논점 f()g(), f()±g() 의연속 서로다른두함수 f^h, g^h가있을때, 함수 f^hg^h나함수 f^h! g^h가 a에서연속인지묻는문제가최근에자주나오고있습니다. 만일함수 f^h와 g^h가모두 a에서연속이라면 ' 연속함수의성질 ' 에의하여 ( 너무나당연하게도 ) 함수 f^hg^h나함수 f^h! g^h도 a에서연속이겠지요.. 그런데이렇게쉬운문제가나올리가.. 없잖아요? 그렇죠. 그럴리가없지요. 실제로출제되는문제들을보면.. 모두함수 f^h 혹은 g^h가 a에서불연속일때, 함수 f^hg^h나함수 f^h! g^h가 a에서연속인지아닌지따져보는문제입니다.. 후후.. 당연히풀이의비법을준비하셨겠죠? 비법이요? 그런거있음나좀알려줘요. 별다른수가없습니다. ' 연속의정의 ' 대로풀수밖에요. 즉, 함수 f^hg^h가 a에서연속이려면 ⑴ faga ^ h ^ h가존재 ⑵ f ^ h g ^ h가존재 " a ( 즉, f^hg^h f^hg^h) " a- " a+ ⑶ 그리고 f ^ h g ^ h faga ^ h ^ h " a 함수 f^h! g^h가 a에서연속이려면 ⑴ fa ^ h! ga ^ h가존재 ⑵ " f^h! g^h, 가존재 " a ( 즉, " f^h! g^h, " f^h! g^h,) " a- " a+ ⑶ 그리고 " f^h! g^h, fa ^ h! ga ^ h " a 말은쉽지만.. 실제로해보면풀이과정이어쩔수없이길고복잡해지지요. 마음독하게먹으시고.. 시작합시다. 54
- [3 점 -9 년모의평가 9 월 함수 y f^h의그래프가 < 보기 > 와같이주어질때, 함수 y f^- hf^ + h이 -에서연속이되는경우만을 있는대로고른것은? ㄱ. < 보기 > ㄴ. ㄷ. ㄱ ㄴ 3 ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 56 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
한장넘기면풀이가나옵니다. 혼자하는수능수학 57
- [3 점 -9 년수능 - b + 함수 f^h - 4+ a와함수 g^h " 3 - b + 에대하여 h^h f^hg^h라하자. 함수 h^h가모든실수 에서연속이되도록하는두상수 a, b의합 a+ b의값은? 3 4 3 5 4 6 5 7 58 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 - g () f ( - ) f ( + ) 이라고하고 ' 연속의정의 ' 에의해 g () 가 -에서연속인지따져봅시다. ㄱ. 연속의정의에의해 g( - ) f^--hf^- + h f( - ) f( ) () # (- ) - g^h "- 좌극한 : g () "-- " f^- hf^+ h, "-- f^- h# f^+ h " -- " -- - t, + k로치환하면 f^th# f^kh t + " - - k - " - - f^th# fk ^ h t "- - k "- 그래프에서 "- - 과 "- 의극한값을찾으면 # 우극한 : g () "- + " f^- hf^+ h, "- + 이번에도 - t, + k로치환하면 f^th# f^kh t+ " - + k-" - + f^th# f^kh t" - + k" + # (- ) - 이런.. ' 좌극한! 우극한 ' 이군요. g () 가존재하지않으므로 -에서불연속입니다. "- ㄴ. 위와같은방법으로. g( - ) f( - ) f( ) # (- ) (ⅰ) " f^- hf^+ h, "- + f^th# t " - + k " + f^kh # 좌극한 우극한 이므로 ` g () "- 3 (ⅰ), (ⅱ) 에서 g () g( - ) "- (ⅱ) 이므로함수 g^h는 - 에서연속입니다. ㄷ. 앞의ㄱ, ㄴ처럼 ' 연속의정의 ' 를이용해도되지만이경우는 ' 연속함수의성질 ' 을이용해도됩니다. 연속함수의성질함수 f, () g() 가 a에서연속이면 kf() (k는상수 ) f ()! g () 3 fg () () f () 4 ( 단, g^ h ) g () 도모두 a에서연속이다. 