나의사건이일어날수있는가능성을수치로나타낸것 사건 가일어날확률을 로나타낸다. (1) 수학적확률 어떤시행에서얻어지는근원사건이모두같은정도로일어날것이라고기대될때전사건 에속하는근원사건의총수를, 사건 에속하는근원사건의개수를 라하면, 사건 가일어날확률 는 (2) 통계적확률 ( 경험적확률 ) 한사건 가일어날확률을 라할때, 번의반복시행에서사건 가 일어난횟수를 이라하면, 상대도수 는 이커짐에따라확률 에가까워짐을볼수있다. 를사건 의통계적확률이라고한다. (4) 기하학적확률 전체영역중에서주어진사건이차지하는영역의비율로써구하는확률 확률의성질 (1) 어떤사건 에대하여 (2) 전사건 에대하여 (3) 공사건 에대하여 52 / 제 2 장확률

53 개념확인문제 01 확률 46. 주머니속에흰공 3 개와검은공 3 개가들어있다. 이주머니에서임의로 2 개의 공을꺼낼때, 흰공 1 개와검은공 1 개가나올확률을구하시오. 46) 47. 프로농구에서 은 팀과의 경기에서 승 패, 팀은 팀과의경기에서 승 패의성적을거두고있다. 이번주수요일서울에서있게될 팀과 팀의경기에서 팀이이길확률을, 이번주토요일대전에서있게될 팀과 팀의경기에서 팀이이길확률을 라할때, 의값을구하시오. 47)( 단, 비기는경우는없다.) 48. 길이가 인 위에임의의두점 를잡을때, 일확률을 구하시오. 48) 노박사수학 / 53

54 개념완성 2. 확률의덧셈정리 01 확률 : 또는 가일어날확률 : 와 가동시에일어날확률 (1) 확률의덧셈정리 (2) 일때 여사건의확률 (1) 여사건 ( ) : 가일어나질않을사건 (2) (3) 문장속에 적어도하나 라는문구가있으면여사건으로해결한다. ( 적어도하나 의확률 ) ( 반대인사건의확률 ) 54 / 제 2 장확률

55 배포 * helpmemath 작성자 * 개념확인문제 01 확률 49. 개의숫자 가각각하나씩적힌 장의카드에서한장을꺼낼때, 다음사건중서로배반사건끼리짝지어진것은? 49) : 짝숙가나오는사건 : 소수가나오는사건 : 의약수가나오는사건 : 제곱수가나오는사건 두사건 에대하여 일때, 의값을구하시오. 50) 51. 어느공장에서생산한 개의제품중 개의제품이합격품 이다. 개의제품중 개를꺼낼때, 적어도한개가합격품일 확률을구하시오. 51) 노박사수학 / 55

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57 02 확률의계산

58 개념완성 02 확률의계산 1. 확률의곱셈정리 (1) 조건부확률 확률이 0 이아닌두사건, 에대하여사건 가일어났다는가정하에사건 가일어날확률을사건 가일어났을때의사건 의이라하고, 기호로와같이나타낸다. P ( 단, P ) (2) 확률의곱셈정리 P, P 일때, P 는 피비기븐 (given) 에이 라고읽는다. P 와 P 의차이점,, 일때 P P 58 / 제 2 장확률

59 개념확인문제 02 확률의계산 52. 두사건, 에대하여 P, P, 일때, P 의값을 구하시오. 52) 53. 우산을가지고외출하여어떤장소에들르면 번에 번꼴로우산을잃어버리는 학생이있다. 이학생이어느날우산을가지고나가나후서점과독서실과제과점에 차례로들른후집에돌아와보니우산이없었다. 이때, 이학생이우산을독서실에서 잃어버렸을확률을 라할때, 의값을구하시오. ( 단, 는서로소인자연수 ) 53) 54. A, B 두사람이흰공 개와검은공 개가들어있는주머니에서 A 부터시작하여 교대로 개씩공을꺼낼때, 흰공을먼저꺼내는쪽이이기는시합을한다. 승부가날 때까지계속한다고할때, A 가이길확률을구하시오. ( 단, 꺼낸공은다시넣는다.) 54)

60 개념완성 2. 종속사건과독립사건 02 확률의계산 (1) 종속사건 두사건, 에대하여사건 가일어날경우와사건 가일어나지않을경우에따라사건 가일어날확률이다를때 (2) 독립사건 두사건, 에대하여사건 가일어날경우와사건 가일어나지않을경우에관계없이사건 가일어날확률이달라지지않을때 종속 독립사건의곱셈정리 사건 와사건 가독립사건 사건 와사건 가종속사건 사건 와사건 가독립 60 / 제 2 장확률

61 * 배포 * helpmemath * 작성자 * 개념확인문제 02 확률의계산 55. 가독립사건이고, 일때, 의값을 구하시오. 55) 56. 다음세사건,, 는한개의주사위를던지는시행의 사건이다. 서로종속인것은? 56) : 짝수의눈이나오는사건 : 소수의눈이나오는사건 : 의약수의눈이나오는사건 1 와 2 와 3 와 4 와 5 와 57. 표본공간 에대하여사건 가 사건 와서로독립이라고한다. 이때, 가능한 의값의합을구하시오. 57) 노박사수학 / 61

62 개념완성 02 확률의계산 3. 독립시행의확률 (1) 독립시행 주사위나동전을여러번던질때와같이매회같은조건에서어떤시행을여러번반복할때, 각시행의결과가다른시행의결과에영향을주지않을경우즉, 매번일어나는사건이모두서로독립일경우에이시행을이라한다. (2) 독립시행의정리 1 회의시행에서사건 가일어날확률을 라할때, 이시행을독립적으로 회반복할때, 사건 가 회일어날확률 P 은 P ( 단,,,,, ) 독립시행의확률의이해 한개의주사위를 3 번던질때, 1 의눈이 2 번나올확률은? 사건 : 사건 : 사건 : 사건 가서로배반사건이므로 62 / 제 2 장확률

63 개념확인문제 02 확률의계산 58. 한발의탄환이표적에명중할확률은 이다. 발의탄환을발사하였을때, 발이상표적에명중할확률을 라할때, 의값을구하시오.( 단, 는서로소인 자연수 ) 58) 59. 한개의동전을계속하여던질때적어도한번앞면이나올확률이 이상이 되도록하려면동전을몇회이상던져야하는지구하시오. 59) 60. 어떤농구팀이시합을할때, 게임에서이기니후다음게임에도이길확률은 이고, 게임에서진후다음게임에도질확률은 이라고한다. 번째게임에서이길 확률을 P 이라할때, limp 라할때, 의값을구하시오.( 단, 는서로소인 자연수 ) 60) 노박사수학 / 63

