Capter 5 ( Don ndrea/fotolia) 분수를설계할때일과에너지의원리를적용한다. 여기서노즐밖으로분출되는물의속도는물을최대높이로끌어올리는에너지로변환된다.
움직이는유체의일과에너지 학습목표 유선좌표계에서오일러의운동방정식과베르누이방정식을전개하는것과몇가지중요한적용을보여준다. 유체시스템의에너지구배선 (EGL) 과수력구배선 (HGL) 을어떻게세우는지보여준다. 열역학제1법칙으로부터에너지방정식을전개하는것과펌프, 터빈, 마찰손실을포함하는문제를어떻게푸는지보여준다. 5.1 오일러의운동방정식 이절에서는뉴턴의운동제2법칙을그림 5-1a와같이정상유동의유선을따라서움직이는단일유체입자의운동을연구하기위해서적용할것이다. 여기서유선좌표계 는운동방향에있고, 유선에접선방향이다. 직교좌표계 n은유선의곡률중심으로향하며, 입자는길이 D, 높이 Dn, 폭 Dx를가지고있다. 유동이정상이므로유선은고정될것이고, 곡선상에있다면입자는두개의가속도성분을가질것이다. 3.4절을상기해보면, 접선또는유선성분 a 는입자의속도크기의시간변화율로측정하고, a = V(dV/d) 로결정된다. 법선성분 a n 은속도의방향으로의시간변화율로측정하고, a n 5 V 2 /R로부터결정되고, R은입자가위치하는점에서유선의곡률반경이다. 입자의자유물체도는그림 5-1b에보여진다. 만약유체를비점성으로가정한다면, 점도에의한전단력은나타나지않을것이며, 오직무게와압력에의해발생되는힘이입자에작용한다. 만약에입자의중심에서압력을 p라고하면, 유한한크기 * 로인한유체입자의각면에서의압력 DW 5 rgdv 5 rg(ddndx), Dm 5 rdv 5 r(ddndx) 이다. n a n a n x 이상유체입자 (a) 그림 5-1 유선 수평선 * 이변화에서우리는입자의크기가아주작게되면고차항은소거되므로테일러급수 (Taylor erie) 의확장을오직첫번째항만고려한다.
224 제 5 장움직이는유체의일과에너지 n z 방향 방향으로운동방정식 SF 5 ma 를적용하면다음과같다. (p dp n) x dn 2 W g( n x) x dp (p + ) n x d 2 n (p dp ) n x d 2 dp (p n ) x dn 2 r(ddndx) 으로나누고, 항을재배열하면아래와같이된다. 자유물체도 (b) (5-1) 그림 5-1c 에서보듯이, in u 5 dz/d 이다. 그러므로, (5-2) z n 방향 n 방향으로운동방정식 SF n 5 ma n 을적용하면다음과같다. d dz 수평선 (c) n z 그림 5-1d 에서 co u 5 dz/dn 을체적 (DDnDx) 로나누면, 이방정식은아래와 같이요약된다. dn dz 수평선 (5-3) 식 (5-2) 와 (5-3) 은스위스수학자 Leonard Euler에의해처음개발된운동방정식의미분형태이다. 이러한이유로이것을오일러의미분운동방정식이라종 (d) 그림 5-1( 계속 ) 종부른다. 오일러의미분방정식은 와 n 방향에서유선을따라서움직이는비점성유체입자의정상유동에오직적용된다. 우리는지금몇가지중요한적용에 대해서고려할것이다. 이상유체의정상수평유동그림 5-2 에서이상유체가일정한속도로흐르는직선 수평열린관로 (open conduit) 와닫힌관로 (cloed conduit) 를보여준다. 두 경우에서, 만약 에서압력은 p 이고, 점 와 C 에서압력을결정하고싶다. 와 는같은유선에놓여져있기때문에, 우리는 방향에서오일러방정식 [ 식 (5-2)] 을적용할수있고, 이러한두개의점사이에서운동하고있는입자에대
