풀이 9- 풀이 눈에잘띄는 lim e " _ - 을이용하는극한입니다. x lim e - x " x x limc # e - m x " x x lim e - x " x $ 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 6

Transcription

1 미적 9- [ x - lim e 의값은? x " x 점 -7 년모의평가 6 월 ] 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

2 풀이 9- 풀이 눈에잘띄는 lim e " _ - 을이용하는극한입니다. x lim e - x " x x limc # e - m x " x x lim e - x " x $ 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 6

3 미적 6- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 함수 f^xh ^x+ 7he x 에대하여 f l^h의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

4 풀이 6- 풀이 f^xh ^x+ 7he x x fl^xh ^x+ 7hle + ^x+ 7h^e hl x e + ^x+ 7he ^+ x+ 7he ^x+ 9he fl^h ^$ + 9he 9$ 9 x x x x 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 67

5 기벡 - [ 6 ax + k 의전개식에서 x 의계수는? x 점 -7 년모의평가 6 월 ] 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

6 풀이 - 풀이 최근몇년간이항정리문제는짜장면시키면나오는단무지같은느낌이죠. 기본세팅으로깔아주는문제. 6 `x + x j 의일반항은 C x 6 6-6C x ` x j ` j x C 6 ` j x 6- 여기에서 x 항은 6- 일때 x 항이군요. 따라서 x 의계수는 C 6 ` j ` 9 j 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 69

7 미적 - [ tanaa + k 일때, tan a의값은? 점 -7 년모의평가 6 월 ] 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

8 풀이 - 풀이 그냥.. 덧셈정리를아는지확인하고싶어서낸문제. tana+ tan b tan^a+ bh - tanatan b tana- tan b tan^a- bh + tanatan b tan`a + j tana + tan - tana tan tan a + - ^tan ah^h tana+ ^ -tan ah tana+ - tan a tan a tan a 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

9 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 자연수 6 을짝수개의자연수로분할하는방법의수는? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

10 풀이 - 풀이 자연수 6 을 ' 짝수개 ' 의자연수로분할하랍니다. 6 을 개, 개, 6 개의자연수로분할하란말이죠. 6 을 개의자연수로분할 가지 6 을 개의자연수로분할 가지 6 을 6 개의자연수로분할 가지 따라서모든방법의수는 ( 가지 ) 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

11 기벡 7- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 두사건 A, 일때, B 에대하여 A C P^ h, P^A+ B h 6 P^B Ah의값은? ( 단, A C 은 A의여사건이다.) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

12 풀이 7- 풀이. 먼저눈에띄는건 C P^A+ B h A- B A+ B C 따라서 P^A- Bh 그런데 P ^Ah 이므로 (ⅰ) 6 P^A+ Bh P^Ah -P^A-Bh (ⅱ). 그렇다면 (ⅰ), (ⅱ) 를이용해서 P ^A+ Bh P^B Ah P^Ah 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

13 미적 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 부등식 log 정수 x 의개수는? ^x- h+ log ^x- 7h 을만족시키는 # 76 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

14 풀이 - 풀이 걍로그부등식. log^x- h+ log^x- 7h# log^x-h^x-7h# log 밑이 보다크니까부등식방향그대로 ^x-h^x-7h# 7 x - x+ 7-7 # x -x- # 이문제에서제일어려운부분이이인수분해죠. ^x- h^x+ h# - # x # (ⅰ) 로그의성립조건에서 ^x - h 이고 ^x - 7h 이어야하니까 x (ⅰ),(ⅱ) 에서 x 의범위는 7 x # 범위안의정수 x 는 x 는 개. x,, 7 (ⅱ) 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 77

15 미적 9- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 곡선 y ln^x- h + 위의점 ^, h에서의접선의방정식이 y ax+ b일때, 두상수 a, b의합 a+ b의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

16 풀이 9- 풀이 아주흔한접선문제인데.. 이런문제가안풀리는데는몇가지이유가있습니다. 예를들어.. 공부를안했다거나, 공부를안했다거나또는공부를안했다거나.. 등등. 이유는아주많지요. y ln^x- h + yl $ ^x - hl x - x - 따라서점 ^, h에서의접선은 ^y- h ^x- h - y- x- y x- ` a+ b + ^- h - 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 79

17 기벡 7- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 좌표평면에서두직선 x + y, x y 이이루는예각의크기를 i라할때, cos i의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

18 풀이 7- 풀이 두직선이이루는각 두방향벡터가이루는각 직선 x + y - 의방향벡터는 u ^, h 직선 x + y + 의방향벡터는 - v ^-, h 두벡터 u 와 v 가이루는각의크기를 i 라하면 cos i u: v u v ^- h + $ + ^- h + 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 8

19 미적 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] - x + 함수 f^xh ^x - 8he 은극솟값 a와극댓값 b를갖는다. 두수 a, b의곱 ab의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

20 풀이 - 풀이 극댓값, 극솟값을물으니미분부터합시다. - x + f^xh ^x -8he - x+ - x+ fl^xh ^x - 8hle + ^x - 8h^e hl - x+ - x+ xe + ^x -8he ^- x + hl - x+ - x+ xe -^x - 8he - x + ^- x + x+ 8he -^x- h^x+ he - x + e - x + 은항상양수이니까 x -, 에서 fl^xh 이군요. 증감표를만들어극점이되는지확인합시다. x g - g g fl^xh f^xh x -에서극솟값 a를가지고 a f^-h - ^-h+ ^^- h -8he -e x 에서극댓값 b를가집니다. b f^h - + ^ -8he - 8e 따라서 ab ^-e h^8e -e - - h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 8

21 기벡 9- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 한개의주사위를두번던질때나오는눈의수를차례로 a, b라하자. 이차함수 f^xh x - 7x+ 에대하여 fafb ^ h ^ h 이성립할확률은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

22 풀이 9- 풀이. f^xh x - 7x+ ^x-h^x- h 주사위눈은 부터 6 까지니까 응. 별거아니었구나. x, 6일때, f^xh 이니까 f^xh 일확률 6 x, 일때, f^xh 이니까 f^xh 일확률 6. fafb ^ h ^ h 인경우는두가지가있지요. fa ^ h 그리고 fb ^ h 일확률 # 9 fa ^ h 그리고 fb ^ h 일확률 # 9, 에서 fafb ^ h ^ h 일확률은 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 8

23 미적 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 두함수 f^xh sin x, g^xh e x 에대하여 g^f^xhh - e lim 의값은? x x " - e e e e 86 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

24 풀이 - 풀이 g^f^xhh - e lim x " x - 처음엔 ' 함수의극한 ' 문제인가? 라고생각했는데.. fl^ah lim x" a f^xh- fa ^ h x- a 어디선가미분계수우.. 미부운계수우.. 하는소리가들리더라는.. g^ f^xhh - g f ` ` jj lim x " x - 이렇게만된다면완벽한미분계수인데.. 혹시몰라확인해봅시다. g f g sin ` ` jj ` j g ` j e e ( 헐ㅋ! 맞았어!!) 그러니까구하는값은 g^ f^xhh - e lim x " x - g^ f^xhh - g f ` ` jj lim x " x - g f l $ ` ` jj. gl f $ fl ` ` jj ` j gl $ fl ` j ` j x g^xh e ) 이고 f^xh sin x ) 이므로 x gl^xh e fl^xh sin xcos x e $ sin cos e $ $ $ e x- t로치환해서그냥 ' 함수의극한 ' 으로풀어도답은나옵 니다. 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 87

25 미적 8- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] e # x^ - ln xhdx의값은? e ^ - 7h e ^ - 6h e ^ - h e ^ - h e ^ - h 88 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

26 풀이. 8- # 두함수 x 와 e x^ - ln xhdx ^ - ln xh의곱을적분해야하니치환적분아니면부 분적분입니다. 치환할부분은보이지않고미분하면쉬워지는 x와 ln x가있으니부분적분이겠지요. 풀이 # f^xhg^xhdx ( 그대로 )( 적분 )- # ( 미분 )( 적분 )dx 여기에서 f^xh, g^xh 중 미분하면쉬워지는함수를 ( 그대로 ), ( 미분 ) 하고다른함수를 ( 적분 ), ( 적분 ) 한다. 그런데 x와 ^ - ln xh, 둘다미분하면쉬워지는함수인데.. 어느걸 ( 그대로 ), ( 미분 ) 할까요? 이런경우는, 'ln x 를 ( 그대로 ), ( 미분 ) 하는게정신건강에이롭습니다.' 왜냐하면.. ln x를미분안하면 ( 적분 ), ( 적분 ) 해야하는데.. ln x는적분해봤자 xln x- x. ln x가없어지질않아서똑같은고민을또해야하거든요. ㅠㅠ. 결심섰으니계산합시다. # e x^ - ln xhdx # e e x ln x x 8 ^ - h B - `- x j dx e e x ln x 8 ^ - h xdx B + # e e x ln x 8 ^ - h x B + 8 B e ln e ln $ ^ - h- $ ^ - h e. + ^ - h e $ ^ - h- $ ^ - h + e -. ^ h - + e - e - ^e -h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 89

27 기벡 7- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 그림과같이포물선 y x 위의점 A^t, t h 에서 이포물선의준선 l 에내린수선의발을 B 라하자. 다음은점 A 에서의접선과직선 OB 가만나는점을 P 라할때, 점 P의좌표를구하는과정이다. ( 단, t! 이고 O는원점이 다.) 포물선의방정식 y x의양변을 x에대하여미분하여 정리하면 dy dx ( 가 ) ( 단, y! ) 이므로점 A^t, 이다. B^ t h 에서의접선의방정식을구하면 y ( 나 ) # x+ t ᄀ ( 다 ), t h 이므로직선 OB 의방정식은 y t x ᄂ ( 다 ) 이다. ᄀ, ᄂ을연립하여점 P 의좌표를구하면 이다. c ( 다 ) t, t # m t + t + 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각 f^yh, g^th라하고, ( 다 ) 에알맞은수를 a라할때, fa ^ h# ga ^ h의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

28 풀이 7- 풀이 예전같으면 " 점 P 의좌표를구하라!" 고호기롭게질문을던졌을텐 데.. 풀이과정을다주고빈칸만채우라니.. 나약해진평가원의모습을보고있자니.. (# 기쁘기 _ 그지없다 ). 포물선 y x의준선은 x -이지요. 따라서 B^-, th. 주어진풀이를봅시다. y x의양변을 x에대하여미분하면 dy y dx dy ` dx y y 따라서점 A^t, th에서의접선의방정식은 y t ^ - h ^x- t h t y- t t x - t y t x + t.,, 에서 f^yh, g^th, a - y t 이므로 faga ^ h ^ h ` - j` - j 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

29 기벡 8- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 그림과같이쌍곡선 x y 6-9 의두초점을 F, Fl이라하고, 이쌍곡선위의점 P를중심으로하고선분 PFl을반지름으로 하는원을 C 라하자. 원 C 위를움직이는점 Q 에대하여 선분 FQ 의길이의최댓값이 일때, 원 C 의넓이는? ( 단, PFl PF) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

