Project : One-D, P3 Code 8-38 Bae Moo Hoon A. Methodooy pane eoetry 에서 -D Botzann transport equation 은다음과같이정의된다. ϕ μ +Σ ϕ = χψ + Σ Ωˆ Ωˆ ϕ Ωˆ Ωˆ (, ', ' ) (, ', ') ' ' z t 4π ze E ze ded 4π s () anuar fux와 scatterin xs를 차까지 eendre expansion하여정의하면다음과같은식으로표현할수있다. ˆ + ϕ(, ze, ) φ(, ze) P( μ) 4π Ω = () = + ( ze, ' E, μ ) ( ze, ' E) P( μ ) Σ = Σ s s = 4π where, μ = μ ( Ωˆ, Ω ˆ ') = μ ( μ, μ', α, α') s s s α (3) α ' θ θ ' θ s z x y 식 () 와 (3) 을식 () 에대입한후정리하면다음과같은식을얻을수있다. + + μ φ( ze, ) P( μ) +Σt φ( ze, ) P ( μ) z 4π 4π = = χ π + + = ψ + Σ (, ' ) ( ) (, ') ( ') ' ' ' ze E P μ s φ ze P μ d α d μ de 4π = 4π = 4π (4) scatterin 후, 입자사이의각도 과는다음과같다. μs 는 Addition theore에의해서 μ, μ ' 로표현할수있다. 그결 P P P P % P % ( μ ) = ( μ) ( μ' ) + ( μ) ( μ' ) cos ( α α' ) s = ( μ ) d P where, P% ( μ) = ( ) sin θ ; dμ (5) 식 (5) 를식 (4) 의 scatterin source ter 에대입하여정리하면 scatterin source 는간단한형태로표현
할수있다. π + + (, ' ) ( ) ( ) ' ' ze E P μs P μ dα dμ Σ 4π 4π = = + = Σ( ze, ' E) φ( ze, ') P( μ) 4π = (6) 위와같이 anuar fux를 eendre expansion과 addition theore을사용하여정리하면, 다음과같이형태의 -D B.T.E를얻을수있다. + + μ φ( ze, ) P ( μ) +Σt φ( ze, ) P( μ) z 4π 4π = = χ + = ψ + Σ (, ' ) ( ) (, ') ' ze E P μ φ ze de 4π 4π = (7) 식 (7) 의양변을 P ( ) π μ dμ 로적분하면, 각에대한의존성과분모의 4π 를제거할수있다. n 또한 enery를 uti-roup으로분할하여적분하면, enery에대한의존성을없앨수있다. 이와같은과정으로식 (7) 의각각 ter을정리하면다음과같다. - Tota reaction ter + π Σ (, ) (, ) ( ) ( ) (, ) (, ) t ze φ ze P μ Pn μ dμ t zeφn ze =Σ = 4π (8) E (, ) (, ) ( ) (, ) E E Σ zeφ zede=σ z φ zede=σ φ t n t E n tn n, where, Σ z = Σ z, E z, E de =Σ E ( ) ( ) φ ( ) t t n tn φ E n, (9) - Fission source ter χ π ψp ( ) n μ dμ = δonχ E ψ z 4π ( ) ( ) () δonχψ ( z) () - Scatterin source ter + π Σ ze, ' Eφ ze, ' P μ dep ' μ dμ = Σ ze, ' Eφ ze, ' de' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n = 4π ()
E E E ( ) φ ( ) ( ) φ ( ) Σ z, E ' E z, E ' de ' de = Σ z, E ' E de z, E ' de ' G n n E n n E E ( ) φ ( ) ' = Σ ze, ' E de ze, ' de' = Σ E' E n n n' n' ' = ' = E E where ( z E E) deφ ( z E ) de φ ', Σ n ' = Σn, ' n, ' ' E' E n ' G φ (3) - eaae ter + π μφ ( ) ( ) ze, P μ Pn( μ) dμ z 4π = = π (( ) P ( ) ( )) (, ) ( ) μ P μ φ z E Pn μ dμ z + + + 4π = = np ( ) (, ) ( ) ( ) (, ) n μ φn z E dμ+ n + P n μ φn+ z E dμ z