엘리카르탄의생애와업적 Method of moving frame 을중심으로 엘리카르탄 (Élie Cartan, 1869-1951) 은군론과기하학의역사에서가장큰이름중하나이며허만바일 (1885-1955) 와함께 20세기전반을대표하는수학자라할수있을것이다. 카르탄의방대한수학적업적과현대수학에끼친영향을감안할때그의업적전반을논한다는것은물론필자의능력밖의일이다. 이글에서는다만 [AR] 와 [CC] 를발췌, 요약하여카르탄의생애전반을개관하고그의아이디어로부터발전한수학중필자가이해하고있는지극히적은부분을말하고자한다. 그의사후에편집발행된전집 [C] 는아래와같이 3부 6권으로되어있다. 1부 : 리군, 대칭공간 2부 : 연립편미분방정식, 리 Pseudogroup, 외미분계 3부 : 미분기하, 3부 2권의끝에그의업적전반을잘설명하고있는천-쉐발리 [CC] 와와이트헤드 [W] 의추도사가수록되어있다. 출생과교육 : 엘리카르탄은프랑스남동부이세르지방, 그르노불에서북쪽으로 50 여킬로떨 어진작은마을돌로뮤에서대장쟁이의아들로 1869 년 4 월 9 일태어났다. 돌로뮤는 알프스에서가깝고알프스에서발원하는이세르강이이곳을지나론강으로합류하 고있다. 엘리의아버지조셉과어머니안느카르탄은소박근면한전형적인남프 랑스농촌사람들의삶을살면서 2 남 2 녀를키웠다. 엘리는그들의둘째자식이자첫 아들이었다. 엘리보다두살위의누나젠느 - 마리는의상제조 ( 재봉 ) 업에종사하였 고세살아래의남동생레온은부친을이어받아대장쟁이가되었다. 엘리보다아홉 살아래의막내여동생안나는오빠의영향으로수학을전공하여여자고등학교교사 가되었다. 엘리카르탄의아버지와남동생은건장한체격인데반하여그는키가작 고약골이었다. 그러나총기가넘치고비상한기억력을가진소년이었으며몹시수 줍어하는성격이었다. 19 세기말, 프랑스에서는카르탄의가정처럼가난한서민에 게자식을대학까지교육시킨다는것은엄두도못내는일이었다. 엘리가돌로뮤에 서초등학교를다니던 10 살때당시이지역의초등교육감독관으로 Antonin Dubost 가이마을을방문하였다. Dubost 는후일프랑스상원의장까지된사람인데그가 소년엘리카르탄의재주가비범함을보고장학금을타기위한경시대회에응시할 것과그의초등학교교사 M. Dupuis 에게엘리가경시대회에합격할수있도록지 1
도해줄것을부탁하였다. 엘리카르탄은경시대회를힘들이지않고통과하여장학 금을받아대학까지갈수있게되었다. 당시프랑스의중등교육기관은각지방의 college 와대학진학을준비하는국립고등학교인 lycée 가있었다. 경시대회를합격 하고첫 5 년간은가까이있는소도시 Vienne 에소재한 College 에서문법, 수사학, 철학 ( 소위삼학, Trivium) 을배우고다음은그르노불 Lycée 에서그리고파리에있 는 Jasnon-de-Sailly Lycée (Grand Lycée) 에서산술, 기하, 천문학, 음악 ( 소위사 학,quadrivium) 을배웠다. Grand Lycée 의동급생이며훗날프랑스의저명한물리 학자가된 Jean-Baptiste Perrin (1870-1942) 과는일생돈독한우정을유지하였다. 1888 년 Lycée 를졸업한엘리카르탄은수학을전공하기위하여파리고등사범학 교 (l École Normale Supériure) 에입학하였다. 당시파리에는 13세기에세워진소로 본느대학, 프랑스혁명때세워진에콜폴리테크닉과고등사범학교, 이세곳이수 학을전공할수있는대학이었다. 그는고등사범학교 3 년과정을이수하는동안소 로본느에서도수강하였다. 