3 장전기퍼텐셜 (Electc Potentl) 점전하에의한전기퍼텐셜및전기퍼텐셜에너지정의이해 여러전하분포들의전기퍼텐셜이해 전기퍼텐셜과전기장의관계이해및전기장계산 점전하계의전기퍼텐셜에너지계산 3.1 전기퍼텐셜에너지 3. 전기퍼텐셜의정의 3.3 등퍼텐셜면과등퍼텐셜선 3.4 여러전하분포들의전기퍼텐셜 3.5 전기퍼텐셜에서전기장구하기 3.6 점전하계의전기퍼텐셜에너지 Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 1 3.1 전기퍼텐셜에너지 전기력은, 중력과마찬가지로, 보존력이다. 보존력에서한일은경로에무관하다. 두개이상의입자계에대해서전기력이한일 W e (=F ed =qe d) 은, 계의배열이초기상태에서최종상태로변할때, 전기퍼텐셜에너지 의변화와같다. W f e 초기 최종 전기장이 f W 전기퍼테녈에너지 전기퍼테녈에너지 초기전기퍼텐셜에너지를 0으로하면전기퍼텐셜에너지의표현식이간단해진다. 한 일 0 W f e 전기퍼텐셜에너지는전기장 E 가한일의음수이다. E 가양의일을하면, < 0 E 가음의일을하면, > 0 Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3
특별한경우 : 일정한전기장 일정한전기장에서점전하 q 가변위 d 로움직이는경우를생각해보자. F qe 일정한힘이한일 W F d 전기장이전하에한일은다음과같다. W qe d qed cos Note: ngle between E nd d W qed so qed 변위와전기장이같은방향 전기장과같은방향으로움직이는양전하는퍼텐셜에너지를잃는다 W qed so qed 변위와전기장이반대방향 전기장과반대방향으로움직이는양전하는퍼텐셜에너지를얻는다. nvest Phscs, Chpte 3 Septembe 0, 011 3 3. 전기퍼텐셜의정의 전기퍼텐셜 (Electc Potentl) : 단위전하당전기퍼텐셜에너지 q J C olt q 0 전기퍼텐셜차 (Potentl Dffeence) f f q q q 전기퍼텐셜의변화는전기장이전하에한일과같다. W e q 전자 1 개가 1 의전기퍼텐셜의변화가있을때한일 1 e=1.60 =1.601010-19 C =1.601010-19 J 무한대에서전기퍼텐셜에너지를 0 으로놓으면다음을얻는다. W e, =, f = x = q (x) 0 [ F] N J/m 볼트의정의로전기장의단위는다음과같다. [ E ] [ q] C C m Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 4
보기문제 3.1: 양성자의에너지획득 문제 : 한양성자가진공에서평행한두전도체판사이에놓여있다. 두판사이의전기퍼텐셜차는 450이다. 양의판근처에서정지한양성자를놓아준다. 음의판에도달할때양성자의운동에너지는얼마인가? 답 : 두평판사이의퍼텐셜차 = 450. 양성자의전기퍼텐셜에너지의변화 : g 에너지보존법칙에의하면 : K q + - 양성자의운동에너지 : K = 1.6x10-19 C x 450 = 7.x10-17 J = 450 e Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 5 전기퍼텐셜을만들어내는수단 전지: 반디그래프발전기 높은전기퍼텐셜을만들어내는장치 미국의물리학자로버트 J. 밴더그래프 1901-1967) 1967) 가발명한장치이다. 대형밴더그래프발전기는수백만볼트의전기퍼텐셜을만들수있다. 밴더그래프발전기는입자가속기로사용할수있다. Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 6
