Chaptr 6. Th Discrt Fourir Transform and Th Fast Fourir Transform 6. Introduction Discrt linar tim invariant systms의 frquncy rsponss는 Fourir transform이나 z-transforms의형태로표현 이경우 Frquncy rspons가 continuous function이된다. 그러나실제적으로 frquncy에있어서도 discrt하게되는 Discrt Fourir Transform(computr 를이용해실현가능 ) 의형태로이용 DFT의경우두신호의곱은 circular convolution으로표시한다. 실제적으로는 FFT이용 Digital Signal Procssing /47
6. Th Discrt Fourir Transform 먼저이산시간계에서의이산신호 X ( z) x( n) z n 의 z-trnasform? 이고이것의 Fourir transform은 jt X ( j) x( t) dt jnt X ( jt ) x( n) 에대한연속함수 (6.) n 이 ~- 까지주어질때 여기서를 로대체하여 discrt function으로 frquncy 영역에서표현 n n n X ( jt ) x( n) n jnt x( n) x( nt) jnt X ( ) x( n) DFT x( n) 에대한연속함수 (6.3) Digital Signal Procssing /47
Frquncy incrmnt 의선정방법 주기가 T 를가지는신호의 fundamntal frquncy 는 T 여기서 T= 로두면 n jn X ( ) x( n), and 여기서 y modulo " 을다음과같은 modulo 함수로정의 (( y)) y r (( y)) y r ; r은 y 를넘지않는가장큰정수값 y,, if if y y r, in gnral Digital Signal Procssing 3/47
위의 modulo 함수를이용하면 jn jn (( )) r jn(( )) jnr jn(( )) ( X ( ) X (( )) 일반적으로 n (( )) 이므로 또한 X ( ) X ( r) ; r은정수,±,±, 즉, 주기 을가진주기신호에해당. 또한 DFT는 z-transform에서 바로구할수있다. jn X ( ) x( n),,,,, X ( z) j x( n) z n jn Digital Signal Procssing 4/47
Ex 6.) n x( n) a, n,,,, a 의 DFT를구하라. sol) n jn j n X( ) a ( a ) n n ( a ) a j a a phas ; j j magnitud ; a M ( ) ( a a cos ) asin ( ) tan a cos =9, a=.5인경우 => a cos ja sin Digital Signal Procssing 5/47
6.3 Th Invrs Discrt Fourir Transform(IDFT) DFT 에의한 Frquncy 영역의신호를시간영역으로되돌림 x( n) 이것의 DFT 는 을고려해보자. ⅰ) 여기서 q 는정수이고, (( q)) 이라고하면 ⅱ) q 가정수이지만, 이면 따라서 jq n x( n) X ( ) jn( q ) n (( q)) X( ) j( q ) j( q ) jq n 의함수에대한 DFT 는 j( q ) j( q ), if (( q)) X ( ), if (( q)) j( q ) j( qqr ) n X ( ) () (( q)), n Digital Signal Procssing 6/47
Thorm 6. (Invrs DFT) jn DFT x( n) X ( ) x( n), 단,,,, (6.4) n ( ) ( ) ( ),,,, jm DFT X x m X m proof ) X ( ) x( n) x( n) 표현을편리하게하기위해 n jm jn jm j( mn) n n j( mn) x( m) X ( ) W n X ( ) x( n) W,,,, j n x( n) X ( ) W, n,,, 로두면 ; 주파수영역에대해 ; 시간영역에대해 일때 x(( m)) x( m) ( m n, ) jm (( m)), n Digital Signal Procssing 7/47
6.4. Linarity proof) x ( n) a x ( n) a x ( n) X ( ) a X ( ) a X ( ) 3 3 X ( ) x ( n) 3 3 n jn n a x ( n) a x ( n) jn jn ( ) ( ) n n a X ( ) a X ( ) jn a x n a x n Digital Signal Procssing 8/47
