퍼즐로떠나는논리여행 논리적사고개발을위한퍼즐활동지 시에르핀스키피라미드 (Multy Vertex-Sierpinski Pyramid)
학습개요 단원 : 규칙성과프랙탈 학습목표 : 프랙탈의정의와성질에대해알아본다. 지도상의유의점 1. 주변에서흔히볼수있는자연현상을통해프랙탈의성질을알아본다. 2. 간단한프랙탈도형들을직접그려보게한다. 3. 실생활에서프랙탈의예를찾아보게한다. 사용교구/ 준비물 : 멀티버텍재료, 활동지 학습조직 : 개인또는조별활동 학습활동 학습단계 교수-학습활동내용시간비고 도입 1. 2. 규칙찾기 프랙탈이론 15 분 활동 1 활동 2 3. 칸토어의먼지와코흐눈송이 활동 3 4. 시에르핀스키양탄자와멩거스폰지 활동 4 전개 5. 시에르핀스키삼각형 30 분 활동 5 6. 시에르핀스키피라미드 활동 6 7. 끝없이더하면얼마가될까? 활동 7 8. 시에르핀스키피라미드만들기 30 분 활동 8 정리 9. 정사면체의개수 10 분 활동 9 10. 프랙탈도형응용문제 30 분 활동 10 참고 멀티버텍워크북
# 활동 1 규칙찾기 문제 1. 다음표에숨어있는규칙을찾아빈칸에들어갈수를알맞게넣고물음에답하시오. 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 Q) 와 사이에어떤규칙이있습니까? 1 2 3 4 5 6 7 1 Q) 와 사이에어떤규칙이있습니까? 문제 2. 공을다음과같은규칙으로 6 번째줄까지배열하여삼각형모양을만들려고합니다. 물음에답하시오. Q) 위의그림은어떤규칙으로공을배열한것입니까? Q) 6 번째줄에필요한공의개수는몇개일까요? Q) 첫번째줄부터마지막줄까지사용된공의개수는총몇개입니까? 활동 3. 공을다음과같은규칙으로배열하여보다큰정사각형을만들어가고있습니다. 물음에답하시오. Q) 5 번째모양에필요한공의개수는몇개일까요? Q) 8 번째모양까지만들려고할때, 필요한공의개수는모두몇개입니까?
# 활동 2 프랙탈(Fractal) 이란? 구름이나번개, 나뭇가지, 산맥의형태, 뇌의주름, 동물의혈관구조등우리를둘러싸고있는자연은복잡하고불규칙한 모양들로가득합니다. 이러한자연계에서일어나는여러가지현상들을연구하는것은대단히복잡한것이어서, 가령날 씨변화만보더라도기온, 기압, 습도, 구름의양, 바람, 수륙의분포, 도시화정도등아주많은것들을고려해야만합니 다. 그러므로 100% 정확한일기예보란인간의힘으로는계산할수가없는것입니다. 이처럼인간이살아가는세계는복잡한혼돈의세계로서흔히 카오스 (chaos) 라고합니다. 하지만이토록무질서한혼돈 의세계에도일정한기본법칙은존재하고있습니다. 불규칙해보이는자연속에규칙성이자리잡고있다는것을맨처음 확인한사람은수학자만델브로트박사였는데그는이혼돈의세계를풀수있는단서로 프랙탈이론' 을제시했습니다. 프랙탈이란전체를부분으로쪼갰을때부분안에전체의모습이담겨져있는기하학적도형을의미하는말로프랙탈도 형은 ' 자기유사성 (Self-Similarity)' 과 ' 순환성 (Recursiveness)' 이라는두가지속성을가지고설명할수있습니다. 자기유사성이란도형의일부분이전체의모습과닮아있는것을말하며, 순환성이란도형을계속해서확대하여도부분 속에전체가들어있는구조가무한히반복된다는것을의미합니다. 즉, 어떤구조안에같은구조가무한히들어있다는개념을바탕으로단순한구조가끊임없이반복되면서복잡하고묘한 전체구조를만드는것을바로프랙탈이라고합니다. 프랑스의수학자만델브로트(Benoit B. mandelbrot) 박사는 1975 년자신의책제목을생각하던중, 아들의라틴어사전에서 부서지 다 라는뜻의동사 frangere' 에서파생된형용사 fractus 를발견하고는 fractal 을생각해냈다고합니다. 프랙탈이론은리아스식해안선, 산이나구름의울퉁불퉁한모양, 번개, 나무의가지, 양치식물의잎이나꽃양배추의모 양, 동물의혈관분포형태등과같이자연계의복잡한자기유사적도형을연구대상으로삼고있는데이러한자기유사적 도형은미세한구조로스스로를끊임없이복제해나가는기하학적도형으로고전적인기하학에서의 1 차원, 2 차원, 3차원 등과같은정수차원이아닌 프랙탈차원 이라고부르는비( 非 ) 정수적차원을갖고있습니다. 