표지연습문제 PRNG(Pseudorandom Number Generator) : 진정한의미의 random number 는 물론정의하기나름이겠지만 존재할수없다. 따라서인위적으로만든 random number를 pseudorandom number라고부른다. 표지연습문제 :

표지연습문제 PRNG(Pseudorandom Number Generator) : 진정한의미의 random number 는 물론정의하기나름이겠지만 존재할수없다. 따라서인위적으로만든 random number를 pseudorandom number라고부른다. 표지연습문제 : 표지그림은 PRNG 의하나인 LCG(Linear Congruence Generator) 를이용하여만들어졌다. 즉, x 1 = 1015568748 에서시작하여 x n+1 ax n + b (mod N) 을이용해 ( 보기 12.1.6의표기법참조 ), x 2, x 3,... 을구한후모두 10-digit 자연수의 형태 로나타낸것이다. 따라서, 모든 row 에는각각 5 개의 10-digit 형태 의수가있다. 예를들어, x 2 = 1586005467 이고, x 21 = 0927463856 이다 ( 따라서 x 21 은실제는 9자리수 ). 이때, 자연수 a, b 와 N 을구하라. Hint : ( 가 ) 답은유일하지않을수도있다. 유일할수도있고. ( 나 ) 모범답안 을위해서는, 사실은, x 1,..., x 5 다섯개의정보만있으면충분하다. ( 물론 x 1,..., x 5 로부터추정한 a, b 와 N 이 x 145 까지생성하는것을확인해야한다.) 이런문제를푸는방법을흔히 GCD attack 이라고부른다. ( 보통 Excel은큰수를다루지못하므로, Mathematica 를이용할것을추천한다.) 첨부 : cover data.xlsx ( 알수없는이유로 xlsx file 은 열기 가잘되지않는다. 이 file 을 저장 하기바란다.) 1

1.2 : 행간소사다리꼴 우리는 행간소사다리꼴 과 row-reduced echelon form 이라는용어를사용하고있다. 1 그런데, 특히영문표현은 reduced row echelon form 또는 hyphen을사용한 reduced row-echelon form 이라는용어가더많이사용되는듯하다. ( 가끔 row canonical form 이라는용어도사용되지만, 독자들에게권하고싶지않다.) 원래 row echelon form 의 non-zero row의첫번째 non-zero component를 1로 reduce 한것을 reduced row echelon form 이라고부르는것같다. 저자는 elementary row operation을사용해 reduce 했음을강조하는의미에서 row-reduced 라는표현을사용하였다. 따라서, 저자는오히려우리말표현 행간소사다리꼴 을영어로번역했다고할수있다. 2 만약 reduced row echelon form 을직역한다면 간소행사다리꼴 이되기때문이다. 3 1 [I, 초판 ] 에서는별생각없이 사다리꼴 을 사다리꼴 로쓰는오류를범했었다. 2 저자는 행간소사다리꼴 이라는용어를이일해선생님의선형대수학책에서배웠다. 3 실제로 기약행사다리꼴 이라는용어도사용되는것같다. 2

보조정리 3.5.3 의귀납법증명 다음은 [I, 초판 ] 에실렸던 [ 보조정리 3.5.3 의귀납법증명 ] 이다 : 보조정리 3.5.3. Vector space V 가 finite -basis B = {v 1,..., v m } 을갖는다고 하자. 이때, 만약 C = {w 1,..., w n } V 이고 m < n 이면, C 는일차종속이다. 증명 : 물론우리는 C = {w 1,..., w n+1 } 인경우만생각하면충분하다 ( 왜그 런가?). 간편한표기법을위하여여기에서는 n = 3 인경우만증명하기로한다. ( 증명의본질은 n = 3 인경우에모두포함되어있다.) 이제 {w 1, w 2, w 3, w 4 } 가 일차독립이라고가정해보자. 그러면 {v 1, v 2, v 3 } 가기저이므로, w 1 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 인 a 1, a 2, a 3 F 가존재한다. 이때 a i 중적어도하나는 0 이아니므로 ( 왜그런 가?), 우리는 (after renumbering) a 1 0 이라고가정할수있다. 그러면, 가되고, 따라서 임을알수있다. 다음에는, v 1 = 1 a 1 w 1 + a 2 a 1 v 2 + a 3 a 1 v 3 V = v 1, v 2, v 3 = w 1, v 2, v 3 w 2 = b 1 w 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3 인 b 1, b 2, b 3 F 가존재하고, b 2 = 0 = b 3 일수는없으므로 ( 왜그런가?), b 2 0 이라고가정할수있다. 따라서, v 2 를 {w 1, w 2, v 3 } 의일차결합으로쓸수있고, 가된다. V = w 1, v 2, v 3 = w 1, w 2, v 3 이제같은작업을 w 3 에대해반복하면 ( 독자들은이부분을임의의 n 의경우에귀납법으로증명해보기바란다. [4, Old Version, p. 51] 참조 ), V = v 1, v 2, v 3 = w 1, w 2, w 3 가된다. 그러므로, w 4 는 {w 1, w 2, w 3 } 의일차결합으로쓸수있다. 그러나이 는우리가증명을시작할때 {w 1, w 2, w 3, w 4 } 가일차독립이라고한가정에모순 이다. 3

위 [ 보조정리 3.5.3 의귀납법증명 ] 은얼핏그증명법을외워야할것으로생각하기쉽다. 그러나위증명법은사실우리가중학교에서배운것이다. 즉, w j = a 1j v 1 + + a nj v n, (j = 1,..., n + 1) 에서 v i 들을차례로소거하여 w j 들만의식을만든것이다. 다시말하면, 보조정리 3.5.3 의증명은본질적으로따름정리 1.2.6 의두번째증명과유사하다. 4

정리 3.5.10 의증명에의추가 Comment 다음 comment 는 [ I, 초판 ] 에포함되어있었는데, 어찌어찌하여 [ I, 개정판 ] 에는빠졌다. 정리 3.5.10 의증명에의추가 comment : 독자들은정리 3.5.10 의증명에서 [S 의 linearly independent subset 중에서원소수가 maximum인집합 ] 이라는기발한 idea 에기가죽을지도모른다. 그러나사실이 idea 는 Zorn s Lemma 의 idea 이다. 훗날 Zorn s Lemma 를배우게되면, 이증명법은우리의 본능 이된다. 5

version 190225 3.8 : 행간소사다리꼴의유일성증명 : THE Proof 마침내행간소사다리꼴의유일성에관한 THE Proof 가발견되었다. 4 음쪽에 http://www.cs.uleth.ca/ holzmann/notes/reduceduniq.pdf 다 를추가한다. 5 이 pdf file 에는 2002 년 10 월 15 일에작성되었다는기록이있다. [I, 3.8] 의귀납법증명이나이문서의뒤에등장하는두개의증명 ( 5.4 : 행간소사다리꼴의유일성, 추가증명 (1) (2)) 에게는이제 Holzmann의 THE Proof 가얼마나아름답고명쾌한지를극적으로보여주는쑥스러운역할만이남게되었다. Holzmann의증명에열렬한박수를보낸다! 그리고, Holzmann 의증명에서우리는 [I, 16 쪽 ] 의 철학자의시도 가드디어 결국 그위용을뽐내고있음을발견할수있다. 따라서 Holzmann 의증명 은당연히 [I, 1.2] 에등장할수있게되었다. 참고 1 : 노파심에서다음쪽의증명에관한보충설명을하나추가한다. R, S가다음쪽 Holzmann의증명에서와같을때, R, S에는 zero-column이없다고가정할수있다. 왜냐하면, zero-column 은 elementary row operation 으로부터아무런영향을받지않기때문이다. 참고 2 : Holzmann의증명마지막단락에있는 augmented matrix 의뜻은자명하다. 즉연립방정식 ( ) AX = B 의 augmented matrix 는 ( m (n+ 1) ) -행렬 (A, B) 이다. ([I, 13쪽 ] 참조.) 4 이값진정보를찾아내알려준홍진교수에게감사. 5 Since I do not know the mail address of Prof. Holzmann, I am not able to obtain approval for reproducing the document here. I believe, however, Prof. Holzmann would be happy to find THE Proof here. 6

Uniqueness of Reduced Row Echelon Form Many introductory linear algebra books either fail to mention this result, omit its proof, or present a proof which is unnecessarily complicated or uses arguments beyond the context in which the result occurs. Here s a proof which, hopefully, suffers from none of these deficiencies. Theorem: The reduced (row echelon) form of a matrix is unique. Proof (W.H. Holzmann): If a matrix reduces to two reduced matrices R and S, then we need to show R = S. Suppose R S to the contrary. Then select the first (leftmost) column at which R and S differ and also select all leading 1 columns to the left of this column, giving rise to two matrices R and S. For example, if R = 1 2 0 3 5 0 0 1 4 6 and S = 1 2 0 7 9 0 0 1 8 9, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 then In general, R = 1 0 3 0 1 4 and S = 1 0 7 0 1 8. 0 0 0 0 0 0 [ In R r ] = O 0 or I n 0 1 O 0., and [ In S s ] = O 0 or I n 0 1 O 0.. It follows that R and S are (row) equivalent since deletion of columns does not affect row equivalence, and that they are reduced but not equal. Now interpret these matrices as augmented matrices. The system for R has a unique solution r or is inconsistent, respectively. Similarly, the system for S has a unique solution s or is inconsistent, respectively. Since the systems are equivalent, r = s or both systems are inconsistent. Either way R = S, a contradiction.

3.8 : 연습문제추가 보조정리 3.8.3 다음에연습문제추가. 연습문제 : 다음두집합 [rank 가 r 인 (m n)- 행간소사다리꼴전체집합 ] 과그리고 [ M 1,n (F ) 의 r-dimensional subspace 전체집합 ] 사이에 one-to-one correspondence 가존재함을보여라. 8

4.2 : 연습문제추가 연습문제 4.2.21 에 ( 다 ) 항과 ( 라 ) 항추가. 연습문제 4.2.21. ( 다 ) L(M m,n (F ), M m,n (F )) 의모든원소를 λ A 의형태로나타낼수있는가? ( 라 ) λ A 가 isomorphism이기위한필요충분조건은 A 가가역행렬인것임을보여라. 9

기본정리의증명에관해 다음은 [I, 초판 ] 의기본정리 ( 정리 5.3.3) 아래註에있었던내용이다. 이註는어찌어찌하다가개정판에는실리지않았다. 이註가 큰도움 ( 위안?) 이되었다 거나 교재에서가장 (?) 기억에남는표현이었다 는몇몇독자의 mail을받았던기억이나이곳에다시올린다. [I, 초판 ] 정리 5.3.3 아래註 : 기본정리 ( 정리 5.2.2와정리 5.3.3) 의증명은 기계 가하는증명이다. 그렇지만, 지금단계에서기본정리의증명을이해할수없거나, 혼자힘으로기본정리를증명할수없다고해서실망할필요는없다. 이증명은 달리기훈련 을하다보면 즉, mathematical maturity 가쌓이게되면 어느날자신도모르는사이에저절로혼자힘으로할수있게되는그런종류의증명이다. 그러므로, 먼저기본정리의내용과그결과들 ( 5.4의내용 ) 을이해하고, 표기법에익숙해질필요가있다. 10