5.1 오일러의운동방정식 225 하여오일러방정식을적분한다. 여기서 V 5 V 5 V 이고, 높이의변화가없 n, z 으므로 dz 5 0 이다. 또한유체밀도는상수이므로아래와같다. V x C 열린관로 n, z V 그러므로이상유체에서두개의열린관로와닫힌관로를따라압력은수평방향에서상수가된다. 이결과는유체를앞으로미는압력에의해이겨내는점성마찰력이없기때문에예상될수있다. C 닫힌관로그림 5-2 C 에서압력을결정하기위해, 그림 5-2 와같이 와 C 는 축상의다른유선 에놓여있는것을주목하라. 그러나 C 는 에서원점을가지는 n 축상에있다. 에서수평유선의곡률반경은 R ` 이기때문에, 식 (5-3) 은아래와같이 된다. 에서 C 까지적분하고, 로부터 C 까지 z 5 2 임을주목하면, 아래와같다. 이결과는수직방향으로압력은유체가마치정지해있는것과같다는것을가리킨다. 즉, 식 (2-5) 와같은결과이다. 정압 (tatic preure) 은유동에상대적인압력의 척도이기때문에종종유체가정지해있는경우의용어로사용된다. 만약관로가유선을가지면서굽어져있다면, 와 C 에서유체입자들이다른 곡률반경을갖고있는유선을따라서움직이고, 다른속도로속도의방향을변 경시키기때문에우리는이결과를얻지못할것이다. 다른말로, rv 2 /R? 0 이 므로 R 이작아지면작아질수록유체입자들의방향을바꾸고, 입자들이각자의 유선을유지하기위해서더큰압력을필요로한다. 다음의예제는이것을설명 하는데도움을줄것이다.
226 제 5 장움직이는유체의일과에너지 예제 5.1 (a) 토네이도는근본적으로그림 5-3a와같이수평의원형유선을따라움직이는바람이다. 0 # r # r 0 인토네이도의눈에서강제와류 (forced vortex) 를보여주는바람속도는 V 5 vr이다. 2.14절에서서술되었듯이일정한각속도 v로회전하는유동이다. 만약 r 5 r 0 에서압력이 p 5 p 0 라면, 토네이도의눈에서 r의함수로의압력분포를구하라. 풀이유체설명정상유동에서공기를일정한밀도 r를가지고비점성인이상유체로가정한다. 해석반지름 r을가지는유체입자의유선이그림 5-3b에나와있다. r의함수 ( 양의바깥쪽방향 ) 로써압력분포를찾기위해서, n 방향 ( 양의안쪽방향 ) 으로오일러방정식을적용해야한다. V r r 0 r n 경로가수평이기때문에 dz 5 0 이다. 또한선택된유선은 R 5 r 그리고 dn 5 2dr 이다. 그림 5-3b 에서와같이, 입자의속도는 V 5 vr 이기때문에 (b) 위의방정식은다음과같이된다. 그림 5-3 중앙으로부터 1dr 만큼멀어질때, 압력이증가 (1dp) 함을주목하라. 이압력 은공기입자의속도방향을변화시키며, 원형경로를유지하는데필요하다. 비교하자면, 수평의원형경로에서원형을그리며도는공의움직임을유지 하는줄 (cord) 에서도같은효과가발생한다. 줄이더길면길수록, 같은회전 을유지하기위해서줄이공에가해지는힘이더크다. r 5 r 0 에서 p 5 p 0 이므로, 답
