모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP 전자공학입문을위한기초지식시리즈 탄 모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP - 용어정의및개념편 - 8. 8. 8. 이성식지음 sungsiklee@pusan.ac.kr 부산대학교전자공학과 반도체소자및물성연구실 www.lee-laboratory.org
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP 목차. Why ω π f? RC. Whyω? 3. Why ZC, ZL jωl? jωc 4. 물리량및수동 / 능동소자용어정의 5. 저항과소신호저항의차이 6. 선형과비선형시스템 / 함수의수학적구분법 7. 직선 y ax + b 는선형함수일까? 8. 데시벨 (db 에관하여 9. RMS에관하여. RMS의물리적의미
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP Whyω π f? 먼저, ω 인데, 여기서숫자 의단위는 rad이고 τ의단위는 sec이다. τ 즉, τ 는 rad 이동하는데걸리는시간인셈이고, ω 는그역수. 그러면, π rad 이동하는데걸리는시간, 즉원한바퀴도는데걸리는시간은? 참고로원한바퀴도는데걸리는시간을다름아닌주기 (t p 라고부른다. 이건얼마일까? 초등학교때배웠던비례식쓰면, rad : τ sec π rad : t p sec 이니까, 정리하면 t p π τ 이되고, f 는주기의역수이므로 f 이다. π τ t p 여기서 ω 로치환하면, τ ω f 되고, 다시쓰면, ω π f π 가된다. 예로써, R-C 회로에서는 τ RC 이고, ω 인셈이다. RC
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP Why ω RC? 먼저, R 과 C 가직렬로연결된수동 Low pass filter 를생각하자. Sinusoidal 입력전압신호에대한 R 의 impedance 는 R 이고, C 의 impedance 는 /jωc 이다. 이때, C양단의전압이입력전압신호의 / (-3dB 되는각주파수 ω는 이들두 impedance 의크기가같은조건에서얻을수있다. 이조건에서 R jωc ωc 이되고, 이를바꿔쓰면, ω 을얻을수있다. RC 더불어, 출력전압이입력에비해 3dB 낮아지는 ( 즉, -3dB 이각주파수를우리는 pole 의위치로정 의한다. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- * 참고 : ω 일때, 왜 -3dB일까? RC v v / jωc R + / jωc jr out log 3 in R jr RC / RC R R ω / ω + 전력관점에서는제곱하여입출력의비가 /이되므로 Half-power frequency라고도한다. R db
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP Why Z C jωc, Z L jωl? Z C 와 Z L 은보통의저항 (R 과달리허수저항이다. 이들모두는 mpedance ( 복소저항 의일종이며, 실수부만가지는경우가저항 R, 허수부만가지는경우가바로 Z C 와 Z L 인셈이며, 이들허수저항은교류신호일때만존재한다. 그래서복소저항이므로교류복소전압 ( 과복소전류 ( 의비율로정의될수있다. 먼저, Z C 를구하기위해서는 C에형성되는변위전류 (Ampere-Maxwell s Law 의정의를통해, de Sε d Sε d d C 가되며 ( 혹은 dq dq d d C, d 여기서교류복소전압 ( 을 Euler 식으로정의하면, jωt e 이므로, d( e C jωt jωc e jωt jωc 가되므로, Z C j ω C 를얻을수있다. 이와비슷하게, Z L 은 L 에형성되는 Electro-motive-force (Faraday s Law 의정의를통해, dφ dµ H Sµ d emf S d d L 가되며 ( 혹은 dφ dφ d d d L, 여기서교류복소전류 ( 을 Euler 식으로정의하면, jωt e 이므로, d( e L jωt jωl e jωt jωl 가되며, Z L jωl 를얻을수있다.