5.4 : Rank Theorem 의 Elementary Proof [I] 의중심 story 중하나는 F 의선택과무관하고행간소사다리꼴을이용 하지않는 Rank Theorem 의증명이다. ( 명제 13.8.12 참조.) 저자는다음증명을정경훈교수로부터배웠다. 이증명은 F 의선택과무관 하고행간소사다리꼴을이용하지않는 elementary proof 이다. 저자는이증 명을보고정말깜짝놀랐다. 관찰 : A M m,n (F ) 이고, B M r,n (F ) 라고하자. 만약 { [A] 1,..., [A] m } [B] 1,..., [B] r 이면, A = CB 인 C M m,r (F ) 가존재한다. 증명 : 인해보라. [A] i = r j=1 c ij [B] j 일때 ( 단, c ij F ), 6 C = (c ij ) 로놓으면된다. 확 다음증명은그 motivation 을잘모르겠다. ( 이증명은 A = CB 일때 L A = L C L B 를생각하므로, 보기 5.4.12 다음에위치하면적당할것이다.) Rank Theorem 의증명 ( 정경훈 ) : 행렬 A M m,n (F ) 의 row rank 가 r 일 때, 7 { [A] i1,..., [A] ir } 을 A 의 row space 의 basis 라고하자. 또 B Mr,n (F ) 를그의 j-th row 가 [A] ij 인행렬로정의하자 ( 단, j = 1,..., r). 그러먼위관찰 에의해, A = CB 인 C M m,r (F ) 가존재할것이다. 이때 C 는 (m r)- 행렬 이므로, C 의 column rank 는 r 보다클수없다. 한편 L A = L C L B 이므로, im L A im L C 이다. 따라서 [column rank of A] [column rank of C ] r = [row rank of A] 가된다. 즉, 임의의 A M m,n (F ) 에대해, [column rank of A] [row rank of A] 가성립한다는뜻이다. 이제 A 대신 A t 를생각하면, 도얻는다. [row rank of A] [column rank of A] 6 Column 이아닌 row 를다루고있으므로, i, j 의역할이보통때와는다르다. 7 만약 A = 0 이면, 아무것도증명할것이없으므로, A 0 이라고가정한다. 11

5.4 : 행간소사다리꼴의유일성, 추가증명 (1) 다음증명은 Friedberg-Insel-Spence(Linear Algebra, 4th ed., Pearson, 2002) 에서발췌하였다. 우리에게는이증명은보기 5.4.17 다음에위치할것이다. 실 제로이증명은보기 5.4.17 에몇줄만더하면된다. 보기 5.4.17. (im L A 의 basis 찾기 ) A M m,n (F ) 일때 im L A 의기저를찾 는체계적인방법을알아보자. 이를위해 A 로부터만들어진행간소사다리꼴 R 을생각한다. 따라서 EA = R 인가역행렬 (elementary matrix 들의곱 ) E M m,m (F ) 가존재한다. 다음, rk(r) = r 이라고놓고, [ 최초의 1] 이나타나는 R 의 column 들을 { [R] k 1,..., [R] k r} 이라고표기하면, {f1,..., f r } 이 im L R 의 basis 가되는것은당연하다 ( 단, {f 1,..., f m } 은 F m 의표준기저 ). 이제위보 기 5.4.16을조금 modify하면, isomorphism L 1 E 는 im L R 의기저를 im L A 의 기저로옮긴다. 그런데, L 1 E f i = L 1 E (L Re ki ) = L A e ki = [A] k i, (i = 1,..., r) 이므로, { [A] k1,..., [A] kr } 이 im LA 의 basis 가된다. 참고 : 보기 5.4.17 에는 [R] k i = f i 라는사실이 너무당연하여 분명히기록 되어있지않다. 행간소사다리꼴의유일성증명 : 보기 5.4.17의표기법을계속사용하자. 이제 { [A] k 1,..., [A] r} k 이 im LA 의 basis 이고, im L A 는 [A 의 column space] 와같으므로, [A] j = d 1j [A] k1 + + d rj [A] kr, (j = 1,..., n) 인 d ij F 가 ( 유일하게 ) 존재할것이다. 또, EA = R 이므로, L E [A] j = [R] j 인것은당연하다. 따라서, [R] k i = f i 이므로, [R] j = L E [A] j = d 1j [R] k1 + + d rj [R] kr = d 1j f 1 + + d rj f r, (j = 1,..., n) 이된다. 이를달리표현하면, 행렬 A 가 ( 즉, A 의 column들이 ) R 을 ( 즉, R 의 column들을 ) 완전히결정한다는뜻이다. 그러므로 A 로부터만들어진행간소사다리꼴 R 은유일하다. 12

5.4 : 행간소사다리꼴의유일성, 추가증명 (2) 다음증명은 [I, 초판, 5.6] 에실렸던내용이다. 저자는이증명을이일해선 생님 [3] 께배웠다. 연습문제 : 아래정리 A 의증명에는 Rank Theorem 이필요한가? 이제 V = F n, W = F m 이라고하고, 제1장의 row-reduced echelon form을다시생각해보자. 우리는행렬 A M m,n (F ) 에 elementary row operation을시행하는것은그에대응하는 elementary matrix를 A 의왼쪽에곱하는것과같다는것을알고있다 ( 관찰 1.3.1 참조 ). 그런데, elementary matrix 들은가역이므로, A 에 elementary row operation 을유한번시행하는것은결국 A 의왼쪽에가역행렬 U 를곱하는것과같다. 이제가역행렬 U 를 [transition matrix [I] F C 하자 ( 단, F 는 F m 의표준기저 ). 즉, for some basis C of F m ] 으로인식 U = [I] F C 라고하면, 기본정리에의해, 로쓸수있다. UA = [I] F C [L A] E F = [L A] E C 이제, 우리의새로운언어로제 1 장의정리 1.2.3 을번역하면다음과같다. 정리 A. ( 정리 1.2.3 의再해석 ) A M m,n (F ) 이면, [L A ] C E 가 row-reduced echelon form 인 F m 의기저 C 가존재한다. 이때, A 의 row-reduced echelon form 은 유일하게결정된다. 증명은다음쪽으로미루고, 우선 : 주의 B. 위정리는 A 의 row-reduced echelon form 이유일하다는뜻이지, F m 의기저 C 가유일하다는뜻은아니다. 13

정리 A 의증명 : [ 존재성 ] 우선, dim im L A = r 이라고표기하자. 또, V 0 = 0, V k = e 1,..., e k F n, (k = 1,..., n) 이라고표기하자. 그러면, 인것은당연하다. 또, L A (V 1 ) L A (V 2 ) L A (V n ) = im L A F m dim L A (V k ) dim L A (V k 1 )+ 1, (k = 1,..., n) 인것도분명하고, 이때, dim L A (V k ) = dim L A (V k 1 ) + 1 일필요충분조건은 L A (e k ) / L A (V k 1 ) 인것이다. 그런데, dim im L A = r 이므로, dim L A (V k ) dim L A (V k 1 ) 인 dimension jump 가일어나는횟수는정확히 r - 번일것이다. 이 dimension jump 가일어나는경우를 L A (e ki ) / L A (V ki 1), (i = 1,..., r) 이라고놓자 ( 물론, k 1 < k 2 < < k r ). 그리고, 이제 이라고표기하자. 그러면, L A (e ki ) = Y i F m, (i = 1,..., r) Y i / L A (V ki 1) = Y 1,..., Y i 1, (i = 1,..., r) ( 단, Y 0 = 0) 이므로, {Y 1,..., Y r } 은 F m 의일차독립인부분집합이다. 다음에 는 {Y 1,..., Y r } 을 F m 의기저 C = {Y 1,..., Y m } 으로확장하자 (Basis Extension Theorem). 이제우리는 [L A ] C E 가다음과같은모습 즉, row-reduced echelon form 의모습 인것을확인할수있다 : [L A ] E C = k 1 k 2 k 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0........... 0 0 0 0 0 0 0 14

( 위행렬에서, 굵은 0 이나 는여러 column을계속할수도있다 ( 없을수도 있고 ) 는뜻이고, 는무언가 (zero 이건 non-zero 이건 ) 있다는뜻이다. 맨윗줄 의 k 1, k 2, k 3 는물론 column의번호를의미한다.) 따라서, row-reduced echelon form 의 existence 가 ( 한번더 ) 증명되었다. [ 유일성 ] 그런데, 위의존재성증명을다시잘살펴보면, 행렬 A 가주어지 면, dimension jump 가일어나는위치 k 1,..., k r 이유일하게결정되고, 따라서 {Y 1,..., Y r } 도유일하게결정되는것을알수있다. 이제 {Y 1,..., Y r } 을 F m 의기저 C = {Y 1,..., Y m } 으로확장하는방법은유일하지않지만, 이기저의 {Y r+1,..., Y m } 부분은 row-reduced echelon form 에아무런영향도주지못한 다. 왜냐하면, {Y 1,..., Y r } 이 im L A 의기저이므로, A 의 row-reduced echelon form 의아랫쪽 (n r)-개의행은 zero 이기때문이다. 마침내, row-reduced echelon form 의 uniqueness 가증명되었다. 15

5.4 : 연습문제추가 다음은명제 3.3.12 의일반화이다. 연습문제 5.4.24 a. {v 1,..., v n } 이벡터공간 V 의 basis 일때, w j = n i=1 a ijv i 라고하자 ( 단, 1 j r n). 이때 A = (a ij ) M n,r (F ) 로놓고, 다음조건 (1) {w 1,..., w r } 은일차독립. (2) {[A] 1,..., [A] r } 은일차독립. ( 즉, A 는 full rank 를갖는다.) 은동치임을보여라. 위연습문제는 ( 가 ) 명제 3.3.12 의증명 (i) 과그역증명을흉내낼수도있고, ( 나 ) 보기 5.4.20을흉내낼수도있다. ( 이때아마관찰 5.4.24가필요할것이다.) 독자들은두가지방법모두연습해보기바란다. 그러고보니, 더일반적인 statement 도가능하다. 연습문제 5.4.24 b. {v 1,..., v n } 이벡터공간 V 의 basis 일때, w j = n i=1 a ijv i 라고하자 ( 단, 1 j r n). 이때 A = (a ij ) M n,r (F ) 로놓으면, 임을보여라. dim w 1,..., w r = rk(a) 16

5.5 : Change of Basis 5.5 의제목은 Change of Bases 이다. 본문중에도 기저변환 (change of bases) 의정보 라는문구가있다. 그런데, 아마도 Change of Basis 가맞는표현인것같다. ( 기저가하 나뿐이면바꿀수가없는데.) 17

5.5 5.6 : Conjugacy Problem 5.6 은 5.5 와비교해볼때 약간의차이가있다. 즉, 5.6 에는 5.5 의 닮은 함수 ( 정의 5.5.9( 가 ) 항과연습문제 5.5.11) 에대응하는 similar function 에관한이야기가생략되어있다. Similar function 에관한내용은 뭐매우어렵다고할수는없겠지만 무언가 ( 선형대수와는별로관련이없는 ) 새로운발상이필요하다고판단되어 ( 고의로 ) 생략하였고, 이제이곳에방학숙제로올린다. 먼저정의부터분명히하자. 정의 : f, g : S S 가 ( 단순히 ) 함수일때, 다음 commutative diagram S φ S f g S φ S 을갖는 bijection φ : S S 가존재하면, f g 로표기하고, f, g 는 similar function 이라고부르자. 이때 은물론 equivalence relation이다 ( 확인해보라 ). 방학숙제 : Similar function 들의 equivalence class 를 ( 모두 ) 묘사하라. Hint : 지금너무많은시간을투자할필요는없다. 후에 symmetric group S n 의 conjugacy class 를공부하게되면, 먼저 f, g 가 bijection 인경우부터생각해보라. (Conjugacy class 는정의 11.8.9 참조. Symmetric group S n 의 conjugacy class 는, 예를들어, [ N. Jacobson, Basic Algebra I, Second Edition, p. 74 75] 참조. 8 ) 우리는위방학숙제와 similar matrix( 또는 similar linear operator) 를분류 하는문제등을흔히 similarity problem 이라고부른다. 한편 similarity problem 과연습문제 5.5.11 등을통틀어 ( 넓은의미의 ) conjugacy problem 이라고 부르는것같다. 9 8 σ τ S n if and only if σ, τ have the same cycle type. 9 어떤 group 의 conjugacy class 를찾는것이좁은의미의 conjugacy problem. 18

