< 2017 수능가형 29 번 > 한모서리의길이가 인정사면체 에서삼각형 의무게중심을, 선분 의중점을 라하자. 정사면체 의한면 위의점 에대하여두벡터 와 가서로수직일때, 의최댓값을구하시오.
< 첫째날 > 문제를해결하기위해서는주어진문제가무엇을묻고있는가를먼저알아야합니다. 특히 유형별문제풀이 에만익숙해지기쉬운우리실정에서는문제해결에서가장기본이라고할수있는 문제가무엇을묻고있는가? 를아는 과정 을생략하는경우가많습니다. 유형별문제풀이 에익숙해졌다는것자체가문제를 대충 보고어떤유형인지를아는것을전제로하는경우가많기때문입니다. 예를들어이문제의경우에 정사면체 가주어져있으므로문제가묻고있는것을아는과정없이 정사면체 에대하여자신이 해결방법 을알고있는 문제유형 을먼저생각하게되는경향이있다는것입니다. 이런식으로는사실 시험 에서도좋은결과를기대하기힘들고, 문제를해결하는능력 은당연히변할수가없습니다. 문제가무엇을묻고있는가를알기위해서는먼저문제에사용된수학적용어의 정의 부터정확하게알아야할것입니다. 이문제의경우에는현재의교과과정에서는 기하와벡터 에해당하는문제이므로용어를이해하는과정은조금시간이많이필요할수밖에없을것입니다. 그러니서두르지말고차근차근살펴보는것이좋습니다. 이때주의할점은우선알아야할것은 정의 정도이지, 그개념 ( 용어 ) 과관련된갖가지 성질 까지는아닙니다. 예를들어 정사면체의여러가지성질 까지알아야이문제를해결할수있는것이아닙니다. 사실 정사면체의여러가지성질 을 정사면체의정의 와그이전에배우는수학개념 ( 점, 선, 면, 정삼각형 ) 을이용하여 이끌어내는것 을 수학 이라고하는것이지, 정사면체의여러가지성질 을 암기 하는것은 수학 과는거리가먼것입니다. 그런방법으로수학을공부하고있다면 세계여러나라의수도 를 암기하는것 과완전히같은것일뿐입니다. 과거에는그런 암기 조차도필요한이유가있었다고할수도있지만 ( 사실은과거에도이런 암기 는거의시험을위해서만필요한것이었습니다. ) 지금과같이 손에컴퓨터를들고다니는 시대에서는정말로무의미한것입니다. 한가지덧붙일말은그럼 정사면체의성질을기억하지말라 는이야기인가? 이렇게생각하지말기바랍니다. 기억 은 암기 에의해서가아니라 반복 에의해서자연스럽게생겨나는것일뿐입니다. 만약에 정사면체의성질 을 이끌어내는활동 이교과과정에서중요한비중을차지하고있다면자연스럽게 기억될것 입니다. 그리고 시험 을볼때는이렇게 자연스럽게기억되는것 ( 즉, 교과과정에서중요한개념과성질에해당하는것 ) 을적용하면그만입니다. 그럼하나씩용어의정의를알아보기로하겠습니다. (1) 모서리 다면체에서면과면이만나서만들어지는선분을뜻합니다. 초등학교과정에서배우는
내용이므로알고있을것입니다. 만약에모른다면이기회에알아두면그만입니다. (2) 한모서리의길이가 모서리는 선분 이기때문에선분의길이가 라는뜻입니다. 역시문제가없습니다. (3) 정사면체 현교육과정에서는중학교 1학년때배우게되어있습니다. 정사면체를비롯한정다면체에대해서배웁니다. 정다면체 전부에대해서알필요는없을것이고우선 정사면체 에대해서만알면될것입니다. 각면이모두합동인정다각형이고각꼭짓점에모여있는면의개수가같은다면체 를 정 다면체라고한다. 이때, 한꼭짓점에모이는면이정삼각형이고면의개수가 개인다면체를정사면체라고 한다. 일단여기까지입니다. 사실이 간단한정의 에서자신이배운내용이어디까지인가에따라이 정의 에서엄청나게많은 성질 을이끌어낼수있습니다. 한가지예만들어보도록하겠습니다. 정사면체는결국각면이정삼각형이고꼭짓점에모여있는면의개수가 개입니다. 그 렇다면정사면체를구성하는점, 선, 면은각각몇개가될까요? 우선은 정의 를이용해서생각해보기바랍니다. 도형이란기본적으로점, 선, 면으로만들어지는것입니다. 이런면에서점, 선, 면은도형이갖는가장기본적인요소로할수있습니다. 물론이때 선 은직선도가능하고, 곡선도가능합니다. 그렇다면? 네면역시평면도가능하고, 곡면도가능합니다. 하지만일단 예 를위한것이므로선은직선으로, 면은평면으로제한해두겠습니다. ( 교육과정에 도형 은 면 이 곡면 인경우는고등학교과정까지는다루지않으며, 선 이 곡선 인경우에는역시 기하와벡터 에서매우특수한평면곡선만다룹니다. ) 정사면체의점, 선, 면이각각몇개인지를확인하는주제로다시돌아가겠습니다. 가장쉬운방법은 정사면체 를만들어보면될것입니다. 계속강조하겠지만이것이가 장중요한 수학적활동 입니다. 약간과장하면이기본적인 수학적활동 이없으면이어 지는모든과정은무의미한 암기 에불과한것이라고할수도있습니다.