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP Definitions of Physical Quantities and Electronic Elements ( 물리량및수동 / 능동소자용어정의 * Physical Quantities ( 물리량 Resistance (R: 저항성 어원 : 동사 Resist ( 저항하다 와성질을나타내는접미사 ance 의합성어. Conductance (G: 전도성 (R 의역수 어원 : 동사 Conduct ( 전달하다 와성질을나타내는접미사 ance 의합성어. mpedance (Z: 복소저항성 어원 : mpede ( 방해하다 / 저항하다 / 지연시키다 와성질을나타내는접미사 ance 의합성어로단순한저항과달리지연 (Delay 의의미내포. Admittance (Y: 수용성 어원 : 동사 Admit ( 수용하다 와성질을나타내는접미사 ance 의합성어로 mpedance 와반대되는의미이며서로역수관계. Reactance (X: 허수저항성 어원 : 동사 React ( 반응하다 와성질을나타내는접미사 ance 의합성어로교류신호에대해서만반응함을내포하며, 예로써, 교류신호에대해 C 와 L 이갖는허수저항성이있다. Capacitance (C: 용량성 어원 : 명사 Capacity ( 용적 과성질을나타내는접미사 ance 의합성어. nductance (L: 유도성 어원 : 명사 nduction ( 유도 와성질을나타내는접미사 ance 의합성어. * Passive Elements ( 수동소자 Resistor: 저항 어원 : 동사 Resistor와개체접미사 or 의합성어. Capacitor: 용량 어원 : 명사 Capacity와개체접미사 or 의합성어. nductor: 유도 어원 : 명사 nduction과개체접미사 or 의합성어. Memristor: 기억저항 어원 : Memory와 Resistor의합성어. * Active Elements ( 능동소자 Diode: 다이오드 어원 : 숫자 를나타내는접두사 di 와전극 (electrode 를의미하는접미사 ode 의합성어로음극 (cathode 과양극 (anode 의양 ( 쌍 극성전극을가짐을의미. Transistor: 트랜지스터 어원 : Transfer 와 Resistor 의합성어. Trancitor: 트랜시터 어원 : Transfer 와 Capacitor 의합성어 (by 이성식교수
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP Resistance (R vs. Small-signal Resistance (r ( 저항과소신호저항의차이 Resistance (R 은저항이라고부르는물리량으로전압과전류의비율로정의되며, 이를옴의법칙이라부른다. 일반적으로전압과전류가 차비례관계를가지며, 이경우 R 은이들의비례상수인셈이다. 어떤직류신호 (Static 좌표 (, 에서이들순서쌍의비율이곧 R 이되므로어떤좌표를선택하여도무관하다 ( 그래프 -A. 즉, 상수 (Constant 이다. 그러므로, R constant 가성립한다. 이런경우는순수한저항소자에 서발견된다. 그러나비선형소자의경우어떻게될까? 그래프 -B 에서보듯이전류 - 전압그래프가 차비례관계 ( 선형 가아니라, Root 함수형태를나타낸다. 이런경우직류신호좌표 (, 에서이들순서쌍의비율은 R 로써그래프 -A 의경우로여겨질수있으나, 이때 R 은상수가아니다 ( 바뀐다. 인소신호 ( 진폭이작은교류신호 저항이정의되어야한다. 그래서, 즉, R constant 가된다. 이경우, R은직류 (Static 신호에대해의미를가지지만, 전체적인그래프의비선형적형태를반영하기위해서는접선의기울기가더큰의미를갖는다. 즉, 순간변화율 ( 미분 로정의되는새로운저항 d d r 이되며 ( 그래프 -B 빨간점선, 이물리량은비선형전류 - 전압특성을갖는다이오드, 트랜지스터등의반도체능동소자에서의미를갖는다. 참고로, 순수한저항의경우는선형적이므로 R r 이성립한다. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ * 참고 : 소신호는문자그대로진폭이작은 ( 교류 신호를의미한다. 그러므로소신호전류는 d, 소신호전압은 d 로쓸수있고, 이들의비율은소신호저항 (Small-signal resistance d/d 로정의되며, Differential resistance 라고도부른다. Capacitance (C 에도똑같은개념을적용할수있다. 선형적인경우 성립되지만, 비선형적인경우 dq c 가더큰의미를갖는다. d Q Q C 가
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP 선형과비선형시스템 / 함수의수학적구분법 (Mathematical Difference between Linear and Non-linear Systems/Functions 앞서논의했던저항과소신호저항에서언급되었던선형과비선형의차이에대해알아보자. 이를수학적으로어떻게구분할수있을까? 신호및시스템 과목에서배웠을수도있는데, 중첩의원리 (Superposition principle, SP 가성립하면선형, 그렇지않으면비선형으로판별한다. 좀귀찮지만수학적으로써보면, 다음과같다. 어떤함수 yf(x 가어떤선형시스템의전달함수라고가정한다면다음의중첩의원리가성립해야한다. ( 수학적으로는 SP 이외에도 Scalability 도동시에성립해야하나여기서는기본적인관점을제시하였다.. y f ( x y y f ( x + y f ( x + x 이것보다더 Elegant 하고 simple 하게표현할수는없을까? 이다.. 일반화하면, y f ( x 물론있다. 선형시스템혹은함수는다음을만족하면된다. 반대로비선형시스템혹은함수는 y 가된다. x dy dx x n dy dx y dy. x dx n y 이성립하는소자는저항 R 이며, 이경우전류 (x 에대해전압 (y 이정비례하며기울기는항상 R 이다. 그러므로순간변화율 ( 소신호저항 이든직류에대한저항이든같은값을가지므로선형소자이다. 즉, d R r d. 참고로개별트랜지스터는 이므로비선형소자이지만, 이들로이루어진증폭기등의전자회로는선형일수있다. 적어도좁은신호구간에서소신호에대해선형으로근사화될수있다. 예를들어, 비선형함수 sin x 가 근처의작은값에대해서는 d d sin x d sin x x 로근사화될수있는이치와같다. 즉 sin x, lim x x dx 이성립됨을알수있다.
