echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06- 재료역학강의노트 제 6 장 : 보의응력 ( 심화주제 ) 제 6 장보의응력 ( 심화주제 ) 6. 소개 - 보의곡률 / 보의수직응력 / 보의전단응력에대한응용 o 합성보 o 경사하중을받는보 o 비대칭보 o 얇은두께의보의전단응력 o 탄소성굽힘 o 비선형굽힘 6. 합성보 - 한가지이상의재료로제작된보 o 종합금보 ( 온도조절장치 ) o 플라스틱피복관 o 강철로보강된판을가진목재 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-
재료를절감하고무게를줄이기위하여개발됨. 샌드위치보 : 경량의무게와고강도 / 고강성재료항해 / 우주산업등산업분야에응용스키 / 문 / 벽 / 패널 / 책꽂이 / 판지상자등일상에활용 Face: 상대적고강도재료의얇은바깥층 : - 형보의플랜지역할 Core: 경량이고저강도의두꺼운중간층 : - 형보의웨브역할 중간층은 iller 로사용되어바깥층의주름 / 좌굴에대한안전성향상 플라스틱 (Foam) 벌집구조 (Honecomb) 파형구조 (Corrugated) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-3 변형률및응력보의기하학적가정을합성보에도그대로사용 단면은평면을유지함 E E 을가정함 ) ( (6-a) E E (6-b) E E 중립축단면에작용하는축력의합은 0 d d 0 (6-3) E d E d 0 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-4
축대칭인단면 중립축은도심축과일치함식 (6-3) 을필요하지않음. 모멘트 - 곡률관계식 d d d E d E d E E ( ) (6-4) E E E E (6-5) 여기서 는합성보의굽힘강도 수직응력 ( 굽힘공식 ) 식 (6-5) 를식 (6-) 에대입하면, E E EE EE (6-6a,b) Note: E E이면 5 장의식 (5-3) 이됨. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-5 샌드위치보의굽힘에대한근사이론 두재료의물성치값의차이가클때 : E 0 을가정함. - 수직응력은바깥층이전부지지함. 0 (6-7) 식 (6.6) 3 3 여기서 h hc b (6-8) top h h (6-9a,b) bottom - 두께가얇은경우전단은중간층이전부지지함. aver V V (6-0a,b) bh aver c bhcgc 제한 선형탄성에한함. ( 콘크리트에는적용불가 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-6
예제 6- 문제 60 k-in, E,500 ksi, E 30,000 ksi, 목재 () 와강철 () 에서의최대 / 최소인장 / 압축응력은? 풀이 중립축의위치를를먼저구한다. 식 (6-3) 이용 d h h ( 3 in)(4 in 6 in) ( 3 in)(4 in ) d h h (6.5 in )(4 in 0.5 in) ( 6.5 in)( in ) 에서 E d E d 0 따라서 (500 ksi)( h 3 in)(4 in ) (30,000 ksi)( h 6.5 in)( in ) 0 h 5.03 in, h 6.5 in h.469 in echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-7 (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( h 3 in) 7.0 in 3 4 (4 in)(0.5 in) (4 in)(0.5 in)( h 0.5 in) 3.0 in 3 4 Check: (4 in) h (4 in) h 69.8 4. 74.0 in 3 3 3 3 4 h E (60 k-in)(5.03 in)(500 ksi) 30 psi (500 ksi)(7.0 in ) (30,000 ksi)(3.0 in ) 4 4 E E ( h 0.5 in) E (60 k-in)( 0.969 in)(500 ksi) 5 psi (500 ksi)(7.0 in ) (30,000 ksi)(3.0 in ) C 4 4 E E ( h ) E (60 k-in)(.469 in)(30,000 ksi) 760 psi (500 ksi)(7.0 in ) (30,000 ksi)(3.0 in ) B 4 4 E E ( h 0.5 in) E (60 k-in)( 0.969 in)(30,000 ksi) 5030 psi (500 ksi)(7.0 in ) (30,000 ksi)(3.0 in ) C 4 4 E E Note: C C, 그러나 C C E E / / 0 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-8