여기서굳이 정사면체 를만드는방법까지이야기하지않아도될것입니다. 다만주변에정사면체모양의어떤물체가있다면그것을이용하여답을구해도될것이라는생각은 반은맞고반은틀린생각 이라고말씀드립니다. 그래도 수학적활동 으로는큰차이는없지만, 어떠한삶을살아야하는가? 라는취지에서는좋은선택은아닙니다. 사실, 이자체가하나의문제이기도한것입니다. 예를들어 정사면체를만드는 가지방법을이야기해보라. 이런것자체가해결해야할문제라는것입니다. 그리고이런과정에서역사발전이양적, 질적으로이루어진것입니다. 한가지방법은소개해드리겠습니다. 쉽게생각하기어려운방법이라고봅니다. 그런데이런 방법 을찾는것은지금시대에는매우쉬운일이되었습니다. 이내용은 링크 를참조하면될것입니다. 오늘은여기까지입니다. 링크된방법으로, 또는다른방법으로정사면체를만들어본다. 그리고점, 선, 면의개수와같은정사면체의 성질 하나또는욕심을내어서둘, 셋정 도를만든정사면체를이용해서찾아보기바랍니다. 벌써 알파고수학 에익숙해졌다면사실그렇게정사면체를 만들어서 수능 29 번문제 도한번해결해볼것을 권고 할것임도쉽게짐작은할것입니다.
< 둘째날 > 정사면체의성질은여러가지가있습니다. 정사면체의경우꼭짓점은 개, 모서리는 개, 면은 개가있는데이것도하나의성질이라고할수있습니다. 계속강조하지만우선이것은 정사면체 를관찰하여찾은것입니다. 그런데수학적활동은여기서그치는것이아니라한걸음더나아가는것입니다. 그것은그 개수 들의 관계 를생각해보는것입니다. 왜냐하면정사면체를이루는점, 선, 면은서로 관계 가있기때문에당연히그 개수 도어떤관계를갖고있을것이기때문입니다. 정사면체라는용어가의미하듯면이 개임은알수있습니다. 그렇다면이 개의면에서 모서리 ( 선분 ) 의개수를 이끌어낼수 없을까요? 이렇게생각하면우선정사면체의각면이어떤도형인지를생각해야할것입니다. 왜냐하면면이생긴모양에따라서 선분 의개수가결정될것이기때문입니다. 정사면체의모든면은 정삼각형 입니다. 즉 선분 개로이루어져있습니다. 그렇다면다 음의 추론 ( 짐작 ) 은어떤가요? 정사면체의선분의개수 정사면체를이루는정삼각형의개수 우리는이추론이틀렸음은 관찰 을통하여이미알고있습니다. 그럼이 공식 은어디가잘못되었을까요? 정사면체를이루는정삼각형은서로떨어져존재하는것이아니라 모서리 를 공유 하고있기때문임을알수있습니다. 즉위와같은공식으로모서리의개수를구하면 한 모서리가여러번세어지게될것입니다. 그렇다면이제제대로된공식을만들어보면어떻게될까요? 정사면체의선분의개수 정사면체를이루는정삼각형의개수 --- 1 이번에는정사면체의꼭짓점의개수는? 정사면체의꼭짓점의개수 = 정사면체의모서리의개수 이렇게하지는않을것입니다. 선분은양끝점을갖고있으므로 가틀린것은아니지 만우리는이미그렇게하면 중복 되어서세어짐을알고있기때문입니다. 정사면체의꼭짓점의개수 = 정사면체의모서리의개수 역시틀린공식임을알수있습니다. 이것은모서리의개수를구할때사용한 공식 을
기계적으로적용 했기때문입니다. 공식 1 에서 를한이유는한모서리가각각 번 씩중복되기때문입니다. 그럼이번에는꼭짓점은몇번중복되어서세어질까요? 정사면체의꼭짓점의개수 = 정사면체의모서리의개수 --- 2 이렇게해서 관찰 을통하여정사면체의면이 개, 모서리가 개, 꼭짓점이 개라는사실 을 아는것 에서더나아가서왜그렇게되는가를생각해서두개의공식을이끌어내었습니다. 이런 과정 을수학적활동이라고하는것입니다. 이런과정을통해서얻은 결론 의암기는무의미합니다. 교육과정에서중요한부분이라면때가되면배우고, 특히우리현실에서는조금은지겨울정도로반복하여익히게될것입니다. 뿐만아니라이런결론자체는검색하면금방찾을수있는것일뿐입니다. 사실수학적활동은여기서그치는것이아닙니다. 그렇다면? 네, 가능한수준에서 일반 화 하는것입니다. 일반화란이제이런 공식 을만들어보겠다고생각하는것입니다. 정 면체의꼭짓점의개수, 모서리의개수, 면의개수의관계는? 나아가서는 면체의꼭짓점의개수, 모서리의개수, 면의개수의관계는? 수학적활동의가장핵심은이런과정을거치면서 해결해야할문제 를만들어내는것입 니다. 어떤문제는해결될것이고, 어떤문제는해결하지못할것입니다. 심지어어떤문 제는 인류 가아직해결하지못한문제일수도있습니다. 그것이 발전 인것입니다. 여기서한번생각해보기바랍니다. 어떤다면체가있을때그다면체의꼭짓점의개수, 모서리의개수, 면의개수사이에 어떤관계가있는가? 참고로이문제는현대수학에서가장어렵다는 위상수학 에서다루는수준의문제입니 다. 고등학교과정에서는다면체에대한조건을매우제한해야만해결이가능하다고할수 있으며, 이것도교육과정에서는다루지않습니다. 그럼이런의문이있을수있습니다. 수학적활동은어느정도까지나아갈것인가? 제한은없습니다. 스스로문제를만들어내고, 문제를해결하는과정에서지혜가만들어질것입니다. 적절한수준에서유보할것은유보하고, 훗날의과제로남겨둘것은남겨두고, 도전을계속할것은계속하고. 개인적으로는믿지않는일화이긴하지만, 인류역사상가장위대한천재중의한사람으