6.4. Symmtry x(n) 이실수함수이고그것의 DFT 가 X() 이면 X X proof) * ( ) ( ) X ( ) x( n) n 이므로 jn( ) jn jn X ( ) x( n) x( n) n n n jn x( n) jn * jn * ( ) ( ) ( ) X x n X n Digital Signal Procssing 9/47
따라서다음의관계식을얻을수있다. Ral part : R{X()}=R{X(-)} Imaginary part : Im{X()}=-Im{X(-)} 3 Magnitud : M()=M(-) 4 Phas : 위의 4개항목은 point의 DFT를얻기위해서는 (: 기수 ) or (: 우수 ) 의 frquncy sampls만계산하면됨을의미. finit squnc x(n) 과 DFT X() 는모두주기 을가진주기함수이다. i) vn function 인경우 x x, M M n n ⅱ) odd function 인경우 x x, l n n Digital Signal Procssing /47
6.4.3 Circular Shifting 유한한길이를가지는신호을 sampl 만큼 shift 한 함수 x(( n n 를 rctangular window squnc를거친후, 이 )) 함수를 x 이라정의하자. s ( n) 여기서 rctangular window는, n R ( n), othrwis if x ( n) x(( n n )) R ( n) 이라면 s jn DFT x ( n) X ( ) R ( ) s 단, X ( ) DFT x( n) R, ( ), othrwis xn ( ) n Digital Signal Procssing /47
proof) 여기서 DFT x( n n ) x( n n ) n 로두면 jn jn j( nn) ( ) n x n n jn ( ) ( ) n jm DFT x n n x m mn 여기서, m=r- 으로두면 ( 주기함수를고려 ) n n jm jm jm x( m) x( m) x( m) mn mn m jm j( r ) m n n x( m) x( r ) mn r n Digital Signal Procssing /47
그런데, x(r) 은주기함수이므로 x( r ) x( r) x( n) j( r ) jr j 또한, ( ) jm jr x( m) x( r) mn r n 여기서 r 을 m 으로대치하면 n n jm jm jm x( m) x( m) x( m) mn m n m m jm x( m) X ( ) 따라서 n jn jm jn DFT x( n n ) x( m) X ( ) s or X X jn ( ) ( ) mn 그런데 X s( ) X s( ) R ( ) 이므로 X X R s jn ( ) ( ) ( ) jq n n n jm jm jm x( m) x( m) x( m) mn mn m 에서 Digital Signal Procssing 3/47
6.4.4 Circular Convolution 개의 data 를가지는두신호 x(n) 과 h(n) 의 circular convolution 은다음과같이정의된다. y( n) x( m) h(( n m)) R ( n) m x( n) n h(( n)) Ex 6.), n, xn ( ), othrwis n a, n,,,, a.9, 5 hn ( ), othrwis 인두신호의 Circular convolution 를 graphically 하게보여라. Digital Signal Procssing 4/47
y( n) x( m) h(( n m)) R ( n) m y() x() h() x() h( ) x() h( ).4.5.9 Digital Signal Procssing 5/47
Thorm 6.( Convolution Thorm for DFTs) If Y ( ) H ( ) X ( ) y( n) x( m) h(( n m)) R ( n) m proof) 먼저 m l m X ( ) x( m) H ( ) h( l) h( m) x(( n m)) R ( n) jm jl 이고 y(( n)) DFT Y ( ) Y ( ) jn Digital Signal Procssing 6/47
y(( n)) DFT Y ( ) Y ( ) m X ( ) H ( ) x( m) h( l) m l j( nml) x( m) h( l) jm jl jn m l x( m) h(( n m)) jn jn j( nml) (( nm)), l 그런데 -point squnc 만취하면 y( n) y(( n)) R ( n) m x( m) h(( n m)) R ( n) Digital Signal Procssing 7/47