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65 제 3 장 통계

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67 01 평균과분산

68 개념완성 1. 대푯값과평균 (1) 용어의정의 1 변량 : 자료를수량으로나타낸것 2 계급 : 변량을일정한간격으로나눈구간 3 계급의크기 : 계급의구간의너비 4 계급값 : 계급의중앙값, 계급의양끝값의합의 01 평균과분산 5 도수 : 각계급에속하는자료의수 6 도수분포표 : 각계급에속하는도수를조사하여나타낸표 (2) 대푯값과평균 자료전체의특징을하나의수로나타낸값을이라하고, 평균, 중앙값, 최빈값등이있다. 1 평균 (Mean) : 변량의을변량의로나눈값 2 중앙값 (Median) : 변량을크기순으로나열하여중앙에있는값 3 최빈값 (Mode) : 도수가가장높은계급의계급값 (3) 평균 1 개의변량 평균 : 2 도수분포표가주어질때 평균 : 계급값 합계 도수 68 / 제 3 장통계

69 개념확인문제 01 평균과분산 61. 다음은혜수의 회에걸친수학성적을나타낸것이다. 회때의성적은? 61) 횟수 평균 성적 ( 점 ) 1 점 2 점 3 점 4 점 5 점 62. 다음표는 두그룹의학생수와수학성적의평균을나타낸것이다. 이때, 전체학생의수학성적의평균을구하시오. 62) 학생수 ( 명 ) 평균 ( 점 ) 63. 오른쪽표는 A 반의수학성적을나타내는 도수분포표이다. 수학성적의평균이 점일때, 의값을구하시오. 63) 계급 ( 시간 ) 도수 ( 명 ) 이상 ~ 미만 ~ ~ ~ ~ 계 N 노박사수학 / 69

70 개념완성 01 평균과분산 2. 산포도와표준편차 (1) 산포도 변량의흩어져있는정도를수치로나타낸값을라하고, 의값이클수록변량의값들이고르지못하다. (2) 편차 편차 : 변량에서평균을뺀값 ( 편차 )= ( 변량 )-( 평균 ) 평균편차 : 편차의절댓값의평균표준편차 : 의평균인의양의제곱근분산 : 의평균 의제곱 편차의합은 0 이다. (3) 도수분포에서의평균과표준편차 1 개의변량 의분산 분산 : 2 도수분포표가주어질때의분산과표준편차 계급값 합계 도수 평균 : 분산 : 70 / 제 3 장통계

71 개념확인문제 01 평균과분산 64. 다음중옳은것은? 64) 1 편차는항상양수이다. 2 산포도로가장많이쓰이는것은평균이다. 3 편차의제곱의합은항상 이다. 4 편차는변량에서평균을뺀값이다. 5 표준편차가클수록분포상태가고르다고할수있다. 65. 아래의자료에서평균 M 과표준편차 S 는? 65) 계급값 계 도수 M S 3 M S 5 M S 2 M S 4 M S 66. A 반의학생수가 명, B 반의학생수가 명이고두학급의수학성적의평균이 같다. 두학급의분산은각각 이고전체분산이 일때, 의값을구하시오. 66) 노박사수학 / 71

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73 02 확률분포

74 개념완성 1. 확률변수와확률분포 02 확률분포 한시행에서표본공간의각원소에하나의실수값을대응시키고 그값을가질확률이정해지는변수 를라고한다. (1) 이산확률변수 확률변수 가유한개의값을갖고, 그값을취할확률이주어진확률변수 를이산확률변수라한다. (2) 이산확률분포 확률변수 가 을갖고, 이들값을취할확률이각각 일때 P 를확률변수 의이산확률분포라하고, (3) 확률분포표 위의이산확률분포를다음과같이나타낸것을확률분포표라한다. 계 1 확률분포의성질 P (,,, ) 일때, 74 / 제 3 장통계

75 개념확인문제 02 확률분포 67. 확률변수 가취할수있는값은 0, 2, 4, 6 이고확률분포표가다음과같을때, 의값을구하시오. 67)( 단, 는상수 ) 68. 확률변수 의확률분포가 일때, 의값을구하시오. 68) 69. 확률변수 의확률분포가 log, 는상수 ) 일때, 라할때, 의값을구하시오. 단, log, log 69) 노박사수학 / 75

76 개념완성 02 확률분포 2. 이산확률분포의평균과분산 (1) 이산확률변수 의평균 확률변수 의확률분포가표와같을때, 를이룬다하고, 확률변수 의평균 (mean) 을기댓값 (Expectation) 이라고도한다. 이것을기호 또는 EX 로나타낸다. 계 E (2) 이산확률변수 의분산과표준편차 확률변수 의평균을 이라고할때 의평균을확률변수 의분산 (variance) 이라하고, V 또는 로나타낸다. 분산양의제곱근을표준편차 (standard deviation) 라하고, 로나타낸다 1 분산 V E 2 표준편차 V 76 / 제 3 장통계

77 개념확인문제 02 확률분포 70. 확률변수 의확률분포가다음과같다 합계 1 을만족하는양수, 에대하여 의값을구하시오. 70) 71. 의숫자가적힌카드가각각 1 장, 2 장, 3 장, 4 장있다. 이카드를잘 섞어서한장의카드를뽑을때, 뽑힌카드에적힌숫자의평균을, 분산을 라하자. 이 때, 의값을구하시오. 71) 72. 다음은확률변수 의확률분포표이다. 합계 세수 ( ) 가이순서로등비수열을이루고 확률변수 의평균이 일때, 의값을구하시오. 72) 노박사수학 / 77

78 개념완성 3. 확률변수의성질 02 확률분포 확률변수 와임의의상수, 에대하여 (1) 평균 : E (2) 분산 : V V (3) 표준편차 : 확률변수 와 가서로독립일때 E V E 78 / 제 3 장통계

79 개념확인문제 02 확률분포 73. 확률변수 에대하여, 이고, 확률변수 의 평균과분산이각각 일때, 의값을구하시오. 73)( 단, 는상수이고, ) 74. 확률변수 에대하여, 일때, 의값을 구하시오. 74) 75. 평균이, 표준편차가 인시험점수 를다음과같이표준점수 로바꾸고자 한다. 표준점수 의평균과표준편차를각각구하시오. 75) 노박사수학 / 79

80 개념완성 02 확률분포 4. 이항분포 (1) 이항분포 한번의시행에서사건 A 가일어날확률이, 일어나지않을확률을 라하고, 회의독립시행에서사건 A 가일어날횟수를 라하면, 의확률분포는라하고, 로나타낸다. ( 단, ) 계 (2) 이항분포의평균, 분산 확률변수 가이항분포 를따를때 평 균 : E 분 산 : V 확률변수 가이항분포 B 를따를때 E E 80 / 제 3 장통계