5.2 베르누이방정식 227 5.2 베르누이방정식 앞에서설명했듯이오일러방정식은비점성유체입자의정상유동에대한뉴턴 의제 2 법칙의적용을나타내고, 유선좌표계 와 n 으로표현된다. 오직 방향 에서입자의운동이발생하기때문에, 유선을따라서식 (5-2) 를적분할수있 고, 따라서입자의운동과압력과입자에작용하는중력사이의관계를얻을수 있다. 만약유체밀도가압력의함수로주어질수있다면, 첫번째항의적분은가능 할것이다. 그러나가장일반적인경우는비점성, 비압축성인이상유체로고려하는것이다. 유체를비점성으로가정했기때문에지금부터유체는이상유체로간주한다. 이경우에적분은아래와같이된다. p 1 1 V 1 p V p 2 2 V 2 상수 (5-4) z 1 z z 2 그림 5-4 기준선 여기서 z는그림 5-4에서임의로선택된고정된수평면또는기준선으로부터측정된입자의높이이다. 이기준선위의입자에대해서, z는양 (1) 이고, 그아래의입자에서 z는음 (2) 이다. 기준선위에있는입자에대해서 z 5 0이다. 식 (5-4) 는 18세기중반쯤에이식에대해서서술한 Daniel ernoulli 의이름을따서베르누이방정식으로불린다. 훗날이방정식은 Leonard Euler의공식으로표현되었다. 베르누이방정식이그림 5-4에서같은유선에위치한 1과 2의어떤두점사이에적용되었을때, 다음과같은형태로표현할수있다. (5-5) 정상유동, 이상유체, 동일유선 만약유체가공기와같은기체라면기체의밀도는작기때문에높이의항은일반적으로무시할만하다. 다른말로, 공기의무게는기체내에압력에의해발생되는힘과비교하면중요한힘으로간주되지않는다.
228 제 5 장움직이는유체의일과에너지 n 1 W V 2 F p z 1 z z 2 기준면 그림 5-5 항들의설명베르누이방정식의유도로부터알수있듯이, 베르누이방정식은실제로 방향에서이상유체의정상유동에대하여적용된뉴턴의제2법칙의적분된형태이다. 베르누이방정식이유체의단위질량으로표현되는입자에적용될때이식은일과에너지의원리로써해석될수있다. 이를증명하기위해서베르누이방정식을아래와같이다시적어보자. 여기서괄호속에있는각각의항들은 J/kg 또는 ft lb/lug 와같이단위질량당에너지또는일의단위들을가지고있다. 위형태의베르누이방정식은위치 1에서위치 2로입자가움직일때단위질량당입자의운동에너지변화는압력과중력에의해행해지는일과같음을설명한다. 일은변위의방향으로힘성분의곱임을기억하라. 압력힘에의해만들어지는일은유동일이라불리고, 유동일은언제나그림 5-5와같이유선을따라서생성된다. 중력일은무게가수직방향 (z) 이기때문에, 수직방향으로행해진다. 5.5절에서베르누이방정식이실제로는에너지방정식의특별한경우임을보여주는개념에대해더논의할것이다.
5.2 베르누이방정식 229 제약사항베르누이방정식은비압축성 (r가일정 ) 이고비점성 (m 5 0) 인이상유체의정상유동일때적용될수있음을기억하는것은매우중요하다. 또한베르누이방정식은동일유선에놓여있는어떤두점사이에적용되는식이다. 만약이러한조건들이맞지않다면, 이방정식의적용은잘못된결과들을초래할것이다. 그림 5-6에는베르누이방정식을적용할수없는몇가지상황들을보여준다. 공기와물같은많은유체들은비교적점도가낮다. 따라서어떤상황에서는이상유체로가정될수도있다. 하지만유동영역에따라점도의효과가무시될수없을경우도많이있다. 예를들면, 점성유동은그림 5-6에서관벽면과같은고체경계근처에서항상나타난다. 이지역을경계층이라부른다. 제 11장에서이에대해더자세히논의할것이다. 경계층에서는속도구배가크고, 경계층형성을유발하는유체마찰또는전단력이열을생성하여유동으로부터에너지를소모할것이다. 이렇게에너지손실을유발하기때문에베르누이방정식은경계층내에서적용될수가없다. 고체경계의갑작스런방향변화는경계층을두껍게만들수있고경계로부터유동박리를만들수있다. 그림 5-6에서유동박리는굽은관의내부벽면을따라발생한다. 