현재프랙탈이응용되는분야는자연현상의연구에국한되지않고여러분야에걸쳐지속적으로확대대고있어경제학에 서는가격변동이나소득분포등과같은경제현상을설명하는데, 공학에서는소음이발생하는현상을분석하는데, 과학에서 는브라운운동과같이불규칙한입자의운동을설명하거나은하의분포를설명하는데프랙탈이론이이용됩니다. 또한 미술에서도프랙탈아트(fractal art) 라고하는프랙탈을이용한새로운디자인을개발하고있습니다. 우주만물들이어쩌면 자기유사성 과 순환성 이라는프랙탈이론의단순한원리로생겨났을지도모릅니다. 원자핵주위에 전자가도는모습은태양주위를공전하고있는행성들의모습과너무나닮아있습니다. 인간도마찬가지입니다. 인간의몸 - 작은세포속에들어있는 DNA 안에는그사람에관한모든정보가다들어있다고합니다. 즉, 작은부분속에전체가 들어있는것입니다. 그뿐만아니라자식은부모를닮으며( 자기유사성) 성장하여다시후손을만들고( 순환성)... 어쩌면우 리우주전체가영화 맨인블랙 에서처럼목걸이에박힌작은보석안에담겨진세상일지도모를일입니다.
# 활동 3 프랙탈의기본적인특성은자기유사성 (self-similarity) 과반복성 (iteration) 입니다. 자기유사성이란어느일부분이전체와같 은모양으로되어있는성질을뜻하고반복성이란어떤과정이계속해서되풀이되는것을의미합니다. 프랙탈의이러한특징들을몇가지유명한프랙탈모형을통해확인해보도록하겠습니다. 칸토어집합 (Cantor set) 3단계 칸토어의먼지(cantor dust) 라고도하는이프랙탈은주어진선분을삼등분하여각단계에서가운데의선분을제거한것 입니다. 이과정을무한히반복해가면처음의선분은무수히많은 ' 먼지(dust)' 들의집합이됩니다. 즉, 칸토어집합에는 무한히많은점이있지만그길이는 0 이됩니다. 코흐눈송이 (Koch snowflake) 스웨덴의수학자코흐(Helge von Koch) 에의해고안된이프랙탈은그의이름을따서 ' 코흐눈송이(Koch snowflake)' 라 고합니다. 이프랙탈은처음에정삼각형으로부터시작됩니다. 각단계마다정삼각형의세변을각각삼등분한후가운데 의선분을한변으로하는정삼각형의나머지두변을그려주고가운데선분은제거합니다. 이과정을무한히반복하면코 흐눈송이가됩니다. Purina Dog Chow 'Purina Dog Chow' 라는이름은이프랙탈의 1 단계모양과같은모양의상표마크를가진 Ralston Purina Company 라는 동물사료회사로부터유래된것입니다. 내부가채워진정사각형에서시작하여정사각형의각변을삼등분해서 9개의작은정사각형으로나눈후구석의 4개와가 운데의정사각형을제외하고변쪽의나머지 4 개를제거합니다. 이러한과정을무한히반복합니다.
# 활동 4 시에르핀스키양탄자 (Sierpinski carpet) 3단계 시에르핀스키의양탄자라고불리는이프랙탈은 Purina Dog Chow와마찬가지로내부가채워진정사각형에서시작합니 다. 정사각형의각변을 3등분해서 9 개의작은정사각형으로분리한후정가운데있는한개의정사각형을제거합니다. 이러한과정을무한히반복해가면사각형의넓이는 0 에가까워지고( 수렴) 둘레의길이는무한대가됩니다( 발산). 멩거스폰지 (Menger sponge) 3단계 멩거스폰지는시에르핀스키양탄자를 3차원으로확장시킨개념으로각면은모두합동인시에르핀스키양탄자입니다. 멩거스폰지는다음과같은순서로만들어집니다. 1. 속이채워진정육면체한개로시작한다. 2. 정육면체를 x, y, z축세방향에서똑같이 3등분하여작은정육면체 27 개로나눈다. 3. 27 개로나뉜정육면체조각중에서중심에있는조각과각면의가운데에있는조각을제거한다. 4. 남은정육면체들에대하여 2번과 3 번과정을반복한다. 이와같은과정을무한히반복하면멩거스폰지가됩니다. 멩거스폰지의부피는 0이며겉넓이는무한대가됩니다. 가장작은부피안에가장큰면적을확보하는방법이바로멩거스폰지의원리인것입니다. 단계별정육면체의개수 단계 1 20 400 8000 단계별정육면체의한변의길이 단계 ( 정육면체의한변의길이는전단계의 1/3 이됩니다.)
