축방향으로이송되는박막의비선형진동 신창호 * 김원석 ** 정진태 oear rato of a aa og erae. h W. K a J. hg Ke Wors : oear rato 비선형진동 Aa og atera 축방향이송체 atra freec 고유진동수 Astract he rato of a aa og erae s estgate coserg geoetrc o-eart a asect rato. B sg the etee Hato s rce the coe o-ear arta ffereta eatos are ere hch escre the ot-of ae otos as e as the -ae otos. hese eatos of otos are scretze throgh the Gaer etho. After the scretze eatos are earze the eghorhoo of the er osto the atra freeces are cote fro the earze eatos. he e oe s teste coarg reos ear rato. he rests sho that geoetrc oeart a asect rato hae sgfcat effect o the oear rato of the og erae. 1. 서론 박막 erae 은아주단순한구조를가지고있지만 복잡한이송체의동적특성을아주잘나타내기때문에정지혹은이송하는박막의진동해석은상당히많이연구되어왔다. 특히 웹이송장치 제지공정 필름제조공정등의분야에서박막을모델링하여많이사용하고있다. Ocer 1 는비대칭 임의의형상을갖는박막이임의의초기조건 시간의영향을받는경계조건과가진력하에있는경우에대한일반해를제시하였다. hra 은자유진동 비선형이며축방향으로이송되는스트립 str 에대해서두개의연성된운동방정식을근사화방법을이용하여해석하였다. 속도가증가할수록기본진동수는감소함을확인하였고 비선형의영향은더욱중요해짐을강조하 책임저자 회원한양대학교공학대학기계공학과 E-a : chg@haag.ac.r E : 314-587 FA : 3146-555 * 회원 한양대학교대학원정밀기계공학과 ** 회원 한양대학교 BK1 기계분야사업단 였다. ratafo 3 는이송되는케이블의운동에대해서연구하였으며 정적이고선형화된운동방정식을접선방향 tageta recto 과수직방향 ora recto 에대해서각각구하여해석하였다. Pers 4 는임의의처짐과지지를갖는이송하는케이블에대한운동이론을제시하였다. 특히 3 차원의비선형운동방정식을유도하여케이블설계에필요한진동수 모드형상 안정성등을제시하였다. Wag 5 은넓은톱날은초기에절삭능력을향상시키는 ro-tesog 에의해응력을갖게되는데이러한공정들을이해함으로써잔류응력에대한영향을제시하였다. hg 6 은기하학적비선형성을갖는현에대해서고유진동수및시간응답을해석하였다. 특히가속도와비선형성의중요성을제시하였다. 하지만위의논문들은대부분이비선형성을고려하지않는면외방향의진동에대해서만언급하였으며특히위의모든논문이너비를고려하지않아서실제너비가길이에비해적지않을경우너비의효과에대해서알수가없다. 또한질량의유출 입이존재할경우 Etee Hato 7 원리를사용하여야한다. 따라서본논문에서는이러한이송하는계를너
비가너비가존재하는박막으로모델링하고 그동안소홀했던비선형을갖는박막의진동특성을연구하려고한다. 접근방법은질량의유출 입이양끝단에서존재하므로 Etee Hato 원리를적용하여운동방정식을유도하였으며 수치해를구하기위해 Gaer 방법을통하여 ea for 으로방정식을이산화하고 이산화된방정식으로부터이송속도에따른고유진동수를분석하고자한다.. 운동방정식 축방향으로이송되는박막의진동및시스템에관한그림을 Fg. 1 에도시하였다. 축방향의간격은 이며 박막의단위면적당밀도는 박막의폭은 이송속도및가속도는각각 & 으로표시하였다. 축방향 축방향과 z 축방향변위는각각 t t 과 t 로표현하였다. 양끝단에서면내방향의변위는존재하지만 면외방향의변위는 임을알수있다. 또한양끝단의장력은즉 에서단위길이당장력이 이고 에서단위길이당장력은 로서이두힘의차이는구동하는풀리에서발생되는가속도때문이다. 박막의기하학적비선형성을고려하기위해변위-변형률의관계는 o Kara 의변형률이사용되었다. 따라서이들의관계식은다음과같이표현된다. & t t t Fg. 1 cheatcs of a aa og erae 1 ε 1 ε 1 ε 1 그리고 응력 - 변형률의관계식은다음식으로표 현된다. E σ 1ν σ E ε νε σ νε ε 1ν E ε 1 ν 여기서 E 는 og s os 를나타내며 ν 는포아송의비를나타낸다. 또한두께가매우얇기때문에 z 축방향의응력인 σ z σ z σ z 는무 시할수있다. 변형된후의임의의점에대한위치벡터는다음과같이표현된다. r 3 여기서 는각각 축 축 z 축의단위 벡터이다. 운동에너지를구하기위해속도벡터는위의위치벡터를시간에대해미분을취하여다음과같이구할수있다. 4 t t t 박막의변형에너지 U 와운동에너지 는식 1~4 을대입하여구한다. 즉 1 U h σ ε σ ε σ ε A A 1 A 5 A 박막의운동방정식은질량의유출 입을고려한 Etee Hato 원리를사용하여야하며 식의형태는다음과같다. t t1 여기서 δu δw δm t δ 6 Wc c 는비보존력에의한가상일 M 은경 계를통과하는가상수송량을나타낸다. 그리고 Wc 와 M 은다음과같이다시표현할수있다. δ Wc δ δ t δa δr Γ δ M 7 Γ 여기서 은경계에서바깥쪽으로향하는수직벡터이다. 운동방정식은식 5 과식 7 을식 6 에대입하여유도할수있다. 축방향으로움직이는박막에대한면내방향및면외방향의운동방정식은아래와같이유도되었다. A