로평가되는 알버트아인슈타인 은그가 어린이 였을때, 내가빛의속도로달리게되면세상이어떻게보일까? 라는의문을품었다고합니다. 당연히당장에해결할수없었을것입니다. 하지만 성장 해서어린시절부터품었던그의문을해결했고, 그위대한 특수상대성이론 이탄생합니다. 그러니반대로이런문제들을서둘러해결할어떤이유도없습니다. 시험을위한공부를해야하는형편을고려하면교육과정에서는언제어떻게배우는지정도만알면될것이고, 사실그것도알필요가없습니다. 그저학교에서진행되는수업을성실하게따라가면만약시험을위해서해결해야할문제라면때가되면자연스럽게해결되고있을것입니다. 정사면체를만들어서다른몇가지성질을더찾았다면이제그것은여러분에게남겨둡니 다. 우리는이제다시 도전하는 문제로복귀해서문제를해결하기위하여필요한것을더 알아볼차례입니다. 문제를해결하기위해서는문제를읽어나갈때, 제시된수학적용어의성질이중요한것이아니라 정의 ( 약속 ) 가중요할뿐입니다. 문제가무엇을묻고있는가에따라서그정의로부터이끌어내야할성질이어떤것인지를결정할수있기때문입니다. 지금문제에서는정사면체의점, 선, 면의개수의관계는필요하지않습니다. 문제를해결하기위해서는정사면체가갖고있는어떤성질을이끌어내야할것인지는이제주어진용어에대하여약속을알고나서문제를어떻게해결할것인가를생각하는과정에서찾아볼것입니다. (4) 정삼각형의무게중심 삼각형의 무게중심 에대해서는현교과과정에서는중학교수학 2에서배우게되어있습니다. 사실 무게중심 이라는용어는 물리 와연관이되어있습니다. 이주제도생각해볼내용은매우많습니다. 하지만이제는해결해야할문제에제한하고정리된약속만받아들이기로하겠습니다. 삼각형의한꼭짓점과마주보는변의중점을이은선분을중선이라고하고삼각형의세 중선이만나는점을무게중심이라고한다. 선분의중점은선분의길이를 로나누는점입니다. 중점이기도합니다. 사실선분 의무게중심은그 문제에서주어진정사면체상황을이제표현해보면다음과같습니다.
(5) 벡터 벡터는 크기와방향 을갖는어떤수학적개념입니다. 그런데이문제를해결하기위해서 는벡터개념에대한어려운이해를필요로하지않습니다. 이럴경우이해된수준에서문 제를해결하는것으로충분합니다. 벡터 와 가서로수직이다. 아무튼선분 와선분 가수직임을뜻하는것으로보입니다. 졌지만지금의경우에는 수직 이기때문에큰관계는없습니다. 화살표방향이주어 일단이런정도로이해하 고넘어가도록합니다. 만약에이수준의이해로문제해결이잘안된다면다시화살표방 향에대한이해를찾아보면될것입니다. 의최댓값 점 는고정된점이고, 점 는삼각형 내부에있는임의의점입니다. 표현의뜻하는바는선분 의길이라는짐작이가능합니다. 실제로검색해보면 따라서이 는벡터 의크기를나타내는표현임을알수있습니다. 갖는다고했으니그때의 크기 를뜻하는것임도짐작할수있습니다. 벡터란것이크기와방향을 문제가묻고있는것을알기위해서필요한수학용어에대한이해를이정도로충분합니 다. 이제드디어문제를해결해볼차례입니다.
수놀음 에서의수학활동 ( 알파고수학 ) 에서제일먼저권고하는해결방법은? 네. 직접관찰, 조사하는것입니다. 점 와점 는그위치가결정되어있습니다. 즉선분 는결정되어있습니다. 그렇다면우리가할일은간단합니다. 삼각형 안에점하나를가정하고그때선분 와 선분 가수직이되는가를 관찰 하면됩니다. 필요하면각도기나주변에서쉽게찾을수있는 직각 을갖고있는도구를이용하면됩니다. 그렇게해서 (1) 삼각형 안에있는점중에서선분 와선분 가수직이되는점 들 을찾아 보면됩니다. (2) 이제그렇게찾은점들중에서어떨경우에선분 의길이가제일최대가될것인지를찾아보면됩니다. (3) 마지막으로그때선분 의길이는어떻게계산할것인지를생각해보면됩니다. (1)/(2) 번은여러번반복하면서관찰, 측정해보면될것입니다. (3) 은마땅한계산방법을 찾지못한다고해도역시 측정 하면됩니다. 이문제의정답은 입니다. 필요한것은? 수학적재능? 아닙니다. 처음에틀릴수도있습니다. 그러면다시해보면됩니다. 필요한것은오로지끈기와인내일뿐입니다. 그렇게문제를해결하고나서이제관찰, 조사, 측정이아니라다른방법으로 도 문제를해결하는방법을수학적개념과성질을이용하여찾아가면될것입니다. 문제는 관찰, 조사, 측정 을하는과정이없으면그이후의과정은 사상누각 이될가능성만커지는것입니다. 끈기와인내, 그것을가능하게해주는의지가부족하면수학을잘할수없다는것은옳은말입니다. 사실은수학뿐아니라적어도 합리적 이고 이성적 으로생각하고행동을결정해야하는모든분야에서성과를내기는어렵습니다. 하지만 수학적재능 이없으면수학을잘할수없다는것은틀린말입니다. 역사적으로이름을남길만큼 유명한수학자 는수학적재능을필요로할수있습니다. ( 사실은그런수학자도노력파 >>>> 재능파입니다. ) 하지만우리는이사회가필요로하는인간의기본적소양으로써의수학을공부하는것입니다. 그러한수준은 수학적재능 과는전혀관계가없는것입니다. 오늘은여기까지입니다.