여기서유체의난류혼합은마찰열손실을생성할뿐아니라, 속도형상에크게영향을주고매우큰압력강하를유발한다. 이지역내의유선들은형태가잘정의되지못하여베르누이방정식을적용하지못한다. T자-관 (tee) 이나밸브같은연결장치를통한유동은유동박리때문에유사한에너지손실을생성할수있다. 그뿐만아니라유동박리와유동내에난류혼합의발달은그림 5-6의관-튜브 (pipe-tube) 연결부 에서발생한다. 그러므로베르누이방정식은이러한연결부에서는적용되지못한다. 유동내에서에너지변화는 와 C 사이와같이열을제거하거나또는열을공급하는영역내에서발생한다. 또한 D와 E 사이의펌프나터빈은유동으로부터에너지를공급하거나제거할수있다. 베르누이방정식은이러한에너지변화가고려되지않았으므로이러한지역내에서는적용될수없다. 만약유체가기체라면, 그밀도는유동의속도가증가함에따라변할것이다. 일반적으로공학계산에대한일반적인규약으로써, 기체가소리가공기에서주파하는속도의 30% 이하의속도로유지된다면비압축성으로고려될수있다. 예를들어, 158C에서공기에서의음속은 340 m/이다. 그러므로한계값은 102 m/일것이다. 한계값이상의유동에서압축효과는열손실을유발하므로압축효과가중요해진다. 이렇게높은속도에서, 베르누이방정식은좋은결과를내지못한다. 회전유동소용돌이 점성마찰력 열전달공급 C D 그림 5-6 유동박리 E 베르누이방정식이적용되지않는장소들 에너지투입
230 제 5 장움직이는유체의일과에너지 5.3 베르누이방정식의적용 이절에서는유선상의서로다른점들에서속도나압력을어떻게결정하는지보여주기위해베르누이방정식의몇가지기본적인적용을시도할것이다. 대형저수지로부터의유동그림 5-7과같이물이배수구를통해서탱크혹은저수지로부터흐를때, 유동은실제로비정상적이다. 거리 가클때배수구에서큰수압이발생하여, 가작을때보다빠른속도로떨어지고이때문에비정상유동이발생한다. 그러나만약저수지가큰체적을가지고있거나배수구가상대적으로직경이작다면, 저수지내에서물의움직임은아주느리다. 그러므로그림 5-7의표면 V 0이다. 이러한경우에배수구를통해정상유동으로가정하는것은타당하다. 또한작은직경의출구에서 C와 D 사이의높이차 (elevation difference) 는작다. 그러므로 V C V D V 이다. 그뿐만아니라출구의중앙선 에서압력은대기에노출되어있고, C와 D도마찬가지이다. 만약물을이상유체로가정한다면, 베르누이방정식은그림 5-7에서선택된유선위에놓여있는점 와 사이에적용될수있다. 에서중력의기준선을잡고, p 5 p 5 0인지역에서계기압력을사용하면아래와같다. 기준선 C D 그림 5-7 그림 5-8 이결과는 17세기 Evangelita Torricelli 에의해처음으로공식화되었기때문에토리첼리의법칙 (Torricelli law) 으로알려져있다. 알아두면도움이될만한사실은자유낙하를하는고체입자의이동시간은유체가탱크를통해흐르는것보다훨씬짧음에서불구하고, 유체의속도 V 는같은높이 에서자유낙하를하는고체입자의속도와같다는것을알수있다. 곡면경계주위의유동매끄러운장애물주위로유체가이동할때, 유체의에너지는하나의형태에서다른형태로변환된다. 예를들어, 그림 5-8에서굽어진표면의정면에교차하는수평유선을고려해보자. 는정체점 (tagnation point) 이기때문에, 에서 로움직이는유체입자들은유체입자가경계로접근할수록속도가줄어들어야한다. 그러므로점 에서유체의속도는영 (0) 이되