# 활동 5 시에르핀스키삼각형 (Sierpinski triangle) 3단계 시에르핀스키삼각형또는시에르핀스키개스킷(gasket) 이라고불리는이프랙탈은시에르핀스키양탄자와마찬가지로 1917 년폴란드의수학자시에르핀스키(Wacław Sierpiński) 가만든것으로다음과같은순서에따라만들어집니다. 1. 내부가채워진정삼각형을그린다. 2. 세변의중점을연결한선분으로잘라작은정삼각형 4 개로분리한다. 3. 가운데있는정삼각형을제거해서 3 개의정삼각형만남긴다. 4. 남아있는 3개의정삼각형들에서 2 번, 3 번의과정을되풀이한다. 이러한과정을무한히반복하면평면상에점들의집합이나타나는데이것이바로시에르핀스키삼각형입니다. 단계별삼각형의개수 단계 1 3 9 27 단계별삼각형의한변의길이 단계 ( 삼각형의한변의길이는전단계의절반이됩니다.) 단계별삼각형의넓이 단계 ( 삼각형넓이는전단계넓이의 이됩니다.) 시에르핀스키양탄자의경우와마찬가지로시에르핀스키삼각형의넓이는 ( 참고 1넓이= lim 2길이 = lim ) 0이며길이의합은무한대가됩니다.
# 활동 6 시에르핀스키피라미드 (Sierpinski Triangle in 3 Dimensions) 시에르핀스키양탄자를 3차원으로확장시키면멩거스폰지가되는것과비슷하게시에르핀스키삼각형을 3차원으로확장 시키면시에르핀스키피라미드를얻을수있습니다. 시에르핀스키피라미드의각면은모두합동인시에르핀스키삼각형 입니다. 1. 속이채워진정사면체로부터시작한다. 2. 정사면체의각모서리의중점을연결하였을때생기는정팔면체를제거한다. 3. 남은 4개의정사면체에대하여 2 번과정을반복한다. 이과정을무한히반복했을때생기는프랙탈형태의입체도형이시에르핀스키피라미드입니다. 시에르핀스키피라미드도 멩거스폰지와마찬가지로부피는 0 이며겉넓이는무한대가됩니다. 단계별정사면체의개수 단계 1 4 16 64 단계별정사면체의한변의길이 단계 ( 정사면체의한변의길이는전단계의절반이됩니다.)
# 활동 7 끝없어더하면얼마가될까? 다음과같이 20에서시작하여차례로 2 를나눠가는규칙이있는수열을생각해봅시다. 20, 10, 5, 2.5, 1.25, 이수열의첫번째수 20부터시작하여제2 항, 제3 항, 을무한히더해나가면얼마가될까요? 20 + 10 + 5 + 2.5 + 1.25 + 어떻게해서끝없이더해나가는식을계산할수있을까요? 이문제를다음과같이생각해봅시다. 넓이가 20 인직사각형이있습니다. 이직사각형을반으로자르면넓이가 10 인직사각형이됩니다. 반으로잘린직사각형조각을다시반으로자르면넓이가 5 가됩니다. 이과정을무한히반복하면사각형의넓이는 2.5, 1.25, 로계속하여반씩줄게됩니다. 넓이가 20이었던원래의직사각형으로부터계속해서반으로잘려나간사각형조각들을모아붙여주면다음그림과같이 처음의직사각형과똑같은크기의직사각형이됩니다. 따라서 20 + 10 + 5 + 2.5 + 1.25+ = 40 이됩니다.