풀어말해 ' 연속 ' 인함수끼리 ( 더하고, 빼고, 곱하고, 나눠서 ) 만든함수는 ( 분모 인경우만제외하면 ) 연속이된다. 주어진그래프를보면 f^ - h은 - 일때연속이고 ( 그래프에서 f () 는 -에서연속이니까요.) f ^ + h도 - 일때연속이지요. ( 역시그래프에서 f () 는 에서연속이잖아요.) 그렇다면함수 f^- hf^+ h은 -에서연속인함수의곱이므로 ' 연속함수의성질 ' 에의하여함수 f^- hf^+ h도 -에서연속이됩니다. 4 g^h "- 좌극한 : g () "-- " f^- hf^+ h, "-- f^th# t " - - k " - f^kh # 우극한 : g () "- + 혼자하는수능수학 59
-3 [4 점 - 년모의평가 6 월 최고차항의계수가 인이차함수 f^h와두함수 Z - g - ^ h, h! ^ h ^ h " 3 + [ ^ h \ 에대하여함수 f^hg^h와함수 f^hh^h가모두연속함수 일때, f^h의값을구하시오. 6 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 - 갈수록태산이군... 평범한 ' 연속 ' 문제는학생들이다풀어버리니까극강의비틀기가시작됐습니다. 이문제를풀려면... 함수 g () 부터정리해야합니다. - b + g () " 3 - b + 공비가 - b 인 ' 등비수열의극한 ' 모양을하고있군요. 이처럼 공비 가 보다큰지작은지모르는등비수열의극한은 공비 공비 3 공비 인경우로구분해서각각의극한을일일이구해줘야하지요. 공비 - b 일때 - b 3 " 이므로 - b + g () $ + " 3 - b + + 공비 - b 일때 - b 3 " 3 이므로 + - b + - b g () " 3 - b + " 3 + - b 3 공비 - b 일때 - b 3 이므로 - b + g () 3 $ + " 3 - b + + + + 정리하면.. Z ^ - b 즉, b- b + h g^h ^ - b 즉, b-, b+ h (ⅰ) [ 3 ^ - b 즉, b-, b + h \ g () 는 b-, b + 일때불연속이군요!!. 이제본격적으로 h () fg () () 가모든실수 에서연속일조 건을알아볼까요? f () - 4+ a는모든실수 에서연속 (' 다항함수 ' 이므로 ) g () 는위에서본것처럼 b-, b + 에서불연속 따라서대부분의경우 h () ( 연속 )#( 연속 ) 이므로당연히연속이 되겠지만.. b- 과 b+ 일때는 h () ( 연속 )#( 불연속 ) 이니까별 도로연속일조건을따져봐야합니다. 3. h^h가 b- 에서연속일조건 ' 연속의정의 ' 에따라 h^h hb ^ - h " b- h^h h^h hb ^ - h " ^b-h- " ^b- h+ f^hg^h f^hg^h fb ^ - hgb ^ - h " ^b-h- " ^b- h+ (ⅰ) 에서 b- 이면 g^h 이고 b- 이면 g^h 이므로 fb ^ - h$ fb ^ - h$ fb ^ - h $ ` fb ^ - h 흠.. 그렇다면 f^h - 4+ a 이니까 ^b- h - 4^b- h+ a b - 6b+ ^a + 5h (ⅱ) h^h가 b+ 에서연속일조건 h^h h^h hb ^ + h " ^b+ h- " ^b+ h+ f^hg^h f^hg^h fb ^ + hgb ^ + h " ^b+ h- " ^b+ h+ (ⅰ) 에서 b+ 이면 g^h 이고 b+ 이면 g^h 이므로 fb ^ + h$ fb ^ + h$ fb ^ + h $ 3 ` fb ^ + h 그렇다면 ^b+ h - 4^b+ h+ a b - b+ ^a - 3h (ⅲ) 3. (ⅱ), (ⅲ) 을연립해서 a, b를구해볼까요? (ⅱ)- (ⅲ) 하면 ^b - 6b+ ^a+ 5hh -^b - b+ ^a- 3hh - 4b + 8 ` b b 를 (ⅱ) 에대입하면 따라서 a+ b 5-6$ + ^a + 5h ` a 3 3 3 혼자하는수능수학 6
