수열의극한 수열의극한에서활용되는방법은크게다섯가지이다. ] 거미줄도형 ] 유계이론 ] 일반항 ] 부동점( 극한값) 활용 ] 샌드위치이론 ] 거미줄도형 가장첫번째로거미줄도형은대부분의경우수열의극한문제에서엄밀한증명을위해활용되기보다는수열이수렴하는지여부를판단하고수열의극한이존재한다면어디로수렴해야하는지를판단하는데에활용된다. 예를들어보도록하자. 수열이다음과같이정의되어있을때, 거미줄도형을그려서수렴여부와수렴한다면어떤값 으로수렴하는지를판단해보도록하겠다. [ 예제] 수열 이다음과같이정의된다.,
[ 풀이] 이제거미줄도형을그리는첫번째단계는 을만족하는함수 를찾는것 이다. 대부분의경우함수 를찾는것은어렵지않은데, 위예제의경우에는그러한함수 가 임을알수있다. 두번째단계는 와 를직교좌표계에그리는것이다. 세번째단계는, 을 지나면서 축에수직인직선이 와만나는점인, 를찾는것이다. 다음에는, 를지나면서 축에수직인직선이 와만나는점인, 를찾는것이다. 다음에는 비슷하게, 를지나면서 축에수직인직선이 와만나는점인, 를찾는 것이다. 일반적으로, 에서는수직으로이동하면서 와만나는점인, 까지움직 이는것이고점, 에서는직선 를만날때까지 (, 까지) 수평으로움직 이는것이다. 이러한점의움직임을나타낸것이바로거미줄도형인데, 만약거미줄도형에서 점의움직임이특정한한점을향해간다면우리는수열이수렴한다는것을알수있다. 그리고 그점이반드시 와 의교점이어야한다는것도당연하게받아들일수있다. 그래 서이러한단계를고려해서예제의거미줄도형을그려보면다음과같다. 12 10 8 6 4 2-10 -5 5 10 15 20-2 -4-6 -8 위예제의경우거미줄도형에서수열 이수렴한다는사실을쉽게알아낼수있다. 그리고 수렴한다는것을관찰하였으므로수렴값을 라하였을때, 라두고 를구해보면 이므로 임을알수있다. 물론임의의자연수 에대해 이므로 이고 은제외시켜야한다. 하지만이러한거미줄도형을그려놓고수열 이수렴한다고말하기에는수학적인엄밀성이
떨어지기때문에앞에서언급하였듯이거미줄도형은보통문제를푸는사람이빠르게수열의 수렴여부만을확인해보기위해서그리는것이일반적이다. 만약문제에서어떠한수열을주고 수렴값이존재하게하는초항을결정하여라와같은식으로나온다면( 특히그것이단답형문제 일경우) 거미줄도형을이용해서푸는것이현명한방법중하나일것이다.
] 부동점( 극한값) 활용하기 우선부동점과극한값이같은말이아니라는것을알아두었으면좋겠다. 하지만수열의극한문 제에서는대부분의경우부동점이곧극한값이기에비슷하다는의미에서괄호를쳐놓았다. 그렇 다면부동점은무엇인지수험생은궁금해할것인데, 부동점은거미줄도형에서설명한 와 의교점이다. 왜부동점이라는이름을갖게되었는지생각해보면부동점에서 거미줄도형을시작해보면점이움직이지않고계속그점에서만머무르기때문이다. 일반적으 로그점이바로극한값을나타내기때문에부동점은많은문제에서극한값과같은값을가진 다. 이제본격적으로부동점을활용한다는말의의미를알아보도록하자. 부동점의활용은다음의형식으로이루어진다. 수열 에대해서 을만족하는함수 를찾자. 다음에 를만족하는 를 라고하자. 그리고다음과같이식을변형하자. 이때, 대부분의문제에서함수 는미분가능한함수로주어지기때문에 에평 균값정리를적용할수있다. 대부분의문제는평균값정리를적용시 임을보일수있기때문에 와같은식이성립하고 lim 임을보일수있다. 하지만어떤경우 는평균값정리로는해결이안되는문제도나오는데, 그런경우에는식변형을통해서해결할 수있다. 이제예제를통해확실히이해해보도록하자. [ 예제] 수열 이다음과같이주어진다. 이때, 수열의극한값을구하여라. 임의의자연수 에대하여 이성립하고 이다.