예제 6- 문제 3.0 kn m, E 7 GPa, E 800 Pa 바깥층 / 중간층의최대인장 / 압축응력을다음의 (a) 일반이론 (b) 샌드위치보의근사이론으로각각구하기풀이 (a) 일반이론 b 00 mm ( h h ) (60 mm) (50 mm).070 mm 3 3 3 3 6 4 c b 00 mm h (50 mm) 56.50 0 mm 3 3 6 4 c E E (7 GPa)(.070 mm ) (800 Pa)(56.500 mm ) 90.00 N m 6 4 6 4 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-9 바깥층 : 중간층 : ( h/ )( E ) (3.0 kn m)(80 mm)(7 GPa) ( ) 9.0 Pa ma E E 90.00 Nm ( h /)( E ) (3.0 kn m)(75 mm)(800 Pa) ( ) 0.98 Pa c ma E E 90.00 N m Note: ( ) ma /( ) ma 96, since E / E 90 (b) 샌드위치보에대한근사이론 h (3.0 kn m)(80 mm) ( ) 0.0 Pa ma 6 4.070 mm Note: 근사해는일반해의값보다큰응력을준다. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-0
6.3 환산단면방법 - 계산노력을줄여주지는않음 - 계산과정을구체화하고체계화하는데편리한수단 - 한가지재료로구성된등가단면으로환산하여계산 - 이등가단면을환산단면이라부름. - 계산은보통의보에대한관례적방법을따름 - 환산보의응력을원래보의응력으로변환함. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06- 중립축과환산단면 - 중립축이같은위치에있어야하며, - 모멘트-저항능력이같아야함. 중립축은식 (6-3) 으로구해짐 (6-) E d E d 0 n E / E 여기에계수비 을대입하면 d nd0 (6-3) 재료를 재료로바꾸는대신그폭을 n 배로늘려서구성한환산단면을의미함 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-
모멘트-곡률관계식환산단면은재료 로만구성되어있으므로 E d d d E de d( E En ) E n E 여기에서 이므로위식은 ( E E ) 이되어식 (6-4) 와같아진다. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-3 재료역학강의노트 제 6 장 : 보의응력 ( 심화주제 ) 수직응력 (6-5) T 여기서 T 는환산단면의중립축에대한관성모멘트임. 즉 E T n (6-6) E (6-6)(6-5) E E E (a) 원래보의재료 에서의응력은환산보내에대응되는부분의응력과동일원래보의재료 에서의응력은환산보내에대응되는부분의응력에계수비 n 을곱해야함. n ne E T E E EE (b) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-4
일반적유의사항 - 재료 을재료 로환산하는것도가능 - 재료, 모두를다른재료로환산하는것도가능 ( 계산이더복잡해짐 ) - 3 개이상의재료로구성된경우도적용가능. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-5 예제 6-3 문제 60 k-in, E,500 ksi, E 30,000 ksi, 환산단면의방법을이용하여 목재 () 와강철 () 에서의최대 / 최소인장 / 압축응력을구하기. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-6
풀이 강철 () 을목재 () 로환산하기로함. 계수비 n E E 30,000 ksi,500 ksi 0 강철부분의폭을 0 배하여환산단면을구성함. (3 in)(4 in)(6 in) (6.5 in)(80 in)(0.5 in) 3.0 in h 5.03 in 3 i i i (4 in)(6 in) (80 in)(0.5 in) 64.0 in h 6.5 in h.469 in T (4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( h 3 in) 3 (80 in)(0.5 in) (80 in)(0.5 in)( h 0.5 in) 4 4 4 7.0 in 3.0 in 3.3 in 3 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-7 재료역학강의노트 제 6 장 : 보의응력 ( 심화주제 ) 목재의수직응력 : (60 k-in)(5.03 in) 30 psi 4 T 3.3 in (60 k-in)( 0.969 in) 5 psi C 4 T 3.3 in 강철에서의수직응력은환산보의응력에계수비 n 을곱하여구한다. (60 k-in)(.469 in) n (0) 760 psi B 4 T 3.3 in (60 k-in)( 0.969 in) n (0) 5030 psi C 4 T 3.3 in echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-8
