양자우리 우리는지난주에 19세기말부터시작하여 20세기에들어서기까지그동안알고있던물리학으로는해결될수없는문제들이자꾸대두되었다는사실을알았습니다. 그래서마치코페르니쿠스가지동설을제안하고브라헤가행성들의움직임을오랫동안에걸쳐서자세히관찰한뒤에케플러법칙이라는경험법칙이나왔듯이미시세계에서벌어지는사건들에대한여러가지경험법칙들이나왔습니다. 그런미시세계에대한경험법칙으로는보어의원자모형, 파울리의배타원리, 하이젠베르크의불확정성원리, 보어의상보성원리, 드브로이의물질파이론등이있습니다. 마치왜그런지는모르지만행성의운동에대한케플러법칙이행성의운동을잘설명해주듯이, 왜그런지는모르지만위와같은경험법칙들이미시세계에서일어나는일들을잘설명해주었습니다. 그리고사람들은마치뉴턴역학이나와서케플러법칙이왜성립했는지를밝혀주듯이미시세계에대한경험법칙들이왜성립하는지를설명해줄기본원리가밝혀지기를손꼽아기다리게되었습니다. 지난주에공부한미시세계에대한여러경험법칙들이미시세계의기본자연법칙을알아내는데모두도움이되었지만그중에서가장직접적인정보를제공해준것은바로수소원자에대한정보이었습니다. 행성에서온빛을관찰하여거시세계의자연법칙을발견하게된것처럼수소원자에서나온빛을관찰하여미시세계의자연법칙을발견하게된것입니다. 이렇게빛은인간이자연법칙을점점더자세히알아가 325
는데항상중요한단서를제공해주곤하였습니다. 그런데미시세계의자연법칙을알아내는과정은거시세계에대한그것과는비교가되지못할정도로어려웠습니다. 거시세계의자연법칙은뉴턴한사람에의해처음부터끝까지단번에해결되었지만미시세계의자연법칙을수립하기까지는수많은사람들의공동노력이필요하였습니다. 그리고드디어미시세계의자연법칙이드러나게되었습니다. 그것이바로양자역학입니다. 뉴턴역학에서뉴턴의운동방정식이자연의기본법칙인운동법칙이듯이양자역학에서는슈뢰딩거방정식이미시세계에대한자연의기본법칙인운동법칙입니다. 마치거시세계에서는뉴턴의운동방정식을풀면모든문제가해결되듯이미시세계에서는슈뢰딩거방정식을풀면모든문제가해결됩니다. 그런데미시세계의자연법칙인양자역학을찾아내는데물리학자들은처음에무척힘들어하였습니다. 미시세계의자연법칙이거시세계와다르다고말할때그의미는단순히운동방정식의형태가다르다는정도가아니었습니다. 미시세계는거시세계와완전히달랐습니다. 그래서거시세계에서일어나는자연현상을기술하는언어로는미시세계에서일어나는현상을이야기할수가없었습니다. 거시세계에속한대상은결코동시에입자이거나파동일수가없습니다. 그런데미시세계에속한대상은빛이나전자처럼무엇이든지동시에입자이기도하고파동이기도하다는것을알고무척놀랐습니다. 그렇지만그것은그냥놀랄일은아니었습니다. 이제우리는미시세계란우리주위에서느끼는거시세계와는완전히다르고거시세계에서이용되는언어를가지고는미시세계에서일어나는일을기술할수가없다는것을인정하여야만되었습니다. 그렇다고잘알지도못하는미시세계를위하여언어를따로만들수도없는노릇이었습니다. 그래서우리가할수있는최선의방법이란그냥빛이입자이기도하고파동이기도하다고말하고, 전자도입자이기도하고파동이기도하다고말하는것입니다. 이번주에는양자역학이어떻게미시세계를설명하는지보게됩니다. 28장에서는미시세계에대한운동방정식인슈뢰딩거방정식을소개합니다. 그리고 29장에서는일부러간단하게만든몇가지문제에대해슈뢰딩거방정식을어떻게적용하는지알아봅니다. 그리고마지막으로 30장에서는양자역학을이용하여원자의구조를어떻게설명하게되는지공부합니다. 326
