모델링 모델링이란분석하고자하는물리계의이상화및수식화과정을종합하여지칭한다. 예를들어도로위를주행하는자동차를 자유도를갖는질량-스프링시스템으로이상화하고이를수식화하여상계수 계미분방정식으로나타낸것이대표적인모델링과정이라할수있다. 이미이상화된물리계의운동방정식을구하는수식화과정은본교과과정을통해습득할수있으나, 실제의물리계를이상화된물리계로이상화하는능력은지식의습득은물론많은경험을쌓아야가능하게된다. 예 노면을주행하는자동차의모델링과정 이상화과정 : 원하는특성분석이가능한한도내에서단순하게하는것이좋다. 수식화과정 y 여기서 은스프링에하중이걸리지않을때의길이 에너지방법 자유도시스템의운동방정식이나고유진동수를구할때가장효율적으로적용할수있는 방법으로역학적에너지보존의법칙을이용한다. 운동에너지를 T 그리고보존에너지를 U 라하면, 보존계의역학적에너지의합은일정하므로 무감쇠진동계의경우 T U Costat 또한최대운동에너지와최대보존에너지는동일하므로 Ta U a 첫번째식은운동방정식을, 두번째식은고유진동수를구하는데사용하는데, 고유진동수는운동방정식을구하면그로부터도구할수있다. 5
우측그림은중력장에서의 시스템을나타낸다. 중력장에의한위치에너지기준점을정적평형위치로정하면, 보존에너지는다음과같이나타낼수있다. 위에구한 U T T U 를시간에대해미분하면, g 항상 이 이될수없으므로, 다음과같은운동방정식이구해질수있다. 또한, 조화운동시속도와변위의최대진폭값을이용하면 a A, a A T a A A U a 따라서 예제 : 진자운동 단진자실의길이가 이면, 질량의속력은 이다. 따라서운동에너지 T 이다. g 정적평형점을기준으로하면보존에너지 U g cos 이다. 근사화된 보존에너지를이용하여 일때근사화가적절함 T U 를시간에대해미분하면 g 이항상 이되지않으므로, g g 또한 T 이고 g U 이므로 g g 6
예제 : 실제스프링 - 질량시스템의진동 스프링의총질량을 s 라고하면단위길이당질량 s 이다. 위그림에서 y 지점에 위치한미소질량의속도는 y 이므로미소질량의운동에너지 s y T y sp 이다. s y s 그러므로스프링전체의운동에너지 Tsp y 이다. 그러므로 집중질량 에의한운동에너지까지고려한결과는 s T 이다. 여기서 s 을 effective ass 혹은 equivaet ass 라부르며, 고유진동수는다음과같다. s 예제 : 집중질량 - 회전판조합시스템 이시스템의운동에너지와보존에너지는다음과같다. 7
8 J J J T U 따라서, 이시스템의고유진동수는 J 예제 : Osciatig oig Dis 미끄럼없는구름운동조건을수식화하면 Dis D 의각속도크기는 D 원판의중심점 C 의속력은다음과같이구한다. D C v 총운동에너지와보존에너지는다음과같으며따라서고유진동수를구할수있다. 4 J v T D C ] [ cos g M K g g U eq eq
강성에관하여 보및스프링 보의인장강성은 E 의관계를이용하면쉽게유도할수있다. 보의단면적을 A 그리고길이를 이라하면, EA 보의비틀림강성은인장강성과의상사성을이용해쉽게구할수있다. 전단강성을 G, 극단면관성모멘트를 J p 라하면, GJ 외팔보자유단의굽힘강성은보의굽힘단면관성모멘트를 I 라하면 EI p 기타경계조건에서보의강성효과는교재 Tabe. 에나타나있다. 두께가 이고반경이 그리고감긴횟수가 인스프링의강성은다음식을이용하여구할수있는것으로알려져있다. 4 G --- * 64 스프링의제작시, 그강성을조절하기위해서는 * 식에서보여주듯이재료의선택, 감긴횟수, 두께, 그리고반경등을조절한다. 두스프링의강성을각각 과 라하면그들을직렬혹은병렬로연결했을때의강성은다음과같이구할수있다. 직렬연결시 병렬연결시 9