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP 직선 y ax + b 는선형함수일까? 앞서논의했던선형시스템의전달함수는아래의중첩의원리를만족해야한다. y f ( x y y f ( x 더간단하게는 x + y dy dx f ( x + x 이다.. 일반화하면, y f ( x n y (Universal 선형조건 를만족해야한다. 그러면, 직선의일반적인표현인 y ax+ b 함수는직선이므로선형함수가아닐까? 하지만, y절편 b가존재하기때문에위의중첩의원리와 Universal 선형조건모두를만족하지않는다. 그러므로 y ax+ b는비선형함수로분류하여야한다. 그러나흥미로운사실은전자회로적인관점에서는선형일수있다. 구체적으로는 x와 y를어떤전기적인신호로본다면, 이들이교류소신호 (dy, dx 에대해서는중첩의원리가성립한다. 즉, 직류신호에대해서는 y 절편 b 로인하여성립하지않지만, 교류소신호에대해서는상수 b 의미분치가 이기때문이다. 이를식으로정리하면, dy 이므로교류신호 dy 와 dx 에대해서는 b 가없는것과같다. dx 그래서전달함수를고쳐쓰면 그러므로 v 및 v f ( u u dv du n a dy adx가되므로, dyu, dxu로각각치환하면 v au 로쓸수있다. n n 가성립하므로선형이다. 참고로, MOSFET 의포화영역출력특성 곡선은직류신호에대해 DS ads + b 로근사적으로표현되며, 소신호에대해서는 DS a dds 은 i a v 의선형함수로취급될수있기때문에, 선형증폭기를설계할수있는것이다. ds ( ds ds ds i a v 식에서 a 는 / r 임도알수있다. d 혹
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP 데시벨 (db 에관하여 데시벨 (decibel db 은전화신호전력이 Cable을통해전달될때, 거리에따른감쇄를어떤기준값에대한비율로나타내기위해고안되었고, 비율을나타내므로 Dimensionless이지만단위 (Unit 처럼사용되고있다. 최초로고안될당시인 94년에는 Miles of Stanard Cable (MSC 혹은 Transmission Unit (TU 로불리기도했다. 왜데시벨 (decibel 이라읽고, db가아니라 db라고쓸까? 98년미국벨전화연구소에서전화관련단위를표준화하는과정에서연구소설립자 Bell을기리기위해 decibel(db 로새롭게명명하였다. decibel은 deci와 Bell의합성어로써, 여기서 deci는 /을의미하는접두어이다. 그래서 db에서 d는소문자로 B는사람이름이므로대문자로쓴다. 단순비율이아니라비율에왜 log를취해줄까? Cable 임의의위치에서의전력 (P 과기준치 (P 의비율을생각할수있다. 그비율이, 예를들어,.5일때 ( P / P. 5, 보다매우작은값으로인식되어무시가능한값으로여길수있다. 그러므로 log를취하여, 유효숫자를수숫점첫째자리까지로가정한다면, 약 -3.3이되므로정보의의미가강조된다. log 를취한값에왜 을곱해줄까? Deci의의미가 /이므로 을곱해주어단위를맞춰준다. 산술적으로는앞에서언급된 log. 5는약 -3.3인데, 여기에 을곱하면 log.5 33 db되므로수숫점첫째자리를일의자리로끌어올려의미를더크게부여할수있다. 더의미있는이유는 P / P 일때, 즉 배가될때, log db가된다는점이다. 이는관습적인이유로 db가실제비율로는 배라는기준을삼기위해서라고해석된다. 실제비율에비해 db가갖는편이성은? Cable 상의두개의연속된구간에서각각의전력감쇄가. 과. 인경우총감쇄는이값을곱한. 이다. 그러나 db 로나타낼경우, 각각 - db 와 - db 가되고, 총 db 값은이값을더한 -3 db 가된다. 이는 log 의여러진수의곲은각각의진수에 log 값의합이되는 log 의성질때문이다. 관습적으로곱하는것보다합하는것이편리하기때문에이편이성은 db 를사용하는또다른이유로여겨진다. log 와 log 의차이는? db는전력의비율에대해고안되었고, 이경우에대해 log로정의된다. 이때전력을 RMS 전압 ( 나전류 ( 로표현할수있고 ( P / R R, P / R R, log( P/ P 에대입하면 R은약분되어없어지고 ( log /, log( / 이된다. 여기서거듭제곱지수 를앞으로내리면 과곱해져각각 log( /, log( / 이된다. 최종적으로 db의정의는아래와같이정리된다. db log P P log log
