서울人센校師人論뚫第 62 集 (2001. 8. 31) 수학영재들의특성비교분석 * - 서울대학교과학영재교육센터영재대상 - 최영기 ** 도종훈 -** 1. 서론 수학영재아들은지적탐구에대한강한욕구와그것을실현시킬무한한잠재능력을지니고있다. 영재아들의그러한욕구를충족시키고그들의잠재능력을최대한발현시키려면무엇보다그들에게적합한환경이조성되어야한다. 그러나우리의현교육시스템은그들의욕구와필요를충분히채워주지못하고있다. 그러므로이러한문제들을해결하고수학영재아들을전문적으로육성하고교육할수있는시스템과프로그램의개발은사회적 개인적 교육적측면등에서매우중요한의미를지난다. 기초학문으로서의수학은공학과과학의모태이다. 과학과공학분야에서의국가경쟁력은무엇보다수학분야에서특별한능력을가진개인의특별한공헌을필요로한다. 따라서뛰어난수학적능력은귀중한사회적자산이며, 과학기술사회에서리더쉽을개발하고유지하는데절실히필요하다 (NCTM, 1980, P.18). 또한 전통적으로소수영재학생들에의한업적과사회에대한공헌도는그비율변에서전체인구에대한영재들의비율을훨씬능가한다 ( Clark, 1983)" 라는것은이미주지의사실이다. 수학영재아들의특별한재능을기르고개발하기위해서는, 체계적이고전문화된프로그램과그에대한지속적인연구가요구된다 (NCTM, 1987), Clark (I983) 은전문적인영재교육프로그램의필요성에대해다음과같이말하고있다. 잠재력을개발하는것뿐만아니라영재성을유지하기위해아이들은특별한프로그램에참여할필요가있다. 따라서, 영재학생들에겐그들나름의고유한프로그램이필요하며, 그들이사회의고립된존재가되도록해서는안된다 " 한편, 교육적측면에서볼때전문적인영재교육시스템과프로그램은각개인의능력과요구에부응하는교육을제공하는진정한평등교육의실현에이바지한다. 똑같지않 * 본연구는서울대학교사범대학발전기금지원으로이루어졌읍. ** 서울대학교사범대학수학교육과 *** 서울대학교사법대학수학교육과대학원
150 師太論밟 (62 ) 은사람을똑같이 취급하는것만큼불평등한것은 없으며, 특히 최대한의 잠재능력을 실현한다는의미에서 볼때, 가장소홀히 취급되었던 학생은영재들이라고할수 있다 (NCTM, 1980, P.18). 전문적인 영재교육프로그램을통해 수학영재아들은자신의 관심과요구 및 능력에 부합하는교육의 기회를제공받게 되며, 이는개인적인측면에서 볼 때 한개인의 자아 실현을위한초석이 되는것이다. 현재 서울대학교 과학영재교육센터 수학분과에서는 4년째 수학영재교육을실시하고 있다. 수학분과학생들은교사, 학교장및 학부모의추천과고난도수학문제해결능력검 사, 그리고면접의 3 단계를거쳐 선발되며, 이렇게 선발된학생들은수학적인능력 면에 서 상위 0.1% 수준에 속하는학생들로서 이미 상당한정도의 수학적 능력을보유하고 있음이 확인된상태이다. 그러나, 이들의 일반창의성이나, 수학적 행동특성, 창의적 수 학문제해결능력 및 그밖의 수학적 재능이나특성에 대해서는구체적으로검증된바가 없는상태이며, 이들의 수학특성 또한구체적으로밝혀진 바가 없는상태이다. 물론, 고난도의 수학문제를해결할수있다는것은위 항목의 특성들에 대한긍정적인결과를 암시한다고볼수 있다. 그러나그렇다고하더라도수학영재들의 수학적 행동특성이나 인지적 특성들이 실제로어떤 양상을 띠고 있으며, 그것이 기존의 국내 외 연구들과 부합하는지 검증되지 않았다. 또한이들중과연 몇 퍼센트정도의 학생이 진정한수학 영재로서 훌륭한수학적 엽적을남길수있을것인가하는것은대단히 중요한문제이 다. 모든 영재가 과학이나다른분야의 영재들이 수학영재가아니듯, 지금수학영 재라고해서 미래에 반드시 수학적으로홀륭한업적을산출하는뛰어난수학자가되는 것은아니다. 그러나조기에 잠재적 가능성을지니고있는수학영재들의 특성을면밀히 분석하여 그들의 특성에 부합하고그것을발전시킬수있는적절한기회와교육을제공 한다면그결과는틀림없이 다르게냐타날것이다. 수학영재들로하여금 자신들의 잠재적 재능을 최대한 발현하도록교육하려면, 우선 먼저 그들이 어떤특별한수학적 능력을지니고있으며, 그들의 인지적 정의적 특성이 무엇인지 구체적이고면밀하게밝혀져야한다. Krutet skii(1976, P.350-35 l) 는그의 연구를통해, 수학영재아들은다음과같은중요한 특성들을지니고있다고보고하고있다. 수학적 대상에 대한형식화된인식과구조의 이해 양적이고공간적관계에 대한논리적사고와수학적 기호를이용한사고능력