-4 [4 점 - 년모의평가 6 월 함수 f^h가 f^h ^! h * ^ h 일때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ㄱ. f^h " - " + < 보기 > f^h ㄴ. 함수 g^h f ^ - ah가실수전체의집합에서연속이 되도록하는실수 a 가존재한다. ㄷ. 함수 h^h ^- hf^ h는실수전체의집합에서 연속이다. -5 [4 점 - 년모의평가 9 월 함수 f^h - + a에대하여함수 g^h를 g f # ^ h ^ + h ^ h * f ^ - h ^ h 이라하자, 함수 y " g^h, 이 에서연속일때, 상수 a 의값은? - - 3 4 5 ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 6 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 -3 앞문제와동일한유형입니다. 한번더꼬았군요 ;;. f^h는최고차항의계수가 인이차함수이므로. 그리고 g^h는 f () + a+ b (ⅰ) - g () - " 3 + 공비가 인 ' 등비수열의극한 ' 모양을하고있군요. 앞의문제처럼 공비, 공비, 공비 일때로 구분해서다시정리해야합니다. 공비 일때 (- 일때 ) - g () - - - " 3 + + 공비 일때 ( -, 일때 ) - g () - " 3 + 3 꼴이므로분자, 분모를분모의최고차 으로나누면 3 - - " 3 + + 3 공비 일때 이면 g () " 3 -이면 - g () " 3 - - - + + 따라서 Z - ^- h ^ -, h g^h [ ^ h \- ^ - h -- - +- + (ⅱ) 그래프를그려보면 g() 는 에서불연속입니다. 3. 끝으로 h^h는 h () * ( ) ( ) 을, 로구분해서다시정리하면 Z ^ h h () [ - - ^ h (ⅲ) \ ( ) 그래프를그려보면 h() 는 에서불연속입니다. 4. 어휴 ~ 힘들다.. 이제문제를풀어볼까요? ( 엥? 그럼여태껏한건 뭐임?) y f() g () 가연속함수라는것은 (g^h가불연속인 ) 에서도연속이라는것이므로 ' 연속의정의 ' 에의해 fg () () f() g() " 가성립한다는것입니다. (ⅰ),(ⅱ) 를보고극한값을대입하면 fg () () f() g() " fg () () fg () () f() g() " - " + f () $ g () f () $ g () f() g() " - " - " + " + ( a b)( ) ( a b) + $ + - + $ + ` j ( + a$ + b)( ) - - a- b + a+ b ` a+ b - (ⅳ) y f() h () 가연속함수라는것은 (h^h가불연속인 ) 에서도연속이라는것이므로 fh () () f( ) h( ) " 가성립한다는것입니다. (ⅰ),(ⅲ) 을보고극한값을대입하면 fh () () f( ) h( ) " fh () () fh () () f( ) h( ) " - " + f () $ h () f () $ h () f() h() " - " - " + " + b $ (- ) b $ b $ - b b ` b 그리고 (ⅳ) 에서 a+ b - 이므로 a - 5. 그렇다면 f () + a+ b - ` f( ) - 9 9 혼자하는수능수학 63
-6 [4 점 - 년수능 함수 y f^h의그래프가그림과같을때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? -7 [4 점 -3 년모의평가 6 월 함수 ^ $ h f^h * - ^ h 에대하여, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? < 보기 > ㄱ. 함수 f^h가불연속인점은 개다. ㄴ. 함수 ^- hf^ h는 에서연속이다. ㄷ. 함수 " f^h, 은실수전체의집합에서연속이다. ㄱ. f^h "+ < 보기 > ㄴ. f ^ h f ^ h " ㄷ. 함수 ^- hf^ h는 에서연속이다. ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ ㄱ ㄱ, ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 64 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 -4 함수 f^h의그래프부터그려놓고시작합시다. 