< 셋째날 > 이문제를 측정 에의해서해결했다고해도답을맞히는것에성공했다면 세단계 로요 약할수있는과정을거쳐야했을것입니다. 주먹구구식으로선분 의길이의최댓값을 측정 하는것은불가능하기때문입니다. 수학적문제해결능력에서중요한것은이와같이 어떤문제를해결하기위한절차 를계획하는것입니다. 관찰, 조사, 측정을통해서해결할때의 절차 나수학적개념, 성질, 공식의적용에의해서해결할때의 절차 나크게다르지않습니다. 그런 절차 를계획할수있어야 난이도가높은 문제의해결을스스로할수있게됩니다. 문제를해결했다면그절차를정리해보면다음과같을것입니다. (1) 삼각형 안에있는점중에서선분 와선분 가수직이되는점을찾는다. (2) 어떨경우에선분 의길이가제일최대가될것인지를찾는다. (3) 선분 의길이는어떻게계산하거나측정한다. 한단계씩생각해보기로하겠습니다. 직접관찰, 조사, 측정을해보았으면다음의그림을 입체적 으로볼수있을것입니다. 첫번째로중요한것은이것입니다. 이런문제를 공간 도형문제라고합니다. 그런데 공간 도형문제를이제 연습장 에서풀기위해서는 공간지각력 을필요로합니다. 그런데연습장에그려진 공간 도형을보는것만으로는당연히 공간지각력 은발전하지않습니다. 그리고이것은연습장은 평면 이기때문에당연한것입니다. 사실이런이유때문에 평면 에서 공간성 을표현하려면특별한기법들이필요합니다. 그 것은무엇일까요? 네원근법, 명암같은것의표현이그것입니다. 그리고사실이런원근
법과명암은 인간의눈 의착시를이용한것일뿐입니다. 평면에그려진그림임에도불구하고 공간 에놓인도형인것처럼 뇌 가받아들이게만드는. 이런것을이용한재미있는기법은참많습니다. 다시 평면에그려진 정사면체를보겠습니다. 만약 가 로보이지않으면 눈 이라는감각기관은 정확한것 입니다. 그런데평소에정사면체를본 뇌의작용 에의 해서, 또는정삼각형에대한관찰을통해서 임을인식하는것입니다. 마비슷한문제가 정사면체 를소재로하는것이아니라 정육면체 를소재로하고있다면문제의난이도가훨씬낮아졌을것입니다. 왜냐하면 정사면체 보다는 정육면체 에대한관찰경험이훨씬많기때문입니다. 반대로만약이사면에가 정사면체 가아닌단순한사면체라면이번에는문제가훨씬어려웠을것입니다. 다양한사면체에대한관찰경험은매우적을수밖에없기때문입니다. 아 이런문제에서문제풀이의과정에서어떤성질, 어떤관계를찾지못하면수학적개념이 부족하다 고생각하는참으로이상한경향이있습니다. 전혀그렇지않습니다. 관찰, 조사의경험이부족할뿐인것입니다. 문제점을전혀다른곳에서찾고있기때문에, 실제이문제를풀었던수능수험생이보여주는것처럼몇년을공부해도해결을못하는상태를해결하지못하는것입니다. 따라서지금부터설명할모든내용의이해는기본적으로 관찰 하면서이해해가는것입니 다. 언제나그것을바탕으로설명하는 수학적내용 을이해해야비로소자기능력으로만들 어지는것입니다. 이게그것을전제로하여 (1) 단계부터해결해보도록하겠습니다. 우리가찾아야할점들은삼각형 내부에있는점선분 중에서선분 와수직 이되도록하는점들입니다. 이제만들어진정사면체가아니라 평면에그려진 연습장에서 는어떻게찾을까요? 네. 가장기본적인방법은 평면도형 문제로만들어가는것입니다. 왜일까요? 우리가 연습장에서찾아갈수있는최선의방법은 평면도형 의문제를만들어내는것이기때문입 니다. 복잡한이유없습니다. 연습장은 평면 이기때문입니다. 이런이유로 도형 문제를해결하기위해서가장중요한수학적개념은 결정조건 과 위치 관계 라고하는것입니다. 자여기서한가지 정리된표현 을만들어보겠습니다. 공간도형문제를해결하기위해서, 아니도형문제를해결하기위해서는 결정조건 과 위치관계 를먼저생각할수있어야한다. 뭔가그럴듯한표현이지만사실별것아닙니다. 결정조건 이란 도형이결정 되기위해서최소로필요한 조건 이무엇인가, 어떤요소가있으면도형이 결정 되는가하는문제이며, 위치관계 란말그대로도형이어떤 위치관계 에있는가하는것입니다.
공간도형을이루는요소는점, 선, 면이라고했습니다. 따라서결정조건과위치관계는다른것이아니라이요소들의관계를뜻합니다. 우리는정사면체또는나아가서다면체에대하여그 개수 들은한번생각해보았습니다. 그런데그 개수 는다름아니라 결정조건 과 위치관계 를나타내는표현의하나인것입니다. 따라서점, 선, 면의결정조건과위치관계를순차적으로잘배열하면그자체가 완성된기하학공부 가됩니다. 일반적인수준으로확장하면이렇게기하학전체로확장될것이므로우리는일단문제를해결하기위하여필요한부분만생각해보기로하겠습니다. - 평면을결정하는요소는무엇일까요? 다른말로는평면은무엇에의해서결정될까요? - 각의크기를결정하는요소는무엇일까요? 또는각의크기는어떻게약속해야할까요? - 이제공간도형을평면도형문제로만든다고하면그방법을어떻게하면될까요? 우리가해결해야할 과제 는삼각형 내부에있는어떤점을찾아서 과 가 수직이되는가를확인하는것입니다. 이런과제를해결한다는입장에서위에주어진세가지문제에대한답을스스로찾아보길바랍니다. 물론잘안되면, 언제든지 관찰, 조사 를통해서단서를찾고그리고 연습장 에서어떻게할지생각하는것입니다. 무슨수학적개념찾고, 성질찾고하는것이아니라. 그런부분은 용어 에대한약속만검색하는수준이면충분한것입니다. 오늘은여기까지입니다. 이과제를해결하는데서어떤단서나힌트를얻었다면이후의과정과무관하게아마도이문제를끝까지 연습장 에서훌륭하게해결할수도있을것입니다. 문제해결을서두를필요가없지만이런과정에서뭔가번뜩이는것이있다면 내친김 에스스로끝까지해결해보면될것입니다.