30 풀이 8- 풀이. 이름있는점 P, Q의좌표부터정하고계산해야지.. 하고봤더니힌트가없어요. 점 P, Q의좌표를간단히할수가없네요. 천상 P ^a, bh, Q^c, dh라고놓을수밖에없는데.. 이래서는계산을할수없지요. 미지수가 개나되니.. 아무래도쌍곡선의정의를이용해서풀어야할모양입니다.. 그와중에눈에띄는건 'FQ 의최댓값이 일때 ' 라는구절. 그럼아래같은경우를말하는거였네요.. 그다음, ' 거리의차 8' 이라는쌍곡선의정의를들이대면 PF - PFl 8 PF - 8 그런데이그림에는반지름 이여러번나오지요. 다른반지름 을이용하면아래같은결과를얻을수있습니다. PF - 8이므로 아울러이그림에서 QF 를보면 ` 따라서원 C 의넓이는 $ 9 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

31 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 각면에,,, 의숫자가하나씩적혀있는정사면체 모양의상자를던져밑면에적힌숫자를읽기로한다. 이상자를 번던져 가나오는횟수를 m, 가아닌숫자가 m- 나오는횟수를 n이라할때, i n - i일확률은? ( 단, i - ) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

32 풀이 - 풀이 상자를딸랑 번만던지니.. 경우가몇안되겠네요. 다써봅시다.. 번던져 가 m번, 아닌숫자가 n번나오는경우는 m, n 일때 m-n - i i i - i ^a i -h m, n 일때 m-n - i i i m, n 일때 m-n - i i i m, n 일때 m-n - i i i -i. m- i n -i인경우는, 입니다. 각각의경우, 확률을구하면 가 번, 아닌숫자가 번나올확률 C ` j ` j 6 가 번, 아닌숫자가 번나올확률 7 C ` j ` j 6 따라서구하는확률은 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

33 미적 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 함수 f x x x ^ h - 와함수 g^xh - - 의 x + 그래프가그림과같다. a 8 # # 의최솟값 a # a # 8인 a에대하여 f^xhdx + g^xhdx 은? - ln - ln - ln 6 - ln 6 - ln 96 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

34 풀이. - a # f^xhdx + # a 8 g^xhdx 적분구간에변수 a 가있으니까정적분으로정의된함수군요. a 8 # # a ha ^ h f^xhdx + g^xhdx 양변을 a 에대하여미분해서풀어야죠. hl^ah d da a 8 f x dx d # ^ h + # da a a g^xhdx d ; F ^ x he + d ; G ^ x he da da a ca f ^ x h dx F ^ x hm d " Fa ^ h - F ^h, + d " G ^8h- G ^ a h, da da Fl^ah- + - Gl^ah fa ^ h -ga ^ h ` hl^ah fa ^ h-ga ^ h fa ^ h ga ^ h일때, hl^ah 이된다는말이군요. 주어진그래프를이용하면 hl^ah fa ^ h-ga ^ h의부호를알수있지요. 8 # # # 6 x c - dx m + x + # # # 6 6 dx - x dx + x ^x - h dx x + 8 dx x + t 로치환하고미분하면 xdx dt x 일때 t, x 6일때 t 이므로 # # # 6 dx x dx t dt `- + j 6 x ln t G -; E + - x + xg 6 ln ln 8 6 ^ - h- ^ - h- 8 6 ^ - h + ^ - h - ln ln. (ⅰ)8과 (ⅱ) 6 - ln 중누가더작을까요? 8-^6-ln h을해서대소비교를할까했는데.. 어? 보기에 8 은없네? 그렇담최솟값은 6 - ln (ⅱ) a g g 6 g 8 hl^ah ha ^ h 극소 그런데주어진그래프를보고 a 6에서최소가될거라고 콕집어낸학생들이많을겁니다. ( 순전히눈대중으로 ) 평가원은그래프를항상정확하게그려주기때문에시간에쫒기는수험생입장에서는나쁘지않은방법이지요. ( 오히려평가원의의도는이쪽이아니었을까생각합니다.) 증감표를이용해서 h^ah의개형을그려보니 a 일때혹은 a 6일때, h^ah는최솟값이되겠군요.. 먼저 a 일때 8 # # h^h f^xdx h + g^xdx h + $ 8 $ 8 그다음 a 6일때 6 8 h^6h # f^xhdx + # g^xhdx # # 6 x c - dx m + x x - (ⅰ) dx 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 97

35 미적 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 실수전체의집합에서미분가능한함수 f^xh가 모든실수 x 에대하여다음조건을만족시킨다. ( 가 ) f^xh! ( 나 ) f^xh + f^- xh ( 다 ) fl^xh " + f^xh, " + f^-xh, < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? < 보기 > ㄱ. 모든실수 x에대하여 f^xh!- 이다. ㄴ. 함수 f^xh는어떤열린구간에서감소한다. ㄷ. 곡선 y f^xh는세개의변곡점을갖는다. ㄱ ㄴ ㄱ, ㄷ ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ, ㄷ 98 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

36 풀이 - 풀이 모든실수 x 에대하여 ( 가 ) f^xh! f^xh는절대 이아니다. 즉, y f^xh는 y 과만나지않는다. ( 나 ) f^xh + f^- xh f^- xh - f^xh이므로원점대칭이란소리죠. ( 다 ) fl^xh " + f^xh, " + f^- xh, " + f^xh, " - f^xh, -" f^xh, (ⅰ) 이제보기를검토하면 ㄱ. 모든실수 x에대하여 f^xh!- 이다. 그렇죠. y f^xh는연속이면서원점대칭인함수인데 y 과만나지않는다고하니 y -과도당연히만나지않겠죠. ( 참!) 아마도 y f^xh는 -과 + 사이에있는함수겠네요. ㄴ. f^xh는어떤열린구간에서감소. ㄱ. 에서 - f^xh 이란걸확인했으니 (ⅰ) 에서.. fl^xh -" f^xh, 따라서 f^xh는항상 ' 증가 ' 합니다. ( 거짓!) ㄷ. f^xh는세개의변곡점을갖는다. 위그래프를보면변곡점은한개같은데.. 혹시모르니확인해봅시다. 변곡점얘기가나오면 fm^xh를구해야죠. fl^xh -" f^xh, fm^xh-f^xhfl^xh fm^xh 인경우는 f^xh 일때뿐입니다. (aㄴ. fl^xh ) 그런데 f^xh는원점대칭이고증가함수이므로 ^, h에서만 f^xh 이됩니다. 즉, 변곡점은하나. ( 거짓!) 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 99

37 미적 9- [ lim sin x x 의값을구하시오. x " cos x 점 -7 년모의평가 6 월 ] 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

38 풀이 9- 풀이 lim sin x x " x cos x lim ` sin x # x " x cos x j # 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

39 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 두벡터 a ^, h, b ^-, kh에대하여 a: b 을만족시키는실수 k의값을구하시오. 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

40 풀이 - 풀이 a ^, h, b ^-, kh a: b ^- h+ $ k - 8+ k k 8 8 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

41 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 어느학교동아리회원은 학년이 6 명, 학년이 명이다. 이동아리에서 7 명을뽑을때, 학년에서 명, 학년에서 명을뽑는경우의수를구하시오. 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

42 풀이 - 풀이 학년 6명중에서 명을뽑고 : 6C 학년 명중에서 명을뽑는다. : C 구하는경우의수는 C # C # 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

43 미적 - [ 방정식 - x + 점 -7 년모의평가 6 월 ] 을만족시키는실수 x의값을구하시오. 9 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

44 풀이 - 풀이 - x x x x - x 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

45 기벡 6- [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 타원 x + 9y -8y - 7 의한초점의좌표가 ^p, 때, p + q 의값을구하시오. qh일 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

46 풀이 6- 풀이. x + 9y -8y - 7 이게타원이래요. 우리가아는모습이랑많이다른데.. 정리를좀하겠습니다. x + 9^y -y - h x + 9^y - y + - h x + 9^y-h - 6 x + 9^y- h 6 양변을 6으로나누면 x ^y - h + 9 이타원은 x y + 을 9 y축방향으로 + 만큼평행이동 시킨타원이군요.. x y + 의초점을 ^!c, h이라하면 9 타원 a x 초점공식에의해 9- c c y + 의초점공식 b ( 큰분모 ) - ( 작은분모 ) c c! 즉, 타원 x y + 의초점은 ^!, h이므로 9 타원 x ^y - h + 의초점은 ^!, h 9 ` p + q ^! h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

47 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 사과, 감, 배, 귤네종류의과일중에서 8개를선택하려고한다. 사과는 개이하를선택하고, 감, 배, 귤은각각 개이상을선택하는경우의수를구하시오. ( 단, 각종류의과일은 8개이상씩있다.) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

48 풀이 - 풀이 사과는 개이하감은 개이상배는 개이상귤은 개이상선택해서 8개를선택하는방법의수응? ' 사과는 개이하 ' 라구요? 사과는 개아니면 개라는소리군요. 이걸로중간분류를합시다. 사과를 개선택하면.. 감, 배, 귤을 개이상선택해서총 8개를선택반드시 '개이상 ' 이라니까, 미리 개씩뽑아놓는다고생각합시다. 그러고나면.. 감, 배, 귤을 개이상선택해서총 개를선택같은걸여러번뽑을수밖에없고 ( 중복이허용되고 ) 뽑는순서는중요치않으니 ( 조합 ) 중복조합이군요. 감, 배, 귤을중복을허용해서 개를뽑는경우의수는? H C C 사과를 개선택하면.. 감, 배, 귤을 개이상선택해서총 7개를선택미리 개씩뽑아놓으면 감, 배, 귤을 개이상선택해서총 개를선택 H + -C 6C, 에서구하는경우의수는 + 6 ( 가지 ) 6 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

49 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 그림과같이선분 AB 위에 AE DB 인두점 D, E가있다. 두선분 AE, DB를각각지름으로하는두반원의호 AE, DE가만나는점을 C라하고, 선분 AB 위에 OA OB 인두점을 O, O라하자. 호 AC 위를움직이는점 P와호 DC 위를움직이는점 Q에대하여 OP + OQ 의최솟값이 일때, 선분 AB의길이는 q 이다. p q p + 의값을구하시오. ( 단, OO 이고, p와 q는서로소인자연수이다.) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

50 풀이 -. 그러니까반지름이 인반원이두개있고점 P는호 AC 위를, 점 Q는호 DC 위를움직인단말이죠. 이경우에 cos i - 7 이란말이죠. 8. 질문은 AB 의길이를구하는것입니다.. OP + OQ 의최솟값이 a+ b a + a: b+ b OP + OQ OP + OP : OQ + OQ + OP OQ cos i + + $ $ $ cos i + + cos i (i는 OP와 OQ가이루는각 ) 갑자기왜 OP + OQ 를제곱하냐고물으시는데.. 습관이에요. 습관. a+ b 만나오면괜히한번.. 어쨌거나.. OP + OQ 의최솟값이 이면 OP + OQ 의최솟값은 + cos i의최솟값은 cos i의최솟값은 - 7 ` cos i의최솟값은 - 7 (ⅰ) 8. cos i의최솟값이 - 7 이라는데.. 8 cos i가최소가되는때는어떤경우일까요? 위그림에서 d $ cos^-ih -cos i - 7 `- j 따라서 AB + d ` + 8 j ` p+ q i는 OP와 OQ가이루는각이므로, OQ 를왼쪽으로평행이동시켜두벡터의시점을 O 으로통일시킵시다. 위그림에서보면 # i 이니까 cos i는감소함수입니다. 따라서 i가최대일때, cos i는최소가되겠지요. i가최대인경우를그려보면 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