81 개념확인문제 02 확률분포 76. 에따르는확률변수 의평균과표준편차의곱을구하시오.76) 77. 확률변수 의확률분포가 ( ) 일때, 의표준편차를구하시오. 77) 78. 이항분포 을따르는확률변수 에대하여 의평균 을구하는식은 다음과같다. 을 으로나눌때, 의값을구하시오. 78)( 단, 는소수 ) 노박사수학 / 81

82 개념완성 [ 심화 ] 큰수의법칙 02 확률분포 어떤시행에서사건 A 가일어날확률이 일때, 회의독립시행중사건 A 가 일어나는횟수를 라하면 아주작은임의의양수 에대하여 limp < 회시행중사건 A 가일어날상대도수 과 A 의수학적확률 는 이크면거의같다. 이충분히커질때상대도수즉, 통계적확률은수학적확률로수렴함을알수있다. 따라서, 자연현상이나사회현상에있어서수학적확률을알수 없을경우에는그것대신에시행횟수를충분히크게한통계적확률을이용한다. 큰수의법칙 ( 베르누이의정리 ) 독립시행에서사건 A 가일어나는확률을 라하고 라하면 회의반복시행에서 A 가일어나는횟수를 라할때, A 가일어날횟수 는이항분포 Bn p 를따르므로 평균과표준편차 를체비셰프의부등식에대입하면 P < > 그런데 < 로부터 < 이므로 P < 임의의작은양수 로부터 P < 또 lim 이므로 lim P < 체비셰프의부등식이산확률변수 의평균을, 표준편차를 라고하면임의의양수 > 에대하여 P 82 / 제 3 장통계

83 개념확인문제 02 확률분포 79. 주사위한개를 회던질때, 6의눈이나오는횟수를확률변수 라할때, 는이항분포 을따른다. 다음표는, 30일때, 의근사값을정리한것이다 위의표를이용하여다음을구하시오. 79) (1) 일때, (2) 일때, 80. 이항분포 를따르는확률변수 에대하여 이라 하자. 위의표를이용하여다음보기중옳은것을모두고른것은? 80) ㄱ. [ 보기 ] ㄴ. ㄷ. lim 1 ㄱ 2 ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 노박사수학 / 83

84 을 t 의함수로보고양변을 t 에관하여미분하면 이식의양변에 t = 1 을대입하면 그런데 이므로 E(X) = np 이다.

85 03 연속확률분포

86 개념완성 1. 연속확률분포 (1) 연속확률분포 확률변수 가어떤구간안에있는모든실수값을취할때, 03 연속확률분포 확률변수 는를이룬다고한다. (2) 확률밀도함수 일반적으로구간 에속하는모든실수값을취하는확률변수 에대하여다음조건을만족하는함수 를확률변수 의확률밀도함수라고한다 (3) 이산확률분포와연속확률분포 이산확률분포 연속확률분포 분포와 그래프 도수확률평균분산 86 / 제 3 장통계

87 개념확인문제 03 연속확률분포 81. 연속확률변수 의확률밀도함수가 ( 는상수 ) 일때, 다음값을구하시오. 81) 상수 인상수 82. 구간 에서모든실수값을취하는연속확률변수 의확률밀도함수가 일때, 를만족한다. 이때, 의값을구하시오. 82) ) 구간 에서정의된확률밀도함수 에대하여다음 [ 보기 ] 에서 확률밀도함수인 것만을있는대로고른것은? [ 보기 ] ㄱ. ㄴ. ㄷ. 1 ㄱ 2 ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄴ, ㄷ 노박사수학 / 87

88 개념완성 2. 정규분포 (1) 정규분포 연속확률변수 에대하여확률밀도함수 의정의역이 이고 03 연속확률분포 πσ σ ( ) 으로나타내어지는확률분포를라하고, 이확률밀도함수의그래프를이라고한다. 평균이, 표준편차가 σ 인정규분포 (2) 정규분포곡선의성질 1 직선에대하여대칭이고, 이점근선이다. 2 일때, 최댓값 를가진다. 3 곡선과 축사이의넓이는이다. 4 이일정할때, 가클수록 곡선의높이는, 폭은 가작을수록 곡선의높이는 5 가일정할때, 이변하면, 폭은 대칭축의위치는 곡선의모양은 정규분포곡선 1 이일정할때 2 가일정할때 정규분포곡선의산포도 의값에따라정해진다. 88 / 제 3 장통계

89 개념확인문제 03 연속확률분포 84. 다음세곡선 가나타내는정규분포의평균과분산의대소관계를 바르게나타낸것은? 84) ( 단, 를평행이동하면 와일치한다.) 평균 분산 평균 분산 정규분포 을따르는확률변수 에대하여 이최대일때, 상수 의값을구하시오. 85) 86. 다음설명중옳지않은것은? 86) 1 표준편차가같은두정규분포곡선은평행이동하면포개어진다. 2 확률변수 가정규분포 을따를때, 상수 에대하여 이다. 3 확률변수 가정규분포 을따르고 일때, 의평균은 이다. 4 확률변수 가정규분포 을따르고 이면 이다. 5 확률변수 가정규분포 을따를때, 이면 이다. 노박사수학 / 89

90 개념완성 03 연속확률분포 3. 표준정규분포 (1) 표준정규분포 평균이, 표준편차가 인정규분포 N 을라고한다. (2) 정규분포의표준화 확률변수 정규분포 N 이면 표준정규분포 N 을따른다. 정규분포 N 표준정규분포 N 의변환을라한다. 표준정규분포표 P 표준정규분포표의왼쪽에있는수의열에서 1.2 를찾은다음위쪽에있는수의행에서 0.05 를찾아열과행이만나는곳의수를찾는다. P P 표준정규분포를따르는확률변수 Z 의확률구하기 / 제 3 장통계

91 개념확인문제 03 연속확률분포 87. 명을대상으로한켤레의신발을신는기간을조사하였더니평균이 개월, 표준편차가 개월인정규분포를따르는것으로나타났다고한다. 개월이내에새 신발을사는사람은약몇명인지구하시오. ( 단, ) 87) 88. 고등학교에다니는재현이는학교를가는데걸리는시간이평균 20분, 표준편차 5분인정규분포를따른다고한다. 학교에 7시까지도착해야하는데재현이가집에서 6시 33분에출발했다. 이때, 지각할확률을구하시오. 88) < 표준정규분포표 > 89. 확률변수 가정규분포 을따를때, 오른쪽 표준정규분포표를이용하여 을만족하는 의 값을구하시오. 89) < 표준정규분포표 > 노박사수학 / 91

