한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, pp. 271~277, 2011. 3 (ISSN 1226-9549) Journal of the Korean Society of Marine Engineering 유전알고리즘에의한강봉의감쇠행렬산출법박석주 박영범 1 박경일 1 제해광 2 이금주 2 ( 원고접수일 :2010 년 12 월 7 일, 원고수정일 :2011 년 2 월 16 일, 심사완료일 :2011 년 2 월 28 일 ) Identification of Damping Matrix for a Steel Bar by the Genetic Algorithm Sok-Chu Park Young-Bum Park 1 Kyoung-Il Park 1 Hye-Kwang Je 2 Geum-Joo Yi 2 요약 : 이연구에서는유전알고리즘을이용하여강봉의감쇠행렬을산출하는방법을제안하다. 감쇠행렬이강성행렬과비례한다는가정을전제로각요소강성행렬에임의의정수를곱하여감쇠행렬을구성하여주파수응답함수를구성하고, 이를실험주파수응답함수와비교한값을목적함수로하여목적함수가가장작은정수의감쇠행렬을구한다. 비감쇠해석의경우보다목적함수의값이약 1/60 로작아지는것을알수있었다. 이를이용하면큰구조물의감쇠가큰일부부분구조물을떼어내어감쇠행렬을구할수있어구조물의감쇠진동해석을하는데도움이될것으로사료된다. 주제어 : 주파수응답함수, 비례감쇠, 유전알고리즘, 목적함수, 곡선맞춤법, 감쇠진동 Abstract: An identification method of the structural damping matrix for a steel bar by the genetic algorithm is proposed. Supposing the damping matrix were in proportion to the stiffness matrix, the proportional factors can be identified from the curve fitting of the experimental frequency response function(frf) by the genetic algorithm. Applying the identified damping matrix to FEM of a beam model, the values of the objective function could be reduced to about 1/60 in comparison with conventional FEM model without damping. The damping matrices of some sub-structures which have large damping partly could be identified by the algorithm, and they could be used as some parts of the FEM model for a whole structure. Key words: Frequency response function, proportional damping, Genetic algorithm, Objective function, Curve fitting method, Damped vibration 기호설명 : 질량행렬 : 감쇠행렬 : 강성행렬 : 자유도 : 비례감쇠계수 : 외력벡터 ( ) : 변위벡터 ( ) A : 주파수응답함수 : 단면적 : 봉의직경 : 봉의길이 : i 번째요소의길이 : 영계수 : x축에대한단면의관성모멘트 : 실험시도에따른주파수응답함수의분산 교신저자 ( 한국해양대학교조선해양시스템공학과, E-mail:poseidon@hhu.ac.kr, Tel: 051-410-4305) 1 디케이이엔티 2 한국해양대학교대학원 한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, 2011. 3 / 271