28. 슈뢰딩거방정식 거시세계의운동법칙인뉴턴의운동방정식은미시세계에적용될수없다. 그이유를하이젠베르크의불확정성원리를이용하여설명하라. 거시세계에서운동방정식을적용하는방법과미시세계에서운동방정식을적용하는방법사이에는어떤차이가있는가? 미시세계의운동법칙을슈뢰딩거방정식이라고부른다. 뉴턴의운동방정식으로부터유도한에너지보존법칙으로부터슈뢰딩거방정식에도달하기까지의과정을설명하라. 20세기초미시세계의자연법칙이라고밝혀진양자역학을찾아내기까지물리학자들은무척힘들었다. 여기서자연법칙이란이제우리가잘아는것처럼운동법칙을말한다. 우리는 1학기에거시세계의자연법칙인운동법칙을배웠다. 뉴턴의운동법칙또는뉴턴의운동방정식이라고알려진 가바로거시세계의운동법칙이다. 미시세계의자연법칙이거시세계의그것과다르다는것은단순히운동법칙의형태가다르다는정도가아니었다. 미시세계는거시세계와완전히달랐다. 다시말하면미시세계에서일어나는자연현상을묘사하는언어가거시세계에서일어나는자연현상을묘사하는언어와전혀같지않았다. 우리는당시에미시세계를기술할언어를가지고있지못하였다고말하는편이더옳으리라. 그래서미시세계의자연법칙을알아내는일이어려웠다. 그렇지만물리학자들은결국해내었다. 미시세계를기술하는언어를찾아내었고미시세계의자연법칙에해당하는운동방정식도알아내었다. 알고보니참그럴듯하였다. 미시세계의자연현상에적용되는운동방정식을슈뢰딩거방정식이라고부른다. 이장에서는슈뢰딩거방정식에대해서공부하자. 그런데슈뢰딩거방정식은이렇게생겼다고알려주는것만으로는아무런쓸모가없다. 슈뢰딩거방정식을어떻게이용하는지그결과를어떻게해석하는지등을알아야한다. 그것이앞에서내가언어가다르다고말한내용이다. 327
그러면먼저거시세계에서는운동법칙을어떻게이용하고어떻게해석하는지살펴 보자. 이것은바로 1 학기때역학에서배운내용이다. 거시세계의자연법칙인뉴턴의 운동방정식을쓰면한물체가 1 차원직선운동을하는아주간단한경우에 (28.1) 이된다. 이것은질량이 인물체에 라는힘이작용할때 축으로제한된물체의위치 가만족하는식이다. 뉴턴역학에서는이 만구하면이물체에대한모든물리량을구할수가있다. 를시간에대해미분하면물체의속도가나오고, 그속도에물체의질량을곱하면물체의선운동량이나오고, 등등, 물체에속한물리량은하나도빠짐없이모두구할수있다. 그래서뉴턴역학에서는시간의함수로구한물체의위치벡터가, 다시말하면 가물체에대한모든정보를다포함하고있다고말한다. (28.1) 식은단한물체가직선위라는제한된공간에서운동할때적용되도록간단히만든경우에대한운동방정식이다. 질량이각각,,, 인 개의물체가서로상호작용하면서 3차원공간내에서움직이는일반적인경우에는풀어야할뉴턴의운동방정식이물체마다한개씩모두 개로이루어져있으며 여기서 (28.2) 가된다. 여기서첨자 에는 1 부터 까지가능하여모두 개의방정식이된다. 만일 번째물체에작용하는힘 가단지 번째물체의위치벡터 에만의존한다면 (28.2) 식으로주어진 개의방정식을하나씩따로풀수가있지만 가다른입자 들의위치벡터에도의존한다면이들 개는서로연관된연립방정식이며한꺼번에 같이풀어야한다. 그렇지만아무튼이렇게구한 개의위치벡터 를시간의함 수로구하면 개의물체로이루어진이계에대한모든물리량을얻을수있다. 그래 서물체들의위치벡터가이계에대한모든정보를다포함하고있다고말한다. 그러나미시세계의자연현상에는 (28.1) 식이나 (28.2) 식과같은뉴턴의운동방정식 을적용할수가없었다. 다시말하면뉴턴의운동법칙이미시세계에서는성립하지가 않았다. 여기서뉴턴의운동법칙이미시세계에서는성립하지않았다는말이단순히 328