대학시절그는다음과같은대가들로부터배우는행운을 누렸다. 창안 에르미트 (Chales Hermite, 1822-1901), 해석학, 대수학, 및수론 타네리 (Jules Tannery, 1848-1910), 집합론 다르부 (Gaston Darboux, 1842-1917), moving frame 방법의창시자중한사람 아펠 (Paul Appell, 1855-1930), 해석학, 역학 피카르드 (E?mile Picard, 1856-1941), 미분방정식론, 군론의기하적응용 구르사 (Edouard Gousat, 1858-1936), 미분방정식론, 변환군 포앙카레 (Henri Poincare?, 1854-1912). 군론과쌍곡기하를연결, 보형함수이론 이중에도특히포앙카레로부터가장큰영향을받았다. 소로본느대학에서수강 한포앙카레의강의가늘머리를맴돈다고후일카르탄은술회하였다. 박사학위논문, 단순유한차원연속군카르탄이대학학부생이던당시 (1888-1891) 파리고등사범학교는독일라이프치히대학에서가르치고있던리 (Sophus Lie, 1842-1899) 와활발히교류하고있었다. 타네리, 다르부, 피카르드등이리의이론에깊은관심을갖고있었고이들의영향으로베시오 (Ernest Vessiot, 1865-1952) 와트레세 (Arthur Tresse, 1868-1958) 는리아래서연구하기위하여라이프치히로유학하고있었다. 베시오가파리로돌아온후피카르드와공동으로리의연구를확장한 미분방정식의적분가능성문제와연속군의응용 이란논문을발표하였다리-피카르드 -베시오의이일련의연구에서상미방의해를연쇄적인적분으로구할수있음과미분방정식의대칭군이가해임
이동치라는사실이밝혀졌다. 따라서대칭군이단순군을포함하게되면미분방정식은적분으로해를구할수없으며여기서부터단순리군의목록을작성하는문제가제기되었다. 카르탄은고등사범학교동기생인트레세를통하여이분야를접하게되었다. 카르탄은파리고등사범학교를졸업하고한해동안군복무를한후하사 (sergeant) 로제대하였다. 그가군복무를하는동안그의친구트레세는라이프치히대학에서리의박사과정학생이되어있었다라이프치히에서돌아온트레세는카르탄에게킬링 (Wilhelm Killing, 1847-1923) 의논문 변환들의유한차원연속군의구조에관하여 를보여주었다. 이논문은당시라이프치히에서발간되던학술지 Mathematisch Annalen 에실려있었는데여기에단순리군의분류에대한중요한결과들이수록되어있었다. 트레세는카르탄에게킬링의논문에서 nilpotent group (group of zero rank) 에관한부분에오류가있다는사실을알려주었다. 트레세는또라이프치히에서클라인과리와함께연구하는엥겔 (Friedrich Engel, 1861-1941) 의박사과정학생한사람이킬링의논문의잘못된부분을바로잡는연구과제로 변환들의유한차원연속군의구조, 즉히 zero rank group 에관하여 라는제목의논문을쓰고박사학위를받았다고알려주면서이번에는킬링의논문의주정리와그증명에오류가없는지조사해보는것은좋은연구과제가될것이라고말하였다. 카르탄은그의친구트레세의제안을따라 1892-1894 두해동안킬링의논문을연구한결과킬링의주정리에는오류가없고킬링이증명에사용한방법은단순리군의 root 를사용하고있는방법인데매우독창적이고광범위하게적용가능한방법이라는사실을알게되었다. 카르탄은킬링의논문의부정확한부분을수정해가면서복소수체위의 semi-simple 리대수의분류에관한연구를수행하였다. 1892년에는다르부와타네리의초청으로리가반년동안파리에체류하게되었다. 