< 넷째날 > 첫단계의과제부터해결해보겠습니다. 점 는삼각형 의내부에있는점입니다. 일단아무점이나하나결정해봅니다. 내가확인할것은그때선분 와선분 가수 직이되는가하는것입니다. 어떻게? 측정하면되지만이제는 연습장 에서확인할수있습니다. 그렇게하기위해서는? 네. 평면을생각해야합니다. 다음은평면의 결정조건 입니다. (1) 서로다른세점은한평면을결정한다. (2) 한직선과그직선위에있지않은한점은평면을결정한다. (3) 서로평행한두직선은한평면을결정한다. (4) 서로만나는두직선은한평면을결정한다. 참고로이 결정조건 은 (1) 번하나로줄일수있습니다. 그럼서로다른두점은하나의직선을 결정 합니다. 따라서 (1) 과직선의결정조건을이용하면 (2) 번이됩니다. 유클리드기하학에서가장유명한공리는 평행선공리 라고하는것일것입니다. (2) 번과유클리드의평행선공리를이용하면 (3)/(4) 가됩니다. ( 하지만우리현행교과과정에서는평면의결정조건은위와같이 가지로배우게되어있습니다. ) 아무튼이결정조건중에무엇을이용하여 평면도형, 즉 연습장 에서생각할수있는문 제로만들수있을까요? 당연히 (2) 번입니다. 왜냐하면한직선 ( 선분 ) 과직선밖 의점 에의해서한평면이결정되기때문입니다. 그런데삼각형 의내부에어떤점을찾아야가장문제를 단순 하게만들수있을까 요? 다르게말하면평면 가어떤평면일때문제가가장 간단 해질까요? 네. 그렇 습니다. 평면 가평면 와같을때일것입니다. 평면, 즉삼각형
로결정되는평면이제일관찰, 계산하기가쉬울것이기때문입니다. 그렇다면점 가어 디에있으면될까요? 네. 점 가선분 위에있으면됩니다. 이제우리는연습장에드디어문제해결의단서가될 평면도형 을그릴수있게되었습 니다. 이때유의할점이있습니다. 이평면도형은공간도형의일부입니다. 따라서평면도형과공간도형을항상비교하면서필요한관찰과계산을할수있어야합니다. 그림에서우리가 찾아야할것은이제 평면도형 에서선분 위에있는점중에서선분 와 가수 직이되는 점의위치를찾는것입니다. 아마도어렵지않게찾을수있을것입니다. 기본적으로는역시결정조건과위치관계를 이용하는것입니다. 점 를지나고선분 에수직인직선을그립니다. 이직선과선분 가만나는점을찾으면그점이 가됩니다. 이렇게해서삼각형 내부에서선분 와수직이되도록하는특별한점 를찾 는것이것이삼각형 내부에서선분 와수직이되도록하는 모든 점 를찾 기위한과정의첫번째입니다. 주어진조건을만족하는특별한점을찾고그점을이용하여다른점을찾아나간다 사실이것은기하문제를해결하는방법에그치는것이아니라수학문제를해결하는가장기본적인방법의하나입니다. 수놀음 에서하는수학활동에서가장일반적인문제해결방법이될것이며, 사실시험에서특히난이도가높은문제를해결하기위해서반드시훈련해야할핵심적인내용입니다. 이제삼각형 내부에서선분 와선분 가수직이되도록하는점 가더있 는지살펴볼차례입니다. 그리고더있다면그점들은어디에있는지를찾아야할것입니다. 어떻게? 역시결정조건과위치관계를이용하는것입니다. 선분 위에있는점은점 를지나면서선분 에수직이되는직선을그리고그
직선과선분 가만나는점을찾았습니다. 그럼이번에는? 네. 점 를지나면서선분 에수직이되는평면을그리고그평면과삼각형 가 만나는직선을찾으면됩니다. 그리고그직선위의점에서삼각형 의내부에있는점을찾으면됩니다. 관찰, 조사를해본경우라면이런경우 직관적 으로명확하다고합니다. 물론여기에현교과과정에서는고등학교과정에서배우는 직선과평면의수직을판정하는수학적방법 이연관되어있습니다. 하지만굳이이런내용을모른다고해도직선과평면이 수직 을이루는위치관계를쉽게짐작할수있고이것으로문제를해결하는데전혀지장이없습니다. 오늘은여기까지입니다. 이제다음단계로해결해야할문제는어떤경우에선분 의 길이가최대가될것인가를찾는것입니다. 문제를해결하는원칙은언제나같습니다. 결정조건과위치관계를이용하여평면도형문제로만들어간다.