51 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] 양의실수전체의집합에서이계도함수를갖는함수 f^th에 대하여좌표평면위를움직이는점 P의시각 t ^t $ h에서의 위치 ^x, yh가 x ln t * y f^t h 이다. 점 P가점 ^, f^hh로부터움직인거리가 s가될때 시각 t는 t s s + + 이고, t 일때점 P의속도는, a k이다. 시각 t 일때점 P의가속도를 a-, ak라 할때, 6a의값을구하시오. 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

52 풀이 - t - ts+ s s + - ts - t +. 점 P의위치는 ` s t- t P^x, yh P^ ln t, f^t hh (ⅲ) 에대입하면평면위를움직이는점의좌표가 ^x, yh라할때, s+ s + # ` + fl^t dt s t j " h, 속도 v dx dy c, m 가속도 a dx dy c, m dt dt dt dt t + fl t dt t - # ` ^ t j " h, t 그다음엔자동재생! 적분구간에 t 가있으니양변을 t 에대하여미분합시다. 속도 v dx dy c, m, dt dt ` fl^t t hj t d f t dt d t + " l # ^ h, - dt t dt ` t j 가속도 a dx dy c,, f t m c- m^ hm dt dt t f t + " l^ h, + 문제에서 t t t 일때속도는, ` f t j이랬고 + " l^ h, + + t t t v, f, ` l^hj ` j " fl^th, - + t t ` f l^h (ⅰ) " fl^th, - c m t t 일때가속도는 `-, aj랬으니까 구하는것은 a fm^h이므로.. 한번더미분. a, f c- m^, a hm `- j " fl^th, " fl^th, l - l c mc - m t t ` fm^h a (ⅱ) fl^thfm^th - c mc m t t. 그다음, 문제가약간헷갈리게표현되어있네요. x 대입 fl^hfm^h - ' 점 P가 ^, f^hh로부터움직인거리가 s가될때 ` j` j 8 시각 t 는 t s + s (ⅰ),(ⅱ) 를이용하면 + 이고..' $ $ a $ $ 정리해서말하자면이건.. 't 에서 t s + s a + 까지움직인거리가 s' 라는소리입니다. 따라서 ` 6a 6 ` j t a에서 t b까지움직인거리 s b s dx dy # ` + c dt dt j m dt a # s+ s + dx dy ` + dt dt j c m dt s s s # + + ` + fl t dt t j " ^ h, s (ⅲ) 적분구간을이따우로냅두는것은인간된도리가아니오. t s + s + t- s s + 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

53 미적 - [ 점 -7 년모의평가 6 월 ] - 실수전체의집합에서미분가능한함수 f^xh가 상수 a 만족시킨다. ^ a h와모든실수 x에대하여다음조건을 ( 가 ) f^xh f^-xh # ( 나 ) f^thdt sinax + k x x+ a 닫힌구간, a 9 C에서두실수 b, c에대하여 q f^xh bcos^xh+ ccos^xh일때 abc - 이다. p p+ q의값을구하시오. ( 단, p와 q는서로소인자연수이다.). ( 가 ) f^xh f^-xh 이건 f^xh가 y축대칭이란말이고.. # ( 나 ) f^thdt sin`x + j x x+ a 적분구간에 x가있으니.. 양변을 x에대하여미분하여풀어야죠. x+ a d f t dt sin x # ^ h l` + j dx x x+ a d ; F ^ t he cos x ` + j ca f ^ t h dt F^thm dx x d " F ^ x + a h - F ^ x h, cos x ` + j dx Fl^x+ ah - Fl^xh cos x+ ` j f^x+ ah - f^xh cos x+ ` j (ⅰ) 이건상당히알쏭달쏭한식인데.. 문제맨앞에서 ' 모든실수 x에대하여다음조건을만족시킨다.' 는말이있죠? 그런데조건 ( 나 ) 는 (ⅰ) 이 ' 항등식 ' 이란말입니다. 그럼 x에아무값이나대입해도되겠네요? 한방에문제를단순하게바꿔주는값.. 뭐없을까요? x - a 를넣어봅시다. f a a f a cos a `- + j- `- j `- + j f a - f - a cos - a + ` j ` j ` j ( 가 ) 에의하면 f a f a `- j ` j이므로 f a f a cos a ` j - ` j `- + j cos - a + ` j a 이면 - a `- + j 입니다. ( 계산은여러분이.) 범위안에서 cos a `- + j 이되는때는 a `- + j- - a - 6 ` a #. 항등식.. 항등식으로풀었단말이지.. a 라면 x + ( 나 ) f t dt sin x + # ^ h ` j x 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

54 이식이항등식이니이번에도대입하면쉬워지는값, x 대입해봅시다. # # 6-6 f^thdt sin - + ` j 6 f^thdt sin - ` j ( 가 ) 에서 f^th는 y축대칭이므로 # f^thdt - # 6 6 f^thdt - - 를 6 잊고있었는데.. 문제에서 f^xh bcos^xh+ c cos^xh였지요. 6 # " bcos^th + c cos^th, dt - 6 b sin^th+ c sin^thg - b sin c sin ` - j+ ` - j- 6 b sin c sin ` + j+ ` + j- 6 b $ + c $ - b + c - b+ c - (ⅱ) f l` j 6 지친다지쳐.. f^xh bcos^xh+ c cos^xh이니까 fl^xh-bsin^xh- csin^xh이지요. -bsin csin ` $ 6 j- ` $ 6 j -bsin - csin 6 -b^h - c ` j 6b + c - (ⅲ) (ⅱ) 와 (ⅲ) 을연립해서풀면 b - 9, c 다됐습니다. abc 9 7 ` j`- j` j - 8 ` p+ q 풀고나니부질없네. (ⅰ) 을얻는과정을공식으로외우기도해요. x+ a d # f^thdt f^x+ ah- f^x+ bh dx x+ b 8. 어우.. b, c로된식이하나더필요한데.. 어디서찾을까요? 항등식 ( 나 ) 에서식 (ⅱ) 를구했고항등식 ( 나 ) 를미분한식 (ⅰ) 에서 a를구했으니항등식 ( 나 ) 를두번미분해볼까요? ( 어차피막장문제인데.. 못할거없죠.) f^x+ ah - f^xh cos x+ ` j (ⅰ) a 대입하고, 한번더미분하면 fl x f x sin x ` + j - l^ h - ` + j 이식도항등식이니식이쉬워지는 x - 대입합시다. 6 fl f sin `- + j- l`- j- `- + j f l -f l - -sin - ` j ` j ` j 6 6 ( 가 ) 를미분하면 fl^xh -fl^-xh이지요. f l f ` j + l` j -^-h 6 6 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

55 기벡 8- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 두사건 A 와 B 는서로배반사건이고 일때, P^Bh의값은? P^Ah, P A, B ^ h 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

56 풀이 8- 풀이 두사건 A, B 가서로배반사건이란건 두사건 A, B가동시에일어나는일은없다. 는얘기죠. 즉, 이란말입니다. P ^A+ Bh P ^Ah 일때, 6 P^A, Bh P^Ah+ P^Bh- P^A+ Bh 6 + P^Bh - P^Bh - 6 P^Bh 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

57 미적 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] cos^a, cos cos + bh a b 7 일때, sinasin b의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

58 풀이 - 풀이 cos^a+ bh cos acosb-sin asin b 7 sin asin b sin asin b 7-7 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

59 미적 8- [ # dx의값은? x + 점 -7 년모의평가 9 월 ] ln ln 6 ln 7 ln ln 7 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

60 풀이 8- # dx x + ^x + hl 이니까.. 미분한식이곱해져있죠? 치환적분입니다. x+ t로치환하고, 양변을 t 에대하여미분하면 $ dx dt dx dt 그리고 x 이면 t, x 이면 t 7이므로 # # 7 $ dx x + t dt 풀이 7 ; ln t E ln 7-ln ln 7 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

61 미적 6- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] # x 일때, 방정식 의모든해의합은? sin x+ cos x 76 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

62 풀이 6- 풀이 삼각방정식 sin x+ cos x ^ - cos xh + cos x - cos x+ cos x cos x- cos x+ ^cosx-h^cos x- h cos x, 주어진구간 # x 에서그래프를그려해를구하면 cos x cos x x, x 따라서모든해의합은 + + 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 77

63 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 두벡터 a, b에대하여 a, b 이고, 두벡터 6 a+ b와 a- b가서로수직일때, a: b의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

64 풀이 - 풀이 수직인두벡터가나오면우리는.. a 와 b 가수직이면 a: b 6 a+ b와 a- b가서로수직이라고하니까 ^6a+ bh : ^a- bh a 6a: a-a: b- b: b 6 a -a: b- b, b 이므로 6 ^ h -a: b- ^h - a: b 9-6 a: b - 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 79

65 미적 7- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 실수전체의집합에서미분가능한함수 f^xh가모든실수 x에 대하여 f^x+ h ^x + h 을만족시킬때, f l^h의값은? 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

66 풀이 7- 풀이 f^x+ h ^x + h 치환을해야하나.. 생각했는데 f l^h을구하는게목적이라면그냥미분해도되겠더라구요. fl^x+ h$ ^x+ hl ^x + h$ ^x + hl fl^x+ h $ ^x + h $ x fl^x+ h ^x + hx f l^h은 fl^x+ h에 x 을대입하면나오죠. f l^h ^ + h $ 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 8

67 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 어느실험실의연구원이어떤식물로부터하루동안추출하는 호르몬의양은평균이.mg, 표준편차가.6mg인 정규분포를따른다고한다. 어느날 z P ^ # Z # zh 이연구원이하루동안추출한. 9. 호르몬의양이 9.6mg 이상이고...mg 이하일확률을오른쪽.. 표준정규분포표를이용하여구한것은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

68 풀이 - 풀이 호르몬양을확률변수 X 라하면 확률변수 X 는정규분포 N^., 6. h을따른다고합니다. 구해야하는확률은 P ^9. 6 # X #. h 표준화하면 P Z.. ` - # # - j P 6. Z. ` - # # j P^- # Z # h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 8

69 미적 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] f^+ hh-f^- hh 함수 f^xh log x에대하여 lim 의값은? h " h ln ln 6ln ln 7 6ln 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

70 풀이 - 풀이 f^+ hh-f^-hh lim h " h f^+ hh- f^h+ f^h-f^-hh lim h " h f^+ hh - f^h f^-hh -f^h lim - lim h" h h" h f^+ hh - f^h f^-hh -f^h lim + lim h" h h" -h fl^h+ fl^h f l^h f^xh logx fl^xh $ x ln 이므로 ` $ j ln ln 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 8

71 기벡 7- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 한개의주사위를두번던질때나오는눈의수를차례로 a, b 라하자. 두수의곱 ab 가 6 의배수일때, 이두수의합 a+ b가 7일확률은? 7 86 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

72 풀이 7- 풀이. 두주사위눈의곱 ab 가 6 의배수인경우는어떤게있을까요? 다써봅시다. ab 6인순서쌍 ^a, bh ^, 6h, ^, h, ^, h, ^6, h ab 인순서쌍 ^a, bh ^, 6h, ^, h, ^, h, ^6, h ab 8인순서쌍 ^a, bh ^, 6h, ^6, h ab 인순서쌍 ^a, bh ^, 6h, ^6, h ab 인순서쌍 ^a, bh ^, 6h, ^6, h 6 ab 6인순서쌍 ^a, bh ^6, 6h 모두세어보면 개가있네요. 이중에서 a+ b 7인경우는 ^, 6h, ^6, h, ^, h, ^, h 개이고요.. 구하는확률은 ab 6의배수일때, a+ b 7일확률이므로조건부확률입니다. P ^a+ b 7 ab 6의배수 h nab ^ 6 의배수+ a+ b 7h nab ^ 6의배수 h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 87