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP RMS 에관하여 RMS(Root-Mean-Square 는 AC(Alternating Current, 교류 신호의유효값을말한다. 평균치를제외한 AC 신호는신호의한주기 (T 동안신호의극성이음인구간의적분치가양인구간의적분치와같기때문에, AC 신호의유효성을가늠할수없다. 유효성을평균치로할수도있으나, 같은평균치를갖는다른형태의 AC 신호의유효성이같아진다는한계와, 평균이 인 AC 신호의유효성이없는것으로해석되므로모순이다. 이는통계학에서분산의총합이 이어서그제곱을고려한것과같은상황을보여준다. 그래서평균치를뺀 AC 신호의값을제곱 (Square 하여주기 T 동안의총합을구한다. 총합은신호가연속이면적분을통해구하고, 불연속이면시그마로구한다. 이총합의평균치 (Mean 를구하기위해주기 T 로나누고, 제곱하였으므로 Dimension 을유지하기위해이값에제곱근 (Root 을취해준다. 그래서 Root-Mean-Square 라고부르는것이다. rms T T ( v AC ( t 위식을잘살펴보면, 많이본적이있을것이다. 이식은우리가배웠던통계학에서연속분포에대한표준편차의식과일치한다. Root 를제외한식은분산과일치한다. 식에서 Mean 은평균치가되며전자공학에서는이것을 DC Offset( 오프셋 이라고부른다. 우리말로하면교류신호의직류성분정도로해석되며, 순수한 AC 신호는 DC Offset 이 인것으로정의한다. Mean
모두가당연하게여기지만정작이유는몰랐던것들 TOP RMS 의물리적의미 ( 네제곱평균의네제곱근은안되고, 왜제곱의제곱근일까? 앞에서살펴본바와같이, RMS(Root-Mean-Square 는 AC(Alternating Current, 교류 신호의유효값을말하며, AC 신호의순수분산의총합은 이므로제곱한값의분산의총합을구하고그평균의제곱근으로유효값을구하는것이라고했다. 여기서자연스러운질문이생기는데, 짝수제곱만하면분산의총합은 이아니까, 예를들어, 네제곱과네제곱근으로유효값을구하면안되나? 이경우 RMS 라부를수없고 FMF(Four square root-mean-four square 라고해야할것이다. 이의문을다른질문으로바꾸면, 왜제곱과제곱근으로유효값을구하는것일까? 가될것이다. 이질문의답은유효값의물리적의미로부터얻을수있다. 유효값의유효라는것에는신호가갖는전력혹은에너지측면에서얼마만큼의효과를갖느냐이다. 그러므로단순저항 (R 을통한 DC Offset 을제외한순수 AC 신호의교류평균전력 (Pav 를생각해보면, 아래의식으로표현된다. P av T T ( v AC ( t 위식에서 Pav 는어떠한일정한평균전압신호 (av 와 R 로연관지을수있는데, 이를식으로표현하면, 두식의등식으로부터아래와같은관계가성립한다. av R T T P av ( v R av R AC ( t 이는우리가고등학교에서배웟던평균값의정리이다. 여기서 R 은상수이므로적분기호밖으로나올수있고, 양변에존재하므로약분된다. 이를식으로쓰면, 제곱을없애고다시쓰면, R T ( v ( t av T AC T ( v ( t av T AC 여기서등가전압신호 (av 는어떤유효값으로물리적인의미를가지며, 오른쪽식의형태를그대로읽어서 Offset Offset Offset Offset RMS(Root-Mean-Square 라고읽고 rms 라고쓴다. 이를반영하여고쳐쓰면, T ( v ( t av rms T 그러므로 RMS 값은물리적으로는평균교류전력의등가치 ( 유효값 이며, 수학적으로는평균값의정리로부터얻는평균치의제곱근인셈이다. AC Offset