n n+ = φn (, ze) + φn+ (, ze) n+ z n+ z n φ n+ φ + n+ z n+ z n, n+, (4) (5) 위와같은과정의최종결과로다음과같은 uti-roup P equation 얻을수있다. G n φn, n+ φn+, + +Σ φ = δ χ ψ + Σ φ n+ z n+ z where, n =,..., =,..., G tn n n n' n' ' = (6) 위의식의좌변을 atrix for으로표현하면다음과같다. n n... ( a) Σtn n z n z n n+... ( b) Σ tn n+ z n+ z n n... ( c) + + Σ tn+ n3 z n+ 3 z O (7) 홀수 n-th equation 에있는홀수 n-th oent 에대한의존성을제거하면짝수 n-th equation 만으로으
로 uti-roup P equation을표현할수있다. 예를들어식 (7) 의식 (b) 에서첫번째항과세번째항을소거하면홀수 n-th oent에대한의존성을없앨수가있다. n 우선, ( b) ( a) 를하면 (b) 의첫번째항을제거할수있다. 그결과로 -th가 Σ tn n+ z n n oent의 coefficient에 항이추가된다. 마찬가지방법으로 n+ z Σ n z tn n + ( b) ( c) 를하면 (b) 의세번째항을제거할수있고, 그결과로 nd oent의 Σ tn+ n+ z n+ n+ coefficient에 항이추가된다. 짝수 n-th equation으로표현된 uti-roup n+ z Σ n+ 3 z tn+ P equation의 atrix for은다음과같다. d u φ d u φ d u φ n n n n d φ n n+ where, d =Σ D + D (n+ )( n) z n+ z n n n = Dn Dn = n+ z Σ n z n tn n n+ tn n + n + un = Dn+ Dn+ = n+ z Σ n+ z tn+ (8) 일반적인 -D P 3 equation의 atrix for은다음과같다.
G () d χ ψ + Σ ' φ Σ t 4π ' = dx φ G () d d Σ t ' φ 3 dx 3 dx φ Σ ' = = G d 3 d φ () Σ t ' φ 5 dx 5 dx φ Σ 3 ' = 3 d G Σt3 (3) 7 dx ' φ Σ ' = (9) 다음과같은가정을통해서 P 3 equation를간편화할수있다.. Σ tr =Σ t =Σ t. 3. 4. P scatterin : Σ = n ( n) ' G () : Σ ' =Σs ' = Inconsistent P φ φ Transport Correction Σ =Σ Σ D = 3 Σ () : tr t s, r 위의가정을통해서식 (9) 의두번째식은다음과같이간단히정리할수가있다. dφ dφ +Σ + =Σ 3 dx 3 dx dφ dφ +Σ trφ + = 3 dx 3 dx dφ dφ D + φ + D = dx dx () tφ sφ () 3 φ, φ, D = 로표시하면식 (9) 는다음과같이더욱간단한형태로정리 7 Σ 가된다. t
d Σr dx d d φ q D D dx dx = d 3 d φ Σ t 5 dx 5 dx d D dx G where, q = χψ+ Σ φ ' 4π ' = ' Σ =Σ Σ r t () 식 (8) 과같이홀수 n-th equation을제거하면식 () 은최종적으로 by atrix로간편화된형태의 atrix for을얻을수가있다. Σ ( ) D D ˆ q ξ + Σr Σ r ξ φ ( ξ ) 4 5 = Σ ( ) q ( ) r Σ D D ξ ξ + Σ r + Σ t φ ξ 3 3 3 3 D D d where, β =, Σ D =, D = h h h dx ˆ φ ( ξ ) = φ ( ξ ) + φ ( ξ ) ξ () 위의식에서나타나는 계미분항은 FDM을이용해서풀수가있다. 식 () 에 FDM을적용하기위해서유도를한과정은다음과같다. 우선 -th subreion에대한적분은다음과같이할수있다. r z ˆ φ D +Σ h Σ h = q h z () rφ rφ z where, h = z z z φ ˆ = ( zdz ) h φ z φ z () () = h φ z ( zdz ) (3)