수학영재들의특성비교분석 - 서울대학교과학영재교육센터영재대상 151 수학적 대상, 관계 그리고 연산에 대한신속하고 광범위한 일반화 ( 수학적 법칙을발 견하는열 ) 사고과정의 단축및 추론을이루는개개 연결부분의 생략 사고기능의 유연성 ( 한조작에서 다른조작으로의 신속한전환및사고의 가역성 ) 사고과정의 가역성 경제적인해결책에 대한열망 수학적 관계, 특성, 주장, 증명, 해법 및 문제해결의 원리에 대한일반화된 기억 수학적 성향 문제해결과정에서의 집중력과지속성 그러나불행하게도아직국내에서는수학영재들의인지적 정의적특성에관한어떠한구체적인연구도이루어져있지않으며, 이로인해우리나라실정에부합하는수학영재의판별도구와교육프로그램은매우빈약한실정이다. 따라서, 본연구에서는수학적행동특성검사, 학습준비도검사, 직관및직관의오류극복을통한문제해결능력검사, 증명에대한이해도검사등을통해개별수학영재들의인지적, 정의적특성을구체적으로분석해보고자한다 I I. 연구대상및 연구방법 1. 연구대상 2001 년서울대학교과학영재교육센터수학분과학생들 2001 년서울대학교과학영재교육센터과학분과학생들 서울시 중학교 2 학년학생들 2. 연구방법 전체적으로는각집단을대상으로하는설문조사및문제해결능력검사결과등의 비교를통한양적인연구방법을취하고, 동시에각연구주제별로국소적인질적연구 방법을병행한다. 양적언연구방법 수학적행동특성검사실시및비교분석
152 師大論옳 (62) 학습준비도검사 직관을통한, 혹은직관의오류극복을통한수학문제해결능력검사 수학적증명에대한이해도검사 절적언 연구방법 개인별체크리스트작성 개인별제 특성간의상관관계분석 문제 해결에 있어서의추상화, 일반화경향에 대한실증자료제시 및 분석 분석 각연구주제별로수학영재아들의 집단적특성 경향비교분석 각연구주제들에 대한각개인특성들의상관관계분석 위에 제시된양 질적 연구를수행하여 우선각항목별로그항목에 대한수학영재 집단의특성과경향성을과학영재 및일반학생들과비교 분석한후, 개별수학영재들 의 수학적 행동특성, 창의성, 학습준비도, 직관을통한문제해결능력, 수학적 증명에 대 한 이해도및 이들사이의 상관관계를분석한다. 그리고분석 결과를토대로수학영재 들에 대한체크리스트를작성하여 계속되는교육프로그램의 방향설정을위한자료로 활용한다. III. 수학적행동특성및정의적특성 이장에서는수학영재아들의수학적행동특성 수학적 성향특성, 수학적 사고특성, 일반교과이수능력 과정의적 특성을알아보기 위하여 서울대학교과학영재교육센터 수학분과, 화학분과, 그리고서울시내에 있는일반중학교학생들을대상으로수학적성 향특성, 수학적 사고특성, 일반교과이수능력, 그리고정의적 특성의 네 부분으로이루 어진수학적 행동특성 검사지률이용한설문을실시하였다. 1. 수학적행동특성 수학적성향특성은수학에대한자신감, 호감, 과제집착력의세부분으로구성되어
사 일교 과분 이행동특성괴현수학적성 I v I 성 성1 화표 서O4번 Is번 16먼 17번 119번 112 번 124번 123번 118번구사고능력특성걷려 수학적 3치수학영재들의특성비교분석서울대학교과학영재교육센터영재대상 153 있고, 수학적사고특성은창의성, 유창성, 독창성, 유연성, 일반화, 표현, 통찰력등의 7 가지로구성되어있으며, 검사지의문항들은오두 26문항으로구성되어있고, 문항들이항목별로편중되어무리짓지않고골고루퍼져있도록구성하였다각문항익반응수준은총 107H 의수준으로분류하였고, 이를다시상 (8-9), 중상 (6-7 ), 중 (4-5), 중하 ( 2-3 ), 하 ( 0-1 ) 의다섯단계로분류하였다. 바이1 유 바 1 독 유 1 일 창 I ~ I 창 1 연 l 반 토O화능수력문항 번호 (1) 수학적성향특성수학적성향은다른영역의 영재성과구분되는수학영재성의 고유영역이다. 서울대학 교과학영재교육센터 수학분과학생 21 명과화학분과학생 23 명, 그리고서울시내 중 학교 2학년학생 30명을대상으로수학적성향을조사한결과다음과같은결과를얻었 다. 표에서 백분율로나타난것은집단별전체 학생 수와각항목별로 5개의 수준각각 에 대하여 반응한학생 수의 비율을의미하고, 백분접수로나타난것은각항목에 대 한각집단별전체성향을백분점수로환산한것이다. 구 자신감 수학적 성향특성 호감 11 LfZ화학영재 4% 13% 30% 38% 14% 62.0 님 려 일반학생 28% 28% 22% 18% 3% 37.1