< 다섯째날 > 삼각형 내부에서선분 가선분 와수직이되도록하는점 는그림과같이 점 을지나면서선분 에수직이되는평면을생각하고그평면과삼각형 가만 나는곳, 즉그림에서선분 위에점 가있으면된다는것을알았습니다. 이제그선분위에어느위치에있을때선분 의길이가가장클것인지를생각하면 됩니다. 직관적 으로명확하게점 가선분 또는선분 와만나는위치 ( 그림에서 는 또는 ) 임을알수있을것입니다. 그리고정사면체를관찰해보았다면 점의위치에있을때와 점의위치에있을때선분 의길이와선분 의길이가같다는사실도알수있을것입니다. 좀더나아가면 평면 를기준으로할때좌우가완전히대칭이라는사실을알수있을것입니다. 이제남은것은 답 을구하는일, 즉선분 의길이를 계산 하는것입니다. 여기서한가지이런의문이생길수는있습니다. 직관적 으로선분 의길이가 점 의위치에있을때가장길것이라고알수있는데, 그것을어떻게 확신 할수있는것인지. 정사면체에서평면 를기준으로할때좌우가완전히대칭이라는것을어떻게 확신 할수있는지. 답이제시되어있는경우라면 답 을확인해보면됩니다. 맞았다면 직관 이맞을확률이매우높다고할수있습니다. 물론 답 이없다면다양한방법으로구한답이 맞는지 확인할수있을것이며그것으로문제를해결하는데충분한것입니다. 당연히수학은 여기에그치는것 이아닙니다. 누군가 증명 해보라고하면 증명 할수
있어야합니다. 과학도여기에그치는것이아닙니다. 역시누군가 증명 해보라고하면 증명 할수있어야합니다. 그런데여기서 수학 과 과학 은결정적인차이를갖고있습니 다. 과학 은 측정 해서증명하면됩니다. 이문제의답은 입니다. 따라서측정에의해서 임을보이면됩니다. 그런데누군가가계속문제를제기합니다. 측정한자에는 눈금 이있는데, 정확하게 라고할수있냐고? 그럼더정밀한자로측정하면됩니다. 그런데또문제를제기합니다. 어떤자로눈금의기본단위가있습니다. 따라서이런측정방법으로는 근삿값 이상의증거는제시할수없습니다. 따라서 과학적 으로의미있는 계산 은기본적으로 근삿값 입니다. 측정의단위를계속줄여도계속문제를제기하면, 이번에는 답이틀렸음 을증명할책임이 문제를제기하는사람 에게있습니다. 즉그사람이 답이틀렸음 을 측정 에의해서제시할수있어야합니다. 그런데 수학 은다릅니다. 수학 에서는반대로아무리정밀한자로측정해서 답 이맞다고주장해도, 문제를제기하는사람이그래도틀릴수있는것아닌가라고하면그사람이옳다고하는것이 수학 입니다. 이런의미에서수학적계산은그자체로 추상적 인것입니다. 어떤의미에서수학자는욕심이정말많은사람들입니다. 아무튼따라서수학적으로는 측정해보니까 라는것은 증명 이되지않습니다. 그렇다면시험에서는? 교과과정에달려있습니다. 교과과정에서배운내용을이용하여 증명 이가능하다면 증명 할수있어야합니다. 교과과정에서 직관적으로명확하므로일 단받아들인다. 고가정하면 직관적으로 답을맞히면됩니다. 그렇다면시험을떠나서학문적으로생각하면? 이번에는자신이현재가능한수준에달려있습니다. 결국 증명 해야하지만, 지금당장모든것을 증명 해야하는것이아닙니다. 바꾸어말하면어떤문제를해결할때, 모든것을완벽하게설명하고 100% 확실성을갖추어야해결할수있는것이아닙니다. 만약 수학의신 이존재한다면 수학의신 은 100% 완벽하게수학문제를해결할수있을 까요? 수학의신 이라면그런수준이라야되는것아닌가? 이런생각을할수있을것입 니다. 그런데놀랍게도 수학의신 이있다며그는이렇게말해야합니다. 수학에서는 100% 확실한것은있을수없다. 나도잘모르는 전문적인내용 이기는하고, 좀비약이있는면도있지만이것이놀랍다고 하는이유는이 명제 가수학적으로증명이되어있다는사실입니다. 수학적 체계 는완 벽할수없다. 는것은이미 수학적으로증명된참인명제 입니다. 사실또놀랍게도 과학적 으로도 100% 확실한측정은있을수없다는것이증명되어있 습니다. 이두가지의증명에대해서는나도이이상은잘모릅니다. 본격적으로공부해 본적은없으니까. 링크하는글을정말로부담없이읽어보는정도하기바랍니다.
다시문제로돌아오면, 선분 의길이가 가선분 ( 대칭적이므로이제이렇게표 현합니다 ) 에있어야한다는것은 증명가능 합니다. 교과과정으로는삼각형의 결정조건 으로증명할수있으며, 계산 에의한증명은유명한피타고라스정리라는것을이용하면됩니다. 우선삼각형의결정조건부터생각해보기로하겠습니다. < 삼각형의결정조건 > (1) 세변의길이가주어지면삼각형은유일하게결정된다. (2) 두변의길이가주어지고그끼인각이주어지면삼각형은유일하게결정된다. (3) 한변의길이가주어지고그양끝각이주어지면삼각형은유일하게결정된다. 이것은교과과정의표현이고참고로유클리드는좀다르게설명을합니다. ( 우리가교과과정에서배우는수학의대부분, 특히기하학은유클리드의 원론 이라는책의내용에서거의벗어나는것이없습니다. ) 유클리드는위세가지결정조건중에 (2) 번을먼저설명하고, 뒤를이어다른결정조건을설명합니다. 왜냐하면 (2) 번의조건만이 더이상의조건 을필요로하지않기때문입니다. ( 물론길이와각은당연히양수입니다. 끼인각등에대한용어는그냥찾아보면될것입니다. ) 무슨말인가하면, (2) 번은그림으로그려보면다음과같습니다. 어떤경우에도이자체로삼각형이결정됩니다. 그런데 (1) 번과 (3) 번은삼각형이 만들어지지않는경우 가생깁니다. 하지만이런수준까지는 교과과정 에포함시키지않고있습니다. (1) 번과 (3) 번에서삼각형이만들어지는경우는다음과같을것입니다. (1) 번결정조건에서삼각형이만들어지는경우
세변의길이만으로는삼각형이결정되지않고 두변의길이의합 한변의길이 이어 야합니다. (2) 번결정조건에서삼각형이만들어지는경우 역시한변의길이와양끝각만으로는삼각형이결정되지않고양끝각의합 이어야합니다. 이삼각형의 결정조건 은교과과정에서는 삼각형의합동 으로배우게되어있습니다. 그리고여기에서우리가 증명 해야할선분 길이가최대가될때를이끌어낼수있습니다. 그림에서알수있는것처럼선분 와선분 가수직일때선분 가길어질수록 선분 도길어집니다. 정사면체에서보면선분 와점 에의해서삼각형 가
결정됩니다. 그리고이상황을한평면에표현하면위와같을것입니다. ( 정사면체에서는 점의위치에따라서모두다른평면이됩니다. 하지만삼각형의결정조건에따라서각각 의삼각형을모두한평면위에나타낼수있습니다. ) 물론 계산 을하려면이제더알아야할것이있습니다. 그런데중요한것은남은 계산 은교과과정에서배우게되면절대 어려운계산 이아니라는점입니다. 문제해결에마지막과정이남아있지만여기까지이르게되면 문제는거의다풀었다 고해도과장은아니라고할수있습니다. 오늘은여기까지입니다. 마지막남은 계산과정 을어떻게할것인지에대해서는교과과정에서배우는 계산방법 을이용하면됩니다. 중학생은중학과정에서배우는방법으로, 고등학생은고등학생나름대로. 이제마지막남은 답을구하는계산 을 아는계산방법 을이용하여해보기바랍니다.