리가파리로온주목적은실은카르탄을만나기위한것이었다. 후일카르탄은리에대하여다음과같이회상하였다. 리는프랑스의젊은수학자들과어울려토론하기를즐겼다. 셍미셜가의소르스카페에서식탁의대리석판에연필로수식을적어가며토론하는그들의모습을보는것은어렵지않은일이었다. 리는키가크고금빛수염을기르고안경너머로푸른눈동자가빛났으며늠름한체구에전형적인북구인의용모를지녔다. 리는비할데없이성실하고순수한사람이었으며동시에쉽게접근할수있는너그럽고정다운성품의소유자였다. 1893년카르탄은단순연속군의구조, 그리고유한차원연속군의구조, 그의첫논문인이두편의결과를파리학술원학술지에소개하고자세한증명은라이프치히대학의회보에리의추천으로출판하였다. 복소수체위의단순리대수의분류문제를완전히해결한이들결과로다르부와리를공식적인공동지도교수로하여박사학
위논문 변환들의유한차원연속군의구조 를제출, 1894 년 (25 세 ) 소로본느대학으 로부터박사학위를받았다. 학위후 10년간카르탄의박사학위후 10년간 (1894-1904, 25세-35세 ) 은그의고유한이론과방법론이윤곽을잡아가고평생의연구방향이설정된기간이었다. 학위직후에는학위논문의연속으로실수체위의 semi-simple 리대수의분류문제, 복소및실수체위의결합법칙이성립하는대수에대한연구, semi-simple 리군의표현론연구로이어갔다. 이기간 (1894-1896) 에그는몬테펠리에대학에서강사로있었다. 그후에 7년간 (1896-1903) 리옹대학의강사로있었는데이기간에는적분불변량 (integral invariants), 파피안시스템 (Pfaffian system), 미분방정식의동치문제등을연구하였다. 그는그라스만대수을외미분계에적용하여외미분계에관한그의이론을정립해나갔다. 주어진파피안시스템의모든양립조건을찾아내어 involutive 한시스템으로 prolongation 하는그의아이디어는나중 1930년대이후에카르탄-켈러이론으로완성되었다. 리옹대학에재직하던마지막해인 1903년당시리옹의교육감독직에있던화학자비앙코니의딸마리-루이스비앙코니 (1880-1950) 와결혼하고낭시대학으로직장을옮겼다. 중견교수시절낭시대학의전기및응용역학학과의교수로 6년간 (1903-1909, 34세-40세 ) 재직하는동안첫째아들앙리 (1904), 둘째아들쟝 (1906) 이여기서태어났다. 이시기에그는무한차원변환군 ( 훗날 Lie pseudogroup 이라부르게된 ) 과외미분계에관한연구를하였다. 연립미분방정식에관한그의방법은특정한미지함수나독립변수에의존하지않는, 좌표에의존하지않는완전히새로운방법이었으며그는이방법으로일반해가무엇인지정의하였다. 일반해뿐아니라특이해도연구하였다. 주어진비방에대하여새로운미방의시스템을정의하여이것의일반해가원방정식의특이해가됨을보였다. 1909년에카르탄은파리로옮겨소로본느대학의강사가되고 1912년 (43세) 포앙카레의추천으로정교수가되었다. 그후에는고향돌로뮤에집을짓고거기자주가서쉬곤하였다. 고향집에내려가면수학연구도하고아버지와남동생의대장간일을도와주기도하였다. moving frame method 와 Pfaffian sytem 에관한연구를하다가 1913년단순리군연구로돌아왔다. 일차세계대전 (1914-1918) 이발발한이듬해카르탄의나이 46세에징발되어육군하사관 (sergeant) 계급으로군복무를하였다. 그의모교인파리고등사범학교에설치된군병원에서근무하며 1차대전이끝날때까지틈틈이 Bäcklund transform, deformation of hypersurfaces 연구하였다. 전쟁후에도계속하여 moving frmae 방법을사용한부분다양체이론