154 師大論옳 (62) 수학영재들의 67% 가량이 수학에 대한자신감을보이고 있고, 수학에 대한호감과과 제집착력 역시 각각 84% 와 71% 로서 대체로 강한 반응을 보이고 있음을 알수 있다. 한편, 화학영재들의 경우자신감, 호감, 과제집착력에서 각각 39%, 54%, 52% 정도의 학 생들이 긍정적인반응을보이고있으며, 이는화학영재들역시 전반적으로수학적 성향 특성이 강하다는것을의미한다. 그러나수학영재집단과화학영재집단을비교해보았을때, 자신감에서는 28%, 호감에 서는 29%, 과제집착력에서는 19% 정도의 성향차이가존재함을알수있다. 두집단의 차이는 수학적성향의 각항목에 대한백분점수그래프를분석해보면보다극명하게 드러난다. 80 m 60 짧수학 화학 드일빈 m 40 30 - m m (- m m - - m 자신감 - m - n 득 J f 1 디과제집칙력 {- -(- - 그래프를보면수학영재와화학영재사이의 점수차가화학영재와일반학생들의 점수 차와크게 다르지 않다는것을알수있다 이는수학적 성향면에서 화학영재가일반 학생집단과다른만큼수학영재와화학영재사이에도그만큼의 차이가존재한다는것 을의미한다. 따라서 영재의 판별과교육에 있어서 수학영재와과학영재는분명하게 구 분되어야한다. 수학영재들의수학적성향이 강하다는것은수학영재집단의특수성을감안할때 굳이 실험을하지 않더라도충분히 예상할수있는것이다. 그러나놀랍게도수학영재집단에 서조차수학적 성향이 약한학생들이 적지 않게 존재한다는결과가나왔다. 표를통해
수학영재들의특성비교분석 - 서울대학교괴학영재교육센터영재디 } 상 155 알수 있듯이, 자신감에서는 34%, 호감에서는 16%, 그리고과제집착력에서는 29% 의 학 생들이 보통이하의 약한반응을보이고있다. 더구나수학적 경향에 대한백분 점수의 경우자신감과과제집착력은전체적으로겨우 70 점 정도에 그치고있고호감역시 80 점 을넘지못하고있다. 물론수학영재집단내에서도수학적사고능력이나문제해결능력등의 각영역별로개 인차가존재할수 있다. 다른 영역이나특성과는달리 자신감이나호감, 과제집착력과 같은수학적 성향특성에서 약한반응을보이는학생이 존재한다는것은매우특이한 현상이다. 특히 서울대학교과학영재센터 수학분과학생들은자신이 속한학교의 대표 로 1차선발된후다시 고난도의문제해결능력 검사를거쳐 선발된학생들이다. 상식적 으로생각해 보더라도이들의 수학적 성향은각항목별로 21 명 전원이 ( 매우 ) 강한반 응을보여야하고, 백분점수역시 거의 100 점에 육박해야하는것이다 수학적 성향이 약한수학영재들이 수학영재집단내에 존재한다는것은여러 가지 면 에서 매우중요한의미를지닌다 먼저, 수학영재집단의 정체성에 문제를제기할수있 는데, 이것은수학영재성의 정의와실제 판별빛 선발기준의 문제와직결된다. 그러나, 그럼에도불구하고이들이 1) 수학영재임은틀림없는사실이며 수학적 성향이 약한수학 영재가존재한다는것 역시 부인할수없는사실이다. 이것은수학영재교육프로그램에 대한하나의 방향을시사한다. 수학적 성향은수학영재성의고유한한영역이며, 수학영 재들이 그 영재성을발휘하는큰간이 되는것으로서, 수학영재 교육프로그램은수학영 재들의 수짝적 성향을항상주시한상태에서그들의 수학적 성향을긍정적인상태로유 지 강화시킬수있어야한다. 그렇다면, 수학적 성향이 약한수학영재가이렇듯적지 않게 존재하는이유는무엇일 까? 하는의문을던져볼수 있다. 연구자가조사해 본 결과서울대학교과학영재센터 수학분과학생들중일부분만이수학자가되고싶다는장래희망을현재지니고있으며, 장래희망자연과학 ( 수학 ) 법학의학기타합계 응답자수 7(3) 4 3 4 18 비고 수학응답자 3 명중에서명시적으로수학자를응당한학생은 1 명뿐임 기타응답자는정치가 1 명, 경영가 1 명, 프로그래머 1 명, 불투명 1 명 1) 영재란, 일반적으로널려받아들여지고있는 잠재적영재 라는의미에서의영재 를말한다.