별로어려워뵈지않으니.. 풀이 -5 g f # ^ h ^ + h ^ h * 이므로 f^- h ^ h " g^h, " f^+ h, ^ # h * 입니다. " f^- h, ^ h 너무어렵게생각하지말고요. 이제까지해왔던것처럼 ' 연속의정의 ' 에따라차근차근풀면됩니다. ㄱ. 위의그림을보면 의좌, 우에서같은점을향하고있군요. f () f () ( 참!) " - " + ㄴ. 함수 f ( - a) 함수 f^h를 축방향으로 + a만큼평행이동시킨함수. 그냥상식적으로생각해보세요. 위의불연속함수 f^h의그래프를좌, 우로이동시키면불연속점이없어지나요? 아니죠, 불연속인점도덩달아좌, 우로움직이기때문에함수 f ( - a) 는항상불연속함수일수밖에없지요. ( 거짓!) ㄷ. 함수 h () ( - ) f() 에서함수 ^ - h은실수전체에서 ' 연속 ' 인데반해.. 함수 f^h는위그래프를보면 에서 ' 불연속 ' 이지요. 따라서함수 h^h ^- hf^h가실수전체에서연속인지확인하려면 ' 연속의정의 ' 에따라 에서 ' 연속 ' 인지따져봐야합니다. h () ^- hf^h ( - ) ( ) ) ( - ) ( ) h() ( - ) h^h " 좌극한 : h () ( - ) " - " - 우극한 : h () ( - ) ` h^h " " + " + 3 h () h() 이므로 " 함수 h^h는 에서연속이군요. 따라서, 함수 h^h는실수전체에서연속입니다. ( 참!) 3. " g^h, 이 에서연속이면 " g^h, " g^h, " g^h, (ⅰ) " - " + 이성립합니다. 하나씩값을구해봅시다. " g^h, " f^+ h, " - " - " f^+ h, " f^h, ^ - + ah a " g^h, " f^- h, " + " + " g^h, " f^+ h, " f^h, ^ - + ah a " f^- h, " f^-h, " ^-h -^- h+ a, ^a + h. 흠.. 구한값들을 (ⅰ) 에대입하면 따라서 " g^h, " g^h, " g^h, " - " + a ^a+ h a a a + 4a + 4 4a + 4 ` a - 혼자하는수능수학 65
-8 [3 점 -3 년모의평가 6 월 최고차항의계수가 인이차함수 f^h와함수 Z - ^ # h g^h [- + ^ h ^ $ h \ 에대하여함수 f^hg^h가실수전체의집합에서연속이다. f^5h의값은? -9 [3 점 -3 년모의평가 9 월 함수 f^h가 a ^ # h f^h * - + ^ h 일때, 옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? ㄱ. f^h " + < 보기 > ㄴ. a 이면함수 f^h는 에서연속이다. ㄷ. 함수 y ^- hf^ h는실수전체의집합에서연속이다. ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄷ 4 ㄴ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 5 7 3 9 4 5 3 66 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 -6 ㄱ. 우극한을묻고있군요. 주어진그래프에서 "+ 이면 f^h " + 입니다. ` f^h ( 참!) "+ 풀이 -7 함수 f ^ $ h ^ h ) 의그래프를그리고시작합시다. - ^ h ㄴ. 연속의정의를아는지묻고있네요. 함수 f^h가 a에서연속이면 f ^ h fa ^ h " a 주어진그래프를보면 f^h는 에서 ' 불연속 ' 이지요. ` f ^ h! f ^ h ( 거짓!) " ㄷ. 함수 f^h는 에서 ' 불연속 ' 이므로 함수 ^- hf^ h가 에서연속인지알아보려면 ' 연속의정의 ' 에따라따져봐야합니다. g^h ^- hf^ h라고하면.. g^h ^- hf^h # g^h " 음.. 좀재미있습니다. 보세요. 