[ 풀이] 을만족하는함수 이다. 우선수학적귀납법으로임의의자연수 에대하여 임을보이자. 일때 : 자명하게성립함을확인할수있다. 일때성립함을가정하고 일때성립함을증명하도록하자. 이므로 일때성립하고 과 그리고수 학적귀납법에의하여임의의자연수 에대하여 임을보일수있다. 이제 를만족하는 를 라고할때, 혹은 인데, 이므로 만을 택하기로하자. 그러면 가평균값정리에의해성립한다. 이때, 이므로 가성립함을알수있다. 따라서, 가성립하고 가성립한다. 그러므로 lim 이다. 참고 : 평균값정리를쓰지않고식변형을통해문제를풀수도있는데, 간략하게소개하고 자한다. 이런방법은평균값정리로는증명이잘되지않는어려운문제에서해결법이될수 있으므로눈여겨보도록하자. 이때, lim 임을알수있다. 가성립한다. 이므로 가성립하고따라서
유제문제 다음물음에답하여라. ] 일때다음부등식이성립함을증명하여라. ] 에대하여 이라고하자. lim 을구하여라. 유제문제 피보나치수열 의정의는다음과같다. 에대해서 이고 이다. 이때, lim 을구하여라.
유제문제 의풀이 ] 와같은부등식을증명하는가장간단한방법은미분을활용하는것 이다. 증명하려는부등식을하나의함수로두고문제를푸는것이일반적이다. 라고두면 에서 에서 임을쉽게알수있다. 라고두면 에서 립한다. 이므로 에서 이성립한다. 그러므로본문제의부등식이증명되었다. ] 의양변에자연로그를씌워보자. 이다. 이므로 이성 그러면 이성립하게된다. 그러면 ] 에의해 가성립한다. 한편, lim lim 이성립한다. 또 lim lim 이 성립하므로 샌드위치이론에의하여 lim 가성립함을알수있다. 그러므로 lim 이다.
유제문제 의풀이 이문제는굉장히다양한방법으로풀수가있다. 의미가있을만한 가지풀이를적어보도록 하겠다. 각각의방법이나름대로의장점이있기에 가지풀이를모두읽어보고많은것을얻어 갈수있었으면좋겠다. [ 풀이] 첫번째풀이는일반항을활용하는방법이다. 피보나치수열의일반항은많은학생이외우고있을텐데, 먼저피보나치수열과같은수열의 일반항을구하는방법을소개하고자한다. 보통 의형태로주어진점화식을선형점화식이라고 한다. 대신에 를대입하면방정식 이나오는데, 양변을 으로나눠주면 와같은방정식이나온다. 우리는이것을 위선형점화식의특성방정식이라고한다. 위특성방정식의해를,,, 이라고하면, 일반적으로일반항 은다음가같다. 앞의,,, 은초기항 개를직접대입해서구해야한다. 사실수험생여러분이대면할선형점화식은 정도의점화식이므로구 체적으로이러한점화식을하나풀어보자. 이고, 라고하자. 그러면위점화식의특성방정식은 이다. 특성방정식의해는, 이다. 그 러므로 이다. 초기값을대입해서구해보면일반항이 임을알수있다. 수험생여러분이가질수있는궁금증은크게세가지일것이다. 첫번째로이러한방법이왜 일반항을구할수있게해주는지가궁금할것이다. 하지만필자는이책에서는소개하지않으 려한다. 말그대로궁금하면인터넷에서검색을통해찾을수있으므로찾아보길바란다. 하지 만왜특성방정식의근이일반항에 로포함되는지는시험과관련 이없을것이라필자는확신한다. 두번째는만약특성방정식이중근을가지는경우에는어떻 게처리해야하는지가궁금할것이다. 만약같은근이 개라면일반항은다음과같다. 그러므로 와같은점화식의일반항은 이다. 마지막으로세번째로시험에서증명을하지않고써도되는지가궁금할것인데, 물론증명을
당연히하고써야한다. 하지만필자가이방법을소개한이유는단순히일반항을구할때에만 이방법을활용하라는뜻에서였다. 그러므로일반적으로이러한선형점화식문제가나왔을때에 는일반항을특성방정식을통해구한뒤, 풀이를설명할때에는일반항이성립한다는사실만을 수학적귀납법으로보이면된다. 이제본문제의풀이로돌아가도록하자. 피보나치수열의특성방정식은 이므로두근은 과 이다. 그러므로 이다. 초기항 과 을대입해서 과 를구해보면, 가나온다. 그러므로 이일반항이다. ( 실제시험장에서는특성방정식을활용해서 가일반항임을 구한뒤에단순히결과물인 만을적고수학적귀납법으로 일반항을제대로구했다는것만증명해주면된다.) 따라서 lim lim 을얻는다.