156 師大論짧 (62 ) 어른이되어서도계속해서수학을공부하고싶다는질문에그저그렇거나그렇지 않을것이라고대답한학생이전체의약 29% 나되는것으로밝혀졌다. 이에대한 원인분석은수학영재교육의중요한연구과제이다. (2) 수학적사고특성및일반교과이수능력 수학적행동특성검사의주된분석대상은영재아들의수학적성향특성과정의적특성이다. 본검사지는학생들로하여금자신의수학적성향과특성등에대한생각을묻는것이므로전체적으로는자신의수학적능력에대한자신감과상당한관련이았으며, 수학적사고특성에있어서는객관도나타당도그리고선뢰도변에서연구자료로서의가치를갖기어려운면이있다. 수학적사고특성은학생자신의생각보다는오허려지속적이고신중한관찰 실험빛연구, 그리고교사 학부모등을대상으로한수학적사고특성검사등을통해결과를얻을수있는것으로보다철저한연구가필요하다. 2. 정의적특성 수학영재는개인뿐아니라사회적, 국가적으로도매우중요한언적자원인바, 이들이인성적, 정의적불균형에빠지지않도록각별히주의하여야한다수학영재들의지적인능력을지탱하는감성적이고정의적인면이함께발달하지않으면그영재성이발현되기힘들가능성이었으며 ( Cosgrave, 1999), 또한영재교육의근본목표는개인뿐아니라사회전체나아가인류발달에았으므로, 인성교육이병행되지않는지나치게지적인방향의수학영재교육은오히려그개인이나사회전체에커다란해가될수있다. 영재아들은틀림없이보통일반학생들과는다른흥미와재능을지니고있다. 그러므로, 영재아들은일반학생들을대상으로하는학교의교육파정속에서흥미를잃기쉬우며, 종종엉뚱한질문을내놓기도하는등학교생활에적응하지못하고주위친구들로부터도따돌림을당하는경우가종종있다 ( 김정휘, 1998, p.429-438), 우리들은영재아들이대개자기중심적인성격을지니고있고, 주위에친구가별로없으며, 자신의남다른재능을오히려숨기려고하는경향이있는등정의적인면에서보통학생들과는다른유별난특성이있다고생각한다. 본고에서는수학영재아들의이러한정의적특성을설제로알아보기위해서울대학교과학영재교육센터수학분과학생들 17명을대상으로사회적응설문 ( SCQ )(Swiatek, 2001) 을실시하여다음과같은 4개의
수학영재들의특성바교분석서울대학교과학영재교육센터영재대상 157 문항에대한반응을조사하였다, 반응수준은수학적행동특성검사와동일하다. CD 만약내게특별한재능이없었다면학교생활에적응하는데더욱수월했을것이다. @ 나는어떤일이든다른사람과함께하는것보다혼자하는것이더낫다고생각한다. @ 나는친구들사이에서인기가있다. @ 우리나라교육과정의대부분이나에게는부적절하다. 실험 결과우리플이 일반적으로가지고었던 생각은편견에불과했을뿐실제는그와 다르다는것이 판명되었는데, 학교교육과정이 자신에게부적절하다고생각하는부분을 제외한나머지 3 개의 항목에서 우리들이 일반적으로생각하는것과는다른반응을나타 내었다. 문항변호하중하며 ;;5ζ- 주 상상 @ 10/21(48%) 4/21(19%) 3/21(14%) 2/21(10%) 2/21(10%) (2) 5/21(24%) 3/2 1(14%) l!21( 5%) 8/21(38%) 4/21(19%) @ 0/21( 0%) 1/21( 5%) 6/21(29%) 9/21(43%) 9/21(43%) @ 0/21( 0%) 4/21(19%) 11/21(52%) 4/21(19%) 2/21(10%) 영재학생를중에서자신의재능이학교생활에장애가된다고생각하는학생은전체 21 명중에서 4병에불과했고, 나머지약 80% 의학생블은그렇지않다고대탑했으며, 협동작업에대한인식또한고른분포를보였다. 특히, 친구들과의관계는오히려상당히긍정적인것으로나타났다. 결국영재아들역시정의적특성변에서일반학생들과크게다트지않다는것을알수있으며, 이는 Gallagher (l975) 와 Goldberg (l965) 의연구결과와일치하는것이다. 그러나이것은영재집단의전체적인경향성을나타내는것이며, 모든영재아들이정의적인면에서안정되어있다는것은아니다. 섣제로위의표에서 21 명중 4명의학생들은자신의재능이학교생활에장애가된다고생각하고있다. Cosgrave (l999) 가지적하듯이수학영재들이정의적 인성적변에서균형을유지하지못하면그영재성이오히려사장될우려가있다. 또한이들의정의적 인성적불균형이치유되지않고지속적으로악화되었을경우에사회에미칠악영향은굳이언급할필요가없을만큼지대하다. 과학기술중심의사회에서영재아들의엽적은도덕성과가치판단의여부에따라사회에커다란해가될수도득이될수도있는것이다. 따라서영재아들의정의적 인성적안정을유지하고보호하는것은영재교육에서빼놓을수없는중요한목표중하나이며, 이러한측면에서볼때지나치게지적인측면만을강조하는작금의수학영재교육은깊이반성하여야한다.