6.2 : 연습문제추가 다음결과는제 151 쪽에꼭포함되었어야하는데, 어찌어찌하다가누락 되었다. 10 연습문제 : 보기 6.2.24( 가 ) 항에서, [L] B B = (a ij) 로놓으면, [L] B σ B σ = (I σ ) 1 [L] B B I σ = (a σ(i),σ(j) ) 임을보여라. ( 즉, [L] Bσ B σ 의 (i, j)- 성분은 a σ(i),σ(j).) 아마, 연습문제 6.2.26 을풀면서, 스스로위결과를증명한독자들도많았을 것이다. 다음연습문제는노파심에서추가하였다. 연습문제 : 다음엉터리주장은무엇이잘못되었는가? [ 엉터리주장 ]: 연습 문제 6.2.18( 나 ) 항의 statement 는 false 이다. 이면, 즉, A M n,n (F ) 이고 σ S n AI σ 는 ( [A] σ(1),..., [A] σ(n)) 이아니고 ( [A] σ 1 (1),..., [A] σ 1 (n) ) 이라고 하는것이맞다. 왜냐하면, 예를들어, 만약 σ = τ 1 τ 2 라면 ( 단, τ 1, τ 2 는 transposition), AI τ1 = ( [A] τ 1(1),..., [A] τ 1(n) ) 이고, 따라서 AI σ = (AI τ1 )I τ2 = ( [A] τ 2 τ 1 (1),..., [A] τ 2 τ 1 (n) ) 이기때문이다 ( 관찰 6.2.19( 나 ) 항참조 ). 물론, 이때 τ 2 τ 1 = σ 1. 10 저자가깜박했다. 19

표기법 7.1.2. 표기법 7.1.2에서 T LM 이라고하면, dim V = n 이라고했으므로, V 는물론 f.d.v.s. 이다. 게다가 A M n,n (F ) 일때, A = L A 로 identify한다는우리의철학 즉, 선형대수학의기본정리 도물론 f.d.v.s. 일때의이야기이다. ( 선형대수학의기본정리 를무한차원으로확장하려면, ( )-matrix를정의해야만할것이다.) 예를들어, 연습문제 8.2.5는만약 V 와 W 가무한차원이라면 true 가아니다. ( 즉, 연습문제 8.2.5에는 V 가 f.d.v.s. 라는가정이필수적이다.) 반례를찾아보라. 20

7.4 : Caley-Hamilton Theorem 의막가파式증명 Caley-Hamilton Theorem 의막가파式증명은그오류에대해단한점의의혹 도남겨서는안된다. 저자의경험에의하면, 한교실에한명쯤은끝까지우기 는막가파가있다. ( 그한명이가끔은 lecturer 일때도있다.) 보기 : A = (a ij ) M n,n (F ) 일때, ψ A (t) F [t] 를 t a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 t a 22 a 23 a 2n ψ A (t) = tr(ti A) = tr....... a n1 a n2 a n3 t a nn 로정의하자. 11 막가파들은 ψ A (A) = tr(ai A) = tr(a A) = tr(0) 이므로 ψ A (A) = 0 이라고억지를부릴것이다. 그러나, ψ A (t) = tr(ti A) = (t a 11 )+ + (t a nn ) = nt tr(a) 임은명백하고, 따라서, ψ A (A) = na tr(a) I 가된다. 다른보기도얼마든지많이있다. 보기 : A = (a ij ) M n,n (F ) 일때, π A (t) F [t] 를 π A (t) = [ (ti A) 의 (1, 2)- 성분 ] 으로정의하자. 막가파들은이번에도 π A (A) 는 (AI A) 의 (1, 2)- 성분, 즉 zero matrix 의 (1, 2)- 성분 이라고우길것이다. 그러나, π A (t) = a 12, π A (A) = a 12 I 임에는의심의여지가없다. 더이상장황한설명은필요하지않을것이다. 막가파들은애당초 ϕ A (A), ψ A (A), π A (A) 등은 scalar 라고오해하고있으니말이다. 11 ψ A (t) 는 similarity relation의 invariant이기도하다. 21

7.4 : Adjoint Matrix 를이용한 Caley-Hamilton Theorem 의증명 다음은 [I, 초판 ] 에실렸던내용이다. 저자는이증명을이일해선생님 [3] 께배웠다. Caley-Hamilton Theorem 은행렬식에관한내용이므로, 행렬식의완결판 이라고할수있는 classical adjoint를이용하는증명이있는것은당연하다. Adjoint matrix 를이용한 Caley-Hamilton Theorem 의증명 : 간편한표기 법을위하여 T = A M n,n (F ) 라고하자. ( 그렇게가정해도좋은이유는무엇인 가?) 그리고, 행렬 (ti A) 의 adjoint matrix 를 B(t) 라고표기하자. ( 유식한척 하자면, (ti A) 와 B(t) 등을 F [t]- 위의행렬로본다. 12 ) 이제, adjoint matrix 의 정의를살펴보면, B(t) 의모든좌표들이 (t 에관해 ) (n 1)- 차이하의 degree 를 갖는다항식임을알수있다. 따라서, B(t) = B 0 + tb 1 + + t n 1 B n 1, ( 단, B 0, B 1,..., B n 1 M n,n (F )) 로표현할수있을것이다. (B i 에는 t 가나타나지않는다.) 그런데, adjoint matrix 에관한정리 6.7.2 에의하면, 이다. 그러므로, 로표기하고, 위식의양변을비교하면, 를얻는다. B(t)(tI A) = det(ti A) I = ϕ A (t) I ϕ A (t) = t n + a n 1 t n 1 + + a 1 t + a 0 B 0 A = a 0 I B 0 B 1 A = a 1 I. B n 2 B n 1 A = a n 1 I B n 1 = I 이식들의양변에각각 ( 위에서부터차례대로 ) I, A, A 2,..., A n 을 ( 오른쪽에 ) 곱해모두더하면, 0 = ϕ A (A) 를얻는다. 12 이증명이읽기에벅차면, 내년으로 matrix algebra M n,n (F [t]) 가익숙해진후로 미루 어도좋다. 22

7.5 : 연습문제추가 다음은연습문제 7.5.12 의결과이다. 연습문제 7.5.12 a. T LM 이다음조건 tr(t ) = n, T m = I, (for some integer m 1) 을만족시키면 ( 물론 n = dim V ), T = I 임을보여라. Hint : T 를 triangularize 하면, T 가 unipotent 임을보일수있다. ( 이때아래연습문제 7.5.12 b 가필요할것이다.) 그리고연습문제 7.5.12를적용. 다음연습문제는정말초보적이지만, 아마도그리익숙하지는않을것이다. 연습문제 7.5.12 b. α 1,..., α r C 가다음조건 α 1 + + α r = α 1 + + α r 을만족시키면, α i = c i β, (i = 1,..., r) 인 β C와 0 c 1,..., c r R 이존재함을보여라. 물론이때 β = 1 이라고해도 OK. Hint : r 에관한귀납법. 참고사항두개. 참고 : ( 가 ) 연습문제 7.5.12 b 는이 document 의연습문제 10.2.8 a 의특수한경우이다. ( 나 ) ( 현대대수학 1 을수강한후에읽어보라.) 연습문제 7.5.12 a 의명제는 char(f ) > 0 이면, true 가아니다. 23

7.6 : Direct Sum 의 Associativity 7.6의 direct sum에서확인해두어야할사항들이있다. 이내용은출판물에포함시키기에는좀어색 ( 지저분 ) 하여이곳에올린다. 13 ( 아래의모든벡터공간은 V 의부분공간이고, 예를들어, w i W i, u U.) Commutativity : U W = W U. 뜻풀이 : 우리는 U W = 0 일때, U + W = U W 의표기법을사용한다. 마찬가지로우리는 W U = 0 일때, W + U = W U 의표기법을사용한다. 즉, U W = W U 의뜻은 U W = 0 = W U 이고, U +W = W + U 라는것이다. 연습문제 : σ S k 일때, 다음등식 W 1 W k = W σ(1) W σ(k) 의의미를설명하라. Associativity : (W 1 W 2 ) W 3 = W 1 W 2 W 3 = W 1 (W 2 W 3 ). 뜻풀이 : 예를들어, U = W 1 W 2 로놓으면, U 의모든원소는 (w 1 + w 2 ) 의꼴로유일하게쓸수있다. 그리고 (W 1 W 2 ) W 3 = U W 3 의모든원소는 (u+ w 3 ) 의꼴로유일하게쓸수있으므로, 결국 (W 1 W 2 ) W 3 의모든원소는 (w 1 +w 2 )+w 3 의꼴로유일하게쓸수있다. 한편, (W 1 +W 2 +W 3 ) 의모든원소는 (w 1 + w 2 + w 3 ) 의꼴로유일하게쓸수있다. 그말이그말 ( 종이가아깝다 ). 따라서, (W 1 W 2 ) W 3 = W 1 W 2 W 3. 오른쪽등식도마찬가지. 연습문제 : 만약 V = W 1 W k 이고, 이면, W i = U i1 U i2 U ihi, (i = 1,..., k) 로쓸수있음을설명하라. V = U 11 U 1h1 U k1 U khk 13 이내용은 현대대수학 강좌에서 internal direct sum 과 external direct sum 은본질적으로 같음을배우면더욱분명해진다. [II, 제 9 장 ] 참조. 24

관찰 7.6.19 의 Elementary Proof 관찰 7.6.19. F n 의모든 subspace 는 solution space of ( ) AX = 0 for some A M m,n (F ). ( 물론이런 A 와 m 은유일하지않다.) 이관찰의증명은 direct sum 과 natural projection 을이용하는것이우리의 취향 이다. 그렇지만, 물론, direct sum을모르고도이관찰을증명할수있다. Elementary Proof : W F n 일때, W = ker L A 인행렬 A M m,n (F ) 를찾아야한다. 우선 {X 1,..., X r } 을 W 의 basis 라고하고, 이를 extend 하여 F n 의 basis {X 1,..., X r, Y 1,..., Y m } 을찾는다. 다음 linear map L : F n F m 을 L(X i ) = 0, L(Y j ) = f j, (1 i r, 1 j m) 로정의하자 ( 단, {f 1,..., f m } 은 F m 의표준기저 ). 그러면, 기본정리에의해 L = L A 인 A M m,n (F ) 가존재하고, 이때 ker L = ker L A = W 인것은자명. 25