28. 슈뢰딩거방정식 뉴턴의운동방정식의형태가좀수정되어야한다는등을의미하는것이아니었다. 앞에서설명한것처럼거시세계에서는물체의위치벡터가그물체에대한모든정보를다포함하고있고그래서뉴턴의운동방정식을이용하여그위치벡터를구하는것이역학의목표이었는데미시세계에서는그렇지가않았다. 그런방법이통하지가않았다. 아니면근본적으로미시세계에속한물체의위치를시간의함수로구할수가없었다. 지난 27장에서배운미시세계에대한경험법칙들이모두미시세계는거시세계와근본적으로다르다는점을암시하고있지만미시세계에서는거시세계에서처럼물체의위치를시간의함수로구하여문제를해결하는방법이통하지않는다는것을극적으로알려주는경험법칙이바로하이젠베르크의불확정성원리이다. (27.1) 식으로주어진불확정성원리를다시쓰면 (28.3) 가되는데여기서 는플랑크상수 를 로나눈것과같다. 와광속 를이용하면플랑크상수 의값을기억하기쉽게 (28.4) 라고놓을수있으므로사람들은 를즐겨이용한다. (28.3) 식에나오는대상물체 의위치에대한불확정성 와선운동량에대한불확정성 는각각 (28.5) 라고정의되는데이식에서 기호는평균을나타낸다. 그래서위치의불확정성 는 의평균과 의평균의제곱사이차이의제곱근과같다. 그런데미시세계에서도대상물체의위치가거시세계에서처럼운동방정식에의해서결정된다면위치를정확히아는것이므로위치에대한불확정성 는 0이다. 그뿐아니라물체의위치가시간의함수로 와같이주어진다면 를시간에대해미분하여속도를구하고그속도에질량을곱하여선운동량도정확히정해지므로선운동량에대한불확정성 도역시 0이다. 그러므로미시세계에서불확정성원리 329
인 (28.3) 가결코성립될수없다. 그래서미시세계에적용되는운동법칙은거시세계 에서와같은방법으로주어지는것이아님이분명하다. 다시말하면거시세계에서는 원하는물리량을나타내는 값이운동법칙으로부터직접구해졌지만미시세계에서 불확정성원리가성립된다는것은미시세계에서는물리량을대표하는 값과같은 것이운동법칙으로직접주어질수가없음을의미한다. 사실위치를대표하는 뿐 아니라거시세계에서성립되는자연법칙의특징은자연법칙으로부터구하는변수들 이모두자연현상으로부터측정하는물리량에대응된다는것이다. 그렇지만그런방 법이미시세계에서는적용되지않는것처럼보인다. 그런문제들이양자역학의이론체계가수립되면서모두해결되었다. 드디어인간 이미시세계의자연현상을설명할수있는자연법칙을알아낸것이다. 양자역학에의 하면단순히미시세계에서성립하는새로운운동법칙이발견되었을뿐아니라자연 법칙을쓰고풀고해석하는방법이새로정립되었다. 그래서나는미시세계를설명하 는언어가거시세계를설명하는언어와는다르다고말한다. 미시세계의자연법칙인 양자역학을어떻게알아내게되었는지과정을다설명하기에는너무긴이야기들이 많고어쩌면여러분이잘이해할수없을지도모른다. 그래서그런과정에대한설명 은모두생략하고미시세계의자연법칙은어떻게생겼으며그것을이용하고해석하 는방법은무엇인지알아보자. 양자역학에서운동방정식은슈뢰딩거방정식이라고불린다. 슈뢰딩거방정식은고 전역학에서뉴턴의운동방정식과같은운동 법칙을대표하는방정식이다. 슈뢰딩거방 정식의슈뢰딩거는그림 28.1 에보인물리학 자이름이다. 그는오스트리아의비엔나에 서출생하였고비엔나대학과스위스의취 리히대학등에서교수로재직하면서슈뢰 딩거방정식을발표하였고그런업적으로 유명해지자독일의베를린대학의초청을 받아그곳에서플랑크의교수자리를이어 받은사람이다. 당시유럽에서베를린대학 은과학의중심지였다. 그러나 1933 년에히 틀러가독일의정권을잡은다음슈뢰딩거 는독일에더머무를수가없다고생각하고 그림 28.1 어윈슈뢰딩거 ( 오스트리아, 1887-1961) 1933 년노벨물리학상수상 330