탄뎀밴더그래프가속기 밴더그래프가속기는높은전기퍼텐셜을사용하는입자가속기로응집물질과핵물리과정을연구하기위해사용된다. 탄뎀밴더그래프는단자퍼텐셜차가가속기의중앙에생기도록만든가속기로, 교실용밴더그래프장치를훨씬더크고정교하게만든것이다. 밴터그래프에서생성된음이온 C는 +10 M 단자쪽으로가속되어운동에너지를얻는다. 얇은박막을통과하면서음이온의전자들이제거되어양이온으로변한다. 이들양이온은계속해서반대편밴더그래프에서가속되어탄뎀가속기를빠져나간다. Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 7 보기문제 3.3: 탄뎀밴더그래프가속기 문제 : 단자퍼텐셜차가 10.0M(1.00 천만볼트 ) 인탄뎀밴더그래프가속기로 1 C 핵을가속시킨다. 탄소핵이탄뎀가속기에서얻을수있는최대운동에너지는얼마인가? 탄뎀밴더그래프가속기는두단계로가속된다. 1 단계 : -1e의탄소이온이에너지를얻어서단자쪽으로가속된다. 단계: +6e 탄소이온이에너지를얻어서단자로부터가속된다. 1) 두단계에서얻은탄소이온의운동에너지 : K q 1 q q1 1 e nd q 6e K 7e10 M70 Me -19 1.6010 J 11 70 Me 1.1 10 J K 1 e ) 탄소핵의최고속력: K 1 m C v v K 7 m 11 (1.110 J ) 6 1.99 10 g 3.3610 m / sec 15 M Tndem n de Gff t Boohven Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 8
3.3 등퍼텐셜면과등퍼텐셜선 전기장이존재하면전기퍼텐셜은어느공간에서나값을가진다 : (x) = 퍼텐셜함수 전기퍼텐셜이같은점 ((x) = 일정한값 ) 들로이루어진면 : 등퍼텐셜면 전하가등퍼텐셜면을따라움직이면전기장이전하에한일은전혀없다. W e qed q q 등퍼텐셜면은 3 차원공간에존재한다. ( x) ( x) 0 f 그러나전기퍼텐셜의대칭성을고려하여, 등퍼텐셜면을전하가놓여있는 차원평면위의등퍼텐셜선으로표시할수있다. 모든전도체의표면은등퍼텐셜면이다. 등퍼텐셜면은공간어느점에서나전기장과항상수직 W e 0 qe d q ( 등퍼텐셜면인경우) E dd Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 9 일정한전기장인경우등퍼텐셜면과등퍼텐셜선 일정한전기장에서전기장선들은직선이고, 등간격이며, 평행하다. 등퍼텐셜면 (3D): E 에수직한서로평행한평면들이다. 등퍼텐셜선 (D): 등간격인등퍼텐셜선으로표시한다 단일점전하인경우등퍼텐셜면과등퍼텐셜선 전기장선 : 양의점전하에서지름방향으로퍼져나간다. 등퍼텐셜면 (3D): 동심구 등퍼텐셜선 (D): 동심원 양전하 음전하 Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 10
반대로대전된두점전하점전하인경우 전기장선은양전하에서출발하여음전하로끝난다. 등퍼텐셜선은항상전기장선에수직이다. 빨간색선 = 양의등퍼텐셜면 푸른색선 = 음의등퍼텐셜면 각전하에가까운곳의전기장선과등퍼텐셜선은단일점전하의것과닮아간다. 동일하게대전된두점전하인경우 전기장선은양전하에서출발하여음전하로끝난다. 등퍼텐셜선은항상전기장선에수직이다. 양의등퍼텐셜면 Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 11 3.4 여러전하분포들의전기퍼텐셜 전기장에서전기퍼텐셜구하기 힘 F 가전하 q 에작용하여변위 ds 가생길때한일 : dw F ds qe ds 전하가초기점 에서최종점 f 까지전기장에서움직이는동안에전기력이전하에한일 : f 퍼텐셜차 : 퍼텐셜 : W qe ds W f e f E ds q x ( x ) E ds 점전하에의한전기퍼텐셜 q 점전하 q에의한전기장 : E( ) 인지점에서전기퍼텐셜 : ( ) E ds q q d ( 기본규약 : =, f = x) q 양전하 음전하 Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 1
점전하계에의한전기퍼텐셜 n 개의점전하계가한점에만드는전기퍼텐셜은다음의합으로구한다. q n n 1 1 보기문제 3.4: 전기퍼텐셜의중첩 +1.50 C 점 P 에서전기퍼텐셜 : 세점전하가만드는전기퍼텐셜의합이다. 8.0m +.50 C -3.50 C 3 q q 1 q q 3 q 1 q q 3 1 1 3 b b 6.0m 60m 1.50106 C.5010 6 C 6.00 m 8.00 m 8.99 10 9 N/C 56 3.50 106 C 6.00 m 8.00 m Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 13 연속적인전하분포에의한전기퍼텐셜 P dq 보기문제 3.5: 유한선분의전하 d dq dq dx x d ln 미소전하 dq 에의한한점 P 에서의전기퍼텐셜 d dq d 점 P 에서의전체전위 는모든전하요소에대하여적분 dx d d x dq, x d dx d Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 14