z ˆ φ D = z r z ˆ φ ˆ r φ φ r + φr = D =D+ h h+ where, ˆ φ = riht surface fux of -th subreion r (4) (5) φ r β φ + β φ = β + β + + + D where, β = : reative diffusivity h (6) current 는다음과같이구할수있다. ˆ β β = = = D% ( ) r + β( φr φ) φ+ φ ( φ φ+ ) β + β+ = D% ( φ φ) where, D% β β = β + β + + (7) 위에서정의한식들을식 () 에대입하면다음과같은식과 atrix for 을얻을수가있다. D% ( φ φ ) D% ( φ φ ) +Σ φ h Σ φ h = q h (8) () + r r () () () () () () () Σ rφh + D% ( φ φ+ ) D% ( φ φ ) +Σ % trφ h = qh (9) 3 3 q φ () q φ 3 D% D rh rh D + % +Σ Σ % D% φ q () () () () () = D Σ D rh D D trh φ % + +Σ % % % % 3 q 3 φ + q+ () φ + q 3 + (3) -th subreion에적용된식 (3) 을모든영역에적용을하면 boc tri-diaona atrix을얻을수가있다. 경계에서의 atrix for 은다음과같이수정될수가있다.
우선왼쪽경계가반사조건이라고가정을하면, 경계에서의 current는 이므로다음과같은 atrix for을얻을수가있다. q φ D% () +Σrh Σrh q D φ % 3 = () () D Σ rh D% +Σ% trh φ q 3 % () φ q 3 (3) 또한오른쪽경계가 vacuu 조건이라고가정을하면, net current와 fux를통해서 partia current를구하여이를반영하여야한다. partia incoin current는다음과같이구할수있다. in = P( μϕμ ) ( ) dμ in = 3 P( μϕμ ) ( ) dμ + where, ϕ( μ) = φp( μ) in = in φ 5φ = 3, = + + 4 6 φ 5φ = + 6 6 vacuu 경계의경우, incoin current 가 이므로쉽게 net current 를구할수가있다. φ 5φ = + 4 6 φ 5φ = + 6 6 식 (34) 에서 φ ˆ = φ φ로적용하여정리하면다음과같다. (3) (33) (34) ˆ φ 3φ = 4 6 ˆ φ 7φ = + 6 6 3 ˆ 8 φ = 7 φ 8 8 (35) (36)
최종적으로오른쪽 vacuu 경계조건에의한 atrix for 은다음과같다. q φ 3 D% D 7 % D% () q +Σ rh + Σrh 8 φ 3 () = () q Σ rh D% trh φ +Σ % + 3 8 8 () φ q 3 (37) B. Code and Resut. Modify the input processin routine to define the additiona second order diffusion coefficient which requires the tota cross section. Modify the inear syste setup routine such the x atrix. - Input processin 3 D = 와같이정의되는 nd order diffusion coefficient를결정하기위해서는우선 tota xs를 7 Σ t 결정하여야한다. tota xs는 Σ t =Σ r +Σs 와같이정의되므로, 이과정을수행한후 nd order diffusion coefficient를결정하여저장한다. sef scatterin에의한 source ter을제거하기위해서 sef scatterin xs을 으로저장하여준다. - inear syste inear syste을 setup하기위해서각 subreion에대한 node size와군정수를초기화하여준다. 이값들을사용하여 β = D D, D h Σ = h 를결정하여저장한다. FDM 사용하여 계미분항을풀기위해서는식 (3) 과같이 by atrix가 tri-diaona 형태로나타나는 inear syste을구축해야한다. i-th upper diaona ter과 (i+)-th ower diaona ter이같으므로, 변수 ccz에 upper diaona ter을저장하여메모리를절감할수있다.. Write a U factorization routine for a boc tridiaona atrix. The boc size is x. Write aso the forward and bacward substitution routine to the boc U factors in sovin the boc tridiaona inear syste. Estabish the outer iteration schee with the soution obtained fro the U sover.