[ 풀이-] 두번째풀이는부동점을활용하는풀이다. 으로정의하여보자. 그러면 이성 립한다. 이제함수 으로잡으면 이성립함을쉽게확인할수있다. ± 를만족하는 를 라고하면 이성립한다. 여기서임의의자연수 에대 해서 이므로우리는 만을활용하도록하겠다. 이제다음식이성립한다. 그러므로 가성립하고, lim 임을알수있다. 참고 : 이풀이는 에서소개한평균값정리를활용하지않았다. 하지만평균값정리를활용 해서도풀수있다. 다만이경우는평균값정리를제대로활용하는과정이다른문제에비해 복잡하다. 아래에그풀이를간략하게소개하고자한다. 우선 이라는수열에대해 에따른크기비교를하여보면다음과같은추측을할수있 다. 이러한추측을수학적귀납법으로증명해보도록하자. 임의의자연수 에대해서 가성립한다. 인경우 : 대입해보면명백히성립함을알수있다. 인경우성립함을가정하고 일때성립함을보이도록하자. 우선 가성립함을귀납가정에의해서알고있다. 이제 인데 이므로 비슷한방법으로 임을보일수있다. 이고 이다. 한편, 이고 이므 로 가성립함을보였다. 그러므로 과 그리고수학적귀납법에의하여위명제가성립한다.
이제문제의본풀이로돌아가도록하자. 가평균값정리에의해성립한다. 그런데 에대하여 의최솟값은 이므로 에대하여 이게된다. 그러므로 에대하여 가성립하게된다. 따라서, 가성립하게되고 이므로 lim 임을알 수있다. 이풀이를보면알겠지만가끔은평균값정리를활용하여도문제가풀리지않을수도있다. 그 럴때에는풀이에서제시한것처럼식변형을통해서융통성있게해결해나가야한다.
[ 풀이] 유계이론을활용하여서풀어보도록하자. 마찬가지로 로정의하여보자. 그러면 [ 풀이] 의참고에서우리는이미임의의자 연수 에대해서 가성립함을알고있다. 이제 으로정의하고 로정의하자. 그러면 은감소수열이고하계로 가존재하는수열이다. 반대로 은증가수열이고상계로 가존재하는수열이다. 그러므로 과 은각각극한값을가지는수렴하는수열임을유계이 론에의하여알수있다. 의수렴값을 라고하고 의수렴값을 라고하자. 그러면 이성립하고마찬가지로 에대해 서도 이성립한다. 두식에대해서양변에극한을취해주면 와 가각각성립한다. 와 가당연히 이상이므로 임을얻을수있다. 두수열이같은값으로수렴하므로수열 은 로수렴하게된다. 따라서 lim 이다.
기출문제 ( 서울대구술) 함수 일때, 다음물음에답하여라. ] 도함수 의최댓값을구하여라. ] 방정식 은 개의실수해만을가짐을보여라. ] 점화식,, 이주어져있을때, 수열 은초항 일 때, 수렴을한다. 이때, 극한값은위의방정식의해가됨을보여라. 기출문제 ( 년서울대특기자의예과및수리통계학과구술면접 ) 함수 에대하여다음물음에답하여라. ] 의그래프개형을그리고최솟값을그래프에표시하여라. ] 에서위그래프의접선을구하고, 이를이용하여서, 인, 에대하 여 임을보여라. ] 일때, 임을보여라.
기출문제 의풀이 ] 산술-기하부등식에의해서 이성립한다. 등호는 인경우인 일때성립한다. 그러므로 일때, 는최대값 을가 진다. ] 라고하면, 임의의실수 에대하여 이성립하 게된다. 이고 이므로그리고 이므로 은 정확히한개의실근을가지게된다. 그러므로방정식 은 개의실수해만을가진다. ] ] 로부터임의의실수 에대하여 이성립함을알고있다. 이제 ] 에서증명한유일한실수해를 라고하면평균값정리에의해다음이성립한다. 그러므로이러한방법을반복적용하면 을얻는다. 따라서, 샌드위치이론에의하여 lim 을얻게되고, lim 이다.
기출문제 의풀이 ] 그래프의개형은다음과같고최솟값은점 로표현하였다. 우선, 그래프의개형을그리는방법을설명해보도록하자. 함수 의일계도함수와이계도함 수를각각구해보면다음과같다. 가일계도함수이고 가이계도함수이다. 물론함수 는 에서 정의되는함수이므로 이고그러므로 는아래로볼록한함수이다. 뿐만아니라, 는 에서는감소함수이고, 부터는증가함수가되는극소값을 에서 가지는함수이다. 자명하게 lim 이고, lim lim lim 도성립함을 확인할수있다. 그러므로개형은다음과같고최솟값은 일때 를가짐을확인할수 있다. ] 에서의접선의기울기를구하여보면 이다. 에서의접선을구하 여보면 이다. 인경우 : 에서 가증가함수이므로 이고, 따라서 이 다. 인경우 : 이므로 이다. 여기서 위그래프를보면 에서 가 아래에위치해있음에주목하길바란다. 따라서, 이항상성립한다. ] 에서 이고, 이다. 따라서 ] 에의해서 이성립하고 이증명된다.