28. 슈뢰딩거방정식 영국으로건너가옥스퍼드대학에서연구하였다. 슈뢰딩거방정식이미시세계에서성립하는운동방정식이만양자역학에서슈뢰딩거방정식의위상이고전역학에서뉴턴의운동방정식이차지하는위상처럼그렇게절대적인것은아니다. 뉴턴의운동방정식이바로고전역학의중심이라고말할수있다. 그러나슈뢰딩거방정식은미시세계에대한운동법칙을표현하는여러가지방법중하나에불과하다. 또역학은뉴턴한사람에의해서시작되고완성되었지만양자역학은수많은사람들의노력이보태져서이론체계가수립되었다. 슈뢰딩거는그런많은노력중에서일부분을기여했다고보는것이옳다. 슈뢰딩거는당시알려진드브로이의물질파개념에기초를두고전자 ( 電子 ) 의운동을파동방정식으로다루는방법을고안해내었다. 그런이유로슈뢰딩거가이용한방법에따라계산하는양자역학을한동안파동역학이라고부르기도하였다. (28.1) 식으로표현된뉴턴의운동방정식처럼단지전자와같은대상물체한개가 1차원에서만운동한다고가정하고슈뢰딩거방정식을쓰면 (28.6) 가된다. 그리고 (28.2) 식으로표현된뉴턴의운동방정식처럼일반적으로 개의물 체가 3 차원공간에서움직이는일반적인경우에슈뢰딩거방정식을쓰면 (28.7) 가된다. 뉴턴의운동방정식에서는 개의물체를 개의방정식으로기술했지만슈뢰딩거방정식에서는 (28.7) 식에서보듯이슈뢰딩거방정식이단하나의방정식으로되어있다. 그러나 (28.7) 식은독립변수가 등여러개인편미분방정식이기때문에나중에풀때는여러개의방정식을푸는셈이된다. (28.6) 식또는 (28.7) 식으로주어진슈뢰딩거방정식이 (28.1) 식또는 (28.2) 식으로주어진뉴턴의운동방정식과는아주다른것처럼보이지만그렇지도않다. 1학기에이미공부한것이지만 1차원운동의경우 (28.1) 식을 331
(28.8) 라고고쳐쓴다음양변에 를곱하고양변을 (28.9) 와같이적분하면그결과는 (28.10) 이된다. 이식에서아래첨자 1 과 2 는 1 이라는물체가 1 이라는위치 에서속도가 이고 2 라는위치 에서속도가 임을의미한다. 이식으로부터힘 에대한 퍼텐셜에너지 와운동에너지 를각각 그리고 (28.11) 이라고정의한다음 (28.10) 식을 1 이라는위치에서의퍼텐셜에너지와운동에너지그 리고 2 라는위치에서의퍼텐셜에너지와운동에너지가되도록항들을옮기면 (28.12) 를얻는다. (28.12) 식은뉴턴의운동법칙으로부터구한매우중요한결과이다. 이식은물체가힘 를받고움직이면물체의퍼텐셜에너지와운동에너지는끊임없이바뀌게되는데, 물체가 1이라는위치에있을때퍼텐셜에너지와운동에너지의합은물체가 2 라는위치에있을때퍼텐셜에너지와운동에너지의합과같다고말한다. 그런데 1이라는위치와 2라는위치는물체가움직이는경로상에서어떤특별한위치도아니다. 아무렇게나정한두위치일뿐이다. 그러므로 (28.12) 식으로부터 일정 (28.13) 332