158 師大論뽑 (62) IV. 수학문제해결과정에서의특성 고난도의수학문제해결능력검사는현재서울대학교과학영재교육센터수학영재선발과정에서가장중요한비중을차지하고있다. 수학영재판별에있어서고난도의수학문제해결능력은그자체로서절대적인기준이될수는없지만, 중요한요소임에는틀림없다. 수학영재성의정의와판별에있어서가장핵심적인요소는장의적인수학적능력과사고특성이며, 이는수학문제해결과정속에가장잘드러난다. Krutets ki i (l 976 ) 는문제해결과정에서드러나는수학영재들의지적특성에대한연구를수행하여그결과를보고하고있는데, 이장에서는수학문제해결과정에서드러나는수학영재들의지적언특성을설제로알아보기위해직관및직관의오류극복을통한문제해결능력검사와증명에대한이해도검사를실시하였다. 1. 학습준비도검사 NCTM(l987, P.25) 에서도지적하듯이, 수학영재교육프로그램에는강화 ( enrichment ) 프로그램뿐만아니라가속 ( acceleration ) 프로그램도포함되어야한다. 그러나, 지나치 게성급한가속프로그램은오히려영재아틀에게해가펠수있으며, 특히본질적인개 념보다는기술의습득에그칠우려가있다. 본고에서는수학영재아들의선행학습정도 를알아보기위하여서울대학교과학영재교육센터수학분과학생 17 명을대상으로학습 둔비도검사지를이용한설문을실시하였다. 해당교과내용에대해서충분히학습했다 고생각하면 0, 학습은했으나아직잘모르는부분이많다고생각하면,1",., 전혀학습 하지않았으면 표를하도록하였다. 잉걱돼수 다항식 i'l"" 1 느흐 ~'5] 이차 이차 통계 피타고라스 원과 삼각비 계산 방정식 함수 정리 x-11 λ;j O 17 17 17 16 15 11 14 14 13 4 0 0 0 0 2 4 1 l 2 0 0 0 1 0 2 2 2 2 공통집합과명제수와식유리식과방정식과도형의 함수 지수, 로그 삼각함수 수학 무리식 -님 즈 드까 1 님 f7-a λ 1 함수 0 16 9 13 12 7 μaι 2 4 4 0 6 l l 5 9 5 9 1 2 3 4 5 4 10 4
수학영재들의특성비교분석서울대학교과학영재교육센터영재대상 - 159 수 1 행렬수열극한미분 ~τh 확률통계 O 1 0 0 0 0 1 0 a 9 1 0 0 7 0 15 8 16 17 17 9 17 검사결과거의대부분의학생들이중 3 과정에대한선행학습을마친상태이며, 자신 들이그내용에대해서잘알고있다고생각한다는답변을하였다. 또이들중일부는 고등학교 1 학년과정까지선행학습을한것을알수있다. 검사를실시한현재이학생 들이이제막중학교 2 학년이되었다는것을감안할때, 이들은정상적인교육과정을 거의 2 년정도앞당겨학습하였음을알수있다. 2. 직관및직관의오류극복을통한문제해결 수학적사고능력및특성은수학영재성의가장중요한고유영역이다. Krutetskii (1976 ) 는그의연구에서수학영재아들이추론과정이나문제해결과정을축약하고사고과정의단축및추론을이루는개개연결부분을생략하는경향이있으며, 관계와구조를파악하는능력이뛰어나다고보고하였는데, 그러한과정이표면화되어나타나는대표적인사고과정의하나가바로직관이다 (Reid, 1983). 즉, 직관은수학영재의중요한인지적특성의하나로서명백한정당화나해석이없이직접적으로파악되는인지작용을뜻한다. 수학적지식의발견과문제해결에있어서직관의역할과중요성을예를들어설명한후, 여러문항을제시하여그중 2 개의문항에대한학생들의반응을분석하였다. 이두문항은각각두차례에걸쳐제시되었는데, 처음에는식을이용한계산방법에의하지않은직관을통하여답안을작성하도록하였고두번째에는식의계산을이용하여답안을작성하도록하였다. 이들문항은학생들의직관적수학문제해결능력을판별할수있을뿐아니라직관으로인한오류의정도와그극복능력을판별할수있는문항이다두문항모두제시된문항의전체적인관계와그본질을파악하지못한채겉으로드러난현상만을토대로한직관은오답을일으킬가능성이많다. [ 문항 1] 200~ 년 3 윌 1 일드디어서울 J: 영양간적섣항로가재통이되었다. 그후나는바람한점불 지않는억느날, 비행기를타고서울 1 영양 - 서울코스를시종일관같은속력 로비행학였다. 그 후, 바람 몹시부는날, 나는다시비행기를타고서울 - 쩡양서울코스를시종일관같은속력
160 師大論龍 (62 ) 으로또닝 l 행학였다. 비행 LHLH 바람은같은속력으로서울에서멸양을향 "" H 불었다. 이돼, 바 람이몽사부는날의비행시간과바람한접었는날의비행시간을서로비고해보시오. 정당 : 바람이볼때의비행시간 뎌길다. 문항 1 의 경우, 바람이 불때와불지 않을때의 비행시간이 같다는오답을예싱해볼 수 있다. 이는바람이 불때 한쪽방향으로의 비행시간이 줄어드는것과다른한쪽 방향으로의 비행시간이 늘어나는것이 서로상쇄될 것이라는 직관적인 생각에 기인한 다. 만약식을세우지 않고도정답을맞추었다면, 그것은주어진문항을형식화하여 그 대수적인관계를발견하는사고과정이 짧은시간동안순식간에 이루어졌다는것을의미 한다. [ 문항 2] 수박은수분 l 많아 99% 가물이라고한닥 1 0Kg 의우게가나가는수박이뎌운날씨에수분이 증발학역물의함량 I 98% 인수박이되었다고한다. 