134 박석주 박영범 박경일 제해광 이금주 : r차고유진동수 : r차고유진동형 : r차모드감쇠율 1. 서론 구조물의동적거동을예측하기위하여유한요소법은거의필수적인해석도구가되었다. 설계단계에서는물론이고문제해결에도반드시이용하는도구로유한요소법이그자리를확고히하고있다. 한편으로는구조형상이복잡하거나감쇠가큰경우유한요소법에의한해석이실제와차이가생기기때문에실험으로구조물일부분에대한구조특성행렬을구하고자하는욕구도많았다. 처음의시도는실험주파수응답함수로부터고유진동수와고유진동형을구한뒤이들과강성행렬및질량행렬사이의수학적관계로부터특성행렬을구하려는것이었다 [1-2]. 그러나이방법은실험범위내에존재하는고유진동수의개수에의하여자유도가제한되고, 또회전자유도에대한주파수응답함수를측정할수없는현실등으로큰진전을보지못하였다. 다음으로등장한방법은조화진동운동방정식에직접주파수응답함수를넣어강성행렬과질량행렬의각요소를미지수로하여최소자승법으로구하고자하는시도들이있었지만자유도의증가로인한미지수의기하급수적인증가와, 초기치설정의잘못으로생긴국부수렴현상으로계산시간이많이소요되거나수렴하지않는등의단점이있고, 또구하여진특성행렬이물리적인의미를가지는가에대하여서는의문의여지가있다 [3-6]. 최근국내의연구로는 [7] 등이가중행렬을사용하여역행렬계산과정을줄여서오차를줄이는연구를하였으나단지 4자유도의모델에대하여서도최소오차가 24% 에이르러아직실용상으로는문제가있다. 저자들은유전알고리즘을이용하여봉의강성행렬과질량행렬을산출하는방법에대하여연구한바있다 [8]. 이연구에서는감쇠행렬을무시하였기때문에전체적으로는실험주파수응답함수와산출한특성행렬로구성한주파수응답함수가좋은일치 를보여주었으나고유진동수부근의주파수응답함수에서는차이가상당히크게나타났었다. 이연구에서는감쇠행렬을유전알고리즘으로산출하여유한요소법에적용시켜서감쇠를가지고있는실제구조물의진동해석을함으로써보다현실에접근한구조물의진동해석을하고자한다. 2. 강봉의진동해석 2.1 주파수응답함수감쇠자유진동방정식은다음과같이쓸수있다. (1) 여기에서조화가진력이작용한다고하면주파수응답함수 는다음과같이구할수있다. (2) (3) (4) (5) 여기에서 (6) 주파수응답함수를식 (6) 을이용하여구할경우, 각주파수마다역행렬을계산해야하고, 또결과적으로 ( 자유도x자유도 )x관심주파수개수만큼의모든주파수응답함수를구하여야하기때문에계산양이대단히많아진다. 그래서실제적으로는다음과같이모드좌표로변환하여주파수응답함수를구한다 [9]. (7) 여기에서 i는응답점의절점번호, k는가진점의절점번호, N은자유도를나타낸다. 이식은한번의고유치해석으로구한고유진동수와고유진동모드를이용하여원하는위치의전달함수를구할수 272 / 한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, 2011. 3
유전알고리즘에의한강봉의감쇠행렬산출법 135 있음을보여준다. 2.2 강봉의유한요소모델 Figure 1에보인유한요소모델에서강봉의요소의길이, 직경, x축에대한면적관성모멘트가, 밀도 일때강봉의강성행렬과질량행렬은다음과같이나타낼수있다. Figure 1: The model of ith finite element Figure 2: The FEM model of a beam (10) 여기에서 와 는 번째요소의질량요소와감쇠요소에곱하여지는미지의상수이다. 그러나이식의문제점은각요소의질량행렬은정치행렬 (positive definite matrix) 이고, 강성행렬은비부정치행렬 (semi positive definite matrix) 이기때문에이둘을선형결합하면식 (10) 의감쇠행렬이정치행렬이된다는것이다. 그래서이연구에서는 를 0으로하고 만을미지수로하여감쇠행렬이비부정치행렬이되게하여물리적인성질을만족하도록하였다. (11) 각각의요소의강성행렬과질량행렬을구하여더하면강봉전체에대한강성행렬과질량행렬을구할수있고, 식 (11) 로부터감쇠행렬을구하고식 (4) 에서자유진동해석으로부터고유진동수와고유진동모드를구하면식 (7) 으로부터비례감쇠유한요소모델에대한주파수응답함수를얻을수있다. (8) (9) 감쇠행렬을비례감쇠의경우로가정하면감쇠행렬은다음과같이나타낸다. 2.3 비감쇠진동해석과실험본논문에서는 Figure 2와같은길이 2,000mm, 직경 23mm, 밀도 7,850kg/m 3 인강봉을 10 등분하여양단자유의경계조건에대한해석과실험을수행하였다. 감쇠를크게하기위하여강봉에종이를감고다시랩을감은후종이를제거하였다. Figure 3은절점 1을가진하여얻은그점에대한 FEM 해석주파수응답함수와실험주파수응답함수를비교한그림이다. FEM 해석주파수응답함수의공진점에서의크기가무한히커지지않는것은식 (6) 으로 FRF를구할때주파수를 1Hz 간격으로계산하여이주파수가정확하게소수점아래까지고유진동수와일치하는일이생기지않기때문이다. 두주파수응답함수의그래프가완벽하게일치하지않는것은식 (8) 과식 (9) 로나타내는유한요소가완벽하게보구조물의강성행렬과질량행렬을나타낼수없고, 또비감쇠진동해석을하였기때문이다. 그럼에도불구하고실험범위내에서두개 한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, 2011. 3 / 273