6.7 Th Fast Fourir Transform A finit complx squnc f(nt) 의 DFT의연산횟수 jnt F( ) f ( nt ),,,, n 여기서한개의복소수곱과복소수의합 (4 개의실수곱과 4개의실수덧셈 ) 에대한계산을한 opration이라고두자. ( AB ( a jb)( c jd) ( ac bd) j( bc ad), A B ( a c) j( b d) ) 이경우위의 F ( ) 를연산하기위해서는 opration가요구된다. 그러나, FFT 를이용하면 이 의멱 (powr) 으로될때, 회수의 opration => log 회수의 opration 예 ) =4일때약 6 opration => 약 4 정도의횟수만계산. 약 99% 계산시간단축의효과를얻게된다. (6.65) Digital Signal Procssing 8/47
FFT 연산을위해서는반드시 이 의멱이되어야한다. FFT 계산방식 Dcimation in Tim : 보다작은 x(n) 개수의 DFT 를한후그것의 배에대한 DFT 를계산하고계속해서전체 DFT 계산 W n 의대칭성과주기성이중요. Dcimation in frquncy : 보다작은 X() 를더작은부수열로 나누어계산 j( ) n -point 의신호 f(nt) 의 DFT 를 n F fnw,,,, n 길이의 DFT를고려하면 W 는 으로, 길이는로된다. jn jnt X ( ) x( n) x( n) n n W T Digital Signal Procssing 9/47
6.7. Dcimation in Tim 에서다음의 가지신호로 ( hn, gn) 나누어서표현한다. g f, n,,, ( 짝수) n n h f, n,,, ( 홀수) n n F( ) f W,,,, n n n 8점 DFT를고려 fn gn 과 hn 으로나누어 4점 DFT의형태로고려하면 G g W n n n n( ),,,, H h W n n( ),,,, Digital Signal Procssing /47
따라서 G 와 H 를이용하여전체 DFT인 F 를구하면 n n (n) n n n n n F f W g W h W n n gnw W hnw n n G W H,,,, 그런데 G 와 H 는주기를가지고있으므로 n (n) n n n ( F f W f W, j j / W W ) G W H, F G W H, n / ( / ) ( 단, W ) 의영역에서는 / / / n ( ' ) ( ) n n ( n G g W g W W g W ) G G n n n n n n G G 마찬가지로 H H Digital Signal Procssing /47
F( ) 는 G Opration 만각각있으면되고여기에와의 와 H ( ) H W 곱과 W H 와 G 와의덧셈이추가된다. 따라서전체연산횟수는 ( ) oprations 에서 만큼의횟수로줄어든다. G G W H W H G W H 4 Digital Signal Procssing /47
이와마찬가지로 /점의 Squncs 인 g 둘다 n과 hn /4 점 Squncs 로분해되어진다. 즉,,,,, pn g n n 4 qn g,,,, n n 4 rn h n, n,,, 4 sn hn, n,,, 4 G 따라서앞과마찬가지로 와H P와Q 를이용하여 4 를구하면 ( 단, 4 n ) P p ( W ),, n 4 4 n n( ) n P p W p pw n Digital Signal Procssing 3/47
4 n 4n (n) n n n n n G g W p W q W P W Q, 4 P W Q, 4 4 4 R W S, 4 H R W S, 4 4 4 여기서 P, Q, R, S 는 4 points 의 p, q, r, s 의 DFT이다. n n n n F 를구하기위한총연산횟수는 번의곱과덧셈에서 4 ( / 4) 4 만큼연산횟수가줄어든다. 총연산횟수 : 4 ( / 4) 4 Digital Signal Procssing 4/47
총연산횟수 : 4 ( / 4) 4 P Q W p pw 4 p pw P QW G G W H W H G W H r r rw rw 4 R R S W S W G W H 4 G G W H 6 W H 7 3 3 Digital Signal Procssing 5/47
f f4w P W Q G W H f 4 f W 4 G W H G W H P W Q 6 G W H 3 3 3 f 5 f W G W H 4 G W H 5 f 3 7 f W G W H 6 f 3 7 f W 4 G W H 7 3 3 Digital Signal Procssing 6/47