3.5 전기퍼텐셜에서전기장구하기 전기퍼텐셜에서전기장을구할수있다. W e, q dw F ds qe ds qd qd qe ds E ds d ds 방향의전기장성분을보면변수 s 에대한편미분과같다. ES s 전기장의성분은해당성분방향의변수에대한전기퍼텐셜의편미분으로구할수있다. x ; E E ; E z x z 전기퍼텐셜에서등퍼텐셜선에수직인퍼텐셜의그래디언트를구하면전기장을얻는다. E lso wtten s E Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 15 보기문제 3.6: 전기장의그래프표기 세점전하계 q 1 6.00 C q 3.00 C q3 9.00 C x1, 1 1.5 cm,9.0 cm x, 6.0 cm,8.0 cm x3, 3 5.3 cm,.0 cm 점 P 의전기장크기를계산하기위하여점 P 에서등퍼텐셜선에수직인선을 +1000 에서 1000 까지그린다. 수직선의길이는약 1.5 cm이므로, 전기장은대략다음과같다. 000 0 5 E S 1.310 /m s 1.5 cm 전기장의방향은양의등퍼텐셜선에서음의등퍼텐셜선으로향한다. Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 16
유한선분의전하를양분하는수직선위의전기장 1. 보기문제.3 로부터얻은결과로부터전기장 E. 전기퍼텐셜을이용하여전기장구하기보기문제 3.5 로부터얻은전기퍼텐셜에서 d 로대치 ln 전기퍼텐셜에서전기장의 의성분을계산하면 E ln ln ln E Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 17 3.6 점전하계의전기퍼텐셜에너지 무한히떨어져있는전하들로구성된계의전기퍼텐셜에너지는이들전하를무한히멀리떨어진곳에서부터가져오는데필요한일로정의한다. 예를들어두점전하 q 1 과 q 의전기퍼텐셜에너지를구해보자. P q 1 q 1. 처음에두전하는무한히멀리떨어져있다고가정한다.. 먼저점전하 q 을전하가없는계로가져올때, q 에의해서 P 인지점에서의전기퍼텐셜 (): q ( ) 이때, 전기장이없고대응하는전기력도없기때문에첫번째전하에는어떤일도하지않는다. 3. 점전하 q 을정지상태로유지시키면서, 무한대에있는두번째전하 q 1 를무한대에서 q 사이의거리 까지가져올때한일 = 두점전하계의퍼텐셜에너지 : q q1q q 1 ( ) q1 W 1 q q Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 18 1
보기문제 3.7: 네점전하 네점전하계의전기퍼텐셜에너지는얼마인가? 무한대에서 q 1 가져오기 일이필요없다. 무한대에서 q 가져오기 qq 1 무한대에서 q 3 가져오기 qq qq b b (6.0 m) (+.0 C) (+4.0 C) (+1.0 C) (-3.0 C) qq 1 1 3 3 (4.0 m) 무한대에서 q 4 가져오기 qq qq qq qq qq qq b b 1 1 3 3 1 4 4 3 4 b b Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 19 점전하무리의전기퍼텐셜에너지 보기문제 3.7 에서 4 개의점전하대신에 n 개의점전하인경우 j( 짝 ) q q j 여기서 와 j 는각전하의짝을표시하고, 합은 j 인짝에대한것, j 는짝인두전하사이의거리 1 n j q q n j j1 1, j j Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 0
보기 : 원위의 1 개전자 반지름 R인원위에그림처럼 1개의전자가배열되어있다. 무한대에서 =0 로놓으면원의중심 C에서전기장과전기퍼텐셜은각각얼마인가? 전기퍼텐셜 : 중첩원리 1 1 e 1e C ( ) R 전기장 : 반대편의전자쌍이중심에만드는전기장은서로상쇄된다. EC ( ) 0 결국대칭성에따라전기장은 0이다. 그렇지않다면전기장은어느방향으로향할까? R Septembe 0, 011 nvest Phscs, Chpte 3 1