136 박석주 박영범 박경일 제해광 이금주 의그래프가대체로일치하고있어서감쇠가크지않은구조물의진동해석법으로유한요소해석법이강력한도구가될수있음을보여준다. 진다. (13) Figure 3: The Comparison between an experimental FRF and a theoretical FRF of FEM 3.1 목적함수 3. 유전알고리즘 식 (8) 과식 (9) 로부터강성행렬과질량행렬을구하고, 식 (11) 에서각요소의임의의 에대하여감쇠행렬을구하여이들을식 (6) 에대입하면해석주파수응답함수를구할수있고, 이를실험으로구한주파수응답함수를비교하면여러쌍의임의로설정한 의적합도를알수있는데이를목적함수로한다. 가장보편적인사고로출발하면다음과같은목적함수를설정할것이다. (12) 여기에서 는 i점가진에대한 1점의주파수응답함수이고, exact 는정해를 trial은시도를나타낸다. 또 k는응답점의관심주파수의순번을나타낸다. 따라서이식은 1번을가진하여 n개절점에대한응답을재고, 각점마다 m개의주파수응답을구하여오차의제곱을두배의분산 ( ) 으로나누어이것을전부합한것을목적함수로한다는뜻이다. 여기에서분산은실험재현신뢰도를나타내는상관계수 (coherence) 로부터다음과같이구해 그러나실제로는주파수응답함수가고유진동수근방에서아주커지므로이식을목적함수로하면고유진동수근방의피크부근에서의오차값에의하여목적함수의크기가결정되어져피크부근만맞추는단점이있다. 이논문에서는주파수응답함수의역수의절대치를가중함수로사용하는등다양한시도후위상각은무시한진폭의로그를취한값의차의제곱의합을목적함수로사용하는것이가장수렴성이좋다는결론을얻었다. 이는통상우리가로그척도로주파수응답함수를보는관점과도일치한다. log log (14) 3.2 조상생산 강봉을 10 등분하여각요소의강성행렬과질량행렬은식 (8) 과식 (9) 에의하여구하고, 난수를발생시켜식 (11) 의 를구하여요소의감쇠행렬로한다. 이들을결합한전체시스템에대하여식 (7) 으로부터주파수응답함수를구한다. 조상의수는 2의 n제곱의형태로취하는데이연구에서 2의 10승인 1024로하였다. 조상은다음과같이난수를발생시켜서생성하였다. (15) (16) 여기에서 i는요소의번호, p는하나의감쇠요소의값을저장할비트의수를나타낸다. 즉식 (15) 는각요소에대하여 0에서 1사이의난수를발생시킨다음 을곱하여조상 (ancestor) 을생성한다는것을의미한다. 연구에서는 p를 10비트로하여발생시킨난수에 1,024를곱한다음소수점이하의수를버리고 0에서 1,023 사이의정수로조상 () 을생성하였고, 여기에적당한상 274 / 한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, 2011. 3
유전알고리즘에의한강봉의감쇠행렬산출법 137 수 const 를곱하고다시 10,000으로나누어이를 로하여감쇠행렬을구하였다. 이 const 의값은 1자유도계에서의임계감쇠계수의개념을도입하였다. 예를들어이 const 의값을요소행렬의 과 로부터임계감쇠를구하여이를 const로사용한다면이를 10,000으로나누었기때문에감쇠계수를임계감쇠계수의 0배에서 0.1023배사이의임의의값을채택한셈이된다. 몇번의시행착오를거치면목적함수의값이작게되는적절한 const 의값을채택할수있다. 계산기의능력이뛰어나다면식 (15) 에서의 p값을키워서더다양한조상을만들수도있다. 식 (8) 과식 (9) 로부터질량행렬, 강성행렬을구하고, 위에서임의로채택한감쇠행렬을만들고, 이들을결합하여식 (7) 으로주파수응답함수를구한다. 한편실험주파수응답함수를이용하여식 (14) 에의하여목적함수를구한후크기가작은순으로정렬한다. 용하여특성행렬을계산하였다. Figure 4: The FRF of nod #1 3.3 교배와돌연변이정렬된조상중형질이나쁜조상의반은도태시키고, 형질이우수한반은서로교배시켜조상의수의반만큼자식을생산하여조상과섞은다음다시우수한순서대로정렬하고, 열성의반은도태시키고우수한형질을가진인자들끼리교배시키고또정렬하는작업을계속한다. 생산된자식의 5% 정도는난수를발생시켜특정비트를반전시키는돌연변이를일으키도록한다. 정렬과정에서유전인자의다양성을확보하기위하여중복유전자는제외시킨다. 4. 유전알고리즘의적용 4.1 실험주파수응답함수에의적용 Figure 2에보인강봉모델의실험주파수응답함수를이용하여강봉의감쇠행렬을구하기위해 1 번절점에가속도계를고정시키고모든절점을충격해머로가진하여측정된주파수응답함수를이용하여제안한유전알고리즘을적용하였다. 저주파영역에서는주파수응답함수의상관성이매우나빠서적용주파수 60~600Hz 범위의데이터만을사 Figure 5: The FRF of nod #7 Figure 4는가진점의주파수응답함수를보이고, Figure 5는 7번절점의주파수응답함수를나타낸다. 여기에서파선은실험주파수응답함수이고, 실선은감쇠를무시하고해석한주파수응답함수이며, + 선은제안한알고리즘으로산출한감쇠를고려한주파수응답함수곡선이다. 계산에사용한 60Hz에서 600Hz 사이의곡선은물론이고 25Hz 부근의 1차고유진동수부근을포함하여 60Hz 이하의저주파영역에서도좋은결과를보여주고있다. 전체적으로감쇠를고려함으로써공진점과반공진점에서의주파수응답함수의예리함이크게둔화되었음을알수있다. Table 1에는본알고리즘으로산출한각요소들 한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, 2011. 3 / 275