5.3 베르누이방정식의적용 231 고, 유체는분리되어, 표면의측면을따라서움직일것이다. 점 와 사이에 베르누이방정식을적용하면다음과같다. 정체압정압동압 정체점 에서압력은유체에의해작용되는전압 (total preure) 을나타내기때 문에이압력 (p ) 을정체압 (tagnation preure) 이라부른다. 앞장에서보았듯 이, 압력 p 는유동에대하여상대적으로측정되기때문에정압 (tatic preure) 이다. 한편, 압력의증가 (rv 2 /2) 는 에서유체를정지시키는데필요한추가적 인압력을나타내기때문에동압 (dynamic preure) 이라부른다. 개방채널내부유동강과같은개방채널내의움직이는액체의속도를결정 하는한가지방법은흐르는액체에굽은튜브를담그고그림 5-9 와같이튜 브내에서액체가상승한높이 를관찰하는것이다. 이러한장치는정체관 (tagnation tube) 또는 18세기초에이것을발명한 Henri Pitot의이름을딴피 동압에기인 토관 (Pitot tube) 이라불린다. 이것이어떻게작동하는지보기위해수평의유선위에위치한두점 와 를고려해보자. 점 는유체내의상류지역에있고, 유동의속도는 V, 압 d 정압에기인 기준선 력은 p 5 rgd 이다. 점 는관의입구에있다. 관내의액체와의충격때문 에유동의속도는순간적으로제로가되어서정체점이라한다. 점 에서액체 피토관 는튜브내의액체를 d 수위로상승시키는정압과추가적인액체를액체표면 그림 5-9 위로높이 로올리는동압을함께나타낸다. 그러므로 에서액체의전압은 p 5 rg(d 1 ) 이다. 유선을따라단위중력당베르누이방정식을적용하면아 래와같다. 이런원리로, 피토관위의상승된액주높이 를측정함으로써유동의속도를 구할수있다.
232 제 5 장움직이는유체의일과에너지 닫힌관로내부유동만약액체가그림 5-10a 와같이닫힌관로또는관내부에 서흐른다면, 유동의속도를결정하기위해서피에조미터 (piezometer) 와피토 관둘다사용할필요가있다. 피에조미터는 에서정압을측정한다. 이압력은 관내의내부압력 rg 와유체의무게에의한정수압 rgd 에의해서유발된다. 그러므로 에서전압은 rg( 1 d) 이다. 정체점 에서전압은동압 (rv 2 /2) 에 정압 의해 의전압보다더커질것이다. 이러한두관들로부터측정한 와 (l 1 ) 동압 내부정압으로인한액주 l 를이용하여유선위에있는점 와 에서베르누이방정식을적용한다면, 속도 V 가얻어질수있다. d 유체의무게로인한액주 기준선 피에조미터와 l 피토관 (a) (a) C E 방금전에설명했던방식대로두개의분리된관들을사용하기보다는피토정압관 (Pitot-tatic tube) 이라고불리는더정교한하나의관이닫힌관로의유동의속도를구하기위해서자주사용된다. 피토정압관은그림 5-10b에보여지듯이두개의동심관을사용하여만든다. 그림 5-10a의피토관과같이 에서정체압은내부관의 E에서압력탭으로부터측정된다. 로부터하류에는바깥관의측면에몇개의개방된구멍들이 D에뚫려있다. 이바깥관은그림 5-10a의피에조미터처럼작용한다. 따라서정압은 C에서압력탭으로부터측정된다. 두가지의측정된압력을이용하고, 점 와 사이의베르누이방정식을적용하여 C 와 E 사이의높이차를무시하면아래와같은식을얻는다. D 기준선 D 피토정압관 (b) 그림 5-10 실제문제에서압력차는출구 C와 E에부착된마노미터액의높이차를측정하는마노미터를사용하거나압력변환기를사용함으로써구할수있다. 지점의관끝단주위의유동교란과수직성분으로인해, 입구구멍의측면 D에서유동이조금씩방해를받기때문에측정값을수정해야할경우도있다.