< 여섯번째날 > 이제문제를해결하기위해서남은것은 계산하는것 입니다. 그런데여기서우선중요하 게알아야할것이있습니다. (1) 계산 방법 은교과과정에따라달라집니다. 따라서이문제의 답을구하기위해서 는교과과정에따른방법으로하는것이좋습니다. 예를들어서이문제의경우에최소한 삼각형의닮음 에대한이해, 피타고라스정리등은알아야 답 을구할수있을것입니다. 그렇다면이런내용을배우지않은, 예를들면중학교 1 학년은? 네. 측정 하여답 을구하면됩니다. 또는 컴퓨터의도움 을얻어서답을구해도됩니다. 필요한공식 을생각해보고 컴퓨터 에서검색하면됩니다. (2) 계산 방법 을스스로만들어갈수는있습니다. 그런데이것은매우 어려운공부 입니다. 만약이런공부가재미있고, 예를들어 10번정도시도해서 1번정도만성공할수있어도, 수학적재능이매우뛰어난경우라고할수있습니다. 그러면자기자신과국가를위해서도 수학이나물리 같은분야에관심을갖는것이좋다고할것입니다. 계산 방법 을스스로만들어간다는것은수학적개념과성질을스스로추론할수있다는것을의미하기때문입니다. 그런데이계산 방법 을아무것도없는백지상태에서만들어가는것은아닙니다. 현재의교과과정에바탕으로두고, 그다음부터만들어가면됩니다. 따라서평범한사람은절대불가능한수준은또아닙니다. 특히교과과정자체가이런점을고려하여만들어진것입니다. (3) 문제를해결하는방법도계산하는방법도당연히여러가지가있습니다. 어떤방법은좋고, 어떤방법은바람직하다고이야기할수없습니다. 다만유념할것은있습니다. 만약시험을위한 공부 라면 시험의출제원칙과기준 이있습니다. 그것을 기준 으로해서여러가지방법의비교검토는가능할것입니다. 여기서는컴퓨터에서검색하면서 계산 을마무리해볼것입니다. 이런경우에교과과정에따라서배운사람도있고, 아닌사람도있을수있습니다. 배운사람은 검색 하기전에그런방법을사용할수있어야한다고생각하면될것이며, 앞으로배울사람은계산방법에대한이해는 나중에때가되면배운다. 고생각하면될것입니다.
우리가계산해야할것은선분 의길이입니다. 역시기본은언제나 평면도형 문제라는것입니다. 물론 평면도형 문제로만들지않고 계산 하는방법은있습니다. 공간좌표라고하는것을이용하는방법입니다. 그런데 수능 을준비하는수험생이만약에이문제를 공간좌표 를이용하여답을맞히는것에만족하고있다면그것은 수학공부 의관점에서도바람직하지않고, 수능시험 을대비하는관점에서도바람직하지않습니다. 사실이문제를해결하는방법으로 공간좌표 를이용할수도있고, 수능수학을가르치는분들이그런방법도알아야한다고이야기할수는있습니다. 하지만이문제를공간좌표를이용하여해결한다는것은수학적으로는오히려 공간좌표 에대한개념이충분하지못한것이고, 따라서 좌표 개념에대한발전성, 창의성을떨어뜨리는것일뿐이고 시험 의관점에서는 이문제만맞히겠다. 즉다른문제는틀려도상관없다고하는것이상은아닙니다. 여기서는이부분은 공간좌표 에대한기본개념만링크하는수준에서그치겠습니다. 왜선분 의길이를계산하는것을 공간좌표 를이용하는것이바람직하지않은지 ( 수학적으로나시험을준비하는관점에서나 ) 생각해보기바랍니다. 평면벡터 를이용하여계산하는방법은있습니다. 아마도수능문제를출제한사람은이런의도를갖고출제했을것입니다. 따라서사실이문제를소재로 수능시험 을위한공부를한다면다음의문제요소는반드시파악해야합니다. (1) 왜삼각형의무게중심을 라고했을까? (2) 주어진 수직 이라는조건은벡터개념에서는어떻게나타날까? (3) 마지막으로남은계산을위해서는평면벡터의어떤성질을적용하면될까? 예를들어 (1) 번의요소에대한설명이없이벡터연산을하고답을구하는데만족하고있 으면좀극단적으로말하면 기출문제분석 이라고할수는없습니다.