# 활동 8 시에르핀스키피라미드만들기 관찰 / 분석 시에르핀스키피라미드는한개의정사면체로부터시작하여각단계마다정사면체의모서리의중점을연결했 을때생기는정팔면체를제거하는과정을반복함으로서만들어지는프랙탈도형입니다. 하지만실제로그런방법으로는시에르핀스키피라미드를만들수없기때문에정반대로의과정으로시에르핀스키피라미드를만들어야합니다. 따라서같은크기의정사면체를꼭지점끼리계속해서연결해가며만듭니다. 1. 멀티버텍으로정사면체만들기 다기능연결체사용방법 꺾는방법 3-way 4-way 5-way 6-way 2. 정사면체만들기
멀티버텍을이용하여다음과같은모형의시에르핀스키피라미드를만들고물음에답하시오. 1. 이모형은몇단계의시에르핀스키피라미드입니까? 2. 3방향연결체와 6 방향연결체는각각어떤부분을연결하는데사용되었는지설명하시오. 3 방향연결체 : 6 방향연결체 : 3. 시에르핀스키피라미드모형을만드는데사용되는재료의개수를조사하여다음표를완성하시오. 시에르핀스키 피라미드 막대의개수 0 단계 ( 정사면체) 6개 단계 3-way 6-way 연결체 연결체 4개 0개 막대, 3-way 연결체, 6-way 연결체의개수는단계별로어떤규칙으로증가합니까?
# 활동 9 비교 시에르핀스키피라미드에나타나는정사면체의개수를단계별로알아봅시다. 시에르핀스키피라미드는한개의정사면체로부터시작한다. 정사면체의각모서리의중점을연결했을때만들어지는입체를제거한다. 정사면체의각모서리의중점을꼭지점으로하는입체는무엇입니까? 1 단계 이입체를제거했을때만들어지는정사면체는모두몇개입니까? 1 단계에서만들어진정사면체에대하여똑같은과정을반복한다. 한개의정사면체에서몇개의정사면체가만들어집니까? 2 단계 2 단계시에르핀스키모형에서만들어지는정사면체는모두몇개입니까? 2 단계에서만들어진정사면체에대하여똑같은과정을반복한다. 시에르핀스키모형에서만들어지는정사면체는모두몇개입니까? 단계가높아짐에따라정사면체의개수는몇배씩증가하고있습니까? 이와같은과정을무한히반복하면시에르핀스키피라미드가된다. 단계 번째단계에서만들어지는정사면체의개수를식으로나타내시오. 앞에서알아본내용을정리하여다음표의빈칸을완성하시오. 시에르핀스키 피라미드 정사면체의개수 단계
# 활동 10 추리 1. 한변의길이가 36cm 인정삼각형(0 단계) 으로부터코흐눈송이를만들어갑니다. 규칙을조사하여다음 물음에답해보시오. 1 2 번째단계의모형에서둘레의길이는총얼마일까요? 2 6 번째단계의모형에서변의개수는총몇개가될까요? 2. 넓이가 40cm 2 인정삼각형으로시에르핀스키삼각형을만들어갈때, 4번째단계의모형에서남은정삼각 형들의넓이의합은얼마입니까? 3. 한변의길이가 40cm인정사면체로부터시작하여시에르핀스키피라미드를만들어갈때세번째단계의모형에서남은정사면체들의모든모서리의길이의합은얼마일까요? 4. 부피가 216l인정사면체로시에르핀스키피라미드를만들어갈때각단계별로남은정사면체의부피의합을구하시오. 단계 단계 정사면체의부피 216l 각단계별로부피가어떤규칙으로감소하고있습니까? 5. 점삼각형을다음그림과같은규칙으로나눌때 5단계에서남은부분의넓이는 의넓이의몇배인지 구하여소수둘째자리까지나타내시오. ( 소수셋째자리에서반올림) 3단계 4단계
6. 한변의길이가 81cm인정육면체로멩거스폰지를만들어갈때두번째단계의모형에서남은정육면체들의겉넓이와부피는각각얼마일까요? 겉넓이 : 식 = 답 : 부피 : 식 = 답 : 7. 한변의길이가 243cm 인정사각형으로 'Purina Dog Chow' 를만들어갈때세번째단계에서남은정사 각형들의둘레의길이와넓이의합을각각구하시오. 둘레의길이 : 식 = 답 : 넓이 : 식 = 답 : 8. 철수는길이가 4m 인나무를심었습니다. 이나무는세방향으로가지가나오며, 새로나온가지는이전가지의 만 큼자란후다시가지가나오는과정을계속하는프랙탈도형입니다. 이나무가가지를뻗으며무한히자란다고할때, 전체나뭇가지의길이의합은얼마가될까요? 9. 인간의폐조직을프랙탈도형( 멩거스폰지) 과연관시켜설명해보시오. 10. 우리주변에서프랙탈로설명할수있는일이나현상들을찾아보고설명해봅시다.