73 미적 7- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 함수 y cos x의그래프와 x축, y축및직선 x 로 둘러싸인영역의넓이가직선 y a에의하여이등분될때, 상수 a 의값은? 88 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

74 풀이 7- 풀이 y cos x와 x축, y축, x 로둘러싸인넓이부터구합시다. # cos xdx sin xg sin ` -sin j 6 ` - 그런데이영역을 y a가이등분한다구요? 아래부분은그냥직사각형이죠. 그넓이가 일테니 8 # a 8 a 8 j 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 89

75 미적 7- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 매개변수 t ^t h으로나타내어진함수 dy 에서 t 일때, 의값은? dx - - x t -, y t t + t 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

76 풀이 7- 풀이 dy 매개변수 t 로나타내어진함수에서구하는법입니다. dx Z x t ] - t [ ] y t + \ t 양변을 t 에대해미분하는거죠. Z dx ] + dt t [ dy t - $ t ] - dt \ t t dy 구하는건이므로 dx dy dx t 이면 dy dx dy dx dt t - t + dt t $ $ t - t + t 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

77 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 각자리의수가 이아닌네자리의자연수중 각자리의수의합이 7 인모든자연수의개수는? 7 9 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

78 풀이 - 풀이 네자리의자연수 가있습니다. a b c d a, b, c, d는모두 이아니고요 a+ b+ c+ d 7이어야한답니다. 우선, 합이 7인네개의자연수는 ^,,, h ^,,, h ^,,, h 이게전부입니다. 예. 몇가지안되요. ^,,, h를나열하여만드는네자리자연수의개수같은것이있는순열이군요.! ( 가지 )! ^,,, h을나열하여만드는네자리자연수의개수! ( 가지 )! ^,,, h를나열하여만드는네자리자연수의개수! ( 가지 )! 따라서구하는자연수의개수는 + + ( 가지 ) 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

79 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 직사각형 ABCD 의내부의점 P 가 PA PB PC PD CA 를만족시킨다. < 보기 > 에서옳은것만을있는대로고른것은? ㄱ. PB + PD CP < 보기 > ㄴ. AP AC ㄷ. 삼각형 ADP의넓이가 이면직사각형 ABCD의넓이는 8이다. ㄱ ㄷ ㄱ, ㄴ ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ, ㄷ 9 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

80 ㄷ. 9ADP의넓이가 이면 ABCD의넓이는 8 풀이 - 9 ADP. 저는벡터문제를풀때가능하면 ' 벡터의성분 ' 을이용하라고권합 $ a$ b ` - bj 니다. 왜냐하면.. 더쉽거든요. a ` bj ' 직사각형 ABCD의 g' ab 8 제눈에는벡터의성분을이용해풀라는신호로보이더군요. ` ab 8 직사각형은점의좌표를구하기가쉽잖아요. 이렇게요. ABCD ab 8이므로 ( 참!) 주어진조건을벡터의성분을이용해표시하면 PA + PB + PC + PD CA ^-x, b- yh+ ^-x, - yh+ ^a-x, - yh+ ^a-x, b- yh ^-a, bh ^a-x, b- yh ^-a, bh Z a x a x ] - - ` a [ ] b- y b ` y b \ ` P a, ` bj 점 P의좌표가나왔으니 < 보기 > 를검토합시다. A ^, bh, B ^, h, C ^a, h, D ^a, bh, P a, ` bj일때, ㄱ. PB + PD CP a, b a a, b b a a, ` - - j+ ` - - j ` - b - j a, b a, b a, `- - j + ` j `- bj a, b a, `- j `- bj 똑같죠? ( 참!) ㄴ. AP AC a, b b ` - - a, b j ^ - - h a, b ` - j ^a, - bh a, - b a, - ` j ` bj 그러하다. ( 참!) 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

81 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 부터 n 까지의자연수가하나씩적혀있는 n 장의카드가있다. 이카드중에서임의로서로다른 장의카드를선택할때, 선택한카드 장에적힌수중가장큰수를확률변수 X 라하자. 다음은 E^Xh를구하는과정이다. ( 단, n $ ) 자연수 k ^ # k # nh에대하여확률변수 X 의값이 k일 확률은 부터 k - 까지의자연수가적혀있는카드중에서 서로다른 장의카드와 k 가적혀있는카드를선택하는 경우의수를전체경우의수로나누는것이므로 P^X kh ( 가 ) C n 이다. 자연수 ^ # # kh에대하여 이므로 C k # C k k- - k # ( 가 ) # ( 나 ) 이다. 그러므로 E^Xh " k# P^X kh, C n n / k n / k n / k nc 이다. n / ( 나 ) k ^k # ( 나 ) ( 가 ) C n + 이므로 E ^Xh ^n+ h # ( 다 ) 이다. h 위의 ( 가 ), ( 나 ) 에알맞은식을각각 fk ^ h, gk ^ h라하고, ( 다 ) 에알맞은수를 a라할때, a# f^6h# g^h의값은? 6 96 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

82 풀이 - 풀이. ( 가 ) 를찾아라! ( 가 ) 에들어갈내용은 ( 가 ) 의바로위에씌어있지요. '부터 k - 까지자연수가적혀있는카드중에서 ` k - C 서로다른 장의카드와 '. ( 나 ) 를찾아라! k # ( 가 ) # ( 나 ) k # k - C # ( 나 ) k # k - C ( 나 ) 증명의 7번째줄에서 k kc # k-c- 이라고했으니 k # k- C kc. ( 다 ) 를찾아라! 증명의밑에서 6번째줄 n E^Xh / kc nc k 증명의밑에서 번째줄이용하면 # n + C nc ^n + hnn ^ -h^n-h^n- h # nn ^ -h^n-h^n- h $ $ $ $ $ $ $ ^n + h #. 따라서 a# f^6h# g^h # 6- C # C # # 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 97

83 기벡 6- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 좌표공간에점 P^,, h가있고 xy평면위의 원 x + y 위에두점 A, B가있다. 평면 ABP의 법선벡터가 n ^, -, h일때, 선분 AB의길이는? 6 98 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

84 풀이 6- 풀이 원 x + y 위의두점 A, B의좌표가좀그렇긴한데.. ( 미지 수가무려 개. ㄷㄷㄷ ) 일단위그림처럼좌표를잡아놓고요.. ' 평면 ABP와 n ^, -, h이수직 ' 이라는것이결정적인힌트입니다. 즉, 따라서 어떤직선이평면과수직이면 그직선은평면위의모든직선과수직이다. n 평면 ABP, n 평면 ABP 위의모든직선, n PA n : PA ^, -, h: ^a, b, - h a-b- a-b- ` b a-. 점 A ^a, b, h ^a, a-, h은 x + y 위의점이므로 a + ^a- h a - a+ aa ^ - h ` a, 그렇다면원위의두점 A, B의좌표는 ^, -, h ^, -, h ^, -, h ^,, h ` AB ^- h + ^-- h + ^- h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 99

85 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 서로다른과일 개를 개의그릇 A, B, C 에남김없이 담으려고할때, 그릇 A 에는과일 개만담는경우의수는? ( 단, 과일을하나도담지않은그릇이있을수있다.) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

86 풀이 - 풀이 일종의 ' 을 에게나눠주는 ' 문제입니다. ( 과일을그릇에게나눠주는문제 ). 근데그릇 A에는과일 개가담겨야한답니다. 먼저과일 a, b, c, d, e 중그릇 A에담길 개를빼놓고시작해야겠네요. 그방법의수는.. C ( 가지 ). 이제그릇 A는저쪽으로치워버리고 ( 과일 a, b가담겨있다고 칩시다.) 그릇 B, C에과일 c, d, e를담는방법을구합시다. 거꾸로생각하면편하죠. 가만히있는과일 c, d, e에게 그릇 B, C를갖다댄다고생각하는겁니다. 예를들어.. Z c ] [ d ] e \ v v v B C B 이처럼 B, C 를 번뽑아야하니중복이불가피하고 순서가달라지면그릇에담기는과일의종류가달라지니중복순열이군요. P ( 가지 ). 따라서구하는경우의수는 # 8 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

87 미적 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 그림과같이한변의길이가 인정사각형 ABCD 가있다. 변 CD 위의점 E 에대하여선분 DE 를지름으로하는원과 직선 BE 가만나는점중 E 가아닌점을 F 라하자. + EBC i라할때, 점 E를포함하지않는호 DF를 이등분하는점과선분 DF 의중점을지름의양끝점으로하는 원의반지름의길이를 ^ih라하자. lim ^ih 의값은? ( 단, i ) i " - i - ^ 7 - h ^ 6 - h ^ - h ^ - h ^ - h 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

88 풀이 -. ^ih를먼저구해야겠군요. lim i " - lim i " - - l` j ^ih - ` j - i ^ih - ` j - i - * ( a ` j 이므로이렇게써도되죠.) l^ih " ^-sec ih^- sin ih+ ^-tanih^-cos ih, 이므로 + DFE는반원의원주각이니 ' 직각 ' 입니다. 그렇다면아래의길이들도구할수있지요. - ' ^-hc- m + ^-hc - m - '-c - m ^ - h 큰원의반지름으로식을만들수있군요. ^ - tan ih ^ - tan ihsin i+ ^ih ^ -tan ih^ - sin ih ^ih ` ^ih ^ - tan ih^ - sin ih. lim ^ih i " - - i 보통은 - i t 로치환해서풀지만.. 갑자기 ' 미분계수의정의 ' 를이용하고싶어졌어요. 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

89 미적 8- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 양의실수전체의집합에서미분가능한두함수 f^xh와 g^xh가 모든양의실수 x 에대하여다음조건을만족시킨다. f^xh l - ( 가 ) c m xe x x ( 나 ) g^xh e # x t e f^thdt f^h 일때, f g e ^ h- ^ h의값은? 6 e 6 e e e 8 e 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

90 풀이 8- 풀이 f^xh l - ( 가 ) c m xe x x ( 나 ) g^xh e # x t e f^thdt 두함수 e t 과 f^th의곱을적분하라는데 ( 가 ) 에서 ' 미분한결과 ' 가주어졌으니치환적분인가했지만.. 아닙니다. 식이감당안되게복잡해지더군요. 결국부분적분으로풀어야합니다. # x g x t f^th ^ h te dt e t 왜이렇게했느냐? 어떻게든 ( 가 ) 와엮어보려는몸부림이죠. x g x f t te t ^ h ^ h dt e t 이건또무슨몸부림이냐? gx () # # x t ^e hl e f^th dt t 이렇게바꾸려고그런겁니다. ^e t hl 는적분하면 e t 이니까요. 어지간히부분적분에익숙하지않고는하기힘든생각이긴합니다. f^th 는 ( 그대로 ),( 미분 ) 하고 ^ e t hl 는 ( 적분 ),( 적분 ) 합시다. t gx () x f^th t x f^th l t '; c e e dt m E - # c m e t t f^xh f x e x ^ h t t - e te e dt ' - - # ^ h e x f ^ x h e x f e x t $ dt ' - ^ h - # e x f^xh e x e t ) - $ - G e x e f^xh e x x ' e x f g ^h ^ h c e m e f^he c - m e f^h - e ` f^h- g^h e x 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