그런데현재수험생이아니라면이런계산방법은알수가없으며, 또이런수준의계산 방법을 생각해내는것 은불가능에가까울것입니다. 완전히새로운수학적개념을배워야 하는부분이기때문입니다. 이제다시공간좌표, 벡터와같은개념을모르는조건에서계산방법을생각해보기로하겠 습니다. 우선 는정삼각형이며점 는선분 의중점입니다. 점 는선분 위에있 는데정확하게어느위치에있는지알아야비로고선분 의길이를계산할수있을것입 니다. 삼각형의결정조건을생각해보면됩니다. 두변의길이와사잇각이주어지면삼각형이결정된다. 즉지금변 의길이는결정되어있습니다. 그리고각 의크기도결정되어있습니다. 따라서선분 위의점 의위치가 결정 되면삼각형 가결정되고이말의뜻은선분 의길이가결정된다는뜻입니다. 그럼어떤계산방법을찾아야할까요? (1) 점의위치가어디인지를알아내려면어떻게해야할까? (2) 삼각형의두변의길이와사잇각이주어지면다른변의길이를구하는계산방법이있을까? 즉문제에서선분 의길이, 선분 의길이, 그리고각 로선분 의길이를나타내는방법이있을까? 우선우리는 (1) 부터해결하도록하겠습니다. 왜냐하면그래야 (2) 에대해서생각해보고
그것이힘들거나하면다른방법도찾아볼수있기때문입니다. 점의위치를 결정 하려면 점이무엇인지를알아야합니다. 그것은사면체에서문제에서주어진무게중심 를지나고선분 에수직인평면과삼각형 를포함한평면이만나서만든 교선 과선분 의교점이었습니다. 따라서이것을순차적으로적용하기만하면됩니다. 우선삼각형 에서시작합니다. 주의할점은이삼각형은정삼각형이아니라는것입 니다. 왜냐하면선분 는정삼각형 의높이이기때문입니다. 삼각형 는정 삼각형입니다. 제일먼저찾을것은정삼각형의높이를구하는방법입니다. 교과과정에따라서여기서더진전이안될수있습니다. 왜냐하면한변의길이가 인정삼각형의 높이 는무리수로나타나기때문입니다. 따라서 무리수 를아직배우지않은경우에는이정도에서멈추면됩니다. 물론앞에서말한것처럼 무리수 에대한공부를하면서해결할수도있지만이렇게되면마치영어단어를 영영사전 으로찾아서공부하는데, 계속영영사전을찾아야하는상황과비슷한것입니다. 문제를해결하는과정에서 유보할것 을유보해두는것은매우중요합니다. 그런데중요한것은 여기서멈춘다고해도 지금까지의과정이더욱중요한다는것입니다. 문제를해결하는과정전체를계획하고, 단계를만들고하는것이중요하며계산방법은때가되면배울수있기때문입니다. 무리수 라는수학개념을아는것은문제해결능력의매우작은일부분에불과하기때문입니다. 실제로수능시험에서이문제를틀리는이유는 무리수 를몰라서가아닙니다. 이제이어지는과정에대해서는찾아야할것들을순서대로나열하는것까지하겠습니다. 교교과정에따라서적절한곳에서유보해두면될것입니다.
삼각형 에서 (1) 정삼각형의높이를구하는방법을찾아서선분 의길이를구한다. (2) 무게중심 가선분 의어디에있는지를삼각형의무게중심의성질을찾아서구한다. (3) 임을이용하여삼각형 가이등변삼각형임을확인한다. (4) 점 이선분 의어디에있는지를구하기위해서는어떤성질을찾아야하는지생각해본다. (5) 이제선분 의길이를구한다. 삼각형 에서 (1) 선분 의길이과선분 의길이가어떤관계를갖는지를생각해본다. (2) 이관계를찾기위해서삼각형에대한여러가지성질을찾아본다. (3) 삼각형의성질중에 닮음 에대한내용을적용하여 점의위치를결정해본다. 이런과정을거치면이제처음의문제로돌아올수있습니다. 교과과정으로는중학수학 3 까지정도공부했다면충분히가능한것입니다. 수개념으로 무리수 를요구하고있지만 d 부분을제외하면도형자체의성질을찾는과정은검색하면어느정도찾을수있습니다. 거듭강조하지만중요한것은 계산하여답 을아는것이절대아닙니다. 이렇게스스로문제해결을위해서무엇을찾아야하며, 어떤 작은문제 들을순서대로해결해야하는지를시행착오를거치면서찾는것이중요한것입니다. 이제마지막으로남은과정에서역시생각해볼것을살펴보기로하겠습니다. 선분 위의 점의위치를찾았다면이제두변의길이와사잇각으로선분 의길이 를구할수있다면답을구할수있음을알수있습니다.
그런데이계산방법은 코사인법칙 이라고하며, 현재의교육과정에서는고등학교까지는 배우지않습니다. 그럼계산할수없는가? 당연히아닙니다. 항상아는것을이용하여 계산하면됩니다. 예를들어그림에서보는것처럼선분 의길이는사각형 의대각선입니다. 그렇다면이런사각형의특징은무엇이고, 대각선길이를구할수있는가를생각해보면될것입니다. 또다른방법으로는이번에는선분 의길이를직각삼각형 의빗변의길이라고할수도있습니다. 그렇다면직각삼각형의빗변의길이를구하는방법을찾아볼수도있습니다. 이제남은것은여러분에게맡겨둡니다. XO학습법의관점에서한가지만더말씀드립니다. 이문제의경우에중학교 3학년까지는마지막계산과정에서는어디선가유보해두면 (XXX) 됩니다. 그런데중학교 3학년이상이라면사실배운것을이용하면충분히해결할수있습니다. 물론시험문제라고생각하면해결하기어렵습니다. 문제를해결하는데충분한시간이필요하기때문입니다. 그런데어떤중학교 3학년학생이예를들어하루에 10분정도씩투자해서일주일정도에만약이문제를해결했다면아마도그학생은이런한번의경험으로문제해결능력의근본적인발전의계기를만들수있을것입니다. 이와같을경험을몇번만해도 수능 에서이문제를틀리는일은없을것이라고확신을갖고이야기할수있습니다. 그리고사실시험을떠나서는이렇게공부해갈때만 수학 을공부하는이유를찾아갈수있을것입니다. 이문제는수능문제에서가장난이도가높았던문항입니다. 시험을위해서는결국수능시험을볼때풀수있으면됩니다. 그렇다면중학교 3학년이면극단적으로 2년정도안에해결하면됩니다. 반대로시험이아니라면문제를해결하는것을고민하는과정이훨씬중요한것입니다. 당장해결해야할시험문제도아니므로해볼수있는정도까지해보는것자체가 바른수학공부 인것입니다. 한편예를들어수능을준비하는수험생이반대로이문제를어찌맞힌경우라고한다면 예를들어문제를좀더일반화해보거나하는 맞힌문제의학습 이중요합니다. 그럴때만 또 이문제가아닌앞으로출제될다른문제 를맞힐수있게되는것입니다.