여기서은 개의 point 신호의 DFT 가될때까지분해된다. f n v 일때 v log 번분할또한 v stp 의각 stp별연산회수는 번의곱과덧셈으로이루어지므로전체계산횟수는 f n v log 의 DFT를 (n=8) 계산하면 총 => 3 log 8log 4 회의연산만필요 8 64 회의연산에서 4회로줄어듬 Digital Signal Procssing 7/47
앞의그림에서 F, F,, F 7 f, f4, f, f6, f, f5, f3, f7 형태로입력되어짐을알수있다. 을얻기위해서입력신호를 의순서로즉, bit 의순서가바뀌어진 Digital Signal Procssing 8/47
6.7. Dcimation in Frquncy Dcimation in Tim 에서와는달리입력은 f,, fn 까지순서대로입력 시키고출력은 F, F /, F / 4, F / 4, F /8 의형태는주파수영역에서 Dcimation을취하여나타내는방법. 이경우도 b 이되어야한다. fn 의절반을 n, 나머지절반을으로두면 g f, n,,, / n n h f, n,,, / n n / g h n 로둔후 f n 의 -point DFT 를구해보면 / / / n n n n ( n / ) n n n n n n n n / n n F f W f W f W g W h W / n gn ( ) h nw,,,, n 단, W / j Digital Signal Procssing 9/47
짝수 frquncis 에대해 : / ( n n) n,,,, / n F g h W 홀수 frquncis 에대해 : / F ( g h ) W n n n / n () n n n ( gn hn) W ( W ),,, Digital Signal Procssing 3/47
마찬가지로 /4 point DFT,.., 개의 point DFT 까지행하면 아래그림과같이 output 쪽이 bit-rvrsd ordr 형태가된다. Digital Signal Procssing 3/47
6.8 Us of th Discrt Fourir Transform for digital Filtr Dsign 6.8. Introduction 차수필터의 frquncy rspons 가 H( jt ) 라고가정한다. 이주파수영역에서 등분즉, H 로두고, 로,,,, 두면, 다음의관계가성립된다. T H H( ) h( n), n,,,. 의 IDFT인 puls rspons 을취한다. 구한 puls rspons h(n) 과 input squnc x(n) 과의 convolution을취하여 filtr 의출력 y(n) 을구한다. y( n) x( n)* h( n). Frquncy Domain에서 frquncy sampls 를이용함으로 filtring을실행할수있다. 3. Frquncy sampling을이용하여요구하는필터의특성를구한다. IDFT를하여 h(n) 을구함. 이 h(n) 을이용하여 n H( z) hn z 으로 H( z) n 의필터를구함. H H Digital Signal Procssing 3/47
6.8. Filtring ntirly in th Frquncy Domain x(n) 을 FFT 에의한 -point DFT 를취한다. 그결과를 H( jt ) Y 로두고요구되는 filtr rspons 인 의 간격으로 Sampl 한를통과시킨다. 즉를구한다. 3 Output X X ( ) H X ( ) Y 가 filtr 를거친 frquncy sampls 가되고이를 IDFT 를 거쳐시간영역으로바꾸어 y(n) 을구한다. H Digital Signal Procssing 33/47
6.8.3 Frquncy Sampling Th dsird frquncy rspons H( jt ) 를 sampling instancs (,,, ) 로두어이산형태로 j H 를구한다. M 이것을 IDFT를이용하여 unit puls rspons를구한다. jn hn H, n,,, 여기서 a j 로두면 H ( z) h z H a z n n n n n n n ( az ) H( a z ) H n n a z j z z H H a z a z Digital Signal Procssing 34/47
H ( z) z ( z ) H ( ) z z a z z z a H 그런데 z 에서영점이 j j j z z a z ( z a i i) i 즉, j z 의형태로된 개의영점이존재하므로이영점이 j z a 의 개의 pol을 cancl 하게된다. moving avrag filtr 나 Comb filtr 와유사. j ji i ai i i z a i i H( z) H ( z a ) / z, z ( z ai ) Digital Signal Procssing 35/47