- Boc U factorization & forward and bacward substitution Boc tri-diaona atrix에서 by atrix로이루어진 boc을풀기위해 atrix 곱과 inverse atrix를계산하는루틴을함수화하여놓으면, 기타과정은 tri-diaona atrix를푸는방법과같다. 다른점은성분의곱과나누기가 atrix 곱과 inverse atrix로계산되는것이다. by atrix 의성분은,,3,4의 index(idir) 로저장하였다. Forward and bacward substitution 역시 tri-diaona atrix를푸는과정과유사하다. 단지, 성분의곱이 x atrix 와 x atrix의곱으로수행되는점이다르다.! U factorization do i=,nx do idir=,4 if(i.t.nx) then upper(idir,i)=ccx(idir,i,) ower(idir,i+)=upper(idir,i) endif dia(idir,i)=a(idir,i,) ut(idir,i,)=upper(idir,i) dt(:,,)=dia(:,) do i=,nx t(:,i,)=t(ower(:,i),invat(dt(:,i-,)))! t : (x atrix) x (x atrix) dt(:,i,)=dia(:,i)-t(t(:,i,),ut(:,i-,))! invat : inverse atrix! Forward and bacward substitution y(:,)=tsrc(:,,) do i=,nx y(:,i)=tsrc(:,i,)-t(t(:4,i,),y(:,i-))! t : (x atrix) x (x atrix) end do so(:,nx)=t(invat(dt(:4,nx,)),y(:,nx)) do i=nx-,,- du(:)=y(:,i)-t(ut(:4,i,),so(:,i+)) so(:,i)=t(invat(dt(:4,i,)),du(:))
phihat(:,i,)=so(:,i) end do - Outer iteration schee outer iteration은 source iteration을사용하여수행하였다.! U factorization do =,n ca bufac()! initiaize variabes do i=,nx su=. do =,n phi(i,)=. phihat(,i,)=. fsrc(i,)=. tsrc(:,i,)=. phihat(,i,)=phi(i,)+.*phihat(,i,) su=su+xsnf(i,)*phi(i,) psi(i)=su*hx(i)! sove inear syste ei=. rei=./ei do iout=,naxout do =,n do i=,nx fsrc(i,)=rei*xschi(i,)*psi(i) ssrc=. do =, ssrc=ssrc+phi(i,)*xss(i,)%fro() tsrc(,i,)=fsrc(i,)+ssrc*hx(i)
tsrc(,i,)=-twoo3*tsrc(,i,) ca busove() do i=,nx phi(i,)=phihat(,i,)-.*phihat(,i,) print '(i4,f.6,pe5.6)',iout,ei,reei,repsi if (convch()) then niter=iout exit endif 3. Sove the -D C5G probe which consists of UOX(Coposition ), MOX(Coposition 3), and Refector(Coposition ) strip. - Resut 문제의 eoetry는다음과같다. UOX MOX REFECTOR.7.7.7 주어진문제의노드를충분히작게하여계산한결과는다음과같다. # of node per a reion 48 / 49 / 49 node size.5 # of iteration 6 -eff.956837
Fi. -th oent Fi. nd oent Fi 3. Fission source distribution
4. Exaine the node size dependence of the soution by tryin severa refined esh cacuations. Estiate the true vaue of -eff and reionwise fission source distribution. 첫번째 reion을기준으로 esh 수를 부터 ^까지쪼개어 -eff의값을계산하였다. 그결과는 < Fi.4 > 와같다. Node size가작아질수록특정값 (-eff=.9568373) 에수렴함을확인할수가있다. Fi 4. Fission source distribution true soution * 는 error reduction ratio ρ 를사용하여추측할수가있는데그계산과정은다음 과같다. * ( n) = ρ( * ( n) ) * ( n) = ρ( * ( n) ) ( n) ( n) = ρ( ( n) ( n) ) ρ = * = ( n) ( n) ( n) ( n) ( ρ ρ ( n) n) 위의과정을 esh 수가 3,64,8 인경우를사용하여계산을수행하였다. # of eshes Error reduction 3 64 8 ratio -eff.9567398865.95686.956838634.598 Fission source of 3.777674938 3.754784 3.744497395.6744