28. 슈뢰딩거방정식 이라고쓸수있다. 이식은물체가어떤위치에있거나물체의퍼텐셜에너지와운동에너지의합은바뀌지않고일정하게유지된다고말한다. 이식이그유명한에너지보존법칙이다. 그리고 (28.13) 식은방금뉴턴의운동방정식인 (28.1) 식으로부터구하였다. 그래서에너지보존법칙은뉴턴의운동방정식과동일한법칙이라고말한다. 뉴턴의운동방정식을단순히새로운물리량인퍼텐셜에너지와운동에너지로표현하기만하면에너지보존법칙이된다는의미이다. 거시세계에서뉴턴의운동법칙과에너지보존법칙은동일한법칙이다. 동일한법칙을서로다른물리량으로표현했을뿐이다. 좋은비유일지는모르지만쿨롱법칙과가우스법칙이동일한법칙이듯이뉴턴의운동방정식과에너지보존법칙은동일한법칙이다. 주어진전하분포가만드는전기장을쿨롱법칙으로구하건가우스법칙으로구하건동일한결과를얻는다. 마찬가지로물체가힘을받고운동하는데물체의위치를시간의함수로구하는경우그결과는뉴턴의운동방정식을이용하여구하건에너지보존법칙을이용하여구하건똑같다. 그런데여기서아주중요한사실이있다. 우리는앞에서뉴턴의운동법칙이미시세계에서는성립하지않는다고강조하였다. 그런데에너지보존법칙은미시세계에서도성립한다. 라고쓴뉴턴의운동방정식이미시세계에서는별쓸모가없지만뉴턴의운동법칙을운동에너지와퍼텐셜에너지라는새로운물리량으로표현한에너지보존법칙은미시세계의자연현상을설명하는데요긴하게이용된다는말이다. 그리고 (28.6) 식또는 (28.7) 식으로주어진슈뢰딩거방정식이에너지보존법칙인 (28.13) 식으로부터구해졌다. 슈뢰딩거가팔짱을끼고사색을거듭하다가갑자기슈뢰딩거방정식을고안해낸것이아니라고전역학의가장중요한법칙인에너지보존법칙으로부터슈뢰딩거방정식을얻었다는의미이다. 그러나에너지보존법칙인 (28.13) 식이미시세계에서도거시세계에서와똑같은방 법으로적용된다는의미는아니다. 거시세계에서는계에속한물체들의위치벡터 를구한다음에우리가원하는계에속한물리량들을위치벡터로부터계산하였 다. 그래서물체들의위치벡터가계에대한모든정보를가지고있다고말하였다. 우 리는그런방법을미시세계에서는이용할수없음을이미잘알고있다. 고전역학에 서는물체의위치 가계에대한모든정보를가지고있는것처럼, 양자역학에서 는슈뢰딩거방정식인 (28.7) 식을풀어서구하는 가계에대한모 든정보를다가지고있는데이 를계의파동함수라고부른다. 그렇지만계의파동 333
함수 는우리가그계에대해측정하는물리량중의하나는아니다. 양자역학에서는물리량이연산자로대표된다. 예를들어선운동량 라는물리량은물리량연산자 로, 운동에너지 라는물리량은운동에너지연산자 로대표된다. 여기서문자위에부친모자기호 는그문자가물리량을대표하는연산자임을나타낸다. 그리고미시세계에속한어떤계에서연산자 가대표하는물리량을측정한다면그측정값은계의파동함수 로부터 (28.14) 와같이구한다. 여기서 를그계로부터구한물리량 의기댓값이라고말한다. 이처럼양자역학에서는정보를모두포함하고있는파동함수와물리량을대표하는연산자그리고우리가그계에대해실험으로측정한물리량에대한측정값들이모두따로정의된다. (28.14) 식으로정의된기댓값을구하는과정에서연산자 의자리에위치연산자를대입하면위치에대한측정값이나오고선운동량연산자를대입하면선운동량에대한측정값이나온다. 그래서파동함수 가계에대한모든정보를다포함하고있다고말한다. 그러면이제에너지보존법칙인 (28.13) 식으로부터슈뢰딩거방정식이어떻게구해지는지보자. 먼저속도에의해 (28.11) 식으로운동에너지 를선운동량 에의해 (28.15) 이라고바꾸어쓰자. 선운동량 와속도 사이에는 (28.16) 인관계가있으므로운동에너지를 (28.11) 식으로표현하거나 (28.15) 식으로표현하거나별관계가없다고생각할지도모른다. 역사적으로는물체의속도 를먼저알고나중에선운동량이라는물리량을도입하면편리하기때문에 (28.16) 식으로선운동량을정의하였다. 그런데나중에알고보니속도 보다는선운동량 가훨씬더기본적인물리량임을알게되었다. 그래서속도로부터선운동량을정의하기보다오히려속도 가선운동량 에의해서 334