을연구하였다. 1916년 (47세) 이후에는주로미분기하의연구를하였다. 클라인의에르랑엔프로그램이일반적인기하를기술하는데적합하지않음은허만바일과베블렌 (Oswald Veblen, 1880-1960) 이지적한바있지만카르탄은 moving frame 방법을창안함으로클라인의아이디어를보완하였다. 이는다르부의동력학의방법을일반화한것이다. moving frame 방법은또한다발묶음 (fibre bundle) 개념으로인도하였으나카르탄자신은다발묶음에대하여명명하거나더이상연구하지않았다. 1926년이후에는대칭공간의기하를연구하였다. 대칭공간의아이디어는클리포드 (William Clifford, 1845-1879), 케일리 (Arthur Cayley, 1821-1895) 가창안하고카르탄보다조금먼저허만바일이위상적인방법을동원하여발전시키고있었다. 1913년 (44세) 에는클리포드대수의표현론으로부터 spinor 개념을발견하고후일양자역학의기본수학역할을하게되는 spinor이론을창안하였다. 1922년 (53세) 이후부터는일반상대성이론을위한기하학인 unitary field 이론과대칭공간, 일반적인접속이론등을중점적으로연구하였다. 카르탄보다앞서허만바일은리만기하의일반화인최초의 unitary field 이론을창안하였다. 카르탄은바일과달리 torsion을허용하는접속을사용하였다. 1922년의논문 아인슈타인의중력방정식에관하여 이후에는상대성이론에관한일련의논문을발표하였다. 1931년 (62세) 에는수학자인맏아들앙리 (Henri Cartan, 1904-2008) 와공동연구를수행하였다. 복소다변수공간의각변수에관한회전운동에닫혀있고유계인영역으로정칙변환군이 transitive 한것이어떤것이있는가결정하는문제를연구하였다. 이문제는 20세기초에포앙카레가관심을가졌던문제이었다. 다음해 1932년 (63세) 에는복소공간의실초곡면의동치문제에대한연구결과를발표하였는데이이론은 1960년대와 1970년대에 Tanaka-Chern-Moser 의 CR 기하로발전하여다변수복소함수론의발전에기여하였다.. 엘리카르탄의수학의아이디어들은그가박사학위를하고 20년이지날때까지도다른아무도이어발전시키지않았다. 이미포앙카레가그의업적을높이평가하여주어소로본느대학의정교수가되기는하였지만여전히그는수학계에서널리알려진존재는아니었다. 그는주로고립되어연구하였다. 그의아들앙리와다변수복소함수론분야의공동연구할때에도각기자기부분을가지고따로연구하였다고한다. 그의강의는명강의이어서수강하는학생들은문제의진수를이해하였다고생각하며지적인기쁨을맛보곤하였지만그의아이디어를진정으로이해하고사용하는사람은별로없었고카르탄은자신의주변에사람을모아 학파 를이룰줄도몰랐다. 당시피카르드는학생들이쉽게접근할수있는문제를많이갖고있어학생들에게인기가있었던반면카르탄은학생이별로없었다. 수학자 족보 에보면그에게서박사학위를받은사람은네사람인데그중에 Charles Ehresmann 과일본인수학자 Yano Kentaro 가있다. 그러나 1925년경허만바일의군표현론의논문들이나오고 1930년대에들어서서앙드레베유가엘리카르탄의논문의중요성을