보기 8.1.3. 보기 8.1.3의설명에약간의 gap 이있는것같다. 즉, α C 가 f(t) R[t] 의 root이면, α C 도 f(t) 의 root이지만, 아직 f(t) 의 non-real root가짝수개인것을알수없다. 왜냐하면, non-real root α 와 α 의 multiplicity가다를수도있기때문이다 ( 물론그런일은일어나지않지만 ). 이제이 gap 을메워보자. 만약 f(t) 가 non-real root α 와 α 를갖는다면, f(t) = (t α)(t α)f 1 (t) 인 f 1 (t) C[t] 가존재할것이다. 이때 f 1 (t) R[t] 임을보일수있다면, 이런작업을계속하거나또는수학적귀납법으로증명을끝낼수있을것이다. 그러나 f 1 (t) R[t] 임은자명하지않다. 뭐어렵지도않지만. 명제 : f(t) R[t] 가 non-real root α( 와 α) 를가질때, g(t) = (t α)(t α) R[t] 로놓자. 그러면, g(t) divides f(t) in R[t]. 증명 : R[t] 의 division algorithm 을이용한다. 이제 f(t) = g(t)q(t)+ r(t), deg(r) 1 인 q(t), r(t) R[t] 가존재할것이다. 이등식의양변을 α 에서 evaluate 하면, g(α) = 0 이므로, 0 = f(α) = g(α)q(α)+ r(α) = r(α) 가된다. 그러나 α / R 을 root으로갖는 1-차이하의실계수다항식은 zero 뿐이다. 즉, r(t) = 0. 독자들은위명제의증명과정리 7.5.2 의증명및보기 7.5.5 의논의와비교해보기바란다. 14 참고 : 위명제의증명은내년에 현대대수학 을수강한후에는우리의 사고방식 이된다. 즉, g(t) = (t α)(t α) = irr(α, R) 이고, f(α) = 0 이므로, g(t) divides f(t) in R[t]. 14 이들은모두저자가 학부대수학의반 이라고부르는 argument이다. 26

보조정리 8.3.4 의증명 내년에 [ II, 제 5 장 ] 을공부한후, [ Euclidean domain, PID 또는 UFD 에서 는 irreducible 이면 prime] 이라는명제를알게되면, 보조정리 8.3.4 의증명은 k = 2 인경우만생각하면충분하다는것을보일수있다. 뿐만아니라, k = 2 일때는보조정리 8.3.4 의증명도 ( 훨씬 ) 더간단하다. 연습문제 : ( 가 ) 보조정리 8.3.4 를 k = 2 라고가정하고증명하라. ( 나 ) ([II, 제 5 장 ] 을공부한후 ) 보조정리 8.3.4 는 k = 2 일때만증명하면충분 함을설명하라. 사족 15 : 제8장여러곳에 ( 특히, 다항식의 ) 소인수분해와관련된지식이필요하지만 3학년의대수학강좌를기대하면서 선형대수학강좌에서는이부분을적당히넘어가는것이上策이다. 16 Monic polynomial들만생각하는것이요령일수도있다. 15 사족 = 畵蛇添足 = 쓸데없는군짓을하여도리어잘못되게함을이르는말. 16 중고등학생때는모든것을적당히넘어갔었다! 27

8.6 : h i 와 r ij 는 Similarity Relation 의 Invariant 233 쪽마지막단락에서 자연수 h i 와 r ij 가 similarity relation 의 invariant 임은당연하다 라고한것은, 물론, 같은것은같다 는우리의철학이다. 그렇 지만누가증명을 ( 종이를아끼지말고 ) 써보라고강요한다면. 관찰 : h i 와 r ij 는 similarity relation의 invariant 이다. 증명 : T S LM 이라고하면, φ T = S φ 인 V 의 automorphism φ 가존재한다. 이제 T 에관한 cyclic decomposition 이 V = U 1 U h 라고하자. 이때 U j 는 T -cyclic이므로, U j = F [t]w j 인 w j V 가존재할것이다. 그리고 T 에관한 w j 의 minimal polynomial을 m T w j (t) = p j (t) r j 로놓자 ( 단, p j (t) 는기약다항식 ). 우리는 S 에관한 cyclic decomposition도같은자연수 h, r j 를갖는것을보여야한다. 우선 V = φ(v ) = φ(u 1 ) φ(u h ) 임을설명하는것은진짜종이낭비이다. 이때 φ f(t ) = f(s) φ, (f(t) F [t]) 인것도자명하므로, φ(u j ) = φ ( F [T ]w j ) = F [S]φ(wj ) 가된다. 17 이는 φ(u j ) 가 S-cyclic 이라는뜻이다. 마지막으로, f(s) ( φ(w j ) ) = φ ( f(t )(w j ) ), (f(t) F [t]) 이므로, T 에관한 w j 의 annihilator ideal I T w j 와 S 에관한 φ(w j ) 의 annihilator ideal I S φ(w j ) 는같다. 따라서 mt w j (t) = p j (t) rj = m S φ(w j ) (t). 17 F [T ]w j 의표기법은별로좋은표기법은아니지만, 그의미는분명하다. 28

정의 8.6.3 : Partition Function 정의 8.6.3 에서저자가 partition function 을 π(n) 으로표기한것은 standard notation이아니다. 18 전통적으로 partition function은 p(n) 으로표기한다. ( 한편, x 가양의실수일때, 전통적으로 π(x) 는 x 보다작거나같은 (positive) prime number의개수를의미한다.) 다만 학부대수학 에서는 prime number p, irreducible polynomial p(t) 등에서 p 가너무많이사용되어 ( 임시방편으로 ) partition function을 π(n) 으로표기하였다. 18 이를지적해준홍진교수에게감사. 29

따름정리 8.6.6 과 Conjugate Partition 우리는흔히 partition 을그림으로나타낸다. 예를들어 (12 의 ) partition (5, 3, 3, 1) 은다음그림처럼 Young diagram 또는 Ferrers diagram Young diagram Ferrers diagram 으로나타낸다. 우리는 Young diagram을더즐겨사용하는데, 그이유는 Young diagram의 정사각형 box 들 안에무언가 ( 대개자연수 ) 를써넣을수있기때문이다. 19 그런데, 위그림들은 partition의 part들을 가로줄 로나타낸것이다. 그러나, 어떤이들은 취향에따라 세로줄 을선호할수도있을것이다. 즉, 아래 [ 그림 3] 은 [ 그림 1] 을 세로줄 로그린것이다. [ 그림 1] 로부터 [ 그림 3] 을얻으려면, [ 그림 2] 의 diagonal bullet 들을기준 ( 대칭축 ) 으로뒤집으면 ( 대칭이동하면 ) 된다 ( 행렬의 transpose처럼행과열을바꾸었다고생각할수도있다 ). [ 그림 1] [ 그림 2] [ 그림 3] 요즘유행은 가로줄 을선호하는듯하므로, 우리도유행을따르기로하자. 그러면, 위 [ 그림 1] 은 partition (5, 3, 3, 1) 을의미하고, [ 그림 3] 은 partition (4, 3, 3, 1, 1) 을의미한다. 이때 partition (4, 3, 3, 1, 1) 을 partition (5, 3, 3, 1) 의 conjugate partition 이라고부른다. 20 19 Young diagram 의 정사각형 box 들 안에무언가를써넣은그림은 Young tableau 라고부른 다. Tableau 의복수형은 tableaux. 20 물론 conjugate partition 이자기자신인 self-conjugate partition 들도있다. 예를들면, (2, 2), (3, 2, 1) 등. 30

그런데, e 의 partition (r 1,..., r h ) 의 conjugate partition 을 (s 1,..., s f ) 라고 놓을때, r j 들로부터 s c 들을어떻게묘사할수있을까? 답은연습문제 8.6.5 에 주어져있다. 21 ( 물론 f = r 1 이고 h = s 1 인것은자명. 왜그런가?) 관찰 : s c = [r j c 인 j 의개수 ]. 증명 : 매우상식적 (!) 이다. ( 그림을그려보면자명하다는뜻. 더이상의설명 은피차시간낭비.) 한편, 두번뒤집으면원래상태로돌아오므로 즉, conjugate 의 conjugate 는자기자신이므로 같은방법으로 (s 1,..., s f ) 로부터 (r 1,..., r h ) 를복구할 수있을것이다. 이제따름정리 8.6.6 을다시읽어보기바란다. 21 일부러연습문제 8.6.5 에서와같은표기법을사용하였다. 31

대각화가능한경우의분해정리 T LM 이 diagonalizable 인경우에 T 에관한 V 의 primary decomposition 과, 특히, cyclic decomposition, 그리고 Jordan canonical form이어떻게되는지 수강생의질문을받았다. 이제다시살펴보니, 교재에서는 primary decomposition에관해서만보기 8.3.1( 가 ) 항에서 (Primary Decomposition Theorem을소개하기전에 ) 간단히언급했을뿐이다. 이질문에의답은두개의분해정리를이해하는좋은보기이므로, 교재에포함되었어도좋았을것으로생각되어이곳에 종이를아낌없이사용하면서 친절히답하기로한다. 답은물론 대각행렬은아무리분해해도대각행렬 이라는것이다. 이제 T LM 이 diagonalizable 이라고하고, 구체적으로살펴보자. 우선, 따름정리 8.4.1(Primary Decomposition Theorem 의따름정리 ) 에의해 m T (t) = (t λ 1 ) (t λ k ) 가된다 ( 물론 λ i F 이고, λ i λ k if i j). 즉, 표기법 8.3.2 에서 라는뜻이다. 따라서 p i (t) = t λ i, f i = 1, (i = 1,..., k) ϕ T (t) = (t λ 1 ) e1 (t λ k ) e k 로쓸수있다. 그리고, 물론 ker(t λ i I) = Eλ T i, (i = 1,..., k) 이므로, T 가 diagonalizable 이면 primary decomposition 과 eigen-space decomposition 은같다 ( 보기 8.3.1( 가 ) 항참조 ). 이때 T 의행렬표현은 λ 1 I e1 0 T 0 λ k I ek 가된다 (220쪽의 block diagonal matrix ( ) 참조 ). 32

다시표기법 8.3.2에서와같이 W i = ker(t λ i I) = Eλ T i, T i = T Wi, (i = 1,..., k) 로간단히표기하면, T acts as a scalar on each W i. 즉, T i = λ i I Wi, dim W i = e i, (i = 1,..., k) 가된다. 또 ϕ Ti (t) = (t λ i ) ei, m Ti (t) = t λ i, (i = 1,..., k) 인것도당연하다. 이제 Cyclic Decomposition Theorem을각각의 T i 에적용할 차례이다. 먼저, 다음참고사항은거의자명하다. ( 이참고사항도교재에서한 번쯤언급했었다면좋았을것같다.) 참고 : U W i 일때, U 가 T -cyclic 이라는말과 T i -cyclic 이라는말은같은말 이다. 또 0 u W i 이면, u 는 T 의 eigen-vector이고 T i 의 eigen-vector이기 도하다 (eigen-value는물론 λ i ). 그런데, 만약 0 u W i 이면, F [t]u = u 는 1-dimensional T -cyclic subspace인 것도거의자명하다 ( 연습문제 8.5.13). 따라서 {u i1,..., u iei } 를 W i 의 ( 임의의 ) basis 라고할때, U ij = u ij 로표기하면, W i = u i1 u iei = U i1 U iei, (i = 1,..., k) 가 W i 의 cyclic decomposition이된다. 물론 dim U ij = 1, ϕ T Uij (t) = m T Uij (t) = t λ i 이다. 즉 8.6의표기법을사용하면, 모든 i, j 에대해 r ij = 1 이된다. 따라서 T i 에대응하는 e i 의 partition은 (1,..., 1) 이다 (235쪽및정의 8.6.3 참조 ). 그리고 t λ i F [t] 의 companion matrix 는 ij = λ i M 1,1 (F ) 이다 (234쪽 block diagonal matrix ( i ) 참조 ). 마지막으로 Jordan canonical form도생각해보자. 이제 236쪽과같이 N i = T i λ i I, (i = 1,..., k) 로놓으면, 물론 N i = 0 이다. 한편 0 LM 의 cyclic decomposition은자명하다 ( 왜그런가?). 즉 T i 의 Jordan canonical form도 i = λ i I ei. 이를표기법 8.7.4를이용해나타내면, i = J (1,...,1) 이된다. 33