이돼의수박의무거 는얼마인..,~ 정당 5kg 문항 2의경우, 수박의무게가 9.9Kg 내지는 9.8Kg 혹은그근처가될것이라는오답을예상할수있다. 이는수분의 99% 에서 98% 로의작은변화와같은비본질적인현상에주목한나머지수박전체의무게역시작은변화를보일것이라는소박한생각에기인하는것으로서, 현상속에내재한본질을파악하지못한경우이다. 그러나식을세우지않고도정답을맞추었다면그학생은표면적으로주어진수분의수치에주목한것이아니라증발과정에서의불변량인내용물에주목한것이다. 이것은문제의본질즉, 관계와구조를정확하게파악하였다는것을의미한다. 정답률 문항 1 문항 2 구분 1차 2차 1차 2차 수학영재 ( 2000 ) 13/24(54%) 수학영재 8/17(47%) 11/17(65%) 9/17(52%) 9/17(52%) 생물영재 0/27( 0%) 0/27( 0%) 2/27( 7%) 5/27(19%) 지구과학영재 4/29(14%) 3/29 (10%) 0/29( 0%) 5/29(17%) 수학영재의경우 2000년도와거의유사한정답율을보이고있는데, 1 차에서와 2차에서모두거의 50% 내외의정답율을보이고있다. 그러나, 생물영재와지구과학영재들 의정답율은상대적으로매우저조하다. 특히생물영재들은문항 1 에서 1. 2 차모두 0% 의정답율을보이고있다. 더구나 2 차에서식을제대로세운학생은 3 명에불과했
수학영재들의특성비교분석 - 서윷대학교과학영재교육센터영재대상 161 고, 운제의 뜻을전혀 이해하지 못하고실제상황과혼동하여 수학문제로 인식하지 못한 학생윷도 3명 있었다. 서울대학교 과학영재교육센터에 선발된 학생들은그분과를 막론하고, 학습능력이 매 우우수한학생들이며, 수학에 대한학습능력 역시 상당히 뛰어난학생들이다. 그럼에도 불구하고위의 두문항에 대한검사의 결과에서 상당한차이를보이고 있다는 것은수 학영재와과학영재의 수학적 사고특성이 매우다르다는 것을의미한다, 영재교육일각 에서 수학영재와 과학영재를 구분할필요가없으며 함께 선발하고 함께 교육해야한다 는주장이 있다. 그러나본검사의 결과과학영재와수학영재 사이에는수학적 사고특 성에 있어서 매우큰차이가존재하며, 이는곧수학영재와 과학영재를 구분할수밖에 없는본질적인 이유이다. 3. 증명에대한이해도 엄격한논려적 증명은수학의 가장본질적인특정의 하나이다. 영재센터의 학생들대 부분은 이미 상당정도의 선행학습을 이수한학생들로서, 도형의 성질에 관한수학적 증명을학습한경험이 었다. 그러나, 학생을이 수학적 증명의 본질을이해하고있는것 과증명의 기술만을습득하여 그것을 단순히 적용하는것 사이에는대단히 큰차이가 존재한다. 본연구에서는영재아들의 수학적 증명에 대한이해 도를알아보기 위해, 영 재센터 수학분과학생들과지구과학분과학생들에게다음과같은문항을제시하였다. [ 문항 ] 삼각형의내각의합이 180 인 것어 대한증영을양각형모양인종이의서l 구l 퉁이를찢어서붙 l는방법흐로휠수있는가? 이문항은학생들에게그다지낮설지않으며고난도의수학적증명문제해결에능숙한수학영재들에겐매우평이한문제이다. 그러나결과는수학영재와지구과학영재두집단의차이를비교하고자했던애초의의도와는전혀다른결과가산출되었다. 지구과학영재들과달리수학영재들의경우직관및직관의오류극복을통한문제해결능력검사에서약 50% 가량의정답률을보인것과는대조적으로상당히저조한결과를보이고있으며, 두집단간의차이역시직관및직관을통한문제해결능력검사와는전혀다른양상을보이고있다. 구분수학영재지구과학영재 정답자수 (%) 4/17 (24%) 3/30 (10%)
162 師大論뚫 (62) 수학분과학생들중에서이질문에대해서수학적증명의본질을정확하게파악하고답변한학생은 17 명중에서 4 명밖에되지않았다. 물론, 증명이냐야니냐의이분법적인분석을한다면정답자는 7명이지만, 이들이제시한이유는비본질적인것이다. 한편, 지구과학분과학생들역시 30 명중에서 3 명만이정확한답변을하였다. 이것은검사실시이전에예상했던것과는상당히다른의외의결과이다. 수학분과학생들은이미도형의성질증명에관한선행학습을이수했을뿐아니라영재센터선발과정을거치면서고난도의증명문제를해결함으로써수학적증명문제해결능력을검증받았다. 그럼에도불구하고증명의본질에대한이해도에대해서는매우낮은수준의결과를보이고있다. 이는학생들의실제적증명기술과증명의본질에대한이해도사이에큰괴리가있음을의미하는 )::l~, 이러한괴리는본질적이지못하고성급한선행학습이주된원인이다. 학생들은선행학습을통해서교과서에제시된증명방법과기술만을습득했을뿐수학적증명의본질에대해서는진지하게생각해보지못했던것이다. 성급한선행학습은오히려학생들의비판적, 창의적사고에걸림돌이될뿐아니라삼지어는학생들의창의적사고를사장시킬우려가있다. 다음에제시된증명은교과서등에제시된증명처럼매끄럽지는않지만, 선행학습을 통해서는도저히학습될수없으며, 수학적증명의본질을정확하게꿰뚫고있는한학 생의독창적이고도놀라운증명의예이다.