언급하면서카르탄은수학계에널리알려지게되었고그의수학의영향력이갈수록 증대되었다. 20 세기전반의수학자로써그이후의수학에끼친영향의크기에있어 서그는포앙카레와힐베르트다음쯤위치하게되었다. 만년의삶엘리카르탄은 1893 첫논문을쓴이후 1949 년까지무려 56년동안논문과책을저술하고연설문과절대평행이동에관해아인슈타인과교신한편지등도합이백여편의글을썼다. 그의집안에는장수하는유전인자가있는것같다. 그의부모가모두장수하였고엘리카르탄본인도 82세까지당시기준으로서는오래살았다. 저명한수학자인그의맏아들앙리는 104세를향수하였다. 그가노경에들어와서야명성을얻게된되는첫째그의극도로수집어하는성격때문이었고또한 20세기초의프랑스의수학은집합론과함수론이중심을차지하고있었기때문이었다. 1930년대에외국에서먼저카르탄을높이평가하여폴란드, 노르웨이, 이탈리아등의여러학술원의외국인회원이되고 1931 프랑스학술원회원으로선출되었으며 1946년에는학술원원장으로선출되었다. 그의소로본느대학에서의재직 30년중마지막 16년간은고등기하학과장을역임하였으며 1940년은퇴하였다. 그는국제수학자대회 (ICM) 에서다음과같이세차례기조연설을하였다. 1924년토론토국제수학자대회, 군론과최근의미분기하연구 1932년취리히국제수학자대회, 리만대칭공간에대하여 1936년오슬로국제수학자대회, 소푸스리의군론과현대기하학의발전 1940년 수학의발전에끼친프랑스의영향 (The influence of France in the development of Mathematics) 이라는제목으로벨그라드에서행한그의연설에는프랑스수학에대한자긍심과그의수학관을엿볼수있다. 그는이연설에서프랑스수학자데가르트, 파스칼, 페르마, 드알랑베르, 라그랑쥬, 라플라스, 르장드르, 몽주, 푸리에, 코시, 퐁슬레, 갈로아, 에르미트, 다르부, 포앙카레의업적을개관하고나서다음과같이말하고있다. 과학의다른분야에비해서수학은더욱일련의추상화과정을통하여발전한다. 수학자는실수를피하고좀더쉽게생각하기위하여문제의요체를뽑아따로분리하여생각한다. 그래서 수학자는그가무엇을얘기하고있는지모르거나무엇을얘기하고있는지는안다고하더라도그것이존재하는지는모른다 는우스개소리가있다. 그러나프랑스의수학은실재로부터멀어진적이없다. 프랑스수학에있어논리의중요성은부차적이다. 수학적활동에서다른인간의활동과마찬가지로, 바르게생각하는것과바른문제를설정하는것, 이둘사이에균형이잘이루어져야한다. 그런의미에서프랑스수학자는바른직관을가지고가장근본적인문제를선택
하는지혜와직관을가지고있었으며이들의해법은과학의전반적인발전에가장강력한영향을미쳤다 1939년그의 70세생일에는소로본느대학에서그를위한성대한파티를열어주었다. 이자리에대학과학술원의많은사람들과옛친구트레세가참석하였고저명한지휘자샤를르문슈가카르탄의둘째아들장 ( 그는아버지엘리보다먼저세상을떠났다 ) 이작곡한 To the memory of Dante를연주하였다. 소로본느에서은퇴한후에도강연저술, 논문발표, 학술원행정, 등으로 1949년까지활동하였다. 그의왕성한연구활동이면에는항상고요히안정된가정이있었다. 그는 3남1녀의자녀를두었었는데맏아들앙리는저명한수학자, 둘째아들장은작곡가, 셋째아들루이는물리학자, 막내이자딸인엘렌 (Hélène Cartan, 1917-1952) 은수학자이었다. 그러나그는두아들을먼저보내는아픔을겪기도하였다. 둘째아들장 (Jean Cartan, 1906-1932) 는파리음악학교를졸업하고현악사중주, 성가곡, 관현악곡등을작곡한재능있는작곡가이었으나 25세에폐결핵으로세상을떠났다. 물리학자인셋째아들루이 (Louis Cartan, 1909-1943) 는 Poitiers 대학의교수로재직하며원자력연구에몰두하다가 2차대전이발발하자레지스탕스에참여, 체포되어독일군에게참수형을당했다. 