연습문제 8.7.8 : 도움말 연습문제 8.7.8 은제법분량이많다. 22 tip 을마련하였다. 독자들의시간절약을위해몇가지 연습문제 8.7.8 을푸는방법은본질적으로두가지가있을것이다. [ 방법 1] : 답의후보의개수를줄여가는 ad hoc( 주먹구구 ) method. [ 방법 2] : 연습문제 8.6.5 와따름정리 8.6.6 을이용하는 theoretical method. 표기법 8.7.4의 J (r1,...,r h ) 를계속사용하고, 간단히 J = J (r1,...,r h ) 로표기하자. 우리는 deg(m J ) = r 1 임을잘알고있다. 또 A = λi + N c 또는 A = λi + N c + N 6 로놓자. 우리는 N 7 = 0 인것과, a 1일때, N a 이어떤모양인지알고있으므로 ( 연습문제 8.7.6 참조 ), deg(m A ) 와 rk(a λi) a 를구할수있다. 물론같은방법으로 rk(j λi) a 을구할수있고, 따라서 dim ker(j λi) a 도구할수있다. [ 방법 1] : (i) 예를들어, c = 2라고하자. 그러면 deg(m A ) = 4이므로, A의 Jordan canonical form J 에대응하는 partition의첫 part는 4로시작해야한다. 즉, J 의후보는 J (4,3), J (4,2,1), J (4,1,1,1) 뿐이다. 그런데 rk(a λi) = 5이고, J 의세후보중 rk(j λi) = 5인것은 J (4,3) 뿐이다. (ii) 예를들어, c = 3이라고하자. 그러면 deg(m A ) = 3이고 rk(a λi) = 4 이므로, 이경우에는아직도 J (3,3,1), J (3,2,2) 의두후보가남는다. 그래서연습문제 8.7.7 에서처럼 rk(a λi) 2 = 1인것도조사해야한다. 23 답은 J (3,3,1). [ 방법 2] : 연습문제 8.6.5 와따름정리 8.6.6 을적용하려면, dim ker(a λi) a 을구해야한다 ( 단, a 1). 다시예를들어, c = 2라고하자. 그러면, 연습문제 8.6.5 의표기법을사용할때, s 1 = 2, s 2 = 2, s 3 = 2, s 4 = 1이된다. 24 따라서 (s 1,..., s f ) = (2, 2, 2, 1). 이제 Young diagram을그려보면, (2, 2, 2, 1) 의 conjugate partition은 (4, 3) 임을알수있다. 25 답은 J (4,3). 22 이제생각해보니, c = 6인경우도추가할수있겠다. 23 [ 방법1] 을사용하면, rk(a λi) 2 을조사해야하는경우는 c = 3일때뿐이다. 24 이경우 rk(a λi) 3 = 1까지구해야한다. 25 Conjugate partition은이문서의앞부분참조. 34

8.7 : 점화식 ( 보기 7.2.21 계속 ) Jordan canonical form J 의 착한 점하나는 물론 diagonal matrix 만은못 하지만 J m 을쉽게계산할수있다는것이다. 연습문제 8.7.6 참조. 보기 7.2.21의 linear recurrence sequence x n+2 = ax n + bx n+1, (n 1) ( ) 0 1 에서행렬 A = M 2,2 (F ) 의 characteristic polynomial ϕ A (t) 가重根 a b λ F 를갖는경우를생각하자. 즉, ϕ A (t) = t 2 bt a = (t λ) 2, b 2 + 4a = 0, 2λ = b 라고가정하자. 그러면, A 는대각화할수없으므로 ( 왜그런가?), ( ) ( ) λ 1 λ n U 1 AU =, A n nλ n 1 = U 0 λ 0 λ n 인 U M 2,2 (F ) 가존재할것이다. U 1 연습문제 : 위에서 U M 2,2 (F ) 를구하고, 임을보여라. x n+2 = nλ n+1 x 1 + (n+ 1)λ n x 2, (n 1) 35

정리 9.2.11( 가 ) 항 : 증명추가 정리 9.2.11. ( 가 ) L(0) = 0 인 R n 의 rigid motion L 은 linear map. 이정리는 宇宙의神秘를푸는첫열쇠 이니, 당연히다양한설명과증명이 가능하다. [I, 개정판 ] 에는두가지증명이있다. 첫번째증명 : 이증명을저자는 [M. Artin, Algebra] 에서배웠다. 이증명은기본정리와연습문제 9.2.7이우리에게중요한 motivation임이잘드러나도록고안된 다분히교육적인 증명이라고할수있다 ( 연습문제 9.2.13 참조 ). 어쨌든, 첫번째증명에는 Dimension Theorem 과기본정리뿐만아니라, 연습문제 9.2.7이결정적인역할을하고있다. 두번째증명 : 이증명은정경훈교수가제안한것이다. 이증명을위해서는관찰 9.2.8의 ( 다 ) 항과 ( 라 ) 항의준비만으로충분하다. 이두번째증명은첫번째증명보다간단해보이지만, 다시들여다보아도아무런 motivation도발견할수가없다. 그런의미에서이두번째증명은매우難解한증명이라고생각된다. 이제세번째증명을소개한다. 이증명은이호주박사가제안한것이다. 이 증명은그성격으로보아, 사실은, 1 1 2 -번째증명이라고부르고싶다. 이증명을 위해서는관찰 9.3.4 의조건 (5) 를먼저증명해야한다. 26 세번째증명 : B = { L(e 1 ),..., L(e n ) } 은 R n 의 orthonormal basis 이므로 ( 관 찰 9.2.8( 라 ) 항 ), linear operator M : R n R n 을 M(e i ) = L(e i ), (i = 1,..., n) 으로정의하자 (Linear Extension Theorem). 이제 L = M 임을보이면된다. 그런데관찰 9.3.4의조건 (5) 에의하면, M 도 rigid motion이다 ( 물론 M(0) = 0). 따라서, X R n 이면, 관찰 9.2.8( 다 ) 항에의해, L(X), L(ei ) = X, e i = M(X), M(e i ) = M(X), L(e i ), (i = 1,..., n) 이된다. 즉, L(X) M(X) B = 0, 이므로, L = M. 26 물론, 정리 9.2.11 을모르더라도, 관찰 9.3.4 를증명할수있다. 36

다음네번째증명은 [ Friedberg-Insel-Spence, Linear Algebra] 을조금달리 표현한것이다. 이증명은매우난해한두번째증명보다더난해하다. 끝까지 계산으로확인하기전에는그진위조차자신할수없을지경이다. 27 네번째증명 : 이증명을위해서는사실관찰 9.2.8 의 ( 다 ) 항의준비만으로충 분하다. 이제, X, Y R n 이면, L(X + Y ) L(X) L(Y ), L(X + Y ) L(X) L(Y ) = L(X + Y ), L(X + Y ) L(X + Y ), L(X) L(X + Y ), L(Y ) L(X), L(X + Y ) + L(X), L(X) + L(X), L(Y ) L(Y ), L(X + Y ) + L(Y ), L(X) + L(Y ), L(Y ) = X + Y, X + Y X + Y, X X + Y, Y = 0 X, X + Y + X, X + X, Y Y, X + Y + Y, X + Y, Y 이므로, L(X + Y ) L(X) L(Y ) = 0. 그리고, X R n, c R 이면, L(cX) cl(x), L(cX) cl(x) = L(cX), L(cX) L(cX), cl(x) cl(x), L(cX) + cl(x), cl(x) = cx, cx c cx, X c X, cx + c 2 X, X = 0 이므로, L(cX) cl(x) = 0. 증명끝! 앞네개의증명은모두 rigid motion 의연속성을비롯한어떤 geometric intuition 도필요로하지않는다. 이제마지막으로그래도 geometric proof 라 고부를만한증명을하나소개한다. 먼저준비가필요하다. 다음연습문제는 geometrically obvious! ( 그림을그려보라.) 연습문제 : 벡터의 내분점 / 외분점 은길이 ( 또는거리 ) 에의해결정된다. 즉, X, Y R n, t R 일때, 다음조건 (1) Z = tx + (1 t)y (2) Z X = 1 t X Y and Z Y = t X Y 은동치임을보여라. 27 이네번째증명은 [I, 초판 ] 에도실려있었다. 37

다섯번째증명 : 면, 앞연습문제에의해 (i) X, Y R n 이고 0 t 1 일때, Z = tx +(1 t)y 로놓으 Z X = 1 t X Y, Z Y = t X Y 이다. 이제 L 은 rigid motion 이므로, L(Z) L(X) = Z X = 1 t X Y = (1 t) L(X) L(Y ) 이고, 마찬가지로 L(Z) L(Y ) = t L(X) L(Y ) 가된다. 다시앞연습문제에의하면, 이는 L ( tx + (1 t)y ) = L(Z) = tl(x)+ (1 t)l(y ) 라는뜻이다. 즉, rigid motion 은길이 ( 거리 ) 를보존하므로, 벡터의 내분점 / 외 분점 도 보존 한다고말할수있다. (ii) 이제 X R n, c R 이면, L(0) = 0 이므로, 앞 (i) 항에의해, 가된다. L(cX) = L ( cx + (1 c)0 ) = cl(x)+ (1 c)l(0) = cl(x) (iii) 또, X, Y R n 이면, 앞 (i) 항과 (ii) 항에의해, L(X + Y ) = L ( 1 2 (2X)+ 1 2 (2Y )) = 1 2 L(2X)+ 1 2 L(2X) = L(X)+ L(Y ) 임을알수있다. 다음은 제10장을공부한후 독자들에게맡긴다. 연습문제 : 앞세번째, 네번째및다섯번째증명은 inner product space(over R) 에서도유효한가? ( 필요하다면, standard basis 대신 orthonormal basis 를생각. 정리 10.5.7 참조.) 38

10.2 : 연습문제추가 다음은관찰 10.2.8(Cauchy-Schwarz Inequality 와 Triangle Inequality) 의결 과이다. 연습문제 10.2.8 a. Inner product space V 의 vector v 1,..., v r 이다음조건 v 1 + + v r = v 1 + + v r 을만족시키면, v i = c i w, (i = 1,..., r) 인 w V 와 0 c 1,..., c r R 이존재함을보여라. 물론이때 w = 1 이라고해 도 OK. Hint : r 에관한귀납법. 39