92 개념완성 4. 이항분포와정규분포의관계 03 연속확률분포 확률변수 가이항분포를따를때, 이충분히크면 의분포는근사적으로 정규분포를따른다고알려져있다. ( 라플라스의정리 ) 이항분포 B 정규분포 Laplace 의정리 확률변수 가이항분포 B 을따를때, 의확률분포는다음식으로나타낼 수있다. ( 단, ) 일때,, 일때,, 일때, 을대입하여각각의경우를그래프로나타내면 이점점커짐에따라서좌우대칭으로되는것을알수있다. 일반적으로이항분포 B 는 이충분히클때, 근사적으로정규분포 에따른다는것이알려져있다. 이는정규분포가 limb 에서나온것이기때문이다. n 92 / 제 3 장통계

93 개념확인문제 03 연속확률분포 90. 확률변수 에대하여 일때, 확률 를구하시오. 90) ( 단, ) < 표준정규분포표 > 91. 인치 모니터를제조하는회사에서는불량화소수가 개이상이면불량품으로간주한다. 불량화소수가평균이 개, 표준편차가 개인정규분포를따를때, 이회사에서생산한 개의 모니터중불량품이 개이하일확률을위의표준정규분포표를이용하여구하시오. 91) < 표준정규분포표 > 92. 어느사과농장에서는사과의무게에따라등급을매긴다고한다. 무게가무거운것일수록등급이높고, 등급사과가나올확률이 라고한다. 개의사과중 등급인사과의개수를확률변수 라할때, 위의오른쪽표준정규분포표를이용하여 을만족하는 의값을구하면? 92) < 표준정규분포표 > 노박사수학 / 93

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95 4. 통계적추정

96 개념완성 04 통계적추정 1. 표본평균의분포 (1) 모집단과표본 전수조사 : 조사의대상전체를빠짐없이조사표본조사 : 자료의일부를조사하여전체를추정모집단 : 조사의대상이되는자료전체표본 : 모집단가운데에서통계의자료로서추출된것표본의크기 : 표본에포함되는자료의개수 (2) 모평균과표본평균 모평균 : 모집단의평균표본평균 : 모집단에서임의추출된 개의변량,,, 의평균 (3) 표본평균의평균과분산 모평균, 모표준편차 인모집단에서크기 인표본을임의로복원추출할때, 표본평균 에대하여다음이성립한다. 모집단 표본평균 크기 n 학교평균각반평균반평균의평균 (4) 표본평균 의분포 정규분포 N 을따르는모집단에서크기 인표본을임의추출할때, 각표본의평균,,,, 의분포는 다음정규분포를따른다. 모집단이정규분포를이루지않더라도표본의크기 이충분히크면근사적으로 위의정규분포를따른다. 96 / 제3장통계

97 개념확인문제 04 통계적추정 93. 정규분포를따르는모집단에서추출한크기가, 인표본평균의 확률밀도함수를각각, 라한다. 다음중, 의그래프의개형으로가장적당한것은? 93) 94.,,,, 의숫자가하나씩적혀있는 장의카드를모집단으로하여크기가 인표본을복원추출할때, 표본평균의평균 와표준편차 를차례로구하시오. 94) 95. 어느음료회사에서생산되는음료수의무게는평균이 표준편차가 인정규분포를따른다고한다. 개의음료수를한세트로판매한다고할때한세트의무게가 이하이면불량품으로판정한다. 위의표준정규분포표를이용하여 개의세트중불량품으로판정되는세트의개수를구하시오. 95) < 표준정규분포표 > P Z z 노박사수학 / 97

98 개념완성 2. 모평균의추정 04 통계적추정 모집단이정규분포 N 을따르고그크기가 인표본의평균을 라 할때, 모평균 은다음범위에있다고추정한다. 신뢰도 95% 일때, 신뢰도 99% 일때, 통계적추정과신뢰도모집단에서평균, 표준편차등을알지못할때, 표본을이용하여이들추측하는방법을이라고한다. 이때, 어떤추정이적중할확률을그추정의라하고, 그구간을이라한다. 신뢰도와신뢰구간 98 / 제 3 장통계

99 개념확인문제 04 통계적추정 96. 어느과일도매사에서판매하는수박중에서 144개를임의로추출하여무게를사하였더니평균이 g, 표준편차가 g이었다. 이것을근거로이과일도매상에서판매하는수박의평균무게 g을신뢰도 로추정하였더니 일때, 상수 의값을구하시오. 96)( 단, ) 97. 어느양계장에서나오는계란의무게는표준편차가 인정규분포를따른다고한다. 이양계장에서임의로 개를추출하여무게를조사하였더니평균이 이었다. 이때, 양계장에서나오는전체계란의평균무게 을신뢰도 로추정하시오. (P Z ) 97) 98. 어느고등학교에서 100 명의학생을추출하여수학점수를조사하였더니평균이 70 점, 표준편차가 15 점이었다. 전체학생들의평균 을신뢰도, 로각각추정할 때, 그신뢰구간의길이의차를구하시오. 98) ( 단,, ) 노박사수학 / 99

100 개념완성 04 통계적추정 3. 신뢰구간의길이 (1) 신뢰구간의길이와오차 ( 모평균과표본평균의차이 ) 모평균에대한신뢰도 95% 로추정할때, 신뢰구간 신뢰구간의길이 최대오차 (2) 신뢰도와신뢰구간의길이 모평균에대한신뢰도에따른신뢰구간의길이 신뢰도 95% 신뢰도 99% 신뢰도가높아지면신뢰구간의길이는 신뢰도가낮아지면신뢰구간의길이는 (3) 표본의크기와신뢰구간의길이 모평균에대한신뢰도 a% 의신뢰구간의길이에대하여 표본의크기가커지면신뢰구간의길이는 표본의크기가커지면신뢰구간의길이는 100 / 제 3 장통계

101 개념확인문제 04 통계적추정 99. 정규분포 을따르는모집단에서표본을추출하여모평균 을추정하고자한다. 신뢰도를일정하게할때, 표본의크기 과신뢰구간의길이 사이의관계에대한다음설명중옳은것은? 99) 1 을 2배로하면 도 2배가된다. 2 을 2배로하면 은 배가된다. 3 을 4 배로하면 은 2 배가된다. 4 을 4 배로하면 은 배가된다. 5 과 은서로아무관계도아니다 정규분포 Nm 을따르는모집단에서표본의 크기가 인표본을임의추출하여신뢰도 로추정한모평균의신뢰구간의길이를 이라하자. 신뢰구간의길이 을 로하기위하여신뢰도를약얼마로바꿔야하는지위의표준정규분포표를이용하여구하시오. 100) < 표준정규분포표 > P Z z 101. 정규분포를따르는모집단에서표본을추출하여모평균을추정하려고한다. 신뢰도 로추정한신뢰구간의길이를모표준편차의 이하가되도록하는표본의 크기의최솟값은? ( 단, P Z ) 101) 노박사수학 / 101