6.4 경사하중을받는 축대칭보 - 경사하중을받는 축대칭보의해석 - 비틀림이생기지않도록하중은도심통과 - 경사하중은대칭평면에작용하는분력으로분해 - 각각의분력에의한해석을중첩함. 굽힘모멘트에대한부호규약그림과같은오른나사의법칙을따름. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-9 수직응력 ( 굽힘응력 ) 점에서의응력은, 각각에의한응력의합, (6-8) 중립축 중립축의방정식은수직응력 를 0 으로하면, 0 (6-9) 중립축 nn 은도심 C 를지나는직선 중립축과 축사이의각 는 tan echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-0
중립축과하중의경사각사이의관계 P Pcos jpsin k ( Psin )( L) ( Pcos )( L ) tan 중립축과 축사이의각 는 tan tan 일반적으로는 예외 -: 하중이 예외 -: 하중이 o 평면상일경우, 즉 0, 80 평면상일경우, 즉 90 o 예외-3: ; 원, 정사각형등 o echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06- 예제 6-4 문제 b 00 mm, h50 mm, L.6 m 최대인장 / 최대압축응력을구하고중립축의위치구하기 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-
풀이 하중을분해하면, q qcos q qsin 최대굽힘모멘트는보의중앙에서발생하며그크기는 ql /8이므로 ql ql sin ql ql cos 8 8 8 8 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-3 단면특성, 3 3 hb bh ql sin ql cos 3qL sin cos 3 3 8 hb / 8 bh / bh b h 그림에서관찰하면, 최대압축은 D ( h/, b/) 점에서발생, 최대인장은 E ( h/, b/) 점에서발생 E 3qL sin cos D 4bh b h q 3.0 kn/m, b 00 mm, h 50 mm, L.6 m, =6.57 o 을대입하면 4.0 Pa E D echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-4
중립축은 3qL sin cos 0 bh b h sin cos 0 b h h tan tan b 수치를대입하면 (50 mm) tan (tan 6.57 ).5 (00 mm) o 48.4 o echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-5 예제 6-5 문제 (a) 하중 P 가수직축 축의방향일경우최대굽힘응력을구하라 (b) 하중 P 가수직축 축과 o 의방향일경우최대굽힘응력을구하라 부록 E- 에서 S480; b7 in, h 4 in, 00 in, 4. in 4 4 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-6
풀이 (a) 하중이 축에정렬되었을때, PL( h / ) (0 k)( t)( in/t)(.00 in) 830 psi ma 4 00 in (b) 하중이 o 경사진경우 o ( Psin ) L (0 k)(sin )( t)( in/t) 5.3 k-in o ( Pcos ) L (0 k)(cos )( t)( in/t) 440 k-in 4 ( 5.3 k-in)(00 in ) tan 0.8684 4 ( 440 k-in)(4. in ) 4 o Note: o 이지만 4 o ; 매우큰수. 4 4 / 00 in /4. in 50 ( 5.3 k-in)( 3.5 in) ( 440 k-in)( in) B 0,30 psi 4 4 (4. in ) (00 in ) Note: 이값은 (a) 의경우 8,30 psi 에비하여 5% 증가. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-7 6.5 비대칭보의굽힘 - 비대칭단면에대한굽힘해석 - 가정된중립축으로부터시작하여해석함. 중립축 축이중립축이라고가정함. E (6-3) 축방향의힘의평형조건은, d E d 0 (6-3) d 0 축이단면의도심 C 를통과함 축이중립축이라고가정함. E (6-33) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-8
echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-9 축방향의힘의평형조건은, d E d 0 (6-34) d 0 축이단면의도심 C 를통과함 응력계산 축이중립축이라고가정함. (6-35a) d E d E d E d E (6-35b) ; 관성모멘트적 (Product o inertia) (Note-) 모멘트가 (6-35a,b) 의비율이면 축이중립축이됨. (Note-) 축이주축인경우에는 0 이되기때문에 굽힘은 -평면에서발생 ( 만작용함.), 거동은대칭단면과동일. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-30