이소식은 2년이나지난 1945년에가족에게전해졌는데노경의카르탄부부에게어떤고통을주었을지는짐작할수있다. 그와가족은 1917-1936 베르사이유부근르쉐스네이마을에서살았고그후에는 1951년그가세상을떠날때까지 15년간오를레안다리부근의조드당가 95번지의아파트에세들어살았다. 1950년에엘리카르탄의아내 Marie-Louise 가세상을떠나고, 그이듬해 1951년 5월6일에는엘리카르탄본인이, 그다음해 1952년에는딸엘렌이세상을떠났다. 그들은고향돌로뮤의가족무덤에나란히묻혀있다. 조르당가 95번지아파트에는그후큰아들앙리와그가족이살았다. Moving frame 과파피안시스템 19세기수학에서가장큰발견으로는사물의대칭성을기술하고계산하는군의개념과비유클리드기하학, 이두가지를들수있다. 이두흐름은 19세기가끝나갈무렵엘리카르탄시대에이르러하나의큰흐름으로합류하여 20세기를흘러가게된다. Method of moving frame 은바로이합류하는지점의수학이라할수있다. 군의개념은 5차이상의대수방정식의불가해성을증명하기위한갈로아와아벨의이론에서비롯되었다. 가령유리계수다항식방정식에대한갈로아군의한원소는유리수집합을고정시키며하나의해를다른해로보내는, 즉방정식의대칭성을표현하는확대체의동형사상이다. 대수방정식을풀수있다 ( 가해, solvable) 는것은방정식이거듭제곱의역산을반복하는것으로분해된다는의미이다. 그리고대수방정식의가해성은갈로아군의가해성과동치라는것이다. 아벨과갈로아의이론이
나온지대략반세기가지난후에노르웨이의수학자리는미분방정식에대하여도 동일한추론이가능함을관찰하였다. 갈로아이론과현저한차이점은미분방정식의 대칭군은연속군이며이를생성하는무한소대칭들의집합 ( 후세에리대수라명명 된 ) 이군의구조를결정한다는점이다. 미분방정식의대칭성이란독립변수와종속 변수공간의변환으로써방정식과해를보존하는변환을말한다. 리가먼저관찰한 바는 n 계의상미방이 n 차원의 solvable 대칭군을가지면계의상미방의일반해를반 복적분함으로얻을수있다는것이었다. 가령일계상미방 (1) F (x, u, du dx ) = 0 에대하여독립변수와종속변수의공간 {(x, u)} 의국소벡터장 v := ξ(x, u) + φ(x, u) x u 이 (1) 에대한무한소대칭이라하자. 그러면 v 를좌표벡터장으로하는적절한좌 표변환이존재한다. 실제로 v 0 이라가정하고 η(x, u) 를 v 의제일적분이라하자. 공간 R 3 = {(x, u, w)} 의벡터장 ξ x + ξ u + w 의제일적분 Ψ Ψ(x, u, w), w 0 라하고 Ψ = 0 를 w 에관하여풀어 w = ζ(x, u) 를얻어 (2) y = η(x, u) w = ζ(x, u) 로변수변환하면 v = w 지않게된다. 즉 꼴이어서적분가능하고따라서 (3) w = 이다. 따라서 (1) 을새변수 (y, w) 로표현하면 w 를포함하 dw dy = h(y) h(y)dy := H(y) 을얻는다. (2) 를 (3) 에대입하여 (1) 의해 u = u(x) 를얻는다. 리는상미방의가 해성문제와연관하여주어진개수의변수에대하여모든가능한변환군을찾는문 제를연구하였다. 그러나킬링, 트레세, 그리고카르탄은모든가능한군의구조를 찾는문제로, 해석학적인의상을벗어버린, 순수한대수적인문제로단순화하였다. 연속군에대한기본적인관찰은마치고생물연구자들이공룡의작은뼈조각하나로 공룡전체를재구성하는것과같이 [CC] 군의대역적구조를그것의무한소변환으 로부터재구성할수있다는사실이다. 카르탄은이문제에미분형식을사용하였다.