진동관련측정 진동관련측정은크게다음두가지중한가지목적을위해서수행된다. 첫번째는진동특성과직접적인관계를갖는질량, 강성, 감쇠의특성을측정하는목적이고, 두번째로는진동특성측정을통해시스템의파손등을검사하는것과같은간접적인목적에사용된다. 이에관한세부사항은나중에 교재 7장참조 좀더자세히다루게될것이다. 관성모멘트측정일반적으로질량의측정은간단하다. 그러나관성모멘트의측정은그렇지못하다. 따라서진동실험을통해서이러한성질을측정하게되는데 Bi-fia나 Ti-fia Suspesio을통한관성모멘트측정방법은그대표적인방법이다. 줄이 개인 Bifia나 개인 Ti-fia suspesio의결과는같으므로여기서는설명의편의상 Bi-fia Suspesio을이용하여설명하기로한다. 하단그림에서실의길이를, 막대의반경이 라하고막대의회전각을 그리고실의회전각을 라하면회전에의한실과막대가붙어있는점의이동거리는서로같으므로 실이연결된막대의양끝단에작용하는합력의크기 F 는하단의우측그림을참조하면다음과같이구할수있다. F Mg g 여기서 M 은막대의질량과, 관성모멘트를측정하려는막대위에놓인물체의질량을합한값이다. 따라서막대와측정물체의관성모멘트를각각 I 와 I 라하면이시스템의운동방정식은다음과같다. I I F 즉 I I g
따라서고유진동수와고유주기는각각다음과같이구해질수있다. g I I T I I g 그러므로, T I g 4 I 여기서 I 는 을 으로놓고측정할수있다. 영률의측정 영률은재료시험을통해서얻어진응력과변위율관계곡선의선형부기울기를의미한다. 영률은진동실험을통해서도측정될수있다. 아래그림은외팔보자유단에질량을부착한시스템을보여주는데, 이시스템의진동실험을통해고유주기를측정한후이를이용하여영률을다음과같이계산할수있다. EI 그리고 M T 따라서 4 M T I E 감쇠의측정 앞절에서언급되었듯이감쇠가있는시스템자유진동에의한동적반응은지수함수형태로감소하게된다. 따라서이러한동적반응의자료를가지고감쇠크기를측정할수있다.
위그림은전형적인 Ueape syste 의자유진동반응을보여준다. 이때, Ae t si t 여기서 Ae Ae t t si t e si t 따라서, 4 또한감쇠의크기가작을때에는 Light apig 다음의간단한관계식이성립한다. 예제 질량 g 강성.5 N/ 인시스템의자유진동감쇠를측정하여 감쇠주기동안 최대진폭이 9 에서 로감소하였다면감쇠상수는얼마인가? 그런데, 9.97 따라서. 4 c c.95 g/s 따라서 c 6.5g/s c c 예제 고유진동수를이용하여환자의몸무게를측정하는병원용침대 그러므로 T 4 이저울은중력의크기에 지구상에서도위치에따라차가있음 상관없이사용가능하다. 즉, 는저울에정해진값이고고유주기 T 만측정하면 을우주공간에서도알수있다.
진동설계시고려사항 보통해석은하나의해만을주나설계는여러개의 혹은무한히많은 해들이가능하다. 그런데이러한사실이오히려엔지니어가설계를어렵게느끼게만든다. 이렇게도할수있고저렇게도할수있다면더쉬울것도같으나유일한해만을구하는데익숙해져있는엔지니어에게는그것이오히려당혹스러운것이다. 더구나여러개의해가있다면그중에가장좋은해란무엇일까를생각하는것은종종고도의종합적판단력과창의력을요구하는작업인것이다. 그래서창의력이뛰어난사람에게 혹은창의력을계발하고싶은자에게는 설계문제는아주매력적인대상이다. 진동설계시설계자는대상시스템의진동특성을조절함으로써원하는동작을하도록계획한다. 진동특성이질량, 강성, 그리고감쇠상수에의해결정되는것이니이들을조절하여이러한목표를간단히달성하면될것같으나현실적으로선택가능한재료나부피의크기등에서여러가지제한조건이가해진다는것이문제다. 이러한설계제한조건은부등식의관계로주어지는데종종많은엔지니어가이에익숙하지않다. 다음은이러한몇가지의예제를보여준다. 예제 : 자유도감쇠진동계 재료및크기의제한에의해질량은 내지 g 로제한이되며, 정적처짐을방지하기위해강성은 N/ 이상으로주어진다. 설계고려사항에의해이시스템의고유진동수가 8.6 내지. a/s 의범위에위치해야하며초기조건으로 그리고 v c/s 이어야할때, 동적반응의최대크기를.5c 이하로제한하려면감쇠상수를어떻게정해야할까? 자유도감쇠진동계에서주어진초기조건을이용하면동적반응은다음과같이구해진다. 따라서 v t v t t e si t t t e cos t e si t 최대동적반응은 에서일어나므로그시간을 * t 라하면, ta t *, 즉 *, cos t si * t 그리고 * t ta