축이중립축이라고가정함. (6-36a) d E d E (6-36b) d E d E ; 관성모멘트적 (Product o inertia) (Note-) 모멘트가 (6-36a,b) 의비율이면 축이중립축이됨. (Note-) 축이주축인경우에는 0 이되기때문에 결론 굽힘은 -평면에서발생 ( 만작용함.), 거동은대칭단면과동일. - 굽힘모멘트가작용하는평면은, 축이주도심축인경우에만중립면에수직 - 이경우굽힘모멘트는두개의주면중의한면에작용. - 굽힘모멘트가작용하는주면은굽힘평면이됨 통상적인굽힘이론이적용됨. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-3 비대칭보를해석하는과정 ) 단면의도심 C 를결정함 ) C 가중심인주축 축을설정함 3) 하중을 축방향으로분력을구함. sin cos ( sin ) ( cos ) 중립축은축응력 0 인경우이므로 ( sin ) ( cos ) 0 tan tan echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-3
예제 6-6 문제 채널단면 C0 5 을고려함 0 o 의각도로하중모멘트 5 k-in 가작용함. 점, B 에서의굽힘응력, 과중립축의위치구하기 B 풀이 단면의성질은부록 E-3 으로부터다음과같이구한다. 도심 C 는채널의뒷면에서 c 0.634 in.8 in 67.4 in 4 4 점, B 의좌표는 B 5.00 in.600 in 0.634 in.966 in 5.00 in 0.634 in B echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-33 재료역학강의노트 제 6 장 : 보의응력 ( 심화주제 ) 굽힘모멘트의분력은, o sin (5 k-in)(sin0 ).605 k-in o cos (5 k-in)(cos0 ) 4.77 k-in 굽힘응력은, (.605 k-in)(.966 in) (4.77 k-in)(5.00 in) 4 4.8 in 67.4 in 46 psi 096 psi 3340 psi B B B (.605 k-in)(0.634 in) (4.77 k-in)( 5.00 in) 4 4.8 in 67.4 in 74 psi 096 psi 80 psi 중립축의위치는 4 67.4 in o tan tan tan0 5. 4 79..8 in o echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-34
echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-35 예제 6-7 문제 Z - 단면에 0 o 방향으로 모멘트 3 kn m 를받고있다., B, D, E 점에서의 수직응력 (, B, D, E) 을구하고 중립축구하기 h 00 mm, b 90 mm, t=5 mm echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-36
풀이 단면의성질은예제 -7 의결과로부터 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-37 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-38
echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-39 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-40
일반이론 - 축이주축이아닌임의의축인경우의일반해석 E E (*) 힘의평형조건 F d E d E d0 ( 단면의도심을좌표축의원점으로하는경우자동만족 ) 모멘트평형조건 de de d E E d E d E d E E (**) (***) (**) 과 (***) 을연립하여곡률에대하여풀면, echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-4 E E ( ) ( ) 이식을 (*) 에대입하면응력을구할수있다. ( ) ( ) Note: 이식은도심을통과하는임의의축에대한일반휨공식임. ( 주축이아니어도무방함 ) 중립축은 0 으로부터, ( ) ( ) 0 즉 tan Note: 중립축을알면 ; 최대응력의발생점파악에유리 처짐의방향을결정할수있음 ( 중립축에수직 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-4
특수한경우-: 0 인경우 ( ) tan 특수한경우-: 0 인경우 ( ) tan 특수한경우 -3: 축이주축인경우즉 0 인경우 tan tan echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-43 6.6 전단중심의개념 다양한특별한조건하에서보의굽힘응력 - 경사하중을받는대칭보 (6.6 절 ) - 비대칭보 (6.5 절 ) 횡하중 굽힙모멘트 + 전단력 - 전단력의고려 : 전단응력의단면내분포 (5 장 ) 횡하중이대칭평면이아닌평면내에작용하는경우 - 비틀림이없이보가굽어지기위한조건 특정한점에하중이작용하여야함 - 특정한점 : 전단중심 (Shear Center) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-44