102 개념완성 4. 표본비율의분포 (1) 모비율과표본비율 04 통계적추정 1 모비율 : 모집단에서어떤사건에대한비율을고려할때, 그비율을그사건에대한 모비율이라하며, 기호로 로나타낸다. 2 표본비율 : 모집단에서임의추출한표본에서의비율을그사건에대한표본비율이라 하며, 기호로 로나타낸다. (2) 표본비율 의분포 모비율이 일때, 표본비율 에서확률변수 는 어떤사건이일어날확률 인시행을 번하였을때 그사건이일어난횟수이므로이항분포를따른다.,, 일반적으로표본비율 에대하여다음사실이알려져있다. 모비율이 이고표본의크기 이충분히클때, 표본비율 의분포 102 / 제 3 장통계

103 개념확인문제 04 통계적추정 102. 어느지역의고등학생 학년중에서 명을임의추출했을때 명이 여학생이었다. 여학생의표본비율 를구하시오. 102) 103. 모집단에서임의추출한 명의고등학생중에서여학생이 명이라할때, 여학생의표본비율을구하시오. 103) 104. 어느회사의직원중에서 % 는정기적으로운동을한다고한다. 이회사에서 임의추출한 명중에서정기적으로운동을하는사람의비율이 % 이상이고 % 이하일 확률을구하시오. 104) 노박사수학 / 103

104 개념완성 5. 모비율의추정 04 통계적추정 모집단이정규분포 N 을따르고 그크기가 인표본의비율을 라할때, 표본의크기 이충분히크면모비율 의신뢰구간은 1 신뢰도 의신뢰구간 2 신뢰도 의신뢰구간 통계적추정과신뢰도 모집단에서평균 [ 비율 ], 표준편차등을알지못할때, 표본을이용하여이들 추측하는방법을 이라고한다. 이때, 어떤추정이적중할확률을그 추정의라하고, 그구간을이라한다. 104 / 제 3 장통계

105 개념확인문제 04 통계적추정 105. 배추씨앗은발아율이 라한다. 이씨앗을 개심었을때, 개이상발아할 확률을구하시오. 105)( 단, ) 106. 어느핸드폰회사에서는새로운모델의디자인에대한선호도를알아보기위하여 명을임의추출하여조사하였더니이들중에서 명이새로운디자인을선호하였다. 이때전체국민중에서새로운디자인을선호하는비율의신뢰도 % 의신뢰구간을구하시오. ( 단, ) 106)( 단, 소수점아래넷째자리에서반올림한다.) 107. 우리나라성인을대상으로특정질병에대한항체보유비율을조사하려고한다. 모집단의항체보유비율을, 모집단에서임의로추출한 명을대상으로조사한 표본의항체보유비율을 이라고할때, 일확률이 이상이되도록하는 의최솟값을구하시오. ( 단, 가표준정규분포가따르는확률변수일때, 이다. ) 107) 노박사수학 / 105

106

107 해답편

108 1) 정답 : 가지 의배수의집합을, 의배수의집합을 라하면 이때 는 과 의최소공배수인 의배수의집합이므로 따라서 과 로나누어떨어지는수의개수는 An early bird gets worm. 이때, 이 일때도 가지씩이므로 ( 가지 ) 5) 정답 가지 단을 회, 단을 회오른다면 ( 단, 는음이아닌정수 ) (ⅰ) 일때, ( 가지 ) (ⅱ) 일때, 단 개, 단 개를일렬로나열하는 방법의수이므로 7( 가지 ) 2) 정답 : 개 에서 (ⅰ) 일때, 을만족하는 의순서쌍 는 의 개 (ⅱ) 일때, 을만족하는 의순서쌍 는 의 개 (ⅲ) 일때, 를만족하는 의순서쌍 는 의 개따라서구하는순서쌍의개수는 ( 개 ) (ⅲ) 일때, 단 개, 단 개를일렬로나열하는방법의수이므로 15( 가지 ) (ⅳ) 일때, 단 개, 단 개를일렬로나열하는방법의수이므로 10( 가지 ) (ⅴ) 일때, ( 가지 ) ( 가지 ) 6) 정답 89가지 3) 정답 : 가지 의양의약수의개수는 ( 개 ) 4) 정답 가지 7) 정답 : 답 (1) (2) (3) (4) (1) 이므로 (2) 이므로 (3) 에서 인경우를생각하면오른쪽그림에서와같이 를차례로 로놓고 의각각에대하여 에대응하는수를정하고 를정한다. 따라서, 수형도그림에서 일때, 가지이다. 또는 또는 이때, 이므로 (4) 에서 108 / 해답편

109 An early bird gets worm. 또는 그런데 이므로 8) 정답 : 정답 : 명중 명을선택하는경우의수이므로 ( 가지 ) 12) 정답 : 가지남자를, 여자를 로나타내면남녀가교대로서는경우는 9) 정답 : 의꼴 의꼴 의꼴 의꼴 따라서, 구하는네자리짝수의개수는 ( 개 ) 10) 정답 : 3 맨앞에 이오는것을제외하고생각한다. 의두가지방법이있다. ( 가지 ) 13) 정답 : (1) (2) (1) 명이원탁에둘러앉는방법의수는 ( 가지 ) (2) 남자 명이원탁에둘러앉는방법의수는 ( 가지 ) 남자사이의 개의자리에여자 명이앉는방법의 남학생 명을일렬로세우는방법의수는 가지 오른쪽그림에서남학생 명사이의 개의자리와 수는 ( 가지 ) 따라서, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 양끝의 개의자리중 개의자리에여학생을세우는 방법의수는 가지 따라서, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 14) 정답 : 가지 가운데작은원에색을칠하는방법은 가지이고, 나머지 가지의색을 등분한칸에칠하는방법의 수는 개를원형으로배열하는원순열의수와같다. 11) 정답 : 가지 나중에학생들이앉았을때, 세선생님이모두두 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) 학생사이에안젝되도록 세선생님의 자리를정한다는것은세선생님이 개의좌석중에서양끝자리에는앉지않으면서서로이웃하지도않는다는것이다. 즉, 오른쪽그림과같이학생들이앉을 개의의자사이사이에있는 1~5중세곳에세선생님이각각앉으면되므로구하는방법의수는 15) 정답 : 가지공이회전하여겹치는것은모두같은것으로생각한다. 가지색에번호를붙여 이라하면아래그림과같은 가지경우의농구공이된다. 노박사수학 / 109