jt z, T 로두어 Frquncy rspons를구해보면 H ( jt ) H H 이것은 H j j ( ) j j j( ) j / 의형태로 s( ) j ( )/ sin ( ) / H j( )/ sin ( ) / j / j j / j( ) sin ( ) / sin ( ) / Intrpolation 을한다. (oscillation 이발생 ) H H j ( ) H() z H z a z sin ( ) / sin ( ) / sin ( ) / sin ( ) / Digital Signal Procssing 36/47
6.8.4 Filtr Dsign by th Frquncy Sampling Mthod H 은대칭성을만족해야한다. DFT hn * 즉 H H M M l ⅰ) 이홀수이면 H,,,, ⅱ) 이짝수이면 H,,,, 개의 sampls 로이루어짐. Filtr가 linar phas 이라면대칭조건을만족하기위해서 hn h n constant phas dlay를가지기위해서 H M h M, n,,, j j jn 일때 n h * n (6.94) Digital Signal Procssing 37/47
* * n n n DFT h h n n m * j( n) j( n) n * jm j( ) hm, ( m n ) * j( n) h H * * j( ) jn n jn h H M j j( ) * * j j ( H M M ) jn (6.95) (6.97) Digital Signal Procssing 38/47
(6.94) 와 (6.97) 로부터 j j( ) jn j jn M M j j( ) j ( ) 만일 로대치하면 ( ) ) Digital Signal Procssing 39/47
따라서 unit puls rspons 는 j jn hn M n 여기서 n n hn ( ) M n j p M M ( ) M, for odd 단, p, for vn n n j j ( ) Digital Signal Procssing 4/47
그런데, n n j ( ) j p (n ) hn M ( ) M cos. odd M M,,,, p (n ) hn M ( ) M cos Digital Signal Procssing 4/47
. vn,,,, M M,,,, M p (n ) hn M ( ) M cos 또한 j( ) / H M,,,, p j( ) / H M,,,, p Digital Signal Procssing 4/47
이 vn 인경우 H H(z) 를구해보면식 (6.84) 로부터 H ( z) z H j z z M M M z z z p ( ) M cos( )( ) z z M H( z) z cos( ) z z z j T p j( ) / p j( ) / j j( ) 를대입하여 Frquncy rspons 를구하면 ( ) T j T ( ) M cos cos T H j T sin ( ) ( ) T sin p ( ) M cos( / ) cos / cost Digital Signal Procssing 43/47
6.8.6 Exampl Ex 6.4) fc 8Hz Linar phas, fs Hz, 5 가되는 lowpass digital filtr s Sol) 8 rad / s T 5 따라서 c 6 까지 Gain 이 이되도록한다. c 즉, M, 3 Symmtry rquirmnts를이용하면, M, 3, 3 4 이때 H() 는 (6.5) 와 6.6) 식에서 j4 5, H ( ), 3 j4, 3, 4 Digital Signal Procssing 44/47
또한 (6.3) 로부터 H() z 5 z.937 z z.756 z z 5 z.984( z ).937( z ) Digital Signal Procssing 45/47
Frquncy rspons jt sin.5t H ( jt ) (cos cos 5 T sin.5t.99.9686 ( ).9686 cost.8763 cost H 그런데를다음과같이 transition rgion을두면 frquncy rspons 의특성이개선된다. H j4 / 5, j4 / 5.5, 3, 4 j4 / 5.5, j4 / 5, 3, 4 Digital Signal Procssing 46/47
각각의 powr spctrum 을보면 Digital Signal Procssing 47/47