축대칭단면을가지는캔틸레버보 ( 자유단에하중 P 작용 ) - 좌표축의원점 : 도심 - -축이대칭축 : 축은주도심축 - 중립면인 평면내에서굽어짐 평면이굽힘평면 - 두개의하중이작용함 : 0, 및 P ( 그림 (b) 참조 ) - 0 : 수직응력에의한 축에대한모멘트의총합 - P : 평형만을고려하여수직응력으로부터구함 (5.8 절 ) - P 는 S 를통과하여야비틀림이발생하지않음 - S : 전단중심 (Shear Center) 혹은굽힘중심 (Center o Fleure) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-45 하중이 S 가아닌 점에작용하는경우 비틀림모멘트 T 가추가로작용함 축대칭보 ( 그림 (a)) - 전단중심 S 와도심 C 는일치함 - 도심에작용하는하중 P 는비틀림없이굽힘을일으킴 축대칭보 ( 그림 (b)) - 전단중심 S 와도심 C 는모두 축 ( 대칭축 ) 상의서로다른점에 위치함 - 하중 P 를 축성분과 축성분으로분해하여해석함 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-46
비대칭단면 - 도심 C 를찾고, - 주축 축을찾고, - 하중을 축성분과 축성분으로분해하여해석함 ( 일반축에대하여일반이론을사용하는것도가능함 ) 전단중심의계산방법 - 축대칭인경우 도심과일치 - 축대칭인경우 대칭축상에서위치를결정하여야함 - 일반단면 축의위치를모두계산하여야함 - 일부공학편람에전단중심계산공식제공 - 열린단면 : WF 보, 채널, 앵글, T 형보, Z 형보 상용구조용강재 ( 비틀림에취약 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-47 6.7 두께가얇은열린단면보의전단응력전단응력구하는공식 ( 직사각형보, 원형보, 플랜지를갖는웨브 ), ( 식 5.83 에서유도 ) VQ (6-4) b 여기서 Q 는전단응력을구해야하는바깥쪽단면의 차모멘트이다. 얇은두께의열린단면 (thin-walled open cross section) 에대한고찰 - 벽두께가단면의높이와폭에비하여작고, - 속이빈상자형보의경우와같이닫힌단면이아닌열린형태의단면 ( 형보 / 채널 ) 구조용단면 (Structural section) 또는 프로파일단면 (priile section) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-48
- 임의단면의중앙선 mm - 와 축은주도심축 - 하중 P 는전단중심 C 지나서 축에평행 축이중립축이되고, 굽힘은 평면에서발생함. 보의임의의점에서의수직응력은 (6-4) s s F 0 d d 0 : ad 면에작용하는합력 s s F d d 0 0 : bc 면에작용하는합력 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-49 F F ad 단면의모멘트가더크기때문에 이며평형을위하여전단응력 가 cd 면에필요함 따라서 tdf F 0 또는 td F F 여기서 s d 0 t d ( )/ d는굽힘모멘트의변화율 d / d 이며단면에작용하는전단력과같음, d d d V 여기서 V 는 축에평행하며 축의음의방향을양으로함 (4 장의부호규약 ) V t 따라서전단응력은 0 s V Q d t, 여기서 Q s 0 d - 전단응력은단면의중앙선을따라단면의가장자리에평행하게작용함. - 이응력은벽의두께 t 에걸쳐일정한세기를갖는다고가정함. - 두께가얇은경우에유효하며, 벽의두께는일정할필요가없고 s 의함수로변화가능. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-50
전단흐름 (Shear Flow) - 그점에서전단응력과두께의곱. VQ t - 여기서전단흐름 는 V 와 가일정하기때문에 Q 에정비례함. - 단면의위와아래의가장자리에서 0 Q t 0 - 축에평행한하중에의한굽힙의경우 ( 전단중심통과하는경우 ) 평면이굽힘평면 동일한해석방법에의해 VQ, t t VQ ( 축이중립축 ) 여기서 V 는 축에평행한전단력, Q 는 축에대한 차모멤트임. 전단력이전단중심을지나작용하고, 주도심축의하나에평행한경우적용가능함 - 전단력이경사지게작용하면, 주축에평행한성분으로분해하여각각해석하여중첩함. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-5 6.8 WF 보의전단응력 상부플랜지의전단응력 - 단면 bb 에서의전단응력고려 - 거리 s 는 a 를원점으로측정 - 점 a 와단면 bb 사이면적은 st - 이면적의도심으로부터 중립축까지의거리는 h / - 점 a 와단면 bb 사이면적은 st - 따라서 Q st h/ echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-5