다른문제처럼좌극한, 우극한을따져도되지만, 이경우는.. ^ - h 에 ' 수렴 ' 하고 " 주어진그래프에서 f^h 에 ' 수렴 ' 하므로 " < 함수의극한에대한성질 > 에의해 g^h " " ^-hf^h, " ^-h # f^h " " # 바로구할수있습니다. 3 g^h g^h 이므로 " 함수 ^- hf^ h는 에서 ' 연속 ' 입니다. ( 참!) 3 ㄱ. 그래프를보면 -, 에서불연속이군요. 불연속인점은 개맞습니다. ( 참!) ㄴ. 함수 f^h가 에서 ' 불연속 ' 이므로 함수 ^- hf^h가 에서연속인지알아보려면 ' 연속의정의 ' 에따라검토해야겠죠. g^h ^- hf^h라하고 g^h ^- hf^h # g^h는.. " 좌극한 : ^ - h f ^ h # ^ - h " - 우극한 : ^ - h f ^ h # ^ h " + ` g^h " 3 g^h g^h이므로 " 함수 ^- hf^h는 에서연속입니다. ( 참!) ㄷ. 방금한ㄴ. 처럼 ' 연속의정의 ' 에따라 함수 " f^h, 이 -, 에서연속인지검토해도되지만 ( 시간이좀걸리겠지만.. 그게교과서적인풀이긴하죠.) 함수 " f^h, 은좀특별한함수라서아래처럼해도됩니다. " f^h, ^ $ h ) 즉, " f^h, ^- h ^ h 이차함수 은의심할여지없이실수전체에서연속인함수죠. 따라서함수 " f^h, 은실수전체에서연속입니다. ( 참!) 5 혼자하는수능수학 67
- [4 점 -3 년수능 - [3 점 -4 년모의평가 6 월 두함수 $ $ f - ^ h ^ h ^ h *, g^h * ^ h - ^ h 에대하여옳은것만을 < 보기 > 에서있는대로고른것은? < 보기 > ㄱ. f ^ h g ^ h - " ㄴ. 함수 g^+ h은 에서연속이다. ㄷ. 함수 f^hg ^ + h 은 -에서연속이다. 함수 f^h 의그래프가그림과같다. * + - ^ # h ^ h ㄱ ㄴ 3 ㄱ, ㄴ 4 ㄱ, ㄷ 5 ㄱ, ㄴ, ㄷ 함수 g^h f^h" f^h + k, 가 에서연속이되도록하는상수 k의값은? - - 3 4 5 68 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 -8 함수 f^h는이차함수이므로당연히항상 ' 연속 ' 이고 함수 g^h는, 에서 ' 불연속 ' 인데 함수 f^hg^h가실수전체에서 ' 연속 ' 이라는군요. 오호 ~, 그럼, 에서도연속이란말이죠? 이걸이용합시다. 라하고 f^h + a+ b f^hg^h는 에서연속이므로 f^hg^h f^hg^h " f^hg^h f^hg^h f^hg^h " - " + ^ + + bh^- h ^ + + bh^- + h ^ + + bh^- h b$ ^- h b$ ^h b $ ^-h - b b ` b ` f^h + a f^hg^h는 에서연속이므로 f^hg^h f^hg^h " f^hg^h f^hg^h f^hg^h " - " + ^ + ah^- + h ^ + ah^h ^ + ah^h - 4- a 4+ a ` a - ` f^h - 그렇다면 f^5h ^5h - 5 ^ h 5 풀이 -9 ㄱ. " + 이면 인경우이므로 f^h- + 따라서 f^h ^ - + h " + " + - + ㄴ. 아니죠. a 이면 f ^ # h ^ h ) - + ^ h 함수 f^h의그래프를그려보면 에서불연속입니다. ( 참!) ( 거짓!) ㄷ. 함수 y ^- h은실수전체에서 ' 연속 ' 인데함수 y f^h는ㄴ. 처럼 에서 ' 불연속 ' 일수있지요. 따라서함수 y ^- hf^h가실수전체에서 ' 연속 ' 인지확인하려면 일때연속인지확인해봐야합니다. h^h ^- hf^h라하면 h^h ^- hf^h h^h " 좌극한 : ^ - h f ^ h ^ - h $ a " - 우극한 : ^ - h f ^ h ^ - h $ ^ - + h " + ` h^h " 3 ` h^h h^h이므로 " 함수h^h ^- hf^h는 에서연속이군요. 따라서함수 y ^- hf^h는실수전체에서연속이겠지요. ( 참!) 3 혼자하는수능수학 69
