Open methods
목차 6. smple ed-pont lteraton 6.2 newton- Raphson 6.3 Secant Methods 6.4 Brent s Method 6.5 MATLAB Functon: Fzero 6.6 Polynomals
학습목표 Recognzng the derence between bracketng and open methods or root locaton. Understandng the ed-pont teraton method and how you can evaluate ts convergence characterstcs. Knowng how to solve a roots problem wth the NewtonRaphson method and apprecatng the concept o quadratc convergence. Knowng how to mplement both the secant and the moded secant methods. Knowng how to use MATLAB s zero uncton to estmate roots. Learnng how to manpulate and determne the roots o polynomals wth MATLAB.
6. smple ed-pont lteraton 단일고정점반복법 g g 근산오차 a %
E 6. e 고정점반복법을통해의근을구하라. e g e g e 초기값 = 설정 근의참값 :.5674329 % % 2 3 4 5 6 7 8 9...3679.6922.55.662.5454.5796.56.57.5649 t. 7.828 46.854 38.39 7.447.57 5.93 3.48.93.9 a. 76.322 35.35 22.5.755 6.894 3.835 2.99.239.75.399 t / t.763.46.628.533.586.556.573.564.569.566
Convergence possblty 수렴가능성 y y 2 e g g g 오차감소 오차증가 g g 오차단조로움 오차가진동
6.2 Newton-Raphson 법. 근에대한초기값 설정 2., 에접하는접선구하기 3. 접선과 축이만나는점찾기개선된추정값공식으로나타내기 Newton- Raphson 공식
E 6.2 e Newton-Raphson 법을사용하여의근을추정하라. 초기가정은 = e e e % 2 3 4.5.56633.5674365.5674329.8.47.22 < -8 t
E 6.3 Newton-Raphson 법을사용하여의양근을추정하라. 초기가정은 =.5 9 % 2 3 4.5 5.65 46.485 4.8365 37.65285 a 99.32... 4 4 42.236.24 2.3.229.2 수렴속도가매우느리다.
Newton-Raphson 법이수렴되지않는경우 Newton-Raphson 법을위한일반적인수렴판정기준없다. 그니까초기값을최대한정확히잡아야함근데초기값잘잡아도소용없는경우도있음 그러니까수렴이늦거나발산을인식할수있는좋은프로그램이작성되어야한다!
E 6.4 항력계수가.25kg/m 일때자유낙한 4 초후의속도가 36m/s 가되는번지점프하는사람의질량을구하기위해, M 파일함수를사용하라 중력가속도 9.8m/ss m = gm c d tanh gc d m t vt Newton raphson 법을적용하기위해도함수를미지수 m 에대하여구해야한다. dm dm = 2 g mc d tanh gc d m t g 2m tsech2 gc d m t
Newtraph 함수.M 파일로저장 근구하기
6.3 SECANT METHODS 할선법도함수계산을줄이기위해 할선법을위한공식 두초기값사용한초기값사용 수정된할선법공식
E 6.5 수정된할선법으로항력계수가.25 kg/m 일때자유낙하 4 초후의속도가 36 m/s 가되도록번지점프하는사람의질량을구하라. 중력가속도 9.8 m/s2 질량의초기가정 5 kg 변동량 -6 a % t % 2 3 4 5 6 5. 88.3993 24.897 4.547 42.772 42.7376 42.7376 64.97 38.69 3.64.538.2 4. -6 3.4-2 43.438 28.762.76.57.2 4. -6 2 5 5.5 6 5 4.5793878 5 4.579388 4.5793878 88.3993 88.3993 88.3994 88.3993 24.897 t 38.%; 6 a 4.5793878 43.4% 4.579388.692277.6922356 88.3993.692277.6922356.692277 t 3.%; a 28.76%
6.4 Brent s Method 구간법 + 개방법 => 혼합법 Brent!! 구간법 이분법 개방법 할선법 역 2 차보간법
F F 근의추정값! 근의추정값! 할선법 역 2 차보간법
y y= X=y X 축과교차하지않아!! 세점 2, y 2,, y,, y 이존재 y y y y y 2 y y 2 y 2 + y y 2y y y y 2 y y y y 2 y y g y = y y 2 y y + + = y y y 2 y y 2 y 2 + y 2 y y y 2 y y y 2 y y y 2 y y +
예제 6.6 점들 [,2, 2,, 4,5] 에대해먼저 y= 에대한 2 차공식을사용하여근이복소수임을보이고 = gy 에대해역 2 차보간법을사용하여근의추정값을구하여라. = 2 4 2 4 2 + 4 2 2 4 + 2 4 4 2 5 = 2 4 + 5 =2± g y = y y 5 2 2 5 + y 2y 5 2 5 2 + y 2y 5 25 4 + = 5 2 2 5 + 2 5 2 5 2 + 2 5 25 4 = 4 단, 세개의 y 값이서로다르지않을때역 2 차함수는존재하지않음.
Brent 법의알고리즘
6.5 MATLAB Functon: Fzero Fzero 함수는단일방정식에서실근을구하도록설계 zero uncton, 근을포함하는두개의가정값 zero uncton, [ ] 이때, 은함수값의부호를서로다르게하는가정값
>> = zero @ ^2-9, -4 = -3 >> = zero @ ^2-9, [-4 4] >> = zero @ ^2-9, 4 = 3 >> = zero @ ^2-9, = -3 >> = zero @ ^2-9, [ 4] = 3
Fzero 함수에한개의초기가정값이전달 초기가정값에서부호변화가감지될때까지양과음의방향으로점점넓은간격을취한다. zero 구문의완전한표현 [, ] = zero uncton, o, optons, p, p2, optmset 함수의구문 Optons = optmset par, val, par2, val2, dsplay : ter 로지정되면, 모든반복에대한자세한기록표시 tol : 에대한종료허용값을지정하는양수의스칼라값
예제 6.7 근을구하는문제를 optmset과 zero로풀어라. 양의근을초기값.5 를이용하여
6.6 Polynomals 이분법과 Newton-Raphson 법은고차다항식의근을못구함. 내장함수 roots roots 함수의구문 = rootsc = 근을나타내는열벡터 c = 다항식의계수를나타내는행벡터 roots 의역함수는 poly 이며근의값이들어가면다항식의계수출력 poly 함수의구문 c = poly r r = 근을나타내는열벡터 c = 다항식의계수를나타내는행벡터
예제 6.8 5 3.5 4 2.75 2.25 3.875.25 다항식은세개의실근.5, -., 2, 한쌍의복소수근 ±.5 를가짐 3 2 >> a = [ -3.5 2.75 2.25-3.875.25]; >>polyval a, ans = -.25 -.5+ = ^2+.5-.5 >>b = [.5 -.5] b =..5 -.5 >>b = poly[.5 -] b =..5 -.5
>> [q,r] = deconva,b q =. -4. 5.25-2.5 r = >> =rootsq = 2.. +.5. -.5 3.5 2.75 2.25 >> a=convq,b a =. -3.5 2.75 2.25-3.875.25 5 4 사용된근 :.5, - 사용 근 : 2, ±.5 3 2 3.875.25
>> =rootsa = 2. -.. +.5. -.5.5 >> c=poly c =. -3.5.25 2.75 2.25-3.875