110 ( 가지 ) An early bird gets worm. 19) 정답 : 가지 를같은문자로생각한다. 그러므로 가지색으로만들어지는원순열 중에는 모두한쌍씩같은것이있게된다. 따라서, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 이를테면 를모두 라하고, 를일렬로배열한다음 개의 를차례로 로바꿔주면된다. 16) 정답 : 가지 명을원형으로배열하는경우의수는 이다. 그런데정삼각형인경우아래의그림과같이서로다른경우가각각 가지씩존재하므로구하는방법의수는 ( 가지 ) 이렇게 의순서를유지할수있다. 따라서, 구하는방법의수는 ( 가지 ) 20) 정답 : 가지 에서 를지나 로가는최단거리의수는 에서 로갈때가로를 개, 세로를 개지나고 에서 17) 정답 : 명이둘러앉는원순열을생각하면 그런데아래그림과같이각각의경우에대해 가지의다른경우가있으므로구하는방법의수는 로갈때가로를 개, 세로를 개지나므로 21) 정답 : 가지 ( 가지 ) 단을 회, 단을 회오른다면 ( 단, 는음이아닌정수 ) (ⅰ) 일때, ( 가지 ) (ⅱ) 일때, 단 개, 단 개를일렬로나열하는 18) 정답 : 4 오른쪽그림에서 1~5의좌석은모두다른위치이므로 방법의수이므로 ( 가지 ) (ⅲ) 일때, 단 개, 단 개를 일렬로나열하는 110 / 해답편

111 방법의수이므로 ( 가지 ) (ⅳ) 일때, 단 개, 단 개를 일렬로나열하는 방법의수이므로 ( 가지 ) (ⅴ) 일때, ( 가지 ) ( 가지 ) 22) 정답 : 가지 다섯자리정수, 네자리정수는각각앞자리에 을 제외한다. 따라서, 구하는합은 23) 정답 : 개 에서중복을허락하여 개를뽑아나열하는 방법의수는 이다. 이때, 가연속하여수신이불가능한경우는 (ⅰ) 가 개연속할때 의 가지 (ⅱ) 가 개연속할때 의 가지 따라서, 수신이가능한단어의개수는 ( 개 ) 25) 정답 : An early bird gets worm. 이순서대로등차수열을이루므로 이므로양변을 으로나누면 26) 정답 : 전체 명중에서 명을뽑는경우의수는 ( 가지 ) 야구선수만 명을뽑는경우의수는 ( 가지 ) 농수선수만 명을뽑는경우의수는 ( 가지 ) 따라서구하는경우의수는 ( 가지 ) 24) 정답 : 가지 개를사용하여만들수있는신호는 개를사용하여만들수있는신호는 개를사용하여만들수있는신호는 개를사용하여만들수있는신호는 따라서, 구하는신호의가짓수는 27) 정답 : 정 각형의대각선의개수는 개의꼭지점에서 개를택하는경우의수에서변의개수인 을뺀 값과같으므로 ( 은자연수 ) ( 가지 ) 정십각형에서어느세점도일직선위에있지 노박사수학 / 111

112 않으므로 개의꼭지점중에서 개를선택하면 사각형이결정된다. 따라서구하는사각형의개수는 ( 개 ) ( 가지 ) 따라서, 구하는경우의수는 ( 가지 ) An early bird gets worm. 28) 정답 : 는이미자리가정해져있으므로 명을 명, 명의두조로나누고다시 명을 명, 명으로 나누는방법의수와같다. 따라서대진표를작성하는 방법의수는 ( 가지 ) < 다른풀이 > 명을 명, 명, 명의세조로나누고세조 중에서 와평가전을치를한조를택하면되므로 대진표를작성하는방법의수는 ( 가지 ) 29) 정답 30) 정답 5 한팀의구성원이결정되어팀에 명부터 명까지구성되는모든경우의수는 이다. 명의학생을두팀으로나누는방법의수는한팀의구성원이 명이결정되어나머지 명이구성되는경우와한팀의구성원이 명이되어나머지한명이구성되는경우의수가같으므로, 31) 정답 (1) (2) 32) 정답 한학교의두선수는서로다른조에들어가야한다. 학교의특정한한선수가 ( 가 ) 에들어간다고하면 다른선수는 ( 나 ) 에들어가야한다.,, 학교의한선수를 ( 가 ) 에배정하는방법이 각각 가지씩이므로 ( 가지 ) ( 가 ) 에서조를완성하는방법의수는 ( 가지 ) 이각각에 ( 나 ) 에서조를완성하는방법의수는 112 / 해답편 33) 정답 34) 정답 (1) (2) 35) 정답 36) 정답 치역의원소를 라하면함숫값은 또는 꼴이다.

113 집합 의 개의원소중에서치역의원소가되는 개를택하는방법의수는 C 이때치역의원소를 라하면 중에서함숫값을택하는경우는 의 가지이다. An early bird gets worm. 가일대일함수임을의미한다. 이될수있는것은 의 가지 는 을제외한 가지 은, 를제외한 가지 (ⅰ) C 인경우의수는 따라서, 구하는함수의 개수는 (ⅱ) C 인경우의수는 따라서구하는함수의개수는 37) 정답 : (1) 가지 (2) 가지 (1) 서로다른 개에서중복을허락하여 개를뽑는 중복조합의수이므로 (2) 서로다른 개에서중복을허락하여 개를 택하는중복조합의수이므로 38) 정답 : ⑴ ⑵ ⑴ 음이아닌정수해의개수는 개의문자 에서 개를뽑는중복조합의수와같으므로 ⑵ 양의정수해의개수는 개의문자 에서 개를뽑는중복조합의수와같으므로 39) 정답 : ⑴ ⑵ ⑶ ⑴ 주어진조건은집합 의서로다른원소에집합 의서로다른원소가대응하는것이므로함수 ⑵ 주어진조건은 의값이커지면 의값도커져야한다는것을의미하므로오른쪽그림과같이 개의수 에서 개를뽑아크기순서로 에대응시키면된다. 따라서, 구하는함수의개수는 ⑶ 주어진조건은 의값이커지면 의값은크거나같아져야한다는것을의미하므로오른쪽그림과같이 개의수 에서중복을허락하여 개를뽑아크기순서로 에대응시키면된다. 따라서, 구하는함수의개수는 40) 정답 : ⑴ ⑵ ⑴ i 일반항은 ii 이되려면 iii 따라서구하는계수는 ⑵ i 뺄셈은덧셈을바꾼후이항정리를이용 에서 노박사수학 / 113