- [4 점 -4 년수능 함수 f^h * + ^ # h - 7 + ^ h 에대하여함수 f^hf ^ - ah가 a에서연속이되도록하는모든실수 a의값의합을구하시오. 7 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 - 앞선문제들처럼극한의정의, 연속의정의에따라풀어도되지만이문제는그래프가쉽게그려집니다. 그리고주어진함수 f^h와 g^h를곱해서함수 f^hg^h를만들면 $ f g - ^ h ^ h ^ h * - ^ h ㄱ. 위의 f^hg^h의그래프를보면 " 일때수렴하지요. f ^ h g ^ h - ( 참!) " ㄴ. 함수 g^+ h은 에서연속이다? + t로치환하면, 함수 g^th는 t 에서연속이다? 위의 y g^h의그래프를보세요. 에서연속인가요? 아니죠. 불연속입니다. ( 거짓!) 풀이 - 연속의정의를아는지묻는문제이군요. g^h f^h" f^h + k, 함수 g^h가 에서연속이되는지확인하려면 연속의정의에따라 g^h이존재 g^h가존재 " 3 g^h g^h " 인지확인해야하지만.. 수험생들은맘이급하지요. 3번식하나에,,3을몰아넣어서검토하기도합니다. ( 이미앞에서여러번이렇게풀었죠.) 이렇게요.. g^h " g^h g^h g^h g^h " - " + f^h" f^h+ k, f^h" f^h+ k, f^h" f^h+ k, " - " + f^h 이고 f^h 이므로 "- "+ ^ + kh ^ + kh ^ + kh 4+ k ` k - ㄷ. 함수 f^hg^+ h은 -에서연속이다? 이경우는ㄴ. 처럼치환해도복잡합니다. 어쩔수없이 ' 연속의정의 ' 에따라풀어야겠군요. f^-hg^- + h f^- hg^h - # f^hg^+ h "- 좌극한 : f^hg^+ h f^h# g^th " -- " -- t "- - # 우극한 : f^hg^+ h f^h# g^th " - + " - + t " + ` f^hg^+ h "- 3 f^hg^+ h f^-hg^h 이므로 "- # 함수 f^hg^+ h은 -에서연속입니다. ( 참!) 4 혼자하는수능수학 7
-3 [4 점 -6 년모의평가 6 월 실수 t에대하여직선 y t가곡선 y - 와만나는점의개수를 f^th라하자. 최고차항의계수가 인이차함수 g^th에대하여함수 f^thg^th가모든실수 t에서연속일때, f^3h+ g^3h의값을구하시오. - -4 [4 점 -6 년수능 두함수 + 3 ^ # ah f^h *, g^h - ^a+ 7h - ^ ah 에대하여함수 f^hg^h가실수전체의집합에서연속이되도록하는모든실수 a의값의곱을구하시오. 7 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 - 함수 f^hf^- ah가 a에서연속이라면 f ^ h f ^ - a h f ^ afa h ^ - a h " a 연속의정의를이용하면됩니다. 그런데이문제는엉뚱하게도함수 f^hf^- ah가발목을잡네요.. f^h f^- ah + - + 7 * * ^ # h ^ h ^- ah + ^ # ah - ^- ah + 7 ^ ah 이제두함수 f^h와 f^- ah를곱해서 f^hf^- ah를구하면 되는데.. 이게.. a 값에따라경우가나뉩니다. a 일때 Z ^+ h^- a + h ^ # ah f^hf^- ah ^+ h `- ^- ah+ 7j ^a # h [ - + 7 - ` j` ^- ah + 7j ^ h \ a에서연속이려면 f ^ hf ^ - ah f ^ afa h ^ - ah 이어야하니까 " a 우선 f ^ hf ^ - ah가존재해야하죠. " a Z ^+ h^- a+ h ^ # h f^hf^- ah `- + 7j^- a + h ^ # ah [ - + 7 - ` j` ^- ah + 7j ^ ah \ a에서연속이려면, f ^ h f ^ - ah가존재해야하므로 " a f^hf^- ah f^f h ^ - ah " a- " a+ 7 a 7 `- + j^ - + h `- + j`- ^- ah + 7j " - " + a a a 7 `- + j$ `- a+ 7j$ 7 3 a 일때 인데 - 6 `- a + 7j ` a 4 ^+ h ^ # h f^hf^- h " f^h, * - ` + 7j ^ h " f^h, " - " - " f^h, " + " ^ + h `- + 7j 7 49 + 이므로함수 " f^h, 는 에서불연속입니다. 즉, a 일때, 함수 f^hf^- ah는 a에서불연속입니다..,,3에서 a에서연속이되게하는모든실수 a의합은 ^- h+ 4 3 3 f^hf^- ah f^f h ^ - ah " a- " a+ ^+ h^- a+ h ^+ h - ` ^- ah+ 7j " - " + a a ^a+ h$ ^a+ h$ 7-6^a + h ` a - a 일때 혼자하는수능수학 73