10.5 : Inner Product Space Isomorphism 의정의 다음내용은수업중한수강생의질문에답하면서알게된것이다. 연습문제 : V, W 가 inner product space 일때, 함수 φ : V W 가다음조건 φ(u), φ(v) = v, w, (u, v V ) 을만족시키면, 28 보여라. φ 를 inner product preserving function 이라고부르자. 다음을 ( 가 ) v V 이면, φ(v) = v. ( 나 ) v V 일때, φ(v) = 0 if and only if v = 0. ( 특별히, φ(0) = 0.) ( 다 ) u, v V 이면, φ(u) φ(v) if and only if u v. 29 ( 라 ) φ 는 orthonormal basis 를 orthonormal basis 로보낸다. 저자는이제 가장난해한증명 이었던정리 9.2.11( 가 ) 항의네번째증명의본질을이해하게되었다! 명제 : Inner product preserving function 은 linear map. 증명 : (i) 이문서의 [ 정리 9.2.11( 가 ) 항 : 증명추가 ] 의네번째증명을다시쓰 면된다 (complex conjugation 을몇개추가하고 ). 즉, 이네번째증명에는오직 inner product preserving condition( 즉, 관찰 9.2.8( 다 ) 항 ) 만있으면된다. 30 (ii) 위연습문제의 ( 라 ) 항을이용하면, 정리 9.2.11( 가 ) 항의두번째증명도유효 하다. 확인해보기바란다. 따라서, 만약 (V, W 가 f.d.v.s. 이고 ) dim V = dim W 이면, inner product preserving function 은항상 vector space isomorphism 이다 ( 비둘기집원리 ). 즉, 이경우에는 inner product space isomorphism 과 inner product preserving function 은같다. 연습문제 : φ : V W 가 inner product preserving function 이면, 임을보여라. φ(u) φ(v) = v w, (u, v V ) 28 이조건만으로는 φ 가 ( 아직 ) 연속함수인것도알수없다. 29 사실 φ 는사잇각을보존함을알수있다. 30 이증명에는앞연습문제도 φ(0) = 0 도 필요하지않다. 40

F = R 일때, 10.7 과미적분학 F = R 일때, Least Squares Approximation(LSA) 과 Minimal Solution Problem(MSP) 은최솟값문제이므로, 당연히미적분학 gradient 와 Lagrange multiplier 을이용해설명할수도있다. ( 응용분야 예를들어, 통계학, 경 제학, 공학등 에서는대개 ( 제법수준높은책에서도 ) 미적분학을선호한다.) 주의 : R n 의모든벡터는 column vector 이다. 따라서 gradient vector 도물론 column vector. 아마다음명제가익숙한독자들은별로많지않을것으로짐작한다. 그러나 응용분야에서는 routine. 증명은생략한다. 명제 (Lagrange multipliers with multiple constraints) : f, g 1,..., g k : R n R 이미분가능한 n- 변수함수들일때, S = {X R n g i (X) = 0 for all i = 1,... k} 로표기하자. 만약 f 가 S- 위에서 maximum 또는 minimum f(x 0 ) 를갖는다면 ( 물론 X 0 S), 31 다음등식 grad f(x 0 ) λ 1 grad g 1 (X 0 ) λ k grad g k (X 0 ) = 0 을만족시키는 λ 1,..., λ k R 이존재한다. 32 이제 LSA 문제를설명해보자. ( 명제 10.7.3 과명제 10.7.4 의표기법을계속 사용한다.) n- 변수함수 f : R n R 을 f(x) = AX B 2 = AX B, AX B, (X R n ) 으로정의하면, 아래연습문제에의해 grad f(x) = 2A t (AX B), (X R n ) 이된다. 이때 f 가 f(x 0 ) 에서최솟값을가지려면, 0 = grad f(x 0 ) = 2A t (AX 0 B) 이어야한다. 즉, A t AX 0 = A t B. 단, 최솟값의존재는명제 10.7.3 처럼 혹 은그림으로 설명해야한다 (AX 0 는 B 에서 im A 에내린수선의발 ). 31 이때 maximum 또는 minimum 의존재여부는따로설명해야한다. 32 엄밀하게하자면, grad g i (X 0 ) 0 인 i 가적어도하나는있어야한다. 41

연습문제 : 위 LSA 문제에서 임을보여라. grad f(x) = 2A t (AX B), (X R n ) 특히통계학에서는 LSA problem에서 g(x) = x 1 + + x n, (X R n ) 으로정의하고, g(x 0 ) = 0 이라는 constraint 를추가할때가있다. 이는 X 0 의좌표들의평균을 0 으로 normalize 하자는것이다. 만약 g(x 0 ) = 0 일때 f(x 0 ) 가최솟값이라면, Lagrange 승수법을이용해다음연립방정식 0 = grad f(x 0 ) λ grad g(x 0 ) = 2A t (AX 0 B) λ(1,..., 1) t 을풀면된다. 물론 W = {X R n x 1 + + x n = 0} 으로표기하면, AX 0 는 B 에서 im ( ) L A W = AW 에내린수선의발이다. 따라서, AW 의 orthonormal basis 를구해관찰 10.4.2 를적용해도된다 ( 연습문제 10.4.3 참조 ). 다음은 MSP. ( 이번에는명제 10.7.10의표기법을계속사용한다.) 이문제는 f(x) = X 2, grad f(x) = 2X (X R n ) 일때, m-개의 n-변수함수들 g i (X) = [ (AX B) 의 i-좌표 ] = ( j a ) ijx j bi, (X R n, 1 i m) 을생각하면된다. 이때 grad g i (X) = ([A] i ) t, (X R n ) 임은쉽게확인할수있다. 이제만약 [ g i (X 0 ) = 0 for all i] 일때 f(x 0 ) 가최솟값이라면, Lagrange 승수법에의해 0 = grad f(x 0 ) i λ i grad g i (X 0 ) = 2X 0 i λ i([a] i ) t 인 λ i 가존재할것이다. ( 최솟값의존재는 X 0 가원점에서 ( ) AX = B 의해집합에내린수선의발이라고설명한다.) 그런데, 2X 0 = i λ i([a] i ) t = A t (λ 1,..., λ m ) t 이므로 ( 확인해보라 ), X 0 im A t. 33 33 이증명은 grad g i (X 0 ) 이모두 0이더라도 즉, A = 0이고 B = 0이더라도 성립한다. 이때 X 0 = 0 im A t. 42

12.2 : 연습문제추가 다음연습문제는행여나독자들을헷갈리게할까염려되어 한참망설이다가 본문에서는제외하였다. ( 지금다시보니, 뭐그리헷갈릴것도없다.) 먼저표기법 11.3.9 를다시분명히한다. 표기법 11.3.9. H, K G 일때, 로표기하면자연스럽다. HK = {hk G h H, k K} 아래연습문제들은연습문제 12.2.6 다음에위치하면적당할것같다. 연습문제 12.2.6a. 만약 N G 이면, x, y G 일때, 집합으로서 (xn)(yn) 과 (xy)n 은같음을보여라. 따라서 quotient group G/N 의 binary operation 을 x y = xy 로정의하는것은더욱자연스럽다. 연습문제 12.2.6 b. 다음조건 (1) N G. (2) (xn)(yn) = (xy)n as sets, for all x, y G. 은동치임을보여라. 43

13.4 : Lorentz Group A. Einstein의 Special (Theory of) Relativity를아는체하고싶지는않다 ( 잘모른다 ). 다만, 참지못하고, Lorentz group 과관련된몇개의 comment 를간단히소개한다. 34 독자들은우선연습문제 13.4.8에서자연스러운 embedding O(1, 1) O(3, 1) 은세개가있음에유의하기바란다. 아래 comment 들을읽기전에먼저 [ FIS] =[ Friedberg-Insel-Spence(Linear Algebra, 4th ed., Pearson, 2002), 6.9] 의 linear algebra viewpoint (of) the essence of Einstein s theory 를공부하기바란다. (Space-time R 4 의 event ( 의정의 ) 에관한질문은전문가에게.) 참고 11.4.9a. 다. 확인해보라. [FIS, Theorem 6.41 의 Corollary] 는 B v O(3, 1) 이라는뜻이 참고 11.4.9b. [ FIS, Theorem 6.42] 에등장하는 Special Relativity 의 essence 1 1 v 0 0 v 2 1 v 2 0 1 0 0 B v = O(3, 1) 0 0 1 0 v 1 1 v 0 0 2 1 v 2 에대응하는 O(1, 1) 의원소는 ( 1 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 1 1 v 2 ) SO (1, 1) 이다 ( 자연스러운 embedding O(1, 1) O(3, 1) 을생각 ). 사족 35 : 결국 Special Relativity 는 O(3, 1) 에관한공부이다. 그리고 linear algebra viewpoint 에서, 만약 O(4) 가아니라면, 그다음엔 O(3, 1) 을생각하 는것은너무나당연하다. 우리는흔히다음과같이말한다 : Special Relativity 는꼭 A. Einstein 이아니었더라도누군가발견했을것이다. 다만, General (Theory of) Relativity 는. 34 Special Relativity 의역사 특히 H. Lorentz s 1904 model 에관해서는 wikipedia 참조. 35 사족 = 畵蛇添足 = 쓸데없는군짓을하여도리어잘못되게함을이르는말. 44

관찰 13.6.2 : 증명추가 V 가 f.d.v.s. 일때, 함수 ψ V : V V 가 natural isomorphism 임을증명하 려면, 관찰 13.6.2 가필요하다. 관찰 13.6.2. v V 일때, [f(v) = 0 for all f V ] 이면, v = 0. [I] 의증명과별차이는없지만, 그래도다음증명을선호하는독자들도있을것이다. 증명 : 만약 v 0 이라면, V 의 basis {v = v 1, v 2,... v n } 이존재할것이다 (Basis Extension Theorem). 그런데, v (v) = v 1 (v 1 ) = 1 0 이므로, 가정에모순. 45

정리 13.7.3( 나 ) 항의 Elementary Proof 우리가소위 duality 라고부르는정리 13.7.3( 나 ) 항의 elementary proof 를소 개한다. ( 정리 13.7.3( 가 ) 항의증명은항상 elementary.) 우리는본문에서, ( 가 ) 항의증명의 거울에비친 image 를보며, ( 나 ) 항을 ( 본질적으로같은 ) 두가지방법으로요란스럽게증명했었다. 그렇지만, 물론 거울 이필요없는 elementary proof 도가능하다. ( 독자들은 ( 거의 ) 1년동안의경험으로, elementary proof 가불가능한선형대수의명제가있다면오히려깜짝놀랄일임을느끼고있을것이다.) 정리 13.7.3. ( 나 ) V 가 f.d.v.s. 일때, Y V 이면, dim Y perp = dim V dim Y. Elementary Proof : Y 의 basis 라고놓자. 그러면, B = {v 1,..., v n } 을 V 의 basis 라고하고, {f 1,..., f r } 은 f i = j a ij v j, (1 i r) 인 a ij F 가존재할것이다. 이제 A = (a ij ) M r,n (F ) 로표기하면, rk(a) = r 이된다. 36 한편, v = k b k v k V 이면, 이므로, f i (v) = ( j a ij v j )( k b k v k ) = j a ij b j = [A] i [v] B, (1 i r) v Y perp f i (v) = 0 for all i [A] i [v] B = 0 for all i [v] B ker L A 임을알수있다. 따라서, dim Y perp = dim ker L A = dim V rk(a) = dim V r = dim V dim Y 이다 ( 왜그런가?). 36 이 document 의연습문제 5.4.24b 참조. 지금은그때와 i, j 의역할이바뀌어있다. Elementary proof 는 ( 대개 ) 이렇게 trick 을포함하고있다. 46