수학영재들의특성비교분석서울대학교과학앵재교육센터영재대상 163 이잡객껑외에객외한 0 / 1 &,0 임결홍영능때양 C 혹 한繼 /l\ A 옥 A 싹 O<'> ~l 며 L 댐익힘 } 썩봐 +4.61\α 셔 t:>bcj r ι{\ = -1뼈아 +3 {,O υ 4 h\-<t슨양정 1 생햄씌 'it 찌 @ 정 % 이1양 한i '3-z::-J:t 3G;:> :: = 1110- -머마의함 /'30 껴 1 용멍을잉뼈서옹잉걱악 ~)~ 행의 ι 픽겨켠 i "7'! 원같음응앤저 ~~t(>1-3~4 짧꼈 Ll ABC 와 L\ s Dc 의빽합은강 q, c 그킹양조 ). [ l\l4, 요갯 f 띤한벙커엠가강 e 낌껴헝의一 C 내헌 } 합문 -'L 쥬 " 같아 갱 /;\v \"\BO', 짜여대껴의원강작인징짧 ( 4 날 q 그척으로짧상 1μ 형융의 μm 꺼킥 :j- E 즉깡 -q-. @ o f!) 에써연싹 장약령 ~I 써써강 0 1 <:r 검갇자 정효 m @ 에정향강용 I ~ 혔二 E 즈이 F 면 : 1 경 -s~1:! i' ( ξ<i 띠 I _"-I 한강킹 ( 1 이 위증명은 삼각형의내각의합은 180 이다 " 라는명제를증명한것으로서, 크게두부분염의로주어진어떤삼각형의내각의합이 180 임을증명하는부분과모든삼각형의내각의합이같다는부분으로구성되어있다. 이학생의증명이다른학생들의증명과다른독특한점은두번째부분에서드러나는바, 수학적명제와그증명의본질을정확하게꿰뚫어보고있다는사실이다. 대부분의 ( 영재 ) 학생들이 180 라는수치와삼각형의내각의합이 180 의값을갖는다는현상적사실에주목하였고, 그결과제시된증명들역시우리들이대부분알고있는평이한것들이었다. 그라나이학생은 삼각형의내갓익합이 180 인가? 라는질문의현상속에내재되어있는더욱본질적인불읍 삼각형의내각의합이일정할것인가? 에먼저주목하였고, 만약그러하다면 그값은 180 이다 라는식으로논리를전개하고있다. 수학의구조와그속에
164 師大論뚫 (62) 내재되어있는본질을인식하는놀라운사고야말로수학영재성을극명하게드러내주 는것이다. 수학영재교육의중요한목적중의하나는영재들로하여금이처럼수학의구조와관 계, 그리고그속에내재된본질을파악할수있는수학적안목을갖도록하는것이다. 그러나, 이러한사고의기원이어디이며어떻게해서그러한놀라운사고에도달하게 되었는지, 그것이후천적인교육의결과인지아니면선천적인것인지, 그리고그러한사 고가교육을통해실현가능한것인지등명확하게밝혀진것은아무것도없다. 다만 분명히알수있는것은수학영재교육이지향해야할방향 수학영재들로 하여금수학 의구조와관계, 그리고그속에내재된본질을파악할수있는수학적안목을개발 유지하도록하는것 이며, 그러한시 고는단순한선행학습을통해서는얻어지기어려 울뿐아니라오히려그가능성을심각하게저해할우려가있다. V. 결론및함의점 수학적성향과문제해결과정에서의수학적사고특성은수학영재성의정의및판별에있어서매우중요한요소들이다. 우리는본연구를통해수학영재집단이전체적으로수학적성향이매우강하고, 수학의학문적구조를인식하는안목이매우뛰어나다는것을확인할수있었다. 또한영재의판별과교육에있어서수학영재와과학영재는분명하게구분되어야한다는사실이드러났다. 그러나수학영재집단의집단적특성에도불구하고수학적정향이약한수학영재가수학영재집단내에적지않게존재한다는것은외국과는다른매우특이한현상으로서, 이에대한원인들을규명하여분석하는것은수학영재교육의중요한연구과제이다. 또한가지특이한현상은증명문제를능숙하게해결할수있는수학영재들이정작수학적증명의본질은이해하지못하고있다는사살아다. 이는선행학습의부정적인결과로서, 잘못된션행학습은학생들의비판적, 창의적사고에걸림돌이될뿐아니라수학의학문적구조와본질을파악하는안목의형성을방해할수도있다. 수학영재가아무리뛰어난지적재능과잠재성을가지고있더라도정의적인면이함께발달하지않으면, 그영재성이발현되기어려울수있으며, 발현된다고하더라도그개인이나사회에오히려해가될수도있다. 그런의미에서볼때수학영재아들의정의적특성이전체적으로일반학생들과크게다르지않고안정되어있다는사실은매우다행스러운일이다. 그러나인성적으로불안정한수학영재역시존재한다는사실을간과해서는안된다. 영재아들의정의적 언성적안정을유지하고보호하는것은영재교육
수학영재들의특성비교분석 - 서울대학교과학영재교육센터영재대상 - 165 에서 빼놓을수없는중요한목표중하나이며, 이는지적인 측면만을지나치게 강조하 는현재의 수학영재교육이 시급히 보완해야할부분이다. 지금까지 국내에서 수학영재들의 특성틀을 실증적으로 연구하여 보고한사레는거의 없으며, 이는기존의 수학영재교육에 관한수많은논의들에 대한기반이 매우취약하다 는것을의미한다. 수학영재의 특성에 대한본연구와후속될 연구들의 분석 결과들은 잠재적 영재로부터 참영재에 이르기까지 그판별과교육을위한실증적 근거자료가될 수있으며, 실제 수학영재교육은 반드시 이러한실증적 자료에 근거해서 계획되고실행 되어야한다. 수학영재들은 이미 수학의 학문적 구조를 인식하는 안목과잠재적 재능을지니고 있 다. 수학영재교육은 영재들의 이러한 안목과 재능을 계속해서 유지 발전시켜야하는 바, 이는실제로 수학을하는 경험을통해서 이루어질수있다. 이를위해서는영재들 의 지적 탐구심을유발하는도전적인수학문제와고급수학에 대한탐구학습이 필요하 다. 그러나우리의 교육현실은수학경시대회률겨냥한맹목적인고난도수학문제 풀이 와수박곁꿇기 식의 선행학습에 치중해 있다. 무한한발전가능성을지닌영재들을필 요이상으로지나치게 문제풀이에 몰두시키는 것은 매우 소모적이며, 고급수학이 단지 문제풀이의수단으로전락하여 그자체에 대한진지한교재연구없이 비전문가에 의해 학생들에게 전달되는것은차라리 그것을접하지 않는것보다더 나을바가없다. 이러 한 수학영재교육의 많은부분이 사교육에 의존한다는것은우리 나라수학영재교육이 지닌또다른문제이다. 영재들로하여금진정으로 수학을 하는 경험을하게 하고그 들의 잠재적가능성을극대화하려면그일을할수있는사람들이, 진지한연구률통해, 계획적으로그일을수행해야한다. 수학영재교육의 기틀을마련하는것이 단시일 내에 되는것은아니다. 진지한연구와더불어 계획적인노력이 반드시 필요하다.