논의를간단히하기위하여선형변환군 (n n 행렬의군 ) G 의값을갖는국소적인 함수 g 를생각하자. G 가군이므로무한소변환 dg 를단위원으로이동한 g 1 dg := ω 는 G 의단위원에서의무한소변환이다. ω 를미분하면 d(g 1 ) = g 1 dgg 1 이므 로 (4) dω = ω ω 모러 - 카르탄방정식 을얻는다. (4) 은전형적인 completely integrable 한 1 계의완비계이다. 따라서한 점에서의초기값에대하여유일한해가존재한다. 이해공간이 G 의리대수이다. (4) 는또한카르탄의 moving frame 방법의원조이기도하다. Moving frame 방법 을처음사용한사람은 Martin Bartels(1769-1836) 라는독일수학자인데비유클리 드기하의창시자인로바체브스키와가우스가젊은시절이분에게서배웠다고한 다. 그후공간곡선기하에나오는 Frenet 공식이 1847 년에등장하였고다르부가 1887 년경에곡면이론에서 moving frame 을사용하였다. 엘리카르탄은미분형식을 사용하여가장일반적인 moving frame 방법을창안하여그의만년에여러가지구조 의기하학에광범위하게사용하였다. 카르탄의 moving frame 방법은클라인의에 르랑엔프로그램을다양체로부터 frame bundle 로들어올린것이라할수있다. 일 양공간 (homogeneous space) 의부분공간의국소기하는카르탄의 moving frame 방 법의효용성을가장잘보여주고있는데복소공간의실초곡면의기하학인카르탄 - 타나카 - 천 - 모저 (Cartan-Tanaka-Chern-Moser) 이론이그대표적인예이다. 보다친 숙한예로 R 3 의곡면 M 을생각하자. M 에 adapted frame, 즉, 단위직교벡터장 e = (e 1, e 2, e 3 ) 의첫두벡터가 M 에접한다하자. x = (x 1, x 2, x 3 ) 을 R 3 의직교좌 표계라하고 이라두고이를미분하면 dx = θ i e i (summation convention) 0 = (dθ j + θ i ω j i )e j, 단 de i = ω j i e j, 을얻는다. 여기서 e는 O(3) 값을갖는함수이므로 ω := (ω j i ) 는 o(3) 값을갖는다, 즉 skew-symmetric 행렬이다. 각성분이영이므로 θ := (θ 1, θ 2, θ 3 ) t 라두면 (5) dθ = ω θ 을얻는다. 행렬로표현하면 0 ω dθ 1 2 1 (6) dθ 2 = ω2 1 0 dθ 3...... ω3 1 ω3 2. ω3 1. ω3 2..... 0 θ 1 θ 2 θ 3 1827 년에출판된가우스의곡면론의중요한결론은곡면은구부려도변치않는곡면 자체의불변량 ( 가우스곡률 ) 을갖는다는것이었다. 그리고이고유한곡률은곡면
의단위수직벡터의변화율의크기 (determinant) 와같다는것이다. 이발견은기하 적불변량과 intrinsic geometry 란개념으로인도하였으며비유클리드기하학이태 동할시대를준비하였다. (6) 은미분형식을사용하여가우스의곡면론을간결하게 다시표현한것이다. (6) 을 M 에국한 (pull back) 시키면 θ 3 = 0 이므로 (6) 의일부 분, 즉우변의행렬의첫 2 2 부분행렬에해당하는 [ ] [ ] [ ] dθ 1 0 ω 1 = 2 θ 1 dθ 2 ω2 1 0 θ 2 이곡면의 intrinsic geometry 이다. ω 1 2 가곡면의접속 (connection) 이다. 그리고 (6) 의나머지부분이 extrinsic geometry, 즉곡면의이차근본형식이다. 하나의 moving frame e 에대하여 e 의변화율을 e 로위와같이표현하였듯이카르탄은 moving frame 전체의집합 ; 즉한점에서의 frame 들의변환군이 H 인, frame 들의집합 P 에서 H 의리대수 H 값을갖는 1- 형식 ω 로접속을정의하였다. 위의예 R 3 에서 점 x 에서의단위직교기저 (ortho-normal frame) 들의집합은아핀변환군 E(3), 즉, [ ] O(3), x (7) 0 1 꼴의 4 4 행렬의집합과동일시된다. 하나의 moving frame e 를다발묶음 E(3) R 3 의 section 으로보면 e 에관한접속은 E(3) 의모러 - 카르탄형식 ω 의 pull back e ω 이다. 곡면 M 의 adapted frame e 에관한접속 (6) 은다음도식에서 E(3) 의 Maurer-Cartan 형식 ω 를 pull back 한것이다. (8) E(3), M R 3, ω 카르탄은그의접속이론을 G-구조의동치문제 (equivalence problem) 로일반화시켰다. G 를 GL(n, R) 의부분리군이라하자. 