28. 슈뢰딩거방정식 (28.17) 이라고정의된다고생각하는것이훨씬더좋다. 사실속도란별로중요한물리량이아니라는증거는여러물체가운동하고있을때확실히나타난다. 여러물체가함께운동하는계에서그계의선운동량을모두더한총선운동량, 그계의운동에너지를모두더한총운동에너지, 그계의질량을모두더한총질량등은계를설명하는데의미를갖지만계에속한물체들의속도를모두더한결과는아무데도쓸모가없는양이다. 그래서 (28.13) 식으로주어진에너지보존법칙을 (28.18) 라고바꾸어쓰자. 이식에는선운동량 와위치 그리고에너지 라는세가지물 리량이나온다. 양자역학에서이세가지물리량을대표하는연산자는각각 운동량 :, 위치 :, 에너지 : (28.19) 와같다. 연산자는파동함수에작용하는데파동함수가 와같이위치 와시간 에의존한다고할때선운동량연산자 는파동함수 를위치 로편미분한다음그결과에 를곱하라고말한다. 그리고위치연산자 는단순히파동함수 에위치 를곱하라고말한다. 마지막으로에너지연산자는 는 (28.19) 식에나온것처럼파동함수 를시간 로편미분한다음그결과에 를곱하라고말한다. 어떻게해서연산자를이렇게정했는지궁금한학생들은양자역학을좀더본격적으로공부해보기바란다. 여기서그것까지설명하기는어렵다. (28.18) 식처럼표현된에너지보존법칙의선운동량 와위치 그리고에너지 자리에 (28.19) 식으로정의된연산자를대신쓰고양변을파동함수 에작용하도록만들면바로 (28.6) 식으로주어진슈뢰딩거방정식이나온다. 여러분은이제슈뢰딩거방정식이거시세계에서도성립하는에너지보존법칙으로부터나왔다는이야기의의미가이해되는지모르겠다. (28.18) 식의좌변에나오는운동량 와위치 를모두 (28.19) 식으로정의된연산자로바꾸어쓴것을모두합하여해밀토니안연산자 라고부른다. 여기서해밀 335
토니안은그림 28.2 에보인영국의저명한수학자윌리 엄해밀턴경의이름을따서지은것이다. 해밀토니안연 산자 는 (28.20) 를의미하고그래서 (29.1) 식으로주어진슈뢰딩거방정 식을간단히 (28.21) 그림 28.2 윌리엄해밀턴경 ( 영국, 1805-1865) 라고쓰기도한다. 우리는거시세계를지배하는자연법칙인운동법칙은뉴턴의운동방정식이고미시세계를지배하는자연법칙인운동법칙은슈뢰딩거방정식임을알았다. 그런데슈뢰딩거방정식이 (28.6) 식또는 (28.7) 식으로주어진다는것만알아서는미시세계에대해이해하고있다고말할수없다. 미시세계의자연현상을설명하는방법이거시세계에서자연현상을설명하는방법과다르기때문이다. 지금까지공부한양자역학의골격을다시정리하면다음과같다. 미시세계에서 개의입자로이루어진계가있다면이계의모든정보를포함하고있는것은입자들의위치벡터와시간의함수로주어지는파동함수 이다. 파동함수는그계에대한슈뢰딩거방정식을풀어서구한다. 그렇지만파동함수자체는측정되지않는양이다. 자연현상을대표하는물리량이양자역학에서는연산자 로대표되는데그런연산자에대응하는물리량의값을알려면파동함수로부터 (28.14) 식으로정의된기댓값을계산해야한다. 사실은 (28.5) 식에서불확정성원리에나오는위치와선운동량에대한불확정성 와 를표현하는데이용된 와 도각각위치에대한기댓값과선운동량에대한기댓값을나타낸다. 336