138 박석주 박영범 박경일 제해광 이금주 의 를보인다. 이를식 (11) 에대입하면감쇠행렬을구할수있어서이봉의질량행렬과강성행렬에추가하여완전한구조특성행렬을구성할수있다. 또일부분의감쇠가큰구조를포함하고있는경우에는감쇠가크지않은부분의대부분의구조물은비감쇠유한요소법에의한구조특성행렬을구하여사용하고, 구조물의감쇠가큰부분구조물만떼어내어실험을통하여감쇠행렬을구하여이들을결합하면전구조물의유한요소모델이완성될수있다. Table 2에는비감쇠유한요소모델에대한목적함수와본알고리즘으로구한감쇠행렬을고려한경우의목적함수의값을나타낸다. 그래프상에서는크게달라진것이없어보이지만수치적으로는거의 1/60에달할만큼목적함수의값이작아졌음을알수있다. 이그래프는종축이로그스케일이기때문에눈으로보기에는그다지큰차이가나지않는것으로보인다. Table 1: Fitted by by genetic algorithm element 1 2 3 4 2.69E-11 5.77E-11 4.61E-11 5.54E-11 element 5 6 7 8 4.14E-11 4.26E-11 4.80E-11 5.72E-11 element 9 10 6.35E-11 2.33E-11 Table 2: Values of objective function and reduction ratio undamped values damped values reduction ratio 5.97E+05 1.07E+04 약 1/60 5. 결론 본연구에서는유전알고리즘을이용한주파수응답함수로부터의강봉의감쇠행렬산출법을제안하여다음의결론을얻었다. 첫째, 유전알고리즘을이용하여감쇠행렬을구할수있고, 이행렬의물리적인의미또한부여할수있기때문에유한요소법에의한구조물의감쇠진동해석을할수있는길을열었다. 둘째, 비감쇠유한요소해석에서보다제안한목적함수의값이약 1/60로줄어듦을알수있었고, 따라서감쇠가큰경우에는반드시감쇠를고려해야함을확인할수있었다. 셋째, 구조물에서일부분에무시할수없는감쇠가존재할경우이부분만을떼어내어감쇠행렬을구성하여원래구조물의유한요소모델과결합한다면보다정확한구조물의진동해석이가능할것으로보인다. 후기 본과제는교육과학기술부의재원으로한국연구재단의지원을받아수행된광역경제권선도산업인재양성사업의연구결과입니다. 참고문헌 [1] Beliveau, J., Identification of viscous damping structures from modal information, American Society of Engineers Applied Mechanics, vol. 43, p. 335, 1976. [2] Burak, S. and Rsm, Y. M., The construction of physical parameters from modal data, Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 15, no. 1, p. 3, 2001. [3] Fritzen, C. P., Identification of mass, damping, and stiffness matrices of mechanical system, American Society of Mechanical Engineers Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, vol. 108, p. 9, 1986. [4] Wang, J. H., Mechanical parameters identification with special consideration of noise effects, Journal of Sound and Vibration, vol. 125, no.1, p. 151, 1988. [5] Jeong, W. B., Okuma, M. and Nagamatsu, A., Experimental identification of mechanical Structure with characteristic matrices, 276 / 한국마린엔지니어링학회지제 35 권제 2 호, 2011. 3
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