91 미적 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 곡선 y log ^x+ h의점근선이직선 x k이다. k 의값을 구하시오. ( 단, k 는상수이다.) 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

92 풀이 - 풀이 y logx의그래프개형은 오른쪽과같고점근선은 x 이지요. 이그래프를 x축방향으로 -만큼평행이동한것이 y log ^x+ h 이고이때의점근선은 x - 따라서 k ^- h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

93 기벡 6- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 흰공 개, 빨간공 개가들어있는주머니가있다. 이주머니에서임의로 개의공을동시에꺼낼때, q 꺼낸 개의공이모두흰공일확률이이다. p p+ q의값을구하시오. ( 단, p와 q는서로소인자연수이다.) 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

94 풀이 6- 풀이 6 개의공중에서 개를꺼내는모든방법의수는 6C 흰공 개중에서 개를꺼내는방법의수는 C 따라서구하는확률은 ` p+ q 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

95 기벡 8- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 좌표평면에서초점이 F인포물선 x y 위의점 A가 AF 을만족시킨다. 점 B^, - h에대하여 AB a일때, a 의값을구하시오. 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

96 풀이 8- 풀이 포물선 x y의초점은 F^, h입니다. 준선은 y -이고요. AF 이라는힌트에서 포물선의정의 : 초점과준선에이르는거리가같다. 점 A부터준선 y -까지의거리가 이라는사실을알수있고 점 A 의 y 좌표가 9 임을알수있습니다. 점 A^xA, 9h는포물선 x y 위의점이므로 ^xah ^xah x A 9 ^ h 6! 6 ` A^! 6, 9h 그렇다면 B^, - h에대하여 a AB ^! 6h + ^9-^-hh a 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

97 미적 7- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 함수 f^xh x+ sin x의역함수를 g^xh라할때, q 곡선 y g^xh 위의점 ^, h에서의접선의기울기는 p 이다. p+ q의값을구하시오. ( 단, p 와 q 는서로소인자연수이다.) 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

98 풀이 7- 풀이 y g^xh 위의점 ^, h에서의접선의기울기 gl^h 를구하란말인데.. g^xh는 f^xh의역함수이니까역함수의미분이군요. f^xh의역함수를 g^xh라하면 fgx ^ ^ hh x 이식의양변을 x 에대하여미분하면 fl^g^xhhgl^xh ` gl^xh fl^g^xhh 따라서 gl^h f l^g^hh f l^h (a y g^xh 위의점 ^, h) f^xh x+ sin x이므로 fl^xh + cos x + cos + ` p+ q + 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

99 기벡 8- [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 그림과같이타원 x y 의두초점은 F, Fl이고, 제 사분면에있는두점 P, Q는다음조건을만족시킨다. ( 가 ) PF ( 나 ) 점 Q 는직선 PFl 과타원의교점이다. 삼각형 PFQ의둘레의길이와삼각형 PFlF의둘레의길이의 합을구하시오. 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

100 풀이 8- 풀이 타원 x y + 의초점 ^!c, h은초점공식에의해 6 ^ h 6-7 c 9 c c! 구하는값은 9PFQ와 9PFlF의둘레길이의합입니다. 타원의정의를사용하기좋게생겼군요. 타원의정의 : 두초점으로부터의거리의합이일정하다. 거리의합 장축의길이 따라서구하는길이는 ^FQ l + QFh + PF+ FlF + ^ h + 6 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

101 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 어느고등학교에서대중교통을이용하여등교하는학생의비율을알아보기위하여이고등학교학생중 n명을임의추출하여조사한결과 % 의학생이대중교통을이용하여등교하는것으로나타났다. 이결과를이용하여구한이고등학교전체학생중에서대중교통을이용하여등교하는학생의비율 p에대한신뢰도 9% 의신뢰구간이 a # p # b이다. b- a. 일때, n의값을구하시오. ( 단, Z 가표준정규분포를따르는확률변수일때, P ^ Z # 96. h 9. 로계산한다.) 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

102 풀이 - 풀이 n명을표본으로하여얻은표본비율이 % 이니 pt. 그다음, 신뢰도 9 % 얘기가나오니.. 모비율의추정 크기가 n인표본의표본비율이 pt 일때, 모비율 p를 신뢰도 9% 로추정 : pt -.96 pq tt n # p # pt +.96 신뢰도 99% 로추정 : pt - 8. pq tt n # p # pt + 8. pq tt n pq tt n 신뢰구간이 a # p # b일때, b- a. 라는건신뢰구간의크기가. 라는거니까 pq tt # 96.. n ^. h^-. h. n # 96.. n 8 n n 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

103 기벡 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] 그림과같이직선 l 을교선으로하고이루는각의크기가 인 두평면 a 와 b 가있고, 평면 a 위의점 A 와평면 b 위의점 B 가있다. 두점 A, B 에서직선 l 에내린수선의발을각각 C, D 라하자. AB, AD 이고직선 AB와평면 b가이루는각의 크기가 일때, 사면체 ABCD의부피는 a b 6 + 이다. 6 ^a+ bh의값을구하시오. ( 단, a, b는유리수이다.) 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

104 풀이 - 사면체의넓이는 # 밑면넓이 # 높이 인데.. 사면체 ABCD의모양이좀괴랄합니다. 특히 'AB와평면 b가이루는각이 ' 라는부분이애매한데.. 6 AB와평면 b 사이의각을표시하기위해선보조선을몇개추가해야합니다. < 직선과평면이이루는각 > 직선이평면과점 O에서만나고직선위의점 A에서평면에내린수선의발을 H라할때, + AOH를직선과평면이이루는각이라한다. V # 9 BCD# AH # ` $ ^+ h $ j # ^ + h 6 ` a+ b ` 6^a+ bh 6 ` j 점 A 에서평면 b 에내린 ' 수선의발 H' 를그려야문제가풀려요. 직각삼각형 AHB의세변의비는 : : 이고 직각삼각형 AHC의세변의비는 : : 이니오른쪽같이변의길이가나올것이고 그렇다면직각삼각형 ACD에서 CD 일테니 평면 b 위의 CDBH에서 DB의길이도구할수있습니다. 그렇다면사면체의부피 V 는 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

105 미적 - [ 점 -7 년모의평가 9 월 ] - 최고차항의계수가 인사차함수 f^xh와함수 g^xh sin^x+ x h+ 에대하여함수 h^xh fgx ^ ^ hh는실수전체의집합에서이계도함수 hm^xh를갖고, hm^xh는실수전체의집합에서연속이다. f l^h의값을구하시오.. 최고차항의계수가 인사차함수 f^xh f^xh x + ax + bx + cx+ d 구해야하는건 f l^h이니까 fl^xh x + g 을구하면되겠네요.. g^xh sin^x+ x h + 에서절대값을정리하면 sin x+ ^x $ h g^xh * sin^- xh + - sin x+ ^x h 절대값이하나더남았는데.. 이건너무복잡해져서정리를못하겠어요. 그대신그래프를그릴수는있겠다싶더군요. 그래프에따르면, g^xh는실수전체에서연속이고 (ⅰ) x, g^xh 일때미분불가능합니다. (ⅱ). 그다음에중요한힌트가나옵니다. h^xh fgx ^ ^ hh는실수전체에서 hm^xh가존재하고 fl^ah가존재하면 f^xh는 x a에서미분가능하다는것이므로실수전체에서 hl^xh는미분가능하고 미분가능하면연속이니까실수전체에서 hl^xh는연속이고 (ⅲ) 흠.. hl^xh가연속이라.. h^xh fgx ^ ^ hh hl^xh fl^g^xhhgl^xh (ⅰ) 에서 g^xh는연속이랬고, fl^xh는삼차함수니연속이죠. 따라서 fl^g^xhh가실수전체에서연속인건분명합니다. 그런데 (ⅱ) 에서, x, g^xh 일때 g^xh는미분불가능이므로 x, g^xh 일때 gl^xh값이존재하질않아요. 따라서 hl^xh fl^g^xhhgl^xh는 x, g^xh 일때불연속일가능성이있습니다. 그런데 (ⅲ) 에서는 hl^xh가 ' 실수전체 ' 에서연속이라했단말이죠. 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

106 좋아요. 그렇다면 hl^xh는 x 에서도연속이다. lim hl^xh lim hl^x x" - x" + lim fl^g^xhhgl^xh lim fl^g^xhhgl^xh x" - x" + lim fl^g^xhh lim gl^xh lim fl^g^xhh lim gl^xh x" - x" - x" + x" + fl^g^hh # ^- h fl^g^hh # 6 - fl^h 6fl^h ` f l^h (ⅳ) hl^xh는 g^xh 인점에서도연속이다. x a에서 g^xh 이라고하면 lim hl^xh lim hl^xh x" a- x" a+ lim fl^g^xhhgl^xh lim fl^g^xhhgl^xh x" a- x" a+ lim fl^g^xhh lim gl^xh lim fl^g^xhh lim gl^xh x" a- x" a- x" a+ x" a+ fl^g^ahh # ^- kh fl^ga ^ hh # k - kf l^h kf l^h ` f l^h (ⅴ) h ^a ga ^ h h ` f m^h (ⅵ). fl^xh x + g 인데 (ⅳ), (ⅴ) 에서 fl^h, fl^h 이랬으니까 fl^xh x^x-h^x- mh (ⅵ) 의 f m^h 을이용해야죠. fl^xh ^x -xh^x- mh fm^xh ^8x-h^x- mh+ ^x - xh $ x - ^8m+ 8hx+ m f m^h - ^8m+ 8h + m - m + m 따라서 fl^xh x^x-h^x - h x^x-h ` f l^h $ ^ -h 8. 문제에힌트가하나더있죠. 8 hm^xh는실수전체의집합에서연속이다. hl^xh fl^g^xhhgl^xh hm^xh fm^g^xhh" gl^xh, + fl^g^xhhgm^xh 이또한위와같은이유로.. x, g^xh 일때연속임을확인하면됩니다. hm^xh는 x 에서도연속이다. limhm^xh lim hm^xh x" - x" + lim " fm^g^xhh^gl^xhh + fl^g^xhhgm^xh, x " - lim " fm^g^xhh^gl^xhh + fl^g^xhhgm^xh, fm^g^hh^gl^hh + fl^g^hh lim gm^xh fm^g^hh^gl^hh + fl^g^hh lim gm^xh fm^ h^ - h + f l^ h lim gm^xh fm^h - f m^h x " + x " - x " - fm^ h^ 6 h + f l^ h lim gm^xh + $ lim gm^xh x " - x " + x " + 6fm^h + $ lim gm^xh (a(ⅳ) f l^h ) x " + 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

107 기벡 8- [ 점 -7 년수능 ] 두사건 A 와 B 는서로독립이고 P^B C h, P A B ^ h 일때, P^AhP^Bh의값은? ( 단, B C 은 B의여사건이다.) 6 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

108 풀이 8- 풀이 두사건 A, 이겠죠. B 가독립이므로 P^A+ Bh P^AhP^Bh (ⅰ) P^B C h 이면 P ^Bh (ⅱ) 일테고요. 그렇다면.. P^A Bh P^A+ Bh P^Bh P^A+ Bh P^Bh (ⅰ), (ⅱ) 에의해 P^AhP ^Bh $ ` P^AhP^Bh 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