114 ii 이되려면 iii 따라서구하는계수는 An early bird gets worm. 41) 정답 : C 의전개식의일반항은 항은 일때이므로 C 따라서 의계수는 C 42) 정답 : 2 이므로 이때, 이고, 이므로 [ 다른풀이 ] 43) 정답 : (1) (2) (3) (1) C r n C n C n C n C n n C 무한등비급수의합 (2) ( 짝수번째항의합 ) ( 홀수번째항의합 ) ( 전체의절반 ) C C C C ( 준식 ) log log (3) 이항계수는좌우대칭 ( 왼쪽절반 ) ( 오른쪽절반 ) ( 전체의절반 ) C C C C C ( 준식 ) log log 44) 정답 : (1) (2) (3) C C C C C ᄀ (1) ᄀ의양변을 에대하여미분하면 C C C C 위의식의양변에 을대입하여정리하면 C C C C (2) ᄀ의양변을 에대하여적분하면 nc nc C x x nc x n n x n 위의식의양변에 을대입하여정리하면 114 / 해답편

115 C C (3) (ⅰ) C C C C C C C C 위의식에 와 를각각대입한후변끼리 더한다. C C C C C ) C C C C C C C C i i C C C C (ⅱ) 로마무리 C C C C C 45) 정답 : 3 이므로 1 개를꺼내는경우의수는 ( 가지 ) 따라서, 구하는확률은 47) 정답 : An early bird gets worm. 팀은 팀과의 경기에서 승 패의 성적을거두고있으므로 팀은 팀과의 경기에서 승 패의 성적을거두고있으므로 48) 정답 : 라하면 이때, 일확률은다음그림에서 이것은 에서 의계수이므로 46) 정답 : 6 개의공중에서 2 개의공을꺼내는경우의수는 ( 가지 ) 흰공 3 개중에서 1 개를꺼내고, 검은공 3 개중에서 49) 정답 : 4 이므로 이다. 따라서, 서로배반사건인것은 와이다. 노박사수학 / 115

116 50) 정답 : 이므로 51) 정답 : 적어도한개가합격품일사건을 라고하면, 그여사건 는합격품이한개도나오지않는 사건이다. 합격품이한개도나오지않을확률은 An early bird gets worm. 학생이서점, 독서실, 제과점에들르는사건을각각,, 라하고, 우산을잃어버리는사건을 라 하면 P P P P P P P 따라서, 구하는확률은 P P P 54) 정답 : 개의공중에서 개를꺼낼때흰공이나올 이므로 52) 정답 : P 이므로 P P P P P 이므로 P P P 확률은, 검은공이나올확률은 이고 A가 회, 회, 회, 에서흰공을먼저꺼내면이기므로 회에이길확률 : 회에이길확률 : 회에이길확률 : : : : : 따라서, A가이길확률은 53) 정답 : 116 / 해답편

117 An early bird gets worm. 57) 정답 : P, P 이고두사건 와 는서로독립이므로 P PP 55) 정답 : 이때, 에서 그런데, 가독립이므로 56) 정답 : 1,,,,,,, 이므로 따라서, 이므로 의값으로가능한것은,,,, 이다. 그러므로가능한 의값의합은 58) 정답 : 탄환이두발이상표적에명중할확률은한발만표적에명중할확률과모두표적에명중하지못할확률의합의여사건의확률이다 (ⅰ) 탄환이한발만표적에명중할확률은 C (ⅱ) 탄환이모두표적에명중하지못할확률은 C (ⅰ), (ⅱ) 에서탄환이두발이상표적에명중할확률은 와 는종속 와 는독립 와 는독립 와 는독립 와는독립 59) 정답 : 동전을 회던질때, 적어도한번앞면이나올확률 은모두뒷면이나올확률의여사건의확률이므로 C, 60) 정답 : 번째게임에서이길확률이 이므로지는확률은 노박사수학 / 117

118 P 이다 63) 정답 : An early bird gets worm. 따라서, 번째게임에서이길확률 P 은다음과같다 (ⅰ) 번째게임에서는이기고, 번째게임에서도이길확률 : P (ⅱ) 번째게임에서는지고, 번째게임에서는이길확률 : P (ⅰ), (ⅱ) 에서 P P P P P P 64) 정답 :4 1 편차는양수와음수가모두나올수있다. 2 산포도에서대표적인것은분산과표준편차이다. 3 편차의합은항상 이다. 5 표준편차가작을수록분포상태가고르다. P P P P limp 이므로 65) 정답 :3 가평균을 이라하면과부족은각각, 가되므로, 평균 M 은 M, 평균이 이므로, 편차도각각 61) 정답 :3 변량의총합 평균 변량의총개수 가되어, 분산 을구하면, ( 평균 ) ( 점 ) 62) 정답 : 점 ( 전체학생의평균 ) 점 표준편차 66) 정답 : A 반의 편차 의총합은 B 반의 편차 의총합은 두반전체의분산이 이므로 118 / 해답편

119 67) 정답 : 에서 에서 또는 또는 또는 loglog log An early bird gets worm. 70) 정답 : 68) 정답 : 확률변수 가취하는값이 1, 2,, 8 이고확률의 총합은 1 이므로 각항을더하면 확률의총합은 1 이므로 ᄀ 이므로,, 또는 69) 정답 : 확률변수 가취하는값이 1, 2,, 9이고확률의총합은 1이므로 log log log 그런데ᄀ에서 이고,, 는 양수이므로, 71) 정답 : 노박사수학 / 119

120 총 10장의카드에서 1, 2, 3, 4의숫자가 적힌카드가각가 1장, 2장, 3장, 4장 있으므로뽑힌카드에적힌숫자를확률변수 라하면확률분포는다음과같다 합계 1 An early bird gets worm. ᄂ에서 ( ) 을ᄀ에대입하면 따라서, 이므로 74) 정답 :, 이므로 72) 정답 : 가이순서로등비수열을이루므로 주어진확률분포표에서 이므로 를두근으로하는 에대한이차방정식은, 또는 이때, 이므로 이므로 75) 정답 :, 확률변수 의평균이 이므로 확률변수 의표준편차가 이므로 76) 정답 : 73) 정답 :, 이므로 ᄀ ᄂ 77) 정답 : 따라서, 확률변수 는이항분포 따르므로 을 120 / 해답편

121 표준편차 78) 정답 : 이항정리에서 이므로 따라서,, 이므로 79) 정답 : (1) (2) (1) 이므로 에서, (2) 이므로 에서, 80) 정답 :5 ㄱ. An early bird gets worm. 확률분포 는이항분포 를 따르므로 참 ㄴ. ( 참 ) ㄷ. 큰수의법칙은시행횟수 이충분히 크면통계적확률 가수학적확률 에 가 워짐을나타내므로 lim 이다. ( 참 ) 그러므로ㄱ, ㄴ, ㄷ모두참이다. 81) 정답 : 노박사수학 / 121