따라서 v * v t a e e ta v 를최대로. 그리고 하므로 을최소로 8.6 하고도 a 값이.5 를초과하지말아야. 8.6 e ta.5 따라서 ta.857 위식은수치적으로풀어야한다 간단한계산기를이용해서도해를구하는것이가능하다. ta 즉. 857 의해를먼저찾고다음에 를구하면된다..89 따라서 c 4.5 g/s 4
예제 : 스프링설계 g 질량에붙어 a/s 의고유진동수를발생시킬 Heica spig 을설계하라. Heica spig 의강성식에서, 이므로 N/ 4 G 64 G,,, 그리고 을조절하여위식을만족시키면된다. 여기서 G 는사용가능한재료의종류에의해결정되며, 은스프링의외양적크기로, 그리고 은정수로결정되며, 는사용재료의가능한양등으로결정된다. 이것이외에도국가에서정하는규격등에의해이러한변수들은제한조건을가질수있다. 예를들어서사용가능한재료가철이며, 스프링두께가 c, 그리고스프링반경이 c 라면, 4 G 64.9 따라서 은 으로근사적으로결정할수있다. 예제 : 차량설계 자유도감쇠진동계로모델링된차량의질량이 6g, 그리고무게에의한정적처짐이.5 라할때, 임계감쇠시스템이되기위한강성과감쇠계수값을구하라. g g s 이므로 4 a/s s 따라서 5.668 N/ 또한 4 cc.8 g/s 그런데차량의질량이외에승객의질량을고려하면시스템의전체질량이변화하므로고유진동수와감쇠비등이변하게된다. 따라서임계감쇠시스템도될수없다. 이같이설계변수나그조건의변화에따라설계목적의달성에차질을빗기도하는데설계변수나그조건의변화가일어나더라도설계목적과 주로시스템성능 관련된변화가크게일어나지않게설계하는것을강건설계라고 obust esig 부른다. 설계변수값의변화에따른시스템의설계성능변화를설계민감도라부르는데, 설계민감도가설계점부근에서작게설계하는것이강건설계의요점이다. 5
시스템안정성 자유도감쇠진동계에서질량, 강성, 감쇠상수가모두양의값을가지면그시스템은안정하다. 즉그동적반응은일정한진폭이하로제한된다. 그러나만일강성이나감쇠값이음의값을갖는다면, 그동적반응은발산하는결과를초래하는데이러한경우에시스템은불안정하다고말한다. 예제 : 역진자 Ivete Peuu 진자의소변위운동을가정할때, 상기그림의운동방정식은다음과같이구해진다. 따라서강성의계수 함수가발산하는모양으로나타난다. g g 의값이음이되면이시스템은불안정하며그반응은지수 예제 : 공력을고려한항공기날개시스템 항공기날개시스템을 자유도감쇠진동계로보고공력에의해날개에주어지는외력을 라모델링하면운동방정식은다음과같이주어진다. c 결과적으로 c 면감쇠계수가음의값을갖게되어항공기날개의동적반응은진동하며 발산하는불안정한결과를보여주게된다. 항공기날개에발생하는실제의이러한현상을 Futte 라부르며이러한모델링은결과적으로 Negative Dapig 의효과로나타난다. 6
Sape 교재 쪽 Figue P.5 그림의항공기페달모델링에서운동방정식과고유진동수를에너지방법으로구하라. 중력을무시하고 운동에너지 T 보존에너지 V t T U 따라서운동방정식은 고유진동수는 Sape 교재 46 쪽 Figue.5 시스템에서 4, N, 5g, J g,. 5, c 8 N s / 일때, 감쇠비와감쇠고유진동수를구하라. J c 운동방정식은 c 감쇠상수. 4 J 감쇠고유진동수. 6 a/sec J Sape 다음식이성립됨을증명하라. 따라서 7
Sape 4 질량, 강성 인 계진동시스템에감쇠를설치하여고유진동수를 9 a/sec 로낮추었다면설치한감쇠기의감쇠상수는얼마인가? 그러므로 따라서.9.459 따라서 c 87. 8 Sape 5 교재 8 쪽 Figue.4 시스템에서막대가균일한질량분포를가진다가정하고운동방정식과고유진동수를구하라. 진자의질량을 막대의질량을 라하면 T 운동에너지 : U g cos g cos 보존에너지 : g g 4 4 따라서운동방정식은 g g g g 이면안정적시스템이며고유진동수는다음과같다. g g 8
Hoewo Pobes.4-. 65, 67, 68, 69, 7, 78, 8, 8, 85, 86, 9, 9, 95, 97, 99,,, 6, 9,, 4, 5 9