109 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 숫자,,,, 중에서중복을허락하여네개를택해 일렬로나열하여만든네자리의자연수가 의배수인경우의 수는? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

110 풀이 - 풀이 사용할수있는숫자는,,,, 뿐인데 네자리의자연수가 의배수가되려면 가되는수밖에없겠군요. 나머지세개의자리에숫자를넣는방법은각각 가지씩있습니다. ( 중복을허락한다고했으니까요.) # # ( 가지 ) 구하는네자리자연수의개수는 개. 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

111 미적 7- [ 점 -7 년수능 ] 함수 f^xh x + x+ 의역함수를 g^xh라할때, gl^h의값은? 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

112 풀이 7- 풀이 f^xh의역함수를 g^xh라하는데 f^xh x + x+ gl^ h 를구하라고? 역함수의미분이군요. f^xh의역함수를 g^xh라하면 fgx ^ ^ hh x 이식의양변을 x 에대하여미분하면 fl^g^xhhgl^xh 따라서 gl^ h fl^g^hh 하나씩구해서대입합시다. 먼저 g^h (ⅰ) f g^h k ^k는실수 h - ^h k fk ^ h k + k+ k + k kk ^ + h k ` g^h (ⅰ) 에대입하면 gl^ h f l^h f^xh x + x+ fl^xh x + f l^h gl^ h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

113 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 한개의주사위를 번던질때, 의눈이한번만나올확률은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

114 풀이 - 풀이 같은행위를반복하면서확률을물어보면독립시행의확률 주사위를한번던져서 의눈이나올확률은 6 주사위를한번던져서 의눈이안나올확률은 6 주사위를 번던져서 의눈이한번만나올확률은 C` j ` j 6 6 # # 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

115 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 좌표공간의두점 A ^, a, -6h, B^-,, bh에대하여 선분 AB를 : 로외분하는점이 x축위에있을때, a+ b의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

116 풀이 - 풀이 두점 A ^, a, -6h, B^-,, AB를 : 로외분하는점은 bh에대하여 ^-h- $ b, $ - $ a $ - ^-6h c, m ^ -, 6- a, b+ h 이점이 x축위에있다고합니다. 즉, y, z 이란뜻이지요. 6- a ` a 따라서 a+ b + ^- h- b + ` b - 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

117 미적 8- [ 점 -7 년수능 ] ln x # e dx 의값은? e e - - e e - - e e - 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

118 풀이 8- 풀이 # e ln # # e e x dx e ^ln x- ln ehdx ^ln x- hdx e e # ln xdx- # dx # ln xdx는부분적분을해서구할수도있지만워낙자주나오니그냥외우는걸로합시다. # ln xdx xln x- x+ C 8xln x-xb - 8xB e ^eln e-eh-^ln -h-^e-h e-e e + -e e 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

119 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 좌표평면위를움직이는점 P의시각 t ^t h에서의 위치 ^x, yh가 x t, y t - t + t 이다. 시각 t 에서점 P의속력은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

120 풀이 - 풀이 공식확인문제. 평면위를움직이는점의좌표가 ^x, yh일때 속력 v 점 P의좌표 ^x, yh는 이므로 따라서 x t-, y t+ t t dx dt dy + - t dt t dy dx ` + dt j c m dt v dx dy ` + dt j c m dt c + m + c - m t t c + + m+ c - + m t t t t + t t 일때속력은 v t + 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

121 미적 9- [ 점 -7 년수능 ] 그림과같이곡선 y x + 과 x축, y축및직선 x 로 둘러싸인도형을밑면으로하는입체도형이있다. 이입체도형을 x축에수직인평면으로자른단면이모두정사각형일때, 이입체도형의부피는? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

122 풀이 9- 풀이 오오.. 간만에참신한문제나왔음. ( 사실은아주신상은아니고.. 십수년전에자주나오던문제를부활시킨거죠.) 평면을무수히쌓으면부피가된다는단순한발상으로푸는문제. x t일때, ( 평면인 ) 정사각형의넓이는 ^ t + h 입니다. 이정사각형을 t 일때부터 t 일때까지더하면구하는부피가됩니다. V # # t + h dt ^t+ t + hdt ^ t + ` t + t j G 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

123 기벡 7- [ 점 -7 년수능 ] 좌표공간에서평면 x+ y- z + 과 xy평면이이루는 예각의크기를 i 라할때, cos i 의값은? 6 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

124 풀이 7- 풀이 평면과평면이이루는각의크기는 두평면이이루는각 두법선벡터가이루는각 평면 x+ y- z + 의법선벡터를 m 이라하면 m ^,, -h xy 평면의법선벡터를 n 이라하면 n ^,, h 따라서두평면이이루는각을 i 라하면 cos i m: n m n $ + $ + ^- h $ + + ^- h - 응? cos i - 이라구? 보기에없는데? 방금구한 i가둔각인모양입니다. 문제에선예각을구하라고한 거니까.. 구하는 cos 값은 cos^- ih - cos i - `- j 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

125 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 정규분포 N^, h을따르는모집단에서크기가 9인표본을 임의추출하여구한표본평균을 X, 정규분포 N^, h을따르는모집단에서크기가 6인표본을임의추출하여구한표본평균을 Y 라하자. P^X $ h P^Y # ah를만족시키는상수 a의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

126 풀이 - 풀이 모집단이정규분포 N^m, v h을따르면 표본평균 X 도정규분포 N m, v c c m m을따른다. n 모집단이정규분포 N^, h을따르면 표본의크기 n 9인표본평균 X 는 N, N, c c m m c ` j m 을따릅니다. 9 마찬가지로모집단이정규분포 N^, h을따르면 표본의크기 n 6인표본평균 Y 는 N, c c m m Nc, 6 을따르고요. ` j m 이때 P^X $ h P^Y # ah X 는 N, c ` j m을, Y 는 Nc, ` j m을따르므로표준화하면 P Z $ - P Z # a - f p e o P Z $ ` j P^Z # a -6h ` a a a 8 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

127 미적 - [ 점 -7 년수능 ] 그림과같이반지름의길이가 이고중심각의크기가 인 부채꼴 OAB가있다. 호 AB 위의점 P에서선분 OA에내린수선의발을 H, 선분 PH와선분 AB의교점을 Q라하자. + POH i일때, 삼각형 AQH의넓이를 S^ih라하자. lim S ^ih i " 의값은? ( 단, i ) + i 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

128 풀이 - 풀이. 넓이 S^ih를구하려면 AH나 QH를알아야겠군요. 의외로쉽게나오네요. 직각삼각형 OPH에서 OH cos i이므로 AH -cos i 따라서직각이등변삼각형 AQH의넓이 S^ih는 S^ih ^ -cos ih. S^ih lim i " + i ^ - cos ih lim i " + i 극한에 ^ - cos ih가나오면늘 ^ + cos ih를분모, 분자에곱하죠. ^ - cos ih ^ + cos ih lim i " + i ^ + cos ih ^ - cos ih lim i " + i ^+ cos ih ^sin ih lim i " + i ^+ cos ih lim sin i i " + i ^+ cos ih 8 lim sin # i lim c m # i" + i i" + ^ + cos ih # ^h # ^+ h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

129 미적 - [ 점 -7 년수능 ] 곡선 y e -x -t 위의점 P^t, e h ^t h에서 y축에내린 수선의발을 A 라하고, 점 P 에서의접선이 y 축과만나는 점을 B 라하자. 삼각형 APB 의넓이가최대가되도록하는 t 의값은? e e 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

130 풀이 - 풀이. 일단접선이나오니.. 접선의방정식부터구하고갑시다. -x y e x yl e ^- xhl-e - -x y e - x 위의점 P^t, -t -t ^y- e h -e ^x-th -t e h에서의접선은 y - e x+ te + e -t -t -t -t -t y - e x+ e ^t + h. 이접선의 y절편은 e - t ^t+ h이므로 따라서 9APB의넓이를 S^th라하면 S t -t -t ^ h $ t$ " e ^t+ h - e, -t t^e th ` S^th te -t. S^th의최댓값을구하란말이죠? 미분합시다. t Sl^th te -te - -t -t te ^ -th - 문제에서 t 이랬고, 항상 e t 이므로 Sl^th 인경우는 t 일때뿐입니다. 그리고 t 이면 Sl^th t 이면 Sl^th 이므로 t 일때 S^th는최대가됩니다. 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

131 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 좌표공간에서원점에대한세점 A, B, C 의위치벡터를 차례로 a, b, c 라할때, 이들벡터사이의내적을표로 나타내면다음과같다. : a b c a - b c - 예를들어, a: c - 이다. 세점 A, B, C에대하여 두점사이의거리의대소관계로옳은것은? AB AC BC AB BC AC AC AB BC BC AB AC BC AC AB 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

132 풀이 - 풀이. 벡터 a, b, c 는세점 A, B, C의 ' 위치벡터 ' 입니다. 즉, 벡터의시점이모두원점 O라는것이죠.. 내적을표로준건나름참신했습니다. 표에서알수있는내적들을모두써보면 a: a b: b c: c ` a b c a: b, b: c, a: c -. 문제는 AB, BC, AC의크기를비교하라는건데요. AB, BC, AC를 a, b, c 를이용해바꾸면 AB AB OB -OA b-a 같은방법으로 BC c-b AC c-a 어차피양수이니.. 제곱해서크기를비교합시다. AB b-a BC AC b - a: b+ a - ^h+ c-b c - b: c+ b - ^h + c-a c - a: c+ a - ^- h+ + 따라서 AB BC AC 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

133 기벡 - [ 좌표평면위의한점 ^x, yh에서세점 ^x+, yh, 점 -7 년수능 ] ^x, y+ h, ^x+, y+ h 중한점으로이동하는것을 점프라하자. 점프를반복하여점 ^, h에서점 ^, h까지이동하는 모든경우중에서, 임의로한경우를선택할때나오는점프의 횟수를확률변수 X 라하자. 다음은확률변수 X 의평균 E^Xh 를구하는과정이다. ( 단, 각경우가선택되는확률은동일하다.) 점프를반복하여점 ^, h에서점 ^, h까지이동하는 모든경우의수를 N 이라하자. 확률변수 X 가가질수 있는값중가장작은값을 k라하면 k ( 가 ) 이고, 가장큰값은 k + 이다. P X k! ^ h N #! N P X k! ^ + h N #!! N P X k ^ + h N # ( 나 ) P X k 7! ^ + h N #!! N 이고 k + P^X ih / i k 이므로 N ( 다 ) 이다. 따라서확률변수 X 의평균 k + E^Xh / " i# P^X ih, i k E^Xh는다음과같다. 7 위의 ( 가 ), ( 나 ), ( 다 ) 에알맞은수를각각 a, b, c라할때, a+ b+ c의값은? 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

134 풀이 - 풀이 확률이나평균같은말이나오지만.. 사실은경우의수문제입니다.. 점이점프하는방법은 가지입니다. 오른쪽, 위쪽그리고대각선빨리가려면대각선으로가야죠.. ( 가 ) 를찾아라! ^, h에서 ^, h까지가장적은횟수로이동하려면예컨데오른쪽그림처럼대각선점프를최대한많이해야합니다. 즉, 번, 번이므로 번만에갈수있군요. ` k ( 나 ) 를찾아라! X k+ 인경우란.. ( 가 ) 에서구한최소이동횟수 k번보다 번더이동해서 ^, h에도착하는경우입니다. 예컨데오른쪽그림처럼대각선이동을 번만하는경우이지요. 이동하는방법의수는 번, 번, 번이므로 6!!! 6 ( 다 ) 를찾아라! / k + i k P^X ih 전체확률이 이란걸이용하란말이군요. 증명에서구한 개의확률을모두구합시다 N N N N 9 N N 9. 따라서 a+ b+ c 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