편의상지금부터는 frame 이라함은접벡터의기저대신 1-형식의기저, 즉 coframe 을의미한다. n 차원의미분다양체 M 위의 G-구조란 G 의원소로변환하는모든 frame 들의집합을말한다. 리만구조란 O(n)-구조를의미한다. G-구조의접속이란 G의리대수 G 값을갖는 M 상의 1-형식 ω이다. R 3 의경우, ω는 o(3) 값을가지며이는 E(3) 의모러-카르탄형식을 pull back 한것이다. 따라서 (4) 를만족한다. 모든일양공간의경우에는이와같다. 그러나일반적으로는 dω 와 ω ω 와의차이가존재하는데이차이를 Ω, 즉 (9) Ω := dω + ω ω 라하자. Ω의존재는 P 위의파피안시스템 ω 가 integral manifold 를갖지못하게되는원인이된다. Ω = 0 이면 P 는 integral manifold 로 foliate 된다. 여기서 integral manifold 란기하적으로는 frame 의평행이동, Ω 는 G-구조의곡률이다. P M 의임의의절단 θ = (θ 1,..., θ n ) 에대하여 (5) 가만족되는유일한접속 ω의
존재를밝히면 G-구조의동치문제를풀었다고말한다. C 2 에서레비-형식이비퇴화인두실초곡면사이에 holomorphic congruence 를판정하는, 카르탄자신이명명한이름에따르면, pseudo-conformal geometry 는 G-구조의동치문제에관한그의이론의첫번응용이었다. 동치문제를비롯하여파피안시스템에접근하는카르탄의아이디어는오늘날과결정연립편미분방정식의해의존재를밝히는데이용된다. n- 계의연립편미분방정식은미지함수의 n-jet 공간의부분다양체상의파피안시스템 θ = (θ 1, θ 2, ) 의해곡면을발견하는문제로귀착된다. 해곡면에서는 θ 를영으로할뿐아니라 dθ modulo θ 를영으로하므로순차적으로파피안시스템을부분다양체로축약시켜나가는방법이사용되고있다. 이는미방의해의존재가방정식의대칭성에기인한다는리의관찰의정당함을말해주고있다. 다만리가상미방에대하여밝힌바상미방의적분가능성과대칭군의가해성의관계에비하여과결정연립편미분방정식에서는방정식의대칭성이교묘히숨어있는경우가대부분이고따라서해의존재와방정식의대칭성의관계도복잡하고미묘하리라생각된다. 참고문헌 [AR] M. A. Akivis and B. A. Rosenfelt, Élie Cartan, Amer. Math. Soc., 1993 [B] R. Bryant, Élie Cartan and geometric duality, A lecture given at the Institut d Élie Cartan on 19 June 1998 [C] E. Cartan, Œuvres complètes: Part I, Groupes de Lie, vols. 1-2, 1952; Partie II, Algèbre, Formes difféentielles, systèmes différentielles, vols. 1-2, 1953; Partie III, Divers, géométrie différentielle, vols. 1-2, 1955, Gauthiers-Villars, Paris [Col] A. John Coleman, Groups and physics-dogmatic opinions of a senior citizen, Notices of AMS, Vol. 44-1(January 1997), 8-17 [CC] S. S. Chern and C. Chevalley, Élie Cartan and his mathematical works, Bull. Amer. Math. Soc. 58(1952), 217-250 [D] R. Debever(ed), Élie Cartan-Albert Einstein: letters on absolute parallelism 1929-1932, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1979 [O] P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer- Verlag, New York, 1986 [Wh] J. H. C. Whitehead, Obituary. Élie Joseph Cartan (1869-1951), Obit. Notices Roy. Soc. London 8(1952), 71-95 한종규
서울대학교수리과학부명예교수