- 단면 bb 에서의플랜지의전단응력은 VQ Pst ( h/) shp t t - 응력의방향은그림 (c) 를고려함. - 방향은그림 (d) 에도시함. - 응력은점 a ( s 0) 에서 0 으로부터 s b/ bhp bht P, 이에대응하는전단흐름은 t 4-4 에서최대값 까지변화함. - 상부플랜지의좌측부분상의점 c 로부터우측으로 s 를측정하여플랜지좌측계산. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-53 재료역학강의노트 제 6 장 : 보의응력 ( 심화주제 ) 웨브의전단응력 - 웹의상단을수평으로잘라낸부분 ( 플랜지와웨브의접합부 ) 을고려하면, Q bt h/ - 이에대응하는전단응력은 bht P bht P, 전단흐름은 tw (6-5, 5) t - 주목!! 플랜지좌 / 우의전단흐름이합해져서웹으로전단됨. w - 단면 dd 에서는 bt h h h/r bt h t w h Q r( tw) r 4 - 따라서중립축으로부터거리 r 떨어진웹의전단응력은 w bt h h P r tw 4 (6-53) - r h/ 일때이식은 (6-5, 5) 로축소됨. - r 0 일때최대전단응력이구해짐. ma bt h Ph tw 4 - 모든계산은단면의중앙선치수를근거로계산 근사계산값임 (c. 5.0 절결과 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-54
- 웨브의전단응력은포물선분포, 그리고 ma htw 4 bt - h b 이고 t tw 인값을취하면 ma /.5 하부플랜지의전단응력 - 하부플랜지도같은방법으로해석가능한. 일반적인유의사항 - 상 / 하부플랜지의전단력합계는서로상쇄됨. - 웨브에서의전단응력은합력 R 을가지며, 전단응력을웨브의높이에걸쳐적분하여구함. h/ h/bt h h P bt hhtwp R d tw dr tw r dr 0 0 tw 4 tw 6 (6-56) - -Beam 의관성모멘트는 3 th bt w h, 윗식에대입하면, R P echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-55 6.9 두께가얇은열린단면의전단중심 채널단면 - 플랜지의최대전단응력을구하기위해 (-형보와동일 ); Q bt h/ - 따라서플랜지의최대전단응력은 - 웨브의상부에서의응력은 VQ bhv t VQ bt hv t t w w echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-56
- 중립축에서면적의 차모멘트는 Q bt h ht w h ht w h bt 4 4 - 따라서최대전단응력은 ma VQ bt h hv t t 4 w w - 각플랜지에걸리는수평전단력 hb t V b F ( t ) 4 ( 그림 (b) 의삼각형면적 ) - 웹의수직력은사각형면적 + 포물선의면적 - 즉 3 th ( ma ) w F htw htw 3 bh t V - 여기에 3 th bt w h 를대입하면 F V ( 예상된결과 ) - 두개의 F 과 F ( V ) - 즉 Fh Fe 0 은전단중심에대해비틀림을유발하지않아야함. bht 3bt, 이식을풀면, 전단중심의위치는 e 4 ht 6bt w echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-57 앵글단면 - bb 단면의 Q b s/ st ; ( 면적 중립축에서면적의도심거리 ) - 단면끝에서 s 떨어진점의전단응력은 VQ Vs s b t - 여기서 tb tb BB 6 3 3 3 ( 부록 D 의경우 4 의 45 o 인경우 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-58
- 그러므로 3 3Vs s b bt - 최대전단응력은 s b 에서발생함 ma 3 V bt F ( b )( t ) 3 - 각변의전단력은 ma - 힘 F 의수평성분은서로상쇄 - 수직성분은 F / V /, 즉수직합력은전단력 V 와같다. V - 합력은두개의힘 F 의작용선의교차점을통과 전단중심 S 는앵글두변의교차점 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-59 두개의좁은직사각형을접합하여만든단면 - 각단면의합력을고려하면쉽게 S 를구할수있음. Z 형단면 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-60
예제 6-8 문제전단중심의위치구하기풀이 - 전단중심은 축상에위치함. - 점 a 로부터 s 의거리에위치한점의 단면 bb 를고려하자. - 점 a 와단면 bb 사이의단면적의 차모멘트는면적요소 d 를적분하여구할수있다. - ( cos )( ) sin 0 Q d r trd r t - 단면 bb 에서의전단응력은 VQ Vr sin t echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-6 - 여기서 r 3 t / ( 부록 D 의경우, 3) 을대입하여 sin V rt - 확인 : 0 또는 일때 0 - / 일때최대전단응력발생 - 전단응력의합력은수직전단력 V - 중심 O 에대한전단응력의모멘트 0 는전단력 - 즉 0 Ve (g) - d 요소에의한모멘트는 0 - 전단응력에의한모멘트는 0 0 V ( 전단중심 S 통과 ) 의모멘트와동일. Vsin d rvsin d d r( d) t rvsind 4rV d 0 - (g) 에대입하여 0 4r e.7r V echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-6