135 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 확률변수 X 는평균이 m, 표준편차가 인정규분포를따르고, 확률변수 X 의확률밀도함수 f^xh가다음조건을만족시킨다. ( 가 ) f^h f^h ( 나 ) f^h f^h m이자연수일때, P ^7 # X # 8h의값을오른쪽표준정규분포표를이용하여구한것은? z P ^ # Z # zh 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

136 풀이 - 확률변수 X 는정규분포 N^m, h를따릅니다. 그런데질문이 P^7 # X # 8h P 7 -m # Z # 8 -m ` j 을구하라는거니까.. m부터구해야함. 주어진힌트는 ( 가 ) f^h f^h ( 나 ) f^h f^h 이게다야? 헐.. 어쩌라고.. ( 머리는아무생각없지만어느새나의손은그래프를그리고..) ( 가 ) f^h f^h 구하는확률은 a P 7 Z 8 ` - # # - j P Z ` # # j 여기에서뭔가 m 에관한식을뽑아내야하는데.. 두경우모두 m + ` m (ⅰ) ( 나 ) f^h f^h 두경우모두 + m ` m (ⅱ) (ⅰ),(ⅱ) 에서 m 그런데 m은자연수이므로 m 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

137 기벡 8- [ 점 -7 년수능 ] 두양수 k, p에대하여점 A^-k, h에서포물선 y px에 그은두접선이 y축과만나는두점을각각 F, Fl, 포물선과만나는두점을각각 P, Q라할때, +PAQ 이다. 두점 F, Fl을초점으로하고두점 P, Q를지나는타원의 장축의길이가 + 일때, k+ p의값은? 8 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

138 풀이 8-. 문제에서술된대로그림부터그려봅시다. 모르면구해야죠. 간단합니다. 닮은꼴삼각형을이용하면바로나와요. 접선을먼저구해야겠죠? 접점 P의좌표는주어지지않았으니 P^a, bh라고접선을구하면 ^byh p` x + a j ` by p^x+ ah 이접선이 A^-k, h을지나므로 b$ p^- k + ah p^- k+ ah p! 이니까 a k이겠군요. ` P^k, bh 그리고이접선의기울기는 tan 이지요. 6 b k b k ` b k ` Pck, km 그러면 FP + FP l + k + k + k + k + k + k + k+ k + ` k 6. 이제 p는어떻게구할까요? k, Pc km가 y px 위의점이니까 c km p^kh k pk p k $ k k 6 따라서 k+ p 그다음, F, Fl를초점으로하고 P, Q를지나는타원을그립시다. 타원의 ' 장축의길이가 + ' 이란걸보면타원의정의를이용하겠다는생각이들지요. 타원의정의 : 두초점으로부터의거리의합이일정하다. 거리의합 장축의길이 즉, FP + FP l + 응? 점 F, Fl 좌표는모르는데? 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

139 미적 - [ 함수 점 -7 년수능 ] f^xh e -x # x sin^t hdt에대하여 < 보기 > 에서옳은것만 을있는대로고른것은? ㄱ. f^ h < 보기 > ㄴ. fl^ah 을만족시키는 a가열린구간 ^, h에 적어도하나존재한다. ㄷ. fl^bh 을만족시키는 b가열린구간 ^, h에적어도하나존재한다. ㄱ ㄷ ㄱ, ㄴ ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ, ㄷ 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

140 풀이ㄷ. x -x - fl^xh ^e hl # sin^t hdt+ e ㄱ. f^ h x f^xh e sin^t hdt - - f^ h e sin^t hdt - 먼저, e 는.. - e (ⅰ) 이군요. 그다음, # sin^t hdt 는.. # 적분구간은 t 인데 t 이므로 sin^t h 입니다. 따라서 # sin^t hdt (ⅱ) # (ⅰ),(ⅱ) 에의해 - f^ h e # # sin^t hdt ( 참!) ㄴ. 미분문제인데 ' 어떤구간에서 적어도하나존재한다.' 는말이나오면사잇값의정리나평균값의정리를의심해야합니다. x x 우선.. f^xh e - # sin^t hdt 는 열린구간 ^, h에서연속이고미분가능하고요. # - f^h e sin^t hdt # 이고 ㄱ. 에서 f^ h 이므로평균값의정리에의해 함수 f^xh가미분가능하면 fb ^ h- fa ^ h fl^ch b- a 인 c가 a와 b 사이에적어도하나존재한다. f^ fl^ah f^ h - f^h - h- x f^ h 인 a 가 과 사이에적어도하나존재합니다. ( 참!) - e -x # x sin^t hdt+ e # -x -x $ d dx # sin^xh x sin^t hdt - - fl^ h - e sin^t hdt+ e sin^ h - # - - e sin^t hdt + e # -^ - e h sin^t hdt e - 이고 sin t # ^ h dt 이므로 ` f l^ h 그런데ㄴ. 에서 fl^ah 인 a가존재한다고했으니사잇값의정리를활용하면 함수 f^xh가연속이면 fafb ^ h ^ h 이면 ( 즉, fa ^ h와 fb ^ h의부호가다르면 ) fc ^ h 인 c가 a와 b 사이에적어도하나존재한다. fl^bh 인 b가열린구간 ^a, h에적어도하나존재합니 다. ( 참!) $ 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터

141 미적 8- [ 점 -7 년수능 ] 8- 닫힌구간 에서증가하는연속함수 f^xh가 # # 를만족시킨다. 함수 F^xh가 일때, f^xhdx, f^xh dx F^xh # f^xhf^xhdx의값은? # f^th dt ^ # x # h 무척길지만도전해볼만한계산문제입니다.. 닫힌구간 에서 ' 증가 ' 하는연속함수 f^xh가 # # 같은적분구간 에서 f^xhdx, f^xh dx f^xh의정적분보다 f^xh 의정적분이크다는건 f^xh 인부분이있다는거죠. f^xh는 ' 증가 ' 함수니까 아마대충이런모양일겁니다. 이그래프에따르면주어진힌트는 f^xhdx a # f^xhdx + # f^xhdx (ⅰ) # # a # # a a - f^xhdx + f^xhdx f^xh dx f^xh dx + f^xh dx a # # (ⅱ) a (ⅰ),(ⅱ) 를연립하면 Z a ] # f^xhdx - [ ] # f^xhdx + \ a (ⅲ). 두번째힌트 F^xh # x f^th dt ^ # x # h 저는대문자 F^xh만보면미분이하고싶어져요. 그러나.. 미분하기전에절대값부터정리해야죠? x a x F^xh-# f^thdt F^xh- # f^thdt + # f^thdt a 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

142 Z x ]- # f^thdt ^ # x # ah ] ] F^xh a x [ (ⅳ) - f^thdt + f^thdt ] # # a ] x ] -^- h + # f^thdt ^a # x # h \ a 미분하면 Z ] - f^xh ^ # x # ah ] Fl^xh [ (ⅴ) ] + f^xh ] f^xh ^a # x # h \. 이제문제의정적분을합시다. # f^xhf^xhdx (ⅴ) 에서 Fl^xh! f^xh였죠? 미분한식이곱해져있으니 ' 치환적분 ' 이겠군요. 그런데 x의구간에따라 F^xh가달라지니.. 둘로나눠서계산해야합니다. 먼저, # a # # a f^xhf^xhdx + f^xhf^xhdx a f^xhf^xhdx F^xh k로치환하고양변을 k에대하여미분하면 Fl^xh dx dk - f^xh dx dk (a(ⅴ) # x # a일때 Fl^xh-f^xh) ` f^xhdx -dk x 그리고 (ⅳ) 에서 # x # a일때 F^xh-# f^thdt 이므로 # x 일때, k F^h - f^thdt a x a일때, k F^ah- # f^thdt -^- h (a(ⅲ)) 따라서 # # a f^xhf^xhdx - -kdk Fl^xh dx dk ` f^xh dx dk (a(ⅴ) a # x # 일때 Fl^xh f^xh) x (ⅳ) 에서 a # x # 일때 F^xh ^ - h + # f^thdt 이므로 x a일때, k F^ah - + f^thdt # a a x 일때, k F^h - + f^thdt - + ^+ h (a(ⅲ)) 따라서 # a # - ; k E f^xhf^xhdx kdk - " ^ h -^ - h, ^ h +, 의결과에서문제의정적분은 a # # a f^xhf^xhdx + f^xhf^xhdx `- + j+ ` + j + # a a 그다음, - ; k E - ^ - h # a f^xhf^xhdx F^xh k로치환하고양변을 k에대하여미분하면 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

143 미적 - [ 점 -7 년수능 ] x - 부등식 a k $ 를만족시키는모든자연수 x의값의합을 구하시오. 8 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

144 풀이 - 풀이 x - ` j $ 밑을 로통일합시다. - x + ^h $ - x + $ -x $ - x # 모든자연수 x의합은 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 9

145 기벡 7- [ 점 -7 년수능 ] 좌표공간에서평면 x+ 8y- z+ k 이 구 x + y + z + y- 에접하도록하는모든실수 k의 값의합을구하시오. 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

146 풀이 7- 풀이. 평면이구와접한다는것은 이란뜻이지요. 구의중심에서평면까지의거리 구의반지름. 주어진구는 x x + y + z + y- + ^y + h - + z - x + ^y+ h + z 중심의좌표는 ^, -, h, 반지름은 이군요. 이구의중심 ^, -, h에서평면 x+ 8y- z+ k 까지의거리가반지름 와같으므로 + 8^-h - ^h + k ^- h k 8 k k k - 8! 8 k 8! 8 k -, 6 따라서모든실수 k의합은 ^- h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 6

147 미적 6- [ 점 -7 년수능 ] x 일때, 방정식 cos x- sin x 의모든실근의 q 합은 이다. p q p + 의값을구하시오. ( 단, p, q는서로소인자연수이다.) 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

148 풀이 6- 풀이 cos x- sin x ^-sin xh - sin x -sin x- sin x - sin x^sin x+ h ` sin x, - x 에서 y sin x의그래프를그리면 실근은 x, 실근의합은 + ` p+ q 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 6

149 기벡 6- [ 점 -7 년수능 ] 두주머니 A와 B에는숫자,,, 가하나씩적혀있는 장의카드가각각들어있다. 갑은주머니 A 에서, 을은주머니 B 에서각자임의로두장의카드를꺼내어가진다. 갑이가진 두장의카드에적힌수의합과을이가진두장의카드에적힌 q 수의합이같을확률은이다. p q p + 의값을구하시오. ( 단, p, q는서로소인자연수이다.) 6 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