166 師大論뚫 (62) 참고문헌 김정휘 (1 998 ). 영재학생식별편람. 원미사. Clark, B.(1983). Growing up gifte d.. Columbus, Ohio: Charled E. Merrill Publishing Co. Cosgrave, J B.(1999). An Introduction to Number Theory with Talented Youth. School science and mathematics 99(6), 48~53. Gallagher, J J(975). Characteristics of gifted children: a research summary, In Psychology and Educatio.η of the G따ed, edited by W. B. Barbe and l S. Renzulli, (pp. 125 150). NewYork: Irvington Publishers. Goldberg, M. L. (1965). Research on the talented, New York: Bureau of Publications, Teachers College, Columbia University. Krutetskii, V. A. ( 976). The psycholo양 of mathematical abilities in schoolchildren, edited by J Kilpatrick and 1. Wirszup. University of Chicago Press. s Ni atek, M. A.(2001). Social coping among gifted high school students and its relationship to self-concept, Journal of Youth and Adolescence, 30(1), 19 39. Heid, M. K.(1983). Characteristics and special needs of the gifted students in mathematics, the mathematics teacher 76(4), 221-227. National Council of Teachers of Mathematics.(1980). An Agenda for Action: Recommendαtions for School Mathematics of the 1980s. Reston, Va.: The Council. National Council of Teachers of Mathematics.(1987). Providing Opportunities for the JIIIathematicαlly Gifted K - 12. Reston, Va.: The Council.
수학영재들의특성비교분석서울대학교과학영재교육센터영재대싱 - 167 부 록 < 수학적행동특성검사지문항구성표 > ~ 문항내용 각 二동 ~1 X-1! 처 하 트 서 1 번나는수학에특별한소질이있다고생각한다. 자신감나는수학이라면자신있고처음보는문제를대하더라도두렵 8번지않다 새로운수학적인내용을추측하고상상하고말견해내는일은매 14번우재미있다. 호감 16번나는전혀새로운수학내용이나문제를경험해보고싶다. 17 번나는어른이되어서도특별히수학을계속공부하고싶다. 26번나는수학문제를푸는상황을즐긴다. 나는수학문제를잘푸는정도가아니라수학에대한강한흥미 2번와애착이있다. 3 번나는수학문제를푸는동안에는대단히집중하는편이다. 10번나는새로운수학문제를보면반 I시해결해야직성이풀린다. 과제내가이해하지못하는수학내용에대해서는다른사람에게묻거집착력 15번나책을보고서라도반드시해결해내고야만다. 수학적 나는복잡하게꼬언어려운문제에 20번 도전하는것을더 좋아하는 송씨.5 드트--. 득λ 4 편이다. 21 번나는한문제를가지고하루이상매달린경험이 있다. 나는어려운수학문제를풀다가갑자기 어떤 기발한생각을떠 창의성 4번 올리는경우가많다. 유 차 셔 6 번 나는알고있는수학내용을다른교과나일상생활에잘연결시 켜생각한다. 5 두 ;<J-λ 4 19 번나의수학문제풀이방법은친구보다독특하다. 수학적나는어떤문제에대해전혀다른방법으로다시풀어보라고하 사고능력유연성 12 번면이전의 풀이법에매이지않고쉽게생각을바꿀수있다 트 1 츠 λ 4 일반화 24 번나는주어진문제의일반적인원리와공식까지도찾아낸다. 표현 5 번 나는내가표현하고자하는아이디어를수학적으로깔끔하고정 확하게나타낼수있다. 나는내가풀어본수학문제중에서중요한내용은대부분정확통찰력 23번하게기억해낸다. 반성 7번나는문제를풀고나면풀이과정을다시한번반성해본다. 일반교과이수능력 18 번나는수학이외의다른과목에서는부진하다.
168 師大論뚫 (62) <Abstract> A Comparative Analysis of the Characteristics of the Mathematically Gifted Students Choi, Younggi*. Do, long Hun** This paper is designed to analyze characteristics of the mathematically gifted students in the Special Education Center for the Gifted in Seoul National University through a mathematics aptitude test and a problem solving test. This study shows that even though the gifted students generally possess the talent to think creatively and to grasp mathematical structure, they have a weak point in de려 ing with logic and proof seriously, and some of them do not have the positive attitude toward mathematics. The difference between the scientifically gifted and the mathematically gifted also are founded. Compared to the scientifically gifted, the mathematically gifted excel in their ability to analyze the mathematical structure. It may be some problems for the gifted to have the creativity just to push them into accelerated classes emphasizing simple computation skills without studying mathematics in greater depth and at a higher level of abstraction. On this point, this study suggests some ways in which accelerated and enriched programs should be designed to reflect those characteristics with a more deliberate plan. * Assistant Professor, Department of Mathematics Education, College of Education, Seoul National University. ** Graduate Student, Department of Mathematics Education, College of Education, Seoul National University.