13.8 : 관찰추가 Dual map L 의행렬표현은 L 의행렬표현의 transpose 에대응된다 ( 관 찰 13.6.8). 37 특별히 : 관찰 13.6.8a. A M m,n (F ) 이면, 가성립한다. E, F 를각각 F n, F m 의 standard basis 라고하자. 이때, 만약 [(L A ) ] F E = ([L A] E F )t = A t 그렇다면, linear map 의 대표선수 인 L A 의 dual map (L A ) 는어떤 linear map 일까? (L A ) 와 L A t 를 identify 할수있을까? 이를설명하기위해서는우선, (F n ) 와 F n 을 naturally identify 해야한다. 그런데, A M m,n (F ) 일때, L A 는 standard basis 의세계에살고있으므로, 물론 natural isomorphism φ F n 보 : F n (F n ) 를생각하는것은당연하다 ( 단, 보 = 보통내적 = BE I ). 이때, 관찰 13.8.3에의해, 이고, 이는 [φ F n 보 ]E E = [BI E ] E = I φ F n 보 (e i) = e i, (i = 1,..., n) 라는뜻 ( 연습문제 13.8.9 참조 ). 즉, φ F n 보 : F n (F n ) 는여러모로 natural. 관찰 13.6.8b. A = (a ij ) M m,n (F ) 일때, 다음사각형 F m L A t F n F n φ F m 보 φ F n 보 (F m ) (L A ) (F n ) 은 commutative diagram 이다. 즉, (L A ) = L A t. 증명 : 독자들에게맡긴다. 이결과는, 선형사상들의행렬표현을생각하면, 위 관찰 13.6.8a 와동치이다. 37 이추가사항에는 natural isomorphism φ V B 가등장하므로, 13.8에위치해야한다. 47

앞의논의에서우리는모든걸오른손잡이 (left notation) 의세계에서설명했 다. 그런데, 오른손잡이의 거울에비친 image 는왼손잡이 (right notation) 가아닐까? 38 한편, 왼손잡이에게 vector 는 row vector 를의미하 고, 왼손잡이세계에서 linear map 의 대표선수 는 R A 이다. 정의 : A M m,n (F ) 일때, linear map R A : M 1,m (F ) M 1,n (F ) 를 R A (Y t ) = Y t A, (Y F m ) 으로정의한다. 우리는항상 F n, F m 의 standard basis 를각각 E, F 로표기해왔다. 물론 F = F 1 의 standard basis 는 {1}. 관찰 13.6.8c. A = (a ij ) M m,n (F ) 일때, 다음사각형 (L A ) (F m ) (F n ) Ψ F {1} M 1,m (F ) M 1,n (F ) R A 은 commutative diagram 이다. 즉, (L A ) = R A. Ψ E {1} 증명 : 독자들에게맡긴다. 아래연습문제참조. 이다. 위에서, Ψ{1} E, Ψ {1} F 는물론기본정리 ( 정리 5.2.3) 에서정의한 isomorphism들 연습문제 : 위관찰에서, 예를들어, isomorphism Ψ E {1} : (F n ) M 1,n (F ) 는 으로정의되어있음을보여라. Ψ E {1} (e i ) = (e i) t, (1 i n) 독자들은위관찰 13.6.8b 와관찰 13.6.8c 의 identification 중어느것이더 멋있어보이는가? ( 기본정리의 Ψ B C 는 basis B, C 의선택에 depend 하므로 natural isomorphism은아니다. 하기야뭐, 시비를걸자면, φ V B 도 bilinear form B 의선택에 depend 한다.) 38 우리가 거울 을정의한적이없으므로, 이 comment 에목숨을걸필요는없다. 48

앞논의의뿌리에는다음 ( 거의자명한 ) 관찰이자리잡고있다. ( 이관찰은 L A 를정의하면서소개할수도있었겠지만, 독자들이사각형에익숙해지기를기 다려이제야밝힌다.) 다음관찰에서 isomorphism t 와 t 은각각 t(a) = A t, (A M m,n (F )) t (A, X) = (X t, A t ), (A M m,n (F ), X F n ) 으로정의되어있고, 함수 λ 와 ρ 는각각 λ(a, X) = L A (X) = AX, (A M m,n (F ), X F n ) ρ(y t, B) = R B (Y t ) = Y t B, (B M n,m (F ), Y F m ) 으로정의되어있다. 관찰 : ( 오른손잡이선형대수와왼손잡이선형대수 ) A = (a ij ) M m,n (F ) 일 때, 다음사각형 F n L A F m F m t M 1,n (F ) M 1,m (F ) R A t t 은 commutative diagram 이다. 이를달리표현하면, 다음 commutative diagram M m,n (F ) F n λ F m F m t M 1,n (F ) M n,m (F ) M 1,m (F ) ρ t 을얻는다. 증명 : 거의자명. 위두사각형에서, 2 층에는오른손잡이들이살고있고, 1층에는왼손잡이들이살고있다. 위관찰은 3 층에서내려다보면 선형대수는본질적으로하나뿐이라는말을현학적으로 ( 사각형으로 ) 표현한것이다. 39 39 다시읽어보니싱겁기짝이없다. 간을좀하자면, [II, 2.3] 을공부한독자들은 F 가 skew-field이면어떻게될지생각해보라. 49

13.8 : 연습문제추가 V 가 f.d.v.s. 일때, L(V, V ) 를묘사하는방법은물론수없이많을것이다. 그중하나를소개한다. ( 이내용은연습문제 13.8.7 다음에위치하면적당할듯.) 독자들은 B = {v 1,..., v n } 이 V 의 basis 일때, M n,n (F ) 의 standard basis {e ij } 에대응하는 L(V, V ) 의 standard basis {E ij } 는 E ij (v k ) = δ jk v i, (1 i, j, k n) 으로정의되어있음을기억할것이다. 이때물론 [E ij ] B B = e ij, (1 i, j n) 이다 ( 관찰 5.1.9 및보기 5.4.1 참조 ). 다음연습문제는 5.1에서도가능했을것이다. 연습문제 : 고정된 L L(V, V ) 에대해, 함수 h L : L(V, V ) F 를 h L (M) = tr(m L), (M L(V, V )) 로정의하자. 다음을보여라. ( 가 ) L L(V, V ) 이면, h L L(V, V ). ( 나 ) h L = 0 이면, L = 0. ( 다 ) E ij = h E ji. ( 라 ) 결론은 L(V, V ) = { h L L L(V, V ) }. 이제이를 13.8 의언어로번역해보자. 즉, L = L(V, V ) 의 symmetric bilinear form B : L L F 를 B(M, L) = tr(m L), (L, M L) 로정의하고, natural isomorphism φ L B : L L 를생각하자는뜻이다. 이때 φ L B (L)(M) = B(M, L) = tr(m L) = h L(M), (L, M L) 임은물론이다. 40 ( 위연습문제 ( 나 ) 항에의해, B 는 non-degenerate.) 따라서, 위연습문제 ( 라 ) 항은 φb L 가 surjection이라는뜻이다. 40 원래는 φ L 로표기해야하지만 ( 표기법 13.8.5 참조 ), font 의크기 ( 높이 ) 문제로인하여 h L 로표 기했다. 50

독자들중에는연습문제 10.1.14의 (positive definite) trace form 을기억하고있는이들도있을것이다. 그러나, L(V, V ) 의경우에는연습문제 10.1.14를흉내내는건좀골치아프다 ( 왜그럴까?). 물론 M n,n (F ) 의경우에는연습문제10.1.14를흉내낼수있다. 이제 M = M n,n (F ) 의 bilinear form C : M M F 를 C(A, A ) = tr(a t A ), (A, A M) 로정의하고, φ M C : M M 를생각하자. ( 연습문제 10.1.14와비교해보라. 지금은 positive definiteness 를포기하고, 임의의 field F 에적용할수있는정의를택하였다.) 연습문제 : 다음을보여라. ( 가 ) C 는 non-degenerate symmetric bilinear form. ( 나 ) 따라서 φ M C 는 isomorphism. ( 다 ) e ij = φm C (e ij). 란다. 독자들은앞쪽의연습문제 ( 다 ) 항과지금의연습문제 ( 다 ) 항을비교해보기바 51

13.8 : Rank Theorem 총정리 이내용을 [I, 개정판 ] 에포함시키고싶은마음이굴뚝같았지만, 좀유치해보 여. 그래도미련이남아이곳에올린다. [I] 의가장중요한 story( 즉, climax) 는, 물론, dual map 을이용한 transpose map/adjoint map 의정의이다. 그리고, field F 의선택과무관하고행간소사다리꼴을이용하지않는 Rank Theorem의 고상한 증명도중요 story 중하나이다. 이제 Rank Theorem의증명을정리해보자. ( 가 ) 4.5와 5.4 : Dimension Theorem과행간소사다리꼴을이용. ( 나 ) 10.3 : Dimension Theorem 과 inner product space 의 Perp Theorem 을이용. 이때 Perp Theorem 은 Gram-Schmidt Orthogonalization 의결과이므로, F = R 또는 F = C. ( 단, F = C 인경우는지나치게 폭력적 이어서사실상논외.) ( 다 ) 13.8 : Dimension Theorem과 F n 의 보통내적 에관한 Perp Theorem 을이용. 이때 Perp Theorem 의증명은 duality 와 = perp 를이용하므로, F 의선택과는무관. 이 document 의 [ 5.4 : Rank Theorem 의 Elememtary Proof ( 정경훈교수의증명 )] 은우리의 고상한 story의 훼방꾼 이라고할수있다. 그러나, 어차피정경훈교수의증명은기억이잘나지않고, 몇년후에도기억할수있는 Rank Theorem의증명은 = perp 뿐이다! ㅋㄷㅋㄷ. 52

제 13 14 장 : 참고추가 다음참고사항은노파심에서추가하였다. ( F n,, ) 이 inner product space 이고, A M n,n (F ) 일때, 참고서적들에는 AX, Y 또는 AX, X 의표현이자주등장한다 ( 단, X, Y F n ). 이는물론관 찰 10.7.1 과관련된내용일수도있고, 또 : 참고 : ( 가 ) R n -공간에 dot product가주어져있고, A 가 symmetric matrix일때, AX, Y 를우리의언어로번역하면 AX, Y = B A E (X, Y ), (X, Y Rn ) 이다. ( 나 ) C n -공간에 Hermitian dot product가주어져있고, A 가 self-adjoint matrix이면 AX, Y = HE A(X, Y ), (X, Y Cn ) 가된다. ( 다 ) 즉, AX, Y 의표현은 symmetric bilinear form이나 Hermitian form이라는용어를정의하지않고도이를나타낼수있는 elementary language. 53

명제 13.9.3 및명제 14.3.11 그리고관찰 10.7.1 같다. 다음참고사항은독자들도눈치채고있겠지만, 노파심에서추가하였다. 명제 13.9.3 과명제 14.3.11 을흉내내어, 관찰 10.7.1 을다시 state 하면다음과 관찰 10.7.1. ( 가 ) F = R 일때, A M m,n (R) 이면, A t 는다음등식 AX, Y = X, A t Y, (X R n, Y R m ) 을만족시키는유일한 M n,m (R) 의행렬이다 ( 단,, 는 R n 과 R m 의 dot product). ( 나 ) F = C 일때, A M m,n (C) 이면, A 는다음등식 AX, Y = X, A Y, (X C n, Y C m ) 을만족시키는유일한 M n,m (C) 의행렬 ( 단,, 는 C n 과 C m 의 Hermitian dot product). 다시말해, 명제 13.9.3과명제 14.3.11을각각 transpose map과 adjoint map 의정의로간주할수있듯이, 41 우리는위관찰 10.7.1 의 ( 가 ) 항과 ( 나 ) 항을각각 transpose matrix와 adjoint matrix의정의로볼수있다. 즉, 위관찰은 transpose matrix 와 adjoint matrix 를 characterize 하고있다. 참고 : 현대대수학 을수강한독자들을위한참고사항. ( 가 ) F 가임의의 field 일때, 42, 를 F n 과 F m 의 보통내적 이라고하면, 위 ( 가 ) 항은 transpose matrix를정의하고있다. ( 나 ) F 가 involution을갖는 field 일때, 43, 를 F n 과 F m 의 Hermitian dot product라고하면, 위 ( 나 ) 항은 adjoint matrix를정의하고있다. 41 실제로대부분의 학부 2 학년선형대수학 교재에서 transpose operator 와 adjoint operator 를그렇게정의한다. 42 물론임의의 field 는 C 를포함한다. 43 예를들어, [II, 보기 16.4.22 및연습문제 16.4.23] 참조. 54