150 풀이 6- 풀이 음.. 저는무척단순한사람이기때문에.. 이런문제는도무지폼나게풀수가없다.,,, 에서두장을뽑는경우를모두써봅시다 흠.. 고작 6가지. (# 지화자 ) 이에따르면두수의합이 일확률 6 두수의합이 일확률 6 두수의합이 일확률 6 두수의합이 6일확률 6 두수의합이 7일확률 6 그렇다면갑과을이뽑은카드의합이모두 일확률 # 갑과을이뽑은카드의합이모두 일확률 # 갑과을이뽑은카드의합이모두 일확률 # 갑과을이뽑은카드의합이모두 6일확률 # 갑과을이뽑은카드의합이모두 7일확률 # 따라서갑과을이뽑은카드의합이같을확률은 ` p+ q + 9 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 6

151 기벡 - [ 점 -7 년수능 ] 다음조건을만족시키는음이아닌정수 a, b, c의모든 순서쌍 ^a, b, ch의개수를구하시오. ( 가 ) a+ b+ c 7 a b ( 나 ) # 은 8의배수이다. 66 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

152 풀이 - 풀이. 조건 ( 가 ) 만보면쉽죠. a+ b+ c 7을만족시키는음아닌정수 a, b, c의순서쌍개수 전형적인중복조합이지요. H + 7-C7 9C7 6 7 그런데 a, b, c는조건 ( 나 ) 도만족시켜야한다네요. a b # 는 8의배수 a b, # 는 의배수 a+ b, $ m (m은자연수 ) 그런데좌변이 a+ b 이므로우변의 m도 X 꼴이겠지요. a+ b n, $ (n은음아닌정수 ), a+ b + n 이건부등식으로바꿀수있습니다. 요렇게요., a+ b $. 이부등식을만족시키는 a, b를써볼까요? ^a, bh ^, h, ^, h, ^, h, g 너무많다. 하기싫다. 이럴땐여집합을구합시다. a+ b 인경우를찾자는소립니다. ^a, bh ^, h ^, h ^, h ^, h 가지가전부입니다. 따라서 조건 ( 나 ) a+ b $ 을만족시키는순서쌍 ^a, b, ch의개수는 6 - ( 가지 ) 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 67

153 기벡 8- [ 점 -7 년수능 ] 점근선의방정식이 y! x이고두초점이 F^c, h Fl^- c, h ^c h인쌍곡선이다음조건을만족시킨다. ( 가 ) 쌍곡선위의한점 P에대하여 PF l, 6 # PF # 이다. ( 나 ) x 좌표가양수인꼭짓점 A 에대하여선분 AF 의 길이는자연수이다. 이쌍곡선의주축의길이를구하시오. 68 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

154 풀이 8- 풀이. 점근선의방정식이 y! x이면 쌍곡선의방정식은 x y - 이라고해도될까요? 쌍곡선 a x 그건아니죠. 약분해서 y - 의점근선은 y! b x b a y! x가된걸수도있잖아요. 즉, 점근선이 y! k x 였다고생각해야죠. k 그렇다면쌍곡선의방정식은 x y - ^kh ^kh 이라고해야합니다. (k 는실수 ). 쌍곡선의초점공식에의하여 ^kh + ^kh c k c ` c! k 따라서초점 F^k, h이군요.. 주축의길이 6k를구하는문제이니.. 쌍곡선의정의를이용하도록하겠습니다. 쌍곡선의정의 : 두초점으로부터의거리의차가일정하다. 거리의차 주축의길이 PFl - PF 6k 그런데조건 ( 가 ) 에서 PF l 이고 6 # PF # 라고했으니 - # PFl -PF # - 6 # 6k # 그리고조건 ( 나 ) 에서 AF k가자연수랬죠? # k # # k #.xxx.xxx 따라서자연수 k 그리고주축의길이 6k ^h 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 69

155 기벡 6- [ 점 -7 년수능 ] 6- 한모서리의길이가 인정사면체 ABCD에서삼각형 ABC의무게중심을 O, 선분 AD의중점을 P라하자. 정사면체 ABCD의한면 BCD 위의점 Q에대하여두벡터 q OQ와 OP가서로수직일때, PQ 의최댓값은이다. p p+ q의값을구하시오. ( 단, p, q는서로소인자연수이다.). PQ 의최댓값을구하는문제입니다. PQ OP + OQ 피타고라스정리입니다. OP 는정해진값이니 OQ 가최대일때, PQ 는 최대가되겠군요. 언제일까요? 점 Q 는두가지조건을만족해야합니다. OQ OP일것. OP 와수직인 OQ 는 OP 와수직인평면 a 위에 있겠지요. 면 BCD 위에있을것., 를모두만족시키는점 Q는 ' 평면 a와면 BCD가만나서생기는선분 ' 위에있을겁니다. 그중에서 OQ 가최대인경우는점 Q가 DC나 DB 위에있는경우일테고요.. 공간도형문제는 ' 공간좌표 ' 를이용하면항상풀리지요. 단, ' 정사면체 ' 는.. 공간좌표로풀것을권하지않습니다. 좌표가너무지저분하거든요. 그럼에도불구하고이문제는공간좌표로푸는게낫습니다. 기하학적으로풀기가너무어렵더라고요. 좌표를정하려면, 원점부터잡아야죠. 어느점을원점으로삼아도상관없습니다. 어차피다복잡하니까. 점 E를원점으로삼고, 점 A, B, C의좌표를먼저정하면 7 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

156 뚜둥 ~ ` Q, 8, ` `- j+ - `- j, j Q `, j 무게중심 O 와중점 P 의좌표까지는인간적으로할만합니다.. 현기증날라구그런다. 빨리끝냅시다. PQ 8,,,, ` j-` 6 j 8, -, - ` 6 j ` PQ 8 ` j + `- j + `- 6 j 88 7 ` p+ q 퍽이나인간적이다.,, P` 6 j 그다음점 Q 의좌표가문제인데, 점 Q 는 직선 CD 위의점이므로 x - y, z - - ` Q^k+, - k, h (k는실수 ) 그리고 OP OQ이므로 OP,, ` 6 j 9 9 OQ k, k, ` j 9 9 수직이면내적이 이지요. OP : OQ ^ k+ h + k 6 ` j+ `- j k k k - 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7

157 미적 - [ 점 -7 년수능 ] - x a에서정의된함수 f^xh와최고차항의계수가 -인사차함수 g^xh가다음조건을만족시킨다. ( 단, a는상수이다.) ( 가 ) x a인모든실수 x에대하여 ^x- ahf^xh g^xh이다. ( 나 ) 서로다른두실수 a, x b에대하여함수 f^xh는 a와 x b에서동일한극댓값 M 을갖는다. ( 단, M ) ( 다 ) 함수 f^xh가극대또는극소가되는 x의개수는 함수 g^xh가극대또는극소가되는 x의개수보다 많다. b- a 6 일때, M 의최솟값을구하시오.. 우선, 많이들한실수하나. g^xh는사차함수인데 ( 가 ) ^x- ahf^xh g^xh 이라니까 f^xh는 ' 삼차함수 ' 겠군. 그런데.. ( 나 ) f^xh는 x a와 x b에서 ' 극댓값 ' 이라고? ( 삼차함수의극댓값이 개라고? # 혼돈의 _ 카오스 ) 어디가잘못된걸까요? 이문제어디에도 f^xh가 ' 다항함수 ' 라는말은없습니다. f^xh가 x 정수로이루어진함수라고단정할수없어요. 따라서 ^x- ahf^xh g^xh라는조건에서 ' f^xh는삼차함수 ' 라고단정지으면안됩니다. 그냥 g^xh f^xh ^x- ah 라고놓고풀어야합니다. ( f^xh가유리함수일수도있단거죠.). g^xh가 ^x- ah로나누어떨어지면 f^xh는삼차함수가될텐데위에서보듯, ( 나 ) 의 ' 극댓값이 개 ' 라는조건을만족시키지못하죠. 따라서 f^xh는 ' 분모가 ^x- ah인유리함수 ' 일겁니다. g^xh f^xh ^x ah x - a 액션가면변신! g^xh - ^x ah x- a 이렇게쓰고보니 f^xh는점 ^a, h과점 ^x, g^xhh 사이의평균변화율 이라고이해가되죠. 그림을그려봅시다. g^xh는최고차항계수가 -인사차함수니까 자.. x a일때직선의기울기 f^xh가어떻게변하는지볼까요? x a일때, 기울기 f^xh는점점커지다가 x a에서극대. x a를지난후, 기울기 f^xh는점점작아지다가극솟점한번찍고 7 논점 7 : 부정적분 - 너희들, 나를잘안다고생각하니?

158 극솟점을지난후, 기울기 f^xh는점점커지다가 x b에서다시한번극대. ( 이때의기울기는 x a에서의기울기와같아야함.) x b 아후로. 드디어조건 ( 나 ) 를만족하는그래프를얻었다. 그리고조건 ( 다 ) 를봤더니.. 이건또뭐임? 기울기 f^xh는계속감소. ( 다 ) f^xh의극대, 극소갯수가 g^xh의극대, 극소갯수보다많다. 에서기울기 f^xh는극대 개, 극소 개이고 g^xh도극대 개, 극소 개이니까조건 ( 다 ) 를만족못하네.. ( 망했음.) 사차함수 g^xh의그래프를잘못그린모양입니다. 극점이 개보다적으려면.. 요렇게그리면됩니다. 이게모든조건을만족하는그래프이지요.. 보통은이정도머리썼으면답이나오기마련인데.. 이문제는아직멀었습니다. (# 이쯤에서 _ 포기하시지 ) 위그림에서알수있는건 직선 ^y- h M^x- ah와 y g^xh가 x a, b에서접한다., M^x- ah g^xh는중근 a, b를갖는다., g^xh -M^x- ah -^x-ah ^x -bh (ⅰ) a g^xh- x + g 구간 6 a, b@ 에서 gl^xh$ 이다. (ⅱ) 이건 g^xh의극점이 개이기위한조건입니다. 만약구간 6 a, b@ 에서 gl^xh 인부분이생기면 g^xh는극점이 개가되거든요. (ⅰ) 에서 g^xh M^x-ah -^x-ah ^x - bh gl^xh M-^x-ah^x-bh -^x-ah ^x - bh M-^x-ah^x-bh" x-a-b, a b M-^x-ah^x-bh' x- + (ⅱ) 에서 a # x # b에서 gl^xh$ 이므로 a b M-^x-ah^x-bh' x- $ ^a # x # bh a b ^x-ah^x-bh' x- # M ^a # x # bh a b h^xh ^x-ah^x-bhc x - + m라고하면 h^xh # M ^a # x # bh 우리가구해야하는건 M 의최솟값인데요. a # x # b에서 h^xh# M 이기위한 M 의최솟값은 h^xh의극댓값입니다. ( 그림을보고잘생각해보세요.). 음.. h^xh의극댓값이란말이지.. a b h^xh ^x-ah^x-bhc x - + m 미분해서극댓점구하면되는데.. 하기싫다! 싫다구!! 에라모르겠다. 문제에서 b- a 6 이라고했으니까 a -, b 대입해버렷! ( 이렇게해도되나싶지만, 어차피미친문제. 될대로되라지.) h^xh ^x+ h^x- h^x-h ^x -7hx ^x -7xh hl^xh ^ x -7h ^x+ h^x- h x -에서극대이므로극댓값은 h^- h " ^-h -7^- h, 6 따라서 M 의최솟값은 6 6 모사이트에의하면이문제오답률이반올림해서 % 라고. b- a 6 이기만하면 a, b에어떤값을대입해도됩니다. 그래프를좌, 우로평행이동시킬뿐극댓값은일정하니까요. 혼자하는수능수학 - 적분과통계 / 기하와벡터 7