& & t t t t t t & & 8 s r 1 s 1 r 1 여기서 Eh 1 ν Eh ν ν 1ν Eh 1 ν 그리고박막의경계조건은아래와같다. at at at at at at at 3. 이산화방정식 9 1 운동방정식의이산화를위해서유도된식 8 과경계조건식 9 을이용하여 ea for 을만든후 Gaer 방법을적용하였다. 따라서식 8 은다음과같이표현된다. t t & & t t & t t 여기서시도함수는 이며아래와같은함수로각각표현할수있다. 마찬가지로각각의시도함수에대응하는가중함수는 로아래와같다. s s 1 1 13 식 1 와식 13 을식 에대입하여다음과같은이산화된방정식을구할수있다. & g & f & g & [ ] & g & 여기서 for f 1 K 14 g g g 1 1 [ 1 1 ] 1 1 [ ] 1 1 [ ] 1 & 1 1.5 [ 1 1 ] [ ]
1 1 1 1 ν 1 1 1 1 ν 1 1 ] [.5 & 1 1 1 1 ν 1 1 1 1 ν [ ] 1 1 5. & f ] 1 [ f s s s 1 s 1 s 1 1 s s s s 1 1 s 1 s 1 s s s s s s s 1 ν Eh 1 ν Eh 1 1 1 1 1 s 1 s 1 1 1 s 1 1 1 s 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 s 15 식 14 를벡터-행렬식의형태로다음과같이쓸수있다. M c & Gc& Kc Fc 16 s s sc c Ks & Gs Fs M & G & [ K ] 17 여기서 K sc { } 1 1 { } 1 r 1 1 1 1 c r ν r r r 1 1 1 1 r νr r r 4. 고유진동수 18 행렬-벡터방정식으로부터복소고유치를적용하여고유진동수를구하였다. 고유진동수의수치해를구하기위해서사용한박막의물성치는.35 g/ 9 E 3.8 1 Pa ν. 3 / 3 이다. 먼저식 16 에서정상상태라고가정하면아래와같다. K c F c 19 위의식에서면내평형위치 를구하여식 17 에대입하여면외방향의고유진동수를구하였다. 먼저정지상태에서고유진동수를구하여검증하여 ae 1 에나타내었다. ae 1 정지상태의고유진동수비교 ω oear ear fferece% 1 199.91 199.91 399.4 399.8 3 599.68 599.73 다음으로이송속도 가고유진동수에끼치는영향을분석하기위해속도를증가함에따라모든고유진동수가단조감소함을알수있다. atra Freec 6 5 4 3 1 5 1 15 5 /s Fg. atra freeces of ot-of-ae for the trasatg see 5. 결론 본논문에서는이송되는박막의비선형을고려한운동방정식을유도하였다. 유도된방정식은면내와면외가연성되어있다. Gaer 방법을적용하여이산화된운동방정식을얻었으며 이를바탕으로평형위치를구하여면외방향의고유진동수를계산하였다. 본연구에서얻은결과를요약하면다음과같다. 1 이송속도가증가함에따라면외방향의모든고유진동수는단조감소한다. 기하학적비선형을고려하는것은속도가증가함에따라더욱중요해짐을알수있다. 참고문헌 1 Ocer.. 1967 Geera oto to the Eato of the ratg Merae Jora of o a rato o. 6. 365~374. hra A.. a Mote.. 1969 Free Peroc oear Oscato of a Aa Mog tr Jora of Ae Mechacs MARh. 83~91. 3 ratafo M.. 1985 he acs of rasatg aes Jora of o a rato o. 13. 171~18. 4 Pers.. a Mote.. 1987 hreeesoa rato of raeg Eastc aes Jora of o a rato o. 4. 35~34. 5 Wag J a Mote.. 1994 Aass of Roer-
ce Resa tresses Basa ates Jora of o a rato o. 4. 733~746. 6 hg J. Ha.. a K. 1 rato of a aa og strg th geoetrc o-eart a trasatg acceerato Jora of o a rato o. 4.733~746. 7 McIer. B. 197 Hato s rce for sstes of chagg ass Jora of Egeerg Matheatcs o. 7. 49~61.