122 이므로 An early bird gets worm. 는다음그림의어두운부분의넓이와같으므로 83) 정답 : 4 는확률밀도함수이므로 ㄱ. 이고, ㄴ.[ 반례 ] 일때, 로놓으면 이때 에서 이므로 는확률밀도함수가아니다. ㄷ. 이고, 82) 정답 : 는주기가 인주기함수를나타낸다. 주어진조건을이용해그래프를그리면다음과같다. 이상에서확률밀도함수인것은ㄱ, ㄷ이다. 84) 정답 : 1 평균은중앙의위치이므로 어두운부분의넓이가 이므로 분산의크기가커지면분산된정도가커지고, 작아지면중앙으로집중하므로 따라서정답 : 은 / 해답편

123 85) 정답 : An early bird gets worm. 정규분포곡선은평균에대하여좌우가대칭이고 의 값이평균일때최댓값을갖는다. 따라서, 의값이평균인 일때, 가최대이다. 86) 정답 : 5 1 표준편차가같으면그래프의폭이같으므로 표준편차가같은두정규분포곡선은평행이동하면 포개어진다.( 참 ) 2 연속확률변수에서는상수 에대하여 이므로 ( 참 ) 3 정규분포곡선은평균에대하여좌우가대칭이므로 의평균은 와 의중점인 이다.( 참 ) 4 정규분포곡선은평균에대하여좌우가대칭이므로 평균을중심으로오른쪽의넓이와왼쪽의넓이는 로같다. 따라서, 이면 의 값은 의평균이다. ( 참 ) 5 에서 이므로 따라서, 개월이내에새신발을사는사람은 ( 명 ) 88) 정답 : 집에서 6 시 33 분에출발하여지각한다는것은집에서 학교까지가는데 27 분이넘게걸렸다는것을 뜻하므로학교까지가는데걸리는시간을 분이라 하면구하는확률은 이다. 확률변수 는정규분포 을따르므로 확률변수 은표준정규분포 을 따른다. 89) 정답 : 에서 이 보다 작으므로 는평균보다큰값이다. 에 서 확률변수 를표준화하면 ( 거짓 ) 이므로 87) 정답 : 명 한켤레의신발을신는기간을확률변수 라하면 는정규분포 을따르므로 90) 정답 : 확률변수 는이항분포 을따르므로 노박사수학 / 123

124 An early bird gets worm. 따라서 는근사적으로정규분포 N 을 따른다. 이때, 으로놓으면 는표준정규분포 을 따르므로 91) 정답 : 124 / 해답편 불량화소수를확률변수 라하면 는정규분포 을따르므로 따라서, 모니터 개가불량품이될확률은 이다. 불량품의개수를확률변수 라하면 는이항분포 을따른다. 따라서, 는근사적으로정규분포 을 따른다. 불량품이 개이하일확률은 92) 정답 : 등급인사과의개수가확률변수 이므로 는 이항분포 를따른다. 따라서, 는근사적으로정규분포 을 따른다. 에서확률이 보다작으므로 이므로 93) 정답 : 4 모집단이 을따른다고할때, 확률밀도함수 를따르는표본평균을, 확률밀도함수 를따르는표본평균을 라고 하면, 이고, 이다., 에서 따라서, 4 의그래프가가장적당하다. 94) 정답 : 평균 :, 표준편차 :

125 An early bird gets worm. 따라서,, 이므로 이므로, 97) 정답 : 95) 정답 : 음료수의무게를확률변수 라하면 E X X 따라서, 는정규분포 N 을따른다. 한세트에음료수가 개있으므로세트의무게를 확률변수 라하면 이다. EY E X E X 따라서, 는정규분포 N 을따른다. 한세트의무게가 이하일확률은 PY P Z PZ P Z 따라서, 한세트가불량품으로판정된확률이 이므로 ( 개 ) 표본평균이 모표준편차가 표본의크기가 이므로 P Z 에서 P Z 이므로 이다. 따라서, 모평균 을신뢰도 로추정하면 98) 정답 : 표본의크기가충분히크므로모표준편차대신 표본표준편차를사용할수있다. (ⅰ) 신뢰도 로추정할때 ( 신뢰구간의길이 ) (ⅱ) 신뢰도 로추정할때, ( 신뢰구간의길이 ) (ⅰ), (ⅱ) 에서신뢰구간의길이의차는 96) 정답 : 표본의크기가충분히크므로모표준편차대신 표본표준편차를사용할수있고, 표본평균은 g, 표본표준편차는 g, 표본의크기는 이므로전체 수박의평균무게 g 을신뢰도 로추정하면 99) 정답 : 4 신뢰도를일정하게하면신뢰도에따른상수 에 대하여신뢰구간의길이 나타내어진다. 따라서, 을 4배로하면 배가된다. 로 이므로 노박사수학 / 125

126 100) 정답 : 표본의크기가 모표준편차가 이고신뢰도 로추정하므로 P k Z k 라할때, 신뢰도 로추정한신뢰구간의길이를 이라하자. 따라서, P Z 이므로 P Z P Z 따라서, 신뢰도 로바꾸면된다. 101) 정답 : 표본의크기를, 모표준편차를 라하면신뢰도 로추정한모평균의신뢰구간의길이가 모표준편차의 nm1 over 3 이하여야하므로, 따라서, 표본의크기의최솟값은 이다. 102) 정답 : 103) 정답 : 104) 정답 : An early bird gets worm. 명중에서정기적으로운동을하는사람의비율을 이라고하면구하는확률은 P ) 이다. 한편표본의크기는 이고모비율은 이므로 N 을따른다. 따라서구하는확률은 는근사적으로표준정규분포 P P P 105) 정답 : 씨앗 개중에서발아한씨앗의개수의비율을 이라고하면구하는확률은 이때표본의크기는 이고모비율은 이므로 을따른다. 따라서구하는확률은 은근사적으로표준정규분포 126 / 해답편

127 An early bird gets worm. 106) 정답 : 새로운디자인을선호하는표본비율은 이다. 이때 이고 이므로 는 근사적으로표준정규분포 N 을따른다. 모비율 의신뢰도 % 신뢰구간의양끝값은, 따라서구하는신뢰구간은 이다. 107)[ 정답 ] [ 해설 ] 이충분히큰경우 은근사적으로정규분포 를따른다. 이므로, 따라서 은 이상이어야한다. 노박사수학 / 127

128 128 / 해답편 An early bird gets worm.