*6.0 탄소성굽힘 - 선형영역을넘어서는하중에대한해석 - 그림과같은탄소성재료를가정함 - 구조용강재에적합함 - 변형경화를무시하는해석. - 변형경화는강도의증가를일으키므로안전한해석 항복모멘트 중립축에서가장멀리떨어진점 c 가 항복응력에도달할때의모멘트 항복모멘트 c S echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-63 소성모멘트와중립축 (c): 최대변형률이항복변형률 에도달함 : 모멘트의크기는항복모멘트 가됨 (d)(e): 최대변형률은계속증가함 - 응력은재료의물성으로인하여 값보가커질수없음. - 보의중앙핵심부 ( 탄성핵심부 ): 탄성을유지함 보의가깥영역 : 완전소성이됨, 응력은 을유지함 - 축이대칭축이아니면, 중립축은도심으로부터멀어짐 ( 그크기는작음 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-64
() 완전소성역이점점커져서보전체가완전소성역이된경우 - 최대모멘트저항능력에도달함 - 최대변형률은항복변형률 의 0 ~ 5 배가되며, 탄성핵심부는없어짐. - 이때의모멘트가소성모멘트 P 가됨. - 모든단면의응력값이 이됨. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-65 중립축은축방향힘의평형으로부터, T C / 중립축은단면을 두개의같은면적으로나눔. 소성모멘트는모멘트평형조건으로부터, d ( ) d d 혹은 P ( ) ( ) ( ) ( ) P CT echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-66
소성계수및형상계수 위의식에서 Z ( ) 를단면에대한소성계수로정의하면, P Z 소성모멘트 / 항복모멘트비율 형상계수 (shape actor) 라고부름 ( 단면형태만의함수 ) P Z S - 항복이처음시작된후의보의예비강도의척도 - 재료가중립축가까이있으면그값이커짐 (e.g. 중실원형단면 ) - 재료가중립축멀리있으면그값이작아짐 (e.g. WF 단면 ) echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-67 직사각형단면보 단면계수는 bh S 6 따라서항복모멘트 bh 6 h ( ) bhh h bh 이므로소성계수는 Z 4 4 4 4 소성모멘트 P bh 4 형상계수는 P Z S 3 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-68
인경우의고찰 h C T b e C e T b P echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-69 h 4e h h be 4e C ec b e e 3 3 bh 3 e 3 e 6 h h P Check: e h/일때 Check: 0 e 일때 3 / P 위식을 e 에대해풀어쓰면, 굽힘모멘트를알때탄성핵심부의크기를구할수있음 eh 3 Check: 이면 e h/ Check: 3 /이면 e 0 P echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-70
WF 보 h t h h Z bt ( tw) t t h t bt ( h t ) tw bh ( b tw)( h t ) 4 S 3 3 h t twht bt bt h Z S WF 보에대한 Z 값은 SC 매뉴얼에있음 보통 WF 보의. ~. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-7 예제 6-9 문제원형단면에대한항복모멘트 / 소성계수 / 소성모멘트 / 형상계수구하기풀이 4 3 ( d / 64) d c d / 3 d d 4 3 ( 부록 D 의경우-9/0) Z ( ) d 6 3 P 3 d Z 6 P 6.70 3 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-7
예제 6-0 문제 탄소성재료 ( 33 ksi) 의박스형보 플랜지는항복상태, 웨브는선형탄성거동일때 구하기 b 5.0 in, b 4.0 in, h 9.0 in, h 7.5 in echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-73 풀이 모멘트를 부분으로나누어서생각함 () 탄성핵심부웨브의모멘트 () 플랜지에서의항복응력 에의한모멘트 echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-74
S ( b b ) h 6 ( b b ) h S 6 플랜지부분의응력에대한모멘트를구하기위한플랜지에서의합력 F 는 F h h b hh b( h h ) F 4 3 bh ( b b) h 수치를대입하면, 주 : 이예제에서 330 k-in 96 k-in, 485 k-in ( 문제 6.0-3) 에서구해짐 P 이예제의 은 와 P 사이의값이다. echanics o aterials, 7 th ed., James. Gere & Barr J. Goodno Page 06-75