-5 [4 점 -7 년수능 두함수 f - 4 + 6 ^ h ^ h * ^ $ h g^h a + g^h 에대하여함수가실수전체의집합에서연속일때, f ^ h 상수 a의값은? - 4 5-3 - 4 3 4-5 - 4 74 논점 : f()g(), f()±g() 의연속
풀이 -3 풀이 -4. - + 3 ^ # ah f^h ), - ^ ah g^h - ^a+ 7h g^h는실수전체에서연속이고, f^h는 a에서불연속일수 있는데.. 문제는 f^hg^h가실수전체에서연속이되도록하랍니다. f^hg^h부터구해놓고.. 생각은그다음에.. 함수 f^th는 y - 와 y t가만나는점의개수이므로 Z ^t h ^t h f^th [ 4 ^ t h 3 ^t h ^t h \ 함수 f^th는 t, 에서불연속이군요. 한편, 함수 g^th는이차함수라고하니까모든실수 t 에서연속일테고요.. 그런데문제에서 f^thg^th가모든실수 t 에서연속이라고했으니까함수 f^thg^th는 t, 에서도연속이라는힌트를준것이죠. f^thg^th는 t 에서연속 f^thg^th f^thg^th f^hg^h t" - t" + f^th$ g^th f^th$ g^th f^hg^h t" - t" - t" + t" + $ g^h 4 $ g^h g^h 4g^h g^h ` g^h f^thg^th는 t 에서연속 f^thg^th f^thg^th f^hg^h t" - t" + f^th$ g^th f^th$ g^th f^hg^ h t" - t" - t" + t" + 4 $ g^h $ g^h 3 g^h ` g^h ^+ 3h^- ^a+ 7hh ^ # ah f^hg^h * ^ -h^- ^a+ 7hh ^ ah f^hg^h가실수전체에서연속이되려면 이기만하면됩니다. faga ^ h ^ h가존재 a에서연속 faga ^ h ^ h ^a+ 3h^a-a -7h ^a+ 3h^-a-7h f^hg^h가존재 " a f^hg^h f^hg^h " a- " a+ ^+ 3h^-a- 7h ^ -h^-a -7h " a- " a+ ^a+ 3h^a-a- 7h ^a -ah^a-a -7h ^a+ 3h^-a- 7h ^a -ah^-a -7h ^-a- 7h" ^a+ 3h-^a - ah, - ^a+ 7h^- a + a + 3h - ^a+ 7h^-a-h^a - 3h a -7, -, 3 세경우모두 f^hg^h faga ^ h ^ h이므로 " a 모든실수 a 의곱은 ^-7h# ^- h# ^3h 3. g^th는 ' 이차함수 ' 라고했는데 g^h, g^h 이니까 ` g^th tt ^ -h 따라서 f^3h+ g^3h + 3^3- h 8 8 혼자하는수능수학 75
풀이 -5 4 6 f - + ^ h ^ h * ^ $ h g^h a + 따라서 Z a + ^ g^h h - 4+ 6 f^h [ a + ^ $ h \ 이중에서 a + 은분모에 가있으니유리함수아닐까? - 4 + 6 유리함수는점근선에서불연속인데.. 점근선도따져야하나? 그러나학생여러분은걱정을붙들어매시라. 모름지기유리함수의점근선은분모 일때발생하거늘 이함수의분모는 - 4+ 6 ^ - h + 이므로애시당초점근선이생길수가없소이다. g^h 따라서가실수전체에서연속이려면 f ^ h 에서만연속이면됩니다. g^h f^h " - " + g^h f^h a + a + a $ - 4+ 6 + " - " + a + 4-8+ 6 a + a+ a+ a + a+ 4a+ - a ` a - g^h f^h 4 혼자하는수능수학 77