[I, 초판, 15.4] : 왜 Non-degenerate 인경우만? ( 이내용은 [I, 초판, 15.4] 에실렸었다. [I, 개정판머리말 ] 참조. 혹관심이 있는독자를위해이곳에올린다.) 이節에서는왜우리가 symmetric bilinear form 과 Hermitian form 이 non-degenerate 인경우만다루면충분한지에대하 여설명한다. 이節의내용은쬐끔수준이높다. 44 우리는임의의 Hermitian form 에관한정보는 non-degenerate Hermitian form 으로부터얻을수있음을설명하고자한다. ( 그리고, complex conjugation 을지워버리면, group 의경우에관한설명이된다. 45 ) 이節의내용에서 symmetric bilinear form 과 orthogonal (V, H) 를유한차원 Hermitian space 라고하자. 그리고, C = {v 1,..., v m } 을 V 의 basis 라고놓고, 이를 V 의 basis B = {v 1,..., v n } 으로확장하자. 이제, D = {v m+1,..., v n } 이라고놓고, W 를 D 가 generate 하는 V 의 subspace 라 고하면, V = V W 가된다. ( 이때, 이런 W V 는유일하지않다.) 이제, ( ) 0 0 기저 B에관한 H 의행렬은 [H] B = 의형태가된다 ( 단, 0 [H W W ] D H W W : W W C 는 H 의 restriction). 그런데, 만약 w W W 이 면, w V 이므로 ( 왜그런가?), w = 0 이어야한다. 따라서, H W W 는 W 의 non-degenerate Hermitian form. 그러므로, W 의 unitary geometry 만이해 하면, V 전체의 unitary geometry 를이해할수있다고말할수있을것이다. 그런데, 이때, U(V, H) 를 U(W, H W W ) 로부터어떻게복구할수있을까? 관찰 15.4.1. L U(V, H) 이면, V 는 V 의 L-invariant subspace 이다. 다시 말해, L(V ) = V 이고, 따라서 L V GL(V ) 이다. 증명 : v V 일때, Lv V 인것을보이면충분하다. 즉, [H(Lv, u) = 0 for all u V ] 인것을보여야한다. 이제, V 의임의의원소 u 는 Lu 의꼴이므로, 이다. H(Lv, u) = H(Lv, Lu ) = H(v, u ) = 0 44 아마도, 이節의내용을강의시간에다룰수있을만큼진도표가여유있지는않을것이다. 45 사실은, 저자가이미이節에서 complex conjugation 을모두지워버렸다. 이節에나타나는 막대기 들은모두 quotient space 를위한 magic bar 들뿐이다. 따라서, 이節에서 H 는 B 로, U 는 O 로, 그리고 C 는 F 로읽어도된다. 55

그러므로, 보기 8.2.6에서와같이, L U(V, H) 이면, ( ) [L] B B = [L V ] C C 0? 의꼴이된다. 이때, [ ] 부분은어쩔수없다손치더라도, [?] 부분은어떻게 unitary operator 로인식될수있을까? ( 항상, W 는 L-invariant subspace 가아닐수있다는것이문제이다.) 이경우에, 간략한표기법을위하여 ( 임시방편으로 ) [ ] = [L] D C 로표기하면그럴듯할것이다. 지금, 이場面에서 quotient space 라는단어가떠오른독자들은칭찬받을만하다. 바로이런경우를위해서우리는 quotient space 의개념을준비한것이다 ( 12.5의 사고방식 참조 ). 이제, 제12장에서맛을들인 bar notation을사용하여, V = V/V 로표기하면, B = {v m+1,..., v n } 는 V 의 basis 가된다 ( 연습문제 12.3.6 참조 ). 그리고, 우리는 V 에도 Hermitian space 의구조를주려고한다. 물론, 가장자연스러운방법은 H : V V C 를 H (v, w) = H(v, w), (v, w V ) 로정의하는것이다. 이때에도 H 의 well-definedness 라는단어가떠오른독자들은칭찬받아마땅하다. 관찰 15.4.2. H 는 well-defined 된 V 의 Hermitian form 이다. 증명 : Well-definedness 만보이면, 나머지는우리의 magic bar 가스스로알아서처리해준다. ( 아직믿음이부족하다면, 확인해볼수밖에없다.) H 의 welldefinedness 를위해서는다음질문 : v = v, w = w 이면, H (v, w) = H (v, w ) 인가? 또는, v v, w w V 이면, H(v, w) = H(v, w ) 인가? 에답하여야한다. 이제, v v = x V, w w = y V 로놓으면, H(v, w) = H(x + v, y + w ) = H(v, w ) 이므로증명끝. 56

다음 story 는독자들도예상하고있었을것이다. 관찰 15.4.3. H 는 non-degenerate 이고, [H ] B = [H W W ] D 이다. 증명 : 우선 [H ] B = [H W W ] D 인것은당연하고 ( 확인해보라 ), H W W 는 non-degenerate 이므로증명끝. ( 다음과같이직접증명하는것이사실은더쉽다. 즉, [ H (v, w) = 0 for all v V ] 이면, [H(v, w) = 0 for all v V ] 이고, 따라서 w V.) 이제, 다시 L U(V, H) 라고하자. 이때, 함수 L : V V 를 L (v) = L(v), (v V ) 로정의하면, V 는 V 의 L-invariant subspace 이므로, 관찰 12.5.1에의해 L 는 well-defined linear operator가된다. 연습문제 15.4.4. L U(V, H) 이면, L U(V, H ) 임을보여라. 다음명제는우리가이節에서 quotient space 를도입할때부터기대하고있 었던것이다. 그리고, 이節의결론이기도하다. 명제 15.4.5. 함수 Λ : U(V, H) GL(V ) M m,n m (C) U(V, H ) 를 Λ(L) = ( L V, [L] D C, L), (L U(V, H)) 로정의하면, 46 Λ 는 bijection 이다. 증명 : 독자들의 maturity 를한번 test해보기로하자. 저자에게는아래여백이부족하다. ㅎㅎ. 46 [ ] = [L] D C 는앞 page에서소개한임시표기법. 57

명제 15.3.2 ( 나 ) 항 : 미적분학 (Lagrange multiplier) 을이용한증명 다음은미적분학 (Lagrange multiplier) 을이용한명제 15.3.2( 나 ) 항의증명이 다. ( 응용분야 예를들어, 통계학, 경제학, 공학등 에서는대개 ( 제법수 준높은책에서도 ) 미적분학을선호한다.) 명제 15.3.2( 나 ). A M n,n (R) 이 symmetric 일때, n-변수함수 f : R n R 을 f(x) = X t AX, (X R n ) 으로정의하자. 만약 n-변수함수 f 가 unit sphere S = { X R n X = 1 } 위에서 maximum f(x 1 ) 을갖는다면 ( 물론 X 1 S), 47 X 1 은 A 의 eigen-vector. 증명 : n- 변수함수 g : R n R 을 g(x) = X 2, (X R n ) 으로정의하면, 아래연습문제에의해 grad f(x) = 2AX, grad g(x) = 2X, (X R n ) 이된다. 이때 X 1 S 이면, grad g(x 1 ) 0 이므로, Lagrange 승수법에의해 2AX 1 = grad f(x 1 ) = λ grad g(x 1 ) = 2λX 1, (X R n ) 인 λ R 이존재할것이다. 연습문제 : 위명제 15.3.2( 나 ) 의증명에서 grad f(x) = 2AX, (X R n ) 임을보여라. ( 이때 A 가 symmetric matrix 라는가정이필요하다.) 연습문제 : 위명제 15.3.2( 나 ) 과그증명에서 A 의 eigen-vector X 1 에대응하는 eigen-value λ 1 은 A 의 (real) eigen-value 중가장큰것 ( 중하나 ) 임을보여라. 47 Unit sphere S 는 compact set(closed and bounded set in R n ) 이므로, 연속함수 f 는항상 S- 위에서최댓값을갖는다. 58

15.3 : 주의추가 다음주의사항은 7.2(184쪽 ) 에서잠깐언급했지만, 15.3에서도다시강조해야할것이다. 주의 : Complex symmetric matrix는대각화가불가능할수도있다. F = C 일때, real symmetric matrix 에대응하는개념은 self-adjoint matrix 이다. ( ) 2 i 연습문제 : 연습문제 7.2.11( 나 ) 항을다시풀어보라. 즉, 는대각화가 i 4 불가능함을보여라. ( 이행렬은 symmetric 이지만, not self-adjoint 이고 not normal.) 또독자들은혹 real symmetric matrix 의 Spectral Theorem 을 real normal matrix의경우로 generalize 할수있지않을까기대할수도있겠지만, 책에없는명제는 ( 대개 ) true 가아니다. ( ) 1 1 연습문제 : ( 가 ) 행렬은 R-위에서대각화가불가능함을보여라. ( 이 1 1 행렬은 not symmetric 이지만, normal 이다. 일반적으로, real skew-symmetric matrix는당연히 normal. 48 ) 1 1 0 ( 나 ) 행렬 0 1 1 은 R-위에서대각화가불가능함을보여라. ( 이행렬은 1 0 1 not symmetric 이고 not skew-symmetric 이지만, normal 이다. 확인해보라.) 48 Not symmetric 인 real normal (2 2)-matrix 는 skew-symmetric matrix 뿐이다. 이증명은 독자들에게맡긴다. 59

15.3 : 연습문제추가 다음은연습문제 15.3.11 을보충한것이다. 연습문제 15.3.11. 라고하자. F = R 이고, B 가유한차원 quadratic space (V, B) 의기저 ( 가 ) 다음조건 (1) B 는 positive definite( 즉, v 0 이면, B(v, v) > 0). (2) J = [B] B 의 eigen-value 는모두 positive real number. 은동치임을증명하라. 우리는이런 J 를 positive definite (symmetric) matrix 라고부른다. ( 나 ) 다음조건 (1) B 는 positive semi-definite( 즉, B(v, v) 0 for all v V ). (2) J = [B] B 의 eigen-value 는모두 non-negative real number. 은동치임을증명하라. 우리는이런 J 를 positive semi-definite (symmetric) matrix라고부른다. ( 다 ) J 가 positive semi-definite 이면, K 2 = J 인 positive semi-definite matrix K M n,n (R) 이존재함을보여라. 독자들은연습문제 15.3.12 에서도 positive semi-definite Hermitian form 과 positive semi-definite (self-adjoint) matrix 를정의할수있을것이다. (1) J 는 positive semi-definite (self-adjoint) matrix. (2) J = A A 인 A M n,n (C) 존재. 은동치임을보여라. 연습문제 15.3.12b. A M n,n (C) 일때, 만약 (A A AA ) 가 positive semidefinite (self-adjoint) matrix 이면, A 는 normal matrix 임을보여라. 연습문제 15.3.12c. J, K M n,n (C) 가 positive semi-definite (self-adjoint) matrix 일때, 만약 J 2 = K 2 이면, J = K 임을보여라. 49 49 Hint: λ 0 일때, E J λ EJ2 λ 2 이므로, 결국 E J λ = EJ2 λ 2. 60