UOX Fission source of 5.5476469 5.54994 5.549346685.4848 MOX FDM 의이론적인 error reduction ratio 는 Oh ( ) 이므로위의경우는 /4 로주어지게된다. -eff, FS of UOX, FS of MOX를사용한 error reduction ratio는이론적인값과대략일치함을확인할수가있다. 위의표의 ρ 값을사용하여 -eff, FS of UOX, FS of MOX를 true soution을추측한결과는다음과 같다. Estiated true soution Soution usin very defined esh size(.63/65536) -eff.9568374.9568373 FS of MOX 3.7437 3.7454 FS of UOX 5.549469 5.549465 추측된결과는매우작은 esh size를사용하여얻은결과와대략일치함을확인할수가있다. 또한이결과는 SP3 NEM을사용한결과,.957와대략일치한다. 5. Copare the P3 resuts with the diffusion code resut and discuss the reasons for the differences. Copare then the resut with the Monte Caro resut that you can obtain by usin your previousy written Monte Caro code. Use sufficient nuber of histories in the Monte Caro cacuation. Pot the anuar fux shape as a poar diara at the two reion interfaces. - Diffusion code와의비교 Diffusion code의결과는원자로수치해석시간에작성한코드를사용하여얻은계산결과는.956894이다. 이값과 SP3 FDM의결과는대략 65pc의차이를보인다. Diffusion code는 P equation을기반으로작성된코드이므로고차 eendre poynoia을사용하여 anuar fux를표현한 P3 ethod에비해정확성이떨어진다. - Monte Caro code와의비교 Monte Caro cacuation의결과는이민재씨코드의결과를사용하였다.,, history를사용하 여계산을수행하였고그결과는 pc의오차를보인다..9575 ±.9 3 이다. SP3 FDM의결과와는대략 - 물질간경계면에서의 Anuar fux 분포
물질간경계면에서의 anuar fux는 Matab을사용하여 pot을하였다. t=:.:.*pi; phi=[.36554 -.8547 -.4485.99]; % G - :UOX :MOX 3:REF f = @(t).5.*phi() +.5.*phi().*cos(t) +.5.*phi(3).*.5.*(3.*cos(t).^-) + 3.5.*phi(4).*.5.*cos(t).*(5.*cos(t).^-3); poar(t,f(t),'r') tite('uox-mox (Group )') saveas(cf,'.bp') Fi 5. UOX-MOX (Group ) Fi 6. UOX-MOX (Group ) Fi 7. MOX-REF (Group ) Fi 8. MOX-REF (Group ) 그룹의 UOX-MOX 경계에서의 anuar fux는약간의 bacward peain을보인다. 이러한현상은 < Fi. > 의 -th oent fux의그래프에서 그룹의 UOX-MOX 경계에서의 MOX의 fux가약간높게나타나는것을통해서확인할수가있다. 이와마찬가지로 그룹의 MOX-REF 경계에서의강한 bacward peain 현상을 < Fi. > 에서확인할수가있다. 그룹의 MOX-REF 경계에서
refector 영역에서의 oderation과 refectin 기능에의한것으로경계면에서강한 incoin current를형성하게되는것으로 bacward peain을설명할수있다. P ethod를사용하였을경우의 anuar fux의대략적인분포를확인하기위해 nd, 3 rd fux ter을제외하고 pot을하였다. oent Fi 9. UOX-MOX (Group ) Fi. UOX-MOX (Group ) Fi. MOX-REF (Group ) Fi. MOX-REF (Group ) P ethod에의한 anuar fux의분포는 P3 ethod에의한결과와같이섬세하게분포를묘사하지못한다. 이는곧오차를수반하므로, P ethod에의한결과는 P3 ethod에의한결과보다정확성이떨어짐을다시한번확인할수가있다.